parte ii - autenticação · se a função de onda que descreve o sistema é uma função própria...
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Tc
1 c
T
2 2
0 0 0 0
1 1
2 2I cE cH
Onda
Electromagnética
Comprimento de onda
PeríodoVelocidade da luz no vácuo
Intensidade da radiação
Frequência
Ez
Hx
DUALISMO ONDA-CORPÚSCULO
2mcE
/2 hchmc
phmch //
- Hipótese de de Broglie -
de Broglie estendeu esta relação para partículas
com momento linear p (electrões, …)
massa do fotão em
movimento
2
0
(v/c)1
mm
A massa do fotão em repouso,
m0 =0, pois o fotão desloca-se
à velocidade da luz.
Louis-Victor-Pierre-Raymond
7.º duque de Broglie
1892- 1987
Fotão
quantum de energia: E=h (Equação de Planck)
hcmc 2
Einstein(1905): a energia de um feixe de radiação está concentrada em quanta
de energia, e cada quantum (E=h) é transportado por um “corpúsculo” (fotão).
DIFRAÇÃO DE UM FEIXE DE ELECTRÕES
Conclusão: os electrões têm comportamento ondulatório – são
descritos por uma função de onda (confirmação da hipótese de de
Broglie Relação de de Broglie)
Aplicação: Microscópia Electrónica de Transmissão (TEM) e de
Varrimento (SEM)
Resolução espacial: TEM (2 nm) ; SEM (50 nm)
Interferência construtiva
Interferência destrutiva
Davisson-Germer (1925)
Considere um electrão (me = 9.1110-31 kg) e uma partícula de massa
110-3 kg, deslocando-se ambas com velocidade v = 1.0106 10-6 m.s-1.
Calcule o comprimento de onda associado às partículas. Interprete os
resultados.
Problema:
mv
h
p
h
m
smkg
sJ
mv
h 37
63
34
10626.61.100.1101
.10626.6
A partir da relação de de Broglie:
nmmsmkg
sJ
mv
h727.010727.0
.100.11011.9
.10626.6 9
1631
34
(electrão)
(partícula)
O valor de obtido para o electrão situa-se na gama de
comprimentos de onda dos raios X (de 0.1 a 10 nm), que são da
ordem de grandeza da distância entre átomos num metal. Podem
obter-se figuras de difracção.
O valor obtido para a partícula de massa igual a 1 g é indetectável por
qualquer experiência disponível. O seu efeito não se faz sentir.
MECÂNICA QUÂNTICA
Cada partícula quântica tem associada uma onda (onda de
matéria) que contém toda a informação (posição, velocidade,
energia, etc.) sobre a partícula.
• Qual a equação de ondas?
• Como extrair a informação que está contida na função de onda?
QUESTÕES:
),,( zyx
1º Postulado:
Max Planck
1885-1947
Werner Heisenberg
1901-1976Erwin Schrödinger
1887-1961
Paul Dirac
1902-1984
Albert Einstein
1879-1955
INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA FUNÇÃO DE ONDA
Probabilidade de encontrar a
partícula no elemento de volume d
A probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço é 1.A partícula tem de estar em qualquer lugar do espaço.(Condição de normação)
2º Postulado
Interpretação de Born
dd *2
12 dvolume
Para uma partícula descrita por uma função de onda (x,y,z), a
probabilidade de encontrar a partícula no elemento de volume d é
proporcional a 2d
partícula descrita por uma
função de onda (x,y,z)
)()()(2 2
22
xExxVdx
d
m
Equação de valores próprios
Operador (símbolo que indica uma operação a efectuar sobre f(x). Por ex: derivada
Função própria do operador
Valor próprio do operador (constante)
Operador Hamiltoneano
H EH ˆ
)()(ˆ xfaxfA
A
)(xf
a
Erwin Schrödinger
1887-1961
FUNÇÃO DE ONDA
Equação de Schrödinger estacionária (1926)
A uma dimensão:
2
h
Onde:
E - Energia total (cinética + potencial)
PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE ONDA
• Contínua
• Finita
• Unívoca
• Diferenciável (2 vezes)
• Integrável (2 vezes)
3º Postulado:
A cada propriedade mensurável de um sistema (observável)
corresponde um operador, construído a partir dos operadores de
posição e momento linear:
xxdxi
px
ˆ
Operador posição
Operador momento linear
FUNÇÃO DE ONDA
Equação de Schrödinger estacionária (1926)
E - Energia total (cinética + potencial)
),,( zyxFunção de onda para o movimento de
uma partícula a 3 dimensões (x, y, z).
),,(),,(),,(),,(2
22
zyxEzyxzyxVzyxm
2
2
2
2
2
22
zyx)z,y,x(
Operador Laplaciano
Onde:
Generalizando para três dimensões:
),,( zyxV
),,(
2
22
zyxm
(operador energia cinética)
(operador energia potencial)
APLICAÇÃO: PARTÍCULA A UMA DIMENSÃO - 1D
)()( 2
2
2
xkxdx
d
PARTÍCULA LIVRE (V=0):
)exp()exp()( ikxBikxAx
)/2( 22 mEk
)()(2 2
22
xExdx
d
m
)()()(2 2
22
xExxVdx
d
m
)()cos(eikx kxisenkx )()cos(e-ikx kxisenkx
soluçãoEquação característica:
,
)()0(
Função de onda
PARTÍCULA LIVRE A 1 DIMENSÃO
2
2
2
2
2
222
2
1
4
4
2
1
2
h
m
h
mm
kE
ph / 22
2
2
2
1
22
1mv
m
ph
mE
Sabemos extrair a observável energia (real) da equação de ondas
Se a função de onda que descreve o sistema é uma função própria
do operador, 𝝎 ( 𝝎 = ) então o valor próprio é o valor da
observável.
/2k
ikxikx eBeAx )( )()(2
)(2
22
2
22
xExm
kx
dx
d
m
𝜑 0 = 𝐴 + 𝐵
𝜑 𝜆 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝜆 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝜆
4º Postulado:
Pelo dualismo onda corpúsculo: =h/p
Consequência do Dualismo onda-corpúsculo
Partícula livre deslocando-se segundo x positivo:
Se a partícula é descrita por uma onda é único e p é conhecido
(incerteza 0).
Mas e portanto 2 estendem-se a todo o espaço: há probabilidade de
encontrar a partícula em qualquer ponto do espaço.
NADA SE SABE SOBRE A SUA POSIÇÃO:
a posição x é desconhecida (incerteza )
Localiza-se a partícula fazendo uma
sobreposição de ondas com (logo p)
ligeiramente diferentes (p≠0) de modo a que,
por interferência, a amplitude de onda só seja
significativa numa pequena região do espaço.
p, x
finitos
Somando várias ondas de ligeiramente
diferentes, produz-se uma interferência que
começa a localizar a amplitude da onda:
médio
A incerteza em x diminui a incerteza em p aumenta
Não é possível especificar simultaneamente, com precisão
arbitrária, a posição e o momento de uma partícula.
4
hpx
Princípio de incerteza de Heisenberg:
Werner Karl Heisenberg
1901-1976
PRINCÍPIO DE INCERTEZA
Para x ser conhecido (incerteza 0), é necessário sobrepor um número
de ondas com ligeiramente diferentes (incerteza em p ).
p=
x=0
Localização
da partícula
PRINCÍPIO DE INCERTEZA
xxdxi
hpx
ˆ
Operador posição Operador momento linear
xx pxxp ˆˆˆˆ Os operadores posição e momento linear não comuta(operadores complementares)
)()(ˆˆ xdxi
hxxpx x
dx
xxx
i
hxx
dxi
hxxpx
)()([)()(ˆˆ
Ii
hpxxp xx
ˆ]ˆˆˆˆ[
comutador
Problema:Considere um electrão (me = 9.1110-31 kg) e uma partícula de
massa 110-3 kg, deslocando-se ambas com velocidade
v = 1.0106 10-6 m.s-1.
Calcule a incerteza mínima na posição das duas partículas.
xx vm
h
p
h
px
442
msmkg
sJ
vm
hx
x
9.57.1011011.94
.10626.6
4 1631
34
msmkg
sJ
vm
hx
x
26
163
34
1027.5.1011014
.10626.6
4
(Princípio de Incerteza de Heisenberg)
(electrão)
(partícula)
Para uma mesma incerteza na velocidade, o electrão, partícula muito
mais leve, apresenta uma muito maior incerteza na posição.
(x)Edx
(x)d
2m
h2
22
(x)E(x)V(x)dx
d
2m
h2
22
V=0
)cos()()( kxDkxsenCeBeAx ikxikx
CondiçõesFronteira
0)0( (a partícula não pode estar fora da caixa)
)0()0( (a função de onda é contínua)
0)()()( LLL
0)0()0()0(
(invocando os mesmos argumentos)
010)0cos()0()0( DCDsenC
D=0
0)()( kLsenCL
KL=n ; n= 0, 1, 2, 3,…
)(2
)( xL
nsen
Lx
n=1,2,3,4,…
n=0Não é aceitável porque (x) =0 para qualquer x (a partícula tem de estar em qualquer lugar dentro da caixa).
Qual o valor de C ? 1)()(*
dxxx
dxxxdxxxdxxxdxxxL
L
)()()()()()()()( *
0
*0
**
0=
0=
12
)()()(2
0
2*
0
* L
CdxL
xnsenCCdxxx
LL
LC
2
)()()( xL
nsenCkxsenCx
2)2(
4
1))(( 2 x
xsenxsenP
(x)Edx
(x)d
2m
h2
22
)(2
)( xL
nsen
Lx
(x)2mL
πnh
dx
(x)d
2m
h2
222
2
22
2
22
8mL
nhE
n= 1, 2, 3, 4, . . .
VALORES MÉDIOS (EXPECTÁVEIS)
0(0)cos-(nπcosn
1
i
hdxx)
L
nπcos(x)
L
nπsen(
i
h
L
2dx(x)
dx
d
i
h(x)p 22
L
0
L
0
*
)(2
)( xL
nsen
Lx
2
cos)cos(
2 xxsenxP
2)2cos(
8
1)2(
44
2)(
2)(
2)()(
0
22
22
0
22
2
0
2
0
* Lzzsen
zz
n
L
Ldzzsenz
n
L
Ldx
L
xnxsen
Ldxxxxx
nnLL
)2cos(8
1)2(
44)(
22 zzsen
zzzsenzP z
L
xn
2
222
2
22
L
0
*2
L
hπn]dx
dx
(x)dh[(x)p
2
2222
2mL
hπn
2m
pE
Resultado já obtido
Operador p
y)(x,Ey)(x,yx2m
h2
2
2
22
Y(y)X(x)y)(x, Não existem termos cruzados no Hamiltoneano(não existem segundas derivadas em ordem a x e y)
2
2
2
2
x
X(x)Y(y)
x
2
2
2
2
y
Y(y)X(x)
y
Eh
2m
y
Y
Y
1
x
X
X
122
2
2
2
Y(y)X(x)Ey
YX(x)
x
XY(y)
2m
h2
2
2
22
Equação de Schrödinger
(Constante)
Dividindo por X(x) Y(y)
x22
2
Eh
2m
dx
X
X
1
dy22
2
Eh
2m
dy
Y
Y
1
d
yx EEE
)nL
xπ(sen
L
2(x)X 1
11
n1 )nL
yπ(sen
L
2(y)Y 2
22
n2
2
2
2
2
2
1
2
1
22
n,nL
n
L
n
2m
hπE
21
Se a função de onda é um produto de funções de onda a energia é a soma das energias dos dois movimentos independentes segundo x e y.
)()(),( yYxXyx
n1=1, 2, 3, 4, …. n2=1, 2, 3, 4, ….
)()(),( yYxXyx
)(2
)( 1
11
1 nL
xsen
LxX n
)(2
)( 2
22
2 nL
ysen
LxYn
)(2
)(2
),( 2
22
1
11
, 21n
L
ysen
Ln
L
xsen
Lyxnn
Superfícies de igual (x,y)
n1=1, n2=1
DEGENERESCÊNCIA (Caixa 2D quadrada)
)(2
)(2
),( 2
22
1
11
, 21n
L
ysen
Ln
L
xsen
Lyxnn
412mL
hπE
2
22
1,2
n1=1; n2=2
2)L
yπ(sen)
L
xπ(sen
L
2y)(x,1,2
2
2
2
2
2
1
2
1
22
n,nL
n
L
n
2m
hπE
21
n1=2; n2=1
)L
yπ(sen2)
L
xπ(sen
L
2y)(x,2,1
142mL
hπE
2
22
2,1
Estados (1,2) e (2,1) são degenerados
Caixa quadrada(L1=L2= L)