paradoxonok - €¦ · nyeinél fogjuk felhasználni, amelyek a haussdor illetve a banach-tarski...
TRANSCRIPT
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Paradoxonok
Diplomamunka
Kövesdi Péter
Matematika tanári szakirány
Matematika BSc
Témavezet®:
Hermann Péter
Algebra és Számelmélet Tanszék
Budapest, 2016
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 3
2. Kiválasztási axióma 4
3. Csoportelméleti alapok 4
3.1. Csoport fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Csoporthatás, paradox csoporthatás . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3. Szabad csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Haussdor�-paradoxon 10
4.1. Paradoxitás és szabad csoportok . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2. Független forgatások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3. Haussdor�-paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Banach-Tarski paradoxon 18
5.1. Átdarabolhatóság geometriai értelemben . . . . . . . . . . . . 18
5.2. Halmazok átdarabolhatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3. Banach - Tarski paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. További érdekesség 23
6.1. Laczkovich M. - Kör négyszögesítése . . . . . . . . . . . . . . 23
1. Bevezetés
Szakdolgozatom középpontjában az �aranycsináló�-paradoxonként elhí-
resült Banach � Tarski paradoxon áll. Ez szemléletesen megfogalmazva azt
mondja ki, hogy ha egy tömör gömböt a megfelel® módszerrel feldarabolunk,
akkor az így kapott részeket össze tudjuk úgy rendezni, hogy végeredmény-
ként két, az eredetivel azonos gömböt kapunk. Azaz a paradoxon szerint
képesek vagyunk megkett®zni a tömör gömböt.
A témát csoportelméleti összefüggésben tárgyalva ez nem jelent mást,
mint hogy egy halmazt, ami a gömb pontjait tartalmazza, egy módszer se-
gítségével megkett®zzük, pontosabban látható lesz, hogy ekkor kétféle mó-
don állítjuk el®. Azonban ezek belátásához szükség van a csoportelmélet ide
vonatkozó összefüggéseinek ismeretére, melyeket a dolgozat elején összegy¶j-
töttünk.
Az állítás paradox mivolta nem kérdéses, teljesen ellentmond a minden-
napi életben tapasztaltaknak. Azonban nagyon érdekes, hogy a matematika
megenged ilyen állításokat.
Annak szemléltetésére, hogy a tárgyalt paradoxon nem az egyetlen ilyen
�valótlanságot� igazoló állítás, az utolsó fejezetben megemlítésre kerül egy
hasonlóan érdekes matematikai tartalommal bíró eredmény.
3
2. Kiválasztási axióma
Mindenek el®tt ismertetjük a halmazelmélet legvitatottabb axiómáját, a
kiválasztási axiómát, ugyanis ezen alapszanak a dolgozatban tárgyalt para-
doxonok. El®ször Ernst Zermelo mondta ki axiómaként a jólrendezési tétel
bizonyításában, amit újra kellett fogalmaznia, mivel nagy vitát váltott ki a
matematikusok körében. Amellett hogy sok pozitív, a tudományt el®re viv®
következménye volt, akadtak szép számmal olyanok is, amelyek a valóságnak
ellentmondó állításokat eredményeztek. Erre jó példa a Banach-Tarski pa-
radoxon. 1963-ban Paul Cohen igazolta, hogy független a többi axiómától,
azokból nem lehet levezetni. Ezáltal a kiválasztási axiómát elfogadottnak
tekinthetjük.
2.1. Kiválasztási axióma (Axiom of Choice - AC). Ha {Ai : i ∈ I} nem-
üres halmazok rendszere, akkor ∃f függvény, amelyre D(f) = I és f(i) ∈Ai ∀i ∈ I-re. Az f függvény neve kiválasztási függvény, minden Ai-b®l kivá-
laszt egy elemet.
2.1. Megjegyzés. Az axióma egy ekvivalens megfogalmazása:
Páronként diszjunkt halmazok bármely rendszeréhez létezik olyan halmaz,
amelynek az összes nem üres halmazzal pontosan egy közös eleme van.
A dolgozatban a 4.1.1. Tétel bizonyításánál, és annak következmé-
nyeinél fogjuk felhasználni, amelyek a Haussdor� illetve a Banach-Tarski
paradoxon igazolásához egyaránt szükségesek lesznek.
3. Csoportelméleti alapok
Ez a fejezet a probléma megértéséhez szükséges ismereteket tartalmazza,
illetve foglalja össze, elindulva a csoportok de�níciójától, egészen a szabad
csoportok de�níciójáig.
4
3.1. Csoport fogalma
Ebben a részben a témához szorosan kapcsolódó alapde�níciók csak fel-
sorolás szintjén kerülnek megemlítésre. Ezek az el®adásokon tanultak szerint
a következ®k:
3.1.1. De�níció (Csoport). Legyen a G :6= ∅ halmaz, rajta egy m¶velet (·):∀a, b ∈ G-re értelmezett a · b ∈ G úgy, hogy:
1. Asszociativitás: ∀a, b, c ∈ G : (a · b) · c = a · (b · c)
2. Egységelem: ∃e ∈ G : ∀x ∈ G e · x = x · e = x
3. Inverz: ∀c ∈ G ∃c−1 ∈ G c · c−1 = c−1 · c = e
A 3.1.1. De�nícióban nem tettük fel, hogy a m¶velet kommutatív.
Ezt a tulajdonságot az alábbi de�níció tartalmazza:
3.1.2. De�níció (Abel-csoport). Azokat a csoportokat, amelyekben a m¶-
velet kommutatív, azaz ∀a, b ∈ G esetén a∗ b = b∗a teljesül, Abel-csoportnak
hívjuk.
Ezen de�níciók ismeretében kezdhet® meg a bonyolultabb csoportelméleti
összefüggések tárgyalása.
3.2. Csoporthatás, paradox csoporthatás
A halmazok paradox felbontásának létrehozásához szükséges a csoport-
hatás fogalmának bevezetése.
3.2.1. De�níció (Csoporthatás). Legyen adott egy G csoport és egy H hal-
maz. Ekkor G hat H-n, ha: ∀g ∈ G és h ∈ H esetén hg ∈ H értelmezett úgy,
hogy:
1. ∀a, b ∈ G és ∀h ∈ H-ra hab = (ha)b
2. ∀h ∈ H-ra he = h, ahol e a G egységeleme
5
A kés®bbiekben szükségünk lesz a csoporthatás pályájának és stabilizá-
torának fogalmára, így ezeket is de�niáljuk.
3.2.2. De�níció (Pálya és stabilizátor). Legyen G a H halmazon ható cso-
port, továbbá g ∈ G és h ∈ H. Ekkor:
1. A h pont orbitja (pályája) G-nél OrbG(h) = {hg|g ∈ G} , vagyis azoka pontok, ahová h-t G elemei el tudják vinni.
2. A h stabilizátora G-ben Gh = {g ∈ G|hg = h}, vagyis azok a csoport-
elemek, amik �xen hagyják h-t.
3.2.1. Megjegyzés. G hatása H-n tranzitív, ha csak egy pálya van. Ez azt
jelenti, hogy ∀h1, h2 ∈ H ∃g ∈ G, amire hg1 = h2.
3.2.2. Megjegyzés. Speciális eset: amikor G ≤ SH .
Itt SH tetsz®leges H halmaz önmagára ható bijektív leképezései, transzformá-
ciói.
SH csoportot alkot a kompozíció m¶veletére nézve, ezt a H-n ható szimmetri-
kus csoportnak nevezzük, aminek G részcsoportja, úgynevezett transzformá-
ciócsoport (G elemei is transzformációk).
Maga a hatás már tisztázott, ami még maradt, az a paradoxitás kérdése.
3.2.3. De�níció (Paradox csoporthatás). Legyen G csoport, ami hat az L
halmazon, és legyen H ⊆ L. Ekkor a H halmaz G-paradox, ha ∃n,m ∈ Z+ és
∃X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym ⊆ H amelyek páronként diszjunktak és ∃a1, . . . , an,b1, . . . , bm ∈ G:
H =n⊔
i=1
Xaii es H =
m⊔j=1
Ybjj .
6
3.3. Szabad csoportok
A következ®kben de�niáljuk a szabad csoportokat, egészen pontosan a
kétgenerátoros szabad csoportokat. Ezek segítségével hozunk létre paradox
csoporthatást.
3.3.1. De�níció. Legyen G csoport és g ∈ G. Ekkor a g elem egész ki-
tev®j¶ hatványaiból álló részcsoportot a g elem által generált részcsoportnak
nevezzük, jele: 〈g〉.
3.3.2. De�níció. Tetsz®leges G csoport esetén az X ⊆ G által generált
részcsoport a legsz¶kebb X-et tartalmazó részcsoportja G-nek, jele: 〈X〉. Az
X halmazt G generátorrendszerének nevezzük (X generálja G-t), ha 〈X〉 = G.
A fenti de�nícióban szerepl® legsz¶kebb elem alatt egy halmazrendszer
azon elemét értjük (egy halmazt), ami a halmazrendszer minden elemének
részhalmaza.
3.3.1. Tétel. Legyen G csoport és X ⊆ G. Ekkor 〈X〉 a G azon elemeib®l
áll, melyek fölírhatók az X elemeib®l és azok inverzéb®l képzett akárhány
tényez®s szorzatként.
Szabad csoport konstrukciója:
Vegyünk el®ször egy nemüres X halmazt. Ezt követ®en ∀x ∈ X-hez ren-
deljünk hozzá egy x−1-gyel jelölt elemet amelyekre teljesül, hogy x 6= x−1
és x−1 /∈ X. Ha ezeket az elemeket hozzávesszük a kezdetben meglév® x
elemekhez, akkor megkett®ztük az X halmazt.
Az x és x−1 elemeket nevezzük �bet¶knek� és képezzünk ezekb®l a bet¶kb®l
véges sorozatokat. A kapott véges karaktersorozatokat, melyeknek minden
eleme x vagy x−1 nevezzük el �szavaknak�.
Ha például X = {x, y}, akkor egy lehetséges szó:
xxyxxxxy−1y−1y−1y−1x−1x−1yyyxy−1x−1x−1x−1
A következ®kben az xxx . . . x︸ ︷︷ ︸n
:= xn jelölést fogjuk alkalmazni, így a fenti szó
rövidebb alakban az alábbi formában írható fel:
7
x2yx4y−4x−2y3xy−1x−3
Az így értelmezett szavakat tartalmazó halmazt jelöljük S-sel. A követ-
kez® lépésben az S halmaz segítségével szeretnénk csoportot alkotni. Ehhez
teljesítenie kell a csoportaxiómákat, azaz kell egy asszociatív m¶velet, egy
egységelem, továbbá az inverzképzésre való zártság.
Lássuk el a halmazt a következ® m¶velettel: képezzük a halmazban szerepl®
s, t ∈ S szavakból az st kifejezést, ami jelentse a szavak ebben a sorrendben
történ® egymás után írását.
Tekintsük egységelemnek az úgynevezett �üres szót�, azt az elemet, aminek
egyetlen bet¶je sincs. A továbbiakban jelöljük 1-gyel.
Ahhoz, hogy csoportot hozhassunk létre, a csoportelemek inverzeinek meg-
határozása is szükséges. El®ször is azt szeretnénk, hogy x és x−1 egymás
inverzei legyenek, azaz xx−1 = 1 teljesüljön. Azonban ehhez az egyenl®ség
szerint az xx−1-et és az x−1x-et az üres szóval kell azonosítanunk. Ennek kö-
szönhet®en a szavak rövidebb alakra egyszer¶södhetnek. Tekintsük például
az xyy−1x−1x és y−1yx szavakat:
xyy−1 x−1x︸ ︷︷ ︸1
= x yy−1︸ ︷︷ ︸1
= x
y−1y︸ ︷︷ ︸1
x = x
Az inverzek de�niálása miatt ezek egyenl®k, mindkett® az x szóvá egyszer¶-
södik. Ily módon egy ekvivalenciarelációt értelmeztünk a szavak halmazán,
amely szerint minden szóhoz létezik egy legrövidebb szó, amivel a szó maga
ekvivalens. Az így leegyszer¶södött szavakat redukált szavaknak nevezzük.
3.3.1. Állítás. Egy adott szót akárhogy egyszer¶sítünk, mindig ugyanazt a
redukált szót kapjuk.
3.3.1. Következmény. A 3.3.1. Állítás miatt ezek a redukált szavak egyér-
telm¶en meghatározottak.
8
Ennek alapján nem vehetjük egyszer¶en S halmaz elemeit, hanem az
egyes szavakból képzett redukált szavak adják a kívánt csoportelemeket. En-
nek a módosításnak az egységelemre nincs kihatása, azonban a m¶veletet
újra meg kell határoznunk, mivel a csoportelemek szerkezete megváltozott,
pontosabban mostanra alakult ki. Így a fenti m¶velet már nem teljesíti az
elvárásokat. Vegyük például az s = x3y−2x−4y6 és t = y−4x2yx−5 redukált
szavakat. Ekkor az st = x3y−2x−4y6y−4x2yx−5. Jól látható, hogy az egy-
szer¶ egymás után írással nem redukált szót, azaz nem csoportbeli elemet
kaptunk. Viszont ha a m¶veletet még kiegészítjük azzal, hogy az egymás
után írást követ®en redukáljuk is a kapott szót, akkor már csoportbeli ele-
met fogunk kapni.
Az ily módon el®állított redukált szavakból álló halmaz, ellátva a kib®vített
m¶velettel és az egységelemmel már csoportot, úgynevezett szabad csoportot
alkot.
3.3.1. Megjegyzés. A fenti 3.3.1. Tétel ismeretében látható, hogy a példá-
ban szerepl® X halmaz generálja a kapott szabad csoportot. Vagyis a megal-
kotott szabad csoport nem más, mint 〈X〉.
Belátható a következ® állítás:
3.3.2. Állítás. G kétgenerátoros szabad csoport, ha minden eleme pontosan
egyféleképpen áll el® az X ⊆ G halmaz elemeib®l és azok inverzéb®l (az egység-
gel való b®vítéseket leszámítva). Azaz ∀g ∈ G-hez ∃! a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ Zkitev®k, hogy x, y = X esetén: g = xa1yb1xa2yb2 ...xanybn, ahol ∀ai, bj 6= 0
(kivéve a1, bn).
Az itt szerepl® x, y elemeket szabad generátoroknak nevezzük.
3.3.2. Megjegyzés. A továbbiakban csak azokkal az esetekkel fogunk fog-
lalkozni, ahol az X halmaz két elemb®l áll, azaz ahol két elem generálja a
csoportot. Ezt a csoportot F2-vel jelöljük.
9
4. Haussdor�-paradoxon
Ebben a fejezetben felhasználva az eddig megismert csoportelméleti fogal-
makat, további tételek és következtetések segítségével juthatunk el a Haussdor�-
paradoxonig. Ehhez a térbeli forgatások mátrixokkal való leírását is részle-
tezzük, mivel a paradoxon a térbeli, origón áthaladó egyenesek körüli forga-
tások (SO3) csoportjával kapcsolatos.
4.1. Paradoxitás és szabad csoportok
A következ® állítás tárgyalása el®tt vizsgáljuk meg a csoporthatás egy
speciális esetét. Válasszuk a 3.2.1. De�nícióban szerepl® H halmazt ma-
gának a G csoportnak. Azaz ekkor G csoport hasson önmagán úgy, hogy a
G-beli (c) tárgyelemet jobbról megszorozzuk egy G-beli (a) elemmel. Vagyis
∀c ∈ G elemnek az a ∈ G elemnél vett képére ca := c · a teljesül.
4.1.1. Megjegyzés. Az így de�niált hatást természetes hatásnak nevez-
zük.
Ennek a hatásnak a segítségével megmutatjuk, hogy az F2 csoport F2-
paradox.
4.1.1. Állítás. Az F2 szabad csoport önmagán való természetes hatása pa-
radox.
Bizonyítás. Jelöljék az F2 szabad csoport két generátorát x és y. Ekkor
az F2 minden eleme egyértelm¶en el®áll x és y elemekb®l és inverzeikb®l,
azaz az x, x−1, y, y−1 bet¶k redukált szorzataként. Ha az s ezen négy bet¶
valamelyike, akkor jelentse aW (s) halmaz az F2 csoport azon elemeit, azokat
a redukált szorzatokat, amelyek s-sel végz®dnek. Például:
y−1xyyx−1y ∈W (y) vagy x−1yxxy−1y−1x−1 ∈W (x−1).
Ekkor az F2 csoport el®áll a következ® alakban:
F2 = 1 ∪W (x) ∪W (x−1) ∪W (y) ∪W (y−1),
10
ahol 1 az üres szó, a további halmazok pedig az adott bet¶re végz®d® redukált
szavakat tartalmazzák. Ezek egymástól páronként diszjunkt részhalmazok,
hiszen a négy különböz® végz®dés szerint válogattuk szét a szavakat. Továb-
bá megmutatható, hogy
F2 = W (x) ∪W (x−1)x es F2 = W (y) ∪W (y−1)y. (1)
Ennek igazolásához elég belátni a két felbontás közül az egyiket, a másik
elem szerinti felosztást ennek mintájára el lehet végezni. A bizonyításhoz te-
kintsük az F2 = W (y) ∪W (y−1)y el®állítást. Vagyis ha megmutatjuk, hogy
a W (y−1)y halmaz tartalmazza az összes nem y-ra végz®d® redukált szót,
akkor beláttuk az egyenl®séget.
Ehhez el®ször vegyük a h ∈ F2 \W (y) elemeket. Ezekre biztosan igaz, hogy
nem y-ra végz®dnek, hanem a y−1, x, x−1 bet¶k valamelyikére. Szorozzuk
meg ezeket a h szavakat az F2 csoport y−1 elemével jobbról. A kapott szava-
kat nem tudjuk egyszer¶síteni, mivel az így létrejött három lehetséges végz®-
dés: ......y−1︸ ︷︷ ︸h
y−1 vagy ......x︸ ︷︷ ︸h
y−1 vagy ......x−1︸ ︷︷ ︸h
y−1. Emiatt hy−1 ∈ W (y−1).
Ha ezekre az y ∈ F2 elem hat jobbról, akkor h = (hy−1)y ∈W (y−1)y teljesül,
vagyis a nem y-ra végz®d® h szavak benne vannak a W (y−1)y részhalmaz-
ban.
Tudjuk tehát, hogy W (y) és W (y−1)y halmazok együttesen tartalmazzák
az összes lehetséges redukált szót, továbbá a két halmaz diszjunkt, ennek
alapján: F2 = W (y) ∪ W (y−1)y teljesül. Hasonlóan belátható az F2 =
W (x) ∪W (x−1)x egyenl®ség is.
A paradoxitás könnyen ellen®rizhet® felidézve a 3.2.3. De�níciót és kéttagú
unióra felírva:
H = Xa11 ∪X
a22 = Y b1
1 ∪ Yb22
Ha vesszük a H = F2, valamint a1 = 1, X1 = W (x), a2 = x,X2 = W (x−1)
és b1 = 1, Y1 = W (y), b2 = y, Y2 = W (y−1) helyettesítéseket, akkor éppen
(1)-et kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy az F2 halmaz F2-paradox. �
11
4.1.2. Megjegyzés. Ha egy G csoport önmagán való természetes hatása
paradox, akkor röviden azt mondjuk, hogy a G csoport paradox.
A következ® jelent®s lépés az, amikor egy G csoport �xpont nélkül hat
egy H halmazon (∀h ∈ H-ra hg = h ⇐⇒ g = e ∈ G), azaz ∀h ∈ H esetén
Gh = {e}.
4.1.1. Tétel. Ha a G paradox csoport hat a H halmazon, továbbá ∀h ∈ HGh = {e}, akkor a H halmaz G-paradox.
Bizonyítás. Mivel G paradox, így önmagán hatva el®áll a következ® alakban:
G = ∪Xaii = ∪Y bj
j , ahol ai, bj ∈ G és Xi, Yj ⊆ G ∀i = 1...n és ∀j = 1...m-re.
Használjuk fel a 3.2.2. De�níciót, ami alapján egy h ∈ H pont pályája
OrbG(h) = {hg | g ∈ G}. Mint jól tudjuk ezek a pályák páronként diszjunk-
tak vagy megegyeznek.
Vegyük az összes h ∈ H elemhez tartozó OrbG(h) halmazokból álló páron-
ként diszjunkt halmazrendszert. A kiválasztási axióma miatt ∃M halmaz,
aminek az összes orbittal pontosan egy közös eleme van. Hasson erre az
M halmazra G minden eleme jobbról. Az így kapott halmazok uniójára⋃Mgi = H teljesül.
Mivel ∀h ∈ H Gh = {e}, azaz G �xpont nélkül hat H-n, ezért ∀a, b ∈ G-reazt kapjuk, hogyMa∩M b = ∅. Ugyanis tegyük fel indirekt, hogy ∃m1,m2 ∈M , amikre ma
1 = mb2. Hasson ezekre jobbról b−1, ekkor mab−1
1 = m2, az-
az ugyanabban az orbitban vannak. Tehát igaz az, hogy m2 = mc1, ahol
c ∈ G. Ezt behelyettesítve a feltételbe, miszerint ma1 = mb
2, a következ®
adódik ma1 = (mc
1)b = mcb
1 , ekkor ha a−1 hat jobbról, akkor m1 = mbca−1
1
azaz lenne olyan e 6= g = bca−1 ∈ G, ami m1-et helyben hagyná, ez pedig
ellentmond azzal, hogy G �xpont nélkül hat.
Ha ezt beláttuk, akkor vegyük X∗i =⋃{Mg|g ∈ Xi} és Y ∗j =
⋃{Mg|g ∈
Yj}. Ekkor mivel H paradox felbontásában ∀i, j : Xi ∩ Yj = ∅, emiatt
X∗i ∩ Y ∗j = ∅. Továbbá X∗i ∪ Y ∗j =⋃{Mg|g ∈ G} = H .
12
Mivel G = ∪Xaii = ∪Y bj
j és G hat a H = X∗i ∪ Y ∗j halmazon, ezért H
el®áll:
H =⋃
(X∗i )ai és H =⋃
(Y ∗j )bj
alakban, ami azt jelenti, hogy a H halmaz G-paradox. �
4.1.1. Következmény. Ha az F2 kétgenerátoros szabad csoport �xpont nél-
kül hat a H halmazon, akkor a H halmaz F2-paradox.
4.1.2. Következmény. Legyen G csoport és R ⊆ G részcsoport. Ekkor ha
R paradox, akkor G is paradox.
Bizonyítás. Vegyünk egy G csoportot, továbbá legyen R ⊆ G olyan csoport,
melynek önmagán való természetes hatása paradox. Hasson R a G halmazon
a következ®képpen: ∀g ∈ G-re és ∀r ∈ R-re gr := g · r. Tegyük fel, hogy
∃r ∈ R ami egy g ∈ G elemre úgy hat, hogy gr = g. Ekkor ha mindkét oldalt
megszorozzuk balról g−1 elemmel, akkor g−1gr = g−1g adódik. Azaz r = e,
ami azt jelenti, hogy R �xpontmentesen hat G-n. Ekkor alkalmazhatjuk a
4.1.1. Tételt a következ® helyettesítéssel: a tételben szerepl® X halmaznak
válasszuk magát a G csoportot, és hasson ezen az R paradox csoport �xpont
nélkül. Ebb®l megkapjuk, hogy a G csoport R-paradox.
A paradox csoporthatás de�níciójából (3.2.3. De�níció) következik, hogy
G paradox módon el®áll, mivel léteznek olyan G-beli elemek, amelyekkel a
paradox felbontás létrehozható. Ezek éppen a fenti R ⊆ G elemei, amikr®l
tudjuk, hogy �xpont nélkül hatnak G-n, vagyis azt kaptuk hogy a G csoport
G-paradox is. �
4.1.3. Következmény. Legyen G csoport és F2 ⊆ G. Ekkor G paradox.
13
4.2. Független forgatások
4.2.1. Tétel. SO3-ban ∃X,Y forgatások, amelyek egy kétgenerátoros szabad
csoportnak a szabad generátorrendszerét alkotják.
Bizonyítás. Vegyük az x és y tengely körüli arccos 13 szöggel történ® forga-
tásokat. Jelölje ezeket X és Y . Lineáris algebrában tanultak alapján X-nek
és Y -nak megfeleltethet® egy-egy 3x3-as mátrix, amik a következ® alakúak:
X±1 =
1 0 0
0 13 ∓2
√2
3
0 ±2√2
313
és Y ±1 =
13 0 ∓2
√2
3
0 1 0
±2√2
3 0 13
ahol X−1 és Y −1 a megfelel® tengely körüli negatív szög¶ forgatások.
Azt kell bizonyítanunk, hogy X,Y szabad generátorai az általuk generált
részcsoportnak SO3-ban. Ez ekvivalens azzal, hogy nincs olyan x±1, y±1
bet¶kb®l képzett w redukált szó, amikbe értelemszer¶en X,Y -t he-
lyettesítve (triviális esett®l eltekintve) az egységmátrixot kapnánk.
Ennek igazolásához:
• Tegyük fel indirekt, hogy létezik ilyen w szó. Jelölje a behelyettesítéssel
kapott transzformációt W .
• Feltehet®, hogy a szavunk y±1-re végz®dik (ellenkez® esetben w-t he-
lyettesítsük y∓1wy±1-gyel).
• Azt állítjuk, hogy (1 0 0)W éppen (a b√
2c)/3k alakú, ahol a,
b, c ∈ Z és 3 - c, valamint k ≥ 1 a w szó hossza.
• Ez azt jelenti, hogy (a b√
2c)/3k = (1 0 0)W 6= (1 0 0), mi-
vel ekkor c√
2 = 0 ⇐⇒ c = 0 adódna, ami ellentmond azzal, hogy
3 - c, így W nem lehet identitás.
A harmadik •-ban szerepl® állítást a w szó hossza szerinti teljes indukcióval
bizonyítjuk.
14
1. Legyen k = 1, azaz w = y±1(1 0 0
)Y ±1 =
(1 0 0
)13 0 ∓2
√2
3
0 1 0
±2√2
3 0 13
=(
13 0 ∓2
√2
3
)=
= 13
(1 0 ∓2
√2)
k = 1-re láthatóan teljesülnek a feltételek.
2. Tegyük fel, hogy minden legfeljebb k − 1 hosszú v szóra teljesül az
állítás, miszerint (1 0 0)V = 13k−1 (a′ b′
√2c′), ahol a′, b′, c′ meg-
felel® tulajdonságúak.
3. Ezek ismeretében kell belátnunk, hogy k hosszú w szóra is teljesül.
Ehhez vizsgáljuk meg, hogyan áll el® v-b®l w: w = v · x±1 vagy w =
v · y±1, azaz ezen négy lehetséges el®állításnál kell végeredményként a
megfelel® egészeket kapnunk.
(∗)(
1 0 0)V ·X±1 = 1
3k−1
(a′ b′
√2c′
)1 0 0
0 13 ∓2
√2
3
0 ±2√2
313
=
= 13k−1
(a′ (13b
′ ±√2c′·2
√2
3 ) (∓2√2
3 b′ + 13
√2c′)
)=
= 13k−1
(a′ 1
3(b′ ± 4c′) 13
√2(∓2b′ + c′)
)=
= 13k
(3a′ b′ ± 4c′
√2(c′ ∓ 2b′)
)
(∗∗)(
1 0 0)V ·Y ±1 = 1
3k−1
(a′ b′
√2c′
)13 0 ∓2
√2
3
0 1 0
±2√2
3 0 13
=
= 13k−1
((13a′ ± 2
√2√2c′
3 ) b′ (∓2√2
3 a′ + 13
√2c′)
)=
= 13k
(a′ ± 4c′ 3b′
√2(c′ ∓ 2a′)
)Látható, hogy minden esetben a megfelel® egészeket kaptunk, azonban még
igazolnunk kell, hogy 3 - c. A fenti 3. pont alapján a következ®ket kapjuk:
3 - c ⇐⇒ 3 - c′ ∓ 2b′ (∗) illetve 3 - c ⇐⇒ 3 - c′ ∓ 2a′ (∗∗)
15
Ehhez nézzük meg, hogy a k − 1 hosszú v szavak koordinátái hogyan állnak
el® k − 2 hosszú u szavakból, amik az indukciós feltétel miatt a következ®
alakúak:
(1 0 0)U = (a′′ b′′ c′′√
2)/3k−2
A v szavak kétféleképpen állíthatók el®: v = u·x±1 vagy v = u·y±1. Ezekbenaz esetekben az egyes koordináták kiszámítása ugyanazon az elven történik,
mint a korábbi 3. pontban. Ennek alapján:(1 0 0
)U ·X±1 = 1
3k−2
(a′′ b′′
√2c′′
)1 0 0
0 13 ∓2
√2
3
0 ±2√2
313
=
= 13k−1
(3a′′ b′′ ± 4c′′
√2(c′′ ∓ 2b′′)
)(∗) eset: c = c′ ∓ 2b′ = c′ ∓ 2(b′′ ± 4c′′) = c′ ∓ 2b′′ − 8c′′ = c′ + (∓2b′′ +
c′′)−9c′′ = c′+ c′−9c′′ = 2c′−9c′′. Ekkor az indukciós feltevés szerint
3 - c′ és 3 - c′′ =⇒ 3 - 2c′ és 3 | 9c′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · x±1 · x±1.
(∗∗) eset: c = c′ ∓ 2a′ = c′ ∓ 2(3a′′) = c′ ∓ 6a′′. Ekkor az indukciós feltevés
szerint 3 - c′, továbbá 3 | 6a′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · x±1 · y±1.
Hasonlóan(
1 0 0)U · Y ±1 = 1
3k−1
(a′′ ± 4c′′ 3b′′
√2(c′′ ∓ 2a′′)
)(∗) eset: c = c′ ∓ 2b′ = c′ ∓ 2(3b′′) = c′ ∓ 6b′′. Ekkor az indukciós feltevés
szerint 3 - c′, továbbá 3 | 6b′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · y±1 · x±1.
(∗∗) eset: c = c′ ∓ 2a′ = c′ ∓ 2(a′′ ± 4c′′) = c′ ∓ 2a′′ − 8c′′ = c′ + (∓2a′′ +
c′′)−9c′′ = c′+ c′−9c′′ = 2c′−9c′′. Ekkor az indukciós feltevés szerint
3 - c′ és 3 - c′′ =⇒ 3 - 2c′ és 3 | 9c′′ =⇒ 3 - c amikor w = u · y±1 · y±1.
A bizonyítás során felhasznált állítást igazoltuk, ezáltal a tétel bizonyításával
is végeztünk. �
16
A 4.2.1. Tételben el®állított X, Y forgatások szabad csoportja legyen
F2. Ennek elemei egyes R3-beli pályákon minden pontot helyben hagynak,
így a 4.1.1. Tétel még nem alkalmazható.
Azonban ha vesszük az S2 egységgömbhéját, akkor a rajta ható F2 cso-
portban minden, az identitástól eltér® forgatásnak két �xpontja lesz S2-vel.
Nevezetesen a forgatás tengelyének a gömbhéjjal való metszéspontjai. Le-
gyen az összes ilyen pontot tartalmazó halmaz D. Ekkor mivel F2 megszám-
lálható, így a D halmaz is megszámlálható. Ha vesszük az S2 \ D pontok
halmazát, (melyekre F2 csoport hat,) akkor ebben az esetben F2 már �xpont
nélkül hat.
Ebben vegyük a P ∈ S2 \D pontot, amire X ∈ F2 hat. Ekkor PX ∈ S2 \D,
mivel ha ∃Y ∈ F2, amire (PX)Y = PX , akkor ha jobbról X−1 hat:
((PX)Y )X−1
= PXYX−1= PXX−1
= P
Így P �xpont lesz XYX−1-nél, azaz P ∈ D, ami ellentmond annak, hogy
P ∈ S2 \D. Továbbá mivel F2 paradox csoport, így a 4.1.1. Tétel alapján
az S2\D halmaz F2-paradox. Ennek egy b®vített változatát fogalmazza meg
a Haussdor�-paradoxon.
4.3. Haussdor�-paradoxon
4.3.1. Tétel (Haussdor�-paradoxon). ∃D ≤ S2megszámlálható részhalmaz,
melyre az S2 \D halmaz SO3-paradox.
Bizonyítás. A tétel igazolásához az eddig leírtak mellett két, korábbi állítást/
tételt kell csak felhasználnunk. Azt tudjuk, hogy S2\D F2-paradox. A 4.1.1.
Tétel miatt F2 ⊂ SO3, emellett a 4.1.3. Következmény miatt, mivel F2
paradox, így SO3 is paradox ⇒ S2 \D SO3-paradox. �
17
5. Banach-Tarski paradoxon
5.1. Átdarabolhatóság geometriai értelemben
5.1.1. De�níció. Két sokszög geometriai értelemben véve átdarabolható, ha
az egyikük szétbontható véges sok sokszög darabra, majd ezeket távolságtartó
leképezések felhasználásával átrendezve a másik sokszöget kapjuk.
5.1.1. Megjegyzés. A geometriai értelemben vett átdarabolhatóságon azt
értjük, mikor a sokszög szétbontásának során keletkezett sokszög darabok ha-
tárpontjai közösek.
Az e�éle átdarabolhatóság tranzitív m¶velet, mivel ha A átdarabolható
B-be és B átdarabolható C-be, akkor A átdarabolható C-be.
A sokszögek átdarabolhatóságával kapcsolatos tétel Bolyai Farkas nevéhez
f¶z®dik.
5.1.1. Tétel (Bolyai - Gerwien). Két sokszög geometriai értelemben véve
átdarabolható egymásba ⇐⇒ a sokszögek azonos terület¶ek.
Bizonyítás. A tétel =⇒ iránya könnyen látható, ugyanis - ahogy az a
de�nícióban szerepel - az átrendezés során csak távolságtartó leképezéseket
használunk fel, melyeknek pontosan az a lényege, hogy az alakzat pontjai
közti távolságot nem változtatja meg, ezáltal az adott sokszög darab terüle-
tét sem.
A⇐= iránynál a tranzitivitás miatt elegend® azt megmutatni, hogy bármely
sokszög átdarabolható egy vele megegyez® terület¶ négyzetbe. Ennek igazo-
lásához az alábbi ábra nyújt segítséget.
Az (a) rész azt mutatja, hogy bármely háromszög átdarabolható egy tég-
lalapba. (Tompaszög¶ háromszög esetén a tompaszögb®l húzott magasság
felez®pontján keresztül men®, a szöggel szemközti oldallal párhuzamos egye-
nes esetén megoldható.)
A (b) ábra szemlélteti azt, hogy minden olyan téglalap, melynek hosszabb
18
oldala legfeljebb négyszerese a rövidebb oldalnak, az megfelel®en szétbontva
négyzetté alakítható.
Abban az esetben, amikor nem teljesül a b ≤ 4a feltétel, a (c) ábrán látható
módon a téglalapot félbe vágva és a hosszabb oldalak mentén összeillesztve
kedvez®bb oldalarányú téglalapot kapunk. Ezzel az eljárással kialakítható a
kívánt alakzat.
Az utolsó ábrán a Pitagorasz-tétel igazolása látható. Eszerint két négyzet
megfelel® darabokra bontásával ezek a darabok átrendezhet®k egy, a kiindu-
lási négyzetek területösszegével azonos terület¶ négyzetté. (c2 = a2 + b2)
Ezek ismeretében a bizonyítás lépései a következ®k:
1. Az adott sokszöget háromszögekre bontjuk ⇒ n csúcs esetén n − 2
darab háromszögre
2. Minden háromszögb®l kialakítható a vele megegyez® terület¶ téglalap.
((a)ábra)
3. Tetsz®leges téglalapot szét tudunk úgy bontani, hogy a darabjaiból egy
négyzetet kapjunk. ((b)-(c) ábrák)
4. A sikeresen négyzetté rendezett darabokat egyetlen nagy négyzetté ala-
kítjuk. ((d) ábra)
19
Ennek alapján az eredeti sokszög átdarabolható a kapott négyzetbe (és
visszafelé hasonlóan). �
5.1.2. Megjegyzés. A tétel térbeli megfelel®je, azaz az átdarabolhatóság
sokszögek helyett poliéderekre kimondva nem teljesül.
5.2. Halmazok átdarabolhatósága
Térjünk vissza a dolgozat elején tárgyalt fogalmakhoz, melyek az átda-
rabolhatóság halmazelméleti megfelel®jének bevezetésével általánosabb kon-
textusba helyezhet®k.
5.2.1. De�níció. Legyen G csoporthatás a H halmazon, és X,Y ⊆ H. Ekkor
X és Y G-átdarabolhatók, ha:
X =⋃Xi és Y =
⋃Yi ∀i = 1, ..., n
Xi ∩ Xj = ∅ = Yi ∩ Yj ha i < j ≤ n és ∃g1, ..., gn ∈ G, melyekre ∀i ≤ n
esetén Xgii = Yi.
5.2.1. Megjegyzés. Ezt követ®en az A ∼G B jelölés fogja azt jelenteni,
hogy az A halmaz átdarabolható G révén a B halmazba.
Ezen új fogalom felhasználásával a paradox csoporthatás de�níciója (3.2.3.
De�níció) a következ®képpen írható fel:
5.2.1. Állítás. Hasson a G csoport az L halmazon. Ekkor a H ⊆ L halmaz
G-paradox ⇐⇒ ∃X,Y ⊆ H, ahol X∩Y = ∅, melyekre X ∼G H és Y ∼G H
teljesül.
5.2.1. Tétel. Hasson a G csoport az L halmazon, továbbá legyenek H,H ′ ⊆L, melyekre H ∼G H ′. Ekkor ha a H halmaz G-paradox, akkor H' is.
5.2.2. Tétel. Ha a D ⊆ S2 megszámlálható részhalmaz ⇒ S2 és S2 \ DSO3-átdarabolható.
Jelöléssel: S2 ∼SO3 S2 \D
20
Bizonyítás. A tétel igazolása az alábbi két részb®l áll:
1. Keressünk olyan f ∈ SO3 forgatást a gömbfelületen, melyre aD,Df , Df2, ...
halmazok páronként diszjunktak. Ha ez létrehozható, akkor innent®l
S2 = D⋃
(S2 \ D) ∼SO3 (D)f⋃
(S2 \ D) = S2 \ D teljesül, ahol
D =⋃{Dfn |n = 0, 1, ...}
2. f megadása
Legyen l egy origón áthaladó egyenes, ami nem tartalmazza a meg-
számlálható D halmazt.
Legyen A az olyan θ szögek halmaza, melyekhez ∃n > 0 és ∃P ∈ D,
hogy (P )f ∈ D, ahol f az l egyenes körüli forgatás nθ radiánnal.
Mivel A megszámlálható, így választhatunk egy ϑ /∈ A szöget, emellett
legyen f továbbra is a megfelel® forgatás l körül. Ekkor (D)fn ⋂
D =
∅, ha n > 0 (azaz az elforgatott pont D-n kívülre fog esni), amib®l az
következik, hogy ∀0 ≤ m < n-re (D)fm ⋂
(D)fn
= ∅, ami pontosan a
keresett feltétel.
�
5.3. Banach - Tarski paradoxon
Ezen fejezet végére sikerült az összes olyan de�níciót, tételt összegy¶jteni,
melyek segítségével a dolgozat csúcspontját jelent® Banach-Tarski paradoxon
megérthet® és igazolható. A tétel egyszer¶bb kimondásához és igazolásához
a térbeli egybevágóságok csoportját ezt követ®en G3-mal fogjuk jelölni.
Nem maradt más hátra, ismerkedjünk meg a paradoxonnal.
5.3.1. Tétel. S2 gömbhéj SO3-paradox, csakúgy mint bármely origó közép-
pontú gömbhéj.
Továbbá bármely R3-beli tömör gömb G3-paradox és R3 is G3-paradox.
21
Bizonyítás. A 4.3.1. Tétel (Haussdor�-paradoxon) állítása szerint az S2\Dhalmaz SO3-paradox, ha ∃D ≤ S2 megszámlálható részhalmaz, ami a térbeli
forgatások �xpontjait tartalmazza.
Ha ehhez hozzávesszük az 5.2.2. Tétel állítását, miszerint S2 és S2 \ Degymásba SO3-átdarabolhatók (S2 ∼SO3 S
2 \ D), akkor az 5.2.1. Tétel
miatt azt kapjuk, hogy S2 SO3-paradox.
Az eddigi eredmények egyike sem függött a gömbhéj méretét®l, ezért tetsz®-
leges sugarú gömbhéjra belátható a paradox felbontás.
Az tétel második részét elég az O origó középpontú B-vel jelölt gömbök-
re belátni, mivel G3-ban benne van az összes térbeli eltolás is. Tekinthetjük
továbbá az egységgömböt, mivel a bizonyítás alkalmazható lesz tetsz®leges
méret¶ gömbre. Mivel SO3 ⊂ G3, így a tétel els® feléb®l következik, hogy
S2 is G3-paradox.
Vegyük azt a bijekciót, ami ∀P ∈ S2 ponthoz hozzárendeli a P -hez tartozó
sugarat: P −→ {αP : 0 < α ≤ 1}, a hozzárendelésb®l kihagyjuk a gömb
középpontját. Így azt kaptuk, hogy B \ {0} G3-paradox. Ekkor ha belát-
juk, hogy B ∼G3 (B \ {0}), akkor az 5.2.1. Tétel alapján a B halmaz
G3-paradox, amivel megkaptuk a tételünket.
Tekintsük a P = (0, 0, 1/2) ponton áthaladó olyan egyenest, ami nem tar-
talmazza O-t. Legyen ϕ ezen egyenes körüli, irracionális szög¶ forgatás. Ha
vesszük D = {(O)ϕn |n ≥ 0}, akkor (D)ϕ = D \ {O}.
Így mivel ϕ ∈ G3, ezért teljesül B ∼G3 (B \ {0}).Ha a sugár szerinti megfeleltetésnél S2 pontjainál az összes R3 \ {O} pontotvesszük, akkor R3 \ {0} ∼G3 R3 teljesül. �
Ennek alapján egy térbeli tömör gömböt feldarabolva, majd a darabokat
eltolva, elforgatva (azaz távolságtartó transzformációkat felhasználva) két
gömböt kaptunk végeredményül.
22
6. További érdekesség
6.1. Laczkovich M. - Kör négyszögesítése
A Bolyai Farkas által bizonyított 5.1.1. Tételnek egy er®sebb meg-
fogalmazása az Alfred Tarski által felvetett probléma, aminek bizonyítása
Laczkovich Miklós nevéhez f¶z®dik. Ebben az esetben a feldarabolás során
nem engedünk meg közös határpontokat, vagyis minden pontot csak egyszer
veszünk.
Azt kellett igazolni, hogy felbontható-e a négyzet A1, A2, ..., An és a kör
B1, B2, ..., Bn diszjunkt halmazokra úgy, hogy ∀i = 1, ..., n-re Ai egybevágó
legyen Bi-vel. A sík minden részhalmazához hozzárendelhetünk egy számot
(mérték), amit területnek nevezünk. Ez a terület végesen additív, vagyis két
közös pont nélküli halmaz területe a két halmaz területének összege. Emel-
lett egybevágóság-invariáns, azaz két egybevágó alakzat területe egyenl®. Így
az állítás az alábbi formában is megfogalmazható: két síkbeli alakzat egy-
másba átdarabolható =⇒ területük megegyezik.
A síkbeli mértékre vonatkozó állítások térben (térfogat esetén) már nem tel-
jesülnek. Ennek az az oka, hogy amíg a G2 csoport (sík transzformációinak
csoportja) nem tartalmaz szabad csoportot, addig a térben éppen a G3-ban
lév® szabad csoport létezése biztosította a paradox el®állítást. Emiatt a
Banach - Tarski paradoxonnak ugyan nincs R2-beli megfelel®je, azaz nem
lehet megkett®zni egy körlapot, de egy további érdekesség, hogy Laczkovich
bizonyítása során az egybevágóságok közül csak eltolásokat használ.
23
Hivatkozások
[1] Stan Wagon - The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press,
1985
[2] Kiss Emil - Bevezetés az algebrába, Typotex 2007
[3] www.wikipedia.hu
[4] www.brody-bp.sulinet.hu/pub/Tananyag/Matematika/Geom/cikk4.htm
[5] www.math.u-szeged.hu/ hajnal/courses/UnivHalmazelmelet/halmaz99/axiomak.htm
24