NELINEARNA ANALIZA BETONSKIH I ARMIRANO-BETONSKIH KONSTRUKCIJA

Uvod Ponašanje konstrukcija izrađenih od tzv. kvazi-krtih materijala, kao što su beton odnosno armirani-beton, kamen, keramika ili drvo, karakterizirano je lokalizacijom oštećenja u relativno malom volumenu materijala. U posljednaja dva desetljeća načinjen je značajan napredak u modeliranju takvih materijala. Međutim, kao posljedica kompleksnosti takvih materijala, njihovo numeričko modeliranje, naročito modeliranje procesa oštećenja, još je uvijek izazovna zadaća. Ovo je evidentno iz rezultata tzv. round-robin analiza (ref) u kojima se pokazuje da su numerička rješenja za izabrae problema iz inženjerske prakse znatno ovisna o izbor materijalnog modela. Potreba za realnu analizu betonskih i armirano-betonskih konstrukcija je očita. Naime, realni numerički modeli za proračun betonskih konstrukcija mogu biti korišteni za ocjenu nosivosti i trajnosti konstrukcije, za njezinu optimizaciju, gdje se skupi i vrlo često zahtjevi eksperimentalni testovi koriste samo za kalibraciju odnosno verifikaciju numeričkih modela. Nadalje, numerička analiza (virtualni experimenti) mogu biti efikasno korišteni pri formuliranju novih odnosno poboljšanju postojećih pravila (propisa) za proračun i dimenzioniranje konstrukcija. Ovi kao i drugi argumenti, koji govore u prilog numeričke analize, zajedno s dramatičnim napretkom u kompjuterskoj tehnologiji su motivacija za podršku daljnjeg razvoja i primjene numeričkih modela u znanstvenim istraživanjima kao i u svakodnevnoj inženjerskoj praksi. Poznato je da je beton izrazito kompleksan nehomegen i porozan materijal. Za tzv. normalni beton vlačna čvrstoća približno je desetak puta manja od njegove tlačne čvrstoće. To je izrazito nesimetričan materijal koji se mora ojačati armaturom za preuzimanje vlačnih sila. Posljedično, postoje više aspekata analize betonskih konstrukcija: (i) Mehanički, kao što su nosivost, duktilost, deformabilnost i sl.; (ii) Ne-mehanički aspekti - analiza transportnih procesa u betonu (raspodjela vlage, temperature, kisika, klorida, i sl.); (iii) Interakcija između mehaničkih i ne-mehaničkih aspekata a vezano uz trajnost odnosno funktionalnost konstrukcija: utjecaj oštećenja na transportne processe u betonu (npr. utjecaj oštećenja betona na koroziju armature) ili obrnuto utjecaj transportnih procesa na mehanička svojstva (npr. utjecaj visoke temperature na degradaciju mehaničkih svojstava betona). U principu razlikujemo dvije grupe analiza betonskih konstrukcija: (i) Globalna analiza i (ii) Detaljna analiza. U globalnoj analizi osnovna je zadaća numerički predvidjeti nosivost odnosno trajnost cijele konstrukcije (npr. mosta, zgrade i sl.). Za obje grupe analize potrebo je definirati konstitutivni zakon ponašanja materijala (beton, armatura te njihova veza) te izabrati metodu geometrijske diskretizacije (konačni elementi, konačne razlike ili nešto drugo). Za razliku od globalne analize, u detaljnoj analizi potrebno je ispitati funkcionalnost odnosno naći optimalno reješenje određenih detalja konstrukcije (npr. spoj stupa i grede u visokogradnji, proboj ploče i stupa, ležaj mosta i sl.). Jasno je da će, obzirom na ciljeve koji se postavljaju na ove dvije klase proračuna, u globalnoj analizi materijalni modeli the geometrijska diskretizacija konstrukcije biti realtivno gruba u odnosu na detaljnu analizu. Obzirom na složenost problema analize betonskih konstrukcija, ovdje će se dati samo pregled osnovnih principa, postupaka i modela koji se danas najčešće koriste u globalnoj i detaljnoj nelinearnoj analizi betonskih konstrukcija. Postupci su ograničeni na osnovne principe mehanike kontinuuma čvrstog tijela uz poštivanje zakona ireverzibilne termodimamike. Kao metoda diskretizacije koristit će se metoda konačnih elemenata, koja se danas najčešće koristi u nelineranim analizama betonskih konstrukcija. Primjena pojedinih modela i postupaka bit će ilustrirana nizom numeričkih primjera.

Pregled ponašanje materijala Da bi se dobio uvid u osnovne karakteristike betona odnosno armiranog betona korisno je dati prikaz osnovnih (principijelnih) karakteristika materijala obzirom na njihovo globalno ponašanje. Tako se gradivni materijal može obzirom na njegova mehanička svojstva klasificirati u tri osnovne skupine: elaso-plastični, krti i tzv. kvazi-krti. Elasto-plastični i krti materijali su dvije grupe materijala extremnih svojstava, dok su kvazi krti-materijali sa svojim mehaničkim osobinama negdje između. Karakteristika elasto-plastičnih materijala (npr. većina metala, neki polimeri i dr.) je da prije sloma mogu podnjeti relativno velike deformacije. Primjena ovakvih materijala u konstrukcijama ima za posljedicu da je nosivost konstrukcije kontrolirana gotovo isklučivo čvrstoćom materijala a proces presraspodjele sila na nivou konstrukcije je vrlo stabilan. Konstitutivni modeli koji se koriste u nelinearnoj analizi konstrukcija od ovakvih materijala baziraju na kriteriju čvrstoće. Oštećenja materjala (defekti) imaju mali impakt na nosivost konstrukcije. Obzirom da takvi materijali u pravilu mogu podnjeti velike deformacije, u realnoj analizi konstrukcija (granična stanja) potrebno je uzeti u obzir velike pomake i konačne deformacije. Konačno, karakteristika konstrukcija od elasto-plastičnih materijala je da je njezina nominalna nosivost σN:

σ N = PU / A (1)

gdje je PU opterećenje sloma a A karakteristična površina poprečnog presjeka, konstantna. To znači da s proporcionalnom promjenom veličine konstrukcije njezina apsolutna nosivost raste proporcijonalno, dakle nema tzv. “size effekt-a” odnosno utjecaja veličine konstrukcije na njezinu nosivost. Za krte materijale (staklo, keramika, mikro-beton, i sl.) je karakteristično da se do sloma ponašaju gotovo linearno-elastično a slom je u pravilu vrlo eksplozivan. Naime, nakon što se u kritičnom poprečnom presjeku dosegne čvrstoća materijala dolazi do eksplozivnog oslobađanja akumlirane elastične energije koju materijal zbog svoje krtosti ne može preuzeti, odnosno “potrošiti” kroz proces stabilnog razvoja oštećenja materijala. Konstrukcije od krtih materijala su vrlo osjetlive na defekte u materijalu. Uz pretpostavku da je veličina defekta proporcionalna s veličinom konstrukcije, nosivost se može dobro opisati teorijom linearne mehanike loma. To znači da je nosivost kontrolirana energijom sloma materijala a ne njegovom čvrstoćom. Kao posljedica toga, karakteristika konstrukcija od krtih materijala je da pokazuju maximalan size effekt na nominalnu nosivost - ako dimenzija konstrukcije teži u neizmjernost nominalna nosivost teži nuli. Beton spada u grupu tzv. kvazi-krtih materijala. Mehaničke karakteristike takvih materijala leže negdje između elasto-plastičnih i krtih. Male konstrukcije od takvih materijala ponašaju se slično kao kao konstrukcije od elasto-plastičnih materijala dok se velike konstrukcije ponašaju kao konstrukcije od krtih materijala. To znači da se pri numeričkoj analizi konstrukcija od betona mora uzeti u obzir ne samo čvrstoća betona nego i uvažiti osnovne principe linearne odnosno nelinearne mehanike loma. Nosivost ovakvih konstrukcija opterećena je size effektom. Male konstrukcije ponašaju se relativno duktilno s ne značajnim size effektom na nominalnu nosivost dok su velike konstrukcije krte s maximalnim size effekt-om na nominalnu nostivost (linearna mehanika loma). U prelaznom području, iz elasto-plastičnog u krto, konstrukcija se ponaša prema zakonima nelinearne mehanike loma. To prelazno područje definirano je tzv. karakterističnom veličinom konstrukcije koja ovisi o geometriji i svojstvima materijala.

Klasifikacija i pregled modela za nelinearnu analizu betonskih konstrukcija

Postoji više kriterija prema kojima se mogu klasificirati numerički modeli za nelinearnu analizu betonskih i armirano-betonskih konstrukcija. Obzirom da beton spada u grupu tzv. kvazi-krtih materijala, za koje je karakteristična lokalizacija deformacija i oštećenja u relativno malom volumenu materijala, klasifikacija modela obzirom na kinematski opis pukotina (oštećenja) obično se uzima kao osnovni kriterij opisa modela. Ovisno o izboru modela za opis pukotina treba odabrati i odgovarajući konstitutivni zakon betona te odgovarajuću metodu diskretizacije konstrukcije. Da bi se dobio sistematski uvid u mogućnosti modeliranja betonskih konstrukcija, korisno je modele klasificirati prema sljedeća tri kriterija: (i) kinematski opis oštećenja (pukotina), (ii) konstitutivni zakon betona odnosno armature i (iii) metoda diskretizacije. Gornja tri kriterija za klasifikaciju numeričkih modela betona su usko povezana i zbog korektnog modeliranja konstrukcija iznimno je važno izabrati njihovu pravilnu kombinaciju.

Kinematski opis pukotina Ovisno o opisu polja pomaka u, razlikujemo tri tipa kinematskog opis pukotina. Prvi predstavlja tzv. strogi diskontinuitet kod kojeg postoji skok u polju pomaka. Polje deformacija se u tom slučaju sastoji od regularnog djela koji se dobiva diferenciranje pomaka po prostornim koordinatama i singularnog djela koji je opisan Dirac delta distribucijom (sl). S fizikanog stajališta, ovakav opis polja pomaka odgovara diskretnoj pukotini. Drugi način na koji je pukotinu kinematski moguće tretirati je preko uske zone materiala u kojoj dolazi do lokalizacije deformacije kao posljedica pucanja materijala. To je tzv. slabi diskontinuuitet. Polje pomaka je kontinuirana funkcija dok je polje deformacija diskontinuirana funkcija. Širinu pukotine može se izračunati tako da se deformacija u smjeru okomito na pravac širenja pukotine pomnoži sa širinom zone (trake) u kojoj se pukotina lokalizira. Fizikalno, traka u kojoj se lokalizira deformacija predstavlja zonu mikro-pukotina odnosno zonu u kojoj su ravnomjerno raspoređeni defekti materijala. Konačno, oštećenje materijala moguće je opisati tako da je i polje pomaka i polje deformacija kontinuirana funkcija koordinata. U tom slučaju postoji lokalizacija deformacija u relativno uskoj zoni matertijala s kontinuiranim preijelazom u zonu materijala s znatno manjom deformacijom. Fizikalno, ovo predstavlja zonu materijala s koncentracijom oštećenja oko njezinog centra.

Mehanika kontinuuma i konačni elementi

Obzirom da je dat prikaz numeričkih metoda i modela za analizu betonskih konstrukcija koje su formulirane u okviru mehanike kontinuuma, ovdje će najprije biti dan kratki prikaz osnove mehanike kontinuuma koje su neovisne o izboru konstitutivnog modela betona. Gibanje materijalnog tijela B u Euklid-ijevom prostoru B⊂IR3 opisano je u klasičnom Boltzman-ovom kontinuumu poljem pomaka u. Nadalje, pretpostavlja se linearne kinematske veze između tensora deformacija ε i pomaka u formi (tenzorska notacija):

ε = ∇symu (2)

Kao posljedica relativnih pomaka između točaka kontinuuma, dolazi do njihove međusobne interakcije koja se definira kao naprezanje. Stvarni vektor naprezanja t u točki deformiranog kontinuuma definiran je Cauchy-jevim tensorom tensorom naprezanja σ kao:

t= σ ⋅n (3)

gdje je n vektor normale deformirane površine na kojoj se mjeri naprezanje. U klasičnoj mehanici vrijedi pretpostavka da pri procesu deformacije tijela B ukupna masa tijela ostaje nepromjenjena. Uz pretpostavku izotermalnih uvjeta te uvjeta kvazi-statičkog opterećenja, za svaku točku kontinuuma vrijedi sljedeća jednadžba ravnoteže:

divσ +ρb = 0 (4)

gdje je ρ gustoća materijala a b je vektor specifičnih volumenskih sila. Za klasični Boltzman-ov kontinuum, sa tri nepoznata pomaka u točki kontinuuma, vrijedi simetrija tenzora naprezanja σ = σT. Nadalje vrijedi 1. zakon termodinamike prema kojem je je ukupni prirast energije u tijelu B pri prirastu deformacija:

u = σ : ε (5)

gdje desna strane jednadžbe (5) predstavlja rad unutrašnjih sila (naprezanja) pri prirastu deformacija. Za razliku od 1. zakona termodinamike koji promatra ukupnu energiju tijela B, 2. zakon termodinamike razmatra promjenu entropije za vrijeme procsesa deformiranja tijela i glasi (Clausius–Duhem-ova nejednađba):

D = σ : ε − ψ ≥ 0 (6)

gdje je D disipacija dok je ψ tzv. slobodna Helmholtz energija koja predstavlja povratni dio ukupnog rada (energije) utrošenog na deformaciju tijela B. Jednadžba (6) kaže da uloženi rad mora biti uvjek veći ili jednak slobodnoj energiji akumuliranoj u deformiranom tijelu odnosno da disipirana energija nesmije biti negativna. Ova jednadžba uvodi restrikciju na konstitutivi zakon materijala koji mora biti takav da pri prirastu deformacije prirast slobodne energije mora biti jednak ili veći od nule. U svakoj točki kontinuuma treba pored jednadžbi ravnoteže (4) i energije (5) i (6) naći rješenje koje zadovoljava zadane rubne uvjete. Za tijelo B postoje dvije grupe rubnih uvjeta, Dirichlet-ov koji je vezan uz pomake u po rubu ΓD te Neumann-ov koji je vezan uz naprezanja σ po rubu ΓN :

u = u na ΓD i t = σ ⋅n na ΓN (7)

gdje n definira normalu na ravninu u kojoj je definiran rubni uvjet naprezanja. Za rješenje problema rubnih uvjeta stoje nam na raspolaganju gornje parcijalne diferencijalne jednadžbe (2)-(4) s nepoznatim veličinama ρ, u, σ i u. Dodatne jednadžbe potrebne za rješenje problema su jednadžbe koje definiraju vezu između naprezanja i deformacije - konstitutivni zakon materijala. Obzirom da se ponašanje betona može opisati u okviru različitih konstitutivnih koncepata ne postoji jedinstveno rješenje problema rubne zadaće nego je ono ovisno o izboru knostitutivnog zakona.

Konačni elementi U općem slučaju je rješenje problema rubne zadaće moguće samo korištenjem numeričkih metoda. Jedna od metoda koje se u inženjerskoj praksi najčešće koristi je metoda konačnih elemenata. Za primjenu metode konačnih elemenata potrebno najprije uz korištenje Galerkin-ove metode, strogu formu diferencijelne jednadžbe ravnoteže (4) preformulirati u slabu formu. Pri tome su lokalne jednadžbe ravoteže zajedno s pripadajućim Neumano-ovim rubnim uvjetom pomnožene s tzv. test funkcijom δu i integrirane preko volumena tijela B odnosno preko površina Γ na kojima su zadani rubni uvjeti. Korištenjem parcijalne integracije te primjenom Gauss-ovog zakona integracije uz uzimaje u obzir kinematske veze između deformacije i pomaka (2) te uz korištenje poznatih rubnih uvjeta, dobiva se slaba jednadžbe ravnoteže u formi Galerkin-ovog funkcionala:

G(u,δu) = σ :δε dV − ρB∫B∫ b ⋅δudV − t

ΓN∫ ⋅δudA = 0 (7)

Ako se test funkcija interpretira kao virtualni pomak tada gornja jednadžbe predstavlja izraz za virtualni rad. Prvi član na desnoj strani jednadžbe predstavlja virtuelni rad unutrašnjih sila dok druga dva člana predstavljaju virtualni rad vanjskih sila, odnosno rad sila opterećenja. Za razliku od (4), jednadžba (7) predstavlja tzv. slabu formu ravnoteže koja mora biti ispunjena samo integralno a ne i eksplicitno u svakoj točki kontinuuma. U metodi konačnih elemenata je tijelo B podjeljeno na nele konačnih elemenata Be, tako da je:

B = e=1nele Be (8)

Polje pomaka u je diskretizirano preko pomaka diskretnih čvornih pomaka konačnog elementa d. Raspodjela pomaka unutar konačnog elemenata definirana je preko tzv. “shape” funkcija N. Uz korištenje kinematske veze (2), polje deformacija unutar konačnog elementa definira se kao (matrična notacija):

ue := Nd ε e := Bd δue := Nδd δε e := Bδd (9)

gdje operator B predstavlja parcijalne derivacije funkcije oblika N po prostornim koordinatama X. Uvrštavanjem izraza (9) u (7) dobiva se:

G(u,δu) = δdT BTσ dV - NTρbdV - NT t dABe∫Be∫Be∫⎡⎣ ⎤

⎦e=1

nele

= 0

G(u,δu) = δdT finte − fext

e⎡⎣ ⎤⎦e=1

nele

= 0 (10)

gdje U simbolizira uniju svih konačnih elemenata. Prvi integral na desnoj strani su unutrašnje čvorne sile po konačnom elementu, dok preostala dva integrala predstavljaju doprinos volumenskih sila odnosno doprinos vanjskog opterećenja čvornim silama konačnog elementa. Sumiranjem sila po svim konačnim elementima dobiva se izraz:

G(u,δu) = δDT Fint − Fext⎡⎣ ⎤⎦ = 0

gdje je : Fint := finte

e=1

nele

Fext := fexte

e=1

nele

δDT := δdTe=1

nele

(11)

Obzirom da (11) vrijedi za bilo koje virtualne pomake δD slijedi:

Fint − Fext = 0 (12)

što predstavlja jednadžbu ravnoteže diskretnog sistame konačnih elemenata. U jednadžbi (12) vektor vanjskih čvornih sila je poznat dok je vektor unutrašnjih čvornih sila u najopćenitijem slučaju nelinearna funkcija nepoznatih čvornih pomaka D čije rješenje zahtjeva primjenu postupka za rješenje sistema nelinearnih jednadžbi. Ovdje se najčešće koristi Newton-Rapshon-ov iterativni postupak koji se zasniva na linearizaciji diskretnog sistema jednadžbi (12). Za primjenu inkrementalnog iterativnog rješenja je sistem jednadžbi (12) potrebno napisati u sljedeću formu:

R(D) := Fint (D) − Fext = 0 (13)

gdje R rezidual između unutrašnjih i vanjskih čvornih sila. Rezidual predstavllja neuravnotežene sile koje treba za u okviru iterativnog procesa dovesti u ravnotežu, tako da na kraju iterativnog procesa rezidual mora biti jednak nuli. Uz pretpostavku da vanjske čvorne sile nisu ovisne o pomacima, za i+1 iterativni korak (13) se može razviti u Taylor-ov red. Uz zanemarenje članova višeg reda linearizirani rezidual Lin R(D) za i+1 iterativni korak glasi:

LinR(D) := R(Di ) +∂R(D)∂D Di

ΔDi+1[ ] = 0 sa ΔDi+1 = Di+1 − Di (14)

iz čega sljedi linearizirani globalni sistem jednadžbi problema:

Ki ΔDi+1 = −R(Di ) (15)

čijim se rješenjem dobivaju nepoznati inkrementalni pomaci sistema ∆Di+1 što vodi poboljšanju rješenja iz prethodnog iterativnog koraka (Di+1=Di+∆Di+1). Proces iteriranja se terminira kada je vektor rezidualnih sila zadovolji unaprijed propisanu granicu tolerancije. U jednadžbi (15) Ki je globalna tangentna matrica krutosti:

Ki =∂R(D)∂D Di

=∂Fint (D)∂D Di

R(Di ) = Fint (Di ) − Fext (14)

Globalna matrica krutosti, reziduala i pomaka dobiva se iz sumiranja po svim konačnim elementima sistema:

Ki := ki

e

e=1

nele

R(Di ) := rie

e=1

nele

ΔDi+1 := Δdi+1e=1

nele

(15)

gdje matrice krutosti po elementima k odnosno vektor rezidualnih sile konačnih elemenata r imaju sljedeću principijelnu formu:

kie =

∂finte (d)∂d di = BTCtan,iBe∫ BdV ri

e = fint ,ie − fext

e = BTσ iBe∫ dV − fexte (16)

gdje je Ctan,i = [∂σ/∂ε]i tangentna krutost materijala u točki kontinuuma a jednaka je parcijalnoj derivaciji tenzora naprezanja po tenzoru deformacija.

Osnove mehanike loma linearna

Beton, keramika i slični materijali, koji spadaju u grupu tzv. kvazi-krtih materijala, su i prije nanošenja opterećenja nehomogeni s relativno velikim udjelom mikropukotina. Kod betona je to prije svega posljedica činjenice da je to izrazito nehomoheni material te da za vrijeme hidratacije cementnog gela dolazi do generiranje neelastičnih deformacija (skupljanja) koja uzrokuju oštećenje prije nanošenja vanjskog opterećenja. Ispitivanja nosivosti konstrukcija od materijala koji su oštećeni pokazuju začajnu degradaciju nosivosti. Naime, u takvim slučajevima oslabljenje presjeka uzrokuje pad nosivosti koji je znatno veći nego što bi tebao biti prema kriteriju čvrstoće. Osim toga, degradacija je tim veća što su dimenzije konstrukcije veće.

Gornji fenomen ne može se objasniti u okviru teorije čvsroće, prema kojoj je pad nosivosti proporcijonalan oštećenju materijala. Objašnjenje je nađeno u okviru linearne mehanike loma, a bazira se na prvom radu iz tog područja (Griffith, 1920). Griffith je razmatro uzorak opterećen

vlačnim naprezanjem σ dimenzija širina-dužina-debljina = B-L-t s jednom diskretnom pukotinom dužine a (vidi Sl.xx) . Za linearno elstični materijal s modulom elastičnosti E i Poisson-ovim brojem ν potrebno je naći tzv. kritično opterećenje σ kod kojeg će pukotina početi rasti. Uz pretpostavku da se oštećenje lokalizira na špici pukotine u neizmjerno malom volumenu materijala te da je b << a i t << L, rješenje za polje naprezanja i pomaka u smjeru y, dobiveno u okviru teorije elastičnosti, je:

σ yy = σ +σ

x2

a2 −1

2xa+

x2

a2 −1⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−1

; v x( ) = 2σE '

a2 − x2 ; 0 ≤ x ≤ a (17)

gdje je E` = E za slučaj ravninskog stanja naprezanja odnosno E` = E (1-2ν) za slučaj ravninske deformacije. Iz gornjeg izraza očito je da na špici pukotine (x = a) postoji singularitet naprezanja σyy. Slično vrijedi i sa ostale dvije komponente tensora naprezanja, σxx i σxy. Nadalje, kritično opterećenje dobiva se iz izraza energetske ravonteže. Uz pretpostavku izotermalnih statičkih uvjeta opterećenja, može se pokazati da je rad W utrošen za formiranje pukotine dužine a (Griffith, 1920):

W = 2 −

σ2

v x( )dx−a

+a

∫⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

πa2σ 2

E ' (18)

gdje je v(x) pomak u smjeru y mjeren na površini pukotine. Za uvjet stabilnog rasta pukotine rad utrošen na formiranje pukotine mora biti u ravnoteži s ukupnm energijom Γ utrošenom za formiranje pukotine:

W + Γ = 0 Γ = 4aγ (19)

gdje je γ specifična energetska otpornost materijala (Nmm/mm2). Konačno, kritično opterećenje potrebno za prirast pukotine Δa slijedi iz uvjeta stacionarnosti izraza energetske ravnoteže uz korištenje (18) i (19):

∂∂a

W + Γ( ) = 0 ⇒ σ =2E 'γπa

(20)

Desni dio izraza (20) predstavlje tzv. Griffith-ovu formulu kritičnog naprezanja. Iz izraza se vidi da je kritično naprezanje proporcionalno s a-0.5, što znači da u slučaju relativno velikih oštećenja materijala (mikropukotine) energetska otpornost materijala a ne njegova čvrstoća, koja je za slučaj linearnog ponašanja materijala beskonačno velika, može biti kritična za nosivost konstrukcije.Sljedeći značajan doprinos linearnoj mehanici loma je rad Irwine-a (1957). Prema Irwine-ovoj teoriji krtog loma (Irwine, 1957) postoje tri osnovna moda sloma: Mod-I, Mod-II i Mod-III (Sl. xx).

Uz pretpostavku linearno elastičnog ponašanja materijala općeniti izraz za polje naprezanja na špici pukotine glasi:

σ ij =

K2πr

fij θ( ); r << a; K ≥ 0 (21)

gdje je a dužina pukotine, r i θ polarne koordinate na špici pukotine (Sl. xx) a K je tzv. faktor intenziteta naprezanja koji ovisi o geometriji i opterećenju, a predstavlja mjeru koncentracije naprezanja na špici pukotine. U slučaju kada je K > 0 postoji singularitet naprezanja na špici pukotine a u slučaju K = 0 nema singulariteta. U usporedbi s Griffith-ovim rješenjem, Irvine-ovo rješenje je općenito. Griffith-ova formula za kritično naprezanje (Mod-I) je zapravo specijani slučaj Irvine-ovog rješenja. Naime, za Mod-I sloma (Griffith-ova geometrija), odgovarajuće rješenje za faktor intenziteta naprezanja KI prema Irvine-u je:

KI = σ πa (22)

Za kritično Griffith-ovo naprezanje KI iz (22) prelazi u tzv. kritični faktor intenziteta naprezanja KIC koji se dobiva usporedbom naprezanja iz izraza (20) i (22):

σ = KIC

πa; KIC = E 'GC ; GC =2γ (23)

gdje je GC žilavost materijala. Slični izrazi za kritične intenzitete naprezanja postoje i za ostala dva moda sloma (KIIC i KIIIC) s time što općenito vrijedi KIC ≠ KIIC ≠ KIIIC. Izrazi bazirani na linearnoj mehanici loma mogu se koristiti za određivanje nosivosti konstrukcije samo onda ako je konstrukcija oštećena odnosno ukoliko postoje pukotine, u protivnom primjena nema smisla. To slijedi npr. iz izraza (23) gdje je za slučaj a = 0 (nema oštećenja) nosivost beskonačno velika. U takvom slučaj mjerodavna je teorija čvrstoće. Međutim, za kvazi krte materijale kakav je beton tzv. stabilne pukotine mogu nastati prije nego što se dosegne nosivost konstrukcije (npr. čupanje sidra iz betonskog bloka, proboj stupa i ploče, slom grede na smik, i sl.). Sljedeće ograničenje za direktnu primjenu izraza linearne mehanike loma je pretpostavka da je veličina tzv. proces zone na špici pukotine u odnosu na dimenzije konstrukcije mala. Za betonske konstrukcije iz inženjerske prakse ova je pretpostavka ispunjena samo kod relativno velikih

konstrukcija. No, ukoliko su gornji uvjeti približno zadovoljeni izraz (23) se može koristiti za izračunavanje nosivosti konstrukcije:

KIC = σ NU W f ( aW

) ; a = (a0 + Δa) ; σ NU = PUBW

log(σ NU ) = − 12

logW + const (24)

gdje su B i W dimenzije konstrukcije (npr. širina i visina grede, Sl. xx), PU je opterećenje sloma a σNU je tzv. nominalna nosivost. Za razliku od teorije čvrstoće, gdje nominalna nosivost ne ovisi o dimenziji konstrukcije, prema (24) nominalna nosivost u log mjerilu linearno se smanjuje s porastom dimenzija konstrukcije (Sl. xx). Ukoliko W → ∞, nominalna nosivost σNU → 0, što predstavlja tzv. „size efekt“ na nosivost i znači da konstrukcije većih dimenzije imaju manju relativnu nosivost od manjih. Prema linearnoj mehanici loma size efekt na nosivost je maximalan.

1

2

log(W)

Izraz za nosivost konstrukcije vrijedi samo za slučaj kada je dužina pukotine a pri maximalnom opterećenju PU (slom) proporcionalna s dimenzijama konstrukcije W. Ova pretpostavka implicira stabilni rast pukotine koji je karakterističan za tzv. negativne geometrije. Kažemo da je geometrija negativna kada se s porastom dužine pukotine intenzitet faktora naprezanja smanjuje. U protivnom geometrija je pozitivna. Tipični primjer negativne geometrije iz inženjerske prakse je npr. lom na posmik kod vitkih AB greda bez armature za preuzimanje posmičnih naprezanja, dok je tipična pozitivna geometrija betonska greda opterećena na savijanje.

Nelinearna mehanika loma

Linearna mehanika loma može se za analizu betonskih odnosno armirano-betonskih konstrukcije direktno koristiti samo za slučaj kada je veličina proces zone u usporedbi s dimenzijama konstrukcije relativno mala (vidi Sl. xx). U protivnom mora se koristiti nelinearna mehanika loma koja uzima u obzir činjenicu da je zbog nelinearnog ponašanja materijala proces zona relativno velika.

FPZ FPZ

Na Sl. xx je dat karakteristični izgled proces zone betona veličine lp. Vidljivo je da je beton na špici pukotine oštećen ne u infinitenzimalnom volumenu nego u volumenu koji može biti u odnosu na dimenzije konstrukcije relativno velik. Veličina proces zone za normalni beton je lp = 200 do 300 mm, dakle dosta velika, i može se približno izračunati korištenjem izraza (23) uz σ = ft, (ft = vlačna čvrstoća betona):

lp ≈

E 'GF

ft2 (25)

Širina proces zone ovisna je o veličini maximalnog zrna agregata da,max i približno je jednaka 3da,max. U izrazu (23) GC (žilavost) je zamjenjeno s GF, što predstavlja energiju sloma betona. To je prosječna specifična energija utrošena za formiranje pukotine koja ovisi o mehaničkim svojstvima betona, prije svega o sastavu betona (maximalna veličina agregata). Za normalni beton GF = 50 do 120 J/m2. Nadalje, GF ≈ 5 do 10 puta veći od GC koji se za beton može interpretirati kao energija potrebna za infinitenzimalno produženje makropukotine. Za slučaj kada lp → 0 (mikrobeton), GF ≈ GC. Veličina proces zone je ujedino mjera krutosti betona. Što je veći lp to je beton manje krt. Iz (25) vidljivo je da lp raste proporcionalno s energijom sloma, a opada kao kvadratna funkcije vkačne čvrstoće betona. To znači da istovremeno linearno povečanje energije sloma i vlačne čvrstoće rezultira manjoj vrijednosti za lp, odnosno daje krtiji beton.

U okviru nelinearne mehanike loma razvijeno je više metoda koje se koriste u analitičkim odnosno numeričkim postupcima analize betonskih konstrukcija. U principu postoje dvije grupe metoda: (i) nelinearne teorije sloma i (ii) aproximativne metode nelinearne mehanike loma. U prvu grupu spada tzv. koncept kohezivnih pukotina te koncept razmazanih pukotina dok u drugu grupu spadaju aproximativni postupci kao npr.: metoda efektivne pukotine, metoda R-krivulja, metoda size efekta i druge. Za numeričku analizu konstrukcija zanimljiva je prva grupa metoda dok je druga grupa

korisna prije svega za približna analitička rješenja iz područja analize nosivosti betonskih konstrukcija.

metoda kohezivnih pukotina

U metodi tzv. kohezivnih pukotine (tzv. jaka lokalizacija) pretpostavka je da su svi fenomeni pucanja lokalizirani u jednoj linij (2D problem) odnosno jednoj plohi (3D problem). Nadalje, otvaranje pukotine kontrolira konstitutivni zakonom otvaranja pukotine koji veže naprezanje i širinu pukotine w u smjeru okomitom na smjer širenja pukotine (Sl. xx). Pretpostavlja se da u ravnini pukotine ne postoje nikakva posmična naprezanja a kriterij inicijalizacije pukotine u točki je vlačna čvrsoća betona u smjeru glavnih vlačnih naprezanja (σ1 = ft). Dakle, prije nego što je dostignuta vlačna čvrstoća beton se tretira kao elastični ili neelastični kontinuum, dok se nakon što je dosegnuta vlačna čvrstoća ponašanje betona kontrolira diskretnim σ-w konstitutivnim zakonom koji je aktivan u smjeru okomitom na smjer širenja pukotine. Ovaj zakon se dobiva iz experimenta a najčešće se koristi exponencijalni ili bi-linearni. Ukoliko je širina pukotine veća od kritične, koja je za normalni beton između wc = 0.15 i 0.20 mm, tada se smatra da se radi o otvorenoj pukotini koja više ne pruža nikakav otpor otvaranju. Površina ispod σ-w dijagrama predstavlja energiju sloma betona GF.

neraspucano pukotina

Primjena kohezivnog zakona u numeričkoj analizi, npr. u metodi konačnih elemenata, vezana je uz problem da se diskretni zakon ponašanja materijala mora primjeniti u okviru kontinuuma. To je moguće samo tako da se konačni element u kojem se ustanovi inicijalizacija pukotine (σ1 = ft) podijeli u dva elementa koji su međusobno razdvojeni pukotinom. Ukoliko je širina pukotine manja od kritične (w < wc) naprezanje okomito na smjer širenja pukotine definirano je σ-w zakonom, dok su u slučaju w > wc konačni elementi potpuno razdvojeni.

Metoda diskretnih pukotina

Okomito na smjer pukotine

Na sl.xx prikazan je primjer numeričke analize gdje se vidi kako se pri širenju pukotine mreža konačnih elemenata mora prilagoditi širini pukotine. Svaki put kada se napravi „update“ konačnih elemenata rezultati dbiveni na prethodnoj mreži (pomaci, oštećenja materijala, ..) moraju se interpolirati na novu mrežu. Danas postoji više tehnika tzv. mapiranja iz jedne u drugu mrežu koje su dovoljno precizne. Međutim, kada se radi samo jednoj pukotini metoda je relativno jednostavna. No, u 3D analizama armirano-betonskih konstrukcija iz inženjerske prakse u pravilu postoji znatno više pukotina koje su istovremeno aktivne te primjena ove metode, poznata kao metoda diskretnih pukotine, postaje vrlo zahtjevna.

Metoda razmazanih pukotina

Za razliku od metode kohezivnih (diskretnih) pukotina, gdje je pretpostavka da se pukotina lokalizira u jednoj liniji, u metodi razmazanih pukotina (tzv. slaba lokalizacija) pretpostavlja se da se pukotina lokalizira u volumenu materijala čija je širina teoretski jednaka širini proses zone h, a konstitutivni zakon ponašanja opisan je σ-ε zakonom, gdje je ε = w/h prosječna deformacija unutar proces zone, mjerena okomito na smjer širenja pukotine .

Konstitutivni zakon u formi σ-ε ima fizikalno značenje samo ukoliko je vezan uz širinu proces zone h čija je dimenzija približno h = 3da,max, odnosno, jednoznačno je definiran samo ukoliko se veže uz određenu širinu proces zone. Slično kao i kod kohezivnog modela deformacija koje odgovara kritičnoj širini pukotine je tzv. kritična deformacija a izračunava se kao εcr = wcr/h. Površina ispod σ-ε krivulje pomnožena sa širinom proces zone predstavlja energiju sloma:

GF = f (σ ,ε) dε

0

εcr

∫ (25)

Principjelno je metoda razmazanih pukotina potpuno ekvivalentna metodi kohezivnih pukotina. Međutim njezina glavna prednost je primjena u numeričkim analizama, koje su najčešće formulirane u sklopu mehanike kontinuuma, tako da se σ-ε konstitutivni zakon može direktno koristiti bez potrebe da se npr. mreža konačnih elemenata mijenja s porastom pukotine.

Glavni nedostatak metode je što njena direktna primjena u numeričkoj analizi (lokalni kotinuum) daje rezultate koji ovise diskretizaciji. Primjerice, numerički rezultati dobiveni metodom konačnih elementaa, koja se u praksi najčešće korist, ovise o veličini i obliku konačnih elemenata. To je ilustrirano na primjeru pokazanom na sl. xx gdje je uzorak betona opterečen na vlak modeliran s dvije mreže konačnih elemenata: (A) gruba mreža i (B) fina mreža. Neovisno o veličimi konačnih elemenata u lokalnoj analizi, zbog uvjeta ravnoteže, oštećenje (pukotina) uvjek se lokalizira u jednom redu konačnih elemenata. Za dužinu pukotine a, zbog većeg volumena elemenata grube mreže, ukupna energija potrošena za formiranje pukotine je veća za grubu nego nego za finu mrežu. Kao posljedica toga nosivost modela (A) biti će veća nego modela (B), odnosno, rezultati analize ovisni su o veličini konačnih elemenata. Kada veličina elemenata teži ka nuli, ukupna energija potrebna za formiranje pukotina također teži nuli, što je fizikalno nedopustivo. Korektno rješenje moguće je u okviru klasičnog Bolzmanovog lokalnog kontinuuma dobiti ukoliko se σ-ε konstitutivni zakon energetski veže na veličinu konačnih elemenata. Obzirom da se pukotina lokalizira u jednom redu konačnih elemenata, veličina proces zone je zapravo jednaka veličini konačnih elemenata. Da bi rezultat numeričke analize bio objektivan konstitutini zakon otvaranja pukotine σ-ε potrebno je vezati na veličinu konačnih elemenata i to tako da je specifična energija potrebna za formiranje pukotine jednaka energiji sloma:

h f (σ ,ε) dε

0

εcr

∫ = GF (25)

To praktički znači da padajuća grana σ-ε dijagrama sa slike xx mora biti strmija kada veličine konačnih elemenata raste, odnosno da konstitutivni zakon ovisi o veličini konačnog elementa. Ova metoda regularizacija poznata je kao „Crak band method” (Bažant and Oh, 1983) ili metoda pukotinskih traka. Prednost metode ja da je vrlo jednostana no rezultati ostaju još uvijek djelomično ovisni o obliku i orijentaciji konačnih elemenata posebno onda kada se smjer pukotine ne poklapa s orjentacijom elemenata. Ovaj se problem može izbjeći tako da se kao regularizacija koristi neka od metoda višeg reda kao npr. nelokalni koontinuum integralnog ili gradientnog tipa ili kontinuum višeg reda (Cossorat kontinuum). Nadalje, slično kao i kod primjene kohezivnog modela (diskretne pukotine), i ovdje se može koristiti tehnika “remeshinga” tako da se mreža konačnih elemenata

prilagodi razvoju pukotine, Oba postupka čine primjenu modela u numeričkoj analizi točnijom ali i znatno komplibciranijom.

Konstitutivni modeli

UvodBez obzira da li su pukotine u betonu opisane u okviru tzv. jakog ili slabog diskontinuuma, zona oštećenja materijala kao i zona izvan tog područja mora se opisati nekim konstitutivnim zakonm. Kao što je pokazano u prethodnom poglavlju, samo pucanje betona može se opisati ili kohezivnim modelom (diskretne pukotine) ili modelom razmazanih pukotina (razmazane pukotine). U slučaju modela razmazanih pukotina može se koristiti bilo koji konstitutivni zakon koji je u stanju opisati ne samo tzv. očvrščavanje materijala (hardening) nego i omekšanje materijala (softening), a formuliran je u okviru mehanike kontinuuma. Ponašanje kvazi-krtih materijala, kao što je beton, je nelinearno što znači da postoji nelinearna ovisnost tenzora naprezanja σ o tenzoru deformacijama ε. U najopćenitijem slučaju vrijedi:

σ = f (ε,α) (25)

gdje je α predstavlja set parametara koji opisuju nelinearno ponašanje materijala. U principu se opis nelinearnog ponašanja betona na makro nivou može opisati okviru tzv. teorije invarianti naprezanja sa tri osnovna tipa konstitutivnih zakona: (i) hiperelastični, (ii) model mehanike oštećenja i (iii) model plastičnosti. U slučaju hiper elastičnog modela postoji nelinarna veza izmađu naprezanja i deformacije, no opterećenje is rasterećenje materijala slijedi istu krivulju. Ovakav materijal je neovisan o putu opterećenja što znači da je ukupna energija uložena u deformaciju tijela povratna, odnosno, da nema gubika uložene energije (disipacija). Pretpostavka mehanike oštećenja je da s porastom deformacije dolazi do oštećenja materijala (mikropukotine). Kao posljedica toga krutost materijala se smanjuje dok je nelinearnost posljedica oštećenja materijala. Put opterećenja se ne poklapa s putem rasterećenja koji je sekantan, tako da nakon potpunog rasterećenja materijala nema zaostalih deformacija i naprezanje. U principu materijal je linearno elastičan s time što je modul elastičnosti ovisan o deformaciji. Za razliku od hiperelastičnog materijala, uloženi rad nije sasvim povratan odnosno postoji disipacija energije. Teorija plastičnosti koristi se tradicionalno za modeliranje materijala koji su duktilni, kao npr. metali. Za razliku od kvazi-krtih materijala (beton), gdje nakon maximalne nosivosti dolazi do tzv. omekšanja materijala, za metale je karakteristično tzv. očvršćavanje što znači da nakon pojave plastičnih deformacija nosivost (čvrstoća) raste. S fizikalne točke gledišta, očvršćenje i omekšanje su dva različita procesa. Međutim matematički ovi procesi mogu biti tretirani na isti način te se zbog toga teorija plastičnosti može primjeniti i na kvazi-krte materijale. Prema teoriji plastičnosti materijal i u nelinearnom području ostaje linearno elastičan dok se nelinearnost pripisuje tzv. plastičnim deformacijama koje su nepovratne. To znači da nakon rasterećenja materijal dobiva trajne deformacije. Slično kao i kod modela prema teoriji mehanike oštećenja, energija uložena u deformaciju tijela nije povratna.

Pored tri osnovna modela mehanike kontinuuma postoji i drugi modeli koji nisu direktno bazirani na teoriji invarianti naprezanja. Ovdje spominjemo samo dvije grupe koje spadaju u tu kategoriju a koji se danas često koriste za modeliranje betona. To je konstitutivni zakon tzv. razmazanih pukotina i tzv. mikroravninski model. Naravno, u primjeni uvjek je moguća i kombinacija dva ili više modela. U daljnjem tekstu dat će se kratki prikaz gore navedenih modela formuliranih uz pretpostavku da vrijede osnovni zakoni ireverzibilne termodimaike te uz pretpostavku malih deformacija.

Model elastičnosti

Za materijal koji se nakon rasterećenja vraća u početno stanje bez zaostalih deformacija i naprezanja kažemo da je elastičan. Nadalje, kod takvog materijala su naprezanja ovisna samo o tensoru deformacija. Za slučaj linearne elastičnosti konstitutivni zakon definiran je tzv. generaliziranim Hook-ovm zakonom koji se dobiva iz ukupne slobodne deformacione energije:

ψ = 1

2ε :C el : ε (25)

gdje je ε tenzor deformacije (tenzor drugog reda) a Cel tenzor krutosti materijala (tenzor četvrtog reda). Korištenjem Clausius–Duhem-ove nejednadžbe (6) koja je u slučaju elastičnog tijela jednadžba (nema disipacije energije) sljedi:

σ := ∂ψ

∂ε= C el : ε (25)

Druga parcijalna deformacija slobodne energije po deformaciji definira tensor krutosti materijala:

C el := ∂ 2ψ

∂ε∂ε (25)

U najopćenitijem slučaju matrica krutosti materijala ima 81 nezavisnu konstantu. No iz uvjeta da je slobodna energija kvadratna funkcija devormacija neovisna o redosljedu deriviranja, tensor krutosti mora miti simetričan tako da se ukupni broj nezavisnih konstanti svodi na 36. Broj nezavisnih

konstanti nadalje ovisi o karakteristikama materijala. U najjednostavnijem slučaju kada je tenzor krutosti simetričan, materijal simetričan i s istim svojstvima u svim smjerovima, broje nezavisnih konstanti svodi se na dvije. U tom slučaju generalizirani Hook-ov zakon glasi:

C el = 3K I vol + 2G I dev I vol = 1

31⊗1 I dev = I sym − I vol

(25)

gdje je K modul kompresije materijala, G modul smika. Ivol i Idev označavaju volumetrijski odnosno devijatorski dio jediničnog tenzora četvrtog reda.Iako se za makroskopsko modeliranje betona obično usvaja da je u početnom (neopterećenom) stanju beton izotropno elastičan materijal, generalizirani model elastičnosti kombinira se najčešće sa teorijom plastičnosti odnosno mehanikom oštećenja ili se koristi direktno u okviru linearne mehanike loma. Osim toga, može se primijeniti u kombinacije s tzv. kohezivnim modelom pukotina (nelinearna mehanika loma) gdje se pretpostavlja da je oštećenje materijala lokalizirano u diskretnim pukotinama dok je ostali dio materijala linearno elastičan. Takav se pristup često koristi za modeliranje relativno velikih betonskih konstrukcija (brane, zidovi i sl.).

Mehanika oštećenja

Uvod

Kao što je već prije spomenuto, u modelu mehanike oštećenja pretpostavlja se da je nelinearnost posljedica oštećenja materijala odnosno gubitka integriteta (pukotine). U principu materijal je elastičan no konstante elastičnosti K i G ovisne su o deformaciji. Početak teorije mehanike oštećenja bazira se na radu Kachanov-a (Kachanov, 1958). On uvodi skalarnu veličinu koja opisuje degradaciju (oštećenje) materijala a definirana je kao integritet materijala ψ = (A0 − Ad )/A0 gdje je A0 označava neoštećenu površinu poprečnog presjeka materijala dok je Ad površina oštećenog poprečnog presjeka. Kasije u sedamdesetima je integritet zamjenjen s varijablom koja označava oštećenje materijala d = Ad/A0 = 1 − ψ gdje vrijedi 0 ≤ d ≤ 1. To znači da je za slučaj d = 0 materijal neoštećen dok je u slučaju d = 1 materijal potpuno oštećen. Ovo predstavlja osnove tzv. izotropne teorije mehanike oštećenja gdje se pretpostavlja da je materijal u svim smjerovima jednako oštećen. Više detalja može se naći u radovima Kachanov (1986), Krajčinović (1996), Krajčinović & Lemaître (1987), Lemaître (1992) te Lemaître & Chaboche (1985).Za kvazi krte materijale kao što je beton karakteristično je da je opterećenjem inducirano oštećenje anizotropno. Primjerice materijal može biti u smjeru okomito na smjer širenja pukotine potpuno oštećen dok je u smjeru paralelno s pukotinm znatno manje oštećen ili praktički neoštećen. Kod tzv. neproporcionalnog opterećenja kod kojeg se smjer glavnih deformacija i naprezanja mjenja s promjenom opterećenja važno uzeti u obzir. Za razliku od izotropnog oštećenja, u slučaju anizotropnog oštećenja ima još niz otvorenih pitanja. Prije svega nije jasno što je fizikalna interpretacija oštećenja koje se može opisati vektorom ili tenzorom drugog ili višeg reda (Carol, Rizzi & Willam, 2001a, 2001b, 2002; Jirásek, 2000). Trenutno postoje tri mogučnosti formulacije anizotropnog modela mehanike oštećenja: (i) princip efektivnih naprezanja (Rabotonov, 1963), (ii) princip efektivnih deformacija (Lemaître, 1987) te (iii) princip efektivne energije u kombinaciji sa (i) odnosno (ii) (Cordebois & Sidoroff, 1982).

Model izotropnog oštećenje materijala

1-Parametarski model

Najjednostavniji model izotropnog oštećenja materijala je 1-parametarski model oštećenja prema kojem je oštećenje u svim smjerovima kontrolirano samo jednom skalarnom varijablom. Za takav materijal je ukupna slobodna (reverzibilna) deformaciona energija tijela definirana kao:

ψ(ε ,d) = 1

21− d[ ]ε :C el :ε (25)

Prema mehanici oštećenja veza između naprezanja i deformacije je totalna (sekantna):

σ = 1− d[ ]C el :ε = 1− d[ ] 3Kε vol+2Gε dev[ ] :ε (25x)

Csecd = 1− d[ ]C el = 1− d[ ] 3Kε vol+2Gε dev[ ] (25y)

gdje je Cdsec tzv. sekantna krutost materijala. Nadalje, model oštećenja zahtjeva difiniranje tzv. funkciju oštećenja Φd koja opisuje stanje oštećenja:

Φd = Φ η( ) − d ≤ 0 (25)

gdje je η tzv. ekvivalentna deformacija koja definira stanje oštećenja materijala. U najjedostavnijem slučaju kao što je npr. dominantno vlačno naprezanje kao ekvivalentna deformacija može se uzeti glavno vlačno naprezanje. Više detalja vezano uz ekvivalentno naprezanje može se naći npr. u Jirásek & Bažant (20xx). Nakon što je poznata funkcija oštećenja i ekvivalentna deformacija, parametar oštećenja za općeniti slučaj opterećenja definira se kao:

d = φ κ( ) gdje je κ = max−∞<t<τ

η(t),κ 0( ) (25)

gdje je κ ekvivalentna deformacija za opći slučaj opterećenje (cikličko) a predstavlja maximalnu ekvivalentnu deformaciju η dostignutu tijekom povijesti opterećenja materijala. Za slučaj monotonog opterećenja κ ≡ η. Veza između inkrementa naprezanja i inkrementa deformacije (tangentna formulacija) dobiva se tako da se (xx) napiše u inkrementalnonj formi:

σ = Ctan

d : ε gdje je Ctand = Csec

d − ∂φ∂κ

σ1− d[ ]⊗

∂η∂ε

(25)

gdje je Cdtan tangentni tenzor krutosti materijala.

2-Parametarski model

Za razliku od 1-parametarskog modela, u 2-parametarskom modelu oštećenja definiraju se dva nezavisna parametra oštećenja. Jedan parametar je vezan na volumetrijsku komponentu a drugi na devijatorsku. Ove dvije varijable čine tzv. interne varijable modela α = {dvol, ddev} uz 0 ≤ dvol, ddev ≤ 1. U slučaju malih deformacija ukupni tenzor deformacije se može rastaviti na volumetrijski i devijatorski dio:

ε = ε vol + εdev gdje je ε vol =13

ε :1[ ]1 εdev = ε − 13

ε :1[ ]1 (25)

gdje je 1 jedinični tenzor drugog reda. Ukupna slobodna deformaciona energija može se isto tako rastaviti na volumetrijski i devijatorski dio:

ψ(ε vol ,εdev ,dvol ,ddev ) =321− dvol[ ]Kε vol :ε vol + 1− ddev[ ]Gεdev :εdev (25)

Iz izraza (xx) inkrement slobodne energije je:

ψ = ∂ψ

∂ε: ε + ∂ψ

∂dvoldvol +

∂ψ∂ddev

ddev (25)

Kombinacijom gornje jednadžbe i Clausius–Duhem-ove nejednadžbe (xx) slijedi izraz za dispativni dio energije:

D = σ − ∂ψ

∂ε⎡⎣⎢

⎤⎦⎥: ε − ∂ψ

∂dvoldvol −

∂ψ∂ddev

ddev ≥ 0 (25)

Gornja nejednadžba izražava uvjet da disipacija energije nesmije biti negativna jer bi to značilo da se s oštećenjem materijala generira energija, što nema fizikalne osnove. Kombinacijom (xx) i (yy) slijedi:

σ := ∂ψ∂ε

= σ vol +σ dev = 3 1− dvol[ ]K ε vol + 2 1− ddev[ ]G εdev (25)

Doprinos promjeni slobodne energije usljed promjene volumetrijskog i devijatorskog oštećenja, YV i YD, definiramo kao tzv. termodinamičke konjugirane veličine komponentama volumetrijskog i devijatorskog oštećenja:

YV = − ∂ψ∂dvol

= 32Kε vol :ε vol YD = − ∂ψ

∂ddev= Gεdev :εdev (25)

Korištenjem (xx) izraz za disipaciju energije može se napisati:

D = YV dvol −YD ddev ≥ 0 (25)

uz napomenu da prvi član desne strane izraza (xx) mora biti jednak nuli.Stanje oštećenja materijala opisano je sa dvije međusobno nezavisne funkcije oštećenja ΦV i ΦD

ΦV = φV (ηV ) − dvol ≤ 0 ΦD = φD (ηD ) − ddev ≤ 0 (25)

gdje je η tzv. ekvivalentna (reprezentativna) deformacija za koju se pretpostavlja da je funkcija termodinamičkih sila Y.Korištenjem izraza za disipaciju energije (xx) te uz korištenje funkcija oštećenja materijala zajedno s uvjetom maximalne disipacije dolazimo do sljedećeg izraza stacionarnosti:

L = −D + γ VΦV + γ DΦD

= −YV dvol −YD ddev + γ V φV − dvol( ) + γ D φD − ddev( )→ stacionarno (25)

gdje je γ tzv. Lagrange-ov multiplikator. Gornji uvjet stacionarnosti daje evoluciju parametara oštećenja materijala.

dvol = γ V

∂φV∂YV

ddev = γ D∂φD

∂YD (25)

Uvjeti opterećenja odnosno rasterećenja definirani su tzv. Karush-Kuhn-Tucker-ovim uvjetima te uvjetima konzistentnosti

ΦV ,D ≤ 0 γ V ,D ≥ 0 ΦV ,D γ V ,D = 0; ΦV ,D γ V ,D = 0 (25)

U slučaju prirasta oštećenja iz gornjih uvjeta konzistentnosti uz pretpostavku monotono rastuće funkcije ϕV,D, slijedi evoluciona jednadžba Lagrange-ovih parametara (Simo & Ju, 1987)

γ V = YV ≥ 0 γ D = YD ≥ 0 (25)

U slučaju općenitiog opterećenja (opterećenje - rasterećenje), vrijedi

dvol = φV (γ V ) γ V = max−∞<t<τ

YV (t),γ 0,V( )ddev = φD (γ D ) γ D = max

−∞<t<τYD (t),γ 0,D( ) (25)

gdje sa izračun parametara oštećenja koriste maximalne ekvivalentne deformacije detektirane za vrijeme zadane povjesti opterećenja. Paramatri γ0,V i γ0,D su početni parametri oštećenja.Naprezanje (xx) može se izraziti preko sekantnog tenzora krutosti materijala kao:

σ = Csecd :ε sa Csec

d = 3 1− dV[ ]K I vol + 2 1− dD[ ]G I dev (25)

Tangentni tenzor krutosti materijala četvrtog reda veže inkrement tenzora naprezanja i deformacija, a može se dobiti iz inkrementalne formulacije gornjeg izraza

σ = Ctan

d : ε gdje je Ctand = Csec

d − ∂φV∂γ V

σV ⊗σV

1− dV[ ]2∂ηV

∂YV− ∂φD∂γ D

σ D ⊗σ D

1− dD[ ]2∂ηD

∂YD (25)

Obzirom da su ekvivalentne deformacije funkcije energije, koja je skalar, tangentni tenzor krutosti materijala je simetričan.

Model anizotropnog oštećenje materijala

Karakteristika izotropnog modela oštećenja materijala je pretpostavka da je materijal u svim smjerovima jednako oštećen. Međutim, u za beton odnosmo betonske konstrukcije je karakteriostično da je stupanj oštećenja oviusan o smjeru pukotine. U pravilu maximalno oštećenje je u smjeru okomito na smjer pukotine dok je materijal u smjeru pukotine manje oštećen. Zbog toga je izotropni model oštećenja realan samo u slučaju proporcionalnog opterećenja, odnosno ukoliko se za vrijeme cijele povijesti opterećenja smjer glavnig deformacija i naprezanja ne mijenja. Takav slučaj opterećenja je npr. vlačno opterećenje do sloma ili problem savijanja grede. U slučaju neproporcionalnog opterećenja smjer glavnih deformacija i naprezanja mijenja se tokom opterećenja. Kao posljedica toga, smjer dominantnog oštećenja se također mijenja tokom povijesti opterećenja. Ovakvo opterećenje betona može se realno opisati samo ukoliko je model oštećenja ovisan o smjeru opterećenja. Takvi modeli oštećenja su tzv. anizotropni modeli oštećenja.Za razliku od izotropnog modela oštećenja, gdje je oštećenje materijala definirano skalarom, u anizotropnom modelu oštećenje, oštećenje je definirano tenzorom D. Slobodna energija može se izraziti preko tenzora deformacija i tenzora krutosti koji je funkcija oštećenja kao

ψ(ε ,D) = 12ε :Csec (D) :ε (25)

Korištenjem Clausius–Duhem-ove nejednadžbe (6) uz korištenje gornjeg izraza slijedi definicija tenzora naprezanja

σ := − ∂Ψ∂D

= Csec (D) :ε (25x)

Termodinamička sila Y je tenzor četvrtog reda koji predstavlja konjugiranu veličinu tenzora oštećenja materijala i glasi

Y := − ∂Ψ∂D

= − ∂Ψ∂Csec

: ∂Csec

∂D= − 1

2ε ⊗ ε : ∂Csec

∂D (25)

Korištenjem principa efektivnih naprezanja te principa ekvivalentnih deformacija, anizotropne formulacije modela oštećenja koji se baziraju na tenzoru oštećenja D i sekantnom tenzoru krutosti materijala Csec glasi

σ := I − D[ ] :Csec :ε (25x)

U slučaju da su oštećenja u materijalu u svim smjerovima jednaka gornja jednadžba predstavlja model izotropnog oštećenja za koji vrijedi D = d Isym gdje je d skalar.Formulacija općenitog anizotropnog modela oštećenja nije jednostavna zbog toga što je nije jednostavno definirati odnosno kalibrirati evoluciju tenzora oštećenja obzirom da se ne može definirati njihovo fizikalno značenje. Znatno elegantnija formulacija anizotropnog modela oštećenja moguća je u okviru tzv. mikroravninske teorije.Najednostavniji anizotropni modela oštećenja moguće je formulirati u okviru ortotropnog modela materijala tako da postoje tri parametra oštećenja (skalarne veličine) koji su vezani na glavne smjerove efektivnih naprezanja. Pri tome su izvan dijagonalni članovi tenzora oštećenja jednaki nuli.

Teorija plastičnosti

Kao što je već spomenuto, u teoriji plastičnosti nelinearno ponašanje materijala pripisuje se proklizavanju na nivou kristalne rešetke, tako da materijal nije oštećen, kao što je to slučaj u teoriji oštećenja materijala, nego ostaje elastičan a nelinarnost je posljedica akumulacije nepovratnih deformacija. Naravno da sa fizkalne točke gledišta teorija plastičnosti nije prikladna za modeliranje betona obzirom da u betonu dominira oštećenje materijala a ne plastične deformacij, pogotovo ne za dominantno vlačno opterećenje. No, sa matematičke točke gledišta nelinearno ponašanje betona može se opistati i u okviru teorije plastičnosti.Danas se gotovo isključivo koristi tzv. inkrementalna teorija plastičnosti (Hill, 1950). Uz pretpostavku malih deformacija ukupni tenzor deformacija kao i tenzor prirasta deformacija može se aditivno rastaviti na elastičnu (povratnu) i plastičnu (nepovratnu) komponentu

ε = ε el + ε pl ε = ε el + ε pl (25)

Uz gornju pretpostavku ukupna slobodna energija Ψ može se rastaviti na elastični Ψel i plastični Ψpl

dio kao funkcija tenzora plastičnih deformacija te kao funkcija tzv. internih varijabli α = {εpl,κ}. Interne varijable su u pravilu reprezentirane sa plastičnim deformacijama i parametrima koji kontroliraju očvršćenje odnosno omekšanje materijala.

Ψ ε ,ε pl ,κ( ) = 12 ε − ε pl⎡⎣ ⎤⎦ :Cel : ε − ε pl⎡⎣ ⎤⎦+Ψ pl κ( ) (25)

U gornjem izrazu Ψpl karakterizira očvršćenje odnosno omekšanje materijala. Korištenjem Clausius–Duhem-ove nejednadžbe (6) i izraza (xx) te uz činjenicu da je tenzor naprezanja termodinamički konjugirana veličina tenzoru elastičnih deformacija

σ = ∂Ψ∂ε el = C

el : ε − ε pl⎡⎣ ⎤⎦ (25x)

dobiva se izraz za disipaciju energije

D = σ : ε pl + q ⋅ κ ≥ 0 sa q = − ∂Ψ

∂κ (25)

gdje q predstavlja termodinamičku silu koja je konjugirana varijabli κ koja kontrolira očvrćenje odnosno omekšanje materijala.U teoriji plastičnosti uvodi se tzv. funkcija tečenja materijala Φpl koja definira stanje mogućeg naprezanja

Φ pl = ϕ pl (σ ,q) − σY (q) ≤ 0 (25)

gdje je φpl tzv. ekvivalentno naprezanje a σY tzv. ekvivalentna granica tečenja materijala. Moguće stanje definirano je negativnom funkcijom tečenja što fiyikalno znači da je efektivno naprezanje manje od efektivne granice tečenja (čvrstoće) materijala. Nadalje se pretpostavlja da je tokom opterećenja disipacija energije maximalna što predstavlja uvjet stacionarnosti izraza za disipaciju energije (xx). Matematički to se može izraziti funkcionalom L

L = −D + λΦ pl*

(25)

gdje je λ Lagrange-ov multiplikator koji treba odrediti iz uvjeta stacionarnosti gornjeg funkcionala. Obično je λ poznat kao plastični multiplikator. Primjenom uvjeta stacionarnosti na gornji izraz uz korištenje (xx) dobiva se

ε pl = λm m :=

∂Φ pl*

∂σi κ = λ

∂Φ pl*

∂q (25)

Φ pl* ≤ 0 λ ≥ 0 Φ pl

* λ = 0; Φ pl* λ = 0 (25)

gdje prvi dio izraza (xx) predstavlja kriterij opterećenja odnosno rasterećenja materijala, u formi tzv. Karush-Kuhn-Tucker uvjeta, a drugi dio izraza je uvjet konzistentnosti. Kombinacijom (xx) i uvjeta konzistentnosti dobiva se

λ = n :Cel : ε

n :Cel :m −∂Φ pl

∂q⋅H ⋅

∂Φ pl*

∂q

sa n =∂Φ pl

∂σ (25)

gdje n definira gradijent plohe tečenja, m je smjer inkrementa plastične deformacije a plastični multiplikator definira veličinu inkrementa plastične deformacija. H je modul očršćenja koji se dobiva iz inkrementalne forme varijable q koja je konjugirana varijabli očvrčavanja materijala κ

q = H ⋅ κ sa H = ∂q

∂κ (25)

U principu razlikujemo tzv. izotropno i kinematsko pravilo očvrščavanja materijala. Kod izotropnog očvršćavanja funkcija tečenja raste odnosno opada u svim smjerovima proporcionalno s varijablom očvrščavanja κ, dok kod kinematskog očvršćavanja to nije slučaj.

Tangentna krutost materijala u formi tenzora četvrtog reda za slučaj tečenja materijala dobiva se iz izraza za inkrementalnu vezu naprezanja i deformacije

σ = Ctan

pl : ε − λm⎡⎣ ⎤⎦ (25x)

Kombinacijom gornjeg izraza sa inkrementalnom formom funkcije tečena (xx) i izrazom za plastični multiplikator (xx) dobiva se tangentna matrica krutosti

Ctanpl = Cel − Cel :m⊗ n :Cel

n :Cel :m −∂Φ pl

∂q⋅H ⋅

∂Φ pl*

∂q

(25)

Gornji tenzor krutosti je u najopćenitijem slučaju nesimetričan. Međutim, uz pretpostavku da je funkcija tečenja jednaka funkciji plastičnog potencijala (m = n) tenzor postaje simetričan. U takvom slučaju kažemo da se radi o tzv. asocijativnom pravilu tečenja materijala dok se u najopćenitijem slučaju radi o neasociativnom pravilu tečenja što znači da vektor prirasta plastične deformacije nije okomit na funkiju (plohu) tečenja.

Kriterij tečenja

Za realni opis nelinearnog ponašanja materijala kriterij tečenja jedan je od najvažnijih parametara. Za metale se najčešče koristi von Mises-ov kriterij tečenja i kriterij tečenja prema Tresca-i (von Mises, 1913; Tresca, 1867). Za kvazi krte materijale, kao što je beton, klasični kriteriji tečenja su Drucker–Prager-ov i Mohr–Coulomb-ov (Drucker and Prager, 1952; Mohr, 1900). No, danas za beton postoje i znatno kompleksniji ali i realniji kriteriji (Jirásek and Bažant, 2002).

Kriterij tečenja za metale

Kriterij tečenja za kvazi-krte materijale

Mikroravninski model

U klasičnim makroskopskim modelima tenzori naprezanja i deformacija (tenzori 2. reda) su međusobno vezani tenzorom krutosti materijala (tenzor 4. reda) koji se dobiva sljedeći osnovne principe ireverzibilne termodinamika. Konstitutivni zakon materijala je tipično definiran kao funkcija invarijanti naprezanja ili deformacija. U slučaju mikroravninskog modela osnovna ideja je praćenje jedno-osnih deformacija odnosno naprezanja u unaprijed definiranim smjerovima. Svaki takav smjer definira jednu mikroravninu. Integracijom naprezanja po svim smjerovima (mikroravninama), uz uvažavanje zakona ireverzibilne termodinamika, iz unaprijed poznatih deformacija moguće je izračunati makroskopski tenzor naprezanja odnosno tenzor krutosti materijala (konstitutivni zakon). Model je principijelno sličan diskretnim modelima u kojima se materijal simulira štapnim elementima s jednoosnim konstitutivnim zakonom ponašanja materijala

koji mogu biti pravilno („lattice“ model) ili nepravilno („random particle“ model) raspoređeni u prostoru. Razlika je samo u tome što je mikroravninski model formuliran u okviru kontinuma. S fizikalne točke gledišta, mikroravnine predstavljaju ravinie oštećenja odnosno oslabljenja materijala kao npr. kontaktne površine između cementnog morta i agregata u betonu. (vidi Sl. xx).

Principjelna ideja vezana uz mikroravninski model dolazi od O. Mohr-a (1900), koji je postulirao da se stanje naprezanja u točki kontinuma može opisati naprezanjima na površni infenitenzimalno male kugle s centrom u promatranoj točki kontinuuma. Ovaj koncept je za plastične materijalae dorađen od G.I. Taylor-a (1938) i kasnije u detalje razvijen za modeliranje metala pod nazivom "slip theory of plasticity'' (Batdorf and Budianski, 1949). Početkom 80-tih koncept je proširen radovima Bažanta i suradnika za modeliranje kvazi krtih materijala koji pokazuju ne samo očvršćenje nego i omekšanje (Bažant i Gambarova, 1984; Bažant i Prat, 1988; Bažant i Ožbolt, 1990; Carol, et al., 1992; Bažant et al., 1996a,b; Bažant et al., 1998).

Za elastične materijale te za materijale koji pokazuju samo očvršćenje pretpostavilo se da je vektor naprezanja na mikroravnini projekcija makroskopskog tenzora naprezanja u točki kontinuma. Ovaj pristup predstavlja tzv. statički uvjet izračuna naprezanja na mikroravninama. Za materijale koji pokazuju omekšanje ovakav postupak nije jednoznačan jer za slučaj monotonog opterećenja za jedno naprezanje postoje više nego jedna deformacija. Da bi se osigurala jednoznačnost rješenja treba koristiti tzv. kinematski uvjet (Bažant, 1984) kod kojeg se deformacija na mikroravninama izračunavaju kao projekcije makroskopskog tenzora deformacije u točki.

Makro-mikro relacije za kvazi krte materijale iz 80-tih godina bazirane su na postavci da virtualni rad naprezanja na svim mikroravninama mora biti jednak virtualnom radu na makro nivou. Kasnije je pokazano da ovakav pristup može u nekim slučajevima generirati negativnu disipaciju odnosno ne zadovoljiti drugi zakon termodinamike (xx). Zbog toga je uveden koncept koji bazira na osnovnim principima termodinamike te glasi:

ψ = 34π

ψm

S∫ wmdS (25)

gdje je ψm slobodna energija mikroravnine m, S je površina kugle jediničnog radijusa, wm je težinska funkcija koja definira doprinos odgovarajuće mikroravnine. Ukoliko je wm =1 materijal je u početnom stanju izotropan. Ukoliko je potrebno opisati materiajal koji je u početnom stanju anizotropan tada je wm ≠1 te različit za različite mikroravnine. Jednadžba (xx) implicira da je integral ψm preko svih mikroravnina jednak Helmholtz-ovoj slobodnoj energiji na makro nivou.

Većina mikroravninskih modela koji se koriste u računalnoj mehanici kontinuma je formulirana u okviru kinematskog uvjeta. U jednom od prvih modela za kvazi krte materijale (Bažant i Oh, 19xx) totalni tenzor deformacija je proiciran u smjeru normale mikroravnine (tzv. N-podjela). U takvom relativno jednostavnom modelu nije moguće kontrolirati Poisson-ov broj koji je konstantan i jednak 0.25. Pored toga s takvim modelom nije moguće realistično opisati ponašanje betona za slučaj dominantnog tlačnog naprezanja. U sljedećem koraku predložen je model s tzv. N-T-podjela gdje je makroskopski tenzor deformacija na mikroravnini rastavljen na normalnu i posmičnu komponentu. Kod ovog modela moguće je kontrolirati Poisson-ov broj kao ulazni parametar, no za dominantno tlačno naprezanje model nije objektivan. Zbog toga je model dalje razvijen tako da je normalna

komponenta rastavljena na volumetrijski i devijatorski dio (tzv. V-D-T-podjelapodjela). Različite varijante ovog modela pokazuju da je ovakav model u stanju realno opistai ponašanje betona za različite složene uvjete naprezanja. Motiviran činjenicom da model baziran na V-D-T-podjelapodjela-u interno ima suvišan broj internih varijabli, nedavno je predložen model s V-D-podjepodjelaom koji je zapravo specijalni slučaj V-D-T modela u kojem je D-komponenta zanamarena, odnosno jednaka nuli.

Osnovna prednost mikroravninskog modela je njegova jednostavnost i općenitost. Izborom realtivno jednostavnih jednoosnih konstitutivnih zakona za komponente deformacija i naprezanja na mikroravninama moguće je dobiti makroskopski konstitutivni zakon za bilo koji elastični ili neelastični materijal. Nadalje, kao što će biti pokazano kasnije, moguće je relativno jednostavno uzeti u obzir početnu anizotropiju materijala. Glavni nedostatak modela je činjenica da, osim u specijalnim slučajevima, nije moguće eksplicitno definirati vezu između konstitutivnih zakona na mikroravnini i makroskopskih svojstava materilala. To znači da je za poznata makroskopska svojstva materijala (npr. čvrstoća i energija sloma) potrebno provesti tzv. inverznu analizu. Pored toga, realistični modeli koji su bazirani na V-D-T-podjeli za nesimetrične materijale kao što je beton pokazuju za slučaj jednoosnog vlačnog naprezanja u području omekšanja materijala nerealnu lateralnu ekspanziju. Ovaj se problem može riješiti npr. relaksacijom kinematskog uvjeta za slučaj dominantnog vlačnog naprezanja.

Za najopćenitiju formulaciju mikroravninskog modela koji se bazira na V-D-T-podjela-u, mikroravninski vektor deformacije e može se izračunati kao:

e = εNn + εT εN = εV + εD (25)

gdje je n normala mikroravnine, εN i εT su normalna i posmična komponenta deforancija na mikroravnini. Normalna komponenta deformacije je rastavljena na volumetrijsku (εV) i devijatorsku komponentu (εD). Komponente vektora deformacija na mikroravnini su izračunate iz makroskopskog tenzora deformacije ε (kinematski uvjet):

εV =V : ε εD = D : ε εT = T : ε (25)

gdje su V, D i T tenzori geometrijske projekcije definirani kao:

V = 1

31 D = n⊗ n - 1

31 T = n ⋅ I − n⊗ n⊗ n (25)

gdje je 1 jedinični tenzor drugog reda dok je I simetričan jedinični tenzor četvrtog reda. Treba naglasiti da su u jednadžbi (xx) εV i εD skalari dok je εT vektor.

Da bi se definirao konstitutivni zakon materijala na makro nivou potrebno je najprije izabrati konstitutivhi zakon materijala na mikroravnini. Za beton jednodimenzionalni konstitutivni zakon na mikroravnini najčešće se definira u okviru skalarne teorije oštećenja

∂ψm

∂εV:= σV = EVεV ; EV = (1− dV )EV

0; dV = φV (γ V )

∂ψm

∂εD:= σ D = EDεD; ED = (1− dD )ED

0 ; dD = φD (γ D )

∂ψm

∂εT:= σT = ETεT ; ET = (1− dT )ET

0; dT = φT (γ T )

(25)

gdje su za svaku komponentu na mikroravnini (V, D, T), E0 i E krutosti neoštećenog odnosno oštećenog materijala, a γ je interna varijabla koja kontrolira parametar oštećenja d. U najjednostavnijem slučaju ϕ(γ)=d. Uz predpostavku da vrijedi superpozicija energije po smjerovima nikroravnine, ukupna slobodna energija mikroravnine je:

ψ(εV ,εD ,εT ) = 1

2εV EVεV + 1

2εD EDεD + 1

2εT ⋅ ETεT (25)

Uvrštavanjem izraza (xx) u jednadžbu (yy) uz korištenje (zz), makroskopski tenzor naprezanja može se izračunati iz mikroravninskih komponenti naprezanja kao:

σ = 3π

4V EVεV + DEDεD +T T ⋅ETεT( )

S∫ w(n)dS (25)

Makroskopska veza između naprezanja i deformacija može se definirati u sekantnoj (totalna) ili tangentnoj formulaciji:

σ = C sec :ε σ = C tan : ε (25)

gdje su Csec i Ctan sekantni odnosno tangentni tenzori krutosti četvrtog reda. Iz jednadžbe (xx) uz korištenje (xx) i (zz), sekantni tenzor krutosti glasi:

C sec = 3π

4EVV ⊗V + EDD⊗ D + ETT

T ⋅T( )S∫ w(n)dS (25)

Tangentnu krutost moguće je dobiti iz inkrementalne formulacije sekantne veze naprezanja i deformacije (lijevi dio izraza xx):

σ := C tan : ε = C sec : ε + C sec :ε

C tan : ε = C sec : ε + 34π

EVV ⊗V + EDD⊗ D + ETTT ⋅T( )

S∫ w(n)dS⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ :ε

(25)

Iz (xx) uz korištenje (yy) tangentni tenzor krutosti glasi:

C tan = C sec −

34π

∂φV∂γ V

σV2

1− dV( )2V ⊗V + ∂φD

∂γ D

DT ⋅ σ D ⊗σ D

1− dD( )2⋅ D + ∂φT

∂γ T

T T ⋅ σT ⊗σT

1− dT( )2⋅T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟S∫ w(n)dS

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

(25)

Ovisno o izboru funkcije oštećenja tangentni tenzor krutosti biti će simetručan ili nesimetričan. Ukoliko je oštećenje funkcija makroskopske ili mikroravninske deformacije, tenzor krutosti će u pravilu biti ne simetričan. No, ukoliko oštećenbje ovisi o energiji, tenzor će biti simetričan. Gornji integrali vezani za izračun naprezanja i krutosti provodi se numerički korištenjem približne formule:

4π3 S∫ ≅ ωκ

κ =1

n

∑ (25)

u kojoj index κ označava diskretni set mikroravnina na kugli jediničnog radijusa s odgovarajućim koeficijentom numeričke integracije (težinski faktor). Uobičajno se u neumričkim intergacijama koristi 21 integraciona točka (n =21) za polovicu kugle (simetrija).Najopćenitije verzije mikroravninskog modela koji se najčešće koriste u numeričkim simulacijama bazirane su na V-D-T podjeli. Kod ovakve formulacije posmična komponenta T obično se rastavlja na dvije međusobno okomite posmične komponente M i N koje imaju za svaku mikroravninu unaprijed definirane smjerove. Parametar oštećenja je za svaku komponentu na mikroravnini definiran unaprijed zadanim jednodimenzionalnim konstitutivnim zakonom. S izuzetkom volumetrijske kompresije, tipični izraz koji definira oštećenje u smjeru odgovarajuće komonente glasi:

di = 1− exp − γ i

m / ai( )bi⎡⎣

⎤⎦ gdje je γ i

m = εim; i = V,D,T (25)

gdje su a i b interni parametri koji za slučaj vlaka odnosno tlaka nisu jednaki. Ovo je posljedica činjenice da vlačna i tlačna čvrstoća materijala na makro nivou u općem slučaju nisu jednake. Tako je npr. za beton jednoosna tlačna čvrstoća približno 10 puta veća od vlačne čvrstoće. Uz predpostavku da je inicialno elasičan i izotropan, što je za beton realna pretpostavka, za poznate makroskopske karakteristike matertijala (modul elastičnosti i Poisson-ov broj), inicijalne mikroravninske krutosti za volumetrijsku, devijatorsku i posmičnu komponentu (EV0, ED0 i ET0) može se dobiti izjednačavanjem inicijalne sekantne (xx) ili tangentne (yy) matrice krutosti sa matricom krutosti generaliziranog Hook-ov zakona za izotropan i elastičan materijal. Obzirom da za makroskopsku krutost postoje dvije nezavisne materijalne konstante, a mikroravniski model s V-D-T podjelom ima tri nezavisne konstantne, da bi se jednoznačno odredili parametri krutosti na mikroravnini poptrebno je reducirati broj nezavisnih varijabli na dvije. To se obično radi tako da se pretpostavi da su za inicialno stanje volumetrijska i devijatorska krutost vezane preko parametra η= EV0/ED0.Za modeliranje početne anizotropije postoje dvije mogućnosti. Prva relativno jednostvna mogućnost je stavljanje w(n) u iednadžbi (xx) kao funkciju orjentacije mikroravnine u odnosu na smjer glavnih osi anizotropije. U principu, ako se smjer mikroravnine poklapa sa smjerom u kojem je materijal slab funkcija w(n) = 0, a ukoliko se poklapa sa najjačim smjerom w(n) = 1. Glavna poteškoća kod

kod toga je izbor funkcije w(n) koja će osigurati makroskopske karakteristike materijala. Druga općenitija varijanta je da se u raznim smjerovima koriste različiti konstitutivi zakoni materijala ovisno o makroskopskim svojstvima u tim smjerovima.Pored gornje formulacije mikroravninskog modela, postoje i druge mogućnosti. Naime, umjesto da se definiraju jednoosni konstitutivni zakoni za svaku mikroravninsku komponentu, može se za svaku mikroravninu definirati integralni kriterije nosivosti, slično kao kod klasičnih makroskopskih modela.

Modeli „razmazanih pukotina“

U modelima razmazanih pukotina ukupna deformacija rastavlja se na elastičnu εel i deformaciju koja pripada pucanju materijala εcr:

ε = ε el + ε cr ε = ε el + ε cr (25)

Neraspucani materijal moguće je modelirati bilo kojim linearnim ili nelinearnim konstitutivnim zakonom no najčešće se korisi linearno elastični model (generalizirani Hooko-ov zakon):

σ = Cel :ε el (25)

Deformacija pucanja εcr predstavlja prosječnu („razmazanu“) deformaciju koja pripa otvaranju pukotine. Pretpostavlja se da se pukotina inicira onda kada stanje naprezanja dosegne plohu sloma. Uobičajno je da se kao kriterij sloma koristi Rankine-ov kriterij sloma prema kojem se pukotina počinje otvarati kada glavna vlačna naprezanja dosgnu vlačnu čvrstoću. Istodobno kriterij sloma definira i smjer pukotine koji se u slučaju Rankine-ovog kriterija poklapa s smjerom glavnog naprezanja. Konstitutivni zakon koji definira ponašanje pukotine definira se u lokanom koordinatnom sistemu u ravnini pukotine a određen je s normalom na pukotinu n te s dva međusobno okomita smjera m i l u ravnini pukotine ad predstavljaju posmično punašanje u ravnini pukotine. Vezano uz konstitutivni zakon u ravnini pukotine, komponente vektora deformacije ecr

definirane su u lokalnom koordinatnom sistemu ravnine pukotine dok se veza između εcr i εcr dobiva geometrijskom transformacijom kao (Voight-ova notacija):

ε cr = Tecr gdje je : ε cr =

ε xxcr

ε yycr

ε zzcr

γ yzcr

γ xzcr

γ xycr

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

; T =

nx2 nxmx nxlxny2 nymy nylynz2 nzmz nzlz

2nynz nymz + mynz nylz + lynz2nxnz nxmz + mxnz nxlz + lxnz2nxny nxmy + mxny nxly + lxny

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

; ecr =

εnncr

γ nmcr

γ nlcr

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

(25)

gdje su ni, mi i li, (i = x, y, z) komponente jediničnih vektora smjerova n, m i l izražene u globalnom koordinatnom sistemu.

Komponente vektora deformacije ecr su direktno vezane uz komponente naprezanja ravnine s

s =snnsnmsnl

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪; s = T Tσ (25)

koji je, iz uvjeta ravnoteže, projekcija tenzora naprezanja σ na ravninu čija je normala n. Naprezanje u ravnini pukotine s vezano preko matrice transformacije T sa tenzorom naprezanja σ u točki. Za razliku od metode kohezivnih pukotina, gdje je konstitutivni zakon pucanja materijala definiran vezom naprezanja i širine pukotine, u modelima „razmazanih“ pukotina konstitutivni zakon na razini pukotine definiran je vezom naprezanja i deformacije koja odgovara određenoj širini pukotine. S fizikalne točke gledišta, deformacija predstavlja deformaciju tzv. proces zone s time što produkt širine proces zone i deformacije odgovara širini pukotine. U metodi konačnih elemenata širina proces zona definirana je veličinom konačnih elemenata tako da produkt deformacije mjerene okomito na smjer širenja pukotine s veličinom konačnog elementa definira širinu pukotine. Za slučaj jednostavnog Mode-I pucanja, naprezanje normalno na površinu pukotine tretira se kao padajuća funkcija deformacije u smjeru normale na pukotinu i predstavlja omekšanje materijala:

snn = f εnncr( ) (25)

Fukcija f može se relativno jednostavno dobiti iz jednoosnog vlačnog eksperimenta.Gornji konstitutivni zakon pucanja je dovoljan za tzv. model rotirajućih pukotina koji pretpostavlja da normala na pukotinu rotira i poklapa se sa smjerom glavnih vlačnih deformacija. U tom slučaju su posmične komponente deformacija (ecr) i naprezanja (s) jednake nuli. Za razliku od tog modela u modelu tzv. fiksnih pukotina pretpostavka je da se smjer pukotine nakon inicijalizacije ne mijenja tokom dalnjeg opterećenja. U tom slučaju pukotina može prenjeti i posmična naprezanja koja su posljedica trenja koje se aktivira usljed međusobnog posmičnog proklizavanja površina pukotine. U najjednostavnijoj verziji modela fiksnih pukotina posmično naprezanje se uzima proporcijonalno sa posmičnom deformacijom s faktorom proporcionalnosti βG, gdje je G modul smika a β < 1 je tzv. „shear retention“ faktor. Ovakva pretpostavka nije sasvim realna jer takav model može prenjeti relativno velika posmična naprezanja čak i u slučaju kada je pukotina sasvim otvorena. Ako se β

tretira kao konstanta obično se uzima male vrijednosti (β = 0.01). Znatno realnije je pretpostaviti β kao promjenljivu funkciju širine pukotine tako da u slučaju kritične širine pukotine β postane nula. Nadalje, također je moguće definirati vezu između s i ecr u okviru postavki mehanike oštećenja, s skalarnim parametrom oštećenja koji ovisi o ekvivalentnoj deformaciji izračunatoj iz ecr. No, bez obzira na izbor konstitutivnog zakona, veza između naprezanja i deformacija u ravnini pukotine može se u inkrementalnoj formi dobiti kao:

s = Dcr ecr (25)

gdje je Dcr tangentna matrica krutosti pukotine.Kombinacijom inkrementalnih formi jednadži (xx-yy) dobiva se:

s = Del eel = Del ε − ε cr( ) = Del ε − T ecr( ) (25)

Uvrštavanjem gornjeg izraza u inkrementalnu formu od (xx) te usporedbom sa (xx) dobiva se set jednadžbi

ecr = T TDelT + Dcr( )−1T TDel ε (25)

U gornjem izrazu TT Del T predstavlja transformaciju globalne elastične matrice u elastičnu matricu lokalnog koordinatnog sistema pukotine. Ako su elastična svojstva materijala izotropna sa modulom elastičnosti E i Poisson-ovim brojem ν onda vrijedi

Del = T TDelT = E1+ ν( ) 1− 2ν( )

1−ν 0 00 1− 2ν( ) / 2 00 0 1− 2ν( ) / 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

(25)

Gornja matrica krutosti je neovisna o orjentaciji lokalnog koordinatnog sistema (pukotine). Nadalje, ukoliko posmični zakoni pucanja nisu vezani s normalnim zakonom pucanja, tada je matrica Dcr dijagonalna a zbog toga je inverzija matrice iz (xx) jednostavan. Uvrštavanje izraza (xx) u (zz) dobiva se inkrementalna veza između tenzora naprezanja i deformacije kao:

σ = D ε sa D = Del − DelT Del + Dcr( )−1T TDel

(25)

gdje je D tangentna matrica krutosti materijala.

Gornja formulacija odnosno konstitutivni zakon pukotine bazira na pretpostavci monotonog opterećenja. Za slučaj rasterećenja odnosno ponovnog opterećenja potrebno je definirati odgovarajući konstitutivni zakon. Najčešće se koristi tzv. sekanto rasterećenje u nulu što fizikalno znači se pukotina pri rasterećenju potpuno zatvara. Druga mogućnost je rasterećenje uz pretpostavku da se pukotina ne zatvari u potpunosti, odnosno da nakon rasterećenja postoji rezidualna deformacija pucanja.

Formulacija bazirana na metodi fiksnih pukotina može se generalizirati za slučaj s m pukotina različitih orijentacija. Pri tome se nove pukotine mogu aktivirati samo u unaprijed definiranim smjerovima. Osnovne jednadžbe formalno su iste kau za slučaj jedne pukotine ali matrica naprezanja s i deformacija ecr sastoje se od blokova koji odgovaraju pojedinačnim pukotinama: Analogno tome matrica transformacije se također sastoji od blokova pojedinačnih matrica transformacije dok tangentna matrica postaje blok-diagonalna

s =

s1s2sm

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

, ecr =

e1cr

e2cr

emcr

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

, T = T1 T2 … Tm⎡⎣

⎤⎦, D

el =D1

el … 0 0 Dm

el

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

(25)

Za odabrani broj pukotina postoji 2m mogućih kombinacija opterećenja i rasterećenja a s tim vezano problem je naći onu kominaciju koja je korektna. Drugi problem je odrediti korektan kriterij inicijalizacije pukotine obzirom da one međusobno imaju utjecja jedna na drugu. Teoretski mogući broj pukotina je beskonačno velik, no da bi se izbjegli gore navedeni problemi obično se broj pukotina ograničava tako što se definira minimalni kut između dvije pukotine. Na kraju treba napomenuti da u metodi fiksnih pukotina ne postoji koaksialnost glavnih naprezanja i deformacija, odnosno smjerovi glavnih deformacija i naprezanja se u najopćenitijem slučaju ne poklapaju.Alternativa metodi višestrukih fiksnih pukotina je model rotirajuće pukotine. Ovdje se pretpostavlja da pukotina mjenja orjentaciju (rotira) zajedno sa promjenom smjera glavnih deformacija. Nadalje najćešće se pretpostavlja da se smjerovi glavnih deformacija i glavnih naprezanja poklapaju (koaksialnost). Kao posljedica toga u ravnini pukotine nema posmičnih deformacija niti naprezanja što pojednostavljuje konstitutivni zakon na nivou pukotine jer je njega potrebno definirati samo u smjeru okomitom na ravninu pukotinu. Međutim, obzirom da pukotina rotira potrebno je uzeti u obzir činjenicu da se matrica transformacije T mijenje s promjenom smjera pukotine odnosno da nije konstantna. Tako prirast deformacije pucanja dobivamo kao inkrement izraza (xx):

εcr = Tecr + T ecr

(25)

Ovo komplicira izraz za matricu krutosti koja je za slučaj rotirajućeg koaksialnog modela razmazanih pukotina, u koordinatama glavnih osi (smjerovi pukotina), ipak relativno jednostavna (ref):

D =Cel + Ccr( )−1 0

0 Ds

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Cel = 1E

1 −ν −ν−ν 1 −ν−ν −ν 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Ccr =

D1cr( )−1 0 0

0 D2cr( )−1 0

0 0 D3cr( )−1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

(25)

gdje je Cel matrica fleksibilnosti elastičnog izotropnog materijala u glavnim koordinatama a Ccr

matrica flexibilnosti pukotine a Dcr je krutost koja pripada Modu-I otvaranja pukotine u tri glavna smjera deformacija (1,2,3). U slučaju da u nekim od glavnih smjerovima deformacija nema pucanja (glavna deformacija negativna) dijagonalni član jendanak je nuli. Blok matrica krutosti koja pripada posmičnim komponentama globalnih naprezanja i deformacija je:

Ccr =

s2 − s32 e2 − e3( ) 0 0

0 s3 − s12 e3 − e1( ) 0

0 0 s1 − s22 e1 − e2( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(25)

gdje su si i ei glavna naprezanja odnosno deformacije, i=1,2,3. Iz (xx) može se uočiti da je posmična krutost jednoznačno definirana samo onda ako parovi glavnih deformacije nisu jednake. To je ujedino jedna od slabih strana ove formulacije.Najveći nedostakak svih modela baziranih na konceptu „razmazanih“ pukotina je činjenica da model sa stajališta mehanike kontinuuma na nekonzistantan način uzima u obzir diskontinuitet materijala (pukotine). Kao posljedica toga u metodi konačnih elemenata, koja bazira na konceptu kontinuuma, u općenitom slučaju može doći do pojave tzv. „stress lockinga“. Naime, u slučaju simulacija Moda-I sloma deformacije koje teže ka neizmjernosti (otvorena pukotine) naprezanja u smjeru okotom na smjer pukotine teže ka konstantnoj vrijednosti različitoj od nule, što naravno nije korektno jer naprezanja trebaju biti reducirana na nulu. Ova anomalija javlja se samo onda ako smjer pukotine nije paralelen s stranicama konačnih elemenata, što za trokutaste konačne elemente nikad nije slučaj. Nedostatak se može ukloniti samo tako da se mreža konačnih elemenata adaptira na smjer pukotine. To znači da je s porastom pukotine potrebno napraviti novu prostornu diskretizaciju koja je „kompatibilna“ s geometrijom pukotina.

Armatura

Kao što je poznatao, armatura se u betonu koristi sa preuzimanje vlačnih sila nakon pucanja betona. Zahvaljujući relativo velikoj krutosti čelika koji se koristi u armirano-betonskim konstrukcijama te dobroj posmičnoj vezi između betona i čelične armature (tzv. „bond“), promjena krutosti porečnog presjeka (npr. grede) nakon pucanja betona nije izrazito velika te se unutrašnje sile na mjestu pukotine mogu bez većih dinamičkih efeketa (udara) prenjeti preko armature ponovo u beton. Osim toga, zahvaljujući dovoljno velikoj krutosti čelične armature proračun unutrašnjih sila usljed vanjskog opterećenja moguće je provesti po teoriji elastičnosti a dimenzioniranje po teoriji graničnih stanja. Ovakav način dimenzioniranja armirano-betonskih konstrukcija ne bi bio moguć kada bi npr. armatura bila od bakra, aluminija ili nekog polimera koji ima znatno manju krutost od čelika. Nadalje, za razliku od betona, čelik spada u grupu elasto-plastičnih materijala koji osiguravaju duktilnost konstrukcije te omogućuju preraspodjelu unutrašnjih sila, naravo samo onda ukoliko je slom konstrukcije po armaturi. Tipični radni dijagrami armature pokazani su na sl. (xx).

Konstitutivi zakon za modeliranje armature ovisi o tipu numeričke analize odnosno o diskretizaciji armature. U principu armatura se može diskretizirati: (i) diskretno, 1D štapnim konačnim elementima odnosno 2D ili 3D konačnim elementima, ili (ii) „razmazano“ tako da se armatura integrira unutar 2D ili 3D konačnih elemenata koji predstavljaju beton. Bez obzira na način modeliranja armature, potrebno je uočiti da se vlačne sile iz armature moraju prenjeti u beton. Zbog se, bez obzira na način modeliranje armature, taj prenos sila modelira tzv. „bond“ elementima koji su definirani konstitutivnim zakonom koji veže posmične sile (naprezanja) na obodu armature kao

funkcija proklizavanja armature. Ukliko se „bond“ ne modelira explicitno onda se pretpostavlja kruta veza između betona i armature.

U slučaju diskretnog 1D modeliranja armature, konstitutivni zakon je jednodimenzionalan s tipičnom vezom između nominalnog naprezanja i deformacije prema Sl. (xx). Ovdje postoje dvije mogućnosti: (a) čvorovi štapnih elemenata se poklapaju s čvorovima betonskih elemenata i (b) koriste se tzv. „embeded“ štapni elementi kod kojih se čvorovi ne poklapaju s čvorovima betonskih elemenat. Glavni nedostatak varijante (a) je što se mreža konačnih elemenata betona mora prilagoditi položaju armature, što je u inženjerskim aplikacijama često vrlo nepraktično. Mnogo je bolja varijanta (b) kod koje je se armatura može voditi neovisno o diskretizaciji betona, no u tom slučaju potrebno je krutost armature pridodati krutosti betonskog elementa kroz koji ona prolazi uz korištenje statičke kondenzacije.

Za slučaj da se armatura diskretizira 2D ili 3D konačnim elementima (detaljna analiza) kao konstitutivni zakon koristi se teorija inkrementalne plastičnosti, najčešće s kriterijem tečenja prema von Mieses-u. Ovaj način modeliranja armature zahtjeva 3D diskretizaciju armaturnopg štapa. Pri tome je moguće modelirati rebra armature tako da se automatski modelira i „bond“, odnosno mehanički dio posmične veze između armature i betona koji je u slučaju rebraste armature dominantan. Ako se rebra armature ne diskretiziraju onda je potrebno bond modelirati na drugi način, npr. diskretnim kontakt elementima.

45°

hs

bs

ds

cs

Ukoliko se armatura modelira „razmazano“ unutar betonskog elementa tada je potrebno modificirati betonskoi element tako da taj element u smjeru armature korektno reprezentira krutost i čvrstoću kompozita armature i betona u smjeru osi armature, dok se u smjerovima okimitim na os armature pretpostavlja da je aktivan samo beton.

Bond

Kao što je već spomenuto, armirano-betonske konstrukcije mogu pravilno funkcionirati ukoliko je moguć prijenos sie iz armature u beton. Ovaj prijenos ostvaruje se posmičnim naprezanjima izbeđu armature i beona, tzv. „bond“. U starijim konstrukcijama koristila se uglavnom glatka armatura gdje se posmična veza ostvaruje adhezijom odnosno trenje između betona i armature. U današnjim suvremenim konstrukcijama koristi se redovito rebrasta armatura gdje se posmična naprezanja prenose mehanički, adheziono i trenjem. No najveći dio posmične sile prenosi se mehanički. Dobra veza između armature i betona značajna je i zbog trajnosti konstrukcije. Naime, uz slabu posmičnu vezu (glatka armatura) betonski elementi opterećeni vlačnom silom pucaju tako da je razmak pukotina relativno velik a isto tako i širina pukotine Time se znatno povećava rizik korozije armature za slučaj agresivne sredine. Upotrebom rebraste armature veza između betona i armature je znatno bolja čime valčno opterećeni element dobivaju više pukotina koje su manje širine tako da je rizik korozije smanjen.

Do sada je proveden znatan broj experimentalnih i numeričkih straživanja u svrhu boljeg razumjevanja i modeliranja veze izmađu armature i betona za slučaj monotonog i cikličkog opterećenja (CEB Bulletin 230, 1996).

Samo na osnovi eksperimentalnih straživanja nije jednostavno istražiti utjecaj materijalnih i geometrijskih parametara na bond. Zbog toga je korisno imati numerički model koji je u stanju realno opistai utjecaj geometrijskih i materijalnih parametara na posmičnu vezu betona i armature. U principu postoje dvije grupe bond modela: (i) fenomenološki model koji se bazira na tzv. bond-slip kontakt elementu, koji može biti diskretnog tipa ili formuliran na osnovi mehanike kontinuuma i (ii) model baziran na detaljnoj 3D analizi tako da se geometrija kontakta armature i betona modelira 3D konačnim elementime. Obzirom da je druga grupa modela vrlo zahtjevna, u inženjerskoj praksi koristi se redovito fenomenološki modeli (fib Bulletin No. 10 (2000)).

U slučaju fenomenološkog modela betonska konstrukcija te armatura su modelirani sa 2- ili 3D konačnim elementima. Veza između armature i betona može biti realizirana u sklopu kontinuuma ili diskontinuuma. Za slučaj kontinuuma koristi se makroskopska konstitutivna veza između naprezanja i deformacija dok se u slučaju diskontinuuma koristi kontakt element koji su definirani vezom između posmičnog naprezanja i relativnog proklizavanja između betona i armature (tzv. bond-slip veza). Oba pristupa su u stnju realno opisati transfer sile iz armature u beton samo onda ako se koristi realan model betona odnosno armature. Međutim, ovi modeli nisu u stanju automatski predvidjeti bond za npr. zadanu geometriju armature (npr. veličina rebra i njihov razmak ili promjer šipke). Zbog toga utjecaj relevantnih parametara mora biti određen eksperimentalno i na osnovu njih model se mora kalibrirati. Kad je model jednom kalibriran moguće je predvidjeti utjecan veze armature i betona na ponašanje bilo kakve konstrukcije.

Iskustvo s korištenjem bond modela pokazuje da čak i u slučaju perfektnog bond modela postoji problem realnog simuliranja transfera posmičnih sila iz armature u beton. Ovaj se transfer događa u ograničenom volumenu betona u okolici armature. Da bi se osigurala objektivnost analize obzirom na veličinu konačnih elemenata, analiza u okolici armature mora biti nelokalna odnosno veličina konačnih elemenata u kontaktnoj zoni mora biti vezana na promjer šipke armature.

Općeniti diskretni model posmične veze armature i betona (bond model)

Generalni concept

Bond model ima zadatak simulirati vezu između betona (2D ili 3D konačni element) i šipke armature (najčešće 1D štapni konačni element). U općenitoj 3D analizi najčešće se pretpostavlja da je veza okomito na smjer armature kruta te se razmatra samo veza (proklizavanje) u smjeru osi armature. Kada se rebrasta armatura čupa iz bloka betona, pored posmičnih naprezanja u smjeru osi armature, u ravnini poprečno na os armature generiraju se i tlačna radijalna naprezanja te vlačna tankencijalna naprezanja. Za određeno proklizavanje armature radijalna naprezanja ovise o geometiji armature (promjer te veličina i razmak rebara) kao i o geometriji betonske konstrukcije (armatura blizu ruba sa ili bez vilica, ..). Veća radijalna naprezanja generiraju i veća tangencijalna vlačna naprezanja. Ukoliko tangencijalno naprezanje dostigne vlačnu čvrstoću betona dolazi do formiranja radijalnih pukotina i automatskog pada posmične čvrsoće jer iz uvjeta ravnoteže ne

postoji mogućnost porasta radijalnih odnosno tangencijalnih naprezanja a posljedično niti mogućnost prirasta posmičnih naprezanja.

Da bi se korektno modelirao utjecaj stanja naprezanja betona u okolici armature na posmičnu vezu armature i betona potrebno je za svaki element armature odrediti prosječna (nelokalna) radijalna naprezanja. Ovdje treba napomenuti da rezultirajuća radijalna naprezanja dobivamo kao superpoziciju radijalnih naprezanja od čupanja armature te radijalnih naprezanja nastalih kao rezultat vanjskog opterećenja. Ukoliko su radijalna tlačna naprezanja veća od referentnih, koja odgovaraju slučaju kada se armatura čupa iz bloka betona čiji su rubovi dovoljno daleko udaljeni od armature, tada posmična čvrstoća čupanja armature raste. U protivnom, dolazi do degradacija posmične čvrstoće. Interakcija između radijalnih i tangencijalnih naprezanja uzima se u obzir na dva načina: (i) direktno, tako što se posmična čvrstoća explicitno povećava kao funkcija radijalnog tlačnog naprezanja i (ii) indirektno, time što veća posmična naprezanja iz uvjeta ravnoteže generiraju veća radijalna naprezanja.

Osim stanja naprezanja u betonu, uzdužna deformacija u armaturi ima značajan utjecaj na bond. U principu porastm vlačne deformacije posmična čvrstoća između betona i armature opada zbog efekta kontrakcije poprečnog presjeka armature. Nadalje, cikličko opterećenje uzrokuje značajnu degradaciju posmične čvrstoće. Ova dva efekta se u fenomenološkim modelima moraje explicitno modelirat.

Bond model za slučaj monotonog i cikličkog opterećenja

Experimentalni rezultati (CEB Bulletin 230 (1996); fib Bulletin No. 10 (2000)) ukazuju da se prijenos sile iz armature u beton najvećim dijelom ostvaruje preko mehaničke interakcije između rebara armature i betona, te preko trenja. Tako se prema Yankelevsky et al. (1987), ukupna posmična naprezanja sastoje od dvije komponente: (i) mehanička komponenta τm, i (ii) komponenta trenja τf. Nadalje, komponenta trenja može se rastaviti na osnovno (τf,v) i rezidualno trenje (τf,r). Rezidalno trenje je trenje koje se može dobiti nakon što se armaturni štap optereti u jednom smjeru a nakon toga rastereti u suprotnom. Rezidualna komponenta trenja je uvjek prisutna, dok se osnovno trenje aktivira samo ako se armaturni štap opterećuje u prethodno još neopterećenom području odnosno u području prethodno nedostignutog proklizavanja armature.

Na osnovi rezultata experimentalnih ispitivanja (Eligehausen et al., 1983; Malvar,1992; Lowes et al., 2001), karakteristični parametri kojima je definirana veza između posmičnog naprezanja (bond) i proklizavanja dati su u Tabeli 1.

Opis parametra Parametarmehanička komponenta posmične čvrstoće τm = τm,0 Ωm [MPa]komponenta trenja τf = τf,0 Ωf [MPa]osnovna komponenta trenja τf,v = (1-0.4) τf [MPa]rezidualna komponenta trenja τf,r = 0.4 τf [MPa]sekantna krutost pri max. posmičnoj čvrstoći ksec [MPa/mm]proklizavanje pri max. posmičnoj čvrstoći s1 = (τm+τf)/ksec [mm]

proklizavanje nakon kojeg posmična čvrstoća počinje opadati s2 = s1+s2* [mm]proklizavanje pri kojem je mehanička čvrstoća nula s3 [mm]krutost rasterećenja kunload [MPa/mm]inicijalna tangentna krutost k1 = kunload [MPa/mm]tangentna krutost za pomak s1 k2 = 0.3ksecant [MPa/mm]

Tab. 1: parametri modela.