parciální derivace funkcí více proměnných

II. Parciální derivace a diferenciál funkce1. Parciální derivace funkce více proměnných.

Definice. Parciální derivace funkce dvou proměnných. Je-li funkce f = f(x, y)definována v množině Df ⊂ R2 a bod x0 = (x0, y0) je vnitřním bodem množiny Df ,pak funkce g1(x) = f(x, y0) a g2(y) = f(x0, y) jsou funkce jedné proměnné a jejichderivace nazýváme parciálními derivacemi funkce f a používáme tohoto označení:

∂f

∂x(x0) = g′1(x0)

je parciální derivace funkce f v bodě x0 = (x0, y0) podle první proměnné (obvykleříkáme proměnné x) a

∂f

∂y(x0) = g′2(y0)

je parciální derivace funkce f v bodě x0 = (x0, y0) podle druhé proměnné (obvykleříkáme proměnné y).

Výpočet parciálních derivací provádíme způsobem jakým jsme počítali derivace funkcíjedné proměnné. Nyní ale považujeme „druhouÿ proměnnou za konstantu. Při výpočtuplatí všechna dříve používaná pravidla a vzorce. Připomeňme, že se jedná o derivacesoučtu, součinu a podílu a také pravidlo o derivaci složené funkce.

Hodnoty ∂f∂x(x0) a

∂f∂y(x0) můžeme také považovat za hodnoty funkcí definovaných

v těch bodech, kde jednotlivé parciální derivace existují. O těchto funkcích mluvíme jakoo parciálních derivacích funkce f = f(x, y) a označujeme je symboly

∂f

∂x=

∂f

∂x(x, y) a

∂f

∂y=

∂f

∂y(x, y).

2. Řešené úlohy pro funkce dvou proměnných

Úloha: Vypočtěte parciální derivace funkce f = f(x, y) a jejich hodnoty v danýchbodech.

1. f(x, y) = x2 + 3xy3 − 4x− 2y + 5, a = (1, 0), b = (−1, 2), c = (0, 0).

Funkce je definována v R2 a v souladu s označením na začátku odstavce je:

g1(x) = g2(y) = f(x, y) = x2 + 3xy3 − 4x− 2y + 5

a odtud snadno dostaneme∂f

∂x(x, y) = g′1(x) = 2x+ 3y

3 − 4

a∂f

∂y(x, y) = g′2(y) = 9xy2 − 2.

Parciální derivace existují ve všech bodech definičního oboru a po dosazení souřadniczadaných bodů obdržíme:

∂f

∂x(1, 0) = 2 + 0− 4 = −2, ∂f

∂x(−1, 2) = −2 + 24− 4 = 18, ∂f

∂x(0, 0) = −4;

∂f

∂y(1, 0) = 0− 2 = −2, ∂f

∂y(−1, 2) = −36− 2 = −38, ∂f

∂y(0, 0) = −2.

11

2. f(x, y) = x2y + ln(x+ 2y), a = (2, 1), b = (−2, 1), c = (3,−4).Funkce je definována v množině Df = {(x, y); x + 2y > 0}. Z vyjádření funkcef = f(x, y) dostaneme ve všech bodech Df ;

∂f

∂x= 2xy +

1x+ 2y

, a∂f

∂y= x2 +

2x+ 2y

.

Po dosazení souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:

∂f

∂x(2, 1) = 4 +

14=174

,∂f

∂y(2, 1) = 4 +

24=92.

∂f

∂x(−2, 1), ∂f

∂x(3, 4),

∂f

∂y(−2, 1) a ∂f

∂y(3, 4)

neexistují, neboť body b a c neleží v definičním oboru Df , i když do vztahu proderivace ∂f

∂xa ∂f

∂ylze souřadnice bodu c formálně dosadit.

3. f(x, y) = 2 sin (x2y + y − 1), a = (0, 0), b = (1, 2), c = (1, 0).

Funkce je definována v Df = R2 a pro všechny body z R2 existují obě parciálníderivace. Výpočtem dostaneme

∂f

∂x= 4xy cos (x2y + y − 1), ∂f

∂y= 2(x2 + 1) cos (x2y + y − 1).

Dosazením souřadnic zadaných bodů postupně obdržíme:

∂f

∂x(0, 0) = 0,

∂f

∂y(0, 0) = 2 cos 1,

∂f

∂x(1, 2) = 8 cos 3,

∂f

∂y(1, 2) = 4 cos 3,

∂f

∂x(1, 0) = 0,

∂f

∂y(1, 0) = 4 cos 1.

4. f(x, y) =√

x2 + y, a = (1, 0), b = (2,−1), c = (0,−3).Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x2 + y ≥ 0}, ale pouze probody {(x, y); x2 + y > 0} existují parciální derivace. Je tedy

∂f

∂x=

x√x2 + y

, a∂f

∂y=

12√

x2 + y

pro x2 + y > 0.


∂f

∂x(1, 0) = 1,

∂f

∂y(1, 0) =

12,

∂f

∂x(2,−1) = 2√

3,

∂f

∂y(2,−1) = 1

2√3

a∂f

∂x(0,−3) a ∂f

∂y(0,−3)

neexistují, neboť bod c není bodem definičního oboru.

12

5. f(x, y) = e2x−3y+5(3x2y − 5xy + 4y − 1), a = (0, 0), b = (1, 2), c = (2, 1).

Definičním oborem je množina R2 a ve všech jejích bodech existují parciální deri-vace. Podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme

∂f

∂x= e2x−3y+5(6x2y − 4xy + 3y − 2)

a∂f

∂y= e2x−3y+5(−9x2y + 15xy + 3x2 − 5x− 12y + 7).


∂f

∂x(0, 0) = −2e5, ∂f

∂y(0, 0) = 7e5,

∂f

∂x(1, 2) = 8e,

∂f

∂y(1, 2) = −7e,

∂f

∂x(2, 1) = 17e6,

∂f

∂y(2, 1) = −9e6.

6. f(x, y) =√

x+√

y, a = (1, 4), b = (−1, 9), c = (1, 0), d = (−4, 1).

Definičním oborem funkce je množina Df = {(x, y); x +√

y ≥ 0, y ≥ 0}. Proparciální derivace dostaneme

∂f

∂x=

1

2√

x+√

y,

∂f

∂y=

12√

y

2√

x+√

y=

1

4√

y(x+√

y).

Parciální derivace existují pouze v bodech množiny {(x, y); x+√

y > 0, y > 0} apo dosazení souřadnic zadaných bodů obdržíme:

∂f

∂x(1, 4) =

1

2√1 + 2

=1

2√3,

∂f

∂y(1, 4) =

1

4√4(1 + 2)

=1

8√3,

a∂f

∂x(−1, 9) = 1

2√−1 + 3

=1

2√2,

∂f

∂y(−1, 9) = 1

4√9(−1 + 3)

=1

12√2.

Parciální derivace v bodě c = (1, 0) neexistují, bod d = (−4, 1) neleží v definičnímoboru funkce, nelze tudíž parciální derivace v tomto bodě počítat.

7. f(x, y) = arctgx+yx−y

, a = (1,−1), b = (0,−2), c = (1, 1).

Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x 6= y}. Pro parciální derivace do-staneme

∂f

∂x=

1

1 +(

x+yx−y

)2 x− y − x− y

(x− y)2=

−y

x2 + y2,

∂f

∂y=

1

1 +(

x+yx−y

)2 x− y + x+ y

(x− y)2=

x

x2 + y2.

13


∂f

∂x(1,−1) = 1

1 + 1=12,

∂f

∂y(1,−1) = 1

1 + 1=12

a∂f

∂x(0,−2) = 2

0 + 4=12,

∂f

∂y(0,−2) = 0

0 + 4= 0.

Bod c = (1, 1) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální derivacev tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnice bodudosadit!

8. f(x, y) = 3 sin (2x− y + 3), a = (0, 0), b = (π, 3).

Definičním oborem funkce je množina R2. Pro parciální derivace dostaneme

∂f

∂x= 3.2 cos (2x− y + 3) = 6 cos (2x− y + 3),

∂f

∂y= −3 cos (2x− y + 3).


∂f

∂x(0, 0) = 6 cos 3,

∂f

∂y(0, 0) = −3 cos 3

a∂f

∂x(π, 3) = 6 cos 2π = 6,

∂f

∂y(π, 3) = −3 cos 2π = −3.

9. f(x, y) = lnx+yx−y

, a = (1, 0), b = (2,−1), c = (1, 2).

Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x+yx−y

> 0}. Pro parciální derivacedostaneme

∂f

∂x=

x− y

x+ y

x− y − x− y

(x− y)2=

−2yx2 − y2

,∂f

∂y=

x− y

x+ y

x− y + x+ y

(x− y)2=

2xx2 − y2

.


∂f

∂x(1, 0) =

01− 0

= 0,∂f

∂y(1, 0) =

21− 0

= 2

a∂f

∂x(2,−1) = 2

4− 1=23,

∂f

∂y(2,−1) = 4

4− 1=43.


14

10. f(x, y) = ln(x2 + y2), a = (1, 1), b = (−2, 0).Definičním oborem funkce je množina {(x, y); (x, y) 6= (0, 0)}. Pro parciální deri-vace dostaneme

∂f

∂x=

2xx2 + y2

,∂f

∂y=

2yx2 + y2

.


∂f

∂x(1, 1) =

21 + 1

= 1,∂f

∂y(1, 1) =

21 + 1

= 1

a∂f

∂x(−2, 0) = −4

4 + 0= −1, ∂f

∂y(−2, 0) = 0

4 + 0= 0.

11. f(x, y) = ln(x2 + y − 1), a = (−1, 1), b = (2, 0), c = (1,−1).Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x2 + y > 1}. Pro parciální derivacedostaneme

∂f

∂x=

2xx2 + y − 1

,∂f

∂y=

1x2 + y − 1

.


∂f

∂x(−1, 1) = −2

1 + 1− 1= −2, ∂f

∂y(−1, 1) = 1

1 + 1− 1= 1

a∂f

∂x(2, 0) =

44 + 0− 1

=43,

∂f

∂y(2, 0) =

14 + 0− 1

=13.

Bod c = (1,−1) není bodem definičního oboru funkce a tudíž nelze parciální deri-vace v tomto bodě počítat, i když se do vzorců pro parciální derivace dají souřadnicebodu dosadit!

12. f(x, y) = xy, a = (1,−1), b = (2, 0).

Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x > 0}, neboť f(x, y) = eylnx. Proparciální derivace dostaneme

∂f

∂x= eylnx

(y

x

)= yxy−1,

∂f

∂y= eylnxlnx = xylnx.


∂f

∂x(1,−1) = −1.1−2 = −1, ∂f

∂y(1,−1) = 1−1ln1 = 0

a∂f

∂x(2, 0) = 0.2−1 = 0,

∂f

∂y(2, 0) = 20ln2 = ln2.

15

13. f(x, y) = 3x2y + 6xy2 + ex2y, a = (0, 1), b = (−1, 2).

Definičním oborem funkce je množina R2. Pro parciální derivace dostaneme

∂f

∂x= 6xy + 6y2 + 2xyex

2y,∂f

∂y= 3x2 + 12xy + x2ex

2y.


∂f

∂x(0, 1) = 0 + 6 + 0 = 6,

∂f

∂y(0, 1) = 0 + 0 + 0 = 0

a

∂f

∂x(−1, 2) = −12 + 24− 4e2 = 12− 4e2, ∂f

∂y(−1, 2) = 3− 24 + e2 = −21 + e2.

14. f(x, y) = arctgxy, a = (1, 1), b = (0, 1), c = (2, 0).

Definičním oborem funkce je množina {(x, y); y 6= 0}. Pro parciální derivace do-staneme

∂f

∂x=

1y

1 + x2

y2

=y

x2 + y2,

∂f

∂y=

− xy2

1 + x2

y2

=−x

x2 + y2.


∂f

∂x(1, 1) =

11 + 1

=12,

∂f

∂y(1, 1) =

−11 + 1

= −12

a∂f

∂x(0, 1) =

10 + 1

= 1,∂f

∂y(0, 1) =

00 + 1

= 0.


15. f(x, y) = xy+ y

x, a = (1, 1), b = (2,−1), c = (3, 0).

Definičním oborem funkce je množina {(x, y); x 6= 0, y 6= 0}. Pro parciální derivacedostaneme

∂f

∂x=1y− y

x2=

x2 − y2

x2y,

∂f

∂y= − x

y2+1x=

y2 − x2

xy2.


∂f

∂x(1, 1) = 1− 1 = 0, ∂f

∂y(1, 1) = 1− 1 = 0

a∂f

∂x(2,−1) = 4− 1

−4= −34,

∂f

∂y(2,−1) = 1− 4

2= −32.

Bod c = (3, 0) neleží v definičním oboru, tudíž ani parciální derivace v tomto boděnelze počítat.

16

16. f(x, y) = ex sin y, a = (0, π), b = (1,−π). Definičním oborem funkce je množinaR2. Pro parciální derivace dostaneme

∂f

∂x= ex sin y,

∂f

∂y= ex cos y.


∂f

∂x(0, π) = e0 sin π = 0,

∂f

∂y(0, π) = e0 cos π = −1

a∂f

∂x(1,−π) = e1 sin (−π) = 0,

∂f

∂y(1,−π) = e1 cos (−π) = −e1.

Neřešené úlohy - funkce dvou proměnných

Úloha: Určete parciální derivace funkce f = f(x, y) :

1. f(x, y) = x4 + y3 − 3x2y + 5. [Df = R2]

[∂f∂x= 4x3 − 6xy, ∂f

∂y= 3y2 − 3x2]

2. f(x, y) = e−2x(cos (3y) + 4 sin (3y)). [Df = R2]

[∂f∂x= e−2x(−2 cos (3y)− 8 sin (3y)), ∂f

∂y= e−2x(−3 sin (3y) + 12 cos (3y))]

3. f(x, y) = sin2 x+ cos3 y. [Df = R2]

[∂f∂x= 2 sinx cosx, ∂f

∂y= −3 cos2 y sin y]

4. f(x, y) = arctg(xy). [Df = R2]

[∂f∂x= y1+x2y2

, ∂f∂y= x1+x2y2

]

5. f(x, y) = arcsin√

xy. [Df = {(x, y); 0 ≤ xy ≤ 1}, Df ′ = {(x, y); 0 < xy < 1}]

[∂f∂x= y

2√

xy(1−xy), ∂f

∂y= x

2√

xy(1−xy)]

6. f(x, y) = sin (2x+ y)cosh(y2 − x). [Df = R2]

[∂f∂x= 2 cos (2x+ y)cosh(y2 − x)− sin (2x+ y)sinh(y2 − x),

∂f∂y= cos (2x+ y)cosh(y2 − x) + 2y sin (2x+ y)sinh(y2 − x)]

7. f(x, y) = xxy. [Df = {(x, y); x > 0}]

[∂f∂x= yxxy(1 + lnx), ∂f

∂y= xxy+1lnx]

8. f(x, y) = arccos x−yx+y

. [Df = {(x, y); −1 ≤ x−yx+y

≤ 1}, Df ′ = {(x, y); −1 < x−yx+y

< 1}]

[∂f∂x= −y

|x+y|√xy, ∂f

∂y= x

|x+y|√xy]

17

9. f(x, y) = ln(tg(xy)). [Df = {(x, y); 2kπ < xy < (2k + 12)π, k je celé číslo}]

[∂f∂x= 2ysin (2xy) ,

∂f∂y= 2xsin (2xy) ]

10. f(x, y) = ln(ex + ey). [Df = R2]

[∂f∂x= ex

ex+ey , ∂f∂y= ey

ex+ey ]

11. f(x, y) = e−(x2+y2). [Df = R2]

[∂f∂x= −2xe−(x2+y2), ∂f

∂y= −2ye−(x2+y2)]

12. f(x, y) = x−yx+y

. [Df = {(x, y); x+ y 6= 0}]

[∂f∂x= 2y(x+y)2 ,

∂f∂y= −2x(x+y)2 ]

13. f(x, y) = arcsin(

xy

). [Df = {(x, y); −1 ≤ x

y≤ 1}, Df ′ = {(x, y); −1 < x

y< 1}]

[∂f∂x= |y|

y√

y2−x2, ∂f

∂y= −x

|y|√

y2−x2]

14. f(x, y) = e−x2 cos (x+ y). [Df = R2]

[∂f∂x= e−x2(−2x cos (x+ y)− sin (x+ y)), ∂f

∂y= −e−x2 sin (x+ y)]

15. f(x, y) = 1√x2+y2

. [Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0)}]

[∂f∂x= −x

3√

x2+y2, ∂f

∂y= −y

3√

x2+y2]

16. f(x, y) = ln 1√x2+y2

. [Df = {(x, y); (x, y) 6= (0, 0)}]

[∂f∂x= −x

x2+y2, ∂f

∂y= −y

x2+y2]

2. Parciální derivace funkce tří a více proměnných definujeme obdobně jakov případě funkce dvou proměnných. Je-li f = f(x, y, z) funkce tří proměnných, pakdefinujeme funkce g1(t) = f(t, a2, a3), g2(t) = f(a1, t, a3), g3(t) = f(a1, a2, t), kde a jevnitřní bod definičního oboru Df . Pak definujeme parciální derivace funkce f = f(x, y, z)v bodě a jako derivace

∂f

∂x(a) = g′1(a1),

∂f

∂y(a) = g′2(a2),

∂f

∂z(a) = g′3(a3),

pokud uvedené derivace existují. Obecně definujeme parciální derivace funkce

f = f(x1, . . . , xn) v bodě a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Df obdobně jako v předchozích pří-padech. Definujeme funkce gi(t) = f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , an), i = 1, . . . , n. Potomje

∂f

∂xi

(a) = g′i(ai), i = 1, . . . , n,

pokud příslušné derivace existují, Symbol obvykle čteme „parciální derivace funkce fpodle i- té proměnné, nebo proměnné xi.ÿ

18

Řešené úlohy - funkce tří a více proměnných

Úloha: Určete parciální derivace funkce f = f(x, y, z) a jejich hodnoty v zadanýchbodech.

1. f(x, y, z) = 2x2yz + 3xy2 + 6xz − 5, a = (1,−1, 2), b = (0, 2, 1).

Definičním oborem funkce je množina R3 a parciální derivace existují v celémdefiničním oboru funkce. a je

∂f

∂x= 4xyz + 3y2 + 6z,

∂f

∂y= 2x2z + 6xy,

∂f

∂z= 2x2y + 6x.

Po dosazení souřadnic jednotlivých bodů dostaneme

∂f

∂x(a) = −8 + 3 + 12 = 7, ∂f

∂y(a) = 4− 6 = −2, ∂f

∂z(a) = −2 + 6 = 4

a∂f

∂x(b) = 0 + 12 + 6 = 18,

∂f

∂y(b) = 0 + 0 = 0,

∂f

∂z(b) = 0 + 0 = 0.

2. f(x, y, z) = cos (3x− 5y + 6z − 2), a = (0, π, 2), b = (−2π, 2, 1).

Definičním oborem funkce je množina R3 a parciální derivace existují v celémdefiničním oboru funkce. a je

∂f

∂x= −3 sin (3x− 5y + 6z − 2), ∂f

∂y= 5 sin (3x− 5y + 6z − 2)

a∂f

∂z= −6 sin (3x− 5y + 6z − 2).


∂f

∂x(0, π, 2) = 3 sin 10,

∂f

∂y(0, π, 2) = −5 sin 10, ∂f

∂z(0, π, 2) = 6 sin 10

a

∂f

∂x(−2π, 2, 1) = 3 sin 6,

∂f

∂y(−2π, 2, 1) = −5 sin 6, ∂f

∂z(−2π, 2, 1) = 6 sin 6.

3. f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2, a = (1,−1, 2), b = (−1, 0, 1).Definičním oborem funkce je množina R3 a parciální derivace existují ve všechbodech množiny {(x, y, z); (x, y, z) 6= (0, 0, 0) } a je

∂f

∂x=

x√x2 + y2 + z2

,∂f

∂y=

y√x2 + y2 + z2

,∂f

∂z=

z√x2 + y2 + z2

.


∂f

∂x(1,−1, 2) = 1√

6,

∂f

∂y(1,−1, 2) = −1√

6,

∂f

∂z(1,−1, 2) = 2√

6a

∂f

∂x(−1, 0, 1) = −1√

2,

∂f

∂y(−1, 0, 1) = 0√

2= 0,

∂f

∂z(−1, 0, 1) = 1√

2.

19

4. f(x, y, z) = ln(x+ 2y − 3z + 5), a = (1, 0,−1), b = (0, 0, 0), c = (1,−2, 4).Definičním oborem funkce je množina {(x, y, z); x + 2y − 3z + 5 > 0} a parciálníderivace existují ve všech bodech definičního oboru funkce a je

∂f

∂x=

1x+ 2y − 3z + 5

,∂f

∂y=

2x+ 2y − 3z + 5

,∂f

∂z=

−3x+ 2y − 3z + 5

.


∂f

∂x(1, 0,−1) = 1

9,

∂f

∂y(1, 0,−1) = 2

9,

∂f

∂z(1, 0,−1) = −3

9= −13

a∂f

∂x(0, 0, 0) =

15,

∂f

∂y(0, 0, 0) =

25,

∂f

∂z(0, 0, 0) = −3

5.

Bod c = (1,−2, 4) není v definičním oboru funkce. Parciální derivace v tomto boděnelze počítat, i když se souřadnice bodu dají do vzorců pro jednotlivé parciálníderivace dosadit!

Úloha: Určete parciální derivace funkce f(x) = f(x1, x2, . . . , xn).

1. f(x1, x2, . . . , xn) =n∑

k=1akx

2k.

Definičním oborem funkce je množina Rn a

∂f

∂xi

= 2aixi, 1 ≤ i ≤ n.

2. f(x1, x2, . . . , xn) =

√n∑

k=1x2k.


∂f

∂xi

=xi√n∑

k=1x2k

, 1 ≤ i ≤ n

pro x ∈ Rn − {}.

3. f(x1, x2, . . . , xn) = 1√n∑

k=1

x2k

.

Definičním oborem funkce je množina Rn − {} a

∂f

∂xi

=−xi

3

√n∑

k=1x2k

, 1 ≤ i ≤ n.

20

4. f(x1, x2, . . . , xn) = e−

n∑k=1

x2k.


∂f

∂xi

= −2xie−

n∑k=1

x2k, 1 ≤ i ≤ n.

5. f(x1, x2, . . . , xn) = ln(

n∑k=1

x2k

).

Definičním oborem funkce je množina Rn − {} a

∂f

∂xi

=2xin∑

k=1x2k

, 1 ≤ i ≤ n.

6. f(x1, x2, . . . , xn) =n∑

k,j=1akjxkxj.


∂f

∂xi

= 2aiixi +n∑

k=1,k 6=i

(aki + aik)xk, 1 ≤ i ≤ n.

21

parciální derivace funkcí více proměnných

Documents