Parámetros estadísticos

Definición de parámetro estadístico:

• Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística.

– Sirven para sintetizar la información dada por una tabla o por una gráfica.

De centralización.Tipos parámetros estadísticos: De posición

De dispersión.

Medidas de centralización:

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos.

La medidas de centralización son:

Media aritmética:La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana: La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior; es decir, divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda:La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de centralización:

Media aritmética:La media es el valor promedio de la

distribución.

Ejemplo:Dado los valores: 3, 10, 5, calcular la media.

La suma los números da: 3 + 10 + 5 = 18

Se divide por cuántos números hay (tenemos 3 números): 18 ÷ 3 = 6

Calcula la media para las siguientes series:

a) 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 R=22

b) 3, -7, 5, 13, -2 R=2,4

Media aritmética en sistemas discretos o para datos agrupados:

Para datos agrupados, la media aritmética se calcula como la suma de los eventos por su respectiva frecuencia; dividido por el número total de eventos.

Media aritmética en sistemas discretos

Se utiliza xi para denotar el número de eventos y fi la frecuencia de ocurrencia del evento.

Se aplica la fórmula:

Ejemplo: Dada la siguiente tabla:

3 2 1 2 3

Fi 12 6 9 3 10

Media aritmética en sistemas discretos

Cuando los datos agrupados se encuentran contenidos en rangos específicos, Xi pasa a tomar el valor de la marca de clase y fi la frecuencia de ocurrencia para ese rango.

Ejemplo de media aritmética para sistemas discretos con ocurrencias por rangos:

Medidas de centralización:

Mediana:

La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Cálculo de la mediana:

• Para encontrar la mediana coloca los números que te han dado en orden de valor y encuentra el número del medio.

Ejemplo: • Encontrar la Mediana de {12, 3 y 5}.

– Los datos ordenados: {3, 5, 12}, el número del medio es 5, entonces la mediana es 5.

Cálculo de la mediana:

• Si hay dos números en el medio (como pasa cuando hay una cantidad par de números) se promedian esos dos números.

Ejemplo: Encuentra la Mediana de {12, 3, 5 y 2}.

El conjunto ordenado: {2, 3, 5, 12}, los números del medio son 3 y 5, el promedio de 3 y 5 es 4, así que la mediana es 4.

Calcular la mediana en las siguientes series de datos:

a) 3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29 R=23

b) 13, 56, 7, 21, 23, 5, 23, 40, 3, 23, 14, 12, 23, 29 R=22

Cálculo de la mediana para datos agrupados:

• La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

• Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo:

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

Moda:La moda es el valor que más se repite en una

distribución (mayor frecuencia absoluta).

La Moda se representa por Mo.

Calcular la moda en las siguientes series de datos:

a) 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29

b) 42, 13, 3, 7, 12, 15, 122, 13, 42, 11, 3 , 13

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

a) Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo= 1, 5, 9

b) Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

Ejemplo: 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

c) Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

Ejemplo: 0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4

Cálculo de la moda para datos agrupados:

1º Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

Li es el límite inferior de la clase modal.

fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.

fi—1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.

fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.

ai es la amplitud de la clase.

Fórmula alternativa (menos exacta):

Ejemplo:Calcular la moda de una distribución estadística que viene

dada por la siguiente tabla:

• Aplicando los coeficientes adecuadamente queda:

Ejercicio de cálculo de moda para datos agrupados:

• Calcular la moda de la siguiente tabla:Clases en dólares Frecuencia (f)

[0 – 50) 78[50 – 100) 123

[100 – 150) 187[150 – 200) 82[200 – 250) 51[250 – 300) 47[300 – 350) 13[350 – 400) 9[400 – 450) 6[450 – 500) 4

TOTAL 600

Aplicando la fórmula:

Mo = 100 + 64 * 50 = 118,93

64 + 105

Se tiene que:

a) La clase modal está en el rango [100 - 150)b) Li toma el valor Li = 100 (límite inferior de

la clase modal)

c) fi = 187, fi-1 = 123 y fi+1 = 82. d) ai = 50

2º Los intervalos tienen amplitudes distintas.

• En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

• La clase modal es la que tiene mayor altura.

• La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda

Respuesta:

• De la tabla:

• Se obtienen las dos ecuaciones:

Ejercicio:

50 67 50 58 61 59 41 59 42 60

55 48 45 58 69 46 51 52 40 65

53 52 68 53 46 60 50 54 54 40

44 41 49 45 47 56 48 53 55 51

47 53 51 58 54 51 52 55 60 58

La siguiente tabla muestra el peso de 50 estudiantes entrevistados.

Ejercicio:

a) Ordenar los datos de menor a mayor.b) Determinar el rango.c) Construir los intervalos de clase con su respectiva

frecuencia.d) Determinar las frecuencias relativas.e) Determinar las frecuencias relativas porcentuales.f) Determinar las frecuencias acumuladas.g) Determinar las frecuencias acumuladas relativas.h) Determinar las marcas de clase de cada intervalo.i) Determinar la media, mediana y moda.