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Introduccion a la teorıa de la interpolacionInterpolacion de Lagrange

Construccion del polinomio de interpolacion por recurrenciaError de interpolacion

Interpolacion polinomial a trozosResumen

Parte 6. Interpolacion

Gustavo Montero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2004-2005




1 Introduccion a la teorıa de la interpolacion

2 Interpolacion de Lagrange

3 Construccion del polinomio de interpolacion por recurrencia

4 Error de interpolacion

5 Interpolacion polinomial a trozos

6 Resumen




El problema de la interpolacion






6 Resumen






Planteamiento del problemaEncontrar una funcion facil de construir y de evaluar que coincida con una funcion dada en una serie de datosconocidos.







Interpolacion polinomialSupongamos conocidos n + 1 puntos de f (x), planteamos el polinomio de grado n

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

Para que el polinomio pase por los n + 1 puntos

a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an xn

0 = f (x0) = f0

a0 + a1 x1 + a2 x21 + · · · + an xn

1 = f (x1) = f1

.

.

. =

.

.

.

a0 + a1 xn + a2 x2n + · · · + an xn

n = f (xn) = fn







Interpolacion polinomialLa existencia del polinomio depende que el determinante de Vandermonde no se anule,

∆n =

��1 x0 x2

0 · · · xn0

1 x1 x21 · · · xn

1· · · · · · · · · · · ·1 xn x2

n · · · xnn

��=

nYi=1j<i

�xi − xj

�

Si todos los xi son distintos entre sı, entonces ∆n 6= 0.




Formula de LagrangeFormula de Lagrange para soporte equidistante






6 Resumen





Formula de Lagrange

Construccion de los polinomios de LagrangeBuscamos un polinomio de grado n, nulo en todos los puntos xi excepto en un determinado xk donde debe tomarla unidad,

lk (x) = anY

i=0i 6=k

(x − xi )

Para que lk (xk ) = 1,

a =1Qn

i=0i 6=k

(xk − xi )

Por tanto, los polinomios de Lagrange resultan,

lk (x) =nY

i=0i 6=k

(x − xi )

(xk − xi )=

(x − x0) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)

(xk − x0) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)





Formula de Lagrange

Obtencion de la formula de LagrangeEntonces un polinomio que tome los valores z0, z1, . . . , zn en x0, x1, . . . , xn , respectivamente, sera de la forma

p(x) =nX

k=0

zk lk (x) = z0 l0(x) + z1 l1(x) + · · · + zn ln(x)

y si zk es el valor de una determinada funcion en xk ,

p(x) =nX

k=0

f (xk )lk (x) = f (x0)l0(x) + f (x1)l1(x) + · · · + f (xn)ln(x)





Formula de Lagrange para soporte equidistante

Formula de Lagrange para soporte equidistanteSi tomamos los xk equiespaciados a una distancia h,

xk = x0 + k h k = 0, 1, ..., n

podemos realizar el cambio de variable x = x0 + s h,

l(x) = lk (x0 + s h) =nY

j=0j 6=k

s − j

k − j

ya quex − xj = (s − j)h

xk − xj = (k − j)h

definiendo entonces,uk (s) =

nYj=0j 6=k

s − j

k − j

La formula de Lagrange resulta,

p(x) = p(x0 + s h) = q(s) =nX

k=0

zkuk (s)




Diferencias divididasFormula de NewtonDiferencias finitas






6 Resumen





Diferencias divididas

DefinicionSi llamamos

A0 = f (x0)

Ak =f (xk )− pk−1(xk )Qk−1

i=0 (xk − xi ), k ≥ 1

entonces

pn(x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)(x − x1) + · · · + An(x − x0) · · · (x − xn−1)

Los coeficientes Ak se denominan diferencias divididas y se suelen representar de la forma,

Ak = f [x0, x1, . . . , xk ]






DefinicionSi llamamos

A0 = f (x0)

Ak =f (xk )− pk−1(xk )Qk−1

i=0 (xk − xi ), k ≥ 1

entonces

pn(x) = A0 + A1(x − x0) + A2(x − x0)(x − x1) + · · · + An(x − x0) · · · (x − xn−1)

Los coeficientes Ak se denominan diferencias divididas y se suelen representar de la forma,

Ak = f [x0, x1, . . . , xk ]

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )

(xi − x0) · · · (xi − xi−1)(xi − xi+1) · · · (xi − xn)

f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1

, . . . , xjk], siendo j0, j1, . . . , jk cualquier permutacion de 0, 1, . . . , k

f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )






Calculo de diferencias divididas

x0 f [x0]f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :

x3 f [x3] f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :

x4 f [x4] : : : :: : : : : :







x0 f [x0]f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :

x3 f [x3] f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :

x4 f [x4] : : : :: : : : : :

EjemploConsideremos el caso de

f (x) = Lx

conx0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x2 = 4, x4 = 5







1 0f [x0, x1]

2 0.6931 f [x0, x1, x2]f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

3 1.0986 f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4] :

4 1.6863 f [x2, x3, x4] : :f [x3, x4] : : :

5 1.6094 : : : :: : : : : :

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )


f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1


f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )







1 00.6931

2 0.6931 f [x0, x1, x2]0.4055 f [x0, x1, x2, x3]

3 1.0986 f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 f [x1, x2, x3, x4] :

4 1.3863 f [x2, x3, x4] : :0.2231 : : :

5 1.6094 : : : :: : : : : :

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )


f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1


f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )







1 00.6931

2 0.6931 −0.14380.4055 f [x0, x1, x2, x3]

3 1.0986 −0.0589 f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 f [x1, x2, x3, x4] :

4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :

5 1.6094 : : : :: : : : : :

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )


f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1


f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )







1 00.6931

2 0.6931 −0.14380.4055 0.0283

3 1.0986 −0.0589 f [x0, x1, x2, x3, x4]0.2877 0.0089 :

4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :

5 1.6094 : : : :: : : : : :

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )


f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1


f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )







1 00.6931

2 0.6931 −0.14380.4055 0.0283

3 1.0986 −0.0589 −0.04850.2877 0.0089 :

4 1.3863 −0.0323 : :0.2231 : : :

5 1.6094 : : : :: : : : : :

Propiedades

f [x0, x1, . . . , xk ] =Pk

i=0

f (xi )


f [x0, x1, . . . , xk ] = f [xj0, xj1


f [x0, x1, . . . , xk ] =f [x0, . . . , xk−1]− f [x1, . . . , xk ]

(x0 − xk )





Formula de Newton

Polinomio de Interpolacion de NewtonUtilizando diferencias divididas, la formula de Newton resulta,

pn(x) =nX

i=0

24f [x0, x1, . . . , xi ]

i−1Yj=0

(x − xj )

35





Formula de Newton

Polinomio de Interpolacion de NewtonUtilizando diferencias divididas, la formula de Newton resulta,

pn(x) =nX

i=0

24f [x0, x1, . . . , xi ]

i−1Yj=0

(x − xj )

35

Ventajas frente a la formula de Lagrange

En el paso a un polinomio de grado n + 1 todos los calculos realizados para el de grado n sonaprovechables y solo es necesario andir un sumando mas. Esto no es posible con la formula de Lagrange,donde todos los calculos deben volver a realizarse sin poder aprovechar los anteriores.

Se pueden disponer los calculos de forma mas eficiente que en el caso de Lagrange,

b0 = an ; k = 0

bk = an−k + (x − xn−k )bk−1; k ≥ 1

siendo ai = f [x0, . . . , xi ] y bn el valor de pn(x) para un valor de x dado.





Diferencias finitas

Diferencias finitas progresivasCosideraremos un soporte equidistante xj = x0 + j h

∆f (xk ) = f (xk + h)− f (xk ) = f (xk+1)− f (xk )

∆fk = fk+1 − fk

∆2fk = ∆(∆fk ) = ∆fk+1 − ∆fk

.

.

.

.

.

.

.

.

.

∆n+1fk = ∆n(∆fk ) = ∆nfk+1 − ∆nfk

x0 f0∆f0

x1 f1 ∆2f0∆f1 ∆3f0

x2 f2 ∆2f1 ∆4f0∆f2 ∆3f1 :

x3 f3 ∆2f2 : :∆f3 : : :

x4 f4 : : : :: : : : : :





Diferencias finitas

Diferencias finitas regresivas

∇fk = fk − fk−1

∇n+1fk = ∇nfk −∇nfk−1





Diferencias finitas

Diferencias finitas regresivas

∇fk = fk − fk−1

∇n+1fk = ∇nfk −∇nfk−1

Propiedades de las diferencias finitas

∇fk = ∆fk−1, . . . , ∇nfk = ∆nfk−n

∆nfk = n!hnf [xk , xk+1, . . . , xk+n ]

∆nfk =Pn

i=0(−1)n−i�

ni

�fk+i





Diferencias finitas

Polinomio de interpolacion usando diferencias finitasConsiderando un soporte equidistante y utilizando la segunda propiedad en la expresion del polinomio de Newtoncon diferencias divididas resulta la formula de Newton progresiva,

p(x) = p(x0 + th) =nX

i=0

24∆i f0

i!

i−1Yj=0

(t − j)

35 =

nXi=0

�ti

�∆i f0

Si partimos de esta otra expresion de la formula de Newton,

p(x) =nX

i=0

24f [xn, xn−1, . . . , xn−i ]

i−1Yj=0

(x − xn−j )

35

obtenemos la formula de Newton regresiva,

p(x) = p(x0 + th) =nX

i=0

24∇i fn

i!hi

i−1Yj=0

(x − xn−j )

35 =

nXi=0

�t+i−1

i

�∇i fn




Estudio del error de interpolacion






6 Resumen






Expresion del error de interpolacionDefinimos el error de interpolacion como

E(x) = f (x)− pn(x) = f [x0, x1, . . . , xn, x]nY

i=0

(x − xi )

Si f ∈ Cn [a, b] ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) tal que f [x0, . . . , xn ] =f (n(ξ)

n!

Esto se puede demostrar aplicando sucesivamente el teorema de Rolle.Por tanto,

E(x) = f (x)− pn(x) =f (n+1(ξ)

(n + 1)!

nYi=0

(x − xi )

Si M = maxa≤t≤b

��f (n+1(t)�� ⇒ |E(x)| ≤

M

(n + 1)!max

a≤t≤b

��nY

i=0

(x − xi )

��






Expresion del error de interpolacionDefinimos el error de interpolacion como

E(x) = f (x)− pn(x) = f [x0, x1, . . . , xn, x]nY

i=0

(x − xi )

Si f ∈ Cn [a, b] ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) tal que f [x0, . . . , xn ] =f (n(ξ)

n!

Esto se puede demostrar aplicando sucesivamente el teorema de Rolle.Por tanto,

E(x) = f (x)− pn(x) =f (n+1(ξ)

(n + 1)!

nYi=0

(x − xi )

Si M = maxa≤t≤b

��f (n+1(t)�� ⇒ |E(x)| ≤

M

(n + 1)!max

a≤t≤b

��nY

i=0

(x − xi )

��CorolarioEs enganoso creer que aumentar el numero de puntos de interpolacion (relacionado con el grado del polinomio deinterpolacion) va a hacer que el correspondiente polinomio de interpolacion se aproxime mas a f (x). De hecho, conel aumento del grado del polinomio las oscilaciones de la funcion interpoladora aumentan tambien.




Interpolacion de Lagrange a trozosInterpolacion mediante splines cubicas






6 Resumen





Interpolacion de Lagrange a trozos

Problemas del polinomio unico de interpolacion

Naturaleza oscilatoria de los polinomios

Una pequena variacion en los datos de una zona determinada del intervalo de calculo puede producirgrandes fluctuaciones en todo el intervalo









Alternativa: interpolacion polinomial a trozosSe trata de dividir el intervalo en varios subintervalos y construir un polinomio de interpolacion diferente en cadauno de ellos preservando algunas propiedades en los puntos del soporte como continuidad, derivabilidad, ...










Interpolacion a trozos mas simpleEl caso mas simple interpolacion a trozos consiste entrazar la poligonal (lıneas rectas) entre los puntos dados(datos) de la funcion a interpolar,










Interpolacion a trozos mas simpleEl caso mas simple interpolacion a trozos consiste entrazar la poligonal (lıneas rectas) entre los puntos dados(datos) de la funcion a interpolar,

Interpolacion de Lagrange a trozosEl caso anterior se puede considerar como una interpolacion deLagrange con polinomios de grado 1 (interpolacion lineal).Podemos generalizar esta tecnica tomando mas de dos puntospor intervalo, lo que permite utilizar polinomios de Lagrange deorden mayor a 1.





Funciones splines

Funcion spline de grado mEs una funcion s(x) definida en [a, b] con nodos en a = t1, t2, . . . , tn−1, tn = b, tal que

La restriccion de s(x) a cada intervalo [ti , ti+1], con i = 1, 2, . . . , n − 1, es un polinomio de grado nomayor que m.

La funcion s(x) y sus derivadas hasta orden m − 1 inclusive son continuas en [a, b].





Funciones splines

Funcion spline de grado mEs una funcion s(x) definida en [a, b] con nodos en a = t1, t2, . . . , tn−1, tn = b, tal que

La restriccion de s(x) a cada intervalo [ti , ti+1], con i = 1, 2, . . . , n − 1, es un polinomio de grado nomayor que m.

La funcion s(x) y sus derivadas hasta orden m − 1 inclusive son continuas en [a, b].

Propiedades

Las splines de grado impar son mas suaves.

La exigencia de continuidad de las derivadas no conduce a elegir splines de grado superior a 1.

Sin embargo, la eleccion de un grado muy elevado complicarıa en exceso el problema.

Estas tres razones parecen senalar a la spline cubica como la opcion mas factible en general (m = 3).Se trata, por tanto, de una funcion continua con primera y segunda derivadas continuas.





Interpolacion mediante splines cubicas

Continuidad de la funcion spline cubicaSupongamos t1 < t2 < · · · < tn ; fi = f (ti ), hi = ti+1 − ti , i = 1, 2, . . . , n − 1.

Sea si (x) la restriccion de s(x) a [ti , ti+1]. Si si (x) es cubico entonces s′′i es lineal, tal que si s′′i (ti ) = zi y

s′′i (ti+1) = zi+1, podemos escribir,

s′′i (x) = zi+1x − ti

hi

+ ziti+1 − x

hi

Integrando dos veces,

si (x) =zi+1

6hi

(x − ti )3 +

zi

6hi

(ti+1 − x)3 + Ci (x − ti ) + Di (ti+1 − x)

Sabiendo que si (ti ) = fi y si (ti+1) = fi+1, obtenemos Ci y Di ,

si (x) =zi+1

6hi

(x − ti )3 +

zi

6hi

(ti+1 − x)3 +

"fi+1

hi

−zi+1hi

6

#(x − ti ) +

"fi

hi

−zi hi

6

#(ti+1 − x)

Esto garantiza que s(x) es continua y coincide con f en todos los puntos ti , i = 1, 2, . . . , n.






Continuidad de la primera derivada

Para que la primera derivada sea continua se debe cumplir s′i−1(ti ) = s′i (ti ), i = 2, 3, . . . , n − 1,

s′i (ti ) = −hi

3zi −

hi

6zi+1 +

fi+1 − fi

hi

s′i−1(ti ) =hi−1

6zi−1 +

hi−1

3zi +

fi − fi−1

hi−1

Igualando, resulta

hi−1zi−1 + 2(hi−1 + hi )zi + hi zi+1 =6

hi

(fi+1 − fi )−6

hi−1

(fi − fi−1)

Lo que supone n − 2 ecuaciones para la continuidad de la primera derivada.






Continuidad de la primera derivada

Para que la primera derivada sea continua se debe cumplir s′i−1(ti ) = s′i (ti ), i = 2, 3, . . . , n − 1,

s′i (ti ) = −hi

3zi −

hi

6zi+1 +

fi+1 − fi

hi

s′i−1(ti ) =hi−1

6zi−1 +

hi−1

3zi +

fi − fi−1

hi−1

Igualando, resulta

hi−1zi−1 + 2(hi−1 + hi )zi + hi zi+1 =6

hi

(fi+1 − fi )−6

hi−1

(fi − fi−1)

Lo que supone n − 2 ecuaciones para la continuidad de la primera derivada.

Continuidad de la segunda derivada

La continuidad de la segunda derivada se asegura con la propia definicion de s′′i , ya que s′′i−1(ti ) = s′′i (ti )






Sistema final de ecuaciones tridiagonalDefinamos,

bi =6

hi

(fi+1 − fi )−6

hi−1

(fi − fi−1)

u2 = 2(h1 + h2), ui = 2(hi−1 + hi )−h2i−1

ui−1

, i = 3, . . . , n − 1

v2 = b2 − hi zi , vi = bi −hi−1

ui−1

vi−1, i = 3, . . . , n − 2, vn−1 = bn−1 − hn−1zn −hn−2

un−2

vn−2

el sistema a resolver es,u2z2 +h2z3 = v2

u3z3 +h3z4 = v3

. . .. . .

.

.

.un−1zn−1 = vn−1

Para z1 = zn = 0 ⇒ Spline Cubico Natural

Otra posibilidad es tomar en los extremos un valor determinado de la pendiente de la curva,

s′1(t1) = f ′(t1)

s′n−1(tn) = f ′(tn)









6 Resumen




Resumen

La formula de interpolacion de Newton tiene mejores prestacionescomputacionales que la de Lagrange.

Cuando se tiene que optar por polinomios de grado elevado en la interpolacionestandar, es preferible utilizar la interpolacion a trozos.

La interpolacion a trozos basada en funciones splines cubicas proporcionafunciones suaves con continuidad en las dos primeras derivadas.

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