p12 analisis variansi (anova)

8
1 1 Vembri Noor Helia, ST., MT. Penyebaran Data atau Variasi : Variansi Variansi (variance 2 s atau 2 ), adalah ukuran yang menunjukkan rata-rata kuadrat penyimpangan data dari nilai rata-rata data (mean value). Variansi dihitung sebagai berikut ) 1 /( ) ( 1 2 2 n x x s n i i , dimana (n-1) adalah derajat kebebasan (degree of freedom) dari sejumlah n data setelah berkurang satu karena telah digunakan untuk menghitung nilai rata-rata x . Dari perhitungan tersebut, dapat diturunkan cara perhitungan lain yang dinilai lebih mudah untuk penghitungan secara manual sebagai berikut ) 1 /( / ) ( 1 1 2 2 n n x x s n i i n i i . 2 Ada cara perhitungan lain yang dilakukan dengan melihat perbedaan setiap pasang data seperti pada persamaan berikut ) 1 ( 2 / ) ( 1 1 2 2 n n x x s n i n j j i . Dengan cara ini, tidak terlihat adanya perhitungan nilai rata-rata (lokasi pemusatan data). Penggunaan (n-1) sebagai ganti n menghasilkan estimasi tidak bias untuk variansi populasi. Jika digunakan nilai rata- rata yang bukan berasal dari data (misalkan diketahui ), maka derajat kebebasannya (degree of freedom) tetap berjumlah n, dan variansi dihitung sebagai berikut n x s n i i / ) ( 1 2 2 . 3 Simpangan baku Simpangan baku atau standard deviation (s atau ) menunjukkan rata-rata penyimpangan data dari nilai rata-ratanya, atau akar kuadrat dari variansi ) 1 /( ) ( 1 2 n x x s n i i atau n x s n i i / ) ( 1 2 . Dalam distribusi normal, rata-rata menunjukkan parameter lokasi, sedangkan deaviasi standar menunjukkan parameter skala (sebagai kluster data-data observasi). Statistik ini memiliki bias yang besarnya dapat dilihat sebagai faktor koreksi ) 3 4 /( ) 1 ( 4 4 n n c (lihat tabel pada buku pengendalian kualitas). 4 Koefisien variasi Koefisien variasi (coefficeint of variation, CV) diberikan oleh persamaan berikut (biasanya dinyatakan dalam %) x s CV / . Statistik ini penting, karena menghasilkan skala yang memiliki nilai nol yang mutlak dan digunakan untuk membandingkan variasi antara dua variabel yang berbeda dimensi Rentang Rentang atau range (R) adalah ukuran yang menunjukkan selisih antara data terbesar dengan data terkecil pada sebuah kelompok data. Nilai simpangan baku dapat diestimasi dengan menggunakan rata-rata rentang R yang dikonversikan sebagai 2 / ˆ d R s , dimana 2 d (ditentukan oleh ukuran sampel). n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 d 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 5 Perhatikan contoh berikut: Diperoleh data nilai hasil penjualan dua jenis produk di beberapa outlet untuk perioda bulan yang lalu dan bulan ini sebagai berikut: Produk A Produk B Outlet Bulan lalu Bulan ini Bulan lalu Bulan ini East 89.7 87.3 84.7 86.3 West 81.4 79.7 86.1 79.3 North 84.5 85.1 83.2 82.6 South 84.8 81.7 91.9 89.1 (dalam Rp. 000.000,-) Rata-rata hasil penjualan produk A (84.28), dan produk B (85.40) Rata-rata hasil penjualan bulan lalu (85.79), dan bulan ini (83.89) Rata-rata hasil penjualan outlet East (87), West (81.63), North (83.85), dan South (86.88) 6

Upload: taufik-sopei-dewa-pnyabar

Post on 02-Feb-2016

72 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Penjelasan mengenai uji analisis anova untuk anak kuliah

TRANSCRIPT

Page 1: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

1

1

Vembri Noor Helia, ST., MT.

Penyebaran Data atau Variasi :

Variansi

Variansi (variance 2s atau 2 ), adalah ukuran yang menunjukkan rata-rata kuadrat penyimpangan data dari nilai rata-rata data (mean value). Variansi dihitung sebagai berikut

)1/()(1

22

nxxsn

ii ,

dimana (n-1) adalah derajat kebebasan (degree of freedom) dari sejumlah n data setelah berkurang satu karena telah digunakan untuk menghitung nilai rata-rata x . Dari perhitungan tersebut, dapat diturunkan cara perhitungan lain yang dinilai lebih mudah untuk penghitungan secara manual sebagai berikut

)1/(/)(11

22

nnxxsn

ii

n

ii .

2

Ada cara perhitungan lain yang dilakukan dengan melihat perbedaan setiap pasang data seperti pada persamaan berikut

)1(2/)(1 1

22

nnxxsn

i

n

jji .

Dengan cara ini, tidak terlihat adanya perhitungan nilai rata-rata (lokasi pemusatan data). Penggunaan (n-1) sebagai ganti n menghasilkan estimasi tidak bias untuk variansi populasi. Jika digunakan nilai rata-rata yang bukan berasal dari data (misalkan diketahui ), maka derajat

kebebasannya (degree of freedom) tetap berjumlah n, dan variansi dihitung

sebagai berikut nxsn

ii /)(

1

22

.

3

Simpangan baku Simpangan baku atau standard deviation (s atau ) menunjukkan rata-rata penyimpangan data dari nilai rata-ratanya, atau akar

kuadrat dari variansi )1/()(1

2

nxxsn

ii atau

nxsn

ii /)(

1

2

. Dalam distribusi normal, rata-rata

menunjukkan parameter lokasi, sedangkan deaviasi standar menunjukkan parameter skala (sebagai kluster data-data observasi). Statistik ini memiliki bias yang besarnya dapat dilihat

sebagai faktor koreksi )34/()1(44 nnc (lihat tabel pada

buku pengendalian kualitas).

4

Koefisien variasi Koefisien variasi (coefficeint of variation, CV) diberikan oleh persamaan berikut (biasanya dinyatakan dalam %)

xsCV / . Statistik ini penting, karena menghasilkan skala yang memiliki nilai nol yang mutlak dan digunakan untuk membandingkan variasi antara dua variabel yang berbeda dimensi

Rentang Rentang atau range (R) adalah ukuran yang menunjukkan selisih antara data terbesar dengan data terkecil pada sebuah kelompok data. Nilai simpangan baku dapat diestimasi dengan menggunakan rata-rata rentang R yang dikonversikan sebagai

2/ˆ dRs , dimana 2d (ditentukan oleh ukuran sampel).

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2d 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078

5

Perhatikan contoh berikut: Diperoleh data nilai hasil penjualan dua jenis produk di beberapa outlet untuk perioda bulan yang lalu dan bulan ini sebagai berikut:

Produk A Produk B

Outlet Bulan lalu Bulan ini Bulan lalu Bulan ini

East 89.7 87.3 84.7 86.3 West 81.4 79.7 86.1 79.3 North 84.5 85.1 83.2 82.6 South 84.8 81.7 91.9 89.1

(dalam Rp. 000.000,-)

Rata-rata hasil penjualan produk A (84.28), dan produk B (85.40)

Rata-rata hasil penjualan bulan lalu (85.79), dan bulan ini (83.89)

Rata-rata hasil penjualan outlet East (87), West (81.63), North (83.85), dan South (86.88)

6

Page 2: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

2

Dari data-data tersebut muncul pertanyaan berikut: Apakah ada perbedaan nilai penjualan dilihat dari faktor-faktor jenis produk, perioda waktu penjualan atau lokasi penjualan (outlet)? Apakah ada pengaruh bersama (interaksi) dari faktor-faktor tersebut sehingga terdapat variasi pada nilai penjualan?

7 8

• ANOVA (ANalysis Of VAriance)

adalah metoda statistika untuk menentukan keberadaan (existence) perbedaan (differences) dari beberapa rata-rata populasi.

9

ANOVA dirancang untuk mendeteksi perbedaan dari rata-rata populasi karena adanya perbedaan perlakukan (treatments) tertentu.

ANOVA adalah pengujian terpadu (joint test)

▪ Kesamaan beberapa rata-rata populasi diuji secara bersamaan atau simultan.

ANOVA menguji kesamaan beberapa rata-rata populasi dengan mengevaluasi dua estimator variansi populasi (karenanya disebut analysis of variance).

10

Diperlukan r sampel random independen dimana setiap sampel berkaitan dengan sebuah perlakuan tertentu.

Total observasi yang diperlukan adalah

n = n1+ n2+ n3+ ...+nr.

Sehingga rata-rata sampel: x1, x2 , x3 , ... , xr

Rata-rata sampel ini digunakan untuk menghitung estimator variansi populasi. Jika rata-rata populasi sama maka variansi diantara rata-rata sampel tersebut kecil.

Variansi sampel : s12, s2

2, s32, ...,sr

2

Variansi sampel ini digunakan untuk menentukan pooled estimator dari variansi populasi.

11

• Asumsikan sampling random independen dari setiap populasi.

• Asumsikan pula bahwa populasi tersebut: Berdistribusi normal,

memiliki rata-rata i (dapat sama atau berbeda),

dengan variansi yang sama, i2.

1 2 3

Population 1 Population 2 Population 3

Statistik uji:

F(r-1, n-r) =Estimasi variansi dari rata-rata sampel

Estimasi variansi dari seluruh observasi

Statistik uji dalam analisis variansi dilandasi oleh rasio dua estimator

variansi dengan (r-1) degrees of freedom untuk pembilang dan (n-r)

degrees of freedom untuk penyebut.

Uji hipotesis:

H0: 1 = 2 = 3 = 4 = ... r

H1: tidak semua i (i = 1, ..., r) sama

12

Page 3: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

3

x

x

x

Jika hipotesis awal benar:

Diharapkan bahwa rata-rata sampel hampir

bernilai sama, karenya diharapkan juga bahwa

variasi diantara rata-rata sampel (between

sample) kecil, relatif terhadap variasi pada rata-

rata sampel tertentu (within sample).

Jika hipotesisi awal benar, pembilang pada

statistik uji kecil, relatif terhadap pembilang:

F(r-1, n-r)=Estimate of variance based on means from r samples

Estimate of variance based on all sample observations

H0:

13

x xx

Jika hipotesis awal salah:

is equal to but not to ,

is equal to but not to ,

is equal to but not to , or

, , and are all unequal.

Dalam kondisi tersebut diinginkan variansi diantara rata-rata sampel (between

sample) besar relatif terhadap variasi disekitar rata-rata sampel individual (within

sample).

Jika hipotesis awal tidak dapat diterima, statistik uji pembilang besar relatif

terhadap penyebut:

F(r-1, n-r)=Estimate of variance based on means from r samples

Estimate of variance based on all sample observations

14

15

•Dari 4 populasi, diambil sampel random n1 + n2 + n3 + n4 = 54. Statistik

uji :F(4-1, 54-4)= F(3,50) = Estimate of variance based on means from 4 samples

Estimate of variance based on all 54 sample observations

543210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0F(3,50)

f (F)

FDistributionwith3 and 50 Degrees of Freedom

2.79

a=0.05

Area penerimaan (untuk a=0.05) adalah F

2.79, dan area penolakan F > 2.79. Jika

statustik uji kurang dari 2.79 maka hipotesis

awal diterima, dan disimpulkan rata-rata 4

populasi sama. Sebaliknya jika statistik uji

lebih besar dari 2.79, hipotesis awal ditolak,

artinya rata-rata ke-4 populasi tidak sama.

Randomly chosen groups of customers were served different types of coffee and asked to rate the

coffee on a scale of 0 to 100: 21 were served pure Brazilian coffee, 20 were served pure Colombian

coffee, and 22 were served pure African-grown coffee.

The resulting test statistic was F = 2.02

berbeda). signifikan secara(tidak sama dianggap populasi

rata-rata ketiga artinya ditolak,dapat tidak 0

H

15.360,2

02.2

15.360,2363,13)-(,1-

:adalah 0.05=untuk kritis Batas

3=r

63=22+20+21=n 22=3

n 20=2

n 21=1

n

equal means threeallNot :1

H321

:0

H

FF

FFrnr

F

a

543210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0F

f( F)

F Distribution with 2 and 60 Degrees of Freedom

a=0.05

Test Statistic=2.02 F(2,60)=3.15

16

Rata-rata total , x, adalah rata-rata dari n = n1+ n2+ n3+...+ nr observasi dari

seluruh r sampel.

i. -ke populasi dari sampel dalam j-ke dataadalah ij

dimaan x

1 =1 ij

x1

=

:points) data (all totalrata-Rata

1 ij

x

=

:r)1,2,3,...,=(i i sampel rata-Rata

i

ni

n

in

j

r

ii

x

in

in

ji

x

r

ixn

17 18

Jika rata-rata r populasi berbeda (paling

tidak dua populasi), maka variasi data di

sekitar rata-rata populasi tersebut (within

sample variation) akan kecil relatif

terhadap variasi rata-rata r sampel di

sekitar rata-rata total (between sample

variation).

Distance from data point to its sample mean

Distance from sample mean to grand mean

1050

x3=2

x2=11.5

x1=6

x=6.909

Treatment (j) Sample point(j) Value(xij)i=1 Triangle 1 4Triangle 2 5Triangle 3 7Triangle 4 8

Mean of Triangles 6i=2 Square 1 10Square 2 11Square 3 12Square 4 13

Mean of Squares 11.5i=3 Circle 1 1Circle 2 2Circle 3 3

Mean of Circles 2Grand mean of all data points 6.909

Page 4: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

4

e x xij ij i

t x xi i

Prinsip ANOVA (hipotesis awal):

Jika rata-rata populasi tidak sama, rata-rata error (within

sample) kecil dibandingkan dengan rata-rata treatment

(between sample) .

19

Error deviation adalah perbedaan antara sebuah data dengan rata-rata sampelnya,

dan dinyatakan dengan e

Treatment deviation adalah perbedaan antara sebuah rata-rata sampel dengan

rata-rata total dan dinyatakan dengan ti

Untuk data x24=13, rata-rata sampel 2 = 11.5, dan

rata-rata total 6.909, maka:

e x x

t x x

Tot t e

Tot x x

24 24 2 13 11 5 1 5

2 2 11 5 6 909 4 591

24 2 24 1 5 4 591 6 091

24 24 13 6 909 6 091

. .

. . .

. . .

. .

or

1050

x2=11.5x=6.909

x24=13

Total deviation:

Tot24=x24-x=6.091

Treatment deviation:

t2=x2-x=4.591

Error deviation:

e24=x24-x2=1.5

Deviasi total (Totij) adalah berbedaan antara data (xij) dan rata-rata total (x):

Totij=xij - x

Untuk setiap data xij: Tot = t + e, artinya:

Deviasi total = Deviasi karena Treatment + Deviasi karena Error

20

2)(2

2)(2)(=2+ 2

:deviasiKuadrat

atas. dipersamaan darin dikeluarkadapat )( sample rata-Rata

)()()(=+

:error deviasidan treatmentdeviasijumlah adalah totalDeviasi

xij

xij

Tot

ix

ijxx

ix

ije

it

ix

ijTotx

ijx

ix

ijxx

ix

ije

it

Error Deviasi +Treatment Deviasi = Total Deviasi

21

1 1

2)(

1

2)(

in=

1 1

2)(

1 1

2+

1

2

1 1

2

r

i

jn

ji

xij

xr

i

xi

xr

i

jn

j

xij

x

r

i

jn

jij

er

ii

ti

nr

i

jn

jij

Tot

deviasikuadrat Jumlah

The Sum of Squares Principle

Jumlah kuadrat total (SST) adalah jumlah dari (i) jumlah kuadrat karena

treatment (SSTr)dan (ii) jumlah kuadrat error (SSE).

SST = SSTr + SSE

22

SST

SSTr SSE

SST mengukur variasi total semua data individual terhadap rata-rata total (grand

mean).

SSTr mengukur variasi yang dapat dijelaskan (explained variation) antara rata-rata

sampel terhadap rata-rata total. Variasi ini dijelaskan karena adanya perlakukan

(treatment) tertentu (between groups of data points).

SSE mengukur variais yang tidak dapat dijelaskan (unexplained variation) dalam

setiap sampel (within each group).

23

The number of degrees of freedom associated with SST is (n - 1).

n total observasi pada semua sampel

The number of degrees of freedom associated with SSTR is (r - 1).

r jumlah rata-rata sampel

The number of degrees of freedom associated with SSE is (n-r).

n total observasi pada semua sampel dan r jumlah rata-rata sampel

The degrees of freedom bersifat aditif, sehingga:

df(total) = df(treatment) + df(error)(n - 1) = (r - 1) + (n - r)

24

Page 5: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

5

Penghitungan nilai variansi dilakukan dengan membagi jumlah kuadrat

deviasi dengan jumlah degrees of freedom, disebut sebagai mean squared

deviations .

Mean square treatment (MSTR):

Mean square error (MSE):

Mean square total (MST):

(Note: MST MSTR + MSE).

MSTRSSTR

r

( )1

MSESSE

n r

( )

MSTSST

n

( )1

25

E MSE

E MSTRni i

r

i

( )

dan

( )( ) jika hipotesisi awal benar

> jika hipotesisi awal salah

dimana rata-rata populasi i dan adalah rata-rata r populasi

2

22

1

2

2

Ekspektasi rata-rata kuadrat kesalahan (mean square error (MSE) adalah variansi populasi secara

umum (asumsikan kesamaan variansi), ekspektasi jumlah kuadrat variasi treatment (MSTR)

adalah variansi populasi secara umum plus sebuah komponen variasi rata-rata sampel secara

individual dengan rata-rata total.

Jika hipotesis awal benar, maka rata-rata setiap populasi adalah sama sehingga komponen

kedua dari E(MSTR) adalah nol, dan E(MSTR) adalah variansi populasi secara umum σ2.

26

Jika hipotesis ANOVA benar bahwa r rata-rata populasi sama, population

means are equal, MSTR dan MSE independent unbiased estimators untuk

variansi populasi 2.

Sebaliknya, jika hipotesis tersebut salah maka MSTR akan lebih besar dari

MSE, atau

Rasio MSTR terhadap MSE dapat digunakan sebagai indikator

kesamaan (atau ketidaksamaan) r rata-rata populasi.

Rasio (MSTR/MSE) akan mendekati satu jika hipotesis tersebut benar, dan

lebih besar dari satu jika ada kecenderungan hipotesis tersebut salah. Uji

dengan ANOVA adalah menguji apakah rasio (MSTR/MSE) sama dengan

satu , atau lebih besar dari satu.

27

Rasio (MSTR/MSE) mengikuti distribusi F dengan degrees of freedom

(r-1) untuk pembilang dan (n-r) untuk penyebut.

Statistik uji untuk analisis variansi:

( - , - )FMSTR

MSEr n r1

28

( )2

ni

( )2

Critical p oint ( = 0.01): 8.65

H0

may be rejected at the 0.01 level

of significance.

SSE xij

xi

j

nj

i

r

SSTR xi

x

i

r

MSTRSSTR

r

MSESSTR

n r

FMSTR

MSE

1

17

1

1

159 9

1

159 9

3 179 95

17

82 125

2 8

79 95

2 12537 62

.

.

( ).

.

( , )

.

.. .

a

Treatment (i) i j Value (x ij ) (x ij -xi ) (x ij -xi )2

Triangle 1 1 4 -2 4

Triangle 1 2 5 -1 1

Triangle 1 3 7 1 1

Triangle 1 4 8 2 4

Square 2 1 10 -1.5 2.25

Square 2 2 11 -0.5 0.25

Square 2 3 12 0.5 0.25

Square 2 4 13 1.5 2.25

Circle 3 1 1 -1 1

Circle 3 2 2 0 0

Circle 3 3 3 1 1

73 0 17

Treatment (xi -x) (xi -x)2

ni (x i -x)2

Triangle -0.909 0.826281 3.305124

Square 4.591 21.077281 84.309124

Circle -4.909 124.098281 72.294843

159.909091

29

Source of

Variation

Sum of

Squares

Degrees of

Freedom Mean Square F Ratio

Treatment SSTR=159.9 (r-1)=2 MSTR=79.95 37.62

Error SSE=17.0 (n-r)=8 MSE=2.125

Total SST=176.9 (n-1)=10 MST=17.69

100

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0F(2,8)

f(F

)

F Distribution for 2 and 8 Degrees of Freedom

8.65

0.01

Computed test statistic=37.62

Tabel ANOVA menyimpulkan

perhitungan-perhitungan.

Karena satistik uji lebih besar dari nilai

kritis untuk a=0.01, hipotesis awal

ditolak, artinya rata-rata triangles,

squares, dan circles tidak sama.

30

Page 6: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

6

Treat Value

1 41 51 71 82 102 112 122 133 13 23 3

MTB > Oneway 'Value' 'Treat'.

One-Way Analysis of Variance

Analysis of Variance on Value Source DF SS MS F pTreat 2 159.91 79.95 37.63 0.000Error 8 17.00 2.12Total 10 176.91

The MINITAB output includes not only the ANOVA table and the test statistic,

but it also gives a p-value corresponding to the calculated F-ratio. In this

instance the p-value is approximately 0, so the null hypothesis can be rejected

at any common level of significance.

31

The EXCEL output is created by selecting ANOVA: SINGLE FACTOR option

from the DATA ANALYSIS toolkit. The critical F value is based on a = 0.01.

The p-value is very small, so again the null hypothesis can be rejected at any

common level of significance.

Anova: Single Factor

SUMMARY

Groups Count Sum Average Variance

TRIANGLE 4 24 6 3.333333333

SQUARE 4 46 11.5 1.666666667

CIRCLE 3 6 2 1

ANOVA

Source of Variation SS df MS F P-value F crit

Between Groups 159.9090909 2 79.95454545 37.62566845 8.52698E-05 8.64906724

Within Groups 17 8 2.125

Total 176.9090909 10

32

Data ANOVA

Do Not Reject H0 Stop

Reject H0

Rata-rata sampel adalah estimator unbiased untuk rata-rata populasi.

Mean square error (MSE) adalah estimator unbiased untuk variansi populasi.

Further

Analysis

Confidence Intervals

for Population Means

Tukey Pairwise

Comparisons Test

33

Duncan’s multiple range test

Sebuah rentang (1-α) 100% untuk rata-rata populasi ke-i:

dimana tα/2 adalah nilai distribusi t dengan (n-r) degree of freedom

di batas kanan untuk luas areaa

2

ax tMSE

ni

i

±2

34

35

Uji ketidak-samaan rata-rata populasi:Newman-Keuls test

(Newman 1939; Keuls 1952).Tukey test (pairwise comparison)

(Tukey 1953).Duncan’s multiple range test

(Duncan 1955).

•Uji Tukey Pairwise Comparison, atu Honestly Significant Differences (MSD)

memungkinkan untuk membandingkan setiap pasang rata-rata populasi dengan sebuah tingkat

pembedaan (single level of significance).

•Uji ini dilandasi oleh studentized range distribution, q, dengan r dan (n-r) degrees of

freedom.

•Nilai kritis dalam uji Tukey Pairwise Comparisons adalah Tukey Criterion:

dimana ni adalah ukuran sampel terkecil dianatar r sample.

•Statistik uji adalah perbedaan absolut (absolute value of the difference) antara rata-rata sampel,

dan hipotesis awal ditolak jika statistik uji lebih besar dari nilai kritis kriteria Tukey

(Tukey Criterion)

T qMSE

ni

a

compare. tomeans population of pairs )!2(!2

!

2

r are e that therNote

r

r

36

Page 7: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

7

Contoh:

i Treatment Mean I. H0: 1 2 VI. H0: 2 4

1 Guadeloupe 89 H1: 1 2 H1: 2 4

2 Martinique 75 |89-75|=14>13.7* |75-91|=16>13.7*

3 Eleuthra 73 II. H0: 1 3 VII. H0: 2 5

4 Paradise Is. 91 H1: 1 3 H1: 2 5

5 St. Lucia 85 |89-73|=16>13.7* |75-85|=10<13.7

III. H0: 1 4 VIII. H0: 3 4

The critical point T0.05 for H1: 1 4 H1: 3 4

r=5 and (n-r)=195 |89-91|=2<13.7 |73-91|=18>13.7*

degrees of freedom is: IV. H0: 1 5 IX. H0: 3 5

H1: 1 5 H1: 3 5

|89-85|=4<13.7 |73-85|=12<13.7

V. H0: 2 3 X. H0: 4 5

H1: 2 3 H1: 4 5

|75-73|=2<13.7 |91-85|= 6<13.7

Reject the null hypothesis if the absolute value of the difference between the sample means

is greater than the critical value of T. (The hypotheses marked with * are rejected.)

T qMSE

ni

a

386504 4

4013 7.

..

37

Hipotesis awal yang membandingkan rata-rata populasi 1 dan 2, 1 dan 3, 2 dan 4, dan 3 dan 4 ditolak. Sebaliknya, hipotesis awal kesamaan rata-rata populasi 1 dan 4, 1 dan 5, 2 dan 3, 2 dan 5, 3 dan 5, dan 4 dan 5 diterima.

Garis tebal mengindikasikan pengelompokkan tiga rata-rata populasi, yaitu:

2 dan 3; 2, 3, dan 5; dan 1, 4, dan 5.

1

2

3

4

5

38

Uji ketidak samaan rata-rata populasi:Newman-Keuls test (Newman 1939; Keuls 1952)Tukey test (Tukey 1953)Duncan’s multiple range test (Duncan 1955).

39

Duncan’s multiple range test:Urutkan rata-rata populasi (kecil – besar)Tentukan standar error setiap rata-rataTemukan nilai ra(p,f), untuk p=2,3,…a (a adalah rentang terbesar)Hitung rentang perbedaan deviasi Rp

40

Tentukan standar error setiap rata-rata

Temukan nilai ra(p,f) dari tabelHitung rentang perbedaan deviasi (least significance range)

41

Contoh:Industri kertas mengamati pengaruh konsetrasi “hardwood” 5%;10%;15%;20% dan 25%. Setiap sampel berukuran 5, sehingga ada 25 data (degree of freedom error 25-5=20). Diketahui MSE=8.06, sehingga stadar error adalah 1,27. Urutan rata-rata adalah:

42

Least significance range:

Page 8: P12 Analisis Variansi (ANOVA)

8

43

Pengamatan pasangan rata-rata:

44

45