Universidad Internacional del EcuadorESCUELA DE CIENCIAS Y TECNOLOGAS APLICADASINGENIERA EN MECATRNICA

PAPER # 4

Materia:INGENIERIA MATEMATICA VSemestre:Abril Agosto /2015Profesor:Ing. Gonzalo Meja Msc.Fecha:11 15 de Mayo /2015Semana de clase:6

SERIES DE FOURIER

INTRODUCCION. En esta unidad se considera a una funcin real como una generalizacin de un vector, por ello algunas propiedades de vectores como son el producto escalar, el producto interno y la ortogonalidad se harn extensivos a las funciones.

FUNCIONES ORTOGONALES

DEFINICION. Se denomina producto interno de dos funciones y en un intervalo o en o al nmero Comment by Gonzalo Mejia:

f1 . f2

DEFINICION. Dos funciones y son ortogonales entre s en el intervalo si y solamente si cumplen que

EJEMPLOS

1) por tanto y son ortogonales en .

2) entonces y son ortogonales en .

DEFINICION. Se dice que el conjunto de funciones reales

es ortogonal en un intervalo si y solo si para todo se cumple

EJERCICIOSDemostrar

1. El conjunto de funciones es ortogonal en .2. El conjunto de funciones es ortogonal en 3. El conjunto de funciones donde

DEFINICION. Al nmero se denomina norma de la funcin , y al nmero se conoce como norma cuadrada.Comment by Gonzalo Mejia:

CONJUNTO ORTONORMAL

DEFINICION. Si es un conjunto ortogonal de funciones en tal que , entonces se dice que es un conjunto ortonormal en el intervalo .

EJEMPLO

Sea el conjunto de funciones que es ortogonal en . Para hallar la norma de cada funcin aplicamos la definicin.

Para Para Para

Dividiendo cada funcin por su norma se obtiene un conjunto ortonormal en .

SERIE GENERALIZADA DE FOURIER

Sea donde n un conjunto de funciones ortogonales en .Si una funcin f (x) puede representarse mediante una serie de la forma

f (x)

donde se requiere calcular los coeficientes

En la teora de vectores se tienen las siguientes propiedades para el producto interno

i) + ii)

Las mismas propiedades se aplican en el caso de las funciones para calcular los coeficientes. As se tiene que si se realiza el producto interno se obtiene

Por definicin de norma se tiene

Adems por ser un conjunto ortogonal se cumple

Sustituyendo en la igualdad se llega a

Despejando

Siguiendo un procedimiento similar se obtiene

siendo

Sustituyendo los coeficientes calculados de esta manera se tiene

Esto es lo que se conoce como la Serie Generalizada de Fourier.

EJERCICIO

Hallar la serie Generalizada de Fourier de la funcin

SERIES TRIGONOMETRICAS DE FOURIER

Sea el conjunto de funciones ortogonales

donde

Suponer que f es una funcin real definida en que puede ser desarrollada en la serie trigonomtrica

Donde los coeficientes pueden calcularse empleando un procedimiento similar al utilizado en la Serie Generalizada de Fourier. As se tiene

DEFINICION. A una serie de la forma

donde se denomina Serie de Fourier de la funcin f.

EJERCICIOS

Desarrollar en series de Fourier las siguientes funciones en el intervalo indicado

1.

2.

3.

4.

5.

6. es la funcin del grfico dado

Y

1

y

X -1 0 1

CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER EN UN PUNTO

TEOREMA. Sean y funciones continuas en el intervalo , excepto en un finito nmero de puntos del intervalo y con discontinuidades finitas slo en estos puntos. Entonces la serie de Fourier de en el intervalo converge a en un punto de continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad, la serie de Fourier converge al promedio

Donde y representan el lmite de f en x por la derecha y por la izquierda, respectivamente.

EJEMPLO

7. Sea la funcin

Si la funcin es continua como se observa en el grfico, por tanto la correspondiente serie de Fourier converge a .Si la funcin es discontinua, en consecuencia la serie de Fourier en ese punto converge al promedio .

Y 3 o

2 o o1 -2 -1 0 1 2 X

A. Actividades Segn cronograma:

PRIMERA ENTREGA: 18 de Mayo / 2015

Ejercicios de conjuntos ortogonales y serie generalizada de Fourier.

SEGUNDA ENTREGA: 25 de Mayo / 2015 Ejercicios de Series de Fourier.

B. Bibliografa:

Zill D. (2008). Clculo Vectorial, Anlisis de Fourier y Anlisis Complejo. Mxico. McGraw Hill Interamericana.