p 2_transformasi beserta sifat2ny
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
1/34
TUGAS KELOMPOK
MATKUL GEOMETRI TRANSFORMASI
“Transformasi Beserta Sifat - Sifatnya”
osen Pen!a"ar #
Agus Tut Aryana, S.Pd
is$s$n o%e& #
I Ketut Edi Jaka Purnomo (2013.V.1.000!
I "ayan Karya "idyana (2013.V.1.0103!
#gakan Ketut Angga Jaya S. (2013.V.1.0111!
Aris $a%mudi (2013.V.1.011&!
'URUSAN PENIIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENIIKAN MATEMATIKA AN ILMUPENGETA(UAN ALAM
INSTITUT KEGURUAN AN ILMU PENIIKAN )IKIP* PGRI BALI
+,.
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
2/34
KATA PENGANTAR
Pu'i syukur ke%adirat Tu%an ang $a%a Esa, yang te)a% senantiasa me)im*a%kan ra%matdan %idaya%+#ya, se%ingga kita semua da)am keadaan se%at a)a-iat da)am men'a)ankan
akti-itas se%ari+%ari. Kami 'uga *an'atkan ke%adirat Tu%an ang $a%a Esa karena %anya
dengan keridoan+#ya, maka)a% ke)om*ok kami dengan 'udu) /Trans-ormasi eserta Si-at +
Si-atnya ini da*at terse)esaikan.
Kami menyadari etu) se*enu%nya a%a tan*a antuan dari eragai *i%ak, maka)a%
ke)om*ok kami ini tidak akan teru'ud dan masi% 'au% dari sem*urna. )e% karena itu
dengan sega)a kerenda%an %ati kami er%ara* kritik dan saran demi *eraikan+*eraikan )ei%)an'ut.
Ak%ir kata kami er%ara* agar tugas ke)om*ok kami da*at erman-aat agi semua *ema4a.
5en*asar, ktoer 2016
Tim Peny$s$n
1
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
3/34
AFTAR ISI
7a)aman
KATA PE#8A#TA9 ............................................................................................. i
5A:TA9 ISI ..........................................................................................................ii
A I PE#5A7;
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
4/34
BAB I
PENA(ULUAN
/ Latar Be%a0an!
Se*erti yang kita keta%ui, 8eometri Trans-ormasi ia)a% geometri Eu4)ides yang
*engka'iannya (*ema%asannya! menggunakan trans-ormasi. Pada maka)a% ini akan
dik%ususkan mema%as mengenai trans-ormasi eserta si-at+si-atnya dari geometri eu4)ides
yang meru*akan asi4 dari geometri trans-ormasi itu sendiri. Tidak se*erti *ema%asan
trans-ormasi geometri umumnya se*erti rotasi, geseran, di)atasi atau re-)eksi teta*i
*ema%asannya akan )ei% men'urus ke materi trans-ormasi di)i%at dari segi -ungsi. Ada*un
materinya mengenai trans-ormasi seagai -ungsi, si-at+si-at trans-ormasi, %asi) ka)i
trans-ormasi dan gru* trans-ormasi
.
/+ R$m$san Masa%a&
Ada*un *ermasa)a%an yang diangkat da)am maka)a% ini ada)a% seagai erikut
1. A*aka% trans-ormasi 'uga seagai -ungsi B
2. agaimanaka% si-at+si-at dari trans-ormasi seagai -ungsi B
3. agaimanaka% %asi) ka)i trans-ormasi seagai -ungsiB
&. agaimanaka% gru* dari trans-ormasi seagai -ungsi B
1
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
5/34
/1 T$"$an
Ada*un tu'uan dari kese)uru%an materi di da)am maka)a% ini ada)a%
1. $ema%ami konse* trans-ormasi 'uga seagai -ungsi.
2. $engeta%ui si-at+si-at dari trans-ormasi seagai -ungsi.3. $ema%ami %asi) ka)i trans-ormasi seagai -ungsi.
&. $ema%ami konse* gru* dari trans-ormasi seagai -ungsi.
/2 Manfaat
5i da)am kese)uru%an materi maka)a% ini, tentunya ada eera*a man-aat yang da*at
di*ero)e% yaitu
1. Seagai sumer i)mu *engeta%uan sekunder.
2. Seagai a%an *eme)a'aran untuk )ei% mema%ami dan menda)ami mengenai %a)+%a)
yang erkaitan dengan tu'uan yang ingin di4a*ai dari kese)uru%an materi da)am
maka)a% ini.
BAB II
2
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
6/34
PEMBA(ASAN
+/ Transformasi Se3a!ai F$n!si
+// F$n!si
:ungsi diseut 'uga *emetaan. :ungsi dari %im*unan 7 ke%im*unan K diseut 'uga
*emetaan dari %im*unan 7 ke%im*unan K. erkenaan dengan de-inisi trans-ormasi yang
meru*akan -ungsi i'ekti-, *er)u ter)ei% da%u)u ditegaskan tentang *engertian -ungsi, -ungsi
in'ekti- (satu+satu!, -ungsi sur'ekti- (*adaConto!. :ungsi dari %im*unan 7 ke%im*unan K ia)a%
*erkaanan antara anggota+anggota %im*unan 7 dan seagian atau se)uru% anggota dari
%im*unan K sedemikian se%ingga, setia* anggota dari %im*unan 7 mem*unyai te*at satu
(tidak )ei% dari satu dan tidak kurang dari satu! kaan yang meru*akan anggota dari
%im*unan K.
efinisi # suatu -ungsi - dari %im*unan A keda)am (into! %im*unan , ada)a% suatu
*engaanan yang memasangkan setia* anggota A dengan te*at satu anggota . 5engan notasi
matematika da*at ditu)iskan f : A⟶B meru*akan -ungsi 'ika a , b di A , a=b maka
f (a)=f (b) .
Jika *ada *erkaanan itu anggota yang ereda dari %im*unan 7 mem*unyai kaan
yang ereda *u)a di %im*unan K, maka -ungsi itu diseut -ungsi satu+satu, atau -ungsi yang
in'ekti-, atau -ungsi satu+satu, atau -ungsi into.
efinisi # :ungsi f : A⟶B diseut -ungsi in'ekti- (satu+satu!, 'ika untuk searang a , b
di A dengan f ( a )= f ( B ) maka a D
Jika *ada *erkaanan itu setia* anggota dari %im*unan K men'adi kaan dari anggota
%im*unan 7, maka -ungsi itu diseut -ungsi yang sur'ekti-, atau -ungsi onto.
efinisi #:ungsi f : A⟶B diseut -ungsi sur'ekti- (*adaConto!, 'ika untuk setia* b di
B terda*at a di A sedemikian se%ingga f (a)=b .
3
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
7/34
Jika *erkaanan itu seka)igus into dan onto, atau seka)igu sin'ekti- dan sur'ekti-, maka
-ungsi atau *erkaanan itu diseut kores*ondensi satu+satu dari 7 ke K, atau kores*ondensi
satu+satu antara 7 dan K.
efinisi# :ungsi f : A⟶B diseut -ungsi i'ekti- 'ika - meru*akan -ungsi in'ekti- dan
sur'ekti-. Seringka)i f : A⟶B -ungsi i'ekti- maka dikatakan terda*at kores*ondensi
satu+satu antara A dengan .
Jika - ada)a% -ungsi dari V ke V yang mengaitkan setia* ∈ V dengan y ∈ V maka
ditu)is y D -(! , dinamakan *ra*eta dari y o)e% -, dan y dinamakan *eta dari o)e% -.
5aera% asa) -ungsi terseut ada)a% V dan daera% ni)ainya 'uga V. :ungsi yang demikian
dinamakan -ungsi *ada -.+//+ Transformasi
Suatu trans-ormasi *ada suatu idang V ada)a% suatu -ungsi yang i'ekti- dengan daera%
asa)nya V dan daera% ni)ainya V 'uga. 5i)i%at dari *engertian trans-ormasi maka -ungsi yang
i'ekti- ada)a% seua% -ungsi yang ersi-at
1. Sur'ekti-, artinya Jika T suatu trans-ormasi, maka tia* titik ∈ V ada *ra*eta A ∈
V se%ingga D T(A!. dinamakan *eta dari A dan A dinamakan *ra*eta dari .
2. In'ekti-, artinya Jika A1≠ A2 dan T( A1 ¿=B1 , T( A2 ¿=B2 maka B1≠ B2 , atau
'ika T( P1¿=Q1 dan T( P2¿=Q2 sedangkan Q1=Q2 maka P1= P2 .
erdasarkan si-at+si-at ini, da*at)a% disim*u)kan a%a 'ikaα
ada)a% trans-ormasi, maka,
in>ersnya, yaitu
α 1−
'uga meru*akan trans-ormasi. Pada 4onto% di aa% ini, angga*)a% Vada)a% idang Eu4)ides, artinya *ada %im*unan titik+titik V dier)akukan sistem aiomaEu4)ides.
4onto& #
Andaikan A ∈V . Ada *er*etaan (*adanan! T dengan daera% asa) V dan daera% ni)ai 'uga
V.
Jadi T V V yang dide-inisikan seagai erikut
4
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
8/34
1 T(A! D A
2 A*ai)a P A, maka T(P! D F dengan F titik tenga% garis ´ AP .
Se)idiki a*aka% *adanan T terseut suatu trans-ormasi BPenye%esaian #
A S D T(9! 9
FDT(P!
P
Je)as a%a A memi)iki *eta, yaitu A sendiri.
Ami) searang titik 9 ≠ A *ada V. )e% karena V idang Eu4)ides, maka ada satu garis
yang me)a)ui A dan 9, 'adi ada satu ruas garis´ AR se%ingga ada te*at satu titik S dengan S
antara A dan 9, se%ingga AS D S9.
Ini erarti untuk setia* G ∈ V terda*at satu ∈ V dengan D T(G! yang memenu%i
*ersyaratan (2!. Jadi daera% asa) T ada)a% V.
1 Akan diuktikan T sur'ekti-.
;ntuk menye)idiki ini 4uku*)a% di*ertanyakan a*aka% setia*titik di V memi)iki *ra*eta.
Jadi a*ai)a ∈V a*aka% ada G ∈V yang ersi-at T(G! D B
$enurut ketentuan *ertama, 'ika D A *ra*etanya ada)a% A sendiri, sea T(A! D A.
D T(G!
A GA*ai)a A, maka o)e% karena V suatu idang Eu4)ides, ada G tungga) dengan G
∈ ´ AY se%ingga A D G.
Jadi ada)a% titik tenga%´ AX yang meru*akan satu+satunya titik tenga%. Jadi D T(G!.
Ini erarti a%a G ada)a% *ra*eta dari titik . 5engan demikian da*at dikatakan a%a
setia* titik *ada V memi)iki *ra*eta. Jadi T ada)a% suatu *adanan yang sur'ekti-.
5
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
9/34
2 Akan diuktikan T in'ekti-.
;ntuk menye)idiki ini ami))a% dua titik P≠ A , Q≠ AdanP≠ Q . P,F,A tidak segaris
(ko)inear!. Kita akan menye)idiki kedudukan T(P! dan T(F!.
A
T(P! T(F!
P F
Andaikan T(P! D T(F!
)e% karena T(P! ∈ ´ AP danT (Q )∈ ´ AQ maka da)am %a) ini ´ AP dan ´ AQ memi)ki dua
titik sekutu yaitu A dan T(P! D T(F!. ini erarti a%a garis´ AP dan ´ AQ erim*it,
se%ingga mengakiatkan a%a Q∈ ´ AP . Ini er)aanan dengan *emisa)an a%a A, P,
F tidak segaris. Jadi *engandaian a%a T(P! D T(F! tidak enar se%ingga %arus)a% T(P!
T(F!. Jadi, T in'ekti-.
5ari uraian di atas tam*ak a%a *adanan T itu in'ekti- dan sur'ekti-, se%ingga T ada)a%
*adanan yang i'ekti-. 5engan demikian terukti T suatu trans-ormasi dari V ke V. 5itu)is T
V V.
4onto& + #
Pi)i%)a% *ada idang Eu4)ides V suatu sistem koordinat ortogona). T ada)a% *adanan yang
mengkaitkan setia* titik P dengan P yang )etaknya satu satuan dari P dengan ara% sumu G
yang *ositi-. Se)idiki a*aka% T suatu trans-ormasi B
Penye)esaian
P P
6
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
10/34
G
Jika P D (,y! maka T(P! D P dan PD(H1,!.
Je)as daera% asa) T ada)a% se)uru% idang V.Ad T sur'ekti- dan T in'ekti-.
$isa)kan A D (,y!.
Andaikan D (, !.
i Jika *ra*eta titik A(,y! maka %arus)a% er)aku T(! D ( H1, y!.
Jadi H1 D , yDy.
D + 1
atau
yDy
Je)as T ( x−1, y )=(( x−1)+1, y)=( x , y ).
)e% karena , y se)a)u ada, untuk semua ni)ai ,y maka se)a)u ada se%ingga
T (B)= A .
Karena A searang maka setia* titik di V memi)iki *ra*eta yang erarti a%a T sur'ekti-.
ii Andaikan P( x1 , y1) dan Q( x2 , y 2) dengan P≠ Q .
5i*unyai T ( P)=( x1+1, y 1) dan T (Q)=( x2+1, y 2) .
JikaT ( P)=T (Q)
, maka( x1+1, y 1)=( x2+1, y 2) .
Jadi x1+1= x 2+1, dan y1= y2 . Ini erarti x1= x 2 dan y1= y2 .
Jadi PDF.
Ter'adi kontradiksi, se%ingga *engandaian sa)a%. Jadi %arus)a% T ( P)≠T (Q) .
Jadi T in'ekti-.
5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T ada)a% *adanan yang i'ekti-.
7
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
11/34
Jadi T meru*akan suatu trans-ormasi dari V ke V.
+/+ Sifat 5 Sifat Transformasi
+/+/ In6arian )O3"e0 7an! Meneta8*
Jika *ada suatu trans-ormasi -, suatu o'ek meru*akan ayangan trans-ormasi dari
dirinya sendiri, maka dikatakan 'uga a%a trans-ormasi itu meneta*kan o'ek terseut,
atau men'adikan o'ek itu seagai o'ek meneta*. Jika *ada trans-ormasi - ada titik T yang
ersi-at -(T! D T, maka *ada trans-ormasi itu, titik T diseut titik in>ariant (in>ariant *oint!
atau titik meneta* (-ied *oint!. Sea)iknya 'ika *ada trans-ormasi - ada garis g yang ersi-at
-(g! D g, maka *ada trans-ormasi itu, garis g diseut garis in>ariant (in>ariant )ine! atau garis
meneta* (-ied )ine!. Kemudian 'ika *ada suatu trans-ormasi -, si-at S dari setia* o'ek
dimi)iki o)e% ayangan trans-ormasi dari o'ek yang ersangkutan, maka si-at S itu diseut
si-at in>arian, *ada trans-ormasi - itu, dan dikatakan 'uga a%a trans-ormasi - itu
mem*erta%ankan (me)estarikan! si-at S.
4onto& 1 #
A8a0a& setia8 transformasi memi%i0i titi0 teta8 99
Trans-ormasi T(,y! D (H & , y+3! tidak memi)iki titik teta* teta*i memi)iki garis teta*
ukti
$isa)nya P(,y! titik teta*
$aka T(P! D ( H&,y+3! D PD(,y!
H & D ⇒ & D 0
+ 3 D ⇒ +3 D 0
Jadi T tidak *unya titik teta*
$isa)nya T (,y! D (2 H y ,+y!
2 H y D dan ,+y D y maka
2 x+ y= x x− y= y }
x+0=0 x−2 y=0
y=0dan x=0
Jadi T %anya *unya satu titik teta* yaitu (0,0!
$isa)kan A D ( ,y! suatu titik teta* ,maka er)aku (,y! D (y,&! se%ingga er)aku Dy8
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
12/34
5an yD & di*ro)e% D 0 dan yD 0 erarti titik (0,0! meru*akan satu+ satunya titik teta*.
A8a0a& setia8 transformasi memi%i0i !aris teta89
5iketa%ui T(,y! D (y, &! a*aka% meru*akan garis teta*B
misa) D a H y H 4 D 0 garis teta* maka
T(,y! D (y, &! D (, y! di*ero)e% y D 1
4 maka
l ≡ a H y H 4 D 0
l ≡ 1
4 ay H H 4 D 0
l ≡ H1
4 ay H 4 D 0
l ≡ & H ay H &4 D 0
karena garis teta*, maka T( ! D D di*ero)e%4b
a Da
b=
4c
c dengan asumsi a,
, 4 0
$aka 4 b2
D a2
(+a! 4 D 0 dan (&+a! 4 D 0
Kas$s # Jika 4 0 maka D a dan a D & (tidak mungkin,dan D 0!
Kas$s +# Jika 4 D 0 maka a dan a &, se%ingga di*ro)e% D 2 dan aD +2.
Ak%irnya di*ero)e% garis teta* T ada)a%
⟹ untuk a D 2 maka a H y H 4 D 0
2 H y H 0 D 0
2 H y D 0
⟹ untuk a D +2 maka a H y H 4 D 0
+2 H y H 0 D 0
+2 H y D 0Jadi garis teta*nya ada)a% 2 H y D 0 dan +2 H y D 0
9
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
13/34
X
Y
y = x2
O
X
Y
O
y = x + 1
1
-1
+/+/+ Ko%ineasi
efinisi # Ko)ineasi ia)a% trans-ormasi yang ersi-at a%a %im*unan ayangan semua titik
*ada setia* garis ()urus! 'uga meru*akan garis ()urus!.
5a*at dikatakan a%a ko)ineasi ia)a% trans-ormasi yang memetakan setia* garis men'adi
garis )agi. )e% karena suatu re-)eksi ada)a% suatu ko)ineasi maka setenga% *utaran 'uga suatu
ko)ineasi. Ini tidak meng%erankan sea setia* isometri ada)a% suatu ko)ineasi. Suatu
trans-ormasi diseut ko)ineasi 'ika %asi) trans-ormasi seua% garis ()urus! akan eru*a garis
)agi. Jadi, 'ika g ada)a% garis maka T ada)a% ko)ineasi 'ika T( g ! eru*a garis, yaitu %im*unan
titik P D T ( P ! dengan P ter)etak *ada g .
4onto& 2 #
f ) x * : x +
;en!an x < ,
:ungsi di atas da*at di*andang seagai trans-ormasi dengan
domain sumu X *ositi- yang eru*a garis )urus, dan %asi)
trans-ormasinya eru*a kur>a y D x2. f ( x! isa ditu)iskan
seagai trans-ormasi T ( x,0!( x, x2!
9umus trans-ormasinya
=
2L
L
x
x
y
x
8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi)
trans-ormasi garis )urus (sumu X *ositi-! ada)a% kur>a y D
x2 yang tidak eru*a garis )urus. $aka da*at disim*u)kan a%a T ( x,0!D( x, x2! ukan
ko)ineasi. Atau -ungsi f ( x! D x2 ukan trans-ormasi ko)ineasi.
+ f ) x * : x =
:ungsi itu da*at dinyatakan seagai trans-ormasi T ( x,0!( x, x H 1!, yaitu mentrans-ormasikan garis )urus (sumu
X ! men'adi garis y D x H 1.
9umus trans-ormasinya
+
=
1L
L
x
x
y
x
.
8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi) trans-ormasi garis )urus (sumu X ! 'uga
eru*a garis )urus ( y D x H 1!. $aka -ungsi f ( x! D x H 1 meru*akan trans-ormasi ko)ineasi.+/+/1 Isometri
10
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
14/34
efinisi # Suatu trans-ormasi T ada)a% isometri 'ika dan %anya 'ika untuk setia* *asangan
titik+titik P dan F,
PL FL D PF dengan PL D T (P! dan FL D T (F!
atau 'ika
α
ada)a% trans-ormasi yang ersi-at a%a, untuk setia* titik P dan F, 'arak antara
titikα
(P! dan titikα
(F! sama dengan 'arak antara titik P dan titik F, makaα
diseut
isometri.
Per)u di*er%atikan a%a de-inisi ini tidak memer)ukan PPL D FFL. 5engan kata )ain,
da)am isometri memer)ukan si-at mem*erta%ankan 'arak antara suatu titik dengan
ayangannya (*etanya!. 5ikatakan 'uga a%a isometri ia)a% trans-ormasi yang
mem*erta%ankan 'arak atau me)estarikan 'arak.4onto& .#
Asumsi a%a seua% sistem koordinat memangun seua% udang (datar!. 5an *emetaan T
dide-inisikan untuk suatu titik P (,y! o)e%
T (P! D PL
D (,+y!
5engan eka) *engeta%uan terda%u)u, da*at diuktikan a%a T suatu trans-ormasimenun'ukkan T suatu isometri, ami) se*asang titik AL (a 1,+a2! dan L (1,+2!, kemudian
uktikan a%a AL L D A.
y A (a1,a2!
(1,2!
L (1,+2! AL (a1,+a2!
5engan rumus 'arak, di*ero)e%
11
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
15/34
AL L D( ) ( )2L2
L
2
2L
1
L
1 !baab −−++
D( ) ( )2L2
L
2
2L
1
L
1 abab −++
D( ) ( ) 222
2
11 !( abab −−−++
D( ) ( ) 222
2
11 abab +−++
D
( ) ( ) 2222
11 baab −++
D A
Karena itu, T ada)a% isometri.
Teorema #
Setia* 9e-eksi garis ada)a% suatu isometri.
ukti Pemuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat a%a suatu sistemkoordinat da*at dientuk dengan menggunakan se*asang garis tegak )urus da)am suatu satuan
*an'ang, serta meneta*kan sumu dan y *ositi-nya, kita eas memi)i% sumu mana yang
akan di'adikan sumu re-)eksi. 5a)am %a) ini, di*i)i% sumu seagai garis s+nya, sedangkan
sumu y men'adi garis yang tegak )urus s.
Teorema + #
Seua% isometri ersi-at
1 $emetakan garis men'adi garis.
2 $engaetkan esarnya sudut antara dua garis.
3 $engaatkan kese'a'aran dua garis.
ukti
*/ An;aia0an ! se3$a& !aris ;an T s$at$ isometri/
Kita akan memuktikan a%a T (g! D % ada)a% suatu garis 'uga.
12
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
16/34
L
A AL
g %
Ami) A∈
g dan ∈
g. $aka AL D T (A!∈
%, L D T (!∈
% me)a)ui AL dan L ada satu
garis, misa)nya %L. Akan kita uktikan %L D %. ;ntuk ini akan diuktikan %L⊂
% dan %⊂
%L
i B$0ti &>⊂
&
Ami) GL∈
%L. )e% karena idang kita ada)a% idang eu4)ides,kita andaikan (AL, GL, L!,
artinya AL GL H GL L D AL L. )e% karena T suatu isometri. Jadi sutu trans-ormasi maka ada G
se%ingga T (G! D GL dan o)e% karena T suatu isometri maka AG D AL GL egitu *u)a G D GLL. Jadi *u)a AG H G D A. Ini erarti a%a A, G, segaris *ada g. Ini erarti )agi a%a
GL D T (G!∈
%. Se%ingga %L⊂
% sea ukti seru*a er)aku untuk *osisi GL dengan (GL, AL,
L! atau (AL, L, GL!.
ii B$0ti &⊂
&>
Ada )agi L
∈
%. $aka ada
∈
g se%ingga T (! D L dengan misa)nya (A !, artinya V g dan A H D A. )e% karena T suatu isometri maka AL L D A, L L D , dan AL L
D A. Se%ingga AL L H L L D AL L. Ini erarti a%a AL, L, L segaris, yaitu garis yang
me)eati AL dan L. )e% karena %L satu+satunya garis yang me)a)ui AL dan L maka L∈
%L.
Jadi %arus)a% %⊂
%L. ukti seru*a er)aku *ada keadaan ( A ! atau (A !. Se%ingga % D
%L. Jadi ka)au g seua% garis maka % D T (g! ada)a% seua% garis.
+*/ Am3i% se3$a& ? AB4
A AL
M L ML
Andaikan AL D T (A!, L D T (!, ML D T (M!
$enurut (a!, maka AL L dan L ML ada)a% garis )urus. )e% karena N AM D A∪
M maka N
AL L ML D L AL∪
L ML sedangkan AL L D A,
L ML D M, ML AL D MA.13
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
17/34
Se%ingga AM≅
AL L ML. Jadi N AL L ML D N AM.
Se%ingga suatu isometri da*at mengaetkan esarnya suatu sudut.
1*/
a aL L
Kita %arus mem*er)i%atkan aL CC L. Andaikan aL memotong L di seua% titik PL. Jadi PL∈
aL
dan P∈
. )e% karena T seua% trans-ormasi maka ada P se%ingga T (P! D PL dengan P∈
a
dan P∈
. Ini earti a%a a memotong di P 'adi ertentangan dengan yang diketa%ui
a%a a CC . $aka *engandaian a%a aLmemotong L sa)a%. Jadi %arus)a% aL CC L.
4onto& @ #
5iketa%ui garis g≡
O (.y!y D + Qdan %≡
O (,y!y D 2 R 3 Q.
A*ai)a $g ada)a% re)eksi *ada garis g, tentukan)a% *ersamaan garis %L D $g (%!.'aa3 #
)e% karena g seua% re-)eksi *ada g 'adi suatu isometri, maka menurut teorema %L ada)a%
seua% garis.
0 9 F G
P
8aris %L akan me)a)ui titik *otong *ada % dan g misa)nya 9, sea $g (9! D 9. Je)as a%a 9
D (1, +1! % akan *u)a me)a)ui FL D $g (F!. )e% karena F D (3C2, 0! maka FL D (0, +3C2!.
5engan demikian *ersamaan %L ada)a% %L D O (, y! R 2y R 3 D 0 Q14
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
18/34
+/+/1/ Isometri Lan!s$n! ;an Isometri Laan
efinisi # $isa)kan (P,F,9! ada)a% ganda tiga titik yang tidak ko)inier (tak segaris!. A*ai)a
urutan *er*utaran P,F,9 sesuai dengan *er*utaran 'arum 'am, maka P,F,9 diseut memi)iki
orientasi negati-. Sedangkan a*ai)a urutan *er*utaran P,F,9 er)aanan dengan *er*utaran
'arum 'am maka, P,F,9 diseut memi)iki orientasi *ositi-.
efinisi # Suatu trans-ormasi T diseut )angsung 'ika dan %anya 'ika trans-ormasi itu
mem*erta%ankan orientasi.sedangkan trans-ormasi T diseut trans-ormasi )aan 'ika dan
%anya 'ika trans-ormasi itu mengua% orientasi.
efinisi # $isa)kan T suatu trans-ormasi.T diseut mem*erta%ankan orientasi a*ai)a untuk
setia* ganda tiga titik P,F,9 yang tidak ko)inear (tak segaris! orientasinya sama dengan
orientasi dari *etanya.sedangkan )ainnya diseut mengua% orientasi.
A/ Isometri %aan
$isa)nya seua% re-)eksi (*en4erminan!
P 9 PL FL
F 9L PF9 er)aanan dengan 'arum 'am (H! sedangkan PLFL9L seara% dengan 'arum 'am (+!.
B/ Isometri %an!s$n!
$isa)nya suatu rotasi (*er*utaran!
P 9L
F 9 PL FL
PF9 er)aanan dengan 'arum 'am (H! sedangkan PLFL9L teta* er)aanan dengan 'arum
'am (H!.
Si-at yang *enting da)am geometri trans-ormasi ia)a%
Setia* re-)eksi (*en4erminan! *ada garis ada)a% suatu isometri )aan.
Akan teta*i tidak setia* isometri ada)a% isometri )aan, ini da*at di )i%at *ada gamar diatas
yaitu rotasi (*er*utaran! ada)a% seua% isometri )angsung.
15
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
19/34
Setia* isometri ada)a% seua% isometri )angsung atau seua% isometri )aan.
+/+/2 In6o%$si
Sa)a% satu trans-ormasi yang mem*unyai si-at k%usus ada)a% trans-ormasi yang erordo
dua. Karena memi)iki si-at k%as, maka trans-ormasi yang erordo dua dieri nama k%usus,yaitu in>o)usi. Jadi, in>o)usi ia)a% trans-ormasi yang ukan trans-ormasi identitas, teta*i
kuadratnya meru*akan trans-ormasi identitas. Jikaα
meru*akan in>o)usi, makaα ≠ ι
teta*i2α D
ι. 5a)am %a) demikian,
1α −
D1α −
oι
D1α −
o2α D
1α −
o (α
oα
! D (1α −
oα
! oα
Dι
oα
Dα
. Sea)iknya, 'ika1α −
Dα
, maka2α D
α o
α D
1α −
oα
Dι
.
Teorema # In>ers dari setia* re-)eksi garis ada)a% re-)eksi garis itu sendiri.
erdasarkan *en'e)asan di atas, 'e)as a%a re-)eksi garis ada)a% suatu in>o)usi.
ukti Terda*at dua trans-ormasi T dan I serta kom*osisi T+1
D <
+1
T
+1
$aka (T
D T(
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
20/34
V& ι hσ vσ
ι ιhσ vσ
hσ hσ ι
Oσ
vσ vσ Oσ ι
Oσ Oσ vσ hσ
Tam*ak a%ahσ
,vσ
, danOσ
meru*akan in>o)usi.
+/1 (asi% Ka%i Transformasi
efinisi #
Andaikan : dan 8 dua trans-ormasi, dengan
: V→ V
8 V → V
$aka kom*osisi dari : dan 8 yang ditu)is seagai 8
: dide-inisikan seagai
(8
:! (P! D 8:(P!U,∀
P∈
V
Teorema #
Jika : V → V dan 8 V → V masing+masing suatu trans-ormasi maka %asi) ka)i 7 D 8
:
V→ V ada)a% 'uga suatu trans-ormasi.
B$0ti #
Akan diuktikan 7 D 8
: suatu trans-ormasi.
;ntuk ini %arus diuktikan dua %a) yaitu 7 sur'ekti- dan 7 in'ekti-.
1 Akan diuktikan 7 sur'ekti-.
Karena : trans-ormasi maka daera% ni)ai : ada)a% se)uru% idang V, dan daera% asa) 8
'uga se)uru% V sea 8 suatu trans-ormasi.
Ami)∈ y
V, a*aka% ada x se%ingga 7( x! D yB Akan diuktikan y D 7( x!.
Karena 8 trans-ormasi maka∈∀ y
V∈∃ z
V y∋
D 8( z !.17
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
21/34
Karena : suatu trans-ormasi maka *ada∈∃ x z
V z ∋
D :( x!.
$aka y D 8:( x!U atau y D 8
: ( x!.
Jadi y D 7( x!.
Jadi 7 sur'ekti-.2 Akan diuktikan 7 in'ekti-.
Artinya, Jika P ≠ F maka 7(P! ≠ 7(F!∀
P,F V.
Ami) P,F V dan P F. Karena : in'ekti- maka :(P! :(F!.Je)as 8(:(P!! 8(:(F!! karena 8 in'ekti-.
5i*ero)e%, Jika P F maka 8(:(P!! 8(:(F!!∀
P,F V.Jadi 7 in'ekti-.
Karena 7 sur'ekti- dan 7 in'ekti- maka 7 suatu trans-ormasi.
Jadi 7 D 8
: suatu trans-ormasi.
Matatan 5engan 'a)an yang seru*a da*at *u)a diuktikan a%a %asi) ka)i :
8 'uga suatu
trans-ormasi.
7asi) ka)i trans-ormasi tidak %anya teratas *ada dua trans-ormasi. Andaikan T 1, T2, T3
meru*akan suatu trans-ormasi. Kita da*at menyusun ter)ei% da%u)u %asi) ka)i T 2 o T1
kemudian dika)ikan dengan T3. ;ntuk %asi) ka)i trans-ormasi ini kita tu)is dengan T3(T2T1!.
Jadi andaikan PD T1 (P!.P D T2 (P!.P D T3(P!
$aka T3(T2T1!U(P! D T3 T2T1(P!U
D T3 T2 OT1(P!QU
D T3 T2 (P!U
D T3 (P!
D P
Kita 'uga da*at menga)ikan seagai erikut
(T3T2!T1U(P! D (T3T2 !T1(P!U
D (T3T2 !(P!
18
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
22/34
D T3 T2 (P!U
D T3 (P!
D P
Jadi %asi) ka)i trans-ormasi ersi-at asosiati-. Kita 'uga da*at mengatakan a%a
T3(T2T1! D (T3T2 !T1 D T3T2T1
+/2 Gr$8 Transformasi
efinisi # Suatu %im*unan S W dan o*erasi o yang di notasikan dengan (S,o! diseut
memi)iki struktur gru*, 'ika memenu%i aksioma+aksioma erikut
1 S tertutu* ter%ada* o*erasi o, artinya ∀ a, ∈S , a o ∈S
2 *erasi o asosiati- *ada S, artinya ∀ a, , c∈S , (a o ! o 4 D a o ( o 4!
3 Ada unsur Identitas, untuk setia* anggota S , artinya ∃e ϵS ,∀aϵ S → a o e D e o a D
a.
& ;ntuk setia* anggota S, mem*unyai a)ikan di S, artinya ∀ aϵS ,∃b∈S → a o D
o a D e
Per&ati0an rotasi se!iti!a sama-sisi se0e%i%in! titi0 3eratnya ;en!an s$;$t rotasi +, o
9otasi (Per*utaran! dikatakan erara% *ositi- 'ika ara% *utar er)aanan dengan ara%
*utar 'arum 'am. 9otasi (Per*utaran! dikatakan erara% negati>e 'ika ara% *utar sama dengan
ara% *utar 'arum 'am. $isa)kan XAM ada)a% segitiga sama sisi, dan titik P ada)a% titik erat
dari segitiga itu. $isa)kan *u)a a%a dengan rotasi 120o (erarti ara% *utarnya *ositi-!
seke)i)ing titik P (ter%ada* titik P!, ayangan (%asi)! rotasi dari titik A ada)a% titik ,.
ayangan dari titik ada)a% titik M, dan ayangan dari titik M ada)a% titik A.5engan kata )ain, 'ika α ada)a% rotasi (*er*utaran! seke)i)ing titik P, dengan ara%
rotasi *ositi-, dan sudut rotasi 120o, maka α (A! D , adan α (! D M, dan α (M! D a.
Se)an'utnya ( α o α !(A! D α ( α (A!! D α ( ! D M. 5i*ero)e% 'uga si-at a%a (
α o α o α !(A! D A, ( α o α o α !(! D , dan ( α o α o α !(M! D M.
Trans-ormasi yang ersi-at a%a ayangan (%asi)! trans-ormasi setia* titik ada)a% titik itu
19
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
23/34
sendiri atauι
(P! D P untuk setia* titik P diseut trans-ormasi identitas dan )aYim dinyatakan
dengan symo)ι
(%uru- unani yang namanya iota!. Se)an'utnya kom*osisi . α
o α
dinyatakan dengan symo)
α 2
dan kom*osisi
α
o
α
o
α
dinyatakan dengan
symo) α 3, dst.
Per%atikan tae) kom*osisi rotasi α dengan dirinya sendiri seagai erikut.
O8erasi
o
α α + α 1 :
α α + ι α
α + ι α α +
α 1 :ι α α + ι
Kita namai %im*unan O α
,α 2,
ιQ itu %im*unan 8.
1 Tam*ak a%a %asi) kom*osisi setia* dua anggota dari 8 men'adi anggota dari 8
'uga.
2 Karena kom*osisi -ungsi ersi-at asosiati-, maka kom*osisi anggota dari 8 'uga ersi-at asosiati-.
3 Adaιϵ
8, sedemikian se%ingga toι
Dι
ot D t untuk setia* t∈
8
& ;ntuk setia* t∈
8.ada s∈
8 sedemikian se%ingga t o s D s o t Dι
(iota!
erdasarkan uraian di atas da*at kita sim*u)kan a%a %im*unan trans-ormasi dengan o*erasi
kom*osisi (8,o! diseut gru* trans-ormasi atau gru* 'ika memi)iki si-at tertutu*, si-at
asosiati-, si-at keeradaan e)emen identitas, dan si-at in>ers.
(a ! $isa)kan 8 ada)a% suatu %im*unan trans-ormasi. A*ai)a untuk setia*α
danβ
da)am
(8,o! %asi) ka)i (kom*osisi! mereka, yaituβ
oα
'uga men'adi anggota dari 8 , maka
dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at tertutu* atau si-at ketertutu*an.
(! 7im*unan trans-ormasi 8 dikatakan mem*unyai si-at asosiati- 'ika
γ
o (β
oα
!U(P! D (γ
o(β
! oα
U(P!
20
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
24/34
untuk setia* titik P, dan setia*α
,β
,γ
da)am 8. .
(4! Jika 8 suatu %im*unan trans-ormasi, danι
men'adi anggota dari 8, maka dikatakan
a%a 8 mem*unyai si-at identitas.
(d! Jika 8 suatu %im*unan trans-ormasi, dan in>ers dari setia* anggota dari 8 'uga men'adi
anggota dari 8, maka dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at in>ers.
$isa)kan 8 ada)a% suatu %im*unan trans-ormasi. A*ai)aβ
oα
Dα
oβ
untuk setia*α
dan
β
da)am (8,o! maka dikatakan a%a 8 mem*unyai si-at komutati- dan (8, o! diseut gru*
yang komutati- atau gru* ae)ian.
Teorema #
1 7im*unan semua trans-ormasi (dengan o*erasi kom*osisi! meru*akan gru*.
2 7im*unan semua ko)ineasi meru*akan gru*.
B$0ti
(1! $isa)kan 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi.
a. Karena 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi, maka ι (iota! men'adi
anggota dari 8, dan untuk setia* trans-ormasi ∝ , er)aku si-at
∝ o ι D ι o ∝ D ∝ . Jadi, 8 mem*unyai sifat i;entitas.
. $isa)kan α dan β ada)a% anggota dari 8. $aka α mu*un β
meru*akan
kores*ondensi satu+satu antara %im*unan semua titik *ada satu idang
datar dan %im*unan itu 'uga. )e% karena itu, kom*osisi dari keduanya
'uga meru*akan kores*ondensi satu+satu, dari %im*unan semua titik
*ada idang itu dan %im*unan itu sendiri. erarti α o β dan β o α
men'adi anggota dari 8. Jadi, 8 mem*unyai sifat tert$t$8.
21
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
25/34
4. Karena 8 ada)a% %im*unan semua trans-ormasi, maka setia* anggota dari 8
meru*akan kores*ondensi satu+satu dari %im*unan semua titik di suatu idang ke
%im*unan sendiri, se%ingga ter%ada* o*erasi kom*osisi -ungsi (kom*osisi atau
*erka)ian trans-ormasi! er)aku si-at asosiati-. Jadi 8 mem*unyai sifat asosiatif
C
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
26/34
(ii! Karena -, g, % ada)a% kores*ondensi satu+satu, maka -(g%! D (-g!%, dan simo) -g%
menyatakan -(g%! mau*un (-g!%.
Jika T searang titik, maka ada titik A, , dan M, se%ingga -(A! D T, g(! D A, dan %(M! D
. 7a) ini erarti a%a T D -(A! D -(8(!! D -(g(%(M!!. erarti ada titik M sedemikian
se%ingga T D (-g!(%(M! atau T D -o(go%!U(M! D (-og!o%U(M!. Karena T ada)a% titiksearang, maka %uungan itu menun'ukkan a%a
f o )! o &* : )f o !* o &.
Jadi 8 memi)iki si-at asosiati-.
+/2/ Or;o Gr$8 ;an Or;o Transformasi
efinisi # Jika gru* trans-ormasi 8 mem*unyai te*at n anggota, maka dikatakan a%a 8ada)a% !r$8 3er&in!!a yan! 3eror;o n.
efinisi #
(1! Jikaα ∈
8 dan n ada)a% i)angan 3$%at 8ositif ter0ei% yang ersi-atnα D
ι, maka
dikatakan a%aα
ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o n.
(2! Jikaβ
ada)a% suatu trans-ormasi, teta*i
n
β ≠ ι, untuk n era*a*un, maka dikatakan
a%aβ
ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o ta03er&in!!a.
4onto& #
(1! $isa)kan ρ
ada)a% trans-ormasi, yang meru*akan rotasi (*er*utaran!
seke)i)ing titik asa) (0,0! dengan sudut rotasi 30 o. $aka12 ρ
Dι
, teta*ik ρ ≠ ι
'ika k
ada)a% i)angan u)at *ositi- yang )ei% ke4i) dari 12. Jadi ρ
itu meru*akan
transformasi yan! 3eror;o +, dan %im*unan
8 D O ρ
, ρ
2, ρ
3, ρ
&, ρ
6, ρ
@, ρ
=, ρ
, ρ
?, ρ
10, ρ
11,ι
Q ada)a% !r$8 3eror;o +.
1 $isa)kan
τ
ada)a% trans-ormasi, dengan aturan
τ
((,y!! D (H1,y!, makaτ ≠ ι
, dann
τ
((,y!! D (Hn,y! untuk setia* i)angan as)i n. Je)as a%a23
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
27/34
(,y!≠
(Hn,y! untuk i)angan as)i era*a*un. Jadin
τ ≠ ι untuk i)angan u)at *ositi- n
yang mana*un. 5engan kata )ain,τ
ada)a% trans-ormasi yang 3eror;o ta03er&in!!a,
dan %im*unan O
ι
,
τ
,
τ
2,
τ
3,
τ
&, . . .Q meru*akan !r$8 3eror;o ta03er&in!!a.
SOAL LATI(AN
1. T V→
V, dide-inisikan seagai erikut A*ai)a P(,y! maka
i T ( P)=( x+1, y ) , untuk x>0
ii T ( P)=( x−1, y) , untuk x
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
28/34
'AABAN
1! Penye)esaian
a Ami) P(1,y1! dan F(2,y2! se%inggaQ P ≠
Akan diuktikan!(!( QT P T ≠
Karena
Q P ≠
maka
21 x x ≠
atau
21 y y ≠
i ;ntuk [ 0
T(P! D (1H1, y1!
T(F! D (2H1, y2!
Je)as11 2121 +≠+⇒≠ x x x x
atau21 y y ≠
Jadi !(!( QT P T ≠
ii ;ntuk N 0
T(P! D (1+1, y1!
T(F! D (2+1, y2!
Je)as11 2121 −≠−⇒≠ x x x x
atau21 y y ≠
Jadi
!(!( QT P T ≠
25
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
29/34
X
Y
O
Z
z = x + 2y
5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T in'ekti-.
Ami) P(1,y1! dan F(2,y2! dengan PF.
Akan diuktikan T(P!T(F!.
Karena P F maka 1 2 atu y1 y2.i Kasus \0
T(P! D (1 H 1,y1!
T(F! D (2 H 1,y2!
Karena 12 maka 1H1 2H1 dan y1y2.
Jadi T(P! T(F!.
ii Kasus ¿ 0
T(P! D (1 + 1,y1!
T(F! D (2 + 1,y2!
Karena 12 maka 1 + 1 2 +1 dan y1y2.
5ari (i! dan (ii! da*at disim*u)kan a%a T tidak sur'ekti-.
Karena T tidak sur'ekti- maka T ukan suatu trans-ormasi.
2! isa diangga* seagai trans-ormasi T ( x, y, 0 ! ( x, y, x H 2 y!, yaitu yang
mentrans-ormasikan idang XOY men'adi idang z D x H 2 y.
9umus trans-ormasinya
+=
y x
y
x
z
y
x
2L
L
L
8amar di sam*ing mem*er)i%atkan a%a %asi)
trans-ormasi idang XOY 'uga eru*a idang datar
( z D x H 2 y!.
isa dikatakan, setia* garis *ada idang G ditrans-ormasikan men'adi garis yang
menyusun idang z D x H 2 y. $aka, f ( x, y! D x H 2 y meru*akan trans-ormasi ko)ineasi.
26
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
30/34
3 Ami) kemudian trans-ormasikan keduanya. $isa)kan seagai erikut ami) seua% garis %
⊥
g dan $% ada)a% re-)eksi *ada garis %. Jadi %asi) ka)i( )[ ] Y X T M h =
ada)a% suatu
tran-ormasi *u)a se%ingga( ) ( ) X T M Y h = .
Pada soa) di atas keetu)anhh M T T M =, untuk memuktikan ini ami) gamar garis g
seagai sumu suatu sistim koordinat ortogona) dan garis % seagai sumu . Titik *otong %
dan g kita ami) seagai titik asa). Andaikan
!,( y x x =
maka
!2
1,(!( y x X T =
dan
( )[ ]
−= y x X T M h
2
1,
. Se)an'utnya *er%atikan!!(( X M T h [ ]!( X M T h=
. Ka)au!,( y x x =
maka $%(G!D(+,y! dan T$%(G!UD(+,1
2 y¿ .
)e% karena( )[ ] [ ]!( X M T X T M hh =
maka
!(!!(( hh M T X T M =(G! yang er)aku untuk semua G
∈V . Jadi
hh M T T M =. Akan
teta*i si-at komutati- terseut tidak se)a)u er)aku. ;ntuk mem*er)i%atkan ini, ami) )agi garis
g dan garis % yang tidak tegak )urus *ada g.
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
31/34
Tam*ak a%a( )[ ] [ ]!( x M T xT M hh ≠
. Jadihh M T xT M ≠!(. 5ari 4onto% di atas da*at di
katakan a%a a*ai)a S dan T trans-ormasi makaS T T S ≠
.
BAB III
PENUTUP
Kesim8$%an
Kesim*u)an yang da*at ditarik dari rumusan masa)a% di atas ada)a%
28
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
32/34
(1! Suatu trans-ormasi *ada suatu idang V ada)a% suatu -ungsi yang i'ekti- dengan
daera% asa)nya V dan daera% ni)ainya V 'uga.(2! Si-at R si-at trans-ormasi yaitu
a. In>arian
Jika *ada trans-ormasi - ada titik T yang ersi-at -(T! D T, maka *ada trans-ormasi itu,
titik T diseut titik in>ariant (in>ariant *oint! atau titik meneta* (-ied *oint!.
Sea)iknya 'ika *ada trans-ormasi - ada garis g yang ersi-at -(g! D g, maka *ada
trans-ormasi itu, garis g diseut garis in>ariant (in>ariant )ine! atau garis meneta*
(-ied )ine!. Kemudian 'ika *ada suatu trans-ormasi -, si-at S dari setia* o'ek dimi)iki
o)e% ayangan trans-ormasi dari o'ek yang ersangkutan, maka si-at S itu diseut
si-at in>arian, *ada trans-ormasi - itu, dan dikatakan 'uga a%a trans-ormasi - itu
mem*erta%ankan (me)estarikan! si-at S.
. Ko)ineasi
5e-inisi suatu trans-ormasi T diseut *unya si-at ko)ineasi 'ika t memetakan
garis men'adi garis )agi. )e% karena suatu re-)eksi ada)a% suatu ko)ineasi maka
setenga% *utaran 'uga suatu ko)ineasi. Ini tidak meng%erankan sea setia* isometri
ada)a% suatu ko)ineasi. Suatu trans-ormasi diseut ko)ineasi 'ika %asi) trans-ormasi
seua% garis ()urus! akan eru*a garis )agi. Jadi, 'ika g ada)a% garis maka T ada)a%
ko)ineasi 'ika T(g! eru*a garis, yaitu %im*unan titik P D T(P! dengan P ter)etak *adag.
4. Isometri
5e-inisi trans-ormasi T diseut Isometri, 'ika untuk setia* A, di V er)aku ]A]D]
T(A!T(!] ('ika T(A!DA dan T(!D!. 5a)am isti)a% )ain, seringka)i suatu
trans-ormasi diseut isometri 'ika mem*erta%ankan 'arak.
5e- T Isometri 'ika ]A]D]T(A!T(!] D ]A]
d. In>o)usi
Suatu trans-ormasi V meru*akan in>o)usi, 'ika V tidak sama dengan I dan
er)aku V2DI. Ini erarti VDV+1.Suatu trans-ormasi yang in>ersnya ada)a%
trans-ormasi itu sendiri dinamakan in>o)usi. erdasarkan *en'e)asan di atas, 'e)as
a%a re-)eksi garis ada)a% suatu in>o)usi.
(3! Jika V dan " meru*akan trans-ormasi, erkenaan dengan si-at V dan " seagai
-ungsi, maka da*at dide-inisikan kom*osisi atau %asi) ka)i dari V dan ". Se*erti%a)nya menyusun kom*osisi dua -ungsi maka kom*osisi dari V∘", " diker'akan da%u)u
29
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
33/34
aru V. Jadi V ∘ "(A! D V("(A!!. Kemudian untuk menyingkat, seringka)i tu)is V∘" D
V", V∘VDV2 dan seterusnya. $enurut teorema, %asi) ka)i dari %im*unan trans-ormasi
meru*akan trans-ormasi.(&! 7im*unan trans-ormasi dengan o*erasi kom*osisi (8,o! diseut gru* trans-ormasi
atau gru* 'ika memi)iki si-at tertutu*, si-at asosiati-, si-at keeradaan e)emen identitas, dan
si-at in>ers.
AFTAR PUSTAKA
9au%.Geometri Transformasi.1??3.Jakarta 5e*. P ^ K 5it'en 5ikti.
$artin, 8eorge Edard.Transformation Geometry.1?2.#e ork S*ringer+Ver)ag.
Suryanto, Geometri Transformasi k%usus untuk ku)ia% di ke)as *ener'ema% sendiri, Pa*er,
disa'ikan *ada ;ni>ersitas $u%ammadiya% Purokerto 2012 di Suraaya.
30
-
8/18/2019 p 2_transformasi Beserta Sifat2ny
34/34
:aisa), 9yan,$ateri Ku)ia% 8eometri Trans-ormasi,htt!""ryan#faisa$.b$ogsot.%o.i&"
'()'"(*"materi#k+$iah#geometri#transformasi.htm$ .
I.E.