parte 059 - 094

Cláudio Freire

Para

UNIDADE VII

CAPÍTULO 01

I. Classificação das expressões algébrica

1. Expressão algébricaa) Racional:Não possuí variável sob radiciação.

Inteira- Não possuí variável no denominador

Exemplos:a) x3 + x2 + x +

b)

Fracionária- Possuí variável no denominador

Exemplos:

a)

b)

b) Irracional- Possuí variável sob radiciação (dentro da

raiz)

a)

b)

Exercícios resolvidos

1. Classificar as expressões algébricas abaixo:a) (Expressão algébrica

racional inteira)

b) (Expressão algébrica irracional)

c) (Expressão algébrica racional

inteira)

d) (Expressão Algébrica racional

fracionária)

e) x-2 + 2x + y2 (Expressão algébrica racional

fracionária)

2. Fração Algébrica ou Expressão AlgébricaÉ a razão entre dois polinômios A e B, sendo

B 0, representados em forma de fração.Os polinômios acima citados são

considerados termos da fração, onde A é numerador e B o denominador.

Exemplos:

a) c)

b) d)

O denominador de uma fração algébrica tem que ser sempre diferente de zero pois a divisão de qualquer número por zero é impossível.

Exemplos:

a)

Solução:

x – 4 0 x 4

”x” pode assumir qualquer valor em IR (reais), com exceção de x = 4 pois, anularia o denominador

b)

Solução:

x – 2 0 x 2x + 2 0 x -2

”x” pode assumir qualquer valor em IR (reais), com excessão de x = 2, pois anularia os denominadores da mesma.

Exercícios

1. (EMM-80) A expressão é:

a) Racional inteira d) Numérica

b) Irracional e) Homogênia

c) Racional

2. (EsPCEX) O polinômio

é:

a) Fracionário e

racionald) Inteiro

b) Fracionário e) Fracionário e

59

Cláudio Freire

Para

irracional

c) Irracional

3. (C.NAVAL) Classifique a expressão

a) Expressão algébrica racional inteirab) Expressão algébrica racional fracionáriac) Expressão algébrica irracionald) Expressão algébrica irracional inteirae) Expressão algébrica irracional fracionária4. (ETFQ) Para que o polinômio em x e y

seja racional,é necessário que m seja igual a:

a) 1 b) 4 c) 3 d) x e) 0

Gabarito

1. b) Irracional

2. d) Inteiro

3. b) Expressão algébrica racional fracionária

4. e) 0

CAPÍTULO 02

I. Valor numérico de uma expressão algébrica

É o valor numérico que se obtém substituindo as variáveis pelos seus respectivos valores.


1. Calcular o valor numérico da expressão x3 – x2 – 2xy – x – y para x = -2 e y = -1.

Solução:

(-2)3 – (-2)2 – 2 . (-2) . (-1) – (-2) – (-1) == -8 – 4 – 4 + 2 + 1 = -13

Exercícios

1. Determine o valor de cada expressão numérica:

a) 2a + b, quando a = -1/5 e b = 1/2

b) x2 + xy, quando x = -1/3 e y = 2

c) x3 – y3, quando x = -1 e y = -1/2

d) x2y – xy2, quando x = -1/2 e y = -2

2. (EEAr-91) A expressão 2a2 - + 4m – 3a2 +

ab-1 tem valor numérico igual a 10 para a = -1 e b = 2, então o valor de m é:

a) 19/8 b) 21/8 c) 38 d) 42

3. (EEAr-89) O valor numérico da expressão:

para x = -1, y = 2, c = 3 e d = -4:

a) –10/21 b) –4/21 c) 10/21 d) 4/21

4. (EsSA-85) O valor da expressão algébrica

x-2 - , para x = 4 é:

a) 47/4 b) 35/3 c) 35/3 d) 467/48

e) 17/4

5. (EsSA-96) a-1 + b-1 = c-1 para a = -1/2 e b = 1/3, então c vale:

a) –1 b) 1 c) 1/6 d) –1/6 e) 1/5

6. (EsSA-96) O valor da expressão –5a2 – b3 para a = -2 e b = -1 é:

a) –43 b) 21 c) 19 d) -17 e) –19

7. (EPSJV-2000) Para x = 5, a expressão

vale:

a) 11/17 b) 43/19 c) 29/71 d) 55/23 e) 37/13

8. (EEAr-2001) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc)12 é igual a

a) 9912 b) 992 1/2 c) 9928 d) 9988

Gabarito

1. a) 1/10 b) 5/9 c) 7/8 d) 3/2

2. b) 21/8

60

Cláudio Freire

Para

3. d) 4/21

4. d) 467/48

5. b) 1

6. e) –19

7. d) 55/23

8. d) 9988

CAPÍTULO 03

I. Simplificação de Expressões Algébricas

Fatoramos o numerador e o denominador guando necessário e simplificamos os mesmos.


1. Simplifique:

a)

b)

c)

Exercícios

1. (EAM-98) Sendo a = 2b, então o valor de

é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 6 e) 8

2. (FaaP/SP) Simplificando a expressão

obtemos:

a) a b) c) d)

3. (EAM-98) A expressão é igual a:

a) 1/10 b) 1/12 c) 2/6 d) 1/5 e) 2/12

4. (EEAR-98) Simplificando-se

,obtém-se:

a) 8 b) –1/2 c) 1/4 d) 7/4

5. (E.T.F.Q.N.-98) Considere N o valor da

expressão , com ab 0, tal que a2 + b2

= 10ab.Determine o número de divisores pares positivos de N.

61

Cláudio Freire

Para

6. (EEAR-98) A expressão é igual

a:

a) b) c) d)

7. (CM.RJ-99) Simplificando a fração algébrica

, encontramos:

a) x + 3 d)

b) e)

c) x – 3

8. (CTUR-2000) Simplificando a expressão

, obtém-se:

a) d)

b) e)

c)

9. (EEAR-2000) Simplificando ,

com a > 0 e x > 0 temos:

a) c)

b) d)

10. Simplifique :

a)

b)

c) x + 1

d)

11. (EPS-JV-2000) Para x = 5, a expressão

, vale:

a) 11/7b) 43/19c) 29/71d) 55/23e) 37/13

12. (EsPCEx-2001) Pode-se afirmar que a

função real , após

convenientemente simplificada, é equivalente, é equivalente a:

a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1}b) y = x2 + 1 para lR – {-3,1}c) y = x – 2 para lR – {-3,1}d) y = x + 1/2 para lR – {-3,1}e) y = 3x + 1 para lR – {-3,1}

13. Simplifique

a) –3/2b) –1/2c) 1/2d) 3/2e) 1

14. (EsPECEX-81) Simplifique a expressão:

15. (ExPCEX-84) Efetuar e simplificar:

16. (EsSa-89) Calculando

obtemos:

a) d) x – 6

b) e)

c) 3(x – 6)

17. (Química têxtil-93) Simplificando

:

a) (a + b) / (a – b) d) 1/a + 1

62

Cláudio Freire

Para

b) (a – b) / a + 1 e) (a – b) / a – 1

c) 1/a – 1

18. (CEFET-91) Simplifique :

19. (CEFET-89) Simplifique a fração:

20. (CEFET-85) Se x 1 e x -1 simplificando

a expressão você obtém:

a) d) x3 + x + 2

b) e)

c)

21. (EEAR-87) Simplificando a fração

encontramos:

a) c)

b) d)

22. (EsSa-89) Simplificando a fração

:

a) d)

b) e)

c)

23. (EsSA-92) Simplificando a fração

encontramos:

a) x – 3 / x + 3 d) 1b) x – 2 / x+ 3 e) –1c) x – 3 / x

24. (EsSA-91) Simplificando a fração algébrica

, para x 1, x -1 e x 0

obtemos:

a) d)

b) e)

c)

25. (EPCAR-81) Simplificando e calculando o

valor numérico de para a = b = 4, você

obterá:

a) zero d) 64b) 16 e) impossívelc) 8

26. (ETFQ-93) Simplificando a equação

(x 0 e y 0), ao máximo

possível,encontraremos:

27. (C.NAVAL-82) O valor da expressão

independe de x.

A soma dos valores de a,b e c é:

a) 4 b) 2 c) -3 d) 0 e) 1

Gabarito

1. d) 6

2. c)

3. b)

4. d)

5. 4 divisores

6. a)

7. b)

8. b)

9. d)

63

Cláudio Freire

Para

10. a)

11. d)

12. a) y = 2x + 1 para lR – {-3,1}

13. b)

14. 2

15. (1 – x2)

16. c)

17. d)

18.

19.

20. a)

21. b)

22. e)

23. a)

24. c)

25. c) 8

26. (x – y)

27. a) 4CAPÍTULO 04

I. Adição e subtração de frações Algébricas

1. Regra Prática

Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c. dos denominadores).

Adicionamos e/ou subtraímos os respectivos numeradores repetindo o denominador comum.

Simplificamos a fração final quando possível através da fatoração.


a)

Para calcular o m.m.c., fatoramos cada denominador e em seguida aplicamos a decomposição simultânea em fatores primos ( aritmética )

m.m.c

(x – 1) . (x + 1)

; (x + 1)

x + 1

(x – 1) . 1 ; 1 x – 11 . 1 ; 1

m.m.c = (x + 1) (x – 1)

Exercícios

1. (EEAR-88) Efetuando as operações:

,o resultado será:

a) c)

b) d)

2. (EAM-98) Simplificando a expressão:

64

Cláudio Freire

Para

, obtemos:

a) 2x

b) 3x

c) 6x

d) 5x

e) 10x

3. (UNB) A expressão ,com a

4 é igual,a:

a)

b)

c)

d)

4. (UNB) Sendo a e b dois números reais

diferentes de zero, a expressão é igual

a:

a) c)

b) d)

5. (EEAr-91) Qual a fração que quando

adicionada a , obtém-se

a) b) c) d)

Gabarito

1. b)

2. a) 2x

3. d)

4. c)

5. d)

CAPÍTULO 05

I. Produto e Divisão de Frações Algébricas

Quando do produto, basta simplificar as frações através da fatoração se possível, e em seguida multiplicar os termos finais.

Quando da divisão, devemos repetir a primeira fração multiplicar pelo inverso sa segunda e em seguida aplicar o mesmo procedimento do produto.

Exemplos:

a)

Solução:

b)

Solução:

Exercícios

1. (UF-Goiás) Simplificando a expressão

, obtemos:

a) b) c) d)

2. A expressão é igual a:

a) d)

b) e)

c)

3. (FAETEC-97) A fração que você vai obter

quando multiplicar por :

65

Cláudio Freire

Para

a) d)

b) 2 e) 2x

c)

4. (CMRJ-97) O resultado simplificado da

expressão:

a) d)

b) e)

c)

5. (EAM-2000) Considere a expressão:

Efetuando os cálculos e simplificando-os obtém-se:

a) b) c) d) e)

6. (EEAr-98) Simplificando a expressão:

,obtém-se :

a) b) c) d)

7. (EEAr-200) O quociente da divisão de :

por , obtém-se:

a) b) c) d)

8. (CM-2000) Se e

, o valor de , para x = é:

a) d)

b) e)

c)

Gabarito

1. a) 5. b)

2. c) 6. b)

3. a) 7. c)

4. a) 8. a)

UNIDADE VIII

CAPÍTULO 01

I. Polinômio

É toda expressão algébrica racional inteira.

Indicação:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … a1x + a0

x lR, n lN e (an, an-1 ... a1, a0) lR

Exemplo:

a) P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 1

1. Valor numérico de um polinômioConsiderando o polinômio P(x) = x3 + x2 + 1,

calcular P(-1). O valor numérico será encontrado substituindo x no polinômio por (-1).

P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 1

P(-1) = -1 + 1 + 1

P(-1) = 1

2. Raíz ou zero de um polinômioSe P(x) = 0, podemos dizer que x é uma raiz

ou zero do polinômio P(x).


1. As raízes do polinômio P(x) = x2 – 5x + 6, estão no conjunto {1,2,3} verificar quais são:

P(1) = 12 – 5 . 1 + 6

P(1) = 1 – 5 + 6 = 2 (não é raíz)

P(2) = 22 – 5 . 2 + 6

P(2) = 4 – 10 + 6 = 0 (2 é raíz)

P(3) = 32 – 5 . 3 + 6

P(3) = 9 – 15 + 6 = 0 ( 3 é raíz )

66

Cláudio Freire

Para

Solução:

As raízes são {2 e 3}

3. Polinômio completoPossuem todos os termos de grau “n”(maior

grau) até o grau “0”(menor grau), ou seja, possuem n + 1 termos.

Exemplos:

a) P(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – x + 1

b) P(x) = 3x5 – 3x4 – 2x2 – x + 6

c) P(a) – a2 – 6a + 10

4. Grau de um polinômio

É o monômio de mais alto grau


1. Qual é o grau do polinômio:

a)

Polinômio do 4ºgrau

b) Qual é o grau do polinômio;

Polinômio do 7ºgrau

Polinômio do 4ºgrau em relação a x

Polinômio do 5ºgrau em relação a y

c) Determinar o valor de para que o

polinômio seja do 3ºgrau.

Solução:

Coeficiente de x4

k2 – 4 = 0

k2 = 4

k =

k = 2

coeficiente de x3

k – 2 0

k 2

Resposta: k = –2

5. Polinômio homogênioUm polinômio é homogênio guando todos os

termos são do mesmo grau.

Exemplos:


1. Para que o valor de k, o polinômio em x e y4x3y2 – 5x5 – 4x4y – k + 1 é homogênio

-k + 1 = 0-k = -1(-1)k = 1

conseqüentemente:

Exercícios

1. (EMM) O polinômio x3 – 2x4 + 3x – 4x2 é:

a) completob) não reduzidoc) ordenadod) incompletoe) homogênio

2. (E.T.F.Q) O produto (2x2 . y-2) (3xm . y) (-xy3) será do 2ºgrau se o valor de m for:

a) 1b) 2c) -1d) -2e) -3

3. (E.T.F.Q) O polinômio em e , x2 + y2 + 3xy + m – 1 é homogênio se m for igual a:

a) 0b) 1c) 2d) -1e) -2

67

Cláudio Freire

Para

4. (EEAR-89) Se –2/3 é um dos zeros do polinômio P(x) = ax2 – (a – 1) x + 4, então o valor de “a”; é:

a) –21b) –15c) –3,3d) –3

5. (UniRio) O grau do polinômio

(x + 2) (x – 4)4 (x + 6)6 (x – 8)8 ..... (x + 18)18 é:

a) 2.9!b) 90c) 29 . 9!d) 180e) 18!

6. (Unifor-CE) Dados os polinômios p, q e r de graus 2,4 e 5, respectivamente, é verdade que o grau de p + q + r:

a) Não pode ser determinadob) Pode ser igual a 2c) Pode ser igual a 4d) Pode ser menor que 5e) É igual a 5

Gabarito

1. d) incompleto

2. e) -3

3. b) 1

4. b) -15

5. b) 90

6. e) é igual a 5

CAPÍTULO 02

I. Polinômios identicamente nulos

Um polinômio P(x) qualquer será identicamente nulo, quando todos seus coeficientes forem iguais a zero

Indicação

P(x) 0 (Lê-se: P(x) é idêntico a zero)

Exemplos:

Considerando o polinômio P(x) identicamente nulo, calcule x, y e z

P(X) = (2x + 5)x4 – (y + 1)x3 + (3z + 9)x2

Solução:

2x + 5 = 0 x = -5/2

y + 1 = 0 y = -1

3z + 9 = 0 z = -9/3 z = -3

Resposta: x = -5/2, y = -1 e z = -3

1. Polinômios idênticosOs dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos

se e somente se todos os seus coeficientes respectivos de mesmo grau, forem iguais

Indicação:

A(x) B(x) A(x) = B(x), x lR


1. Os polinômios P(x) e h(x) abaixo são idênticos;calcule o valor de A, B e C.

P(x) = (A – 2)x3 + (2B – 6)x2 + (C – 1)x – 10

h(x) = 6x3 + 4x – 10

Solução:

P(x) = h(x), logo:

A – 2 = 6 A = 6 + 2 A = 868

Cláudio Freire

Para

2B – 6 = 0 B = 6/2 B = 3

C – 1 = 4 C = 4 + 1 C = 5

2. Calcule a e b de forma que

, sendo x 3.

Solução:

m.m.c.(x – 3);

(x + 3);

(x – 3)

(x + 3)

x – 3

1; x + 3; 1; (x + 3)

x + 3

1; 1; 1; 1;(x – 3) (x + 3)

Continuando:

ax + 3a + bx – 3b = 3x + 3ax + bx + 3a – 3b = 3x + 3

Resolvendo o sistema:

6a = 12a = 12/6 = 2

Substituindo:

a + b = 32 + b = 3b = 3 – 2b = 1

Resposta: a = 2, b = 1

3. Sendo P(x – 1) = x2 – 5x + 6, calcule P(x) e P(-1)

Solução:

Precisamos primeiramente calcular P(x), que só pode ser P(x) = ax2 + bx + c, pois o 2º membro da equação é um polinômio do 2ºgrau (x2 – 5x + 6).

Logo:

P(x) = ax2 + bx + c

P(x – 1) = a(x – 1)2 + b(x – 1) + c

P(x – 1) = a(x2 – 2x + 1) + bx – b + c

P(x – 1) = ax2 –2ax + a + bx – b + c

P(x – 1) = ax2 + (-2a + b)x + a – b + c

Substituindo na função inicial

Substituindo em e tem:

-2a + b = -5-2 . 1 + b = -5b = -5 + 2b = -3a – b + c = 61 – (-3) + c = 6c = 6 – 1 – 3c = 2

P(x) = ax2 + bx + cP(x) = 1x2 – 3x + 2P(-1) = (-1)2 – 3(-1) + 2P(-1) = 1 + 3 + 2 = 6

Exercícios

1. (EPCAR-82) Se , então:

a) A = 2 e B = 3 d) A = 5/4 e B = 5/4b) A = 5/2 e B = 5/2 e) A = 2 e B = 1/2c) A = 6 e B = 1

2. (PUC) Se , com x 0 e x

-1, é correto afirmar que o produto A . B é igual a:a) -3 b) -2 c) 0 d) 2 e) 3

3. (UFPE) Existem números reais A e B tais que,para todo x 1 e x 2:

. Determine B – A

4. (ITA-SP) A identidade

é valida para todo

número real x -1. Então a + b + c é igual a:a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

Gabarito

1. d) A = 5/4 e B = 5/4

69

Cláudio Freire

Para

2. a) -3

3. B – A = 2

4. d) 2

CAPÍTULO 03

I. Adição e Subtração de Polinômios

Basta adicionar ou subtrair os mesmos fazendo a redução dos termos semelhantes.

Exemplos:Sendo A(x) = -x3 + x2 – x + 1B(x) = x4 – x3 – 2, calcule:

a) A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – (x4 – x3 – 2)A(x) – B(x) = -x3 + x2 – x + 1 – x4 + x3 + 2A(x) – B(x) = -x4 + x2 – x + 3

b) A(x) + B(x) = -x3 + x2 – x + 1 + x4 – x3 – 2A(x) + B(x) = x4 – 2x3 + x2 – x – 1


1. Quanto devo somar na expressão (x – 1)2, para obter (x – 2)2

Solução:(devemos somar o polinômio “K” )(x – 1)2 + k = (x – 2)2

x2 – 2x + 1 + k = x2 – 4x + 4k = x2 – 4x + 4 – x2 + 2x – 1k = -2x + 3

Resposta: -2x + 3

Exercícios

1. (EEAr-91) A expressão que se deve somar a (x + 1)2, para se obter (x + 1)3 é:

a) x + 1 c) x(x + 1)2

b) –(x + 1) d) –x(x + 1)2

2. (EAM-2000) Sejam A = -x2 – x – 1 e A – B = x2

– 7x – 5. Então o valor de 2B é:

a) 6x2 + 10x – 8 d) –4x2 – 12x + 8b) 6x2 + 12x – 8 e) –4x2 + 12x + 8c) 4x2 + 12x + 8

3. (CTUR-2000) Numa adição de polinômio encontra-se 7x2 + 10x – 8, mas verificou-se que a parcela 2x2 + 7x + 2 havia sido incluída indevidamente. O resultado correto da adição é:

a) 5x2 + 3x – 10 d) 9x2 + 17x – 10b) 5x2 + 3x – 6 e) 9x2 – 17x + 6c) 9x2 + 17x – 6

Gabarito

1. c) x(x + 1)2

2. e) –4x2 + 12x + 83. a) 5x2 + 3x – 10

CAPÍTULO 04

I. Produto de um polinômio

Multiplicamos todos os termos de um polinômio por todos do outro e em seguida reduzimos os termos semelhantes.

Exemplos:

a) (x – 2) (x2 – 3x + 1) = x3 – 3x2 + x – 2x2 + 6x – 2

(x – 2) (x2 – 3x + 1) = x3 – 5x2 + 7x – 2

ou

x2 – 3x + 1x x – 1

-2x2 + 6x – 2+ x 3 – 3x 2 + x + x3 – 5x2 + 7x – 2

b) 2x(3x3 – 2x – 1) = 6x4 – 4x2 – 2x

1. Divisão de PolinômiosDividimos todos os termos do polinômio pelo

monômio divisor.

Exemplos:

a) (6x4 – 9x3 – 15x2 – 3x) : (-3x) =

Solução

6x4 – 9x3 – 15x2 – 3x

-3x

-2x3 + 3x2 + 5x + 1

Dividir o polinômio :P(x) = x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2 por h(x) = x – 1

2. Método das chavesRegra:Devemos colocar o dividendo e o divisor

sempre em ordem decrescente em relação a suas potências

x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2

x – 1

Dividimos o primeiro termo do dividendo x4

pelo primeiro termo do divisor x e em seguida multiplicamos o resultado no quociente por

70

Cláudio Freire

Para

todo o divisor, colocando o resultado no dividendo que será subtraído do mesmo.

x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2

x – 1

-x4 + x3 x3

-x3 + 2x2 – 4x – 2

Dividimos novamente o primeiro termo do dividendo –x3 pelo primeiro termo do divisor x e repetimos a operação acima.

x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2

x – 1

-x4 + x3 x3 – x2

-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2

x2 – 4x – 2

O grau do dividendo x2 continua menor que o grau do divisor x, o que determina toda operação novamente.

x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2

x – 1

-x4 + x3 x3 – x2 + x-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2

x2 – 4x – 2-x2 + x-3x – 2

O grau do dividendo “3x” é igual ao grau do divisor “x” o que determina a última divisão a ser feita

x4 – 2x3 + 2x2 – 4x – 2

x – 1

-x4 + x3 x3 – x2 + x –3-x3 + 2x2 – 4x – 2+x3 – x2

x2 – 4x – 2-x2 + x-3x – 2+3x – 3 -5

O grau do dividendo é menor que o grau do divisor.A divisão está encerrada.

Resposta: Quociente = x3 – x2 + x – 3Resto: = - 5


1. Determinar o quociente e o resto da divisãoP(x) = 4x3 + 4x + 10 por h(x) = x – 2

4x3 + 0x2 + 4x + 10

x – 2

-4x3 + 8x2 4x2 + 8x + 20 8x2 + 4x + 10 -8x2 + 16x 20x + 10 -20x + 40 50

Resposta: Quociente: 4x2 + 8x + 20 e Resto: = 50

Prova Real

Multiplicamos o quociente pelo divisor e somamos o resultado com o resto, e o polinômio final deve ser igual ao dividendo.

4x2 + 8x + 20 x – 2 -8x2 – 16x – 404x3 + 8x2 + 20x4x3 + 0x2 – 4x – 40

Logo:

4x3 + 4x – 40 + 50 = 4x3 + 4x + 10

Exercícios

1. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2

+ 7x – 12 por h(x) = x2 – 3x – 4 é:a) 1b) 2c) 3d) 0

2. O resto da divisão de P(x) = x4 – 7x3 + 11x2

+ 7x – 12 por h(x) = x2 – 7x + 12 é:a) 2 b) 3 c) 0 d) 1

3. (O sec-SP) O polinômio x3 – 2x + ax + b é divisível por x2 + 4. Então, a e b valem respectivamente:a) 4 e –8 d) 4 e 8b) –2 e 4 e) –2 e 2c) 2 e 0

4. (ITA) Os valores de a, e y que formam o polinômio P(x) = 4x5 + 2x4 – 2x3 + ax2 + x + y divisível por Q(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1 satisfazem as desigualdadesa) a > > y d) b > y > ab) a > y > e) y > a > bc) b > a > y

5. (U.F.R.R.J-99) Determine o valor de m para que o polinômio x4 + 2x3 – 3x2 – mx + m, seja divisível por (x – 1)2

71

quociente

resto

Cláudio Freire

Para

Obs.: Este exercício também pode ser feito por simplificação de polinômio através da fatoração.

6. (E.N.) A expressão que multiplicada por b – [-a – (-b + c)] dá resultado a2 – c2 é:a) a + c d) a + bb) a – c e) a – bc) a2 + c2

7. (Química têxtil-93)O polinômio: -2x6 + x5 + 8x4 – 4x3 é o resultado do produto do monômio

por:

a) x3 + x3/2 + 4x – 2 d) 4x3 + 2x2 + 16x + 8b) x3 – x3/2 – 4x + 2 e) 4x3 – 2x2 – 16x – 8c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8

8. (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio:P(x) = x3 – x + 1 pelo polinômio D(x) = x2 + x + 1 é igual a:a) 0b) x + 2c) x – 2d) –x + 2e) –x – 2

Gabarito

1. d) 0

2. c) 0

3. d) 4 e 8

4. b) a > y >

5. m = 4

6. b) a – c

7. c) 4x3 – 2x2 – 16x + 8

8. d) –x + 2

CAPÍTULO 05

I. Divisão de polinômio por binômios do 1ºgrau

1. Teorema do restoConsiderando um polinômio qualquer P(x) e

o binômio ax + b e dividindo P(x) por ax + b, temos:

P(x) ax + b

P(x) = (ax + b) . Qx + Rx

R(x) Q(x)

Como o binômio ax + b tem grau 1, logo, o resto R(x) terá grau zero ou será nulo; concluímos que R(x) é uma constante que designaremos por k.

Calcularemos o valor de P(x), substituindo x por –b/a (raíz do binômio)

P(x) = (ax + b) . Qx + k

P(x) =

P(x) = 0 . Qx + kP(x) = k (resto)

O resto da divisão de um polinômio P(x), pelo binômio ax + b será igual ao valor numérico

do polinômio P(x) substituindo x = (raíz do

binômio)


1. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 + 4x – 1 por x + 3

Solução:

x + 3 = 0 x = -3 (raíz do binômio)P(-3) = (-3)3 – 2 . (-3)2 + 4 . (-3) – 1P(-3) = -27 – 18 – 12 – 1P(-3) = -58

2. Calcular o resto da divisão de P(x) = x3 – 6x2

+ 12x – 8 por x – 2

Solução:

x – 2 = 0 = +2 (raíz do binômio)

P(+2) = (+2)3 – 6 . (+2)2 + 12 . (+2) – 8

P(+2) = +8 – 24 + 24 – 8

P(2) = 0 (Divisão exata pois o resto é zero)

2. Teorema de DalembertÉ uma extensão do teorema do resto.

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax + b, quando:


1. Verificar se o polinômio P(x) = 4x2 – 12x + 9 é divisível por 2x – 3

72

Cláudio Freire

Para

Solução:

2x – 3 = 0 x = 3/2 (raíz do binômio)

2. Encontrar o valor de k para que o polinômioP(x) = 3x3 – 2x2 – 3x – 2k seja divisível por x – 1

Solução:

x – 1 = 0 x = 1 (raiz do binômio)

P(1) = 0

P(1) = 3 . 13 – 2 . 12 – 3 . 1 – 2k = 0

3 – 2 – 3 – 2k = 0

-2k = 2.(-1)

+2k = -2

k = -2/2 k = -1

Exercícios

1. (U.F.R.R.J.) O polinômio 2x3 – 9x2 + 13x + k é divisível por (x – 2).Então a constante k é:a) -9 b) -6 c) 0 d) 2 e) 10

2. (U.F.R.J.2000) O polinômio:P(x) = x3 – 2x2 – 5x + d, d lR é divisível por (x – 2)b) Determine dc) Calcule as raízes da equação P(x) = 0

Sugestão: Depois de encontrar “d” usar do P(2) = 0 fatorar o polinômio por agrupamento e em seguida achar as raizes x1, x2 e x3

3. (Unificado 98) O resto da divisão do polinômio x3 + px + q por x + 1 é 4 e o resto da divisão desse mesmo polinômio por x – 1 é 8. O valor de P é:a) 5 b) -4 c) 0 d) 1 e) 8

4. (Unificado-98) Se o polinômio P(x) = 2x3 – 4x + a é dividido por D(x) = x – 2. O valor de a é:a) -8 b) -6 c) –4 d) –2 e) 2

5. (EEAR-88) O resto da divisão de:

P(x) = 2x3 + 3x2 + kx – 3 por 2x + 1 é 2. O valor de k/3 é:a) -3 b) -2 c) 2 d) 3

6. (C.NAVAL-82) O polinômio x3 + px2 + x + q é divisível por x + 1. Logo p + q é igual a:a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

7. (FEI-SP)Se na divisão do polinômio P(x) = x3

+ 5x – 4 pelo polinômio Q(x) obtém-se um quociente x e um resto R(x) que é divisível por x – 1, então R(x) vale:a) x – 1 d) 4(x – 1)b) 2(x – 1) e) 5(x – 1)c) 3(x – 1)

8. (UEBA) No polinômio P(x) = x3 + mx2 + m2x – 5 para que P(-1) = 2 . P(1) é preciso ter:a) m = 1 ou m = -2b) m = 2/3 ou m = -1c) m = 3/2 ou m = -2d) m = -1 ou m = -2e) m = 2/3 ou m = 1

9. (UNIRIO) O resto da divisão de um polinômio P(x) por x – 3 é:a) 1 b) 3 c) -3 d) P(3) e) P(-3)

10. (CESGRANRIO) Se x5 + ax4 + b é divisível por x(x – 1) então a + b vale:a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

11. (UFRRJ) Se dividirmos o polinômio P(x) = x4n

+ 1 por Q(x) = x + 1, o resto da divisão será:a) sempre umb) sempre zeroc) um, se “n” é impard) zero se, somente se,”n” é pare) sempre dois12. (UERJ) A figura a seguir representa o gráfico de um polinômio P e uma reta r que lhe é secante nos pontos A(2,-3) e B(4,15)

a) Determine o resto da divisão de P(x) por x – 4.

b) Mostre que a reta representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x – 2) (x – 4)

13. (EFOMM-2002) Sendo o polinômio P(x) = Qx + 2x2 + 3x – 5 para qualquer x real sendo 1 raiz de P(x) e zero raiz de Q(x) calcule P(0) + Q(1).

73

-3 A

B15

y

4 x

2

Cláudio Freire

Para

a) -5 b) -3 c) 0 d) 3 e) 5

Gabarito

1. b) –6

2.a) d = 10b) x1 = 2, x2 = , x3 = -

3. d) 1

4. a) –8

5. a) –3

6. a) 2

7. d) 4(x – 1)

8. b) m = 2/3 ou m = -1

9. d) P(3)

10. b) –1

11. e) sempre dois

12.a) resto 15b) com o professor

13. a) –5CAPÍTULO 06

I. Dispositivo prático de Briot-Ruffini

Quando dividimos um determinado polinômio:

P(x) = por

um binômio do 1º grau x – a, o quociente se apresentará sob a forma Q(x) =

e o resto será

uma constante k conforme modelo abaixo:

P(x) x – a

k

Logo pela prova real.

Por polinômios idênticos, temos:

A demonstração acima se adapta ao dispositivo abaixo, conhecido como Briot-Ruffini.

Raiza an an-1 … a2 a1 a0


1. Calcula o quociente e o resto da divisão de:

P(x) = x4 – 2x3 + 2x – 4 po 2x – 4

Solução:

Como o divisor é da forma ax + b sendo a 1 e a 0, aplicamos o dispositivo prático de Briot-Ruffini, e devemos dividir o quociente pelo coeficiente de a, pois:P(x) = (ax + b) . Qx + k

P(x) =

P(x) =

Concluímos que:

Q1 = a . Qx Q(x) =

a = [coeficiente de x em (ax + b)]

Fique ligado!Todas as vezes que obtermos o quociente em uma divisão usando Briot-Rufini, devemos dividir o quociente pelo coeficiente de x

(x4 – 2x3 + 2x – 4) : (2x – 4) = ?

74

Cláudio Freire

Para

2x – 4 = 0 x = 4/2 x = 2 (raiz de2x – 4)

Coeficientes de P(x)

Raiz Coeficientes de P(x)2 1 -2 0 2 -4

1 0 0 2 0resto

vezes vezes vezes vezes

Quociente que é do 3º grau pois o dividendo é do 4º grau (x4) e o divisor é do 1º grau (x).

Logo:

Quociente

Quociente

Resto = 0

2. Encontrar o quociente da divisão de:P(x) = x4 – 8x3 + 12x2 + 32x – 17 porh(x) = x2 – 4x + 4

Solução:h(x) = (x – 2) (x – 2) Transformamos em binômio do 1ºgrauAplicamos Briot Ruffini duplamente, a saber :

x – 2 = 0 x = 22 1 -8 +12 +32 -172 1 -6 0 +32 +47

1 -4 -8 +16

Quociente = 1x2 – 4x – 8

Exercícios

1. (CEFET-89 2º fase) Determine o quociente e o resto da divisão de (2x2 – 5x + 1) por (x – 2)2. (CEFET-91 2º fase) Dê o resultado da divisão de:x3 + 2x2 – 5x – 7 por x – 2

3. (PUC-PR) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a), aplicou-se o dispositivo prático de Briot Ruffini, obtendo-se:

-3 5 m 49 nP 15 q 0

O número vale:

a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42

4. (UFF) O polinômio P(x) = x4 – 5x3 + 9x2 – 7x + 2 também pode ser escrito como P(x) = (x – 1)n ) (x – p). Assim, o valor de p é:a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

5. (CESGRANRIO) Se x3 – 2x2 + 5x – 4 = 0 tem uma raiz x1 = 1, então as outras duas raízes da equação são:a) Complexas não reais d) Negativasb) Racionais e) Reais de sinais

opostosc) Positivas

6. (UNI-RIO) Sabendo-se que o número 3 é raiz dupla da equação ax3 + bx + 18 = 0 os valores de a e b são, respectivamente:a) 1/3 e –9 d) –1/3 e 9b) 1/3 e 9 e) 1 e –3c) –1/3 e –9

7. (UFF) Para que o polinômio P(x) = x4 – 4x3 + 3x2 + mx + n tenha 1 e -1 como raízes,os valores de m e n devem ser, respectivamente:a) 0 e 1 d) 4 e –4b) 1 e 0 e) 4 e 4c) –4 e –4

8. (UFRJ) Considere o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 3x + 6. Considere o resto da divisão de P(x) por (x – 2). Ache as raízes de P(x) = 0.

Gabarito

1. Q(x) = 2x – 1 R(x) = -1

2. Q(x) =x2 + 4x – 3

3. e) 42

4. a) 2

5. a) Complexos não reais

6. a) +1/3 e –9

7. d) 4 e –4

8. x = 2, x =

UNIDADE IX

CAPÍTULO 01

I. Equação literal

São equações que além da variável principal aparecem “outras” denominadas “parâmetros”

75

mais

mais

mais

mais

igual

igual

igual

igual

Cláudio Freire

Para

O processo de resolução é o mesmo da fracionária ou da equação do 1º grau.


1. Resolver as equações literais em x.a) 2xk + x = -2x + 3

Solução:2xk + x + 2x = 3

2xk + 3x = 3

x(2k + 3) = 3

x = ,

verificação do denominador

2k + 3 0 =

V =

b)

Soluçãom.m.c. = (a.b)

xb + xa = 2

x(a + b) = 2

x =

V =

Exercícios

1. (EsPCEx) A raiz da equação

a) a+b b) b c) 1 d) a e) a.b

2. (EAM-2002) Na equação ,

expressando “a” em função de “R” e “b”, têm-se:a) a+b

b)

c)

d)

e)

3. (EEAr-99) Seja a equação (x – a) (x – b) = x(x + c) na variável x. Sabendo-se que “a”, “b” e “c” são os números que expressam as medidas dos lados de um triângulo, cujo perímetro é 8 m. Pode-se afirmar que a raiz dessa equação é:

a)

b)

c)

d)

4. (CEFET-2001) Sobre o conjunto verdade da equação

, no universo dos números reais

podemos afirmar que:a) é infinitob) é vazioc) contém números negativosd) contém dízimas periódicas

5. (ETFQ-98) Seja a fração onde P + t = 3 e

P . t = 5. Que número devemos adicionar aos termos da fração para encontrar o inverso do seu quadrado.

Gabarito

1. c) 1

2. c)

3. b)

4. b) é vazio

5.

CAPÍTULO 02

I. Discussão de um equação literal do 1º grau

76

Cláudio Freire

Para

Considerando a equação literal do 1º grau abaixo, temos:

ax – b = 0, a 0 e (a e b) IR

Encontrando o valor de x, vem

ax = b

x =

Quando a = 0 e b = 0, a equação terá infinitas soluções conforme ilustrado abaixo:

ax = b

x = -1, x = -2, x = 0, x = 2, x = 3, x = 4, x = m, etc

Verifica-se a igualdade

Quando a 0 a equação terá uma única solução.

Quando a = 0 e b 0 a equação será impossível (conjunto vazio)


1. O conjunto verdade da equação abaixo, na variável x será vazio se:

Solução

4x + 4 – 12 = 6mx – 6

4x – 6mx = -6 – 4 + 12

x(4 – 6m) = 2

x =

Logo:

4 – 6m = 0

–6m = -4 x(-1)

m =

ou

m = (substituindo m por fará com que o

denominador seja zero (0))

Logo:

m = V =

2. Determine os valores de “P” para os quais a equação

1 +

a) Admite uma única solução

Solução:

mmc = 4p

4P + 4x + 4 = +P2x

4x – P2x = –4 – 4P

x(4 – P2) = –4 – 4P

x =

diferente de zero

4 – P2 0 P2 4 P 2

Resposta P 2 e P 0

b) Não se admite solução

diferente de zero

x =

igual a zero

4 – P2 = 0 P = P = 2

–4 – 4P 0 –4P 4 P –4/4 P –1

Resposta: P = 2 ou P –1

c) Admite infinitas soluções

igual a zero

x =

77

Cláudio Freire

Para

igual a zero–4 – 4P = 0

–4P = 4 x(-1)

P = –4/4 P = –1

e também

4 – P2 = 0 P2 = 4 P = 2

Resposta: Não existe nenhum valor para “p” que

substituindo em x zere o numerador e

denominador ao mesmo tempo.

Exercícios

1. (QUIMICA TEXTIL-93) O conjunto verdade da

equação na variável x será o

conjunto vazio se:

a) k = -3/2b) k = -2/3c) k = 2/3d) k = 3/2e) k = 1/3

2. (CN-84) A equação k2x – kx = k2 – 2k – 8 + 12x é impossível para:

a) um valor positivo de kb) um valor negativo de kc) 3 valores distintos de kd) 2 valores distintos de ke) nenhum valor de k

3. (ETFQ) Para que a equação mx + 1 = 2x – m tenha uma só solução é necessário que:

a) m = 2b) m 1c) m 2d) m 0e) m = 1

4. (CN) Para que valor de “a” a equação

é indeterminada:

a) a = -1

b) a 2

c) a = 2

d) a 1

e) a = -3

5. (CN) Considere a equação do primeiro grau em

“x”, m2x – 9x = m – 3.

Pode-se afirmar que a equação tem conjunto verdade unitário se:

a) m = 3

b) m = -3

c) m 3

d) m 3

e) m 3 e m -3

6. (FUVEST-96) Determine todos os valores de

m para os quais a equação

a) Admite uma única solução.

b) Não admite solução.

c) Admite infinitas soluções.

7. (EsPCEx-94) Considere a equação em x dado por(m + 2) x = m2 – 4. Podemos então afirmar que esta equação:

a) Admite uma única solução x = m – 2 m IR

b) Não admite solução para m = -2

c) Admite uma única solução para m -2

d) Admite infinitas soluções, m IR

Gabarito

1. c) K = 2/3

2. b) um valor negativo de k

3. c) m 2

4. a) a = -1

5. e) m 3 e m -3

6.

a) m 2, m -2 e m 0

b) m = -278

Cláudio Freire

Para

c) m = 2

7. c) Admite uma única solução para m -2

UNIDADE X

CAPÍTULO 01

I. Equação fracionária

É toda equação em que aparece a variável principal no denominador

Exemplos:

a)

b)

1. Método de resolução Devemos extrair o m.m.c. entre os

denominadores Dividimos o resultado por seu respectivo

numerador Reduzimos os termos semelhantes Isolamos a variável principal

Fique ligado!O denominador de uma fração nunca pode ser zero, pois torna a divisão impossível.Depois de resolvermos uma equação fracionária devemos substituir o valor da variável no denominador de todas as frações para verificar se não torna o denominador nulo; o que inviabilizaria o valor da referida variável.


1. Resolver as equações abaixo em IR.

a)

Solução

Tirando o m.m.c. entre os denominadores fatorados2x – 2 = 2(x – 1)3 – 3x = 3(x – 1)x2 = x(x – 1)

m.m.c. = 2 . 3 . x(x – 1) Fator comum e não comum com os maiores expoentes.

9x + 12x = 72

21x = 72

x =

x =

Verificação dos denominadores2x – 2 0 x 13 – 3x 0 x 1x2 – x 0 x 0 e x 1

Portanto:

V =

b)

Tirando m.m.c. por decomposição simultânea em fatores primos

(4 – x);

(4 – x) (x – 3);

(x – 3) 4 – x

1; 1 . (x – 3); (x – 3) x – 31; 1 . 1; 1

m.m.c. (4 – x) (x – 3)

Dividindo o m.m.c. por cada denominador, vem:

4x – 12 – 2 + 2x = 16 – 4x

4x + 4x + 2x = 16 + 12 + 2

10x = 30

x =

x = 3

Verificação dos denominadores4 – x 0 x 4x – 3 0 x 3

Portanto:V =

79

denominador da 1ª fração denominador da 2ª

fração denominador da 3ª fração

Cláudio Freire

Para

c)

Verificamos que se o sinal do denominador da 3ª fração fossem opostos, o m.m.c. seria o produto dos outros dois denominadores, o que tornaria bem mais fácil a resolução.

Vamos colocar o sinal menos em evidência no denominador 3ª fração e em seguida, o multiplicar pelo sinal da fração.

Se não fizéssemos o procedimento acima o m.m.c. seria: (x – 3) (x + 3) (-x + 3) o que dificultaria sensivelmente a sua resolução.

Solução

m.m.c.

(x – 3); (x + 3); (x – 3) . (x + 3) (x – 3)1 . (x + 3); 1; (x + 3) (x + 3)1 . 1; 1 . 1

m.m.c. = (x – 3) (x + 3)

(6x + 2) (x + 3) = 6x (x – 3) + (2x – 1) . 1

6x2 + 18x + 2x + 6 = 6x2 – 18x + 2x – 1

6x2 – 6x2 + 18x + 2x + 18x – 2x = –1 – 6

36x = –7

x =

Verificação dos denominadoresx – 3 0 x 3x + 3 0 x –39 – x2 0 x2 9 x 3

Logo:

V =

Exercícios

1. (ETFQ) O conjunto verdade da equação abaixo é:

a) S = {-2}b) S = {2}c) S = d) S = {-1}e) S = {–4}

2. (ETFQ-90) Determine o valor de x em:

3. (ETFQ-94) Resolva a equação abaixo.

4. (ETFQ-93) Resolver a equação abaixo

5. (EsSA-93) O conjunto solução da equação

é:

a) V =

b) V =

c) V =

d) V =

e) V = {}

6. (EPCAr) Resolvendo-se a equação

podemos afirmar que a sua raiz

é um número.

a) múltiplo de 3

b) racional menor que –680

Cláudio Freire

Para

c) natural maior que 8

d) racional não negativo

e) inteiro negativo

7. (EAM-2000) Para a equação o

valor de x que a satisfaz está entre:

a) 2,4 e 2,5b) 2,4 e 2,5c) 2,5 e 2,56d) 2,56 e 2,8e) 2,58 e 2,9

8. (ETFQ-2000) Determine o valor da expressão (25 – 25x2), sabendo que o número real x é solução da equação

e que x 1

9. (ETFQ-98) Resolver a equação

, para x 1

10. (EAM-98) O conjunto solução da equação

, sendo U = R* é:

a) {1/2}

b) {-2}

c) {-1/2}

d) {2}

e) {-2/3}

11. (CN-2002) O conjunto solução da equação

é igual a

a) b) IR

c) IR – {-1,0,1}

d) IR – {-1,1}

e) {0}

Gabarito

1. c) S =

2. S = {-1/6}

3. S = {-2}

4. S = {8}

5. b) V = 4/3

6. e) inteiro negativo

7. d) 2,56 e 2,8

8. 24

9. V= {4}

10. a) {1/2}

11. a)

UNIDADE XI

CAPÍTULO 01

I. Radicais

Considerando os números reais “x” e “y” e “n” um número inteiro e positivo, obtemos:

= y yn = x

Exemplos:Considerando = 5, pois 53 = 125, vem:

= radical 125 = radicando 5 = raiz 3 = índice do radical

a) = 2,pois 24 = 16

b) = 3, pois 35 = 243

1. Raízes de índice ímpar

a) = -2, pois (-2)5 = -32

b) = -1, pois (-1)3 = -1

c) = 3, pois 33 = 27

2. Raízes de índice parConsideramos raiz de um número de índice

par “por convenção”, ao número “real positivo” que elevado ao índice resulte no radicando.

Exemplos:

a) = 8, pois 82 = 64

b) = 9, pois (92) = 81

81

Radiciação

Potenciação

Operação inversa

Cláudio Freire

Para

c) = no conjunto IR pois qual é o

número “positivo” que elevado ao quadrado

resulte em –36.

d) no conjunto IR, pois, qual é o

número “positivo” que elevado a quarta

potência resulte em –16.

Fique ligado!

- = -6 o sinal está fora da raiz

- , pois = solução em IR

3. Simplificação de radicaisA potenciação é o inverso da radiciação,

portanto, transformamos a radiciação em potenciação, simplificamos e em seguida, se possível transformamos a mesma em radiciação.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

= x.y

h)

=

i) 160,5 = = = = 22 = 4

Exercícios

1. Calcule:

a) = g) =

b) = h) =

c) = i) - =

d) = j) =

e) = l) =

f) = m)

=

2. Simplifique os radicais da forma mais simples

a) = e) =

b) = f) =

c) = g) =

d) = h) =

Gabarito

1. a) 4 g) 4x2y2

b) –5 h) 6x – 1

c) em IR i) –5x

d) 10 j) em IR

e) 5 l) 1

f) 4y3 m) 2

2. a) 4 c) 2 e) 10 g) 5/3b) d) 6 f) 4/3 h) 2/3

CAPÍTULO 02

I. Radical duplo

Todo radical tipo é considerado radical duplo, conforme veremos nos exemplos abaixo.

a) d)

82

Cláudio Freire

Para

A = 6B = 20

A = 3B = 5

b) A = 8B = 15

e) A = 4B = 2

c) A = 2B = 3

Repare que (A2 – B) é um quadrado perfeito nos exemplos letras “a”, “b”, “c” e “d”.

No exemplo letra “e” não é um quadrado perfeito, pois A2 = B = 16 – 2 = 14.

DicaSó conseguimos transformar radical duplo em radical simples quando (A2 – B) for um quadrado perfeito .

II. Transformação de radical duplo em radical simples

Demonstração

=

Elevando-se ao quadrado vem:

A = x 2 + yA = x + y

x + y = A y = A – x

4xy = B

Resolvendo o sistema e substituindo em vem:

4x . (A – x) = B

4Ax – 4x2 = B

Resolvendo a equação literal, vem:4x2 – 4Ax + B = 0

x =

x =

x =

x1 =

x2 =

Substituindo x1 e x2 em ou obtemos:

x = e y =

Substituindo, vem:

=

=


1. Transformar os radicais duplos em simples:

a)

b) = –

= –

=

= (racionalizando, vem:)

=

Exercícios

1. Transformar em radical simples:

83

RadicalDuplo

RadicalSimpl

es

A B

Radical

Duplo

RadicalSimples

A B

Cláudio Freire

Para

a) = c) =

b) = d) =

Gabarito

1. a) impossível, pois 72 – 3 = 46 não é um

quadrado perfeito.

b) c) d)

CAPÍTULO 03

I. Propriedades dos radicais

1. Radical de um produtoÉ igual ao produto de radicais

a)

ou, pela propriedade

b)

c)

2. Radical de um quocienteÉ igual ao quociente dos radicais.

a)

ou, pela propriedade

b)

c)

3. Radical de um radicalÉ o radical cujo índice é igual ao produto dos

índices de todos os radicais.

a)

b)

c)

=

=

4. Potência de um radicalMultiplicamos o expoente da potência pelo

expoente do radicando.

a)

b)

Macete

a)

b)

c)

Exercícios

1. Aplique as propriedades convenientes dos radicais:

a) = h) =

b) = i) =

c) = j) =

d) = l) =

e) =m) =

84

Cláudio Freire

Para

f) = n) =

g) =

2. (PUC-SP) Simplificando , obtemos:

a) b) c) d)

3. (PUC-RJ) O valor de é:

a) 0,222… b) 0,333… c) 0,444… d) 0,666…4. (U. Pelotas-RS) O valor da expressão:

é:

a) 0,5 b) 0,25 c) 0,75 d) 1

5. (PUC-SP) O valor de é:

a) 15 b) c) d)

6. (SANTA CASA - SP) A diferença 80,666… - 90,5 é igual a:

a) 1 b) 2 c) –2 d) -2

7. (EPCAr-2002) A diferença 80,666… - 90,5 é igual a:

a) –2 b) - 3 c) –2 d) 1

8. (EPCAr-2002) O inverso de , com x > 0

e y > 0, é igual a:

a) b) c) d)

9. (EPCAr-2001) marque a alternativa falsa:

a) = x somente se x 0

b) , a R*+

c) = x + 1, x IR

d)

10. (E.A.M-2002) A expressão é igual o

a) b) c) 2 d) 10 e) 100

11. (EEAr-2001) Supondo definida em IR a fração:

, o seu valor é:

Sugestão: Aplicar propriedade do produto, do quociente e fatoração.

a)b) a + 1c) a – 1d) a12. (EPCAr-85) Sendo a e b números naturais com a > b então :

Sugestão: Usar produtos notáveis,

a + b - 2 =

a) a) b) b) c) c) d) d) e) e)

13. (CEFET-93) Simplificando o radical

:

Sugestão: Transformar a2 – 2ab + b2 em (a – b)2

a) (a + b) (a – b) d) (a – b)2abb) (a – b)2 e) (a + b) – 2abc)

14. (EAM-98) Sendo x =

então o valor de igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 8 e) 10

15. (FAETEC-99) Seja B = {x IN / 3 < x < 20} a raiz quadrada do número de elementos do conjunto B é:

a) 16b) 8c)d) 4e) -416. (EsSA-85) Calculando o valor da expressão

, obtemos:

a) a16

b) a-16

c) a-15

85

Cláudio Freire

Para

d) d)

e) e)

17. (EsPCEx-85) Simplifique

18. (EEAr-90) Para x 0 e y 0 a expressão

é igual a:

a) –2xy b) c) d)

19. (EsSA-85) Racionalizando-se a expressão

, obteremos:

Sugestão usar propriedade do quociente

a) d) m – n – 2

b) e)

c) m + n – 2

20. (EsSA-93) Sendo a R* o valor da

expressão é:

a)b) ac)

d) ae) a2

21. (CEFET-2001) Considerando a e b números reais não-nulos, analise as sentenças abaixo.

I. (a2 + b3)2 = a4 + b6

II.

III.

IV.

V.

O número de sentenças verdadeiras é:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

22. (CEFET-2002) Obtenha o valor numérico da expressão abaixo, considerando x = 0,625, y = 0,125 e z = 0,625

=

23. (UNI-RIO-95) O valor de

é:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

24. (UFRN-84) é igual a:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

Gabarito

1. a) 4 h) 3

b) 6 i) 2

c) 3 j)

d) l) x – y

e) 2 m) x7 .

f) 6 n) 2x3k

g) 5

2. b) 5/2 14. b) 2

3. d) 0,666… 15. d) 4

4. d) 1 16. e)

5. c) 5/3 17.

6. a) 1 18. c)

7. d) 1 19. a)

8. b) 20. c)

86

Cláudio Freire

Para

9. b) 21. a) 0

10. d) 10 22. 1

11. d) a 23. c) 3

12. c) 24. a) 4

13. c)

CAPÍTULO 04

I. Operações com radicais

1. Radicais semelhantesSão radicais que possuem mesmo radicando

e mesmo índice. Podem ser somados ou subtraídos.a) 3 e são semelhantes

b) -2 e 4 são semelhantes

c) e não são semelhantes

d) e não são semelhantes

2. Adição e subtração de radicaisSomamos ou subtraímos os termos externos

dos radicais “semelhantes” ou se possível “extraímos suas raízes” e simplificamos o resultado.

Exemplos:a) –3 + 5 – 4 – 2 = –7 + 3

b) –6 + 4 + 1 . – 6 = –5 – 2

c)

d) 8 – 6 = 8 – 6(Não podem ser subtraídos, pois não são semelhantes)

e)

f)

Exercícios

1. Identifique o par de radicais semelhantes:

a) –x e d) e y

b) e e) e

c) e 4

2. Calcule

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) xy – 6xy + 10xy =

3. (EsSA-92) Simplificando encontramos:

a)b) 10c) 5d) 6e) –

4. (UF-GO) O número é igual a:

a) 0b) 4c)d)

5. (UF-MG) O número é equivalente

a:

a) 10 – 9 c) 18 – 29b) 14 – 15 d) 4 – 15

6. (EEAr-87) é igual a:

a) 8b) 4c) 8d) 16

7. (CTUR-2001) O valor da expressão:

é:

a) 2b) 2,5c) zerod) -1e) –2,5

87

Cláudio Freire

Para

8. (EsSA-99) Simplificando obteremos:

a)

b) -

c) c)

d) -4

e) -2

9. (EEAR-88) Efetuando a adição

obtém-se:

a) b) c) 12 d) 36

10. (EEAR-98) Efetuando encontra-se

a) 15

b) 15

c) 32a2

d) 32a

11. (EPCAr-83) A expressão é equivalente a:

Sugestão: Transformar o radical duplo =

em radical simples ou transformar 6 - 2 em

.

a) - 1

b) - 1

c) - 1

d) -1 e) - 1

12. (CN-83) é igual

a:

Sugestão: Transformar em e em seguida usar

radical duplo, transformando em simples.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5

Gabarito

1. c) e 4

2.a) 3 d)

b) 6 e) 5a

c) 10 f) 5xy

3. c) 5

4. a) 0

5. d) 4 – 15

6. c) 8

7. c) zero

8. d) -4

9. c) 12

10. d) 32a

11. c) - 1

12. d) 2

CAPÍTULO 05

Redução de radicais ao mesmo índice

Através do m.m.c. (mínimo múltiplo comum) entre os índices, podemos reduzir os mesmos ao mesmo índice.

O novo índice será o próprio m.m.c.Exemplos:

a) , e

Solução:

m.m.c. (3,6,4) = 12

Dividimos o m.m.c. por cada índice e o resultado multiplicamos pelo expoente do radicando.

, e

Reduzimos ao mesmo índice (m.m.c.)b) Comparar os radicais e colocam em ordem

crescente.

m.m.c. (3,4,6,2) = 12

88

Cláudio Freire

Para

Resposta:

Multiplicação ou divisão de radicais

1. Os radicais tem mesmo índiceMultiplicamos ou dividimos os radicando e

conservamos os índices.Exemplos:

a)

b)

c)

d)

2. Os radicais tem índices diferentesPrimeiramente devemos reduzir os radicais

ao mesmo índice, e só assim podemos fazer a multiplicação ou divisão.

Exemplos:

a) =

Solução:m.m.c. (6,3) = 6

=

=

=

=

=

b) =

Solução:m.m.c. (4,2) = 4

=

3. Caso especial de produtoExemplo:Sabendo-se que x + y = 13 e x.y = 36

calcule: .Solução:

Devemos elevar o mesmo ao quadrado:

Exercícios

1. Calcular os produtos e as divisões:

a) =

b) =

c) =

d) =

e) =

f) =

g) =

h) =

Sugestão: ver exercício resolvido em redução ao mesmo índice para exercícios e

2. (EEAr-90) Comparando

I.

II.

III.

Pode-se afirmar que:

a) II e I são falsosb) I e II são verdadeirosc) I e III são verdadeirosd) somente o II é verdadeiro

3. (EPCAr-84) Se A = , B = , C = , assinale a opção que apresenta numa sentença verdadeira:

a) C < B < Ab) A < C < B

89

Produtos Notáveis

Cláudio Freire

Para

c) C < A < Bd) B < C < Ae) B < A < C

4. (PUC-SP) Os números , e são colocados:

a) em ordem crescenteb) em ordem decrescentec) em ordem não decrescented) nada disso

5. (MACK-SP) A expressão + . é igual a:

a) 56 c) + 6

b) d)

6. (FIA-SP) A expressão . é igual a:

a)b)c) 2d) n.d.a.

7. (IEEP-SP) Se a = e b = , então o valor de a . b é:

a)

b)

c)

d)

8. (UMC-SP) Se x = 1 + , então x2 – 2x + 1 é igual a:

Sugestão: Para evitar um cálculo muito extenso, transformar x2 – 2x + 1 em (x – 1)2

a) 2b)c) 2 + d) 1 +

9. (UFRN) O valor que devemos adicionar a 5 para obtermos o quadrado de + é:

Sugestão: Calcular

a)b) 2c) 2d) 2

10. (EEAr) Simplificando a expressão:

obtém-se:

a) 0b) 1c) 2d) 3

11. (EEAr) É verdadeira a igualdade:

a)b)

c)

d)

12. (EEAr) Simplificando a expressão

, obtém-se:

a) x – yb) y – xc)d)

13. (EPCAr-81) Efetuando o produto

obteremos como

resultado:

a) um número racionalb) a expressão

c) a expressão d) o número inteiro 117e) o número inteiro 3

14. (ETFQ-93) Determine o valor numérico simplificando e racionalizando a expressão:

p =

15. (CTUR-90) O resultado mais simples de

, é:

a) 3

b)

c)

d)

e)

16. (CN-2001) O valor da expressão

90

Cláudio Freire

Para

é:

a)

b)

c) 0

d) 1

e) -1

17. (CEFET-99) O número d = é um natural. Qual é esse

número?

Sugestão: Elevar os dois membros da equação ao quadrado.

18. (EEAr-2002) Se K = , então é igual a:

Sugestão: Elevar os dois membros ao quadrado.

a)

b)

c) K2 – 8

d) k2

19. (CN-2001) O valor de

é:

Sugestão: igualar toda a expressão acima a k e elevar ao quadrado os dois membros.

a)

b)

c)

d)

e)

20. (CN-2002) Se 2 < x < 3então;

é igual a:

Sugestão: Igualar toda expressão acima a “k” e elevar ao quadrado os dois membros.

a) 2b)c) 2d) 2e) 3

21. (EsPCEx-84) Calcular e racionalizar

Gabarito

1. a) 6 c) x e) 2 g) x

b) 3 d) 2 f) h)

2. d) somente o II é verdadeiro

3. d) B < C < A

4. b) em ordem decrescente

5. d)

6. c) 2

7. c)

8. a) 2

9. d) 2

10. c) 2

11. c)

12. d)

13. e) o número inteiro 3

14. P = 500

15. c)

16. c) 0

17. d = 2

18. a)

91

Cláudio Freire

Para

19. e)

20. a) 2

21. 2 + CAPÍTULO 06

I. Racionalização de denominadores

Racionalizar significa tornar racional o denominador, ou seja, eliminar qualquer raiz do denominador de uma fração sem alterar a mesma. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador sempre pelo mesmo número.

Não existe uma fórmula específica para tal, mas sim alguns artifícios aos quais veremos a seguir.

1. O denominador é um radical de índice 2Multiplicamos o denominador e o numerador

pelo mesmo número.Exemplos:

a)

b)

c)

d)

e)

2. O denominador é um radical com índice diferente de 2

Multiplicamos o denominador e o numerador por um radical de mesmo índice e mesmo radicando do original, porém com o seu expoente sendo a diferença do índice e expoente do radicando do original.

Exemplos:

a)

b)

c)

d)

3. O denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um deles radical

Multiplicamos os termos da fração pelo conjugado do denominador.

Exemplos:

a)

=

b)

Casos especiaisLembrete:x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)x3 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2)x5 + 1 = (x + 1) (x4 – x3 + x2 – x + 1)x7 + 1 = (x + 1) (x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1)x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)x7 – 1 = (x – 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x3 + x2 + x + 1)

Alguns exemplos relativos ao lembrete:a)

=

b)

92

x + y x – y x2 – y2

x – y x2 – xy +

y2

x3 – y3

x2 – xy +

y2

x + y

Cláudio Freire

Para

c)

=

=

Exercícios

1. Racionalizar:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Racionalize:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3. Racionalize os denominadores

a)

b)

c)

d)

e)

f)

4. (MACK-SP) Racionalizando o denominador da

fração , obtemos:

a) 2 + b) 2 - c) 3 + d) - 2

5. (CESGRANRIO) Racionalizando o

denominador, vemos que a razão é igual

a:a) 2 + b) b) + c) 1 + 2d) 2 + 2

6. (UNIP-SP) é igual a:

a) + 1b) - 1c) + 3d) 2 - 3

7. (FUVEST-SP) é igual a:

a) + +

b) + -

c) - -

d) + -

8. (FUVEST-SP) Qual é o valor da expressão

:

a) 4b) 3c) 2d)

9. (CTUR-2000) O inverso do número é:

93

x3 –

y3

x + y x4 – x3 + x2 – x

+ 1

x5 +

15

Cláudio Freire

Para

a)

b)c) 3d)e) –3

10. (EPCAr-81) Depois de simplificar a fração

, você encontrará:

a) -6

b) -

c) –7

d) 7

e) 1

11. (PUC-96) Considere os números a = ,

b = e C = , então:

a) a< b < cb) b < c < ac) c < a < bd) b < a < ce) a < c < b

12. (C.M.R.J.-97) O valor simplificado da expressão

E = é:

a)

b)

c)

d)

e)

13. (C.M.R.J.-98) Racionalizando o denominador

da expressão , encontraremos

Sugestão: Transformar em e em seguida usar

o produto notável (x – y) (x2 + xy + y2)

a)

b)

c)

d)

e)

14. CEFET-93) (2ª fase) Mostre que:

15. (CN-82) Efetuando

obtém-se:

Sugestão: Racionalizar e em seguida transformar o radical duplo em radical simples

a) 4 b) c) d) 2/3 e) 1

16. (CN-97) O valor de:

é:

Sugestão: Fatorar como

diferença dois quadrados x2 – y2 = (x – y) (x + y)

a)

b)

c)

d)

e)

17. (EsSA-92) Racionalizando a fração ,

obtemos:

a) 10 + 5 d) -5b) 10 – 5 e) 5

c) 5 - 10

18. (EsSA-91) Racionalizando o denominador

da expressão , obtemos:

94

Cláudio Freire

Para

a) 3 d) 3 +

b) -2 + 5 e)

c) 2 +

19. (EPCAr) Depois de racionalizar e efetuar os

cálculos em , obtem-se como

resultado:

a) 7 d) b) 7 - 2 e) c)

20. (EPCAr-83) Racionalizando o denominador

da fração encontramos:

a) b) c)

d) e)

21. (CN-94) O número é:

a)

b)

c)

d)

e)

Sugestão: Transformar em e em

seguida racionalizar

22. (EPCAr-84) Racionalizando o denominador

da expressão encontramos:

a) d)

b) e)

c)

23. (EPCAr-85) A expressão é

equivalente a:

a) -2 d) - b) -2 e) + c) 2

24. (EPCAr-85) Considere a expressão E =

, racionalize o denominador

simplificando o quociente encontrado e calcule o valor numérico para x = 2:

a) 1 b) 0 c) 2 d) -2 e) –3

25. (EEAr-85) Racionalizando-se o denominador

da fração obtém-se:

a) c)

b) d)

26. (EsPCEx-83) Racionalizar o denominador da

expressão

27. (EsPCEx-85) Simplifique :

Gabarito

1.

a) b) c)

d) e)

2.

a) d)

b) e)

c) f)

3.

a) d)

b) e)

c) f)

4. a) 2 + 16. e)

5. a) 2 + 17. e) 5

95

Cláudio Freire

Para

6. d) 2 - 3 18. b) -2 + 5

7. d) + - 19. a) 7

8. a) 4 20. a)

9. d) 21. c)

10. b) – 22. a)

11. e) a < c < b 23. c) ) 2

12. a) 24. a) 1

13. e) + 1 25. c)

14. Afirmativa verd. 26.

15. a) 4 27.

96

parte 059 - 094

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