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Modes propres 63
D7 : Vibrations transversales dune poutre droite libre
Rfrence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 108
Problme :
Lossature plane reprsente sur la figure est constitue dune poutre droite ( 1-2 ) de longueur L et desection constante : carr plein de ct c. Soient E le module dYoung du matriau et sa massevolumique.
On donne : L = 1.2 m , E = 210000 MPa , = 7800 kg m-3
c = 20 mm
Le cisaillement transversal est nglig ( hypothse de Bernoulli ).
Problme : tudier les 5 premiers modes propres lastiques en utilisant plusieurs maillages.
Calcul :
Introduire un dcalage spectral gal 20 Hz ( il y a 3 modes rigides ).
Rsultats :
Rfrence :
A
IE
L2
hf Z
2
2i
i = avec hi = 4.73004 , 7.85320 , 10.9956 , 14.1372 , 17.2788
On obtient ( frquences en Hz ) :
Mode rfrence 10 lments 20 lments 40 lments1 74.08 74.04 74.04 74.042 204.20 203.99 203.95 203.943 400.31 399.81 399.47 399.454 661.73 661.14 659.67 659.575 988.52 988.91 984.31 983.97
L
y
x
1 2
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64 RDM - Ossatures
D8 : Premier mode propre dune poutre console avec masses
Rfrence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 158
Problme :
La poutre console de longueur L reprsente sur la figure ci-dessous est un rectangle plein de base b et dehauteur h. Soient E et les caractristiques lastiques du matriau et sa masse volumique. La poutreporte une masse ponctuelle M son extrmit et une masse uniformment rpartie sur toute sa longueurdintensit m.
On donne : L = 0.8 m , E = 200000 MPa , = 0.3 , = 7800 kg m-3
b = 100 mm h = 10 mm
M = 2 kg , m = 4 kg/m
Le cisaillement transversal est nglig ( hypothse de Bernoulli ).
Problme : tudier le premier mode propre en utilisant plusieurs maillages.
Rsultats :
Rfrence :
( )L)mA(24267.0MLIE3
2
1f
3Z
++=
On obtient ( frquences en Hz ) :
Maillage M = m = 0 M , m = 0 M = 0 , m M , m1 lment 12.84 8.43 8.95 6.982 lments 12.79 8.42 10.00 7.453 lments 12.78 8.42 10.21 7.5520 lments 12.78 8.42 10.39 7.62rfrence 12.78 8.39 10.39 7.59
L
y
x
1 2
m M