m kütleli parçacığın uzayda eğrisel boyunca yaptığı hareketi

inceleyelim. hızı yörüngeye teğet olup ivmesi ise parçacık

üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi yönündedir.

rv

va

Newton’un ikinci yasası

vmamF

veya alternatif olarak,

GGdt

dvm

dt

dvmF

Burada kütle ile hız çarpımı parçacığın linear momentumu olarak

tanımlanır. “Parçacığın üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi

onun lineer momentumunun zamana göre değişimine (lineer

momentumunun zaman türevine) eşittir.” Bu bağıntı parçacığın

kütlesi sabit kaldığı sürece geçerlidir.

F

vmG

SI birim sisteminde momentumun birimi, kg.m/s veya

N.s.

Lineer momentumun skaler bileşenleri

xx GF yy GF zz GF

Bu skaler formüller x,y ve z eksenlerinde birbirinden bağımsız olarak uygulanır.

Lineer İmpuls-Momentum Prensbi

momentumlinearinchange

G

G

impulselinear

t

t

GGGGddtF 12

2

1

2

1

dt

GdF

Lineer impuls Lineer momentumdaki değişim

kuvvetin lineer impulsu olarak adlandırılır ve vektörel olan

bu büyüklük ile de gösterilir. “m kütleli parçacığın üzerinde

belirli süre etkili olan toplam lineer impuls, aynı süre içinde

onun lineer momentumunda meydana gelen değişime eşittir”

şeklinde ifade edilir.

Fdt

Alternatif olarak,

21 GdtFG

I

yeklinde yazılabilir.

m v1+ =

11 vmG

dtF

22 vmG

İmpuls integrali vektörel olup hem yönü hem de şiddeti zamanla

değişebilir. Bu durumda bağıntıyı skaler bileşenleriyle yazarsak;

xxxxx

t

t

x GGGmvmvdtF 12

2

1

12

yyyyy

t

t

y GGGmvmvdtF 12

2

1

12

zzzzz

t

t

z GGGmvmvdtF 12

2

1

12

Bu bağıntılardan birinin varlığı bir diğerini gerektirmez. Kısaca bu

skaler bağıntılar birbirinden bağımsızdır.

Impuls ve momentumun birimleri eşit olup [ I ] = [ G ] = kg.m/s = N.s

’dir.

Parçacığa etkiyen F’ nin t ile değişimi deneysel yollardan veya yaklaşık

yöntemlerle saptanmışsa grafik veya nümerik integralle ilgili zaman

aralığında F-t eğrisi altında kalan alan impulsu verir.

dtF

t

t2

1

Lineer Momentumun Korunumu

Belirli bir zaman aralığında parçacık üzerine etkiyen toplam kuvvet sıfır (

) ise, bu aralıkta parçacığın lineer momentumu sabit kalır.

210 GGG

21 vmvm

Lineer momentum belirli bir eksende korunurken diğerinde

korunmayabilir. Toplam lineer impulsun belirli bir doğrultuda korunup

korunmadığı parçacığın serbest cisim diyagramının dikkatlice

incelenmesi sonucunda ortaya çıkar.

0F

PROBLEMLER

1. 200 kg kütleli uzay aracı arka motoru ateşlendiğinde 6 m/s hızla ay

yüzeyine doğru inmektedir. Motor, 4 saniye boyunca zamanla şekilde

gösterildiği gibi değişen T itme kuvveti üretmektedir ve ardında motor

kapatılmaktadır. t=5 s’de aracın hızını hesaplayınız. Ay yüzeyine

inmediğini kabul ediniz. Ay yüzeyindeki yerçekimi ivmesi 1.62 m/s2’dir.

ÇÖZÜM

smv

v

v

vmg

mvmvFdt

vsmg

stsmvkgm

/ 1.2

9.36

620016008001620

62002)800(22

1)800()5(

? , / 62.1

, 5 , / 6 , 200

2

2

2

2

12

22

1

mg

hareket

T+

PROBLEMLER

2. 9-kg kütleli blok t=0 anında P kuvveti uygulandığında sağa doğru 0.6

m/s hıza sahiptir. t=0.4 s’de bloğun hızını hesaplayınız. Kinetik sürtünme

katsayısı k=0.3’tür.

ÇÖZÜM

smvv

vdtdtdt

mvmvFdt

directionxin

NFNN

mgNF

tt

t

t

t

kf

y

/823.14.59)4.0(49.26)2.0(36)2.0(72

)6.0(9)3.88(3.03672

)3.88(3.0 3.88)81.9(9

0 0

22

2

4.0

0

4.0

2.0

2.0

0

10

2

22

1

1

hareketx

y

P

W=mg

N Ff=kN

x doğrultusunda

y doğrultusunda

PROBLEMLER

3. Bir tenis oyuncusu top henüz yükseliyorken raketi ile tenis topuna

vurmaktadır. Vuruştan önce topun hızı v1=15 m/s, vuruştan sonra v2=22

m/s olup doğrultuları şekilde gösterildiği gibidir. 60-g top 0.05 s raketle

temas ediyorsa, raketten topa uygulanan ortalama R kuvvetini

hesaplayınız. Ayrıca R’nin yatayla yaptığı açısını bulunuz.

68.8 tan 02.43

49.6 325.005.0

10sin1506.020sin2206.0)81.9(06.0

53.42 127.205.0

10cos1506.020cos2206.0

05.0

0

05.0

0

10

2

05.0

0

10

2

x

y

yy

y

y

t

yy

xx

x

x

t

xx

R

RNR

NRR

ttR

mvmvdtF

NRR

tR

mvmvdtF

Çözüm

Rx

RyR

W=mg

Rx

RyR

x doğrultusunda

x

1v

2v

10°20°

xv1

yv1

xv2yv2

y

y doğrultusunda

PROBLEMS

4. 40 kg’lık çocuk yerde duran 5 kg kaykayı üzerine şekilde gösterildiği

gibi 5 m/s hızla atlamaktadır. Kaykay ile çarpışması 0.05 s ise, yatay

yüzey üzerindeki son hızı ile çarpma esnasındaki yerden kaykaya etkiyen

tepki kuvvetini hesaplayınız.

PROBLEMLER(mB+mS)g

N

y

x

s/m.vvcos

vmmvmvm SBSxSBxB

853540030540

x-doğrultusunda lineer momentum korunur;

kNNorNN

N

dtgmmNvmvm SBSySByB

44.22440

005.081.94505.0030sin540

005.0

0

y doğrultusunda;

veya

Lineer impuls ve lineer momentuma ek olarak ve onlara benzer bir

biçimde açısal impuls ve açısal momentumdan oluşan bir denklem takımı

da vardır. Öncelike açısal momentum kavramını tanımlayalım. Şekil m

kütleli uzayda eğrisel yörünge izleyen P parçacığını göstermektedir. xyz

eksen takımının O orijinine göre konum vektörü ‘dir.

y

r

Parçacığı hızı ve lineer momentumu ‘dir. lineer

momentum vektörünün O noktasına göre momenti açısal

momentumu olarak tanımlanmaktadır

GrvmrHo

Açısal momentum , ile ‘nin oluşturduğu A düzlemine diktir ve

yönü sağ el kuralı ile belirlenir.

rv vmG

vm

OH

r

v

OH

Skaler bileşenleri aşağıdaki gibi belirlenebilir:

kyvxvmjxvzvmizvyvm

vvv

zyx

kji

mH xyzxyz

zyx

o

SI birim sisteminde, açısal momentumun birimi kg.m2/s =N.m.s.

yzox zvyvmH zxoy xvzvmH xyoz yvxvmH

vmrHo

bileşke kuvvetinin O noktasına göre momenti F

vmrFrM o

oM

ifadesinin zamana göre türevi alınırsavmrHo

oM

amrmr

o vmrvmrvmrdt

dH

0

Paralel iki vektörün vektörel çarpımı sıfır olacağı için sıfıra

eşittir.

vmv

oo HM

Skaler bileşenleri cinsinden

oxox HM oyoy HM ozoz HM

Açısal İmpuls-Momentum Prensibi

Sonlu bir zaman aralığı boyunca momentin açısal momentum üzerine

etkisini belirlemek üzere ifadesi t1 ‘den t2’ ye integre

edilerek;

oo HM

ooo

H

H

o

t

t

o HHHHddtMo

o

12

2

1

2

1

o

momentumangularinchange

impulseangulartotal

t

t

o HvmrvmrdtM

1122

2

1

veya

Sabit bir O noktasına göre toplam açısal impuls, O

noktasınna göre parçacığın açısal momentumunu

değişimine eşittir.

21

2

1

o

t

too HdtMH

Alternetif olarak,

Toplam açısal impuls

Açısal momentumdaki değişim

Düzlemsel Hareket

1122

12

2

1

2

1

sin dmvdmvdtFr

HHdtM

t

t

oo

t

t

o

Parçacığın düzlemsel hareketinde momentler yalnızca hareket

düzlemine dik bir eksene göre alınır (Örneğin x-y düzleminde hareket

için z eksenine göre). Böyle bir durumda açısal momentumun şiddeti

veya yönü (-z, +z olarak) değişebilir, fakat açısal momentum

vektörünün doğrultusu x-y düzlemine dik olarak kalır.

Açısal Momentumun Korunumu

Belirli bir zaman parçacık üzerine etkiyen kuvvetlerin sabit bir O

noktasına göre toplam momentleri sıfır ( ) ise bu kez de

parçacığın açısal momentumu sabit kalır.

210 OOo HHH

OH

0Mo

PROBLEMLER

1. Şekildeki sistem başlangıçta hareketsiz olup t saniye boyunca zincire

uygulanan 20 N’luk kuvvetin etkisi altında 150 dev/dak açısal hıza

ulaşmaktadır. T’yi belirleyiniz. Sürtünmeyi ve 3 kg’lık dört adet küre

dışındaki kütleleri ihmal ediniz.

Çözüm

st

t

HHdtM

küre

linkküremakara

v

rmrT

t

tzzz

08.15

4.060

21504.0341.020

2

112

z

v

v

v

v

PROBLEMLER

2. Şekildeki sarkaç iki adet 3.2 kg’lık topaklanmış kütle ve hafif rijit

çubuktan oluşmaktadır. 300 m/s hızla giden 50 g kütleli mermi alttaki

kütleye çarpıp saplandığında sarkaç saat yönünde =6 rad/s hızla

salınım hareketi yapmaktadır. Çarpmadan hemen sonra sarkacın

açısal hızı ile sarkacın maksimum sapmasını hesaplayınız.

ÇÖZÜMÇarpışma süresince açısal momentum korunur;

)(/77.2

2.02.34.02.3050.064.02.362.02.320cos4.0300050.0 2222

sitysrad

(1)

(2)

21

0

0

, 02112

vmrvmrM

HHHHdtM

O

OOOO

t

O

12

21

´

v1

v1´

v2´

v2

O

Çarpışmadan sonra enerji yaklaşımı; 2211 gg VTVT (referans O’da)

o1.52

cos81.94.005.02.3cos81.92.02.30

81.94.005.02.381.92.02.377.22.02.32

177.24.02.305.0

2

1 22

12

21

´

v1

v1´

v2´

v2

O