parabola
DESCRIPTION
ParabolaTRANSCRIPT
-
Parabola
1
Parabola
Se numete parabol mulimea punctelor planului egal deprtate de un punct dat F al planului numit focar i de o dreapt l din plan, lF , numit directoare.
Dac punctul M aparine parabolei, segmentul MF , precum i lungimea lui se numete raz focal a punctului M . Distana de la focarul parabolei la directoare se noteaz p i se numete parametrul parabolei.
Dac sistemul de axe ortogonale este ales astfel nct axa absciselor trece prin focarul parabolei perpendicular pe directoare i este orientat de la directoare spre focar, iar originea sistemului este mijlocul segmentului AF ( A este proiecia focarului pe directoare), atunci ecuaia canonic a parabolei este
pxy 22 = . (1)
Parabola cu ecuaia (1) este situat n semiplanul 0x , are vrful )0,0(O , axa ei este axa absciselor, iar directoarea are ecuaia
2p
x = .
Parabolele cu ecuaiile ,22 pxy = ,22 pyx = pyx 22 = au vrful n )0,0(O i sunt situate respectiv n semiplanele ,0x ,0y .0y
Ecuaia ,2 cbxaxy ++= ,0a ),,( Rcba definete o parabol a crei ax de simetrie este paralel cu axa ordonatelor. Vrful, focarul, directoarea i parametrul acestei parabole sunt respectiv:
,
4,
2
aa
bV ,41
4,
2
+
aaa
bF ,4
1:
ayl += ,
21a
p = unde .42 acb =
M
0,2pF
axa parabolei vrf O
directoare l
-
Parabola
2
Analog, parabola ,2 cbyayx ++= 0a are axa paralel cu axa absciselor i
,
2,
4
a
ba
V ,2
,
41
+a
ba
F ,4
1:
axl +=
ap
21
= ).4( 2 acb =
Probleme rezolvate
1. S se scrie ecuaia parabolei: a) cu focarul )0,4(F i directoarea ;04 =+x b) cu focarul )0,3(F i directoarea ;03 =x c) cu focarul )5,0(F i directoarea ;05 =+y d) cu focarul )2,0( F i directoarea ;02 =y e) cu focarul )4,3(F i directoarea ;01 =+x Soluii
n fiecare din cazurile a)-d) avem valoarea lui 2p
i ecuaiile parabolelor se scriu uor:
a) ;162 xy = b) ;122 xy = c) ;202 yx = d) .82 yx = e) Deducem ecuaia parabolei utiliznd definiia. Fie ),( yxM aparine parabolei. Avem
22 )4()3( += yxMF , iar distana de la M la directoare este egal cu .|1| +x Conform definiiei .)4()3(|1| 22 +=+ yxx Ridicm ambele pri ale acestei ecuaii la ptrat, simplificm i obinem ecuaia cerut .3
81 2 += yyx
2. S se scrie ecuaia parabolei cu focarul:
a)
0,23F i vrful );0,0(V
b) )0,5(F i vrful ;0,25
V
c) )1,2(F i vrful );1,0(V d) )1,2(F i vrful );0,2(V e) )2,3(F i vrful ).1,3(V Soluii
Vrful parabolei este mijlocul segmentului AF , unde A este proiecia focarului pe directoare, iar vectorul VF este un vector normal al directoarei.
-
Parabola
3
a) Punctul A are coordonatele
0,
23
i ,23
2=
p ecuaia parabolei este .62 xy =
b) ),0,0(A ecuaia directoarei 0=x i ecuaia parabolei este .2510||)5( 222 ==+ xyxyx
c) ),1,2(A ecuaia directoarei 02 =+x i ecuaia parabolei este .)1(
81|2|)1()2( 222 =+=+ yxxyx
d) ),1,2( A ecuaia directoarei 01 =+y i ecuaia parabolei este .)2(
41|1|)1()2( 222 =+=+ xyyyx
e) ),0,3(A ecuaia directoarei 0=y i ecuaia parabolei este ||)2()3( 22 yyx =+ .1)3(
41 2 += xy
3. S se determine focarul, vrful i directoarea parabolei:
a) ;42 xy = b) ;62 xy = c) ;2 yx = d) .162 yx = Soluii
a) 2=p 2p
=1 ),0,1(F ),0,0(V directoarea .01 =+x
b) 3=p 2p
=
23
,0,23
F ),0,0(V directoarea .0
23
=x
c) 21
=p 2p
=
41
,41
,0
F ),0,0(V directoarea .041
=+y
d) 8=p 42
=
p ),4,0( F ),0,0(V directoarea .04 =y
4. S se afle axa de simetrie, vrful, focarul i directoarea parabolei:
a) ;1042 += xy b) ;282 = xy c) ;462 += yx
-
Parabola
4
d) .6122 = yx Soluii
a) 1042 += xy .25
41 2 += yx Avem ,
41
=a ,0=b 25
=c =25
.
Axa de simetrie este axa absciselor, ,0,25
V ,0,23
F directoarea .027
=x
b) 282 = xy .41
81 2 += yx n acest caz ,
81
=a ,0=b 41
=c , .81
=
Axa de simetrie este axa absciselor. Vrful ,0,41
V focarul ,0,49
F directoarea .047
=+x
c) 462 += yx .32
61 2
= xy Axa de simetrie este axa ordonatelor, vrful ,32
,0
V
focarul ,65
,0
F directoarea .06
13=+y
d) 6122 = yx xy121
=2
.
21
Axa de simetrie este axa ordonatelor, vrful
,
21
,0
V focarul ,
27
,0
F directoarea .0
25
=y
5. S se scrie ecuaia parabolei ,2 cbxxy ++= dac )7,5(V este vrful ei. Soluie
Pentru 1=a avem 22b
a
b= i
44
4
2 cba
=
. Cum vrful parabolei
cbxaxy ++= 2 este
aa
bV4
,
2 n cazul nostru avem
=
=
74
4
52
2 cb
b
=
=
3210
c
b.
Ecuaia parabolei este .32102 += xxy
6. S se scrie ecuaia parabolei cbxaxy ++= 2 dac ea trece prin punctele )3,0( A , )0,1(B , ).7,2(C
Soluie
-
Parabola
5
Coeficienii cba ,, se obin din sistemul de ecuaii
=++
=++
=
7240
3
cbacba
c
, care este consecin a
faptului c punctele date aparin parabolei. Deci 2=a , 1=b , 3=c i ecuaia parabolei este .32 2 += xxy
7. S se determine un punct al parabolei ,82 xy = a crui distan la focar s fie egal cu 4. Soluie
Rescriem ecuaia parabolei sub forma
xy = 422
i obinem 4=p , ceea ce arat c focarul este ),0,2(F iar directoarea este .02 =+x Cum 2+= xMF pentru orice punct al parabolei, din condiia problemei obinem .42 =+x De aici
i din faptul c 20 = xx . Din ,82 xy = pentru 2=x obinem ,41 =y .42 =y Deci dou puncte )4,2(1M i )4,2(2 M verific condiiile problemei.
8. S se scrie ecuaia tangentei la parabola pxy 22 = n punctul ei ).,( 000 yxM Soluie
Rescriem ecuaia parabolei n forma pxpxyy += i considerm ecuaia .00 pxpxyy += Cum p 0 , aceasta este ecuaia unei drepte care trece prin punctul dat
).,( 000 yxM n plus, observm c aceast dreapt i parabola au punctul ),( 000 yxM ca punct
dublu de intersecie. ntr-adevr, fie sistemul
+=
=
00
2 2pxpxyy
pxy.
Substituim px din ecuaia a doua a sistemului n prima ecuaie i obinem, pentru determinarea ordonatei punctului de intersecie, ecuaia .022 00
2=+ pxyyy Discriminantul
acestei ecuaii .0)2(4 020 == pxy
De aici 002,1 22
2y
ya
by === i ),( 000 yxM este punct dublu de intersecie a parabolei cu dreapta. Astfel am dedus c ecuaia tangentei la parabola pxy 22 = n punctul ei ),( 000 yxM este ).( 00 xxpyy +=
9. S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul )1,2( A la parabola .42 xy = Soluie
-
Parabola
6
Observm c punctul dat nu aparine parabolei. Fie ),( baM punctul de tangen. Conform ecuaiei deduse n problema precedent ecuaia tangentei n M este .22 axby +=
Cerem ca aceast dreapt s treac prin punctul A i obinem egalitatea .24 ab +=
Rezolvm sistemul de ecuaii
=
+=
.4
,22
2 ab
ba
Obinem dou puncte de tangen ),4,4(1 M ).2,1(2M Respectiv avem ecuaiile celor dou tangente 2
2=
xy i 1. x +=y
10. S se determine condiia ca dreapta mkxy += s fie tangent la parabola .22 pxy =
Soluie Pentru determinarea poziiei reciproce a dreptei date i parabola dat trebuie s rezolvm
sistemul de ecuaii
=
+=
.2,
2 pxy
mkxy
Acest sistem poate avea dou soluii diferite, dou soluii coincidente i nici o soluie. Respectiv, dreapta i parabola se intersecteaz n dou puncte distincte (dreapta este secanta parabolei), dreapta i parabola au dou puncte comune confundate (dreapta i parabola sunt tangente), dreapta i parabola n-au puncte comune (dreapta nu intersecteaz parabola).
Deci, n conformitate cu cele de mai sus i cerinele problemei substituim mkxy += n ecuaia pxy 22 = i cerem ca discriminantul ecuaiei primite 0)(2 222 =++ mxpmkxk s fie nul.
Avem 222 4)(4 mkpmk = i 0= implic condiia .2mkp = Deci, pentru ca dreapta mkxy += s fie tangent la parabola pxy 22 = este necesar ca
.2mkp =
11. S se scrie ecuaia tangentei la parabola xy 42 = care este paralel cu dreapta .072 =+ yx S se determine coordonatele punctului de tangen.
Soluie Ecuaia tangentei cerute are forma .2 mxy += Utiliznd formula dedus n problema
precedent pentru ,2=p 2=k obinem ,42 m= .21
=m
Deci ecuaia tangentei este .212 += xy
-
Parabola
7
Rezolvm sistemul
+=
=
212
42
xy
xy i gsim punctul de tangen .1,
41
M
12. Din punctul ),( 000 yxM se construiesc dou tangente la parabola pxy 22 = . S se scrie ecuaia dreptei care unete punctele de tangen. Soluie
Fie ),( 111 yxM i ),( 222 yxM punctele de tangen cu parabola a tangentelor duse din .0M Scriem ecuaiile tangentelor 01MM i :02 MM
).(:)(:2202
1101
xxpyyMMxxpyyMM
+=
+=
Cum 0M aparine fiecrei din aceste tangente, au loc egalitile
)( 1010 xxpyy += i ).( 2020 xxpyy += Aceste dou egaliti arat c punctele ),( 222 yxM i ),( 111 yxM aparin dreptei ).( 00 xxpyy += Cum dou puncte distincte determin o singur dreapt, ecuaia )( 00 xxpyy += este ecuaia dreptei ce unete punctele de tangen.
Observaie. Dac ),( 000 yxM aparine parabolei ,22 pxy = ecuaia )( 00 xxpyy += este ecuaia tangentei la parabol n acest punct, iar dac ),( 000 yxM nu aparine parabolei i din acest punct pot fi duse dou tangente, aceeai ecuaie )( 00 xxpyy += este ecuaia coardei ce unete punctele de tangen.
13. Din punctul
6,
29
sunt duse tangentele la parabola .62 xy = S se calculeze
lungimea coardei care unete punctele de tangen. Soluie
Pentru ,3=p ,29
0 =x 60 =y scriem ecuaia dreptei care unete punctele de tangen
(vezi problema precedent).
)29(36 += xy .0942 =++ yx
Rezolvnd sistemul ,6
09422
=
=++
xy
yx gsim punctele de tangen ,9,
227
M .3,
23
N
Deci 22
)39(23
227
++
=MN 180= .56=
-
Parabola
8
Probleme propuse 1. S se scrie ecuaia parabolei simetrice n raport cu axa ordonatelor, cu vrful n origine
i care taie din dreapta xy 2= o coard de lungimea .54
2. S se scrie ecuaia parabolei cu vrful n origine n fiecare din cazurile: a) parabola este simetric fa de axa absciselor, are parametrul 5=p i este
situat n cadranele I i IV; b) parabola este simetric fa de axa absciselor, are parametrul 5,1=p i este
situat n cadranele II i III; c) parabola este simetric fa de axa ordonatelor, are parametrul 3=p i este
situat n cadranele III i IV; d) parabola are ca ax de simetrie axa Ox i trece prin punctul ).4,4(A
3. S se determine focarul i directoarea parabolei .102 xy =
4. S se scrie ecuaia parabolei cu focarul )0,3(F i directoarea .02 =+x 5. S se afle axa de simetrie, focarul i directoarea parabolei:
a) ;62 xy =
b) ;212 xy =
c) ;162 yx = d) ;0442 =+ xy e) ;0422 =+ yx f) ;05462 =+++ yxx g) .031822 = xyy
6. S se scrie ecuaia parabolei cu axa de simetrie vertical i care trece prin punctele ),0,1(A ),0,1(B ).1,0( C 7. S se determine punctele de intersecie ale dreptei 02 =+ yx cu parabola .22 yx =
8. S se afle raza focal a punctului parabolei xy 102 = , dac abscisa lui este egal cu .6
9. S se scrie ecuaia tangentei la parabola xy 42 = , care este paralel cu dreapta .05 =+ yx
10. S se determine punctele de intersecie ale parabolelor:
a) yx 42 = i ;42 xy = b) 122 += xxy i .762 += yyx
11. S se scrie ecuaiile tangentelor duse din punctul )1,0( A la parabola .322 ++= xxy
-
Parabola
9
12. S se determine punctele de intersecie ale parabolei :242 xy =
a) cu elipsa ;1225100
22
=+yx
b) cu hiperbola ;1225100
22
=
yx
13. S se afle unghiul dintre tangentele duse din punctul )9,2(A la parabola .362 xy = 14. S se afle aria triunghiului mrginit de axele de coordonate i tangenta n punctul
)2,2(A la parabola 2221
xy = .
15. S se scrie ecuaia parabolei cu axa de simetrie Ox i care trece prin punctele )2,2(A i ).1,1(B
16. Din punctul )1,0(A sunt duse tangentele la parabola .12 += xy S se scrie ecuaia coardei ce unete punctele de tangen.