paper mate avanzada
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8/15/2019 PAPER Mate Avanzada.
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Abstract:
La transformada z puede considerarse una extensión o
generalización de la transformada de Fourier discreta, así
como la transformada Z se introduce para representar
señales en tiempo discreto (o secuencias) en el dominiode la variable compleja Z, luego se describir! elconcepto de la función del sistema para un sistema L"#
en el tiempo discreto$
I. Introducción%n este capítulo se estudiara la transformada z, &ue es la
contraparte en tiempo discreto de la transformada de
Laplace$ La transformada z puede considerarse una
extensión o generalización de la transformada de Fourier
discreta, así como la transformada Z se introduce para
representar señales en tiempo discreto (o secuencias) en
el dominio de la variable compleja Z, luego se
describir! el concepto de la función del sistema para unsistema L"# en el tiempo discreto$ 'omo a se estudió,
la transformada de Laplace convierte ecuaciones integro
diferenciales en ecuaciones algebraicas$ *ora veremos
&ue, en una forma similar$ La transformada Z convierte
ecuaciones en diferencias recursivas en ecuaciones
algebraicas, simplificando así el an!lisis de los sistemas
en el tiempo discreto$
Las propiedades de la transformadas Z son mu
parecidas a las de la transformada de Laplace, de manera
&ue los resultados de este capítulo , en algunos casos, se
puede pasar directamente de la una transformada a laotra$ +in embargo, veremos algunas diferencias
importantes entre las dos transformadas$
II. MARCO TEÓRICOLa transformada Z.ara un sistema L"# de tiempo discreto con respuesta al
impulso dada por h [n ] del sistema a una entradaexponencial de la forma zn viene dada por
y [n ]=T { zn }= H ( z ) zn -$./onde
-$0
ara z ¿e jΩ con Ω real (es decir, con | z|=1¿ ,
la sumatoria en la %c$ (-$0) corresponde a la
transformada de Fourier discreta de h [n ] $ Loanterior nos conduce a la deficion siguiente para la
transformada Z de una sección por x [n ] $
1
Definición.La función H ( z ) en la %c$ (-$0) se conoce como latransformada Z de h [n ] $ ara una señal de tiempo
discreto general x
[n
] , se define como-$2
La variable Z es generalmente compleja en forma
polar se expresa como
z ¿ℜ jΩ
-$3
donde r es una magnitud de z Ω es el angulo de z$
La transformada de Z definida en al %c$ (-$2) con una
frecuencia se denomina la transformada Z bilateral para
una distinguirla de la transformada Z unilateral, se
define como
-$4
Transformada Z: principales propiedadesLa transformada Z cumple tres propiedades interesantes5
Linealidad:6a &ue
Desplaamiento en el tiempo:
!a "ue
Con#olución:
!a "ue
Xavier Urgiles Bermeo 1 , estudiante de 5to. Ciclo de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. UCACUE Ing
!auta."
Transformada z.
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Transformada Z: aplicación a sistemas LTI+i utilizamos las transformadas Z de las señales entrada,
salida respuesta a impulso$
/ominio n dominio z
Con#olucion $unción de transferencia
Ecuación en diferencias
Transformada Z: con#er%encia.7(z) es una serie de potencias, puede *aber valores de
z en los &ue no converge$ %l conjunto de puntos en los
&ue 7(z) converge se llama 8egión de convergencia(89')
+i la señal es finita la 89' ocupa todo el plano, excepto
z : ; r0
or tanto la 89' ser! una región de forma anular, es
decir5
&e'ales de duración finita
&e'ales de duración infinita.
#ransformada Z5 forma compacta racional
veces, la transformada Z puede escribirse en forma
compacta como un cociente de 0 polinomios en z de
orden finito$
0
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Al%unos pares de transformadas &ecuencia Transformada ROCtemporal
Transformada Z: polos ( ceros+e llama ceros a los valores de z para los &ue 7(z):;
+e llama polos a los valores de z para los &ue 7(z):
%xpresión racional compacta
puede escribirse utilizando las raíces de los polinomios
numerador denominador5
+e dice &ue 7(z) tiene5
La transformada Z puede mostrarse gr!ficamente
mediante su diagrama de polos ceros$ Los polos serepresentan mediante aspas los ceros mediante
círculos$
Transformada Z: polos ( ROC
Las posiciones de los polos determinan la frontera de la
89', a &ue la 89' no puede contenerlos$
+i x(n) es causal, la 89' se extiende del m!s externo al
infinito$
Dia%rama de polos: esta)ilidad ( causalidad&istema LTI causal e&uivale a decir *(n) causal por tanto5
La 89' de ?(z) es el exterior del polo de maor
módulo$
&istema LTI esta)le e&uivale a decir *(n)absolutamente sumable, por tanto en puntos de la
circunferencia unidad5
La ROC de *+, inclu(e la circunferencia unidad%n un sistema L#" causal, estable e&uivale a decir5
#odos los polos est!n en el interior de la circunferenciaunidad$
Dia%rama de polos: sistemas de fase m-nima.@n sistema L#" #0 se dice inverso de otro #. si5
+i el sistema tiene transformada Z racional5
+e llama sistema de fase mínima a un sistema L#"
estable causal con inverso estable causal$
@n sistema L#" causal ser! de fase mínima si todos sus
polos ceros se encuentran dentro de la circunferenciaunidad$
Transformada Z in#ersa. partir de la definición de la transformada Z
utilizando el teorema integral de 'auc*, puede probarse
&ue la transformada inversa Z puede obtenerse mediante
la expresión5
+iendo ' un contorno cerrado interior a la 89',
recorrido en sentido anti*orario &ue contenga el
origen$
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ero nunca utilizaremos esta expresión, pues vamos a
trabajar con señales sistema con transformada z
racional en esos casos existen mAtodos m!s sencillos
Transformada Z in#ersa si +, racional/ada 7(z) en forma racional *a dos mAtodos &ue
podemos utilizar para obtener la transformada inversa5
/. %xpansión en serie de potencias$• +e divide B(z) entre (z) obteniendo una suma
infinita$
• ?a &ue tener en cuenta la 89' para decidir en
&ue orden se efectCa la división$ Do produce una
expresión cerrada$
0. %xpansión en fracciones simples5• artiendo de la expresión de 7(z) con polos
ceros se descompone en suma de expresiones
simples con transformada conocida$
E ?a &ue tener en cuenta la 89' para elegir la
transformada inversa de cada sumando
E roduce expresiones cerradas$
Transformada Z in#ersa si +, racional
&e'ales ( sistemas )idimensionalesLa transformada Z puede generalizarse para señales
bidimensionales5
La descripción recursiva de un sistema ""8
bidimensional puede *acerse mediante una función de
transferencia &ue utilice la transformada Z bidimensional
+in embargo, se pierde la simplicidad del caso
monodimensional por ello su uso es poco frecuente('onvergencia, polos, estabilidadG)
Relación entre DT$T ( transformada Z9bservando las definiciones de la transformada Z la
transformada de Fourier de una señal discreta5
#ransformada Z #ransformada de Fourier
podemos ver &ue e#aluando la transformada Z sólopara los #alores de "ue se encuentran en lacircunferencia de radio unidad o)tenemos la
transformada de $ourier.
Resumen de las descripciones de sistemas LTI m1s2a)ituales
$IR: (Finite "mpulse 8esponse)
IIR: ("nfinite "mpulse 8esponse)
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TA3LA DE TRA4&$ORMADA Z $REC5E4TE&
III. CO4CL5&IO4E&%n este capítulo se *a podido ver &ue existen varias
funciones para realizar los determinados ejercicios$ /e
tal manera &ue, representa un conocimiento &ue permite
satisfacer las necesidades del ser *umano$ /e esta forma
las transformadas Z, se convierten en una excelente
tAcnica la cual, a pesar de tener su sustento teórico
pr!ctico definido, como consecuencia de la tecnología se
reinventa para aplicarse, en este caso particular a una de
las necesidades *umanas fundamentales, &ue es la
comunicación, dentro del contexto tecnológico a las
telecomunicaciones$ 'abe destacar, &ue lastelecomunicaciones obedecen a un sistema de
comunicación &ue inclue e&uipos electrónicos e
inclusive la manipulación de señales digitales, las cuales
vienen compuestas por unos par!metros discretos$
I6. RECOME4DACIO4E&La #ransformada z se usa para llevar señales en el
dominio del tiempo discreto al dominio de la frecuencia
de variable compleja$ Huega un rol similar al &ue la
#ransformada de Laplace lleva a cabo en el dominio de
tiempo continuo$ #al como en el caso de Laplace, la
#ransformada z abre nuevos caminos a la resolución de problemas al diseño de aplicaciones en el dominio
discreto, para el desarrollo del mismo se re&uiere de
una tablas entre ellos est!n las siguientes5 ropiedades
de la transformada z, #abla de transformadas z
frecuentes, +eries de Fourier en tiempo discreto, todo
estas tablas son mu necesarias para el desarrollo de los
mismos$
I6. 3I3LIO7RA$8A.*ttp5