p2 - ugib proste ploce

7/25/2019 P2 - Ugib Proste Ploce

1/6

PRORAUN DEFORMACIJA PLOE OSLONJENE U JEDNOM PRAVCU P2/1

Projektovanje i graenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEBE

Odrediti maksimalni ugib ploe iz primera P1, uzimajui u obzir i efekte teenja betona.Ukoliko je doputena vrednost ugiba prekoraena, predloiti zadovoljavajue reenje.

1 PRORAUN DEFORMACIJA POS 1

Ploa je dimenzionisana u primeru P1. Usvojena je debljina ploe dp= 18 cm, u donjoj zoni

je armirana armaturom R14/10 (Aa1= 15.39 cm2

/m), dok u gornjoj zoni nije predvienaarmatura (Aa2= 0). Ploa je u umereno agresivnoj sredini.

Oznaavanje pojedinih geometrijskih veliina koje se pojavljuju u proraunu je sprovedenona isti nain kao i u Priruniku za primenu Pravilnika BAB 87:

- oznaka Iu eksponentu se odnosi na karakteristike neisprskalog, a oznaka IInakarakteristike isprskalog preseka;

- oznaka bu indeksu oznaava karakteristike betonskog preseka, oznaka aka-rakteristike armature dok se oznaka i koristi za karakteristike idealizovanogpreseka1;

- indeks 1se odnosi na zategnutu, a indeks 2na pritisnutu ivicu preseka.Uobiajeno, povrine preseka se oznaavaju slovomA, momenti inercije slovom J, otpornimomenti slovom Wa poloaji teita preseka slovom y.

Potrebne geometrijske karakteristike neisprskalog betonskog preseka i poloaj teitaukupne armature u preseku dati su sledeim izrazima:

AbI= bd = 10018 = 1800 cm2/m

yb1= yb2= d/2 = 18 / 2 = 9.0 cm

12

18100

12

dbJ

33Ib

=

= = 48600 cm4/m

Aa1= 15.39 cm2/m (R14/10) ; Aa2= 0 Aa= Aa1+ Aa2= 15.39 cm

2/m

Poloaj teita ukupne armature u odnosu na gornju ivicu preseka, kao i poloajni momentinercije armature u odnosu na teite ukupne armature, odreeni su kao:

ya2= h = d a1= 18 (2 + 1.4/2) = 15.3 cm ; Ja= 0

1.1 ELASTINO REENJE

Ugib u sredini raspona proste grede optereene jednako raspodeljenim optereenjemq=g+p po itavom rasponu, uvodei u proraun moment inercije BRUTO BETONSKOG

PRESEKA, odreen je izrazom:( )

86

4

bb

4

b 1048600105.31384

0.60.45.65

JE384

lq5v

+=

= = 11.610-3m = 11.6 mm

1.2 PRORAUN UGIBA U TRENUTKU NANOENJA OPTEREENJA

1.2.1 Poetni ugib, ukupno optereenje

Posebno se mora sraunati ugib za stanje I (bez prslina) i za stanje II (sa prslinama).

1 Pod pojmom idealizovani popreni presek se podrazumeva presek koji se sastoji od najmanje dvamaterijala, ije su mehanike karakteristike svedene na jedan (preovlaujui) uobiajeno beton


2/6



1.2.1.1 Stanje I (bez prslina) - ukupno optereenje

67.65.31

210

E

En

b

a ===

AiI= Ab

I+ nAa= 1800 + 6.6715.39 = 1903 cm2/m

( ) ( )1903 39156760931509A Anyyyy Iia

I

2b2aI2b

I2i ..... +=+= = 9.34 cm

Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I odreen je izrazom:

) )I2bI2iI2b2aIbaIbIi yyyyAJnJJ ++=

JiI= 48600 + 0 + 1800(15.3 - 9.0)(9.34 - 9.0) = 52453 cm4/m

52453

48600

J

Jk

Ii

IbI

a == = 0.927

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) optereenje, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:

v0I= ka

Ivb= 0.92711.6 = 10.7 mm

Da je itav nosa bez prslina, konstantne krutosti, proraunski elastini ugib usledukupnog, g+p optereenja, iznosio bi vg+p,0= 10.7 mm.

1.2.1.2 Stanje II (sa prslinama) - ukupno optereenje

Poloaj neutralne linije se odreuje reavanjem kvadratne jednaine oblika:

( ) ( ) 0n2sn2s 221212 =+++

%..

.

011315100

3915

hb

A 1a1 === ; 0hb

A 2a2 == ; 0h

a22 ==

0100116762s100116762s 222 =+ ....

01340s1340s2 =+ .. s = 0.305

xII= sh = 0.30515.3 = 4.67 cm

AbII= bxII= 1004.67 = 467 cm2/m

2

674

2

xy

IIIIb

.== = 2.34 cm

( )12

67410012xbJ

33

IIIIb

.== = 849 cm4/m

yi2II= xII= 4.67 cm

( ) ( )II2bII2iII2b2aIIbaIIbIIi yyyyAJnJJ ++=

JiII= 849 + 0 + 467(15.3 - 2.34)(4.67 - 2.34) = 14991 cm4/m

14991

48600

J

Jk

IIi

IbII

a == = 3.242

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) optereenje, za isprskali presek (stanje II) iznosi:v0

II= kaIIvb= 3.24211.6 = 37.5 mm


3/6



Da je itav nosaisprskao, konstantne krutosti koja odgovaraj preseku u sredini raspona,proraunski elastini ugib usled ukupnog, g+p optereenja, iznosio bi vg+p,0= 37.5 mm.

1.2.1.3 Poetni ugib u trenutku t=0 (ukupno optereenje)

Poto je ploa pod optereenjem g+p na jednom delu (u blizini oslonaca) u stanju bez prs-lina, dok je u sredinjem delu u isprskalom stanju, potrebno je vrednosti ugiba sraunate u

takama 1.2.1.1 i 1.2.1.2, koje predstavljaju donju odnosno gornju vrednost koja se moejaviti, na odreeni nain ponderisati (ovde: bilinearna metoda). Najpre je potrebnosraunati moment pojave prsline Mr:

m

cm6057

34918

52453

yd

J

y

JW

3

I2i

Ii

I1i

IiI

1i ==

==

.

MB 30 fbzm= 2.4 MPa (lan 51 PBAB 87)

244bzmbzs cm

kN2910MPa912

180

4060402

d

4060ff ..

.

...

.. ==

+=

+=

Mr=m

kNm2547MMm

kNm6171060572910WfM pg2I

1ibzsr ... =+


4/6



1.2.2.3 Poetni ugib u trenutku t=0 (stalno optereenje)

2529

61701011

0t01

500400RA01g0

2

1

.

...

)(.

)/(., =

==

== 0.397

vg,0= (1 - 0.397)6.6 + 0.39723.2 = 13.2 mm

1.3 PRORAUN UGIBA U TOKU VREMENA

Geometrijske karakteristike idealizovanog poprenog preseka (beton+armatura) sesraunavaju na isti nain kao za stanje t=0, s tim da se u odgovarajue izraze umestomodula deformacije betona Ebunosi korigovani efektivni modul Eb*.

=

=

5.2

8.0= 0.82.5 = 2.0

0.21

5.31

1

EE b*b +

=+

=

= 10.5 GPa 5.10

210

E

En

*b

a* == = 20

1.3.1 Trajni ugib, stalno optereenje

1.3.1.1 Stanje I (bez prslina) - stalno optereenje)

Ai*I= Ab

I+ n*Aa= 1800 + 2015.39 = 2108 cm2/m

( ) ( )2108

3915200931509

A

Anyyyy

Ii

aI2b2aI

2bI2i

....

*

** +=

+= = 9.92 cm

Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I odreen je izrazom:I

2b

I*

2i

I

2b2a

I

ba

*I

b

I*

i yyyyAJnJJ ++= Ji

*I= 48600 + 0 + 1800(15.3 - 9.0)(9.92 - 9.0) = 59035 cm4/m

( ) ( )[ ]I*2i2aI2i2aaaI*i

*I yyyyAJ

J

n1k +=

( ) ( )[ ]9293153493153915059035

201kI ..... += = 0.833

( ) ( ) I g,0Ig,bIIaI g, vk1vk1kv +=+=

Ugib u vremenu tusled stalnog optereenja, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:vIg, = (1+0.8332.5)6.6 = 20.5 mm

1.3.1.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno optereenje

Ai*II= Ab

II+ n*Aa= 467 + 2015.39 = 775 cm2/m

( ) ( )775

391520342315342

A

Anyyyy

IIi

aII

2b2aII2b

II2i

....

*

** +=

+= = 7.49 cm

II2b

II*2i

II2b2a

IIba

*IIb

II*i yyyyAJnJJ ++=

Ji*II

= 849 + 0 + 467(15.3 - 2.34)(7.49 - 2.34) = 32039 cm4

/m

( ) ( )[ ]II*2i2aII2i2aaaII*i

*II yyyyAJ

J

n1k +=


5/6



( ) ( )[ ]4973156743153915032039

201kII ..... += = 0.202

IIg,0

IIg,b

IIIIa

IIg, vk1vk1kv +=+=

Ugib u vremenu tusled stalnog optereenja, za isprskali presek (stanje II) iznosi:

vIIg, = (1+0.2022.5)23.2 = 35.0 mm

1.3.2 Trajni ugib u trenutku t (stalno optereenje)

2529

61750011

t50

500400RA01g

2

1

.

...

)(.

)/(., =

=

= = 0.698

vg, = (1 - 0.698)20.5 + 0.69835.0 = 30.6 mm

1.3.3 Trajni ugib, ukupno optereenje

Konana vrednost ugiba usled dejstva dugotrajnog (stalnog) i kratkotrajnog (povremenog)optereenja dobija se kao trenutna vrednost ugiba od ukupnog optereenja, uveana za

prirast ugiba kao posledice dugotrajnog dejstva stalnog optereenja:

( )0,g,g0,pg,pg vvvv += ++

vg+p. = vmax= 27.5 + (30.6 - 13.2) = 44.9 mm

cm2300

600

300

Lvcm494vv doppg ===>==+ ..max, .

Kako je prekoraen doputeni ugib, definisan lanom 117. Pravilnika BAB 87, potrebno jekorigovati neki od parametara.

vb= 11.6 mm - elastino reenje, bruto betonski presek

vg+p,0= 27.5 mm - trenutni ugib, ukupno optereenje, t=0

vg+p.= 44.9 mm - trajni ugib, ukupno optrereenje, t

Kako je doputena vrednost ugiba znatno prekoraena, trebalo bi debljinu ploe poveatiminimalno 311209443 .. = puta, to daje dp= 1.3118 = 24 cm. Meutim, poveanje deb-ljine ploe sa 18 na 24 cm poveava i intenzitet stalnog optereenja za 1.5 kN/m2, to do-datno poveava raunski ugib. Istovremeno, vea dimenzija ploe zahteva manju koliinuzategnute armature, ime se dodatno poveava koeficijent ka

IIkoji uvodi u proraun uticaj

isprskalosti preseka (smanjuje se Aa1, poveava h - po oba osnova poveava se kaII

). Sto-ga dimenzija od 24 cm sigurno nee biti dovoljna bez usvajanja dosta vee koliine arma-ture od potrebne za zadovoljenje graninog stanja nosivosti.

Rezultati varijantnih prorauna su prikazani tabelarno, radi lakeg poreenja. Najpre je plo-a podebljana na 24 cm, uz usvajanje armature potrebne prema graninom stanju nosi-vosti (oekivano, doputeni ugib je prekoraen). Zatim je za istu debljinu ploe usvojenaneto vea koliina armature, dovoljna da se ugib nae u doputenim granicama. Na kraju,ploa je podebljana na potrebnih 28 cm, uz usvajanje armature potrebne prema graninomstanju nosivosti. Kao definitivna je usvojena je trea varijanta (ploa 24 cm, armaturaR16/10, osenena kolona u tabeli na sledeoj strani).

Naravno, umesto ovde sprovedenog prorauna geometrijskih karakteristika idealizovanihpreseka u neisprskalom odnosno isprskalom stanju, mogu se koristiti i odgovarajui dija-grami (Prirunik za primenu Pravilnika BAB 87, Tom II, Prilog 3.4: Koeficijenti za proraunkrivine elementa pravougaonog preseka izloenih sloenom savijanju). Sa ovih dijagrama


6/6



se, u funkciji procenta armiranja zategnutom armaturom, oitavaju vrednosti koeficijenataka

I, kaII, k

I i kII, za ije se proraunavanje troi najvie vremena. Kod odreivanja uticaja

teenja, dijagrami su konstruisani za mlade (= 3), stare (= 1) i betone ume-rene starosti u trenutku nanoenja optereenja (= 2).

Ukoliko se koriste dijagrami za proraun koeficijenata, nije potrebno sraunavati moment

inercije idealizovanog poprenog preseka

I

iJ i odgovarajui otporni moment

I

1iW vemo-ment pojave prsline Mrtreba sraunati sa vrednou otpornog momenta Wb1.

dp cm 18 24 24 28g kN/m2 6.5 8 8 9p kN/m2 4 4 4 4Mg kNm/m 29.25 36 36 40.5Mp kNm/m 18 18 18 18Mu kNm/m 79.2 90 90 97.2h cm 15.3 21.4 21.2 25.4

Aa,potr. cm2/m 14.38 11.17 11.28 10.06

/ea 14/10 12/10 16/10 12/10Aa,usv.

cm2/m 15.39 11.31 20.11 11.31Jb

I cm4/m 48600 115200 115200 182933vb,g+p mm 11.57 5.58 5.58 3.81

JiI cm4/m 52453 121659 125945 192475

kaI 0.927 0.947 0.915 0.95

vg+pI,0 mm 10.72 5.28 5.10 3.62

JiII cm4/m 14991 24445 38093 35404

kaII 3.242 4.713 3.024 5.167

vg+pII

,0 mm 37.52 26.30 16.88 19.67Mr kNm/m 17.6 29.2 30.8 38.8

0,g+p 0.626 0.459 0.43 0.337

g+p,

t=

0

vg+p,0 mm 27.51 14.93 10.17 9.03vg

I,0 mm 6.64 3.52 3.40 2.50

vgII,0 mm 23.23 17.53 11.25 13.62

0,g 0.397 0.189 0.146 0.043g,t=0

vg,0 mm 13.22 6.17 4.55 2.98Ji

*I cm4/m 59035 133465 144351 210132

kI 0.833 0.867 0.809 0.874

vgI,t mm 20.46 11.16 10.28 7.98

Ji*II cm4/m 32039 56646 82078 83584

kII 0.202 0.147 0.196 0.135

vgII

,t mm 34.95 23.99 16.77 18.23

t,g 0.698 0.594 0.573 0.521

g,

t

vg,t mm 30.58 18.79 14.00 13.32

vg+p,tmm

44.87 27.55 19.62 19.37

p2 - ugib proste ploce

Documents