para determinar una recta r necesitamos
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Para determinar una recta r necesitamos:
• Un punto de la recta y una
dirección
• Dos puntos de la recta
A
v
r
r
A
B
Ecuación de la recta.
X(x,y,z) v
A(a1,a2,,a3)
r
Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección 𝑣 (vector director de la recta)
a x
Sea A el punto de coordenadas A(a1,a2,a3) y 𝑣 un vector de componentes (v1,v2,v3)
Nota: Dando valores al parámetro 𝑡 se obtienen los
distintos puntos de la recta
ECUACIÓN
VECTORIAL DE
LA RECTA
OX OA AX
Sea X(x,y,z) un punto cualquiera de la recta.
O
v
Ecuación Vectorial de la recta.
1 2 3 1 2 3x,y,z a ,a ,a v ,v ,vt
x a tv
Si los puntos A = 1,2,−2 ; B = 3,5,1 y C = −1,−1,−5 pasan por una recta. Hallar su ecuación vectorial.
𝒙, 𝒚, 𝒛 = (𝟑, 𝟓, 𝟏) +𝒕 (𝟒, 𝟔, 𝟔)
¿El Punto (15,23,19) pertenece a la recta? 15,23,19 = (3,5,1) + 𝑡(4,6,6)
15,23,19 − 3,5,1 = 𝑡(4,6,6)
⇒ 12,18,18 = 𝑡(4,6,6) t= 𝟑 ⇒
El Punto pertenece a la Recta
Ejercicio.
Primero determinamos vector director: 𝑣 = 3 − −1 , 5 − −1 , 1 − (−5) = (4,6,6). Luego su ecuación vectorial es:
5
Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2,a3) y cuyo vector direccional es 𝑣 =(v1,v2,v3)
Dada la ecuación vectorial de la recta r:
Multiplicando por el escalar:
Sumando:
Igualando componentes:
1 2 3 1 2 3x,y,z a ,a ,a v ,v ,vt
1 2 3 1 2 3x,y,z a ,a ,a v , v , vt t t
1 1 2 2 3 3x,y,z a v ,a v ,a vt t t
1 1
2 2
3 3
a v
a v
a v
x t
y t
z t
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
DE LA RECTA
Números directore v , v y vs: 1 2 3
6
Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2,a3) y cuyo vector direccional es 𝑣 =(v1,v2,v3)
Despejando el parámetro
ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
1
1
2
2
3
3
a
v
a
v
a
v
xt
yt
zt
31 2
1 2 3
aa a
v v v
zx y
E igualando
7 7
Ecuación vectorial :
Ecuaciones paramétricas :
Ecuación Simétrica :
1 2 3 1 2 3x,y,z a ,a ,a v ,v ,vt
Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a1,a2,a3) y cuyo vector direccional es 𝑣 =(v1,v2,v3)
1 1
2 2
3 3
a v
a v
a v
x t
y t
z t
31 2
1 2 3
aa a
v v v
zx y
Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2,a3) y B(b1,b2,b3)
31 2
1 2 3
z ax a y a
v v v
Sustituyendo en la ecuación simétrica de la recta r:
Su vector director puede ser
r 1 1 2 2 3 3v AB b a ,b a ,b aA(a1,a2)
B(b1,b2)
r
P(x,y)
Las siguientes ecuaciones son tres posibles ecuaciones vectoriales de la recta:
Ejercicio.
Hallar una ecuación vectorial para la recta que pasa por (2, –1, 8) y (5, 6, –3). Solución
Primero determinamos vector dirección siendo 𝑣 = 2 − 5,−1 − 6,8 + 3 = (−3,−7,11).
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2,−1,8 + 𝑡 −3,−7,11 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5,6, −3 + 𝑡(−3,−7,11) 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 5,6, −3 + 𝑡(3,7, −11)
Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector (1,4,-2). a) Encontrar la ecuación paramétrica de la recta
Ejercicios.
, , y , ,1 2 3 1 2 3a 5 a 1 a 3 v 1 v 4 v 2
Entonces, las ecuaciones solicitadas son:
5
1
3-2
x t
y 4t
z t
b) Encontrar otros puntos de la misma recta
Para =1 5 , 1 , 3-2 P(6,5,1)
Para =2 5 , 1 , - P(7,9,-1)
t x 1 6 y 4 5 z 1
t x 2 7 y 8 9 z 3 4 1
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,4,-3) y B(3,-1,1).
El vector director viene dado por:
tztytx 43542
Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas son:
Ejercicio.
𝑣 = 3,−1,1 − 2,4,−3 = (1,−5,4)
Dada la siguiente ecuación de la recta,𝑥:8
6=
𝑦;5
11=
𝑧
2.
Hallar su ecuación vectorial.
𝒙, 𝒚, 𝒛 = (−𝟖, 𝟓, 𝟎) +t (𝟔, 𝟏𝟏, 𝟐)
¿Cuál sería su ecuación Paramétrica?
𝑥 =𝑦 =𝑧 =
−8 + 6𝑡 5 + 11𝑡 2𝑡
Ejercicio.
Dada la ecuación de la recta 2𝑥:6
5=
4;𝑦
2=
;𝑧
3. Hallar su ecuación
simétrica.
2𝑥 + 6
5=
4 − 𝑦
2=
−𝑧
3
2𝑥 + 6
5=
(−1)(4 − 𝑦)
(−1)(2)=
𝑧
−3 ⇒
2𝑥 + 6
5=
𝑦 − 4
−2=
𝑧
−3
2𝑥2
+62
52
=𝑦 − 4
−2=
𝑧
−3
𝑥 + 3
52
=𝑦 − 4
−2=
𝑧
−3
𝒙, 𝒚, 𝒛 = (−𝟑, 𝟒, 𝟎) +𝒕 (𝟓
𝟐,−𝟐,−𝟑)
Ejercicio.
⇒
Dada la recta: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2,−2,1 + 𝑡(1,3,2). ¿El punto 𝑀(4,4,3) pertenece a la recta?
𝟒, 𝟒, 𝟑 = 2,−2,1 + 𝑡(1,3,2)
𝟒, 𝟒, 𝟑 − 2,−2,1 = 𝑡(1,3,2)
𝟐, 𝟔, 𝟐 = 𝑡(1,3,2)
2 = 𝑡 ∙ 1 ⇒ 2 = 𝑡 𝒙 = 𝟐 + 𝒕
𝒚 = −𝟐 + 𝟑𝒕𝒛 = 𝟏 + 𝟐𝒕
𝒙 − 𝟐
𝟏=
𝒚 + 𝟐
𝟑=
𝒛 − 𝟏
𝟐
𝟒 − 𝟐
𝟏=
𝟒 + 𝟐
𝟑≠
𝟑 − 𝟏
𝟐
Ejercicio.
Posiciones relativas de rectas en el espacio|.
Sean 𝐿1 y 𝐿2 rectas en ℝ3 con los vectores dirección 𝑣1 𝑦 𝑣2 respectivamente, entonces:
𝐿1 y 𝐿2 son paralelas si 𝑣1 ∥ 𝑣2 es decir, 𝑣1 = 𝑚𝑣2
𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 son coincidentes Los puntos de 𝑳𝟏 pertenecen a 𝑳𝟐
2L
𝑳𝟐
𝑳𝟏
𝑳𝟐 𝑳𝟏
𝑳𝟏 y 𝑳𝟐 no se intersectan 𝑳𝟏 ∩ 𝑳𝟐 = ∅
Ejercicio.
Dadas las rectas: 𝐿1: 𝑥 = 2 + 𝑡, 𝑦 = 1 − 𝑡, 𝑧 = 3 + 2𝑡
𝐿2: 𝑥 = 1 + 3𝑠, 𝑦 = 2 − 3𝑠, 𝑧 = 1 + 2s 𝐿3: 𝑥 = 2 − 2𝑟, 𝑦 = 1 + 2𝑟, 𝑧 = 5 − 4𝑟
Determinar si las rectas son paralelas o coincidentes. Solución:
y como 𝑣2 = 3𝑣1 y 𝑣3 = −2𝑣1 entonces 𝐿1 ∥ 𝐿2 y 𝐿1 ∥ 𝐿3.
𝑣1 = 1,−1,2 , 𝑣2 = 3,−3,2 , 𝑣3 = (−2,2, −4),
1. Reemplazando 𝑃2 en 𝐿1:
1 = 2 + 𝑡 ⇒ t = −1 2 = 1 − 𝑡 ⇒ 𝑡 = −1 1 = 3 + 2𝑡 ⇒ 𝑡 = −1
𝐿1 es coincidente con 𝐿2
2. Reemplazando 𝑃3 en 𝐿1:
2 = 2 + 𝑡 ⇒ t = 0 1 = 1 − 𝑡 ⇒ 𝑡 = 0 5 = 3 + 2𝑡 ⇒ 𝑡 = 1
𝐿1 no son coincidente con 𝐿2
𝐿1 y 𝐿2 no son son paralelas , es decir, o son concurrentes o se cruzan en el espacio.
𝐿1 y 𝐿2 son concurrentes 𝐿1 ∩ 𝐿2 ≠ ∅
𝐿1 y 𝐿2 se cruzan 𝐿1 ∩ 𝐿2 = ∅
𝑳𝟐
𝑳𝟏
Ejercicio.
Dadas las rectas: 𝐿1: 𝑥 = −2 + 𝑡, 𝑦 = 2𝑡, 𝑧 = 1 + 𝑡
𝐿2: 𝑥 = 1 − 3𝑠, 𝑦 = 2 + 4𝑠, 𝑧 = 2 − s Determinar si las rectas son concurrentes o se cruzan. Solución:
Si 𝐿1 es concurrente con 𝐿2 ⇒ 𝐿1⋂𝐿2 ≠ ∅
Resolviendo el sistema:
Solución: −2 + 𝑡 = 1 − 3𝑠 2𝑡 = 2 + 4𝑠 1 + 𝑡 = 2 − 𝑠
De la primera y segunda ecuación: −2 + 𝑡 = 1 − 3𝑠
2𝑡 = 2 + 4𝑠 𝑡 =
2:4𝑠
2 ⇒ 𝑡 = 1 + 2𝑠 y reemplazando 𝑡 en la
primera ecuación, obtenemos que 𝑠 =2
5 . Así t =
9
5
Y reemplazamos en la tercera ecuación:
1 +9
5= 2 −
2
5
14
5≠
3
5
Luego no satisface la ecuación, entonces 𝐿1⋂𝐿2 ≠ ∅, así las rectas se cruzan.
Dadas las rectas: 𝐿1: 𝑥 = −3 + 2𝑡, 𝑦 = −2 + 3𝑡, 𝑧 = 6 − 4𝑡 𝐿2: 𝑥 = 5 + 𝑠, 𝑦 = −1 − 4𝑠, 𝑧 = −4 + s
Verifica si las rectas son concurrentes, de serlo encuentra el punto de intersección. Solución:
Resolviendo el sistema de ecuaciones: −3 + 2𝑡 = 5 + 𝑠
−2 + 3𝑡 = −1 − 4𝑠 6 − 4𝑡 = −4 + 𝑠
De la primera ecuación se obtiene que 𝑠 = 2𝑡 − 8. Luego reemplazando en la tercera ecuación obtenemos que 𝑡 = 3. así 𝑠 = −2
−3 + 2𝑡 = −3 + 6 = 3 −2 + 3𝑡 = −2 + 9 = 7 6 − 4𝑡 = 6 − 12 = −6
Por lo tanto el punto de intersección de las rectas dadas es 𝑃 = (3,7, −6)