p ropri étés intégrales des mod èles cosmologiques non-homogènes
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P ropri étés Intégrales des Mod èles Cosmologiques non-homogènes. Thomas Buchert. LMU Munich. Dynamique int égrale non-linéaire Statistique intégrale non-linéaire. Premi ère Partie :. Dynamique Non-lin éaire des Modèles Cosmologiques. Le Triangle Cosmique. Le Mod è le Standard. Les - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-
homogèneshomogènes
Thomas BuchertThomas Buchert
LMU Munich LMU Munich
1. Dynamique intégrale non-linéaire
2. Statistique intégrale non-linéaire
Première Partie :
Dynamique Non-linéairedes Modèles Cosmologiques
Le ModLe Modèèle Standardle Standard
Bahcall et al. (1999)Bahcall et al. (1999)
Le Triangle CosmiqueLe Triangle Cosmique
LesParamètresCosmologiques
Le ModLe Modèèle Concordancele Concordance
Bahcall et al. (1999)Bahcall et al. (1999)
0,300,7
Le ModLe Modèèle le « Effectif « Effectif »»
Pourquoi nousconsideronsune distributionlissée ?
Exemple d’unePropriété Intégrale:La surface totaled’une sphère
A=4 R2Alune ¼ 40 Asphère
etla surface totale de la lune …
“Surface roughening”
représentantle volume totaldu modèle standard avec k > 0
“Surface roughening”
Lisser la GLisser la Géométrie des éométrie des EspacesEspaces
> 0 < 0 > 0
Modèle FriedmannEuclidien
Modèle non-homogène
Riemannien
VE
VR
k = 0
< > = 0
Aparté :
Le problème avec l’orange :
Comparaison des Comparaison des VolumesVolumes
Comparaison des Comparaison des VolumesVolumes
,g
t = const.
E3
PrPréserver la Masse Méserver la Masse MPrPréserver la Masse Méserver la Masse M
,g B0
B_M
MLa densité lissée riemannienne :
La densité lissée euclidienne :
La fraction des volumes :
Un ModUn Modèèle Simplele SimpleUn ModUn Modèèle Simplele Simple
e s p a c e e u c l i d i e n
= 1.64
Une vraie boule
VEuclid = 2/6 VRiemann
Fin de l’Aparté !
Maintenant :Modèles Newtoniens
DiffDifférence entre Modèlesérence entre Modèles homoghomogène et non-homogèneène et non-homogène
Modèle FriedmannEuclidien
Modèle non-homogène
EuclidienNon-commutativité
La Construction d’unLa Construction d’unModModèèle Gle Géénnéériquerique
La Construction d’unLa Construction d’unModModèèle Gle Géénnéériquerique
t1/3aD(t)=V
Le Modèle Standard
Espace - Temps de NewtonEspace - Temps de Newton
Le Modèle «Effectif»
a(t) = V 1/3
L’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienneL’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienne
t
MM
MM
x1
x2
xi = fi (qj,t)
i,j=1,2,3
L’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienneL’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienne
t
M
M
x1
x2
La dLa déformation lagrangienneéformation lagrangienne
t
x1q1q1
f1 (q1 ,t)
v1 = f1 (q1 ,t)
x1
L’évolution du volumeL’évolution du volume L’évolution du volumeL’évolution du volume
xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q
<A>: = 1/V sD A d3 x
Lisser une distribution Lisser une distribution AA Lisser une distribution Lisser une distribution AA
xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q
Non-CommutativitNon-CommutativitééNon-CommutativitNon-Commutativitéé
Entropie d’information Entropie d’information relativerelative
Kullback-Leibler :
S > 0 d/dt S > 0 :
L’information dans l’Univers augmente !en compétition avec l’expansion
Quelle est la dynamique du domaine ?
Maintenant :Etude du taux d’expansion
Lisser sur un domaine spatial :
Le règle de non-commutativé :
L’équation de Raychaudhuri :
Lisser le taux d’expansion :
L’équation de Euler : d/dt vi = gi
) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j
Vi,j = 1/3 ij + ij + ij
i = j
L’équation de Newton : gi,i = – 4 G
)L’équation de Raychaudhuri
Les Les ééquations quations ggénéralisées énéralisées de Friedmann de Friedmann
Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :
Le Quatuor CosmiqueLe Quatuor Cosmique Le Quatuor CosmiqueLe Quatuor Cosmique
Les paramètres cosmologiques effectifs :
Le paramètre de Hubble effectif :
avec :
Modèle analytique de vitesses
Est-ce qu’il y a des autres possibilitésd’avoir Q = 0 ?
1. Régions sphériques
2. Conditions frontières
Les Boules en Fer de Les Boules en Fer de NewtonNewton
Les Boules en Fer de Les Boules en Fer de NewtonNewton
aaRR
« Top-Hat »
QR = 0
PropriPropriétéétés Globales s Globales des Moddes Modèèles Newtoniensles Newtoniens
Les conditions de frontiLes conditions de frontière sont périodiquesère sont périodiques
Le modèle effectif Newtoniensur l’échelle globale
est le même que le modèle standard !
Mais: les observationssont faites sur des échelles régionales
) on peut calculer les effets au niveau
régionalavec les outils standards !
Simulations des structures aux grands Simulations des structures aux grands échelleséchelles
E u c l i d e e n
MPA Garching
ModModèle èle lagrangien 2lagrangien 2ndnd ordre ordre 1024 cube1024 cube
C D M
Le modLe modèle èle lagrangien lagrangien perturbatifperturbatif avec avec un spectreun spectre coupcoupéé
numeriquenumerique
analytiqueanalytique
TZATZA
C D M
ModModèle analytique pourèle analytique pourles fluctuations intégralesles fluctuations intégrales
xxii = f = f ZZii (q,t) = a (t) (q,t) = a (t) qqii + b (t) + b (t) ii (q) (q)
v v ZZii = d/dt f = d/dt f ZZ
ii
)) Q QZZ = Q = QZZ ( v ( v ZZi i , v , v ZZ
i,ji,j ) )
1.1. L’approximation de Zel’dovich : L’approximation de Zel’dovich :
2.2. Evolution perturbative du volume : Evolution perturbative du volume :
JJZZ = det (f = det (f ZZi|ki|k) = a) = a33 [ 1 + b [ 1 + b I I + b + b22 II + b II + b33 III ] III ]
aaDD33 (t) = a (t) = a33 [ 1 + b [ 1 + b < I >< I >ii + b + b22 < II > < II >ii + b + b33 < III > < III >ii ] ]
Les Invariants de i|k := ( i / qk ) :
I := trace ( i|k )
II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ]
III := det ( i|k )
3.3. Evolution non-perturbative du volume Evolution non-perturbative du volume : :Les relations dans le cas sphérique :
< II > = 1/3 < I > 2 < III > = 1/27 < I > 3
) QZ= 0
RRésultat :ésultat : échelle 100 Mpc/héchelle 100 Mpc/hRRésultat :ésultat : échelle 100 Mpc/héchelle 100 Mpc/h
Variance CosmiqueVariance CosmiqueVariance CosmiqueVariance Cosmique
300 300 Mpc/hMpc/h 600 600 Mpc/hMpc/h
Conclusions :
Les effets Newtoniens sont régionaux
Il ne peut pas remplacerquantitativement «« l’énergie noire »»
«« Backreaction »» peut se comporterqualitativement comme `` (t) ‘’
Mais les autres paramètres cosmologiquessont influencés indirectement
et peuvent changer beaucoup !
Le Contexte RLe Contexte RelativisteelativisteLe Contexte RLe Contexte Relativisteelativiste
t1/3aD= VR
Espace - Temps de EinsteinEspace - Temps de Einstein
d2 s = - dt2 + gij dXi dXj
gij
t
La condition d’intégrabilité : La condition d’intégrabilité :
Les Les ééquations quations ggénéralisées énéralisées de Friedmann de Friedmann
Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :
Le cas homogène :
Lisser la gLisser la géometrieéometrieLisser la gLisser la géometrieéometrie
,g
t = const.
E3
Conclusions :
Les équations relativistes intégralessont les mêmes
que les équations Newtoniennes !
Globalement on n’a pas Q = 0Q est relié à <R>
( La courbure globale change avec la formation des structures ! )
Les autres paramètres cosmologiquespeuvent changer beaucoup,
alors: l’effet de la courbure peut être important ( «« l’énergie noire » )» )
Seconde Partie :
Statistique Non-linéairedes Modèles Cosmologiques
Les Fonctionelles de MinkowskiLes Fonctionelles de Minkowski
Minkowski (1903)Minkowski (1903)
Les Fonctionelles de Minkowski :
Propriétés intégralesdu domaine
Gauss-Bonnet
Ici: La Topologie !
La Morphologie du DomaineLa Morphologie du DomaineLa Morphologie du DomaineLa Morphologie du Domaine
Fonctionelles de Minkowski
Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer
La boule en fer de Newton :
Les équations généraliséesde Friedmann :
Le terme « réréaction » :
Point de Vue Morphologique :
La morphologie du domainecontrôle l’évolution effective
des champs dans le domaine
Mais la topologie peut changer !!
Changement de TopologieChangement de TopologieChangement de TopologieChangement de Topologie
SingularitSingularités des Frontsés des FrontsSingularitSingularités des Frontsés des Fronts
Comment construire un corps (un domaine)
à partir des données observées ?
Exemples des données :
catalogues des galaxies=
une collection de points
Le construction d’un corps ILe construction d’un corps ILe construction d’un corps ILe construction d’un corps I
CfACfAComaComa
Les contours « Les contours « excursion excursion »»Les contours « Les contours « excursion excursion »»
ModModèle èle BooleBoole
LeLe constructionconstruction d’un corps d’un corps IIII
MorphomMorphoméétrietrie
en fonctionen fonctionde l’de l’échelleéchelle
MorphomMorphoméétrietrie
en fonctionen fonctionde l’de l’échelleéchelle
rr rr
rr rr
11 22
33 44
Morphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un Catalogue
A P MA P M
Les donnLes données limitées au volume 3Dées limitées au volume 3DLes donnLes données limitées au volume 3Dées limitées au volume 3D
100 100 Mpc/hMpc/h
P S C zP S C z
0,8 Jy :0,8 Jy :676 / 661676 / 661
A P MA P M
Les Fluctuations MorphologiquesLes Fluctuations Morphologiquesdans le Catalogue PSCzdans le Catalogue PSCz
Les Fluctuations MorphologiquesLes Fluctuations Morphologiquesdans le Catalogue PSCzdans le Catalogue PSCz
Sloan Digital Sky Survey – Sample 12Sloan Digital Sky Survey – Sample 12 150 000 galaxies150 000 galaxies
Sloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky Survey
Région 2
Région 1
Sample 12Sample 12
Sample 10Sample 10
PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-
homogèneshomogènes
ConclusionsConclusions
PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-
homogèneshomogènes
ConclusionsConclusionsModèle Newtonien : globalement = Modèle Standard
au niveau régional : 1) quatuor cosmique ! Q 2) variance cosmique
( Q petit, mais les autres paramètres changent beaucoup ! )
3) contrôlé par les fonctionelles de Minkowski
Modèle relativiste : courbure globale change avec la formation des structures ! <R> / Q
Aparté :
Relation entre la morphologiedu domaine
et la dynamique intégraledu domaine
Fixer la frontFixer la frontère du domaineère du domaine
S = const
dS = r S / |r S |
Espace de ParamEspace de Paramètres Completètres Complet
..
Lisser les Espace Lisser les Espace RiemannienRiemannien
Ricci-Hamilton-FlowRicci-Hamilton-Flow
i ji j
i ji j
ｇｇｇｇ ｇｇｇｇ
KK KK
KKKK i ji j
i ji j
（）（）
Lisser la GLisser la Géometrie et la Masseéometrie et la MasseLisser la GLisser la Géometrie et la Masseéometrie et la Masse
,g
Preserving thePreserving theHamiltonian ConstraintHamiltonian Constraint
Preserving thePreserving theHamiltonian ConstraintHamiltonian Constraint
0,3 0,7