p np npcompleto

8/15/2019 P NP NPCompleto

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P, NP e NP-Completo

Andr é Vignatti

DINF- UFPR


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Problemas Dif ı́ceis, Problemas F áceis

O mundo est á cheio de problemas de busca.

Alguns podem ser resolvidos ecientemente, outrosparecem ser muito dif ı́ceis.

Isto é descrito na tabela a seguir:

Problemas dif ı́ceis Problemas f áceis3SAT 2SAT, HORN SAT

CAIXEIRO VIAJANTE ÁRVORE GERADORA M ÍNIMALONGEST PATH SHORTEST PATH3D MATCHING BIPARTITE MATCHING

MOCHILA MOCHILA fracion ária

INDEPENDENT SET INDEPENDENT SET em árvoresZERO-ONE EQUATIONS ZOE fracion ário

RUDRATA PATH EULER PATHMAXIMUM CUT MINIMUM CUT

A. Vignatti P, NP e NP-Completo


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Na direita temos problemas que s ão resolvidos ecientemente .

À esquerda, temos “nozes duras” que escaparam da soluç ãoeciente durante d écadas ou s éculos.

Os problemas à direita s ão resolvidos por algoritmosespecializados e diversos: programaç ão din âmica, uxo derede, busca em grafo, gulosos.

Estes problemas s ão f áceis por v árias raz ões diferentes.



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Em contraste, os problemas da esquerda s ˜ ao todos difı́ceispela mesma e ´ unica raz ˜ ao :

No fundo, eles são todos o mesmo problema , apenas com

diferentes disfarces !

Em outras palavras...Todos s ão equivalentes : cada um pode ser reduzido aqualquer outro e vice-versa.



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NP (a.k.a Problemas de Busca)

É hora de introduzir alguns conceitos importantes .

Lembrando: um problema de busca é aquele onde umasoluç ão proposta pode ser rapidamente vericado quanto àcorreç ão.

Denotamos a classe de todos os problemas de busca comoNP .

Deniç ão: Classe NP

A classe NP é a classe de TODOS os problemas de busca .



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P

Muitos problemas NP (i.e, de busca) podem ser resolvidos em

tempo polinomial .

Nesses casos, existe algoritmo que recebe uma inst ância I e temtempo de execuç ão polinomial em funç ão de |I | .

Se I tem soluç ão, o algoritmo a retorna, caso contr ário oalgoritmo diz que n ão h á soluç ão.

Deniç ão: Classe P

A classe P é a classe de TODOS os problemas de busca ques ão resolvidos em tempo polinomial.

Os problemas de busca no lado direito da tabela est ão em P.



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P ⊆ NP

P ⊆ NPA deniç ão de P é igual a NP , mas P tem uma restriç ão a mais(deve ser de tempo polinomial)

Isso faz com que P seja uma sub-classe (talvez igual) deNP .Ou seja, P ⊆ NP .



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Por que P e NP?

P vem de “polynomial time”

NP signica “nondeterministic polynomial time”, um termo queremonta às raı́zes da teoria da complexidade

Abre-par ênteses: Algoritmo N ão Determinı́sticoUm algoritmo n ão determin ı́stico é um tipo especial ( e bastante irreal ) dealgoritmo que “adivinha corretamente” em todos os passos.

Assim, NP s ão os problemas cuja soluç ão pode ser encontrada evericada em tempo polinomial por um algoritmo n ão determinı́stico.



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Por que P e NP?

Aliás, a deniç ão original de NP (e seu uso mais comum at éhoje ) não foi para problemas de busca, mas para problemas dedecis ão :

Problemas de Decis ão:S ão perguntas algor ı́tmicas que podem ser respondidas porSIM ou N ˜ AO .

Exemplo:

“Existe atribuiç ão que satisfaz esta f órmula booleana?”

Isso reete uma realidade hist órica : na época, a teoria daNP-completude era desenvolvida por pesquisadoresinteressados em linguagens formais e l ógica, onde problemasde decis ão s ão de import ância central.



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P = NP?

Existem problemas de busca que N ˜ AO podem ser resolvidoem tempo polinomial?

Em outras palavras...P = NP?

A maioria dos pesquisadores de algoritmos acha que sim:

É difı́cil acreditar que uma busca de tempo exponencial

sempre possa ser evitada ,

ou que um simples truque vai desfazer a diculdade detodos estes problemas dif ı́ceis


P NP?


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P = NP?

Os matem áticos tamb ém acreditam que P = NP:

Encontrar uma prova para uma proposiç ão matem ática éum problema de busca e, portanto, est á em NP .

Quando uma prova é escrita em detalhes, ela pode servericada de forma mec ânica , linha por linha, por umalgoritmo eciente.

Ent ão, se P = NP, haveria um m étodo eciente para provarqualquer teorema, portanto, eliminando a necessidade dematem áticos !


P NP?


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P = NP?

Somando tudo, h á várias raz ões pelas quais acredita-se a P =NP.

No entanto, provar isso se mostrou extremamente difı́cil

Ningu ém conseguiu at é hoje , a cada 6 meses sai umaprova (errada) disso.

É um dos enigmas mais profundos e importantes nãoresolvidos da matem ática.


R d ˜ t


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Reduç oes, novamente

A maioria das pessoas acredita que P = NP

Em quais evid ências elas se baseiam? (Al ém da discuss ãoinformal de antes)

Tal evidˆencia

´e fornecida por reduç

˜ oes .

As reduç ões demonstram que os problemas no lado esquerdoda tabela anterior s ão exatamente o mesmo problema .

Obviamente, eles são apresentados em diferentes formas , masno fundo s ão todos iguais.


R d ˜ t


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Ent ão, se resolvermos um deles em tempo polinomial,resolvemos todos os outros da tabela .

Mas n ão se trata somente dos problemas da tabela...

Além disso, usaremos reduç ões que mostram que taisproblemas s ão os problemas de busca mais difı́ceis em NP

Pare para pensar : eles s ão os problemas MAIS DIFÍCEIS ,englobam todos os outros. E s ão equivalentes entre si.

Os problemas mais dif ı́ceis de ser resolver:Se eles s ão “os mais dif ı́ceis” de NP e resolvermosecientemente somente um deles, ent ão resolvemosecientemente todos os problemas em NP.


Reduc ões novamente


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Para tentar entender essas coisas esquisitas , vamosespecializar a deniç ão de reduç ão para problemas de busca.

Reduç ões (para problemas NP)Uma reduç ˜ ao de um problema de busca A para um problemade busca B são dois algoritmos de tempo polinomial f e h

que:

f transforma qualquer inst ância I de A em uma inst ânciaf (I ) de B ,

h transforma qualquer soluç ão S de f (I ) de volta em umasoluç ão h (S ) de I ,

Se f (I ) não tem soluç ão, ent ão I tamb ém n ão tem.


Reduc ões novamente


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NP Completo


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NP-Completo

Agora podemos nalmente denir a classe dos problemas maisdifı́ceis da busca :

Classe NP-Completo

Um problema de busca é NP-completo se todos os problemas

de busca se reduzem a ele.

Esta é uma exig ência muito forte !

Para um problema ser NP-completo, ele deve poderresolver todos os problemas de busca do mundo!


NP Completo


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NP-Completo

Seria muito not ável e muito impressionante se tais problemas

existissem!

DE FATO ELES EXISTEM : os problemas da coluna esquerdada tabela que vimos anteriormente s ão os exemplos maisfamosos.

Objetivos da disciplina a partir de agora

Nas pr óximas aulas, nosso objetivo ser á:

1

Ver as reduç ˜ oes entre esses problemas dif ı́ceis.2 Entender como todos os problemas de busca se reduzem

a eles.


As Duas Maneiras de Usar Reduc ões


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As Duas Maneiras de Usar Reduç oes

Até agora o prop ósito de uma reduç ão de um problema A paraB foi simples e honrosa :

Sabemos como resolver B de forma eciente, e queremosusar esse conhecimento para resolver A .

De certa forma, B é mais gen érico (mais dif ı́cil) que A .

No entanto, as reduç ões de A para B servem tamb ém para umobjetivo mais perverso :

Sabemos que A é dif́ıcil, e n ós usamos a reduç ão paraprovar que B é dif́ıcil tamb ém !


Algumas Excec ões


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Algumas Exceç oes

FATORAÇ ÃO:

Encontre todos os fatores primos de um n úmero inteiro dado.

A diculdade de FATORAÇ ÃO é de uma natureza diferente dosoutros problemas de busca difı́ceis.

Por exemplo, ningu ém acredita que FATORAÇ ÃO sejaNP-Completo .

Uma diferença importante é que neste problema n ão temos a

frase (agora j á familiar) “ou diga que n ˜ ao existe” .

Um n úmero SEMPRE pode ser fatorado em n´ umeros primos.


Algumas Excec ões


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Algumas Exceç oes

Outra diferença (possivelmente relacionada): FATORAÇ ÃOsucumbe ao poder da computaç ão qu ântica , enquanto SAT,TSP e as outros problemas NP-Completos at é agora n ão...

Na Pr ática:A grande maioria dos problema em NP que se conhece est ãoem P ou NP-Completo .

Not áveis exceç ões (al ém da fatoraç ão): Isomorsmo deGrafos , Equilı́brio de Nash .


p np npcompleto

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