parametarske krive hermit
DESCRIPTION
Parametarske kriveTRANSCRIPT
-
Raunarskagrafikapredavanjadoc.dr. Samir [email protected]
-
25. Parametarske krivePredstavljanje krivuljaParametarske kriveParametarske kubne krivuljeHermitovi kubni splajnoviHermitove funkcije mijeanja
-
Predstavljanje krivuljaSloeni geometrijski oblici u vektorskoj grafici se ne mogu uvijek opisati ravnim i krunim (lunim) segmentima.
-
Predstavljanje krivuljaPomou niza taakaKrivulja je predstavljena priblino, kao izlomljena linija nije pogodno za glatke linijeTeko za manipulaciju jer se sve take moraju premjetati pojedinanoUmjesto toga, krivulja se modelira kao polinomx = x(t), y = y(t), z = z(t) gdje su x(), y(), z() polinomi, a t je parametar
-
PolinomiLinearni:
Kvadratni:
Kubni:
-
Predstavljanje krivuljaKontrolne takeSet taaka koje imaju utjecaj na oblik krivuljevoroviKontrolne take koje lee na krivojSplajnovi za interpolacijuKrivulje koje prolaze kroz kontrolne take (vorove)Aproksimativni splajnoviSamo kontrolne take utjeu na oblik
-
Parametarske kriveFleksibilno predstavljanje krivuljeNe moraju biti funkcijeMogu imati vie vrijednosti u odnosu na bilo koju dimenziju
-
Kubni polinomix(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dxy(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dyz(t) = azt3 + bzt2 + czt + dzNeka je t: (0 t 1)Ako se uvede oznaka T = [t3 t2 t 1]Matrica koeficijenata CKrivulja: Q(t) = TC
-
Parametarske kriveKako odrediti tangentu na krivulju?Ako je f(x) =tangenta za (x=3) jeIzvod od Q(t) je vektor tangente u t:
-
IzvodiOdreivanje izvoda (tangenti) krivulje:
-
Segmenti krivuljeKrivulje se konstruiu povezivanjem krajeva vie manjih segmenataMoraju postojati pravila o tome kako se vri povezivanje
Kontinuitet opisuje vezuParametarski kontinuitetGeometrijski kontinuitet
-
Parametarski kontinuitetParametarski kontinuitet je koncept koji opisuje promjenu vrijednosti parametra du krivuljeMoe se uporediti s krivuljom koja opisuje kretanje objekta, i u tom sluaju vrijeme predstavlja parametar "t" Promjena se opisuje izvodimaKontinuitet predstavlja pokazatelj zakrivljenosti krivulje na prelazu segmenata
-
Parametarski kontinuitetC1: krivulje imaju prekide (diskontinuitete)C0: krivulje su spojene (imaju zajedniku taku)C1: prvi izvodi krivulja su jednakiC2: prvi i drugi izvodi krivulja su jednakiCn: izvodi od prvog do n-tog su jednaki
-
Geometrjski kontinuitetGeometrijski kontinuitet:G0 kontinuitet predstavlja neprekidnost krivulje u taki dodira segmenataG1 kontinuitet podrazumijeva zajedniki pravac vektora tangente u taki dodira segmenata.G2 kontinuitet podrazumijeva da segmenti imaju zajedniki centar zakrivljenosti u taki dodiraSmjer (ne obavezno i intenzitet) tangenti se poklapa, odnosno vrijednosti tangenti na krajevima dva segmenta su proporcionalne
-
Parametarske kubne krivuljeDa bi se osigurao C2 kontinuitet, krivulje moraju biti najmanje treeg redaData je parametarska definicija kubnog splajna (3. reda) u dvije dimenzijeKako je proiriti na tri dimenzije?
-
Parametarske kubne krivuljeMoe se predstaviti i u matrinom obliku
-
KoeficijentiKako izabrati koeficijente?[ax bx cx dx] i [ay by cy dy] moraju zadovoljiti ogranienja koja nameu vorovi i uslovi kontinuiteta
-
Parametarske krivuljeKrivulju je teko konceptualizirati kao x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx (Crtai ne razmiljaju o koeficijentima ili kubnim jednainama) Umjesto toga, krivulja se definie kao kombinacija 4 precizno definisana kubna polinoma Svaki tip krivulje definie razliite kubne polinome
-
Parametarske krivuljeHermitove - dvije krajnje take i dva vektora tangenti u krajevimaBezier - dvije krajnje take i dvije druge take koje definiu vektore tangenti u krajevimaSplajnovi - etiri kontrolne take C1 i C2 kontinuitet u takama dodiraPribliavaju se svojim kontrolnim takama, ali ih ne moraju uvijek dodirnuti
-
Hermitovi kubni splajnoviPrimjer vorova i kontinuiteta
-
Hermitovi kubni splajnoviPo jedna kubna krivulja za svaku dimenzijuKrivulja u x/y ravni ima dvije krivulje:
-
Hermitovi kubni splajnovi2-D Hermitov kubni splajn je definisan sa 8 parametara: a, b, c, d, e, f, g, hKako se intuitivne krajnje take pretvaraju u ovih 8 (relativno) neintuitivnih parametara?Poznato je:(x, y) poloaj za t = 0, p1(x, y) poloaj za t = 1, p2(x, y) izvod za t = 0, dp/dt(x, y) izvod za t = 1, dp/dt
-
Hermitovi kubni splajnoviPoznat je:(x, y) poloaj za t = 0, p1
-
Hermitovi kubni splajnoviPoznat je:(x, y) poloaj za t = 1, p2
-
Hermitovi kubni splajnoviZa sad imamo 4 jednaine, ali 8 nepoznatihKoriste se izvodi:
-
Hermitovi kubni splajnoviPoznat je:(x, y) izvod za t = 0, dp/dt
-
Hermitovi kubni splajnoviPoznat je:(x, y) izvod za t = 1, dp/dt
-
Hermitova specifikacijaMatrina jednaina za Hermitovu krivuljut = 0t = 1t = 0t = 1t3 t2 t1 t0p1p2r p1r p2
-
Rjeavanje Hermitove matrice
-
Matrice splajna i geometrijeMHermiteGHermite
-
Rezultujua jednaina Hermitovog splajna
-
Primjeri Hermitovih krivulja
-
Funkcije mijeanja (Blending Functions)Mnoenjem prve dvije matrice u donjoj lijevoj jednaini, dobiju se 4 funkcije od 't' koje mijeaju 4 kontrolna parametraTo su funkcije mijeanja
-
Hermitove funkcije mijeanjaGrafika zavisnost funkcije mijeanja od parametra 't'
-
Hermitove funkcije mijeanjaSvaka funkcija mijeanja reflektuje utjecaj P1, P2, DP1, DP2 na oblik splajna
-
Hermitove funkcije mijeanjaFunkcije mijeanja se koriste za interpolaciju krivulja.Svaka interpolirana taka je linearna kombinacija ove 4 funkcije mijeanja.
*******************