para que lo bailes oagadi

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Quiere nepepepepepepepepepéjpsdjfkodsjñosdfj oiñdshñiodfsahopidfshOPISdfhypoifsdpo iDSYPOIYFDSPYDFSpoidfsSdf y voy a metertela toda mia vamo de sherk sherk sehel dsnasnsdnsaokndsanasokdnsaopdhsaljid gsajhdvajhkv editar! Defini"i#n Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función matemática que caracteriza el comportamiento probable de una población. Es una función f (x) que especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua tome un valor cercano a x! " se define como la probabilidad de que tome un valor entre x " x#dx! dividido por dx cuando dx es un n$mero infinitesimalmente peque%o. &a ma"or'a de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente. &a probabilidad de que una variable aleatoria continua est ubicada entre los valores a " b está dada por el intervalo de la FDP ! f(x)! comprendido en el rano entre a " b. * + , - a b Pr(a x b) f (x)dx &a FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución f x dF x dx ( ) , ( ) En situaciones prácticas! la FDP utilizada se elie entre un n$mero r elativamente peque%o de FDP comune s! " la labor estad'stica principal consiste en estimar sus parámetros. Por lo tanto! a los efectos de los inventarios! es necesario saber qu FDP se /a utilizado e indicarlo en la documentación de evaluación de la incertidumbre. &a definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la  teor'a de la medida. 0i una variable aleatoria  X  siue una función de probabilidad   X 1P su densidad con respecto a una medida de referencia  μ es la derivada de 2adon34i5od"m Es decir! ƒ es una función con la propiedad de que  para cada co n6unto medible A.

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Quiere

nepepepepepepepepepéjpsdjfkodsjñosdfj

oiñdshñiodfsahopidfshOPISdfhypoifsdpoiDSYPOIYFDSPYDFSpoidfsSdf y voy a

metertela toda mia vamo

de sherk sherk sehel

dsnasnsdnsaokndsanasokdnsaopdhsaljid

gsajhdvajhkv

editar! Defini"i#n

Una función de densidad de probabilidad (FDP) es una función matemática quecaracteriza el comportamiento probable de una población. Es una función f(x) queespecifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua tome un valorcercano a x! " se define como la probabilidad de que tome un valor entre x " x#dx!dividido por dx cuando dx es un n$mero infinitesimalmente peque%o. &a ma"or'a de las

funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros paraespecificarlas totalmente. &a probabilidad de que una variable aleatoria continua estubicada entre los valores a " b está dada por el intervalo de la FDP! f(x)! comprendidoen el rano entre a " b. * + , - a b Pr(a x b) f (x)dx &a FDP es la derivada (cuandoexiste) de la función de distribución f x dF x dx ( ) , ( ) En situaciones prácticas! laFDP utilizada se elie entre un n$mero relativamente peque%o de FDP comunes! " lalabor estad'stica principal consiste en estimar sus parámetros. Por lo tanto! a los efectosde los inventarios! es necesario saber qu FDP se /a utilizado e indicarlo en ladocumentación de evaluación de la incertidumbre.

&a definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teor'a de la

medida. 0i una variable aleatoria X  siue una función de probabilidad  X 1P su densidad con respecto a una medida de referencia μ es la derivada de 2adon34i5od"m

Es decir! ƒ es una función con la propiedad de que

 para cada con6unto medible A.

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7a" que advertir que la función de densidad no es propiamente $nica dos funcionesdistintas pueden representar la misma distribución de probabilidad si son distintas$nicamente en un con6unto de medida nula. 8demás! que puede /aber distribuciones de

 probabilidad que carezcan de función de densidad sucede cuando! sin ser discretas!concentran su probabilidad en con6untos de medida nula9 as' sucede con la distribución

de :antor  cuando se toma la de &ebesue como medida de referencia.

:uando! como ocurre normalmente en las aplicaciones! X  es una variable aleatoria real" μ es la medida de &ebesue! la función de densidad es una función tal que

De modo que si F  es la función de distribución de X ! entonces

"

;ntuitivamente! se puede pensar que ƒ( x) d x es la probabilidad de que X  asuma valoresen el intervalo infinitesimal  < x! x # d x=.

editar! Propiedades

De las propiedades de la función de distribución se siuen las siuientes propiedades dela fdp (a veces visto como pdf  del inls)

•  para toda x.

• El área total encerrada ba6o la curva es iual a >

• &a probabilidad de que X  tome un valor en el intervalo <a!b= es el área ba6o lacurva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo! la interaldefinida en dic/o intervalo. &a ráfica f ( x) se conoce a veces como curva de

densidad .

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Fun"i#n de

distri$u"i#n

("df)

*edia

*ediana

*oda

+arian,a

-oefi"iente de

simetr.aA

-urtosis A

/ntrop.a

Fun"i#n

generadora

de momentos

(mgf)

Fun"i#n

"ara"ter.sti"a

En estad'stica "  probabilidad se llama distri$u"i#n normal! distri$u"i#n de 0auss odistri$u"i#n gaussiana! a una de las distribuciones de probabilidad de variable

continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

&a ráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada " es simtricarespecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Bauss.

&a importancia de esta distribución radica en que permite modelar  numerososfenómenos naturales! sociales " psicolóicos. Cientras que los mecanismos quesub"acen a ran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos! por la enormecantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen! el uso del modelo normal

 puede 6ustificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

&a distribución normal tambin es importante por su relación con la estimación porm'nimos cuadrados! uno de los mtodos de estimación más simples " antiuos.

8lunos e6emplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siuen el modelode la normal son

• caracteres morfolóicos de individuos como la estatura9

• caracteres fisiolóicos como el efecto de un fármaco9

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• caracteres sociolóicos como el consumo de cierto producto por un mismorupo de individuos9

• caracteres psicolóicos como el cociente intelectual9

• nivel de ruido en telecomunicaciones9

• errores cometidos al medir ciertas manitudes9

• etc.

&a distribución normal tambin aparece en muc/as áreas de la propia estad'stica. Pore6emplo! la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal!incluso si la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.> 8demás! la distribución normal maximiza la entrop'a entre todas las distribuciones con

media " varianza conocidas! lo cual la convierte en la elección natural de la distribuciónsub"acente a una lista de datos resumidos en trminos de media muestral " varianza. &adistribución normal es la más extendida en estad'stica " muc/os tests estad'sticos están

 basados en una supuesta normalidad.

En probabilidad! la distribución normal aparece como el l'mite de varias distribucionesde probabilidad continuas " discretas.

-ontenido

<ocultar =

• > 7istoria

• Definición formal 

o .> Función de densidad

o . Función de distribución 

..> &'mite inferior " superior estrictos para la función dedistribución

o . Funciones eneradoras 

..> Función eneradora de momentos

.. Función caracter'stica

• Propiedades 

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o .> Estandarización de variables aleatorias normales

o . Comentos

o . El Georema del &'mite :entral

o .H Divisibilidad infinita

o .I Estabilidad

• H Desviación t'pica e intervalos de confianza 

o H.> Forma familia exponencial

• I Distribución normal comple6a

• J Distribuciones relacionadas

• K Estad'stica descriptiva e inferencial 

o K.> 2esultados

o K. Gests de normalidad

o K. Estimación de parámetros 

K..> Estimación de parámetros de máxima verosimilitud 

K..>.> 0orprendente eneralización

K.. Estimación insesada de parámetros

• L ;ncidencia 

o L.> 2ecuento de fotones

o L. Cedida de errores

o L. :aracter'sticas f'sicas de espec'menes biolóicos

o L.H Mariables financieras

o L.I Distribuciones en tests de inteliencia

o L.J Ecuación de difusión

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• N Uso en estad'stica computacional 

o N.> Beneración de valores para una variable aleatoria normal

o N. 8proximaciones numricas de la distribución normal " su función dedistribución

• >A Uso de tablas

• >> Mase tambin

• > 2eferencias

• > Enlaces externos

editar! 1istoria

8bra/am de Coivre! descubridor de la distribución normal

&a distribución normal fue presentada por vez primera por  8bra/am de Coivre en unart'culo del a%o >K! que fue reimpreso en la seunda edición de su The Doctrine of

Chances! de >KL! en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial  para randes valores de n. 0u resultado fue ampliado por &aplace en su libro Teoría

analítica de las probabilidades (>L>)! " en la actualidad se llama Georema de DeCoivreO&aplace.

&aplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. Elimportante mtodo de m'nimos cuadrados fue introducido por &eendre en >LAI.

Bauss! que afirmaba /aber usado el mtodo desde >KNH! lo 6ustificó riurosamente en>LAN asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Bauss se /aasociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos

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astronómicos " alunos autores le atribu"en un descubrimiento independiente del deDe Coivre.H Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su

 primer descubridor es un claro e6emplo de la &e" de 0tiler .

El nombre de campana viene de Esprit ouffret que usó el trmino bell surface

(superficie campana) por primera vez en >LK para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de distribución normal fue otoradoindependientemente por :/arles 0. Peirce! Francis Balton " Qil/elm &exis /acia >LKI.<cita requerida= 8 pesar de esta terminolo'a! otras distribuciones de probabilidad podr'an sermás apropiadas en determinados contextos9 vase la discusión sobre ocurrencia! másaba6o.

editar! Defini"i#n formal

7a" varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. &a forma

más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente! tambin puedendarse para su definición la función de distribución! los momentos! la funcióncaracter'stica " la función eneratriz de momentos! entre otros.

editar! Fun"i#n de densidad

0e dice que una variable aleatoria continua  X  siue una distribución normal de parámetros μ " σ  " se denota X!"μ# σ$ si su función de densidad está dada por

donde μ (mu) es la media " σ  (sima) es la desviación t'pica (σ  es la varianza).I

0e llama distri$u"i#n normal 2est'ndar2 a aqulla en la que sus parámetros toman losvalores μ , A " σ  , >. En este caso la función de densidad tiene la siuiente expresión

0u ráfica se muestra a la derec/a " con frecuencia se usan tablas para el cálculo de los

valores de su distribución.

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editar! Fun"i#n de distri$u"i#n

&a función de distribución de la distribución normal está definida como siue

Por tanto! la función de distribución de la normal estándar es

Esta función de distribución puede expresarse en trminos de una función especial llamada función error  de la siuiente forma

" la propia función de distribución puede! por consiuiente! expresarse as'

El complemento de la función de distribución de la normal estándar! > R S( x)! se denotacon frecuencia %( x)! " es referida! a veces! como simplemente fun"i#n Q!especialmente en textos de inenier'a.J K Esto representa la cola de probabilidad de ladistribución aussiana. Gambin se usan ocasionalmente otras definiciones de la funciónT! las cuales son todas ellas transformaciones simples de S.L

&a inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puedeexpresarse en trminos de la inversa de la función de error

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" la inversa de la función de distribución puede! por consiuiente! expresarse como

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. 4o /a" una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce! sino que se /a probado la inexistencia de tal función. Existen varios mtodos exactos para aproximar lafunción cuantil mediante la distribución normal (vase función cuantil).

&os valores S( x) pueden aproximarse con muc/a precisión por distintos mtodos! talescomo interación numrica! series de Ga"lor ! series asintóticas " fracciones continuas.

editar! 3.mite inferior y superior estri"tos para la fun"i#n de distri$u"i#n

Para randes valores de x la función de distribución de la normal estándar es mu" próxima a > " está mu" cerca de A. &os l'mites elementales

en terminos de la densidad son $tiles.

Usando el cambio de variable v , uV! el l'mite superior se obtiene como siue

De forma similar! usando " la rela del cociente!

2esolviendo para proporciona el l'mite inferior.

editar! Fun"iones generadoras

editar! Fun"i#n generadora de momentos

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&a función eneradora de momentos se define como la esperanza de e(tX ). Para unadistribución normal! la función eneradora de momentos es

como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.

editar! Fun"i#n "ara"ter.sti"a

&a función caracter'stica se define como la esperanza de eitX ! donde i es la unidadimainaria. De este modo! la función caracter'stica se obtiene reemplazando t  por it  enla función eneradora de momentos.

Para una distribución normal! la función caracter'stica esN

editar! Propiedades

8lunas propiedades de la distribución normal son

>. Es simtrica respecto de su media! μ9

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución 4( μ! σ ).

. &a moda " la mediana son ambas iuales a la media! μ9

. &os puntos de inflexión de la curva se dan para x , μ R σ  " x , μ # σ .

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H. Distribución de probabilidad en un entorno de la media

>. en el intervalo < μ O σ ! μ # σ = se encuentra comprendida!aproximadamente! el JL!JW de la distribución9

. en el intervalo < μ O σ ! μ # σ = se encuentra! aproximadamente! elNI!HHW de la distribución9

. por su parte! en el intervalo < μ Oσ ! μ # σ = se encuentra comprendida!aproximadamente! el NN!KHW de la distribución. Estas propiedades sonde ran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Porotra parte! el /ec/o de que prácticamente la totalidad de la distribución seencuentre a tres desviaciones t'picas de la media 6ustifica los l'mites delas tablas empleadas /abitualmente en la normal estándar.

I. 0i X  X 4( μ! σ ) " a " b son n$meros reales! entonces (aX  # b) X 4(aμ#b! aσ ).

J. 0i X  X 4( μ x! σ  x&) e '  X 4( μ (! σ  (

&) son variables aleatorias normalesindependientes! entonces

o 0u suma está normalmente distribuida con )  , X  # '  X 4( μ x # μ (! σ  x #

σ  () (demostración). 2ec'procamente! si dos variables aleatorias

independientes tienen una suma normalmente distribuida! deben sernormales (Georema de :rámer ).

o 0u diferencia está normalmente distribuida con

.

o 0i las varianzas de X  e '  son iuales! entonces )  " *  son independientesentre s'.

o &a diverencia de Yullbac5O&eibler !

0i e son variables aleatorias independientesnormalmente distribuidas! entonces

o 0u producto X'  siue una distribución con densidad p dada por

donde + A es una función de Zesselmodificada de seundo tipo.

o 0u cociente siue una distribución de :auc/" con X  V ' [:auc/"(A!? X  V

?' ). De este modo la distribución de :auc/" es un tipo especial dedistribución cociente.

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0i son variables normales estándar independientes! entonces

siue una distribución \ con n rados de libertad.

H 0i son variables normales estándar independientes! entonces la

media muestral  " la varianza muestralson independientes.

Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales " contribu"e a explicar por qu el testOF no es robusto respecto a la noOnormalidad).

editar! /standari,a"i#n de varia$les aleatorias normales

:omo consecuencia de la Propiedad >9 es posible relacionar todas las variablesaleatorias normales con la distribución normal estándar.

0i X  X ! (]!?)! entonces

es una variable aleatoria normal estándar ,  X ! (A!>).

&a transformación de una distribución X 4(]! ?) en una 4(A! >) se llamanormali,a"i#n! estandari,a"i#n o tipifi"a"i#n de la variable .

Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de unadistribución normal es! por consiuiente!

8 la inversa! si ,  es una distribución normal estándar! ,  X ! (A!>)! entonces

 X  , ? ,  # ]

es una variable aleatoria normal tipificada de media ] " varianza ?.

&a distribución normal estándar está tabulada (/abitualmente en la forma de el valor dela función de distribución S) " las otras distribuciones normales pueden obtenerse comotransformaciones simples! como se describe más arriba! de la distribución estándar. Deeste modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normalestándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otradistribución normal.

editar! *omentos

&os primeros momentos de la distribución normal son

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45mero *omento *omento "entral -umulante

A > >

> ] A ]

] # ? ? ?

] # ]? A A

H ]H # J]? # ?H ?H A

I ]I # >A]? # >I]?H A A

J ]J # >I]H? # HI]?H # >I?J >I?J A

K ]K # >]I? # >AI]?H # >AI]?J A A

L ]L # L]J? # >A]H?H # HA]?J # >AI?L >AI?L A

Godos los cumulantes de la distribución normal! más allá del seundo! son cero.

&os momentos centrales de orden superior (-  con μ . /$ vienen dados por la f0rmula

editar! /l 6eorema del 3.mite -entral

 Artículo principal1 Teorema del límite central 

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Bráfica de la función de distribución de una normal con ] , > " ? , ! aproximando la

función de distribución de una binomial con n , HL " p , >VH

El Georema del l'mite central establece que ba6o ciertas condiciones (como pueden serindependientes e idnticamente distribuidas con varianza finita)! la suma de un rann$mero de variables aleatorias se distribu"e aproximadamente como una normal.

&a importancia práctica del Georema del l'mite central es que la función de distribuciónde la normal puede usarse como aproximación de alunas otras funciones dedistribución. Por e6emplo

Una distribución binomial de parámetros n " p es aproximadamente normal pararandes valores de n! " p no demasiado cercano a > ó A (alunos librosrecomiendan usar esta aproximación sólo si np " n(> R p) son ambos! al menos!I9 en este caso se deber'a aplicar una corrección de continuidad).&a normal aproximada tiene parámetros ] , np! ? , np(> R p).

• Una distribución de Poisson con parámetro ^ es aproximadamente normal pararandes valores de ^.&a distribución normal aproximada tiene parámetros ] , ? , ^.

&a exactitud de estas aproximaciones depende del propósito para el que se necesiten "

de la tasa de converencia a la distribución normal. 0e da el caso t'pico de que talesaproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución. El Georema deZerr"OEssen proporciona un l'mite superior eneral del error de aproximación de lafunción de distribución.

editar! Divisi$ilidad infinita

&as normales tienen una distribución de probabilidad infinitamente divisible dada unamedia μ! una varianza σ   _ A! " un n$mero natural n! la suma X > # . . . # X n de n variables aleatorias independientes

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tiene esta espec'fica distribución normal (para verificarlo! $sese la función caracter'sticade convolución " la inducción matemática).

editar! /sta$ilidad

&as distribuciones normales son estrictamente estables.

editar! Desvia"i#n t.pi"a e intervalos de "onfian,a

8lrededor del JLW de los valores de una distribución normal están a una distancia ? @ A(desviación t'pica) de la media! ]9 alrededor del NIW de los valores están a dosdesviaciones t'picas de la media " alrededor del NN!KW están a tres desviaciones t'picasde la media. Esto se conoce como la rela JLONIONN!K o la rela emp'rica.

Para ser más precisos! el área ba6o la curva campana entre ] R n? " ] # n? en trminos

de la función de distribución normal viene dada por 

donde erf es la función error. :on > decimales! los valores para los puntos >O! O! /astaJO? son

 

> A!JLJLNHN>K

A!NIHHNNKJ>AH

A!NNKAAANK

H A!NNNNJJIKI>J

I A!NNNNNNHJJNK

J A!NNNNNNNNLAK

&a siuiente tabla proporciona la relación inversa de m$ltiples ? correspondientes aunos pocos valores usados con frecuencia para el área ba6o la campana de Bauss. Estos

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valores son $tiles para determinar intervalos de confianza  para los niveles especificados basados en una curva normalmente distribuida (o estimadores asintóticamentenormales)

 

A!LA >!L>II

A!NA >!JHHLI

A!NI >!NINNJ

A!NL !JI

A!NN !IKIL

A!NNI !LAKA

A!NNL !ANA

A!NNN !NAI

A!NNNN !LNAJ

A!NNNNN H!H>K

donde el valor a la izquierda de la tabla es la proporción de valores que caerán en elintervalo dado " n es un m$ltiplo de la desviación t'pica que determina la anc/ura de elintervalo.

editar! Forma familia e7ponen"ial

&a distribución normal tiene forma de familia exponencial  biparamtrica con dos parámetros naturales! ] " >V?! " estad'sticos naturales X  " X . &a forma canónica tiene

como parámetros " " estad'sticos suficientes  "

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editar! Distri$u"i#n normal "ompleja

:onsidrese la variable aleatoria comple6a aussiana

donde X  e '  son variables aussianas reales e independientes con iual varianza . &afunción de distribución de la variable con6unta es entonces

:omo ! la función de distribución resultante para la variable aussianacomple6a ,  es

editar! Distri$u"iones rela"ionadas

•  2[2a"lei/(?) es una distribución de 2a"lei/ si donde

" son dos distribuciones normalesindependientes.

• es una distribución \ con ` rados de libertad si donde

 X - [ ! (A!>) para " son independientes.

• ' [:auc/"(] , A! , >) es una distribución de :auc/" si '  , X > V X  para X >[ ! (A!>) " X [ ! (A!>) son dos distribuciones normales independientes.

• ' [&oO4(]!?) es una distribución loOnormal si '  , e X  " X [ ! (]!?).

• 2elación con una distribución estable sientonces X [ ! (]!?).

• Distribución normal truncada. si entonces truncando X  pordeba6o de A " por encima de 3 dará luar a una variable aleatoria de media

donde

" es la función de densidad de una variable normal estándar.

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• 0i X  es una variable aleatoria normalmente distribuida e '  ,  X   ! entonces '  tiene una distribución normal doblada.

editar! /stad.sti"a des"riptiva e inferen"ial

editar! 8esultados

De la distribución normal se derivan muc/os resultados! inclu"endo ranos de percentiles (percentiles o cuantiles)! curvas normales equivalentes! stanines! zOscores! " GOscores. 8demás! un n$mero de procedimientos de estad'sticos decomportamiento están basados en la asunción de que esos resultados están normalmentedistribuidos. Por e6emplo! el test de 0tudent " el análisis de varianza (84M8) (vasemás aba6o). &a radación de la curva campana asina rados relativos basados en unadistribución normal de resultados.

editar! 6ests de normalidad

 Artículo principal1 Test de normalidad 

&os tests de normalidad se aplican a con6untos de datos para determinar su similitud conuna distribución normal. &a /ipótesis nula es! en estos casos! si el con6unto de datos essimilar a una distribución normal! por lo que un POvalor  suficientemente peque%o indicadatos no normales.

• Prueba de YolmoórovO0mirnov

• Gest de &illiefors

• Gest de 8nderson3Darlin

• Gest de 2"an3oiner 

• Gest de 0/apiro3Qil5 

•  4ormal probabilit" plot (ran5it plot)

• Gest de arque3Zera

• Gest omnib$s de 0pieel/alter 

editar! /stima"i#n de par'metros

editar! /stima"i#n de par'metros de m'7ima verosimilitud

0upónase que

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son independientes " cada una está normalmente distribuida con media μ " varianza σ   @ A. En trminos estad'sticos los valores observados de estas n variables aleatoriasconstitu"en una muestra de tama%o n de una población normalmente distribuida. 0edesa estimar la media poblacional  μ " la desviación t'pica poblacional σ ! basándose enlas valores observados de esta muestra. &a función de densidad con6unta de estas n 

variables aleatorias independientes es

:omo función de μ " σ ! la función de verosimilitud basada en las observaciones X >! ...!

 X n es

con aluna constante C  @ A (de la cual! en eneral! se permitir'a incluso que dependierade X >! ...! X n! aunque desapareciera con las derivadas parciales de la función de loOverosimilitud respecto a los parámetros tenidos en cuenta! vase más aba6o).

En el mtodo de máxima verosimilitud! los valores de μ " σ  que maximizan la función

de verosimilitud se toman como estimadores de los parámetros poblacionales μ " σ .7abitualmente en la maximización de una función de dos variables! se podr'anconsiderar derivadas parciales. Pero aqu' se explota el /ec/o de que el valor de μ quemaximiza la función de verosimilitud con σ  fi6o no depende de σ . 4o obstante!encontramos que ese valor de μ! entonces se sustitu"e por μ en la función deverosimilitud " finalmente encontramos el valor de σ  que maximiza la expresiónresultante.

Es evidente que la función de verosimilitud es una función decreciente de la suma

8s' que se desea el valor de μ que minimi4a esta suma. 0ea

la media muestral basada en las n observaciones. 4ótese que

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0ólo el $ltimo trmino depende de μ " se minimiza por 

Esta es la estimación de máxima verosimilitud de μ basada en las n observaciones X >! ...! X n. :uando sustituimos esta estimación por μ en la función de verosimilitud! obtenemos

0e conviene en denotar la loOfunción de verosimilitud! esto es! el loaritmo de lafunción de verosimilitud! con una min$scula 5 ! " tenemos

entonces

Esta derivada es positiva! cero o neativa se$n σ  est entre A "

o sea iual a esa cantidad! o ma"or que esa cantidad. (0i /a" solamente unaobservación! lo que sinifica que n , >! o si X > , ... , X n! lo cual sólo ocurre con

 probabilidad cero! entonces por esta fórmula! refle6a el /ec/o de que en estoscasos la función de verosimilitud es ilimitada cuando σ  decrece /asta cero.)

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:onsecuentemente esta media de cuadrados de residuos es el estimador de máximaverosimilitud de σ ! " su ra'z cuadrada es el estimador de máxima verosimilitud de σ  

 basado en las n observaciones. Este estimador es sesado! pero tiene un menor errormedio al cuadrado que el /abitual estimador insesado! que es nV(n R >) veces esteestimador.

editar! Sorprendente generali,a"i#n

&a derivada del estimador de máxima verosimilitud de la matriz de covarianza de unadistribución normal multivariante es despreciable. ;nvolucra el teorema espectral " larazón por la que puede ser me6or para ver un escalar  como la traza de una matriz >>matrix que como un mero escalar. Mase estimación de la covarianza de matrices.

editar! /stima"i#n insesgada de par'metros

El estimador de máxima verosimilitud de la media poblacional μ de una muestra es unestimador insesado de la media. El estimador de máxima verosimilitud de la varianzaes insesado si asumimos que la población es conocida a priori! pero en la práctica estono ocurre.4o obstante! si nos enfrentamos con una muestra " no sabemos nada de lamedia o la varianza de la población de la que se /a extra'do! como se asum'a en laderivada de máxima verosimilitud de arriba! entonces el estimador de máximaverosimilitud de la varianza es sesado. Un estimador insesado de la varianza σ  es

Esta varianza muestral siue una distribución Bamma si todas las X i sonindependientes e idnticamente distribuidas

con media " varianza

&a estimación de máxima verosimilitud de la desviación t'pica es la ra'z cuadrada de la

estimación de máxima verosimilitud de la varianza. 4o obstante! ni esta! ni la ra'zcuadrada de la varianza muestral proporcionan un estimador insesado para ladesviación t'pica (vase estimación insesada de la desviación t'pica  para una fórmula

 particular para la distribución normal.

Distribución de probabilidad

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La distribución Normal suele conocerse como la "campana de gauss".

En teor'a de la probabilidad " estad'stica! la distri$u"i#n de pro$a$ilidad de unavariable aleatoria es una función que asina a cada suceso definido sobre la variable

aleatoria la probabilidad de que dic/o suceso ocurra. &a distribución de probabilidadestá definida sobre el con6unto de todos los eventos rano de valores de la variablealeatoria.

:uando la variable aleatoria toma valores en el con6unto de los n$meros reales! ladistribución de probabilidad está completamente especificada por la fun"i#n de

distri$u"i#n! cu"o valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoriasea menor o iual que x.

Contenido

ocultar!

• De#nición de $unción de distribución

• % &ropiedades

• ' Distribuciones de variable discreta 

o '. Distribuciones de variable discreta m(s importantes

• ) Distribuciones de variable continua 

o ). Distribuciones de variable continua m(s importantes

• * +nlaces eternos

editar! De#nición de $unción de distribución

Dada una variable aleatoria todos son puntos X ! su fun"i#n de distri$u"i#n! F  X ( x)! es

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Por simplicidad! cuando no /a" luar a confusión! suele omitirse el sub'ndice X  " seescribe! simplemente! F ( x).

editar! &ropiedades

:omo consecuencia casi inmediata de la definición! la función de distribucion

• +s una $unción continua por la derec-a.

• +s una $unción monótona no decreciente.

8demás! cumple

"

Para dos n$meros reales cualesquiera a " b tal que (a + b)! los sucesos "

son mutuamente exclu"entes " su unión es el suceso ! por loque tenemos entonces que

" finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F ( x) para todos los valores dela variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de lavariable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad! " sinembaro para ver una representación ráfica de la probabilidad es más práctico el usode la función de densidad.

editar! Distribuciones de variable discreta

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Distribución binomial.

0e denomina distribución de variable discreta a aquella cu"a función de probabilidadsólo toma valores positivos en un con6unto de valores de X  finito o infinito numerable.8 dic/a función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso ladistribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa! por lo que tenemosentonces que

! tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad! esta expresiónrepresenta la suma de todas las probabilidades desde /asta el valor x.

editar! Distribuciones de variable discreta m(s importantes

&as distribuciones de variable discreta más importantes son las siuientes

• Distribución binomial

• Distribución binomial negativa

• Distribución &oisson

• Distribución geomtrica

• Distribución -ipergeomtrica

• Distribución de /ernoulli

• Distribución 0ademac-er, que toma el valor con probabilidad 1 % 2el valor 3 con probabilidad 1 %.

• Distribución uni$orme discreta, donde todos los elementos de uncon4unto #nito son equiprobables.

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editar! Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

0e denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitosvalores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribuciónde probabilidad es la interal de la función de densidad! por lo que tenemos entoncesque

editar! Distribuciones de variable continua m(s importantes

&as distribuciones de variable continua más importantes son las siuientes

• Distribución 4i cuadrado

• Distribución eponencial

• Distribución t de Student

• Distribución normal

• Distribución 5amma

• Distribución /eta

• Distribución 6

• Distribución uni$orme 7continua8