PARADOKSPeeter Lorents

ÕTÜ Viitna 2018

Kuidas tajume paradoksi olemasolu ehk paradoksaalsust ?

Näiteks nõnda

• miski on nii, kuid nii ei saa olla

• miski ei ole nii, kuid nii peab olema

Näiteks ka nõnda

• sellest, et on nii, järeldub, et ei ole nii

• sellest, et nii pole, järeldub, et nii on

Aga „ametlikult“?Definition of paradox in US English (English Oxford Living Dictionaris):

A seemingly absurd or self-contradictory statement or proposition that when investigated or explained may prove to be well founded or true

• A statement or proposition that, despite sound (or apparently sound) reasoning from acceptable premises, leads to a conclusion that seems senseless, logically unacceptable, or self-contradictory

• A situation, person, or thing that combines contradictory features or qualities

Origin:

• Mid 16th century (originally denoting a statement contrary to accepted opinion): via late Latin from Greek paradoxon ‘contrary (opinion)’, neuter adjective used as a noun, from para- ‘distinct from’ + doxa ‘opinion’.

Aga veel?

Vt näiteks Indrek Meos „Filosoofia sõnaraamat. Elektrooniline väljaanne“, lk 387:

paradoks (kr paradoxos ‘ootamatu, imelik’). Paradoks tekib, kui vaieldamatutest eeldustest järeldub VASTURÄÄKIVUS või vastuvõetamatu väide. Paradoksi lahendamiseks tuleb leida ekslik (võib-olla varjatud) eeldus või viga JÄRELDUSES või siis nõustuda esmapilgul kohatu järeldusega. Paradoks võib näidata MÕISTETE ebamäärasust või (varjatud) vasturääkivust.

Ja veel:

Enn Kasak kirjutab (Tartu Ülikooli Kirjastuse poolt aastal 2014 välja antud raamatus „Loogika alused“, lk 572):

Paradoks (paradox) on arutlus, mille lõppjärelduses ilmneb ootamatu vastuolu. Vastuolu on ootamatu siis, kui see tekib, hoolimata kolmest täidetud tingimusest:

1. eeldused on täpselt sõnastatud ja kooskõlalised

2. tuletusreegleid ei ole rikutud

3. arutluse aluseks olev mõttekäik on ratsionaalne ja arutleja ei taotle vastuolu tekkimist

Loogikud ja matemaatikud kirjutavad nii:… XIX ja XX sajandi piiril avastatud arutlused – intuitiivsest aspektist täiesti õiged, kuid sellest hoolimata vastuoludeni välja viivad – kõlasid kui pommiplahvatus. Nüüd nimetatakse selliseid arutlusi paradoksideks ehk antinoomiateks.

Mõned neist olid tuntud juba iidsel ajal, kuid siis polnud veel teadvustatud nende seotus eespool kirjeldatud situatsiooniga (st olukorraga, kus matemaatikud … tuginesid oma arutlustes loogilisele intuitsioonile … eeldades, et see intuitsioon omab universaalset iseloomu ja garanteerib absoluutse ranguse).

Terminid paradoks ja antinoomia on tähenduse poolest identsed. Paradoksiksnimetatakse midagi säärast, mis pole kooskõlas valitseva veendumusega …

παρά + δοξα, kus δοξα tähenduseks on arvamus või ootus, παρά tähenduseks on juures, kõrval vms; αντι + νόμος kus αντι tähenduseks on vastupidine, νόμοςaga tähendab seadust või tava.

Vaata nt Haskell Brooks Curry. Foundations of Mathematical Logic. Mcgraw Hill. 1963. (New York: Dover Publications. 1977. ISBN 0-486-63462-0. Retrieved 23 July 2012), lk 20.παράδοξοπαράδοξο

Haskell Brooks Curry, 12.09.1900 –1.09.1982. Ameerika matemaatik ja loogik, tuntud eelkõige oma töödega (nüüdseks IT vallas rakendust leidnud) kombinatoorse loogika vallas.

Näide. Valetaja paradoks: See lause, mida hetkel loete – on vale!

Tegemist on ühe vanima teadaoleva paradoksiga.

Usutakse, et esimene – kes seda käsitles, oli Vana-Kreeka õpetlane Eubulides Mileetosest (sündis ja toimetas neljandal sajandil enne Kristust). Ta esindab nn Megara koolkonda, olles Megara Eukleidese õpilane ja pärimuse kohaselt Demosthenese õpetaja.

Aristotelese kaasaegne, kelle mõtteid olevat „rünnanud“.

Eubulideselt on pärit mitmeid teisigi paradokse.

Sealhulgas nt kuhja paradoks.

Valetaja paradoksiga on tõsiselt tegeldud aastatuhandeid.

Kõneldakse, et see ajas mõne mõtleja enesetapuni:

legendi kohaselt Filitose Kossosest.

Näide. Kuhja paradoks:

Üks tera ei moodusta kuhja. Samuti ei moodusta kuhja kaks tera ja veel ühe tera juurde lisamine ei tekita ikkagi kuhja. Järelikult on kahtlane – kas kuhja on üleüldse võimalik moodustada: ikka ja jälle ühte tera juurde lisades.

Näide: Russelli paradoksJaotame hulgad kaheks:

• need, mis ei sisalda iseennast elemendina

• need, mis sisaldavad iseennast elemendina (ehk on enda elemendiks)

Esimesi nimetame tavalisteks, teisi aga ebatavalisteks.

Nüüd vaatleme hulka K, mille elementideks on kõik tavalised hulgad.

Milline on kõikide tavaliste hulkade hulk K: kas tavaline või ebatavaline?

• Kui K on tavaline, siis peab ta olema üks oma elementidest. Sellest aga järeldub, et K on ebatavaline.

• Kui K on ebatavaline, siis peab ta ühe elemendina sisaldama iseennast. K elementideks olid aga määratluse kohaselt tavalised hulgad. Sellest aga järeldub, et K on tavaline

Niisiis: K on tavaline K on ebatavaline. K on ebatavaline K on tavaline.

Bertrand Russell ehk täisnimegaBertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell18.05.1872 - 02.02.1970.Briti filosoof, loogik, matemaatik, ajaloolane,kirjanik, ühiskonna kriitik, poliitiline aktivist,Nobeli kirjanduspreemia laureaat (1950).

• Noore õpetlasena, aastal 1902, kirjutas Russell aastal 1893 ilmunud raamatu „Grundgezetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet“ autorile, Gottlob Fregele aupakliku kirja, milles juhtis tähelepanu ühele selle raamatu alustest tulenevale veidrusele, mida tänapäeval tuntaksegi Russelli paradoksina.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (08.11.1848 – 26.07.1925)Saksa filosoof, loogik ja matemaatik, modernse loogika rajaja.

Huskell Curry kirjutab:

Fregel oli erakordselt terav ja peen mõistus. Tema geeniuse jäljed on jätkuvalt sügaval matemaatilise loogika südames.

Kahjuks oli tal erakordselt närune iseloom ja kõneldakse, et ta olevat olnud erakordselt julm oma kaasaegseid kritiseerides. Võib-olla just seetõttu ei leidnud ta pikka aega tunnustamist.

Tunnustus oli just kujunemas, kui saabus Russelli kiri. …

Kuigi Frege oli sel ajal ainult viiekümne aastane ning elas pärast veel enam kui kakskümmend aastat – ei ilmunud temalt enam ühtegi olulisemat tööd matemaatilise loogika alalt.

Ramsey klassifikatsioonAastal 1925 tegi noor inglise filosoof, matemaatik ja majandusteadlane Frank Plumpton Ramsey (22.02.1903 -19.01.1930) ettepaneku – jagada paradoksid kahte rühma: A ning B.

Rühmast A leiaksime näiteks Russelli paradoksi, rühmast B aga näiteks valetaja paradoksi.

Ramsey arvates sisaldavad rühma A paradoksid vaid niisuguseid mõisteid, mis n-ö loomulikult kuuluvad loogikasse või matemaatikasse. Rühma B paradoksid aga sisaldavad mõisteid, nimetusi, määratlusi, tõdesid jms, mis pole rangelt matemaatilised ja on pigem pärit epistemoloogiast (ehk „maakeeli“ teadmisteooriast või tunnetusteooriast), lingvistikast jms.

Tänapäeval kõneldakse rühma A korral loogilistest, rühma B korral aga semantilistest paradoksidest (vahel ka epistemoloogilistest paradoksidest).

Loogilise paradoksi näide. Berry paradoks: Esimene naturaalarv, mida pole võimalik esitada, kasutades vähem kui 100 sõna.

Selgitus: Igasuguses naturaalarvude kogumis, mis pole tühi, leidub väiksem-suurem-seose raames esimene element. Ülal sõnastatud tingimus eraldab kõikide naturaalarvude seast osa. Nimetatud osas peab eelöeldu kohaselt leiduma esimene element – ehk esimene naturaalarv, mida pole võimalik esitada, kasutades vähem kui sada sõna. Loeme nüüd kokku „punased sõnad“. Palju saime? Üksteist!

Vaadeldav paradoks ilmus esmakordselt avalikkuse ette, Bertrand Russelli poolt kirjutatud töös, milles autor märkis, et see olevat talle teatavaks saanud ühelt Oxfordi Ülikooli raamatukogu noorem-raamatukoguhoidjalt, hr G. G. Berrylt (1867–1928). Väidetavalt aastal 1906. Kõnealune raamatukogu, mis avati 08.11.1602, on üks vanimaid Inglismaal ja kuulsamaid kogu maailmas. Selle loojaks oli Sir Thomas Bodley (1545–1613), kes tegutses diplomaadina kuninganna Elizabeth I õukonnas.

Semantilise paradoksi näide. Grellingi paradoks: Osa sõnu väljendab omadusi, mida need sõnad ise evivad. Näiteks sõna – eestikeelne. Nimetagem niisuguseid sõnu autoloogilisteks, teisi sõnu, mis omadusi väljendavaid – aga heteroloogilisteks. Milliseks on sõna heteroloogiline?

Selgitus: Kui sõna heteroloogiline on ise heteroloogiline, ehk väljendab omadust, mida ise ei oma – siis on see sõna ju autoloogiline. Kui sõna heteroloogiline on ise autoloogiline, ehk väljendab omadust, mida ka ise evib – siis on see sõna ju heteroloogiline.

Vaadeldav Grellingi paradoks – ehk õigemini Grelling-Nelsoni paradoks on esmakordselt avaldatud aastal 1908 ilmunud Kurt Grellingi ja Leonard Nelsoni töös "Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali - Forti". Abhandlungen der Fries’schen Schule II. Göttingen. pp. 301–334.

Kurt Grelling (02.03.1886 – (18)??.09.1942) ise oli Saksa loogik ja filosoof. Leonard Nelson (11.07.1882 –29.10.1927) – Saksa matemaatik, filosoof ja … sotsialist.

A-rühmast. Kitsamalt.

Vaatleme niisuguseid väiteid, mis esiteks on kas• fundamentaalväited ehk väited, mida loeme a priori tuletatuteks – või

• tuletatud väited, mis on tulemusteks mingitest teistest väidetest lähtuvat loogilistes tuletustes

ja teiseks, mis sisaldavad vaid selliseid mõisteid, mis on kas • fundamentaalmõisted ehk kokkuleppeliselt definitsioonita mõisted – või

• defineeritud mõisted, mis omavad mingitest teistest mõistetest lähtudes rangelt koostatud definitsioone

A-rühmast. Laiemalt.

Vaatleme niisuguseid väiteid, mis esiteks on kas• fundamentaalväited ehk väited, mida loeme a priori tuletatuteks – või

• järeldatud väited, mis on järeldusteks mingitest teistest väidetest lähtuvat loogilistes järeldamistes

ja teiseks, mis sisaldavad vaid selliseid mõisteid, mis on kas • fundamentaalmõisted ehk kokkuleppeliselt definitsioonita mõisted – või

• defineeritud mõisted, mis omavad mingitest teistest mõistetest lähtudes rangelt koostatud definitsioone

Selgitus kitsama ja laiema kohta• Tuletamine ning järeldamine pole üks ja seesama

• Kui mingist väitest on korrektselt tuletatav mõni teine väide, siis on niisugune järeldamine, mille raames esimesest väitest järeldatakse teine väide, on täitsa õige

• Järeldamine ja järeldus pole üks ja seesama. Ehk n-ö skemaatiliselt:

E J

Eeldus Järeldamine Järeldus

Märkus. Nn klassikalises loogikas pole järeldamine õige vaid siis, kui eeldus on õige, kuid järeldus on vale. Ülejäänud juhtudel on järeldamine õige!

• See, mis on järeldatav – ei pruugi alati olla tuletatav

A-rühmast. Paradoksi üks võimalik määratlus

Paradoksiks nimetame edaspidi kolmest väitest - väitest P – ehk paradoksi tekitajast, väidetest P ja P ehk paradoksaalsuse ilmingutest koosnevat kogumit, kus

P tähendus: Sellest, et väide P on õige, järeldub, et väite P eitus on õigeP tähendus: Sellest, et väite P eitus on õige, järeldub, et väide P on õige

Märkus. Selleks, et paradoks „vääriks tähelepanu“ peaks vähemalt üks paradoksaalsuse ilmingust olema õige. Pole esialgu keelatud – et mõlemad. (Hoiatus: Paraku selgub hiljem „karm tegelikkus“ , kui osutub, et mõlemad ilmingud on korraga õiged. Vt Teoreem 3)

Näide. Russelli paradoks, milles kumbki ilming „ei tekita kahtlust“:

• Sellest, et hulk K on tavaline – tuleneb, et K pole tavaline

• Sellest, et hulk K pole tavaline – tuleneb, et K on tavaline

Vastuolud ja paradoksi tingimusedMääratlus. Vastuoluks nimetame igat niisugust väidete konjunktsiooni, mille üks konjunktidest on teise eitus.Märkus 1. On võimalik tõestada, et iga vastuolu on vale!Näide. Väide: hulk K on tavaline ja samas pole tavaline – on vale. Märkus 2. On võimalik tõestada, et igast vastuolust saab järeldada mistahes väidet! Sellest tuleneb vahetult teoreem 1. Teoreem 1. Igast vastuolust on võimalik järeldada nii paradoksi tekitaja, kui ka mõlemad paradoksaalsuse ilmingud.Teoreem 2. Mitte igast paradoksaalsuse ilmingust üksinda pole alati võimalik järeldada vastuolu.Näide. Vaatleme Russelli paradoksist pärit teksti: Sellest, et K on tavaline, järeldub, et K pole tavaline. Tegemist on paradoksaalsuse ilminguga, mis on õige. Samas pole õige järgmine vastuolu: K on tavaline ja samas K pole tavaline. Õigest eeldusest aga pole võimalik õieti järeldada vale järeldust.

Paradoksi tingimused ja vastuoluTähelepanek: Mitte iga paradoksi korral pole võimalik selle paradoksi ühe ilminguga sarnast ülesehitust omavast väitest järeldada teise ilminguga sarnast ülesehitust omavat väidet.

Näide. Vaatleme Russelli paradoksi ühte ilmingut: Sellest, et K on tavaline, tuleneb, et K pole tavaline. Sellega sarnane oleks õige väide: sellest, et 0 on positiivne järeldub, et 0 pole positiivne. Teise ilminguga oleks sarnane väide: Sellest, et 0 pole positiivne, järeldub, et 0 on positiivne. Viimane väide ei saa olla õige, kuna osaväide – 0 pole positiivne – on õige; samas aga osaväide –0 on positiivne – on vale. Lähtudes õigest väitest, pole teatavasti võimalik õieti järeldada valet väidet. Niisiis – „teise ilmingu vari“ osutus valeks ega kehti. Ja jälle tuttav olukord: tõest lähtudes pole õieti võimalik valet järeldada! Järelikult – mingi etteantud esimese ilminguga sarnasest väitest pole alati võimalik järeldada vastavalt teisele ilmingule sarnast väidet. Ehk formaalselt:

Alati ei järeldu väitest B B väide B B (samuti ka „tagurpidi“).

Teoreem 3. Kui mingi paradoksi korral on (klassikaliselt!) õietijäreldatavad mõlemad paradoksaalsuse ilmingud, siis on õieti järeldatav ka vastuolu.

Neile, kel väga suur huvi Viimase teoreemi „kitsama vormi“ tõestus: Olgu meil antud mingi paradoksi tekitaja P ja sellega seotud paradoksaalsuse ilmingud P P ning P P. Klassikalisel juhul võime siia lisada nn välistatud kolmanda seaduse, mida väljendab kirjutis P, P.

Rakendame Gentzeni poolt formuleeritud reeglite kohaseid tuletussamme:

P, P

P, P P P P, P P P

P, P P, P

P P

P & P

Märkus. Paneme tähele, et tuletamisel ei lähtutud paradoksi tekitajast P ega selle eitusest P! Sellest näeme, et antud juhul on n-ö sisuline roll ilmingute kui valemite ülesehitusel, mitte asjaolul, et neis figureerib just P (mingist paradoksist).

Hea küsimus:

Kuidas on paradoksi ilmingutest vastuolu tuletamisega lood siis, kui eeldame küll loogiliste vahendite mittevasturääkivust aga … mitteklassikalise (nt inuitsionistliku) loogika raames

?

Paradoksi tekitajast ning paradoksi ilmingutest

Teoreem 4. Kui klassikalistes ja mittevastuolulise „raamides“ on õige mingi paradoksi vähemalt üks paradoksaalsuse ilming, siis pole õige kas selle paradoksi tekitaja P või pole õige tema eitus P.

Tõestus. Vaatleme kahte varianti: (1) ilming P on õige, (2) ilming P on õige.

(1) Olgu P õige. Niisugusel juhul pole (mittevastuolulisuse tõttu!) võimalik õieti järeldada seda, et P-st järeldub P eitus. See ei sobi kokku ilminguga, mille kohaselt (vt eespoolt P) on õige – et P-st järeldub P eitus.

(2) Olgu P eitus õige. Niisugusel juhul pole (taas mittevastuolulisuse tõttu!) võimalik õieti järeldada seda, et P eitusest järeldub P. See ei sobi kokku ilminguga, mille kohaselt (vt eespoolt P) on õige – et P eitusest järeldub P.

Näide. Russelli paradoksi korral on mõlemad paradoksaalsuse ilmingud laitmatud. Järelikult ei saa olla õige ei see, et – „kõikide tavaliste hulkade hulk K on tavaline hulk“ – nagu antud juhul ka see, et – „kõikide tavaliste hulkade hulk K pole tavaline hulk (ehk – on ebatavaline)“.

Selgitus neile, kel väga suur huvi Viimases teoreemis (vt teoreem 4.) „oli peidus“ kaks „kitsamat“ teoreemi:

Teoreem 4.1. Kui on tuletatav paradoksi tekitaja ning on tuletatav ka selle paradoksi esimene ilming, siis on tuletatav ka vastuolu.

Tõestuse skeemi võtmekoht: P P P

P P

P & P

Teoreem 4.2. Kui on tuletatav paradoksi tekitaja eitus ning on tuletatav ka selle paradoksi teine ilming, siis on tuletatav ka vastuolu.

Tõestuse skeemi võtmekoht: P P P

P P

P & P

Märkus. Vastandina paarile P ja P P ei pruugi paarist P ja P P (nagu ka paarist P ja P P) tuleneda vastuolu!

Asi selgem!Tõepoolest: mitmetes eespool esitatud määratlustes märgiti seda, et paradoksist peaks tekkima vastuolu. Nii võibki juhtuda, kui inimesed soovivad lähtuda n-ö kõigist kolmest:

paradoksi tekitajast (NB! sageli jäetakse paradoksi tekitaja „varjatud eelduseks“)

paradoksi esimesest ilmingust

paradoksi teisest ilmingust

siis on vastuolu esile kerkimine vältimatu, kuna vastuolu jaoks „piisab“, kui neist kolmest valida käsitlemiseks ainult kaks sobivat (vt ülal esitatud teoreeme):

paradoksi tekitaja koos esimese ilminguga

esimene ilming koos teise ilminguga

Nüüd peaks ka selginema, miks antud ettekandes esitatud paradoksi määratluses oli kirjas: „…peaks vähemalt üks paradoksaalsuse ilmingust olema õige“. Tõepoolest: asjaolu, et paradoksi kolmest komponendist on õiged P ja P

või on õiged P ja P, muudab paradoksi „üle jäänud“ komponendi õigsuse (või vastupidi – ebaõigsuse) ebaoluliseks.

Enne lõpetamist meenutame, et: Mitmetes määratlustes nõutakse, et paradoksis esinevatest väidetest saaks jõuda vastuoluni. Meenutame:

Curry: … vastuoludeni välja viivad (kuidas „viivad“, seda Curry ei täpsusta)

Meos: … Paradoks tekib, kui vaieldamatutest eeldustest järeldubVASTURÄÄKIVUS

Kasak: … lõppjärelduses ilmneb ootamatu vastuolu.

Seejuures ei nõua Meos, et vastuoluni peaks meid välja viima tuletus. Küll aga näib sellest mõtlevat Kasak.

Vaatame koos, mida ja kuidas Kasak kirjutab: Paradoks (paradox) on arutlus, mille lõppjärelduses ilmneb ootamatu vastuolu. Vastuolu on ootamatu siis, kui see tekib, hoolimata kolmest täidetud tingimusest:

1. eeldused on täpselt sõnastatud ja kooskõlalised

2. tuletusreegleid ei ole rikutud

3. arutluse aluseks olev mõttekäik on ratsionaalne ja arutleja ei taotle vastuolu tekkimist

Oluline märkus. Järeldamine pole sama, mis tuletamine! On avaram …

Lõpetades paneme tähele, et: Kui uurime hoolikamalt paradoksi koostisosi ehk siis

• paradoksi tekitajat, mida sageli tuleb „varjust valguse kätte tirida“

• paradoksi ilminguid,

siis pole välistatud, et

• tegemist polegi nõuetekohast ülesehitust omavate matemaatiliste (loogiliste) väidetega, vaid kirjutistega, mis tunduvad olevat korralikud väited

• tegemist on küll igati laitmatult ülesehitatud väidetega, mis aga … paraku pole õiged või on

• tuletatud ebakorrektselt või on

• tuletatud korrektselt, kuid lähtudes vastuolulistest eeldustest

Niisugusel juhul tuleks (kui muidugi soovime!) muuta

• asjakohaste väidete ülesehitust, vajadusel muutes mõistete formuleeringuid

• tuletuste ülesehitust

• eelduste hulka

Näide ja selle lühikäsitlus lõpetuseksRusselli paradoksist aitas lahti saada hulga mõiste kuulutamine fundamentaalseks ja tuletustes/järeldamistes kasutatud eelduste hulga muutmine. Selle raames

• lisandus nn regulaarsuse aksioom, millest tulenes, et ükski hulk ei saa olla iseenese elemendiks. Ja mis veel „kavalam“ –

• lisandus nn väljaeraldamise aksioom, mille kohaselt pidi igasuguse hulgateoorias lubatud tingimuste abil hulka moodustades näitama, et millisest juba eksisteerivast hulgast on pärit asjakohast tingimust rahuldavad elemendid.

Russelli paradoksi formuleeringus aga niisugust juba eksisteerivat hulka – kust on pärit kõik tavalised hulgad – esile ei toodud, kuigi seda pidanuks tegema!

Siinkohal pangem tähele, et mingi hulk saab eksisteerida vaid siis, kui

• selle eksisteerimine postuleeritakse aksioomis või kui

• selle eksisteerimine tuleneb aksioomidest loogiliselt laitmatul viisil.

Kõikide tavaliste hulkade hulga korral midagi sellist aga polnud ega saanudki ette näidata. Ja nii see Russelli paradoks laheneski …

Tänan kuulamast

PS Keegi ei saa ise mõtlemist keelata! Seetõttu mõelge – kuidas Teie paradokse määratleksite ja käsitleksite. Uskuge – see võib päris põnev olla!