Eukleidésztől Bolyai Jánosig

PÁRHUZAMOS-E A PÁRHUZAMOS ?

A geometria a matematika legősibb

tudományágaAz emberiség fejlődése során – különösen a földművelés általánossá válásával - egyre inkább szükségletté vált a „földmérés” tudománya.

Távolságmérés (Menna felügyelő sírja,kb. Ke. 1600)

Az ókori EgyiptomA Nílus áradásával rendszeresen visszatérő feladat volt az elmosott mezsgyék visszaállítása, amihez pontos mérésre volt szükség. Az tudjuk, hogy az egyiptomiak ismerték a Püthagoraszi számhármasokat. Azt azonban csak sejtjük, hogy a Püthagorasz tétel megfordításának elve alapján „szerkesztettek” derékszögű háromszöget.

A görög matematika alapjai

Thalész (Ke. 624 - 548)

Püthagorasz (Ke. 582 - 496)

A „nagy” megalapozókThalész nevéhez sok

alkalmazás fűződikA piramis magasságának megméréseHajók kikötőtől való távolságának meghatározásaMíg az egyiptomi, babiloni matematikából nem ismerünk bizonyításokat, ő az első, aki nem elégszik meg a tapasztalati eljárásokkal, sok szemléletes tételt bizonyít.

Püthagorasz és tanítványai a

püthagoreusokA matematikával való foglalkozás vallásos tevékenység.A háromszög szögeinek összege két derékszög.Sok szerkesztési eljárás – a szabályos sokszögek szerkesztése.Mértani középarányos szerkesztése.

Alexandriai EukleidészKe. 365 - 300

A geometria atyja

Az ő híres matematikai tankönyve az Elemek, amelyben összefoglalja az akkor ismert matematika alapjait. Az Elemekben a geometriai objektumok tulajdonságait kis számú axiómából vezeti le.

“... annak, aki elemeket állít össze, külön kell tárgyalnia a tudomány princípiumait (az elveket), és külön azokat a dolgokat, amelyeket az előbbiekből vezet le. A princípiumokról nem kell számot adnia (ezeket nem kell bizonyítania). De feltétlenül be kell bizonyítania mindazt, amit a princípiumokból következtet ...”

Nincs királyi út!I. Ptolemaiosz királynak arra a kérdésére, hogy miként lehetne a geometriát könnyen elsajátítani, Eukleidész azt felelte:

„A geometriához nem vezet királyi út.”

Ezt még egy gondolattal megtoldotta:„Munka nélkül nincs kenyér, sem

geometria”

Geometriai alapfogalmakA matematika, és ezen belül a geometria is azokat a fogalmakat, amelyeket definiálni nem tud, de a körülöttünk lévő világból absztrakció útján mégis megalkot és használ, alapfogalmaknak nevezi. Az alapfogalmakból kiindulva már tudunk pontos definíciókat adni.Ilyen alapfogalmak:A pont, az egyenes, a vonal, a sík, a felület, a tér, az illeszkedés.Próbálkozhatunk értelmezésekkel, de szükségtelen, mert a szemléletünk alapján elfogadjuk őket.

Eukleidészi szerkesztés és eszközei

De mi is az az axióma?

Az axióma olyan kiindulási feltételt jelent (például a filozófia ágaiban, vagy a matematikában), amit adottnak veszünk az érvelések során. Az axióma különféle okok miatt nem kérdőjelezhető meg, megállapított alaptény, alapigazság.

Eukleidész 9 axiómát fogalmazott meg az Elemekben.Olyan igazságokat, amelyeket a logikus gondolkodás érdekében kényszerülünk elfogadni. A teljesség igénye nélkül néhány:Amik ugyanazzal egyenlők, azok egymással is egyenlők.Az egész nagyobb, mint a része.Két egyenes nem fog közre területet. Stb.

Az öt posztulátum(követelmény

)1. Minden pontból minden ponthoz legyen

egyenes húzható.2. Véges egyenes vonal egyenesben

meghosszabbítható legyen.3. Minden középponttal és távolsággal

legyen kör rajzolható.4. Minden derékszög egymással egyenlő.5. Ha két egyenest úgy metsz egy egyenes,

hogy az egyik oldalon keletkező belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre a derékszögnél kisebb szögek vannak.

Mit jelent az 5. posztulátum?

A geometria újra axiomatizálása

Az eukleidészi axiómák és posztulátumok együtt jelentik az EUKLIDÉSZI AXIÓMARENDSZERT.

A matematika tudományával foglalkozók több, mint 2000 évig nem tudtak tökéletesebbet alkotni, elfogadták, és úgy ragaszkodtak hozzá, mint a geocentrikus világnézethez.Csak a XIX. század végén fogalmazta meg DAVID HILBERT német matematikus az axiómarendszerek követelményeit:Legyen teljes, azaz tartalmazza mindazokat az axiómákat, amelyek szükségesek az általa megalapozott tudomány bármely tételéhez.Legyen ellentmondásmentes, azaz ne forduljon elő olyan tétel amelynek helyessége és hamissága egyidejűleg igazolható.Legyenek az axiómák egymástól függetlenek, egyiket se lehessen igazolni a másik alapján.

A Hilbert által átfogalmazott axiómák

David Hilbert1862 - 1943

Az axiómarendszer öt csoportja

Illeszkedési axiómákRendezési axiómákEgybevágósági axiómákFolytonossági axiómákPárhuzamossági axióma

A pirossal írt axiómák az eukleidészi axiómáknak felelnek meg.

Illeszkedési axiómákA és B ponthoz mindig tartozik egy a egyenes, amely mindkét

pontra illeszkedik. A és B ponthoz nem tartozik több, mint egy olyan egyenes,

amely az A, B (mindkét) pontra illeszkedik. Minden egyeneshez legalább két pont illeszkedik. Létezik

olyan három pont, amelyek nem illeszkednek egy egyeneshez.Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A,

B, C – hez) tartozik legalább egy φ sík, amely mindhárom (A, B, C) pontra illeszkedik.

Bármely három, nem egy egyeneshez illeszkedő ponthoz (A, B, C – hez) legfeljebb egy olyan sík tartozik, amely a három pont mindegyikéhez illeszkedik.

Ha egy a egyenesnek két pontja (A és B) rajta van egy φ síkon, akkor a összes pontja rajt van a síkon.

Ha α és β síknak van egy közös P pontja, akkor legalább van még egy közös Q pontja.(P ≠ Q)

Van legalább négy, nem egy síkhoz illeszkedő pont. Minden síkhoz legalább 3 pont illeszkedik.

És a párhuzamossági axióma?

A térszemléletünk számára ezek természetesek

A

B

C

Illeszkedési axiómák-sík

És a párhuzamossági axióma?

Az euklideszi (vagy sík) geometriában:Egy tetszőleges a egyenes és egy rá nem illeszkedő A pont meghatározta síkon az A ponthoz illeszkedő egyenesek legfeljebb egyike nem metszi az a egyenest. A párhuzamossági axióma Eukleidésznél

A Bolyai-Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus) geometriában:Egy tetszőleges a egyeneshez egy rá nem illeszkedő A ponton keresztül legalább 2 olyan (különböző) egyenes húzható, melyek nem metszik az adott egyenest. A párhuzamossági axióma a nem eukleidészi geometriákban

A párhuzamossági axióma Eukleidésznél

Ab

A2

a A1

És a párhuzamossági axióma?

A párhuzamossági axióma a nem- eukleidészi

geometriákban

cA

b

a

Hogy is van ez?

Párhuzamos-e a párhuzamos?

Párhuzamosság

A térszemléletünkhöz közeli – eukleidészi – geometriában a tapasztalat alapján nem látunk csak egy párhuzamost. Az A pontra illeszkedő, az a egyenessel párhuzamos és a c-től különböző b egyenes már nem lehet párhuzamos az a-val.Ha azonban nem csupán látni, tapasztalni akarunk, hanem az axiómákból következtetéseket levonni – ez a dedukció -, akkor létezik a két párhuzamos.

A nem-eukleidészi geometria kidolgozói

Bolyai János 1802 – 1860

Nyikoláj Ivanovics Lobacsevszkij

1792 - 1856

„Semmiből egy új, más világot teremtettem”

Bolyai János 1820 és 1823 között dolgozta ki és írta meg korszakalkotó felfedezését: a nem-eukleideszi geometriát, amelyet abszolút, illetve hiperbolikus geometriának neveztek neves kortársai.A szakirodalom Bolyai-Lobacsevszkij-féle geometriának nevezi a párhuzamossági axiómát tagadó geometriákat.Apja, Bolyai Farkas matematikus és író.Tudományos felfedezése 1832-ben Appendix (függelék) címen apja könyvében jelent meg, melyet francia és német nyelvre fordítottak le.

Az Appendix kézirata

Valamit a hiperbolikus geometriáról

Az eukleidészi geometria síkgeometria. Amikor szerkesztünk benne, akkor az axiómarendszerét egy modellben alkalmazzuk. A hiperbolikus sík negatív görbülete miatt nem ágyazható be az euklideszi térbe, de modellezhető már az euklideszi síkban is. Több modellje is létezik, mint a Klein-modell, a hiperboloidmodell, és a konform modellek.A képen hiperbolikus paroboloid látható háromszöggel és párhuzamos egyenesekkel.

A hiperbolikus sík modelljei-1.

Beltrami-Klein-féle körmodell

Sík: nyílt körlap Pontok: a nyílt körlap

pontjai Egyenesek: a körlap

húrjai végpontok nélkül. Ezek a pontok végtelen távoli pontok; halmazuk a hiperbolikus sík határköre.

A hiperbolikus sík modelljei-2.

Konform körmodell

Sík: nyílt körlap Pontok: a nyílt körlap

pontjai Egyenesek: az átmérők

és a határkört merőlegesen metsző körívek. A többi körív olyan hiperciklus, ami nem egyenes.

A hiperbolikus sík modelljei-3.Félgömb modell

A Beltrami-Klein-féle körmodell félgömbre vetítésével kapható.

Sík: nyílt félgömb Pontok: a nyílt

félgömb pontjai Egyenesek: a

félgömb egyenlítőjét merőlegesen metsző körök. A többi körív valódi hiperciklus.

A félgömb modell érdekességei

Hiperbolikus sík parkettázása háromszögekkel.

A hiperbolikus háromszögek szögösszege kisebb, mint 180 fok.

A gömbi geometriaA gömbi geometria nem azért kerül elő, hogy eggyel több modellünk legyen, amit be lehet mutatni, hanem azért, hogy a tanítványok geometriai szemléletmódját már a kezdetektől fogva tágítsuk.Ne csak az állandóan kéznél lévő, szemléletes síkgeometriával találkozzanak, de legyen tapasztalásuk más típusú geometriáról is. Ezzel kinyithatunk egy olyan kaput, ami elvezethet a hiperbolikus geometriáig.A gömbi geometriát repülőgép-pilóták és hajóskapitányok használják, amikor Föld körüli útjukon tájékozódnak.

Néhány jellemzője

A gömbi geometria nem-eukleidészi geometria.

A gömbi geometriában az egyenesek szerepét a gömb főkörei veszik át.

Létezik gömbi kétszög nevű síkidom.

A gömbháromszög szögösszege nem 180 fok.

A LÉNÁRT GÖMB

Olyan eszköz, amely segítségével megismerhető a gömbi geometria.

Segítségével összehasonlítható az eukleidészi és egy nem-eukleidészi geometria.

Újszerű eszközhasználatot tanulhatunk, taníthatunk.

A párhuzamosság nincs a gömbi geometriában

Párhuzamos-e a párhuzamos?

Az eukleidészi geometriában csak egy egyenes lehet

párhuzamos egy tőle különböző másik egyenestől.

A nem-eukleidészi geometriákban azonban több

is lehet, vagy egy sem.

Nincs királyi út!