parabola equazione (con alcune modifiche)
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
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0. CHE COS’È LA PARABOLA
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE/15
2
La parabola come sezione conica
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
1. CHE COS’È LA PARABOLA
DEFINIZIONE
Parabola
Scegliamo sul piano un punto F e una retta d.
Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da d.
Il luogo geometrico di questi punti è detto parabola.
Il punto F e la retta d sono detti, rispettivamente, fuoco e direttrice della parabola.
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2. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
Fissiamo il fuoco nel punto F(0; f) e la direttrice nella retta d di equazione y = – f .
Un punto generico P(x; y) è equidistante da F e da d se
( )( ) ( )
ay
aF
af
axy
xf
y
fyx
fyfyx
fyfyx
PHPF
41
41
;0
41
41
04
2
2
2
222
22
−=
=
=
=
=−
+=−+
+=−+
=
cioè: .
Da cui ,
, .
Eq. della parabola con vertice nell’origine e asse verticale: y = ax2 .
Equazione della direttrice: .Coordinate del fuoco:
.
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
ESEMPIO
Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione:
121
121
;0
121
41
31
31
−=
==
−
y
F
af
0 0
–1 3
1 3
–2 12
2 12
x y
Inoltre: ,
fuoco ,
eq. della direttrice .
y = 3x2 .
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4. IL SEGNO DI a E LA CONCAVITÀ DELLA PARABOLA
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
a > 0
y = ax2 è positiva o nulla,la distanza focale è f > 0 ,F ha ordinata positiva.
a < 0
y = ax2 è negativa o nulla,la distanza focale è f < 0 ,F ha ordinata negativa.
Concavità rivolta verso l’alto. Concavità rivolta verso il basso.
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
5. IL VALORE DI a E L’APERTURA DELLA PARABOLA
a =
4341
a = a = 2
Per a > 0 , all’aumentare di a diminuisce l’apertura della parabola.
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6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
ay
ab
x
4Δ2
v
v
−=
−=
+=′+=′
v
v
yyy
xxx La trasformazione
trasla i punti del piano.
Sotto questa trasformazione, la parabola di equazione y = ax2 diventa: y – yV = a(x – xV)2 .
In particolare, le coordinate del vertice diventano: V(xV; yV).
Possiamo riscrivere l’equazione della parabola come y = ax2 + bx + c .
Ascissa del vertice: ; ordinata del vertice: .
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RITORNA
otteniamoy = ax2 + bx + c .
o y = ax2 – 2axv x + (axv2 + yv) .
cioèy – yv = ax2 – 2axxv + axv
2
6. L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
∆−−
∆−=
=−=
=−=
=−=
−=
aab
V
a
abac
ab
ac
axcy
ab
x
4;
2
4
44
4
vv
2v
2
2
2
2 Equazione generica della parabola con asse parallelo all’asse y
La parabola con vertice V(xv; yv) ha equazione
y – yv = a(x – xv)2 ,
Ponendob = – 2axv ,
c = axv2 + yv ,
,
cioè
.
Per le coordinate di V(xv; yv) vale:
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REGOLA
L’asse di simmetria ha equazione: ,
7. L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
TEOREMA
A ogni parabola con asse parallelo all’asse y corrisponde un’equazione del tipo y = ax2 + bx + c , con a ≠ 0, e viceversa.
il vertice è il punto: ,
il fuoco è il punto: ,
la direttrice ha equazione: .
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7. ALCUNI CASI PARTICOLARI
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
b = 0
L’equazione diventa:
y = ax2 + c .
c = 0
L’equazione diventa:
y = ax2 + bx .
b = 0, c = 0
L’equazione diventa:
y = ax2 .
La parabola ha vertice V(0; c) e il suo asse di simmetria è l’asse y.
La parabola passa per l’origine O.
La parabola ha il vertice nell’origine O.
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7(b). ALCUNI CASI PARTICOLARI
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
∆=0Il vertice della parabola giace sull’asse delle ascisse V(-b/2a; 0)
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LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
8. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2
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9. ESERCIZI: DALL’EQUAZIONE y = ax2 AL GRAFICO
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
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10. ESERCIZI: L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE y
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
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11. ESERCIZI: L’EQUAZIONE y = ax2 + bx + c
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
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12(a). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse
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12(b). Parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse
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