parallelismo e perpendicolarità nel piano due rette r e s si dicono perpendicolari se,...
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Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Due rette r e s si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli fra loro congruenti; ciascuno di questi angoli è un angolo retto.
Rette perpendicolari
1
Teorema. La perpendicolare condotta per un punto a una retta data esiste sempre ed è unica.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Il concetto di perpendicolarità permette di introdurre le seguenti definizioni:
Rette perpendicolari
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Distanza di un punto P da una retta r : segmento di perpendicolare condotto da P su r.
Il segmento PH è il segmento di minima lunghezza che congiunge P con r.
Consideriamo un segmento PQ e siano P’ e Q’ le proiezioni ortogonali di P e Q su r; il segmento P’Q’ si dice proiezione ortogonale di PQ su r.
H: piede, ossia proiezione ortogonale di P su r.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Asse di un segmento AB: retta a ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio.
Perpendicolarità
3
Ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento stesso.
× ×K
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Dato un triangolo, di dice altezza relativa ad un lato il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto su quel lato.
Perpendicolarità
4
Triangolo rettangolo
Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza.
Triangolo acutangolo Triangolo ottusangolo
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Due rette si dicono parallele se non si intersecano oppure se sono coincidenti.
Rette parallele
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Teorema. Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun punto in comune.
L’esistenza di tali rette è garantita dal teorema:
La relazione di parallelismo è:
Riflessiva: ogni retta è parallela a se stessa perché questo equivale a considerare due rette coincidenti
Simmetrica: se r ⁄⁄ s anche s ⁄⁄ r
Transitiva: se r ⁄⁄ s e s ⁄⁄ t anche r ⁄⁄ t.
r
s
t
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Direzione è la caratteristica comune a tutte le rette che sono tra loro parallele.
Rette parallele
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L’insieme di tutte le rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o fascio di rette improprio.
Quinto postulato di Euclide
A13. Dati una retta r ed un punto P, la parallela ad r per P è unica.
r
P
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Angoli formati da due rette tagliate da una trasversale t :
Rette parallele
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Alterni interni: γ e α’ o δ e β’
Alterni esterni: α e γ’ o β e δ’
Corrispondenti: α e α’ o β e β’ o γ e γ’ o δ e δ’
Coniugati interni: γ e β’ o δ e α’
Coniugati esterni: β e γ’ o α e δ’
Parallelismo e perpendicolarità nel piano Rette parallele
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Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano:
angoli coniugati supplementari.
angoli alterni congruenti;
angoli corrispondenti congruenti;
Angoli corrispondenti congruenti Angoli coniugati supplementariAngoli alterni congruenti
Parallelismo e perpendicolarità nel piano Triangoli
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Teorema. In ogni triangolo ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti.
SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO
Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto.
ABC + BAC + ACB = π
ACD ≅ ABC + BAC
Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni
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Da questa proprietà discende che:
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente a n – 2 angoli piatti.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni
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Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre congruente a due angoli piatti.
Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza PQ di un punto qualunque di una di esse dall’altra.
r
s
P
Q
Parallelismo e perpendicolarità nel piano Poligoni
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CRITERI DI CONGRUENZA PER I TRIANGOLI RETTANGOLI
Teorema. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
l’ipotenusa e un cateto.
i due cateti, oppure
un cateto e un angolo acuto, oppure
l’ipotenusa e un angolo acuto, oppure
Cateti congruenti
Cateto e angolo acuto congruenti Ipotenusa e cateto congruenti
Ipotenusa e angolo acuto congruenti