para representarlo. - curso de algebra · una escuela de idiomas tiene 120 estudiantes y se sabe...

Álgebra Universidad de Occidente Rodolfo Ruiz Cortés

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CONJUNTOS

Conjunto.-

Un conjunto es una colección de objetos (elementos) bien definida, es decir que no exista duda

si un elemento cualquiera pertenece o no a dicho conjunto ; o bien es una colección de números

u objetos que satisfacen una condición dada.

Métodos para describir conjuntos:

Método de extensión.- Consiste en enumerar dentro de corchetes todos los elementos del

conjunto a describir ; u}o,i,e,{a,V ; } ,6,7,8,9,0{1,2,3,4,5D } 2,4,6,8 {P ; ;

; domingo sabado, viernes,jueves,miercoles, martes, lunes,S }{ } 1,4329,31,37,4 {I .

Método de comprensión.- Utiliza una frase que describe los elementos del conjunto además de

la expresión : xx que se lee “x tal que x” y se entiende “cada elemento del conjunto es” ,

ejemplo: vocal}una es{x / x V dígito}un es{x / x D ; real} númeroun es{x / x C ;

O} de Ula de alumnoun es{x / x E ; L ; }abecedario del letra una es{x / x

} diez quemenor positivopar númeroun es{x / x P } semana la de díaun es{x / x S ;

Pertenencia.-

Si el elemento “a” pertenece o forma parte del conjunto “V” se denota de la siguiente forma:

V a , es casos últimos dos estos L, V ; D P ; V b :apertenenci no la usa setambién

conjuntos. entre noy conjuntoun a respectocon elementoun de es apertenenci la porque

Subconjunto.-

Para que un conjunto “A” sea subconjunto de otro conjunto “B” ( BA ), es necesario que

todos los elementos del primer conjunto “A” estén o pertenezcan al segundo conjunto “B”.

conjuntos.son no m"y "4 porque es casos últimos dos estos L,m ; N4 ; DN ; ND

L;D ; DV ; V L ; LL ; VV ; LV :entonces , N

D ; Ly V :sea

entero} númeroun es{x / x

dígito}un es{x / x }abecedario del letra una es{x / x vocal}una es{x / x

Conjunto Universo.-

Es el conjunto que se forma con al menos todos los elementos de los conjuntos que intervienen

en una situación o problema dado. Se utiliza la letra “ U ” para representarlo.

Conjunto vacío.-

Es un conjunto que carece de elementos . Se utiliza la letra griega para representarlo.

ejemplo : edad} de años 200 de mascon mexicanoun es{x / x D

} edad de años 20con Sinaloa deor exgobernad es{x / x D .


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Conjunto complemento.-

Si se tiene un conjunto “ A ”, su conjunto complemento A es aquel que se forma con los

elementos que faltan al conjunto “ A ” para completar el conjunto universo. Ejemplo :

} consonante una es{x / x } vocaluna es{x / x V¨A entonces VA si

Unión de dos conjuntos.-

La unión de dos conjuntos forma otro conjunto cuyos elementos pertenecen a uno o a otro o a

ambos conjuntos } { ambos a o C xo AxxCA .

Intersección de dos conjuntos.-

La intersección de dos conjuntos forma otro conjunto cuyos elementos son los que pertenecen o

están en los dos conjuntos } { ambos a , Cy xA xxCA .

Ejercicios.-

#.-Describa por el método de comprensión los siguientes conjuntos:

a).- 10} 8, 6, 4, 2, { P

b).-

e} d, c, b, a, { C

c).-

25} 20, 15, 10, 5, { Q

d).-

} 36 25, 16, 9, 4, {1, E

#.-Describa por el método de extensión los siguientes conjuntos:

a).- diez} de menores positivos enteros números los { P

b).- } materia"" palabra la de sconsonante letras {las C

c).-

} digitos los de cuadrados {los D

#.-Dados : } ih,f,c,b,{a, A , } ie,{a, B , }h g, {c, C , i} h,b, a, { D ,

} ih,g,f,e,d,c,b,{a, U

Indique si la aseveración que se presenta es verdadera o falsa:

a) B a

b).- D B c)

B a d).-

D B

e) B D

f).- U B g)

U C h).-

A D

i) BA

j).- A D k)

C i l).-

UA

#.- Obtenga todos los conjuntos que sean subconjuntos de conjunto } 8 6, 4, {2, C

Solución:

Número de subconjuntos de un conjunto con “n” elementos : 2

n

2n=2

4=16 subconjuntos


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; 8} { ; 6} {; } {4 ; } {2 ; 6,8} { ; 8} 4, { ; 8} 2, { ; 6} 2, {

; } 6 {4, ; 4} 2, {; } 8 6, {2, ; 8} 6, {4, ; 8} 4, 2, { ; } 6 4, {2, ; 8} 6, 4, 2, {

#.-Dados : } ih,c,b,{a, A , } ie,{a, B , } jg,f,d,{c, C , } ig,d,{b, D ,

} ji,h,g,f,e,d,c,b,{a, U

Realice las operaciones de conjuntos que se indican:

a).- C b) .- DB c) .- AC d) .- )AD(

e) .- CA f) .- DB g) .- D)BC( h) .- )AD(B

#.-Dados : 9} 8, 7, 6, 3, 1, { A , 8} 4, 1, { B , 8} 6, 4, 2, { C , } {1,5,7,9 D ,

} 0 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, {1, U

Realice las operaciones de conjuntos que se indican:

a) .- AC b) .- BD' c) .- DB)C(

d) .- )A(CD

f).- D)B(C f) .- AD)(B

#.- Ubique el área delimitadas en los diagramas de Venn que corresponde a la expresión de

conjunto que se indica :

U

a).- BA

b).- AB c).-

A

A B

d).- AB e).-

BA f).-

AB

g).- BA

h).- )BA(

i).- )BA(

#.- Ubique el área delimitada en los diagramas de Venn que corresponde a la expresión de

conjunto que se indica :

a).- CBA

b).- CAB c).-

)CBA(

d).- CBA

e).- BCA

f).- CAB


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U

A

B

C

#.- En una encuesta hecha a 300 personas se obtuvieron los siguientes resultados : 200

personas toman refresco de cola , 180 toman de sabor y 100 personas toman de sabor y

de cola . Determine ¿cuantas personas

a).- toman refresco de sabor ? ,

b).- toman solo refresco de cola? ,

c).- toman al menos uno de los dos ?,

d).- no toman refresco de cola? ,

e).- no toman refresco. (use los diagramas de Venn)?

Solución.-

cola sabor


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#.- Una escuela de idiomas tiene 120 estudiantes y se sabe que 60 estudian francés , 50

estudian español y 20 estudian francés y español . Determine ¿cuantos estudiantes: a).-

estudian francés o español pero no ambos , b).- No estudian ni francés ni español,

C) .-estudian solo francés.

Solución.-

Francés Español

#.- Se realizó una encuesta a 700 personas de una ciudad sobre el medio de

comunicación que emplea para enterarse de las noticias, y el resultado fue el siguiente:

250 por radio; 200 por televisión; y 450 por periódico; 80 por radio y televisión; 60 por

radio y periódico; 100 por televisión y periódico; 40 personas emplean los tres medios

(radio, televisión y periódico).

Determine.

a).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias por la radio?

b).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias por la televisión?

c).-¿cuántas solamente se enteran de las noticias por solo uno de estos medios?

d).-¿cuántas personas no se enteran de las noticias por ninguno de los tres medios?

d).-¿cuántas personas solamente se enteran de las noticias solo por dos medios?

#.- En cierta escuela se tienen que cursar al menos uno de los tres idiomas siguientes :

Inglés, francés y ruso. Si tiene 400 estudiantes y se sabe que 300 cursan Ingles , 200

francés y 150 el ruso; además 140 cursan inglés y ruso, 90 cursan inglés y francés y 50

cursan francés y ruso. ¿Cuantos estudiantes cursan los tres idiomas?


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#.- De 100 personas solicitantes a un puesto en una empresa , 40 cuentan con experiencia

laboral , 30 tienen título universitario , y 20 tienen título y experiencia labora. ¿cuantas personas

solicitantes: a).- tienen experiencia laboral o título o ambos ,b).- tienen solo experiencia laboral

? ; c).- no tienen ni título ni experiencia laboral ?

#.-En una escuela hay 200 alumnos, de los cuales 100 practican fútbol, 120 practican béisbol y

50 practican ambos deportes, cuántos alumnos: a).- practican los dos deportes a la vez ;

b).- practican fútbol pero no-béisbol ; c).- practican al menos uno de los deportes ; d) .- No

practican deporte.

#.- En una determinada población, el 70% son aficionados al fútbol, el 60% al tenis y el 65% al

baloncesto. El 45% lo son al fútbol y al tenis, el 40% al tenis y al baloncesto y el 50% al futbol

y al baloncesto, mientras que el 30% lo son a los tres deportes. ¿Cuántas personas de esta

población no son aficionados a ninguno de los tres deportes?

#.- Una distribuidora automotriz tiene 75 carros, de los cuales: 32 tienen tracción delantera; 39

son compactos; 30 tienen transmisión automática; 16 son compactos con tracción delantera; 12

son compactos con transmisión automática; 10 tienen tracción delantera y transmisión

automática y 4 son compactos con tracción delantera y transmisión automática. ¿Cuantos carros

a).- son compacto con tracción trasera y transmisión automática; b).- No son compactos no

tienen tracción delantera y tampoco transmisión automática; c).- son compactos con tracción

trasera y no tienen transmisión automática; d).- No son compactos tienen tracción trasera y no

tienen transmisión automática.

#.-El gerente de personal de una planta industrial, asegura que en el año de 1996 entre un total

de 400 empleados, 312 obtuvieron un ascenso, 248 incrementaron sus prestaciones de

jubilación, 173 lograron ambos beneficios y 43 ningún beneficio. Explique por qué puede ser

objetada esta afirmación

Definiciones, utilizando el concepto de conjunto;

Circunferencia.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y) que están a la misma distancia

( llamada radio) de otro punto fijo (h, k) llamado centro.

Parábola.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y), tales que la diferencia de sus

distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es una constante positiva.

Hipérbola.- Es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuyas distancias a un punto (foco)

y a una recta (directriz) fijos son iguales.


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Las propiedades, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto universo U:

1. A ∪ B = B ∪ A

2. A ∩ B = B ∩ A

3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ,que autoriza la escritura A ∪ B ∪ C. 4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) ,que autoriza la escritura A ∩ B ∩ C.

5. A ∪ ∅ = A (∅ esel conjunto vacío)

6. A ∩ ∅ = ∅

7. A ∪ U = U 8. A ∩ U = A

9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

10. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

11. A ∪ A' = U

12. A ∩ A' = ∅

13. (A ∪ B)' = A' ∩ B' Leyes de Morgan

14. (A ∩ B)' = A' ∪ B' Leyes de Morgan

15. A ∪ A = A ∩ A = A

16. (A')' = A

17. A - B = A ∩ B'

18. (A - B) - C = A - (B ∪ C)

19. Si A ∩ B = ∅, entonces (A ∪ B) - B = A

20. A - (B ∪ C) = (A - B) ∩ (A - C)

Un par ordenado es un objeto formado por dos elementos con un orden determinado que

notaremos por (a, b). A los elementos “a” y “b” se les denomina primera y segunda componente

del par (a, b). Dos pares ordenados son iguales si y sólo si las componentes correspondientes

son iguales.

Dados X e Y conjuntos, llamaremos producto cartesiano de X e Y, al conjunto formado con

todos los pares ordenados que pueden formarse con elementos de X e Y: X Y = {(a, b) / a

X y b Y} . Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1,

y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En

este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par

(x, 1). De igual forma se puede definir el producto cartesiano de tres conjuntos:

A B C = {(a, b, c) / a A, b B y c C}

Ejercicios a resolver

#.- Describa por el método de extensión los siguientes conjuntos:

B = { x/x es un número positivo menor que 5}

D = { x/x es una consonante de la palabra materia}

E = { x/x es una consonante }

G = {x/x es un país de América}

#.- Describa por el método de comprensión los siguientes conjuntos


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M = {Mercurio,Venus, Marte,…,Neptuno y Plutón}

H = { a, e, i, o, u}

J = { 1, 3, 5, 7, 9}

K = { f, e, l, i, z}

L = { a,b,c,d,e,...,x,y,z}

#.-Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}; U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

Hallar: a).- BA ; b).- CA ; c).- CB ; d).- BB

e).- BA ; f).- CA ; g).- CB ; h).- BB

i).- BA ; j).- CA ; k).- )C(B ; l).- BB

#.-Dado el conjunto A = {6,2,8,4,3} encontrar todos los subconjuntos de A que se puedan

construir con sus elementos, es decir el conjunto potencia.

#.-¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos:

{e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}?

#.-Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}

#.-¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}

#.- Un grupo de 50 personas va al supermercado a comprar barras de chocolate. Cada persona

compra como mínimo una barra. El supermercado vende dos tipos de barras de chocolate: con

relleno y sin relleno. Si 45 personas compran de los dos tipos de barras, y 47 compran como

mínimo una barra con relleno cada uno, ¿cuántas personas compraron únicamente barras de

chocolate sin relleno?

#.- Un grupo de 100 extraterrestres llega en la nave Estrella 2000 para invadir su planeta. Estos

extraterrestres se distinguen por dos características: sus ojos y sus colas. Algunos de ellos

tienen ojos, pero no tienen cola, otros tienen cola pero no tienen ojos, y otros tienen ojos y cola.

Si hay 75 extraterrestres que tienen ojos y 50 que tienen ojos y cola, ¿cuántos de ellos tienen

ojos pero no tienen cola? ¿Cuántos tienen solamente cola?

#.- Un grupo de 30 estudiantes decide ir de paseo al zoológico. Hay dos exhibiciones principales

abiertas para visitas: la pajarera y la cueva del león. Ocho estudiantes visitan la pajarera, de los

cuales seis visitan también la cueva del león. ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la cueva

del león? ¿Cuántos estudiantes visitan únicamente la pajarera?

#.- Hay 70 niños en la ciudad de Cartagena, y todos se van a vestir en forma especial para ir a

una fiesta. Hay dos actividades para la noche de la fiesta: un baile y un concurso de disfraz. Si

30 niños fueron tanto al baile como al concurso de disfraz, y solamente 24 niños fueron

únicamente al baile, ¿cuántos niños en total participaron en el concurso de disfraz? ¿Cuántos

fueron únicamente al concurso de disfraz?


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#.- Actualmente se están exhibiendo dos películas en un teatro de la ciudad: Ficción Increíble 3

y Las matemáticas en las estrellas. Un total de 68 personas asistieron al teatro. Si 35 personas

vieron Las matemáticas en las estrellas, y 10 vieron tanto Ficción Increíble 3 como Las

matemáticas en las estrellas, ¿cuántas personas vieron únicamente Ficción Increíble 3?

¿Cuántos boletas se vendieron en total en el teatro?

#.- Se anotaron 75 órdenes de bebidas en un restaurante, donde se ofrecen dos tipos de bebidas:

jugo de naranja y leche. Si 59 personas tomaron jugo de naranja y 18 tomaron leche, ¿cuántas

personas tomaron tanto leche como jugo de naranja?

#.- Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: fútbol en el otoño,

basketball en el invierno y baseball en la primavera. Algunos de los atletas juegan solamente un

deporte, otros dos y otros tres. Cuarenta personas juegan fútbol. Si 15 juegan los tres deportes,

5 juegan basketball y fútbol, pero no baseball, y 10 juegan solamente fútbol, ¿cuántas personas

juegan tanto baseball como fútbol?

#.- Hay 49 personas que tienen mascotas. 15 personas tienen únicamente perros, 10 tienen

únicamente gatos, 5 personas tienen perro y gato y 3 tienen gato, perro y serpientes. ¿Cuántas

serpientes hay?

#.- Tres juegos populares de computador son: La invasión de los extraterrestres, Las carreras de

carros y Fútbol de lujo. Cincuenta personas de su barrio tienen juegos de computador. 16

tienen los tres juegos, 5 tienen Las carreras de carros, 7 tienen Fútbol de lujo, y 19 tienen

únicamente La invasión de los extraterrestres. En total ¿cuántos juegos de computador hay en

su vecindario?


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NÚMEROS

Números naturales.-

Son los números que usamos para contar, por lo que solo involucra a los enteros positivos.

} ., 258. ..., 51, , ,11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, {0,N

Números enteros.-

Este conjunto de números se forma con los números naturales y sus negativos.

} ., . . 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1,., . . 4, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, {1,E

Para realizar las operaciones de suma , resta y multiplicación para los números enteros se siguen

las siguientes reglas :

*Si se suman dos números enteros del mismo signo, se suman sus magnitudes y al

resultado se le asigna el signo de ambos ; 6642 ; 853

*Si se suman dos números enteros de diferente signo, se restan sus magnitudes y al

resultado se le asigna el signo del mayor: 572 ; 2253

Al multiplicar dos números enteros del mismo signo el resultado es positivo:

12)3)(4( ; 15)5)(3(

Al multiplicar dos números enteros de diferente signo el resultado es negativo:

7)2)(14( ; 2)5)(10(

Ejercicios:

74 #. ; 283 #. ; 283164 #.

)58(2 #. ; })52(1 {4 #. ; })14(32 {3 #. 2

)63(68 #. ; } )42(5{3 #. ; })64(35 {24 #. 2

Números racionales.-

Son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.

2

200100.00 ;

4

10.2500 ;

6

10.16666 ;

3

10.3333 ;

2

1600.8

Una característica de estos números es que al realizar la división sus decimales son periódicos.

914183653594771277124183000.00653594 ;

11100.09090909 ;

7128571428570.14285714


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Producto entre fracciones.-

Se realiza multiplicando los numeradores y denominadores respectivamente, las reglas de los

signos para los enteros también se aplican para los racionales.

4

7

)4)(4)(2)(3(5

)5)(7)(3)(4(2

4

5

4

7

2

3

3

4

5

2 ;

8

3

)4(2

)3(1

)4)(2(5

)5)(3(1

4

5

2

3

5

1

10

13

20

26

4(5)

13(2)

5

2

4

1)4(3

5

2

4

13 ;

5

12

5

)3(4

5

34 ;

8

15

)4(2

)3(5

4

3

2

5

Ejercicios.-

5

2

3

42

2

1 #. ;

4

3

3

7

4

3 #.

; 3

54

7

3 #. ; )5(

4

3 #.;

5

7

2

3 #.

; 3

2

5

4 #. ;

3

7

4

3 #.;

4

3

2

1 #.

División entre fracciones.-

Se realiza multiplicando el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda

fracción y queda como numerador de la fracción resultante y el denominador de la primera por

el numerador de la segunda y queda como denominador de la fracción resultante, las reglas de

los signos para los enteros también se aplican para los racionales.

68

15

4(17)

3(5)

5

17

4

3

5

23(5)

4

5

5

23

4

3 ;

21

10

)3(7

2(5)

53

72

12

10

)4(3

)5(2

5

4

3

2

; 20

3

)5(4

)1(3)5(

4

3 ;

6

20

)3(2

)4(5

4

3

2

5

Ejercicios.-

; 5

3

2

1 #. ;

4

7

2

5 #. ;

5

3

6

4 #.


Página 12

432

721

#. ;

43

54

#. ;

5

4

3

2

5

4 3 #.

Suma y resta de fracciones.-

Se obtiene un común divisor, ( es un número que se puede dividir de manera exacta entre los

denominadores todas las fracciones a sumar) se suma la división de este común divisor entre

cada uno de los denominadores multiplicado por el numerador correspondiente .

; 6

7

6

14125

6

)7(2)4(3)5(1

3

7

2

4

6

5

15

73

15

2548

15

)5(5)16(3

3

5

5

16

3

2)3(1

5

6)5(2

3

21

5

62

Ejercicios.-

12

1

3

5

4

2 .#

12

1

3

5

4

2 .# ;

3

21

5

62 .# ;

2

51

3

2

5

62 .#

4

3

3

2

2

1

5

3 .# ;

5

11

3

25

5

2 .# ;

3

22

4

32

.#

3

22

5

33

.# ; 3

21

5

32 .# ;

Números irracionales .-

Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.

Todas las raíces que no son exactas son irracionales, además de algunos parámetros como

....73094142135623.12 ; 90....57182818284.2e ; ... 3.1415π

Números reales.-

Es el conjunto de los números racionales e irracionales ( lo que incluye a los números naturales

y a los números enteros ).

Propiedades de campo de los números reales:

Sean cy b a, números reales:

Existe un elemento identidad en la suma y multiplicación para cada número

a0a ; a(a)(1)


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Existe un inverso multiplicativo y aditivo para cada número (excepto el cero en la

multiplicación)

0) a(a ; 1a

1 ) a (

c)(bacb)(acba asociativa

abba ; abba conmutativa

cabac)(b a distributiva

“ ba ” es un número real y “ (a)(b) ” es un número real de cerradura

ba ó ba ó ba :cumple se

scondicione estas de una solo reales, números dos by aSean tricotomía

Propiedades de la igualdad.-

Reflexiva aa

Simétrica si ba entonces ab

Transitiva si ba y cb entonces ca

Aditiva si ba entonces cbca

Multiplicativa si ba entonces cbca

#- Haciendo uso de las propiedades de la igualdad despeje la incógnita que se indica en

cada caso:

; x despeje ba x:de -a).

Solución

ab x a baa x; a baa)(x ; ba x


Página 14

; x despeje ba x:de -b).

Solución

ab x abaa x; abaa)(x ; ba x

; x despeje bxa : de -c).

Solución

a

b x

a

b

a

xa ;

a

b

a

xa ; bxa

; x despeje ba)( xde -d).

Solución

a

b x

a

b

a

xa ;

a

b

a

xa ; bxa

; x despeje b a

x :de -e).

Solución

ab x aba a

x ; aba

a

x ; b

a

x

; x despeje b a

x :de -f).

Solución

ab)a(b x )a(b) a( )a(

x ; )a(ba)(

a

x ; b

a

x

Lo que se puede deducir de las operaciones anteriores es que para pasar de un lado del signo

igual al otro lado una letra o número deberá pasar con operación contraria a la que tiene en su

lugar original.

ba cba x ; x despeje cba x:de -a).

a

b c x , b cxa ; x despeje cbx)(a :de -b).

a

b c x , b cxa ; x despeje cbx)(a :de -c).

ab) c( x , b ca

x ; x despeje cb

a

x :de -d).

ab) c( x , b ca

x ; x despeje cb

a

x :de -e).


Página 15

ba) c( x , a cb x ; x despeje ca

bx :de -f).

ba) c( x , a cb x ; x despeje ca

bx :de -g).

ab

c x ,

b

ca x ; x despeje ca)b(x :de -h).

ab

c x ,

b

ca x ; x despeje ca)b(x :de -i).

También se puede utilizar el mismo criterio para otro tipo de operaciones:

2 a x , 2 a2 2x ; x despeje a 2 x:de -h).

3 a x , 3 a3 3x ; x despeje a 3 x:de -j).

2a x , 2a

22 x ; x despeje a 2 x :de -k).

3ax , 3a3

3 x ; x despeje a 3 x :de -l).

Ejercicios.-

) 4(33

2

2

1684

2

6

2

3 134

5

21

4

92852

3

23

3

62 1

4

33

4

35

5

63

5

3

2

3)25)(6(8

2

6

43 3

62

245 3

2

16 492 2)7()3(

3)2)75(3(22))23)(2(1( )2)75(3(2)25)(6(2

83 59 )2(5 872453

)8)(3( )3)(2)(4( )2()14( )9()3)(6(

5

7

5

3

3

5

3

2

7

19

7

13

7

9

12

1

3

5

4

2


Página 16

2

5

4

7

7

3

15

4

6

7

5

3 22

3

4

5

2a

3

a

2

2

5

2

3

5

3

4

1 2

5

2

3

5

3

4

1

5

2)2(

5

2

1

2 5

2

3

4

5

2

4

3

4

3

2

5

5

24

3

4

36

5

20

1

4

3

3

22

5

33

2

13

2

34

6

8

2

3

13

5

2

3

2

11

11

1

4

34

35

33

62

2

6

42

2

1684

2

6

2

3 134

5

21 3

62

245

3

1

2

3

6

2

4

1

3

4 ))63(4)23(3( )2)63(23(34

2)1.1(

3 64

3 8

216

4

2 36

49

)4(9

27

3 64

4

9

2

410

2

412

3

315

2

5

22

2

32

(0.5)(0.5) (0.5)(1.25) 3(0.2)

3 27


Página 17

5

11

5

25

5

2

5

4

2

15

2

3

52

2

2

3

4

5

5

2)2(

5

2

4

3

4

3

2

5

2

3

2

4

2

2

7

6

1

3

2

4

2

3

7

5

1

3

2

2

3 134

5

21 3

62

245

3

1

2

3

6

2

4

1

3

4

Ejercicios.-

Despeje la variable que se indica en cada ecuación:

i despeje ; t despeje ; C despeje , t i CI :de

i despeje ; t despeje ; C despeje , t)i(1 CM :de ;

n despeje ; i despeje ; C despeje ,n

) i(1 CM :de

i despeje ; t despeje ; C despeje , t)i(1 CM :de

n despeje ; d despeje ; C despeje , n

) d(1 CS :de

σ despeje ;μ despeje ; x despeje , σ

μx Z:de

n despeje ; S despeje ; C despeje , n

SCD :de

n despeje ;A despeje , i

1n

i)(1A M :de

n despeje ;A despeje , i

ni)(11

A C :de


Página 18

2))32(2(63

93 )2)53(34(34

5

11

3

22

5

2

5

4

2

15

2

3

22

2

5

21

2

32

0.02

0.8 (0.5)(0.5) (0.5)(1.25) 3(0.2)

20

14

3

3

22

5

33

2

13

2

34

6

)4(33

2 )928(52

2

6

42

2

1684

2

6

2

5

21

2

32

5

14

3

4

36

5

916

4

916 3

62

245

2

6

43 3

62

245 3

2

16 492

)2)75(3(2)25)(62(3

2

)52(6

4)23(2

))41(32(

2

4

57

3

22

5

2 2

38

54

54

5


Página 19

OPERACIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica esta formada por uno o más términos algebraicos. Un término

algebraico esta formado por un signo un coeficiente y una o más letras o literales y éstas con

algún exponente que indica la potencia a la que esta elevada la literal.

Ejemplo : 2y 4 x6 donde 6 es el coeficiente , "y " e x"" son las literales , 4 y 2 son los

exponentes de "y " e x"" respectivamente y el signo es positivo (+) , el cual se sobreentiende

si no es negativo.

Otros ejemplos : x2 ; 4yx

5

6 ;

z 3

4yx ; 5 z 3y 2 x8 2 ; 2)4y2(x

Una expresión con un solo término se le llama monomio; en caso que tenga dos términos se les

llama binomio , y si tiene tres términos trinomio , con cuatro será tetranomio , etc. En general si

tiene dos o más términos se le llama polinomio.

ejemplos:

Binomios : 2x ; 4 x5 ; 4

2y 3

2

35x ;

2

y 3y ;

5

3z 2y 4 x24z 3y 2 x4

Trinomios 3y 42 x5 ; 2z2y 33z4 x4z 3y2 x5 ; cba ;

; 5

2

2

y

3

x2

;

2y

53y25x

4

4 x

3 25x 243x ; 326x 39x

Suma de expresiones algebraicas.-

En la suma expresiones algebraicas, solo se pueden sumar los términos que sean semejantes ,

esto es que tengan la misma parte literal y se procede a sumar los coeficientes , dejando

inalterada la parte literal de los términos sumados.

Ejemplos:

x152x12y3x526x7x 24xy32x5xy33x22x3x

Ejercicios.-

)y26x 2z3y2xz2y38x()2y35xy 28xz2y32x ()2z3y25x2z3y22x( #.

)3y 23yz25y()y5 2z3y3z24y()26y3y z22y ()2z33y2z3(5y #.

)22xyy27x(4xy)26xy5xyy2x( #.

8y)2

6x(4x3)2

(2x3)3x2

3x( #.

5y)6x2(2x5x)3y2x4( #.


Página 20

)38x26x(4x)22x35x2(2x4x)23x38x( #.

)25x2y33xy2(4x)2y32xy24x(2xx)y22x2y34x( #.

)722x(6x4)2x2(6x)38x22x(5x #.

5y)24x(2x8y)3x2(4x2)2x5( #.

)34x27x(5x3x)34x2(2x)23x3x8( #.

)2y32xy27x3x(3x)y2x2y35x()24x2y32xy2(7x #.

Resta de expresiones algebraicas.-

En la resta expresiones algebraicas, solo se pueden restar los términos que sean semejantes ,

esto es que tengan la misma parte literal y se procede a restar los coeficientes , dejando

inalterada la parte literal de los términos sumados. Para empezar deberán multiplicarse los

signos de los términos dentro del paréntesis al cual le antecede el signo negativo.

Ejemplo:

3x25xy3x42x26xy3x5x28xy35x23x4x

2x)26xy3x5x()28xy35x23x(4x #.

Ejercicios.-

y)26x4x 3y22x2y37x()2y35xy 25x3y2(2x #.

)y26x 2z3y2xz2y38xy25x (y)28xz2y32x2z3y22x( #.

y)26x3xy z2y38x()2y35xy 28xz2y32x(y)22x2z3y24x( #.

)2y32xy24x(2x)25x2y33xy2(4x #.

)32x4x2(2x)38x22x(5x4)2x2(6x #.

5)24x(2x2)2x5(8)3x2(4x #.

6x)3x2(x)23x34x2(2x)34x27x(5x #.

)2y3x3y22x(x)2y32xy27x3x()24x2y32xy2(7x #.


Página 21

EXPONENTES.-

Exponente .- Es un número o expresión que se localiza adelante y encima de un número o

expresión llamada base y que indica el número de veces que se debe de tomar como factor la

base ( número o expresión).

)3)(3(23 ; )8)(8)(8(38 ; )5x)(5x(25)(x ; )xy4)(xy4)(xy4(3)xy4(

Leyes de los exponentes.-

Sea “ a ” un número real, y “m y n” enteros positivos, entonces :

; nma)n(ama ; 0a , nmana

ma

; mnan)m(a

; mbmam(ab) ; 0b mb

mam

b

a

nana

1 ; na

1 na

Todo número distinto de cero elevado a un exponente cero es igual a la unidad 1a0

Sea n a , con 0a si “ n ” es par, entonces n1

an a siempre y cuando “ n” sea

diferente de cero.

Además : nm

an ma ó

n manm

a

2ax)2x)(ax( ; xx)3x)(2/1x(

4x62x)6x)(2x( ; 5x32x)5x)(2x(

2/7321

Ejercicios.-

1/61/23/2 x1xx #. 2xx #. 3y7y #.

3

5y #. 6x5x2x #. 44x5x3 #.

2

4y

6 x #. 6x3ay2ay #.

2y #.

3/11/5

1y

3x

2y

4 x

2

y6

x

4y

2x

3

4y

3x

2y

5x

#. #. #.

1/3


Página 22

3 4z

6y

5 x

2

3 x

4x

)3

x(32

x)(8

2

x

) x(2x 2Y y

3a ax

#. #. #.

#. #. #.5/61/3

4/3

Multiplicación de expresiones algebraicas.-

Monomios por monomios.-

Se multiplican los coeficientes considerando sus signos y en la parte literal se suman los

exponentes de la misma variable.

Ejemplos:

5y624x )4y36x(y)3(4x ; 7/5

y4

x24 y)2

6x)(2/5

y6

4x(

Ejercicios.-

#. )2y2y)(7x23x(

#. )1/4y

2x4()

2y

2/52x(

#. )2z3)(8y2xyz3(

#. )3

y2

x2(y)3

7x(

#. )y 2

4x)(3

y2

(2x #. )3y3)(4x3y2x6(

#. )2/3

y5/2

x2()3

y2

5x( #. )

2/3y

2x3()

1/3y

4/34x(

#. )5/4

y2/1

x2(y)3

(x #. )

2y

1x6()

1/5y

3x3(

Monomios por polinomios.-

Ejemplo:

320416x524x 5)4x26x()3(4x

Ejercicios.-

#. )24x3xyy26x)(2y35x(

#. )2xy y24x2y35x)(3y3(2x

#. )1/3y1/22x1y23x3y2)(2x2y4(4x

#. 1)32y2y27xy)(4xy23x(

#. )2x38y2y26x34xyzY2)(2x2xyz3(


Página 23

2y 6

2y 3 xy6

2y 3 xy 6

xy2 x2

3y x

2y 3 xy 52 x2 y2x

#. )2a

xa2x3x4(ax2

#. )32

x25

x22x5a2x4(3x2

#. )3y34x2y22x)(5xy3x2x6(

Polinomios por polinomios.-

2y)22y)(4y23y3(2y #. )2xy y24x2y33xy)(5x3y3(2x #.

4)3y2)(6x22x3(5x #. 4x)2)(6x22x3(4x #.

3y)23y)(2y2(2y #. 3y)33)(2y2(5y #.

División de expresiones algebraicas.-

Monomios entre monomios

yx2

y214x #.;

y25x

3y620x #.;

3y26x

5y630x #. -. Ejercicios

;y 2 x4yx6

24

2y36x

3y524x :Ejemplo

3/42/3

2335

Polinomios entre monomios

2y26x

2y312x3y418x5y630x -#.

2y1/25x

2y210x2y320x -#.

-.Ejercicios

; 16x2xy2y24x y36x

y26x2y412x3y524x : Ejemplo

1y34x

z2y2x84y612x -#.

3/4y2/32x

1/4y1/36x12xy2y214x -#.

Polinomios entre polinomios.-

Para dividir dos polinomios entre si siguen los siguientes pasos:

Ordenar las expresiones en orden descendente tomando en cuenta el exponente de la literal

principal ; dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor;

multiplicar el resultado por los términos del divisor y restar el producto al dividendo;

determinar si el grado del primer término del residuo es menor al grado del primer término del

divisor, si lo es, se termina el proceso, si no lo es, se repite del paso 2 en adelante.

Dividir :


Página 24

#.

3 2x3x 2x

214xyy2 x3xy #.

10 2 x74 x22 x#.

4 x52 x1 x#.

1 x22 x4 1 x2 #.

3y 8 3 x27 y 2 x3 #.

2y 43 xy124y 2 x9 y 2 xy3 #.

; 3y 27 2y x 54y 2 x363 x8 3y x2 #.

2x

32 x802 x803 x404 x105x #.

Ejercicios.-

Suma y resta de expresiones algebraicas.-

)22xyy27x(4xy)26xy5xyy2x(

8y)26x(4x3)2(2x3)3x23x(

5y)6x2(2x5x)3y2x4(

)38x26x(4x)22x35x2(2x3x)23x38x(

)2y32xy24x(2x)25x2y33xy2(4xx)y22x2y34x(

)38x22x(5x4)2x2(6x


Página 25

5y)24(2x8)3x2(4x2)2x5(

)34x27x(5x)23x34x2(2x)23x3x8(

)2y32xy27x3x()24x2y32xy2(7x3x)y2x2y35x(

)2y5x2(4x6x)3y2x3(

Multiplicación de expresiones algebraicas

1)32y2y27xy)(4xy23x(

)2z38y2y26x34xyzy2)(2x2xyz3(

)axa2x3x4(ax2

)xx22x5a2x4(3x2 32

25

)3y34x2y22x2xy)(5xy3y2x6(

3y)23y)(3x2x3(

)38xyy26x35xyy2)(2x1/2y1/3x3(

)2yz2x2zy5x2y2)(2xzy(3x 21

43

32

21

52

32

)3by2a6x3by2a4x3y2)(2xbya(3x

)13x22x33)(3x2x(

)24yy210x42y)(25x2x5(

)23x3)(2x23x3x2(

)2y33xy2y)(4x22x2y3x4(

División de expresiones algebraicas

3z3y54x

3z4y316x ;

1/33/2zy2a5x

z2y3a20x ;

1/33/2

1/2

zy27x

2zy514x

y22x

22xyy210xy34x2y48x3y512x 1/2


Página 26

2y3x3y2x33y5x64y7x96y8x122y2x3 2/1

2y 2 x3

2y 3 x32y 2 x33y 5 x64y 7 x96y 8 x12

1013x27x311x44x2x 18x23x312x58x3x22x

86x2x4x

1013x27x311x44x2x

2768x322x

83x2x 2412x212x310x48x623x34x

2412x212x310x48x42x


Página 27

PRODUCTOS NOTABLES

Se les conoce como productos notables, a ciertos productos entre expresiones algebraicas que

se pueden resolver utilizando la regla correspondiente a ese caso; esto permite, para esos casos,

no tener que realizar el proceso de la multiplicación de la manera tradicional, además de facilitar

la factorización de expresiones algebraicas.

Binomios al cuadrado.-

REGLA: El cuadrado de un binomio 2b)(a , es igual al cuadrado del primer término “ 2a ”,

más el doble del producto del primer término por el segundo “ b a 2 ” , más el cuadrado del

segundo termino “ 2b ”, el resultado 2bb a 22a se conoce como trinomio cuadrado

perfecto

Expresión general:

2bb a 22a2b)(a

Ejemplos :

2y 9y x 122 x42y)3(2(2x)(3y)2)x2(2y) 3 x2 ( -#.

25 2 x104 x2)5(5))(22(x2)2x(2) 52 x( -#.

Ejercicios.-

-#.2)y 42 x3 ( -#.

2 )4y3(x

-#.2) 5 x4 ( -#.

2)y3(5x

-#.2)2y2(3x -#.

2) ny 2m x4 (

-#.2) 44y 3 x2 ( -#.

2)1x2(

-#.

2

3y2y4

1

-#.

2

x3

52x5

2

-#.2) y 2x4 (

-#.

2z)y 22y x 3(

-#.2)y 5 x6 ( -#.

2 )4y53 x(4

-#.25z) y5 x4 ( -#.

2 y3 5x


Página 28

-#.

2

3

2y

4

2x -#.

2

6x

2

Binomios al cubo.-

REGLA: El cubo de un binomio 3b)(a , es igual al cubo del primer término 3a , más el triple

del producto del cuadrado del primer término por el segundo b2a 3 , más el triple del producto

del primer término por cuadrado del segundo 2b a 3 , más el cubo del segundo término 3b .

Expresión general:

3b2b a 3b2a 33a3b)(a

Ejemplo:

1 x62 x123 x83(1))23(2x)(1(1)23(2x)3)x2(31) x(2 -#.

848x296x34x632)(22)4x)(3(2)(24x)(334x)( 32)4x ( -#.

Ejercicios.-

-#.3) 2(x -#.

3) 4 x(

-#.3)y x3 ( -#.

3) 4 x5 (

-#.3)y 5 x3 ( -#.

3)y 3 x4 (

-#.3)y 22 x3 ( -#.

3) 2y4 x2 (

-#.3) 2y32 x4 ( -#.

3) 3z 22y 3 (

-#.3) 3y 53 x2 ( -#.

3)y 2/3 x2 (

-#.3) 22 x3 ( -#.

3) 43 x5 (

-#.3) 2y 24 x2 ( -#.

3) ny 2m x5 (

-#.3) z 3 xy2 ( -#.

3) 3z 22 xy5 (


Página 29

-#.3

3

y 22 x -#.

3

3

42x2

3

-#.31)3 x2 ( -#.

3) 3 y2 3 x (

Binomios conjugados.-

REGLA: El producto de dos binomios conjugados es igual a cuadrado del término igual menos

el cuadrado del término conjugado ,al resultado 2b2a se le conoce como diferencias de

cuadrados.

Expresión general:

2b2ab)b)(a(a ; 2a2bb)b)(aa(

2a2bb)b)(aa( ; 2b2ab)ab)(a(

Ejemplo :

2b 92a 42b) (32a) 2(b) 3a 2 b)( 3a 2 ( -#.

2a 42b 92a) 2(2b) 3(b) 3a 2 b)( 3a 2 ( -#.

Ejercicios.-

-#. )y 3 )(y 3 ( -#. )3 x)(43 x(4

-#. )y 2 x3 )(y 2 x3 ( -#. y) 6 xy)(5 6 x5(

-#. 3

y

2

x

3

y

2

x -#.

5

2y 2

3

x4

5

2y 2

3

x4

-#. )y 22 x7 )(y 22 x7 ( -#. )3y 22 x)(33y 22 x(3

-#. ) 1/2y 23/2 x5 )( 1/2y 23/2 x5 ( -#. )ny 2m x)(4ny 2m x(4

-#. )y 22 x3 )(y 22 x3 ( -#. )3ny 2mx )(3ny 2m x(

-#. y) 5 x4 y)( 5 x4 ( -#. )y 5 2y3 x2 )(y 5 2y3 x2 (

-#. ) zy 22y x )( zy 22y x ( -#. )3y 2 4 )(3y 2 4 (

-#. )y2x)(4y2x(4 -#. )y 52 x)(2y 52 x(2


Página 30

Binomios con un término común.-

REGLA: El producto de dos binomios con un término común es igual a cuadrado del término

común más la suma de los no comunes por el común mas el producto de los términos no

comunes.

Expresión general:

ba xb)(a2xb) x)( a(x ;

cb) x (a ) cb (2)x a(c) xa )( b xa (

Ejemplos :

12a 72a )4a )( 3a ( -#.

15a 162a 4 )3a 2 )( 5a 2 ( -#.

Ejercicios:

-#. ) 1 x)( 2(x -#. )2)(y 6y (

-#. )6 x)( 5(x -#. )4)(x 1 x (

-#. ) 9y )( 3(y -#. ) 2 x)(2 5 x(2

-#. )7 x)(3 2 x (3 -#. )2)(x 9(x

-#. )2 x)( 1(x -#. ) 3 x)( 8 x(

-#. ) 4 x)( 2(x -#. )2)(y 6y (

-#. )5 x)( 2(x -#. )8)(x 2 x (

-#. ) 7y )( 3(y -#. ) 4 x)(3 1 x(3

-#. )7 x)(3 2 x (3 -#. )4)(x 5(x

-#. )44x )( 1(4x -#. ) 8 x)( 1 x(

-#. 2)x)(41x(4 -#.

5

2

5

x3

5

1

5

x3

-#. ) 32x)( 12x( -#. )4x)( 6x (

-#. )5 x)( 1(x -#. ) 3 x )( 8 x (

-#. 43

2x 2

3

2x -#. 2

3

y 1

3

y

-#. 63 x 43 x -#. )9)(2x 52x (


Página 31

Binomios con un término semejante:

REGLA: El producto de dos binomios con un término semejante es igual al producto de los

términos semejantes mas la suma del producto del término semejante del primer binomio por

el no semejante del segundo binomio y del producto del término semejante del segundo binomio

por el no semejante del primer binomio y mas el producto de los términos no comunes.

Expresión general:

db xc) bd (a xc ad) xb)(c x(a 2

Ejemplo :

8 x142 x6 )22x )( 43x ( -#.

15y 212y 6 )33y )( 52y ( -#.

Ejercicios:

-#. ) 3 x)(5 2(2x -#. )2 x)( 1(x

-#. )3 x)( 5(4x -#. ) 8 4x )( 8 (5x

-#. ) 2 x6 )( 3 x2 ( -#. ) 2x)(3 1x(4

-#. )7 x3 )( 2 x 3 ( -#. ) 6)(3x 5(2x

-#. )2 x)(5 2(x -#. )2 x)( 1(x

-#. )33x )( 1(x -#. ) 8 3x )( 2 2x (

-#. ) 2 x)(5 4(3x -#. )53x )( 1(3x

-#. )33x )( 1(5x -#. ) 1 4x )( 2 x(

Trinomios al cuadrado :

REGLA: El cuadrado de un trinomio 2c)b(a , es igual a la suma de los cuadrados de cada

uno de los términos “ 2c2b2a ”, más el doble del producto de todas las combinaciones de

los tres términos “ c b 2c a 2b a 2 ” , y el resultado es: bc2ac2ab22c2b2 a

Expresión general:

bc2ac2ab22

c2

b2

a2

) cb (a

Ejemplo :

y 16 x12 xy2442y 162 x9 2) 24y3x ( -#.

Ejercicios.-

-#.2) z3y 5(2x -#.

22)y2(x

-#.2)32y 5(4x -#.

2) 3 z 8 5xy (


Página 32

-#.2) 2z 33y 2 x2 ( -#.

2) 2x3x(

Binomios por Trinomios de la forma: )2bab 2b)(a(a

REGLA: El producto de un binomio y un trinomio de la forma )2bab 2b)(a(a

cuadrado de un trinomio 2c)b(a , es igual a la suma de los cubos de cada uno de los

términos “ 3b3a ”, más el doble del producto de todas las combinaciones

Ejemplo :

8327x ) 46x29x )( 23x ( -#.

Ejercicios.-

-#. )2y 25y x 102 xy)(4 5 x(2 -#.21)x21)(x(x

-#. ) 25 x 52)(x 5(x -#. ) 4 x 82 x2)(16 x(4

-#. ) 1 x 32)(9x 1(3x -#. ) 25 x 52)(x 5(x

Binomio de Newton

Esta fórmula permite desarrollar un binomio a una potencia positiva, su forma es la

siguiente:

nb..kbkna

!k

)1kn()2n)(1n(n..

..3b3na!3

)2n)(1n(n2b2na!2

)1n(nb1nnanan)ba(

La operación !k se le conoce como el factorial de un número, y se calcula:

1)3k)(2k)(1k(k!k ejemplo 241234!4

Al desarrollar el binomio 5)2x( usando la fórmula del binomio de Newton se obtiene:

5)2(

!5

)1)(2)(3)(4(54)2(

!4

)2)(3)(4(53)2(

2

!3

)3)(4(52)2(

3

!2

)4(5)2(

45

55)2( xxxxxx

32x802x803x404x105x5)2x(

Ejercicios.-

-#.4) y2 x4 ( -#.

6) 3 x(

-#.5) 1 x3 ( -#.

7) y5 x2 (


Página 33

más ejercicios de productos notables

2) 2 x4 ( ) 2 x4 )( 5 x2 (

2)5y x2 ( ) 4 x6 )( 6 x(

2)y 5 x4 ( y) x4 y)( 4x (

2) z4y 7 x( 2)2 x3)(22 x(2

) 1 x6 )( 4 x( y)6 x3 6y)( 3x (

6) 3y 2 x2 ( 2)4y32(2x

26) x( 2y)5 x(4

4) x4)(2 x(2 y)5xy)((5x

3

4) x(2 32y) x(3

) 16 x82

x4)(4 x(2 2

) 3

c2

b a (

8) x)( 2(x 7) x)( 3 (x

4)3x )( 2(x ) 3 x)(2 2 x(6

2) 4y 2 x(3 2

5)2y (x

)y 2

x)(52y 2

x(5 2) 2

a(4x

3)y x(5 ) 1 x

21)(x(x

2

z) 2y 2 2

x(4 3) x)(2 2 x(6

2

) 42

y (2 1) x)(2 5(2x

)2y 3)(x2y 3 x( )5)(xy 4(xy

3) x)(6 3 x(6 )z43y)( z43y(

16)28y4)(4y 42y (2 1) x)(2 5(2x

)2y 2 x)(42y 2 x(4 )2y)( 4y(


Página 34

2) 23y3(5x 2)n x)( 6n(x

) 2y 4y2 x24 xy)( 22 x( 2) 43x2(2x

)4x)(24x(2 )3x)(4x(

)1)(y 6y ( 3)52y (

) 42y )( 322y ( ) 52y )( 52y (

) 4y )( 12y ( ) 4y )( 12y (

2)y 5 x( )1/2y x4 )(1/2y 4x (

24)(x 25y)(4x

4)4)(2x(2x y)5xy)((5x

34) x(2 32y) x(3

) 16 x82 x4)(4 x(2 ) 1 x2 x1)( x(

8) x)( 2(x 7) x)( 3 (x

4)3x )( 2(x 3) x)(2 2 x(6

)3)(y 7y ( 2)z523y (

) 123y )( 122y ( ) 62y )( 5y (

) 24y )( 1y ( ) 15y )( 12y (

3)y 5 x( 7) x8)( x(

43y)(x 5y)5y)(4x5y)(4x(4x

y)y)(5x(5x )2)(x5(3x


Página 35

FACTORIZACIÓN ALGEBRAICA

Factorizar una expresión algebraica, es obtener los factores que multiplicados entre si nos darían

la expresión algebraica considerada. (No todas las expresiones se pueden factorizar).

Factorización de binomios :

Caso : 2b2a ,

Esto es la diferencia de dos términos que tienen raíz cuadrada exacta ambos términos, se conoce

como diferencia de cuadrados y su factorización es el producto de dos binomios de la forma : ,

)ba)(ba( conocido como producto de binomios conjugados, es decir :

Expresión general:

)ba)(ba(2b2a

Ejemplos:

2y)2y)(x(x2

4y2 x -. #

)25y)(6x25y(6x425y236x -. #

Ejercicios.-

16

x -. #

216

49x -. #

2

16y2

25x -. # 6

48

81x -. # y

94

x -. # 12

9x -. #

2

362

16x -. # y a

y4

2252a

121x -. #

12

36x -. # 4

6y16

x -. #

2

y2

64x4

9x -. # 4

25y2

36x -. #

25y2

x -. # 2

y4x -. #

4

y2

3)(x -. # 2

1)(y 2

9x -. #

812

4x -. # 6y2/316x -. #


Página 36

Caso : 3b3a

Esto es la diferencia o suma de dos términos que tienen raíz cúbica exacta ambos términos, se

conoce como diferencia o suma de cubos y su factorización es el producto de un binomio de la

forma: )ba( ó )ba( , por un trinomio de la forma ) 2bb a2(a ó ) 2bb a2a (

según sea diferencia o suma de cubos.

Expresión general:

2bab2a)ba(3b3a

2bba2a)ba(3b3a ó

Ejemplos:

1)22x41)(4x2(2x168x -. #

9)3x23)(x(x273 x -. #

Ejercicios.-

3

y 273

x8 -. #

6

y 643

x -. #

13

x8 -. #

6

y 649

x8 -. #

9

y 1253

x -. #

9

y 273

x125 -. #

6

y 1253

x216 -. #

3

y 10002/3

x27 -. #

6

86

x8 -. # y


Página 37

Caso : bx ax

Esto es la diferencia o suma de dos términos que tienen un término común, y su factorización es el

producto del término común por el binomio que resulta de dividir la expresión a factorizar por el

término común .

Expresión general:

)ba(xbx ax ó )ba(xbx a x

Ejemplos:

)32x(2x22x634x -. #

)25y4x(2y22x 4y210x2y38x -. #

Ejercicios.-

2y4x9y212x -. #

2z3x310xz4y35x -. #

2y464x3y68x -. #

3y310xz2y56x -. #

z212xy4y215x -. #

z3xy3yz23x -. #

24xy3y x10 -. #

z3y310xz2y3 x -. #

3

z2

y4

8x2

z4

y2

12x -. #

3b

y2a

16xz2b

y3a

64x -. #


Página 38

Factorización de trinomios.-

Caso : 2bb 2a2a

Este trinomio es conocido como trinomio cuadrado perfecto, se caracteriza en que dos de sus

términos tienen raíz cuadrada exacta y el otro es el doble producto de esas raíces y su factorización

es un binomio formado por las raíces mencionadas elevado al cuadrado.

Expresión general:

2)ba(2bb 2a2a

Ejemplos:

23)(2x912x24x -. #

25y)2(4x225yy2x40416x -. #

Ejercicios.-

2

4y4x2

x -. #

410x2

25x -. #

9x6 x -. #

yyx2x -. #

6312x2

x -. #

2

25y30xy2

9x -. #

912x2

4x -. #

16x2

9x -. #

2

16yy2

8x4

x -. #

92

30x4

25x -. #

96x32

36x -. #

2520x2

4x -. #

yy4x2

4x -. #


Página 39

122x4 x -. #

Caso : b a x)b a(2 x ,

Este trinomio es conocido como trinomio producto de dos binomios con un término común, y tiene

la forma : b a x)b a(2 x y su factorización es el producto de dos binomios donde el término

común de ambos binomios es la raíz cuadrada de uno de los términos del trinomio y los términos

no comunes deben cumplir que su suma sea el coeficiente del término común y su producto sea el

tercer término )bx)(ax( .

Expresión general:

)bx)(ax(b a xb) (a2 x Ejemplos:

7)3)(x(x2110x2 x -. #

7)2)(x(x149x2 x -. #

Ejercicios.-

56x2 x -. #

145x2

x -. #

422x2

x -. #

93

x66

x -. #

2x x -. #

12x8 x -. #

65x2 x -. #

712y2

y -. #

152

2y4

y -. #

122

x84

x -. #

32z2

z -. #

43xy2

y2

x -. #

283y2

y -. #

322

4x4

x -. #

826x4 x -. #


Página 40

Caso : d b x)bc ad(2acx ,

Este trinomio es conocido como trinomio producto de dos binomios con un término semejante, y

tiene la forma : d b x)bc ad(2acx y su factorización es el producto de dos binomios donde

el término semejante se obtiene de factorizar el término del trinomio con mayor exponente

) x)(c x (a y para obtener los términos no semejantes de los dos binomios se buscan dos

números que multiplicados sea el término independiente del trinomio y que la suma de los

productos de uno de los no semejante por el coeficiente del semejante del otro binomio con el

producto del otro no semejante por el coeficiente del semejante del otro binomio sea igual al

coeficiente del término con menor exponente .

Expresión general:

)dcx)(bax(d b x)bc ad(2acx

Ejemplos:

1)2)(2x(3x2x26x -. #

7)2)(x(2x1412x2 x2 -. #

Ejercicios.-

3x112

20x -#. 109x2

2x -#.

412x2

8x -#. 52

9x4

x4 -#.

66x2

36x -#. 203

x116

4x -#.

12x2512x -#. 8x103x -#.

64x2

10x -#. 45x2

6x -#.

310x2

8x -#. 18x2

x5 -#.

4x2

x -#. 613x2

6x -#.

7x232

6x -#. 15x42

x4 -#.

215x2

x7 -#. 25x2

3x -#.

2x52

2x -#. 1x42

x3 -#.

5x122

9x -#. 6x132

x6 -#.

818x2

x9 -#. 15x2

x2 -#.

15x2

2x -#. 20x312

x12 -#.


Página 41

Caso : xcbx ax ,

Esto es la diferencia o suma de tres términos que tienen un término común, y su factorización es el

producto del término común por el trinomio que resulta de dividir la expresión a factorizar

por el término común.

Expresión general:

)cba( xcx bx a x Ejemplos:

)4y 23xy22x (2x 8xy2y26x34x -#.

) 3yz25xy22x ( 22xy z36xy4y210x2y34x -#.

Ejercicios.-

2yz216x2y464x3y68x -#.

y2

12x2

yz2

6xz3

y4

9x -#.

3

4xyy2

12x2

y3

8x -#.

2

z2

8xy2

z2

y3

2x3

z4

y2

6x -#.

2

yz2

8xz2

y4

4x2

z3

y3

12x -#.

z2

y3

8x3

zy 2

2x12

z3

y5

4x -#.

4

y2

8x2

y4

x62

y5

2x -#.

2

yz2

3x3

z3

y4

9x2

z4

y6

6x -#.

2

yz4

x20z3

y3

5x2

z4

y5

10x -#.

z2

y3

zxy z3

y2

x-#.


Página 42

Factorización de tetranomios.-

Caso : 3b2ab3b2a33a ,

Este tetranomio es producto de un binomio al cubo, se caracteriza en que dos de sus términos

tienen raíz cúbica exacta (generalmente los de los extremos ) y forman el binomio al cubo , pero se

tiene que cumplir que los otros dos términos del tetranomio sean el triple producto del cuadrado de

una de esas raíces por la otra y su factorización es el binomio formado por las raíces cúbicas

mencionadas elevado al cubo.

Expresión general:

3)ba(3b2ab3b2a33a

Ejemplos:

3

4y)(2x3

64y2

96xyy2

48x3

8x -#.

3

3)(x272

27xyy2

9x3

x-#.

Ejercicios.-

3

8y2

y2

24xy4

24x6

8x -#.

2727x2

9x3

x-#.

824x2

24x3

8x -#.

Caso : ay by bx xa ,

Este tetranomio es producto de dos binomios se puede factorizar agrupando y factorizando de dos

en dos los términos del tetranomio y dichos términos quedan con un factor común que permiten de

nuevo factorizarlos y de esa manera se obtiene la factorización del tetranomio.

Expresión general:

)yx)(ba()ba(y)ba(xay by bx xa

Ejercicios.-

z bzy bx yx -#.

zx zy y2x 2x -#.

6zz2x 3yyx -#.

y axy xa -#.


Página 43

Caso : xdxcbx ax ,

Esto es la diferencia o suma de cuatro términos que tienen un término común, y su factorización es

el producto del término común por el tetranomio que resulta de dividir el término común por la

expresión a factorizar.

Expresión general:

) d cba ( xdx cx bx a x

Ejemplos:

)4y 2x23xy22x (2x 8xy212x2y26x34x -#.

)13xz25xy22x(22xy22xy z36xy4y210x2y34x -#.

Ejercicios.-

2yz216xy312x2y432xz3y68x -#.

yz212x2yz26x2y33xz3y49x -#.

22xy34xyy212x2y38x -#.

2z28xyz2y24x2z2y32x3z4y26x -#.

z2

y3

8x3

zy 2

2x12

z3

y5

4xz3

y4

x6 -#.

3

y3

x124

y2

8x2

y4

x62

y5

2x -#.

2

z2

y3

12x2

yz2

3x3

z3

y4

9x2

z4

y6

6x -#.

3

z2

y2

5x12

yz4

x20z3

y3

5x2

z4

y5

10x -#.


Página 44

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificación de fracciones .-

Para simplificar una fracción algebraica se primero se factorizan las expresiones del numerador y

del denominador y se eliminan términos iguales que estén en ambas partes.

Ejemplos:

3

5

)4( 3

(5) 4

12

20 -#. ;

3

2

(12) 3

(12) 2

36

24 -#.

3z

2xy -#.

zz 3

xy)4(3)(

zy 3

y x x )42(

2z

312xy

z4

y2

8x

x2x

2)(xx

2x

2)(xx

2x

2x2x -#.

3

2x

3)(x 3

3)(x2x

93x

6x22x -#.

4x

2x

2)(x4x

2)2)(x(x

8x24x

42x -#.

2x

1x

2)2)(x(x

1)2)(x(x

44x2x

23x2x -#.

Ejercicios.-

#.- 32x2x

92x #.-

124x

3x26x

#.- 32x2x

83x #.-

2510x2x

5x

#.- 127x2x

4x #.-

34x2x

1x

#.- 2x8x16

3x64 #.-

65x2x

3x

#.- 4y4x

2y2x #.-

924x

81416x


Página 45

Multiplicación de fracciones.-

Al igual que en aritmética se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador

y se dejan indicados los productos , posteriormente se factorizan las expresiones y se eliminan

factores que sean iguales en numerador y denominador.

Ejemplos:

; 5

3

3)(2)(5)(2)(

3)(2)(2)(3)(

(10)(6)

(4)(9)

6

9

10

4 -#.

8

3

2)(x4x

3)(x3x

3)(x2x

2)(xx

8x)2(4x6x)2(2x

9x)2(3x2x)2(x

8x24x

9x23x

6x22x

2x2x -#.

Ejercicios.-

#.- 12x2x

32x2x

96x2x

65x2x

#.- 924x

12x28x

14x24x

38x24x

#.- 42x

54x2x

2510x2x

103x2x

#.- 42x2x

2x2x

107x2x

83x

#.- 412x29x

x428x

2x26x

429x


Página 46

División de fracciones.-

Al igual que en aritmética se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de

la segunda fracción y queda como numerador y el denominador de la primera fracción por el

numerador de la segunda fracción y queda como denominador, se dejan indicados los productos,

posteriormente se factorizan las expresiones y se eliminan factores que sean iguales en numerador

y denominador.

Ejemplos:

; 3

1

)3)(3)(2)(2)(2(

)2)(2)(3)(2(

)9)(8(

)4)(6(

4

9

8

6 -#.

)2x(5

)3x(3

(5))2)(x4(x

)3)(x4(3)(x

8)(5)6x2

(x

)12x2

(3)(x

12x2

x

5

86x2

x

3 -#.

Ejercicios.-

276x2x

4512x2x

454x2x

1514x2x -#.

2x2x

42x2x

107x2x

83x -#.

3xy24y

25x2xy

29x216y

225x24y -#.

412x29x

x428x

429x

2x26x -#.

83x

x622

2x2x

34x2x -#.


Página 47

Suma de fracciones.-

Al igual que en aritmética se tiene que obtener el mínimo común divisor , y para esto se requiere

factorizar los denominadores de las fracciones que se van a sumar , el común divisor se forma con

los factores necesarios para que éste se puede dividir entre cada uno de los denominadores de las

fracciones a sumar y el resultado de la división se multiplica por el numerador correspondiente.

Ejemplos:

; )2)(2((3)(3)

)3)(3)(1()2)(3)(5()2)(2)(7(

)2)(2(

1

(2)(3)

5

(3)(3)

7

4

1

6

5

9

7 -#.

2)3)(x3)(x(x

29x142x

2)3)(x3)(x(x

65x2x155x84x

2)3)(x3)(x(x

3)(1)2)(x(x3)(5)(x2)(4)(x

3x

1

3)2)(x(x

5

3)3)(x(x

4

3x

1

65x2

x

5

96x2

x

4 -#.

Ejercicios.-

12

x

7

12x2

x

8 -#.

12

x

7

3x2

3x

2

23x2

x

8 -#.

2x2

x

4

32x2

x

2

65x2

x

5 -#.

13

x

7

1x2

x

2

12

x

8 -#.


Página 48

Ejercicios varios:

Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales.

42

x

22)(x

442

x

42

x

x 96x2

x

29x

33x

4

2x

22)(x

92

x

62x

12

x

2x2

2x3

x

5x3

x

252

x

127x2

x

62

x3

x

65x2

x

189x2

x

65x2

x

189x2

2x3

x

12

x

2x2

2x3

x

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y

escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

7x

11x2x

492

x

121x3

x

x2

82x2x

1612x2

2x

6x2

x

32x2x

3x2x

22x

2x2

2x

22x

93x2x

42

x

273

x

63x

32x2x

12

x

65x2

x

63x

32x2x

12

x

65x2

x

2x2x

4x

34x2

x

4x

65x2x

x

32x2x

4

2x2

x

x

1x

1x

1x

1x

1x

1x

1x

1x

252x

4

1x

1x

x

410x

42

x

83

x


Página 49

x1

11

x1

2xx1

32x2x

12x

12x

2x

1x

3

618x2x

3

45x2x

1

162

x

1

65x2x

3

32x2x

1

2x2

x

1

2x1

x

1x

2x

2x

4

7x

2

2x2x

4

34x2x

3


Página 50

RADICALES

Cuando un término algebraico involucra una raíz de cualquier orden, se conoce como radical.

Partes de un radical .-

Cuando se tiene un término que involucra una raíz de cualquier orden, se conoce como radical.

índice radicando o subradical ecoeficient

Ejemplos : x322 ; 4 5y38x x3 ; 3 x

8x

Simplificación de radicales.-

Para simplificar un radical se deberán realizar las operaciones que sean necesarias para que la

expresión que quede dentro del radical (el subradical o radicando) sea mínima, para esto se

descompone en factores el subradical buscando que al menos uno de estos tengan la raíz que

corresponde al radical.

Ejemplos:

; 23(9)(2)18 #.

; 2x22xyy4yx 2(4)(2)x5y38x #.

; 2xyy3

122xy)(y)3

4(3)(xy2

yx 6

(9)(2)x3

y7

18x4 #. x

Ejercicios.-

Simplifique los radicales siguientes,

3 7

y5

16x 2

5x #.

2 6

y5

32x 3

3x #.

3 8

y4

24x 2xy #. z

3 4

y6

27x x#.

4 5

y7

8xy 3

2x #.

2 5

y3

24x 3

4x #.


Página 51

Suma de radicales.-

Para sumar dos radicales es necesario que tengan el mismo índice y subradical y si ese es el caso

se suman las partes que quedan fuera del radical, en muchas ocasiones antes de sumar hay que

simplificar el radical.

Ejemplos:

; 2292421021223242)5(22)3(42)2(3

24(25)(2)2(9)(2)4(4)(2)32450218483 #.

; 2x282x82x152x32x2

2x(4)22x(3)52x32x2(2)(16)x2(2)(9)x52x3(2)(4)x

(2)(16)x2(2)(9)x52x3(2)(4)x32x218x52x38x #.

; 233x18x

233x5x3x9x3xx4233x5x3x(3)3x 3x(2)x2

233x5x(3)(9)x3x(3)(4)xx2233x5x27x3x12xx2 #.

Ejercicios.-

333 3x4x 3x5x 3x2x #.

2x 2x350x 2x8x 2x318x 2x4 #.

333 481x6x 43x2x 424x5x #.

3x 2x655x 2x312x 2x27x 2x4 #.

Multiplicación de radicales.-

Para poder multiplicar radicales es necesario que tengan el mismo índice, se procede a

multiplicar los elementos de los radicales y posteriormente se simplifica .

; 2602)6(1036(2)107210(12)(6))5)(2(65 122 #.

; y2

72xy (4)(x)18x y2

16x18x2x3 8xy6x #.

x448xx2(6)x28x

x436x28x536x28x)(3x)3(6x)(2x(2x)(4x)3x 32x4x 6x2x #.


Página 52

Ejercicios.-

33 46x5x

24x2x #.

53x2x

38x4x #.

8x

3x

53x2x 3x 4 #.

333 38x2x

24x4x

52xx #.

333 316x3x

24x

32x

54x

2x #.

2225x4x

25xx

52x

23x #.

4444xx

62x2x

38x

23x #.

División de radicales.-

Para poder dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice, se procede a dividir los

elementos de los radicales y posteriormente se simplifica .

Ejemplo:

; x3x6x2x)3(x2x4x)3(x25x9x22x

618x

3

x6

2x3

618x6x #.

Ejercicios.-

2

3x3x

736xx12

#.

3

3

43x5x

824x20x

#.

3

3

22x4x

632x10x

#.

22x4x

524x 220x #.

Racionalización del denominador .-


Página 53

Este proceso tiene como finalidad, eliminar radicales del denominador de un término algebraico

o bien la fracción en un subradical.

Ejercicios.-

racionalizar el denominador:

?2

3 -.#

; 2

6

4

6

2(2)

3(2)

2

2

2

3

2

3 ;

?4

5

4

5 -.#

3

33

:bien o 2

10

8

10

4(2)

5(2)

3 2

3 2

4

5

4

5 3

3

3

3

3

3

3

3

3

?4

5 -.#

3

3

; 2

10

4

102

4

8(10)

4

80

34

80

)4(4(4)

5(4)(4)

3 4

3 4

3 4

3 4

4

5

4

5 3333

3

3

3

3

3

3

3

3

?3xx2

75 -.#

; 2x6

21x5

)x3(x2

21x5

29xx2

21x5

3x

3x

3xx2

75

3xx2

75 ;

?y4x2

x5 -.#

; y4x2

y4x2 x5

y4x2 y4x2

y4x2 x5

y4x2

y4x2

y4x2

x5

y4x2

x5

?3x5

x2 -.#

; 9x5

)3x5(x2

3x5 3x5

)3x5(x2

3x5

3x5

3x5

x2 ;


Página 54

?3 y3 x2

5 -.#

y2x

2y y 2x

22x 5

3y

32x

2y y 2x

22x 5

2y 3 y 2x

22x

2y y 2x

22x

3 y2x

5

y2x

5

3333

33

3333

333

3333

333

Ejercicios.-

3x5x

2 #.

6x

x #.

8x

2 #.

3

2x 4

5 #.

3 24x 2

5 #.

3 2x

1 #.

|

4 38x 3

2x #.

3 2

3x 3

2x #.

32x

2x #.

y2x

3 #.

23 x

4 #.

3 y3 2x

3xy #.

y5x

4x #.

2y x

2x #.

3 y4

3y #.

3 2y3

5 #.


Página 55

ECUACIONES

Ecuación es una igualdad que involucra incógnitas representadas por letras y que es cierta solo

para algún o algunos valores de las incógnitas; consta de dos miembros separados por el signo

igual. La igualdad no se altera si a los dos miembros de la ecuación se le aplica exactamente la

misma operación: sumar , restar, multiplicar o dividir por el mismo número ambos miembros.

Si después de quitar paréntesis y denominadores una incógnita tiene como exponente la unidad

se dice que la ecuación es lineal o de primer grado; si después de quitar paréntesis y

denominadores una incógnita tiene como exponente el dos se dice que la ecuación es cuadrática

o de segundo grado; si después de quitar paréntesis y denominadores una incógnita tiene como

exponente el tres se dice que la ecuación es cúbica o de tercer grado, y así sucesivamente.

Las ecuaciones nos permiten representar situaciones o problemas que nos interesa resolver o

saber de algún comportamiento de la naturaleza o de las actividades que desarrolla el hombre.

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las literales Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las literales.

En general para resolver una ecuación de primer grado se siguen los siguientes pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos con la incógnita x en un miembro y los términos

independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita.-

Ejemplos:

; 6 x 2

12 x 122x -#.

; 33

9 x 93x 9 x25x -#.

; 14

4 x 44x

46152x x24x 612x54 x24x -#.

; 8

178

17 x 178x 215x412x

2x45112x 1)2(2x5)3(4x 3

12x

2

54x -#.


Página 56

. 34

12 x 124x 76 5643x3x2x 6x

5463x3x 72x 66x 542)3(x3x 72x 1)6(x -#.

x

xx

Ejercicios.-

7) 4(x 25x292x -#. x42)3(x5)5(x2x -#.

x2)3(x83 x25x -#. 3

5x3x2x 1

2

43x -#.

; 2

23x

3

x46x -#.

3

x5xx2 1

3

x32x -#.

2x) 4(x 23xx2)4(x -#.

x) 15(x) 23(x4x -#.

; 412x

3 -#.

35

15y: esy que lopor 155y :resultaecuación

primera la a sumarla al 164y2x

1y2x queda , 2por ecuación segunda lar multiplica

original sistema elen ahora , 25

10x: que lopor 105x :quedaecuación segunda la

a sumarla al ; 82yx

22y4x; 2por ecuación primera lar multiplica . apropiado número elpor

ecuaciones dos las o una ndomultiplica logra se que lo contrario signocon pero ecoeficient

mismo el tengan ecuaciones ambasen eliminar a incognita la que necesario es suceda esto

que paray ecuaciones ambassumar al elimine se incognitas dos las de una que de trataSe

; 82yx

1y2x : reducción por resolver : ejemplo

Por sustitución.-

32(2)12x1y

:resulta ; 2 xde obtenido valor el sustituir al despejeprimer elen ahora ; 25

10x

: que lopor 285x reduciendo , 84x2 x 82x)1 2( x: queda ,ecuación

segunda laen sustituir al ;2x 1y :ecuación primera la de y"" Despejando ecuación.

otra laen asustituirly ecuaciones las de una de incognitas las de unadespejar de trataSe

82yx

1y2x :n sustituciópor resolver -ejemplo.


Página 57

Por igualación.-

despejes dichosigualar e ecuaciones ambasen incógnita misma ladespejar en consiste

; 82yx

1y2x igualaciónpor resolver : ejemplo

32(2)12x1y resulta ; 2 xde obtenido valor el sustituir despejeprimer

elen ahora 25

10 x 10 5x 28x4x 8x4x2

8x 2x)2(1 2

8x2x1 :despejes dos losigualar

2

8xy :ecuación

segunda la de y""despejar ;2x 1y :ecuación primera la de y""Despejar

Método gráfico.-

Este método consiste en graficar en un sistema de ejes cartesianos ambas ecuaciones que por ser

lineal o de primer grado sus gráficas son líneas rectas y las coordenadas del punto donde se

interceptan las dos rectas nos dan los valores de las incógnitas del sistema.

Ejercicio:

82yx

1y2x

Al graficar cada una de las dos ecuaciones del sistema queda:

Soluciones del sistema.-

gráfica de las dos ecuaciones

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-6 -4 -2 0 2 4 6

eje X

eje

Y


Página 58

Del gráfico se puede ver que las coordenadas donde se interceptan las dos rectas son:

3y ; 2x

Sistemas de 3 ecuaciones con tres incógnitas

Método de reducción.-

Eliminar por reducción la misma incógnita de las tres ecuaciones, tomando de dos en dos

ecuaciones ( en este caso se seleccionó la “x”)

1z 2y2x

2z 2y 2x

2z y x

; se toman la 1ª y la 2ªecuación y se multiplica la 1ª por : 2

2z 2y 2x

4z 22y2x

; se suman y resulta la ecuación: 6z 4y ; ahora del sistema:

1z 2y2x

2z 2y 2x

2z y x

; se toman la 2ª y la 3ª ecuación y se multiplica la 2ª por: 1

1z 2y2x

2z 2y 2x ; se suman y resulta la ecuación : 3z 3y

3z 3y

6 z 4y

; se resuelve por reducción y como con sumarlas se elimina la "y " ,eso se

hará y resulta: 3 z 3z ; sustituyendo en: 3z 3y , resulta: 33)3(y

69 3y , sustituyendo en la 1ª ecuación: 2z y x , los valores obtenidos de

z""y y"" resulta: 5 3 6 2 x 23 6 x ,

Finalmente 3z ; 6y ; 5x

Ejercicios.-

Obtenga los valores de las incógnitas en cada sistema de ecuaciones :

102yx

2y3x

102yx

9y3x


Página 59

13yx

10y24x

7y3x

24y2x

102yx

2y3x

72y3x

95yx

0z 122y3x

0z 53y2x

0z 82y x

0z3y2x

6z 25y x

2zy3x

1z 3y3x

4z 22y x

1z3y2x

8z 2y2x

1z 22y3x

1z 33y5x

#.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

1302zy11x

307zy5x

505zy3x

5y2 x

6zy5x

1zy2x

162z5y

183x5z

72y3x

2z 35y6x

2z 63y5x

26z5y3x

3z y2x

5z3yx

2zy x

2z y

2y x

1zy x


Página 60

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

La expresión general de una ecuación de segundo grado con una incógnita es :

0a , 0c xb2ax

grado. segundo de siendo sigueecuación

lay nteindependie el o gradoprimer de términoelfaltar Pueden nte.independie términoel es

" c "y , gradoprimer de términoel es " x b " ; grado segundo de términoel es ," 2ax " : donde

0a , 0 xb2ax ; 0a , 0c2ax Métodos de solución.-

Completando el trinomio cuadrado perfecto.-

Ejemplo:

; 4

92

4

9 x3

2 x:ecuación la de miembros dos los a sumárseloy cuadrado al elevarlo dos entre

gradoprimer de términodel ecoeficient eldividir 4º ; 2x32

xigualdad la de miembro otro a

nteindependie términoelr traslada3º ; 0 2x32

x"2" entre caso esteen 2

x: de ecoeficient

el entreecuación la dadividir to ;2ºecuación laordenar y cero aigualar 1º 0 46x2

2x

lado elreducir y cuadrado al binomioun resulta que loecuación la de izquierdo lado el factorizar 4º

12

2

2

3

2

1

2

3 x2

2

3

2

1

2

3 x:soluciones dos tienese

2

3 x

2

3 x

24

1 2

4

1

24

1 2

4

1 : x"" incognita ladespejar 5º paso ;

4

12

2

3 x :derecho

21

Si aplicamos este procedimiento a la ecuación general ax2 + bx + c= 0, resulta lo que se conoce

como fórmula general para ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:

0c xb2ax para

2a

4ac2bb x

14

4

4

26

2 x; 2

4

8

4

26

1 x

4

26

4

46

4

32366

2(2)

4(2)(4)26)(6)( x: queda

2a

4ac2bb x

en dosustituyeny , 4 c , 6b ; 2a sería esto , 0 46x22x :anterior ejemplo elEn


Página 61

En caso de que a la ecuación de 2º grado no tenga el término de primer grado “ bx” sería de la

forma: ax2 + c = 0 , se puede utilizar la fórmula general , solo que en este caso b = 0 y la

fórmula

quedaría: 2a

4ac x ; otra manera de resolver este tipo de ecuación sería despejando

x de : 0c2ax y resulta: 2

a

cx .

En caso de que a la ecuación de 2º grado no tenga el término independiente “c” sería de la

forma: ax2

+ bx = 0 , se puede utilizar la fórmula general , solo que en este caso c = 0 y la

fórmula quedaría :

a2

bb

2a

2bb x ; también se puede resolver factorizando y despejando x , de :

0bx2ax y resulta: factores los , cero a igual es producto el que dado ; 0b)(axx

a

b

2 x 0baxy 0

1 x:entonces cero, aigualar pueden se

Ejercicios.-

08 x22 x-#. -#. 04 x1126x

-#. 012x23x -#. 03624x

-#. 08 x22x -#. 04 x1126x

-#. 012x23x -#. 0 127x2x

-#. 012x23x -#. 04 x1126x

-#. 03624x -#. 08 x22x

-#. 0 46x22x

Cuando la ecuación cuadrática es de la forma ax2 + bx+ c = 0, en muchos casos se puede

resolver factorizando el trinomio e igualando a cero cada uno de los factores y de estas

igualdades obtener los valores de “x”.

08 x22

x :Resolver

22

x; 41

xfinalmente 2 x 02 x:cero a igualadofactor 2º el

4 x 04 x:factor 1º el cero a igualando 02)4)(x(x :dofactorizan 08 x22x


Página 62

24x164

26x 2

y2

2) 2

1) (y (y

2)32

1 4) (x x(x

5

3 2)4(x23)(x

8

9

#.-Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:

07x2

8x 03612

16x

0x2

x 6y93)2)(y(y

2)8

22) (y 4(y 2

5)(x2

12) 2

13) (y (y

352

1)(6x2

4)(3x2)2)(5x(5x

04

3x

2x

8

1

3)(x5)(3x3)(2x7)(x

53x

1x

025

24x

8

52x

1

52x

x

x

x1

4x41

x1

3x2

11x

x3

1x

2x

x3

1

3

1x

x1

x

4

3

84x 3

2x

62x

22x

5

4x

5

22x3

)bx)(ax(

b2x

bx

1

ax

1

xx1

44x1

x1

32x

1

1x

x3

1x

2x

3x

1

3

1x

x1

7

47

5x

21

7

x

#.- Resolver los siguientes sistemas cuadráticos:

8xyyx

12yx

402xy

6y2x

122

y2

x

10y2x


Página 63

24xy

10yx

3yx

15yx 22

1yx

20

1

y

1

x

1

29y3xyx

3yx

22

#.- Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:

a).-El 30% de un número; b).-El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida;

c).-El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida; d).-El doble del

resultado de sumarle a un número entero su siguiente.

#.- Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a).- El triple del resultado de

sumar un número con su inverso; b).- El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

c).- El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x; d).- El área de un triángulo del que se

sabe que su base es la mitad de su altura.

#.- Expresa en lenguaje algebraico: a).- La mitad del resultado de sumarle 3 a un número;

b).-La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura;

c).- El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos; d).-La media de un

número y su cuádruplo.

#.- Traduce al lenguaje algebraico cada uno de estos enunciados: a).- La cuarta parte de un

número entero más el cuadrado de su siguiente; . b).- El perímetro de un triángulo isósceles del

que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales ;

c).-La diagonal de un cuadrado de lado x; d).- El doble de la edad que tenía hace 7 años.

#.-Traduce al lenguaje algebraico: a).- La suma de un número con el doble de otro; b).-El

precio de una camisa rebajado en un 20%; c).-El área de un círculo de radio x; d).- La suma

de tres números enteros consecutivos.


Página 64

TRIGONOMETRÍA

Estudia la relaciones que tienen los lados y los ángulos de un cualquier tipo de triángulo .

Los triángulos rectángulos son aquellos que tiene un ángulo recto (es decir de 90º), el lado

opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa y los lados que forman el ángulo recto

se conocen como catetos.

Si consideramos el triangulo rectángulo siguiente :

b c

a

El lado c es la hipotenusa

El lado a es el cateto opuesto del ángulo

El lado b es el cateto adyacente del ángulo

El lado b es el cateto opuesto del ángulo

El lado a es el cateto adyacente del ángulo

La relación : ángulo del como conoce se hipotenusa

ánguloun de opuesto catetoseno

para el triangulo mostrado:

c

b

hipotenusa

a oopuest cateto

c

a

hipotenusa

a opuesto cateto ββsensen ;

αα

La relación : ángulo del como conoce se hipotenusa

ánguloun de adyacente catetocoseno

para el triangulo mostrado:

c

a

hipotenusa

a adyacente cateto

c

b

hipotenusa

a adyacente cateto ββ cos cos ;

αα

Se puede ver que el seno es igual al coseno de y que el seno es igual al coseno de

La relación : ángulo del como conoce se ánguloun de adyacente cateto

ánguloun de opuesto catetotangente

para el triangulo mostrado

a

b

a adyacente cateto

a oopuest cateto

b

a

a adyacente cateto

a opuesto cateto

β

ββ tan ; tan

α

αα

Las relaciones inversas de estas son conocidas como: cosecante, secante y cotangente :


Página 65

tangente

1 Cotangente ;

coseno

1 Secante ;

seno

1 Cosecante

Los seno y cosenos y tangentes de cualquier ángulo ya fueron determinados y por lo tanto son

valores conocidos.

A esta relaciones se les conocen como funciones trigonométricas, y se complementan con el

teorema de Pitágoras , que establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

2 cateto 2 cateto 2 hipotenusa

Para el triángulo empleado esto sería:

2a2c b ; 2b2c a ; 2b2a c :bien o 2 b 2 a 2 c

Además la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 1800

Ejemplos:

.

Si consideramos el triángulo rectángulo siguiente :

b c

a

Si : a = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes.

162.3930a

c c

30

c

a

hipotenusa

a adyacente cateto

40º cos cos cos

173.25º4030ab a

30

a

b

adyacente cateto

a opuesto cateto tan tan tan

º50º40º9090 º90

#.- Determine las dimensiones y ángulos faltantes.

a). 50º , a = 80

b c

b). 35º , c = 15

c). a =16 , c = 20

a


Página 66

Ley de senos y ley de cosenos.-

Cuando el triangulo a resolver no es rectángulo se utilizan : La ley de senos y/o la Ley de

cosenos, las cuales establecen :

Ley de senos: β

c a

α

b

La longitud de uno de los lados entre el seno del ángulo opuesto es igual a otro de los lados

entre el seno de su ángulo opuesto.

sen

b

sen

a , o bien

sen

c

sen

a , o bien

sen

c

sen

b

Ley de cosenos: β

c a

α

b

El cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de lo cuadrados de los otros

dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que se forma

entre ellos.

α) cos ( c b 22c2b2a ; β) (cos c a 22c2a2b ; ) (cos b a 22b2a2c

#.- Dado . 37º , a = 50 , c = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a


Página 67

#.- Dado 25º , c = 60 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

#.- Dado: 35º , a = 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

#.- Dado: a = 16 , b = 20 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

#.- Dado: 105º , a= 70 , b= 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a


Página 68

#.- Dado: 37º , a = 50 , c = 30 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

#.- Dado: 98º , a = 70 , b = 40 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

#.- Dado: 47º , a = 60 , c = 35 , determine las dimensiones y ángulos faltantes

b c

a

Si consideramos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a la unidad , se tendría :

ángulo al opuesto atetoc 1

ángulo del opuesto cateto

hipotenusa

a opuesto cateto αα sen

ángulo al adyacente cateto 1

ángulo al adyacente cateto

hipotenusa

a adyacente cateto αα cos

Como: 2 adyacente cateto 2 opuesto cateto 2 hipotenusa

Entonces se puede escribir 12cos2senbien o 2cos2sen1 ;

de donde 2sen1 cos ; 2cos1sen ;


Página 69

#.- Transformar el ángulo en grados a radianes:

a).- 15º b).- 35º c).- 80º d).- 150º

e).- 200º f).- 90º g).- 60º h).- 45º

#.- Transformar el ángulo en radianes a grados:

rad5

π a). rad

10

π -b). rad 3π -c). rad

4

17π -d).

#.- 4

7cos Si, , encuentra el valor de las otras funciones.

#.- 2,0cosθ Si , encuentra las otras funciones.

#.- 9

5tan Si , encuentra las otras funciones.

Problemas a resolver

#.- El ángulo con el que se ve el extremo de una chimenea, desde un punto del suelo situado a

36 m. del pie de la chimenea, es de 25°. Calcula la altura de la chimenea.

#.- El ángulo con el que se ve el extremo de un mástil de una bandera colocada en la cima de

una colina, medido desde un punto del suelo horizontal es de 53° 15'; caminando 33 m. hacia la

bandera, el ángulo de elevación crece a 64° 34'. Hallar la altura a la que se encuentra el extremo

del mástil.

#.- Un avión vuela horizontalmente hacia el Este. En un cierto momento un observador situado

al Sur del aparato mide la elevación de éste, que resulta ser de 42° 36'. Poco después la

elevación es de 35° 48'. Si el avión ha volado 1 km en ese lapso de tiempo, ¿a qué altura vuela?

#.- Desde un avión situado a 345 m del suelo, el ángulo de depresión con el que se ve a otro.

avión, que está a 126 m de altura, es de 39° 28'. ¿A qué distancia se encuentran ambos aparatos?


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#.- En un terreno horizontal se ve una torre bajo un ángulo de 32° 45' 20". Si se aproxima hacia

la torre 23'4 m, en dirección recta hacia la torre, el ángulo con el que se ve dicha torre es ahora

de 46° 57'. Calcula la altura de dicha torre.

#.- La base de un triángulo isósceles mide 54 cm y los ángulos de la base, cada uno de ellos 42°

35'. Calcular los lados iguales, la altura y el área del triángulo.

#.- Desde un avión que vuela a 1.200 m de altura se ven dos pueblos, que están en la misma

dirección en la que se vuela el avión, con ángulos de depresión de 71° 23' y de 12° 47'. ¿Cuál es

la distancia que hay entre los dos pueblos?

#.- Un péndulo de 1 m. de longitud, en su posición extrema, forma un ángulo de 42° 15' con la

vertical. Calcula los centímetros a los que se eleva el extremo inferior del péndulo respecto a la

posición de reposo.

#.- Un barco navega a 30 nudos en dirección Noroeste. ¿Qué distancia ha recorrido en una hora

hacia el norte? ¿Y hacia el Oeste?

#.- Las bases de un trapecio miden 17 cm y 10 cm y uno de sus lados 8 cm. El ángulo que

forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos del trapecio es de 32°.

Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio.

#.- Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el

pedestal bajo un ángulo de 15° y la estatua bajo un ángulo de 40°. Calcular la altura del

pedestal.

#.- Desde un faro F se observa al barco A bajo un ángulo de 43° con respecto a la línea de la

costa, y al barco B bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5 millas de la costa y el barco B a 3

millas. ¿Cuál es la distancia entre los barcos?

#.- De un triángulo rectángulo se sabe que su área es de 864 cm2 y que un cateto mide 48 cm.

Calcula los ángulos del triángulo.

#.- Si queremos que una cinta transportadora de 25 m de longitud eleve una carga hasta 15 m de

altura, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?

#.- Desde la torre de control de un aeropuerto se establece comunicación con un avión que va a

aterrizar. En ese momento el avión se encuentra a una altura de 1.200 m y el ángulo de

observación desde el aeropuerto es de 32°. ¿A qué distancia está el avión del pie de la torre, si

esta mide 40 m de altura?


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#.- Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde

un barco se toman las siguientes medidas: a) El ángulo que forma la visual hacia la luz con el

horizonte es de 25°. b) Nos alejamos 200 m y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.

#.- Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura,

produce una sombra de 0.82 m. de longitud en el suelo.

#.- Desde un punto que está a 12 m. del suelo, un observador obtiene una medición de

53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo.

¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está

directamente bajo el observador?

#.- El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la

horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m.

y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3 m. del suelo.

#.- Un avión vuela a una altitud de 10000 metros y pasa directamente sobre un objeto

fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados.

Determine la velocidad aproximada del avión.

#.- Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro

lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

#.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del

suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y

la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del

edificio señalado.

#.- Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se

observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la

orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos

P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.

#.- Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia

de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el


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ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente,

mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?

#.- Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que

el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la

escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

#.- Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22 m. y 12 m.

respectivamente. El primer poste es 7,5 m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo

de elevación del sol y la longitud de cada poste.

#.- Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del

árbol, desde un punto situado a 180 m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por

encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.

#.-¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es

46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados.?

#.- Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5 m. Desde un punto situado en la

playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del

faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.

#.- Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los

tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al

suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50 m. ¿cuánto

cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

#.- Desde lo alto de una torre de 200 m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión

de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que

separa a dichos botes.

#.- Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un

lago. Si C está a 5.000 m. de A y a 7.500 m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados.

¿Cuál es el ancho del lago?


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#.- Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50m., se ve un árbol

justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta

llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra

orilla?

#.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del

suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y

la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del

edificio señalado.

#.- Desde la cúspide de un faro de 80 m. de altura, se observan hacia el oeste dos barcos

según ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la distancia que separa a los barcos.

#.- Un asta de bandera está enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado

en el suelo, a 12 m. Del edificio, se observa el techo del edificio según un ángulo de

elevación de 30º y la punta del asta según un ángulo de elevación de 60º. Calcule la

altura del edificio y la longitud del asta.

#.- Desde un punto A situado en el suelo se observa hacia el norte el campanario de una

iglesia según un ángulo de elevación de 30º y desde un punto B, situado en el suelo se

observa el campanario hacia el oeste según un ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100

m., calcule la altura del campanario.

#.- Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan

entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55’ y ABC = 52º

16’. ¿A qué distancia se encuentra el barco de cada estación?

#.- Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es

de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuál es la

distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos.

#.- Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si 30 m se

observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol

es de 24m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de


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45º 37’. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual

del primer punto.

#.- Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a 200 y

300 Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras

es de 60º.En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 250

Km. ¿Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos

ángulos.

#.- Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas extremas de una fila.

Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro

asistente obteniéndose resultados de 37º y 42º. ¿A qué distancia está cada uno de ellos

del conferenciante?. ¿A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una

butaca a la otra hay una distancia de 30 m.

#.- Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más

alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los

cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes

es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de

cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía.

#.- De un triángulo ABC sabemos que: a = 12 cm, b = 18 cm y A + B = 110º ¿Cuánto

valen A y B?

#.- En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la

figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las

distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre

los pueblos A y D.

#.- En una circunferencia de radio 10 cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el

centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB.

#.- Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho

punto forma un ángulo de 40º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en

línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal

forma un ángulo de 75º. ¿Qué altura tiene la montaña?


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#.- Se quiere medir la distancia entre dos caseríos separados por una colina bastante escarpada,

por lo que no es posible medirla directamente. Para ello, se localiza un punto desde el que se

ven los dos caseríos. Dicho punto está a 4 km de uno de ellos y a 6 km del otro y las visuales

con las que se ven desde él los dos caseríos forman un ángulo de 65°. Calcular la distancia que

hay en línea recta entre los dos caseríos.

#.- Para averiguar la distancia entre dos ciudades situadas en las orillas de un lago se efectúan

las mediciones de las distancias que las separan de una tercera que resultan de 51,631 Km y

32,360 Km, así como el ángulo que forman con vértice en esta tercera ciudad que es de 81° 43'.

¿Cuál es la distancia entre ambas ciudades?

#.- Desde un punto de la costa situado en A se observa un barco en la dirección N 22° 4'E y

desde un punto de observación situado en B a 25,5 km de A en dirección Sureste, el mismo

barco está en N 10° 35'O. ¿A qué distancia de A está el barco?

#.- Al instalar una antena, de 10 m de altura, sobre un terreno inclinado con respecto a la

horizontal 20° 37', los cables que lo sostienen quedan formando un ángulo de 42° 19' con el

mástil. Hallar las longitudes de los cables.

#.- Un barco está a 2,85 km en dirección N 42° 15'O de un faro, y otro a 4,18 km en dirección N

62° 27'E, del mismo punto. ¿Cuál es la distancia entre los dos barcos?

#.- Desde dos barcos separados 2,5 km se ve un tercero en las direcciones S 45° 45'E y S 52°

37'O ¿Cuál es la distancia de los dos primeros barcos al tercero?

#.- Bernardo conoce la distancia a la que está de un árbol, situado en la misma orilla del rio que

él, que es de 63 m. También conoce los ángulos con los que se ve a Carmen, que está al otro

lado del rio, desde el árbol y desde donde el está. Estos ángulos son respectivamente de 83° 23'

y 42° 46'. Calcula a qué distancia está Bernardo de Carmen.

#.- Estando situado a 87 m de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22° 35'. Juan ve ese

mismo olmo con un ángulo de 25° 12'. ¿A qué distancia está Juan del olmo?

#.- Dos de los lados de un paralelogramo miden 6 cm y 8 cm y forman un ángulo de 32°

38'. ¿Cuánto miden las diagonales? ¿Cuál es el área del paralelogramo?


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#.- Para construir un túnel que atraviese una montaña desde el punto A al B, se localiza una

roca encima de la montaña, desde la que podamos ver los dos extremos del túnel. Se miden las

distancias desde esta roca hasta las dos entradas del túnel, que son de 245 m y 658 m

respectivamente. También se mide el ángulo que forma la roca con las dos entradas, que es de

87° 36'. ¿Cuál será la longitud del túnel?

#.- Un avión vuela entre dos ciudades separadas por 80 km. Los ángulos de depresión con los

que se ven las dos ciudades desde el avión son de 29° 35' y 43° 52' ¿A qué altura vuela el

avión? ¿A qué distancia está de cada una de las ciudades?

#.- Un poste está inclinado 12° con respecto a la vertical, hacia la posición donde se encuentra

el Sol. El ángulo de elevación del Sol desde el extremo de la sombra del árbol es de 53° 35'.

Hallar la altura del árbol, si la sombra mide 11,3 m.

#.- Un barco navega 55,375 millas en dirección N 28° 15'E y después 94,625 millas en

dirección N 61° 45'O desde donde había llegado. ¿Cuál es la distancia recorrida (en línea recta)

y la orientación del punto de llegada respecto del punto de partida.

#.- Desde lo alto de un faro, a 51 m del nivel del mar, se ve un barco situado al Sur, con un

ángulo de depresión de 18° 50'. Dos minutos más tarde el ángulo de depresión es de 14° 20'.

Calcular la velocidad del barco si se sabe que navega directamente hacia el Oeste.

#.- Un barco pide socorro y las señales las reciben dos estaciones de radio B y C separadas por

80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 48°. B recibe señales

en dirección de 135° con el Norte, mientras que C las recibe en una dirección que forma 96° con

el Norte. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?

Identidades Trigonométricas Básicas

x cos

1 xsec

x cos

sen x tan x

tan x

1

sen x

x cos xcotg

1 x2

cosx2

sen sen(x)x)sen(

x2

secx2

tan1 cos(x)x)cos(

x2

cscx2

cotg1 tan(x)x)tan(

xcosy sen y cossen x y)sen(x

xcossen x 2sen(2x)

ysen sen x y cos x cos y)cos(x x

2sen 21x

2senx

2coscos(2x)

ytan tan x 1

sytan tan x y)tan(x

x 2tan1

tan x 2 tan(2x)

sen x

1 xcsc


Página 77

xcosxπ/2sen

2

xcos1 xcossen x 2)2xsen(

sen xxπ/2cos 2

xcos1 xcossen x 2)2xcos(

xcotgxπ/2tan xcos1

xcos1tan(x/2)

cos(2x) 1/21/2x2

sen cos(2x) 1/21/2x2

cos

Demostrar las siguientes identidades:

1 x2

cotgx2

csc xcostan x

sen x

1 xsec xcotgsen x x2

secx2

cos x 2

sen x2

tan

x2

tan1) x(sec1) x(sec 1 xcsctan x xcos

tan x xsecsen x xsec xcsctan x xcotg

1

x 2cotg

1x2csc

tan x1 xcos

xcossen x

sen x1sen x1

x2cos

sen x1

xcos

xcos

sen x1

x2

sec 2sen x1

1

sen x1

1

2

2cosx)(sen x

2cosx)(sen x

sen x x x)cotgsec(1 x)cos(1 12

x)2

cos(1x2

csc

αcos1)αcsc

1α(1sen2αsen 4

2

24

2x)cos(1

2x)tan

21) x(sec

2

xcotg1

xtan1

x2

cotg1

x2

tan1 xsen

x3

cosx3

sen

x2

cosx2

sen.

xx)coscscx(sec

xcosxsen1

αcosαsen

αcosα2sen1

αcot1

αcot

αtg1

αtg22

2

3

2

3

xcscxsecxcotg

1xcotg

0αsec1

1αsenαsec

senα1

1αsecαcot 22

αcotαcosαsenαsen1

αcosαcosα2sen22


Página 78

2

αcot

2

αsenαsen

2

αcosαcos1

αsecαsen1

αcosαtg

αcosecαsecαcotαtg αsenαcosαsenαcos 2244

1α2sencotαtgα

cotαtgα 2 1α2cosα2sen1 22

α2secαsen1

1

αsen1

1 2 αsenαcosαtg1

αtg1 22

2

2

1α)cos2α(3cosα)2senα(3sen 2424 1αcosecαcosαsen


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PROBLEMAS

#.-Un padre reparte $10000.00 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2000.00 más que al

menor. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

#.- Una persona tiene $8000.00 en 200 monedas de $10.00 y de $50.00 ¿Cuántas

monedas de $10.00 y de $50.00 tiene?

#.-El cociente de dividir 84 entre cierto número excede en 5 a este número. Hallar el

número.

#.-Encuentra dos números cuya suma sea igual a 30, y el doble del primero, más el

segundo sea igual al doble de este último.

#.-La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez años la suma de las

edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. ¿Cuál es la edad de cada una en la

actualidad?

#.-Si se divide un ángulo recto en dos ángulos agudos, de modo que uno sea el doble del

otro más 3º, ¿cuál es la medida de cada uno?

#.-Encuentra dos números tales que si a cada uno le agregamos siete unidades, los

resultados están en la razón 3 : 2, pero si les restamos cinco unidades, la razón es 5 : 2.

#.-El perímetro de un rectángulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6 cm. más que la

altura. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

#.-Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro,

resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había originalmente en cada

estante?

#.-Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltan dos años para

tener cinco veces la edad actual del menor y que si el mayor tuviera seis años menos

tendrían la misma edad.

#.- La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta

de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?

#.-La suma de dos números es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundo se le resta 5,

se obtienen dos números tales que el primero es el doble que el segundo. ¿Cuáles son

los números?

#.-El valor de una fracción es 1. Si se disminuye el numerador en 3 unidades y se

aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valor es igual a 3. ¿Cuál es la

fracción?

#.-Encuentra dos números tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.


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#.-En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese

número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos

cifras. ¿Cuál es el número?

#.-Las ciudades A y B están separadas por 180 km. Simultáneamente sale un auto de

cada ciudad en el mismo sentido. El que sale de B lo hace con una velocidad de 60

km/h y el que sale de A, a 90 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el auto que sale de A

alcanza al que sale de B, y cuántos kilómetros ha recorrido cada uno?

#.-Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble

que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.

#.-Dos números están en razón 1:3 y la diferencia de sus cuadrados es -200. ¿Cuales

son los números?

#.-Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 5:3 y su superficie mide 120

cm2. Determine la medida de sus tres lados.

#.-Determina, si existen, pares de números tales que su suma sea igual a 6 y la de sus

recíprocos 3/4.

#.-Encuentra un número entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las unidades es el doble

que la cifra de las decenas y que si se invierten, el número aumenta en 36.

#.- En un número la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si a ese

número le restamos 27 se obtiene otro número que resulta de invertir el orden de sus dos

cifras. ¿Cuál es el número?

#.-La suma de las dos cifras de un número es 9 y la diferencia entre él y el que resulta

de invertir el orden de sus cifras es 45. ¿Cuál es el número primitivo?

#.-La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y hace 5 años, la edad de Eliana era

1/10 de la edad de Miguel. Determinar sus edades actuales.

#.-La edad de Adolfo es 15 años menos que el doble de la edad de Teresa y la séptima

parte de la edad de Adolfo es 20 años menos que la edad de Teresa. Calcula ambas

edades.

#.-Hace 4 años la edad de Ximena era 8 veces la edad de Matías. En cuatro años más la

edad de Ximena será 4 veces la de Matías. ¿Cuál es la edad de cada uno?

#.-El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su perímetro es de 32 m.,

¿cuáles son sus dimensiones?

#.- Divide el número 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea igual a 3/5 de la

mayor.

#.- Encuentra una fracción que si se disminuye su numerador en 4 unidades y se

aumenta su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero si se disminuye sólo el

denominador en 7, será equivalente


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#.-La suma de dos números es 13, si el mayor se divide por el menor se obtiene por

cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos números.

#.-La suma de las cifras de un número de dos cifras es 9. Invirtiendo las cifras resulta un

número que tiene 9 unidades más que el cuádruplo del número primitivo. ¿Cuál es el

número?

#.-De un número de tres cifras se sabe que la suma de éstas es 13. Si se intercambian las

cifras de las unidades y las centenas, el número disminuye en 198; si se intercambian las

de las unidades y decenas, el número aumenta en 36. Encontrar el número.

#.-¿Cuántos litros de leche con 30% de grasa se deben mezclar con leche de 5% de

grasa para obtener 50 litros con 20% de grasa

#.- Encuentre 2 números pares consecutivos cuyo producto sea 4224.

#.- La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas

de los lados del rectángulo?

#.- En un círculo, la distancia entre 2 cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada

cuerda mide 6 cm más que el radio, calcule la medida del radio.

#.- Con un cartón cuadrado se quiere construir una caja sin tapa. Al cartón se le corta un

cuadrado de 3 cm de lado en cada uno de sus vértices. Calcule la medida del lado del

cartón, sabiendo que el volumen de la caja debe ser 192 cm3.

#.- La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de

6 años. Determine la edad actual.

#.- Determine las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 80

cm y la suma de sus catetos es 46 cm.

#.- Al despedirse al término de un encuentro, unos amigos se estrecharon la mano. Uno

de los jóvenes constató que hubo un total de 45 apretones de mano. ¿Cuántos amigos

asistieron a dicho encuentro si todos se despidieron de todos una sola vez?

#.-Encuentra un par de números reales cuya suma sea 4 y su producto sea máximo.

#.- Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de

$18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el

dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró?

#.- Jorge reparte 35 revistas entre sus amigos, dándole a cada uno tantas revistas como

amigos son, más dos revistas. ¿Cuántos amigos tiene Jorge?

#.- El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus

dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?


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#.- Un grupo de escolares alquiló un colectivo en $80. Cuatro de ellos no pudieron ir a

la excursión y entonces cada uno de los que fue debió pagar $1 más. ¿Cuántos escolares

había al principio?

#.- En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Ésta

supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? (Ayuda: recordá el

teorema de Pitágoras)

#.- En un campeonato de fútbol en el que cada equipo juega una vez con cada uno de

sus adversarios se jugaron, en total, 66 encuentros ¿cuántos equipos participaron?

#.- La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números.

#.- Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía

hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

#.- Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula

las dimensiones de la finca.

#.- Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5.

Halla la longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

#.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es

540 m².

#.- Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es

semejante a otro rectángulo cuyos lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

#.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es

580. ¿Cuáles son esos números?

#.- Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres

horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

#.- El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son esos

números?

#.- Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja

de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los

bordes. Halla las dimensiones de la caja.

#.- Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números

pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

#.- Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es

580. ¿Cuáles son esos números?


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#.- Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es

540 m²

#.- Juan y Pedro son mellizos. Andrés tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres

sumadas es 42 años. ¿Qué edad tiene Andrés?

#.- Un comerciante vende cierto número de cajas de lápices en la siguiente forma: la

quinta parte a $58 la caja; la mitad del resto a $60 la caja y la otra mitad a $61 la

caja; recibe en total $7.200. ¿Cuántas cajas de lápices ha vendido?

#.- Tres personas reúnen un capital de $9.500 para establecer un comercio minorista. Si

la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera la mitad de lo que

aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos?

#.- Con un pedazo cuadrado de cartón se construye una caja abierta cortando en cada

esquina cuadrados de 3 centímetros de lado y doblando hacia arriba los rectángulos

resultantes (de 3 cm. de altura). Si la caja tiene un volumen de 432 cm3 . ¿De cuántos

cm2 de cartón se disponía al principio?

#.- El área de un campo rectangular es de 50 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus

dimensiones si el ancho supera en 5 metros al largo?

#.- Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo número multiplicado por 6 da

55. ¿Cuál es el número?

#.- El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál

es el número?

#.- Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?

#.- El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste

es 147. Hallar el número.

#.- La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son

los números?

#.- En el triángulo ABC, los lados AB=3BC y BC = 0.5AC. Si su perímetro es 84 m.

¿Cuánto mide cada lado?

#.- Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida

del lado del cuadrado.


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#.- Las dimensiones de un rectángulo están en la razón 3 : 5 y su perímetro es 140 m.

Calcular el largo y en ancho.

#.- Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica.

¿Cuánto mide el lado?

para representarlo. - curso de algebra · una escuela de idiomas tiene 120 estudiantes y se sabe...

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