particiones con repetición o composición de enteros

PARTICIONES CON REPETICIÓN –COMPOSICIÓN DE ENTEROS (Obtención a partir de sus valores suma )

(Segunda exploración complementaria)

Enrique R. Acosta R. Diciembre 2017

PARTICIONES CON REPETICIÓN O COMPOSICIÓN DE ENTEROS

Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎)

La partición de un número entero m, es la forma de descomponerlo en forma de suma, con uno o

más sumandos positivos (a los que se les conoce como partes). La permutación de los sumandos

se considera como la misma partición. Por ejemplo, el número 4 tiene 5 particiones: 4, 3+1, 2+2,

2+1+1 y1+1+1+1.Engeneral la permutación de los sumandos se considera como la misma partición

(el orden no tiene relevancia).

Las particiones de m en sí, pueden considerarse como grupos de números enteros o de cifras

significativas (c.s.), cuya suma constante es igual a m.

Así p. ej. las particiones de 6, corresponden a los siguientes grupos de valores, que hemos

organizado en la tabla que se muestra a continuación:

Cifras significativas (c.s) Particiones de 6 totales

1 6 1

2 1.5 2.4 3.3

3

3 1.1.4 1.2.3 2.2.2

3

4 1.1.1.3 1.1.2.2

2

5 1.1.1.1.2 1

6 1.1.1.1.1.1 1

Total de particiones de 6 11

Donde los elementos de cada grupo posible, suman siempre 6

A la función que da como resultado la cantidad de particiones para un número m se le conoce

como función partición y está representado por P (m). Por convención, P (0) = 1 y P (m) = 0,

para m< 0. Así para m=6, sería: 𝑃(6) = 11

Particiones de un número entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r enteros

La cantidad de particiones correspondientes a los diferentes casos posibles de las particiones de

un entero m, en grupos de r cifras significativas que pueden variar entre 1 y m, podemos

identificarlos mediante la expresión 𝑷𝒓(𝒎), donde r podría ir variando sucesivamente desde r=1

hasta r=m. Así p.ej. en nuestro caso para m=6, tendríamos:

(r) Particiones de 6 𝑃𝑟(6)

1 6 1

2 1.5 2.4 3.3

3

3 1.1.4 1.2.3 2.2.2

3

4 1.1.1.3 1.1.2.2

2

5 1.1.1.1.2 1

6 1.1.1.1.1.1 1

Total de particiones de 6 11

DE donde se deduce que: 𝑃(6) = ∑ 𝑃𝑟(6)6𝑟=1 = 1+3+3+2+1+1=11, y en forma general se tiene:

𝑷(𝒎) = ∑ 𝑷𝒓(𝒎)

𝒎

𝒓=𝟏

Particiones Discretas

Particiones Discretas de un entero m, (𝒎 ≥ 𝟎), en r cifras (𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎)

Denominamos así, aquellas particiones de un entero m, (𝑚 ≥ 0), en grupos todos de r cifras c/u,

cuyos valores pueden variar entre 0 y m, pero que en conjunto en cada grupo suman m, y donde

si el número de cifras significativas (c.s.) que lo verifican en un grupo, es menor que r, los lugares o

valores faltantes para completar los r elementos del grupo, se asumen como ceros. Por ejemplo,

las particiones Discretas de 6 en 4, estarán dadas por los siguientes grupos que se muestran en la

tabla a continuación;

Cifras Significativas (c.s.) Particiones Discretas totales

1 0.0.0.6 1

2 0.0.1.5 0.0.2.4 0.0.3.3

3

3 0.1.1.4 0.1.2.3 0.2.2.2

3

4 1.1.1.3 1.1.2.2

2

Total Particiones Discretas de 6 en 4 𝑃4(6) = 9

En total el número de particiones discretas de 6 en 4, será:

𝑃4(6) = 1 + 3 + 3 + 2 = 9, cuya valor es numéricamente igual a la suma de los primeros 4 casos

de 𝑃(6)

Este tipo de particiones es esencial al considerar la obtención de los coeficientes multinomiales

básicos (C.B), de un polinomio potenciado tal como (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑟)𝑚, y para determinar el n⁰

de veces en que dichos Coeficientes Básicos se repiten en el desarrollo de dicho polinomio

potenciado, como hemos ya estudiado en 2 trabajos anteriores (ver Bibliografía).

Para evitar la ambigüedad y posibles confusiones, hemos considerado más conveniente, que al

número de Particiones Discretas de m en r, siendo r el n⁰ fijo de cifras o elementos de cada grupo

o partición, que puede incluir al cero, las denominemos de ahora en adelante como 𝑷𝑫𝒓(𝒎), para

diferenciarlas de las particiones comunes de m en r , 𝑷𝒓(m).

En dichos trabajos, hemos desarrollado diversos métodos para la determinación y el cálculo de las

Particiones Discretas para cualquier par de valores enteros positivos m, y r, siendo 𝑟 ≤ 𝑚, basados

en su determinación por ciclos de columnas, o por secuencias internas de una secuencia principal,

etc. Pero la “joya de la corona”, lo constituye la tabla triangular del número de Particiones

Discretas de m en r, con r cifras significativas para cada caso 𝒐 < 𝒓 ≤ 𝒎, que podemos extender

fácilmente hasta el valor de m que queramos. La tabla permite obtener de forma inmediata y

sencilla, cualquiera de los tres tipos de particiones que hemos definido previamente:

Particiones totales de m, P(m) ,las Particiones de m en r cifras significativas, 𝑷𝒓(𝒎), y

por supuesto, las Particiones Discretas de m en r, 𝑷𝑫𝒓(𝒎) ,como se muestra en los

ejemplos al pie de la tabla.

Por considerarlo un ítem excepcional, incluimos dicha tabla con un anexo explicativo de

su construcción a partir del valor inicial 𝑷(𝟎) = 𝟏

TABLA DEL N⁰ DE PARTICIONES DE m EN r, CON r CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA CADA CASO DE

𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎

PARA 𝒎 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒎 = 𝟏𝟓

r m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 N⁰T P.D.

0 1 1

1 1 1

2 1 1 2

3 1 1 1 3

4 1 2 1 1 5

5 1 2 2 1 1 7

6 1 3 3 2 1 1 11

7 1 3 4 3 2 1 1 15

8 1 4 5 5 3 2 1 1 22

9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 30

10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 42

11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 56

12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77

13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 101

14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 1 135

15 1 7 19 27 30 26 21 15 11 7 5 3 2 1 1 176

Ejemplos:

Si 𝒓 = 𝒎, resulta: 𝑷(𝒎) = 𝑷𝑫𝒓(𝒎), p.ej. para m= r =8, 𝑷(𝟖) = 𝑷𝑫𝟖(𝟖) = ∑ 𝑷𝒓(𝟖)𝟖𝒓=𝟏 = 𝟏 + 𝟒 + 𝟓 +

𝟓 + 𝟑 + 𝟐 + 𝟏 + 𝟏 = 𝟐𝟐

Si 𝒓 < 𝒎, p.ej. 𝒓 = 𝟒, 𝒚 𝒎 = 𝟖, entonces, 𝑷𝟒(𝟖) = 𝟓, corresponde al 4⁰ valor en la fila 8

Mientras que 𝑷𝑫𝟒(𝟖) = 𝟏 + 𝟒 + 𝟓 + 𝟓 = 𝟏𝟓, corresponde a la suma de los primeros 4 valores de la fila 8

Analizando la tabla, notamos las siguientes propiedades:

1. Los elementos de la primera columna, son todos iguales a la unidad

2. Los elementos de la segunda columna, aumentan secuencialmente una unidad cada dos

filas, siguiendo los valores de la sucesión natural 1,2,3, … , 𝑛, a partir de 𝑚 = 2

3. Los elementos de las 2 primeras diagonales son todos unitarios

4. Cada una de las diagonales siguientes comienzan con la unidad y contienen valores

constantes, que aparecen en ellas, al avanzar diagonalmente un número de lugares que

sigue la sucesión natural 1,2,3,… .Los dos valores que preceden en cada una de estas

diagonales al valor constante, forman con este, una sucesión aritmética de razón igual a la

unidad.

5. Los valores constantes en cada diagonal, forman una sucesión cuyos valores coinciden con

los valores correspondientes a la sucesión de valores totales de Particiones Discretas para

cada caso de 𝑟 = 𝑚, es decir: 1,1,2,3,5,7,11,15,22, …resaltados en verde en la tabla.

6. Como podemos comprobar de esta tabla se pueden obtener el total de P.D de los casos

donde 𝑟 ≤ 𝑚, así para el caso de nuestro ejemplo anterior, las Particiones Discretas de 15,

en 5, ( 𝑷𝟓(𝟏𝟓) ), se obtienen al sumar los primeros 5 valores de la fila correspondiente a

m=15, es decir: 𝑷𝟓(𝟏𝟓) = 𝟏 + 𝟕 + 𝟏𝟗 + 𝟐𝟕 + 𝟑𝟎 = 𝟖𝟒, como ya habíamos calculado

previamente al desarrollar nuestras expresiones de cálculo por secuencias internas.

7. La propiedad fundamental, que nos permite construir de manera inmediata la tabla, o

triángulo de valores de las Particiones Discretas de m, en r ( 𝑃𝑟(𝑚)), es la siguiente:

La suma de los valores del número de P.D. de r cifras significativas contenidos en cada fila

horizontal correspondientes a cada valor de m, según el número de columnas que

consideremos, da como resultado una sucesión de valores que se corresponden con los

valores constitutivos de la columna de igual número o valor de r, siempre comenzando

dicha columna en 𝒎 = 𝒓

Esta misma propiedad puede expresarse también de esta manera equivalente:

El resultado de sumar los primeros r elementos de una fila 𝒎, se corresponde con el valor

del elemento de lugar r, de la fila 𝒎 + 𝒓.

Así p.ej. Si sumamos los primeros 4 elementos de la fila m= 6, obtenemos el valor

1+3+3+2= 9, que corresponde al valor del 4⁰ elemento de la fila m=6+4=10

Esta última propiedad, permite desarrollar, o construir el triángulo de valores de P.D de

m en r, contenidos en la tabla, hasta cualquier valor entero de 𝒓 ≤ 𝒎, de manera

sistemática e inmediata. Siendo conveniente la utilización de un sencillo programa de

computación “Ad hoc” cuando se trate de números enteros de cierta envergadura.

Estos resultados además, nos permiten obtener el número de Coeficientes Básicos de un

Polinomio Potenciado, tal como (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒓)𝒎 , de una manera sencilla e inmediata, sin

necesidad de desarrollarlo.

ANEXO I

Explicación del contenido de la tabla y del procedimiento para la construcción del triángulo de

valores de P.D. de m en r ( 𝑷𝒓(𝒎) ), con r cifras significativas ( c.s ), para cada caso de 𝟎 < 𝒓 ≤ 𝒎

Ejemplo de contenidos, para para los valores correspondientes a cada caso de r posible, para 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5

(𝑟, 𝑚) 𝑃. 𝐷.𝑟 (𝑚) N⁰c.s 𝑁0𝑃. 𝐷𝑟(𝑚)

Total 𝑑𝑒 𝑃. 𝐷.𝑟 (𝑚)

(1,0) 1 1 1 1 (1,1) 1 1 1 1 (1,2) (2,2)

2 1.1

1 2

1 1

2

(1,3) (2,3) (3,3)

3 1.2

1.1.1

1 2 3

1 1 1

3

(1,4) (2,4)

(3,4) (4,4)

4 1 1

5

1.3 2.2

2 2 2

1.1.1 3 1

1.1.1.1 4 1 (1,5) (2,5)

(3,5)

(4,5) (5,5)

5 1 1

7

1.4 2.3

2 2 2

1.1.3 1.2.2

3 2 3

1.1.1.2 4 1

1.1.1.1.1 5 1

La penúltima columna de esta tabla se corresponde con los valores contenidos en las primeras 6

filas del triángulo de valores de P.D. de m en r ( 𝑃𝑟(𝑚) ), desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5, y la última

columna, se corresponde con la última columna del triángulo o columna de valores totales de P.D

de cada caso de m, igualmente, desde 𝑚 = 0, hasta 𝑚 = 5

La construcción por columnas del triángulo de 𝑷𝑫𝒓(𝒎), se realiza de la

manera siguiente:

La primera columna, como ya hemos establecido, está constituida por valores todos iguales a la

unidad, independientemente del caso de 𝑚 ≥ 0. Pero por razones didácticas vamos a proceder a

su construcción solo partiendo del valor convenido 𝑷(𝟎) = 𝑷𝟏(𝟎) = 𝟏, correspondiente a r=1 y

m=0.

Para calcular el valor que corresponde a la primera columna (r=1), para m=1, sumamos todos los

valores contenidos en la primera fila (m=0), hasta la 1ª columna, con lo cual obtenemos en este

caso, un solo valor igual a la unidad. Este valor será el primer valor que corresponde a la primera

columna para m=1

De manera similar, procedemos a sumar todos los valores contenidos en la 2ª fila (m=1), hasta la 1ª

columna, con lo cual, de nuevo obtenemos un solo valor igual a la unidad. Este valor será el segundo

valor que corresponde a la 1ª columna, para m=2

Siguiendo este procedimiento, encontraremos que todos y c/u de los valores de la primera columna

son iguales a la unidad, para cualquier valor de 𝑚 ≥ 0.

Conocidos los valores de esta1ª columna, para construir la 2ª columna aplicamos un procedimiento

totalmente análogo:

Para ello, partimos de los valores contenidos en la1ª fila del triángulo (m=0), hasta la segunda

columna (r=2), cuya suma nos da de nuevo un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el primer

valor de la 2ª columna, correspondiente a m=2, y r=2

A continuación, sumamos los valores contenidos en la 2ª fila del triángulo (m=1), hasta la 2ª

columna, con lo cual obtenemos un valor igual a 1 + 0 = 1. Este valor, será el segundo valor de la

2ª columna, correspondiente a m=3, y r=2

Ahora, sumamos los valores contenidos en la 3ª fila del triángulo (m=2), hasta la segunda columna,

con lo cual, obtenemos un valor igual a 1 + 1 = 2. Este valor, será el tercer valor de la 2ª columna,

correspondiente a m=4, y r=2

Aplicando este mismo procedimiento, podemos obtener todos los valores de la2ª columna, hasta el

m considerado, y conocidos los valores de la 1ª y 2ª columnas, podemos de manera recurrente,

aplicar el mismo procedimiento anterior para obtener los valores de la tercera columna.

Este método, puede aplicarse sucesivamente para obtener cada uno de los valores de las columnas

restantes de la tabla, y de este modo completar la construcción del triángulo de P.D. de m en r

, (𝑃𝑟(𝑚) ), hasta el valor de m considerado.

La construcción de la tabla nos permite determinar “A priori”, cuantas Particiones Discretas de

1,2,…, r cifras significativas, corresponden al total de cada caso de m. Así p.ej. para m=5, tendremos:

r c.s P.D N⁰ P.D.

1 1 5 1

2 2 1.4 2.3

2

3 3 1.1.3 1.2.2

2

4 4 1.1.1.2 1

5 5 1.1.1.1.1 1

Total de P.D. para m=5 y r=5 7

Así mismo, nos permite determinar el n⁰ de P.D. de cualquier caso de m, donde 𝑟 ≤ 𝑚, por ejemplo,

para m=5, el número de P.D hasta r=3, será : 1+2+2=5, (ver tabla), lo cual se corresponde con el n⁰

de C.B. del polinomio potenciado (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)5, cuyos 5 valores son: 1, 5, 10, 20, 30, dados por:

P.D. C.B.

0.0.5 5! 0! 0! 5!⁄ = 1

0.1.4 5! 0! 1! 4! = 5⁄

0.2.3 5! 0! 2! 3!⁄ = 10

1.1.3 5! 1! 1! 3!⁄ = 20

1.2.2 5! 1! 2! 2!⁄ = 30

Para continuar con nuestra búsqueda, necesitamos recurrir de nuevo a nuestra fuente original: las

tablas de Valores Suma (V.S.), y los números de grupos ordenados por cada caso de m, y r ( N⁰𝑮𝒓𝒎),

pero en esta ocasión, analizaremos cada caso, considerando todas las posibilidades adicionales

debidas a la permutación de los grupos resultantes

Valores Suma (VS), y Número de Grupos ordenados por cada caso de m y r ( N⁰𝑮𝒓𝒎)

Se trata en este caso de obtener métodos y expresiones matemáticas que nos permitan determinar

cuáles, y calcular cuántos grupos (N⁰𝑮𝒓𝒎) de r ≤ 𝑚 elementos c/u, pueden formarse con los

números del conjunto de los m primeros números naturales (𝑈𝑚).donde dos grupos básicos se

diferencian al menos en un elemento y cada grupo, se caracteriza por el igual valor suma (VS) de sus

elementos.

Para cada valor de 𝑟 ≤ 𝑚, los [(𝑚 − 1)𝑟 + 1] valores suma diferente y posible de cada caso

considerado de r y m, podrán variar entre un VS mínimo igual a r, y un VS máximo igual a mxr

Inicialmente para su estudio, consideraremos el conjunto 𝑈9 = {1,2,3, … ,9}, entonces r podrá

tomar los valores r=1,2,3,...,9, y se tendrá: N⁰𝐺19 = 9, y N⁰𝐺9

9 = 1

Para sistematizar la obtención directa de resultados, hemos desarrollado un conjunto de cuadros o

tablas correspondientes a los grupos básicos ordenados y clasificados según sea la cantidad de sus

elementos constituyentes iguales o diferentes. Estos grupos básicos se originan a partir de todas

las permutaciones posibles o permutaciones con repetición de m elementos tomados r a r.

Tablas de Grupos, sus Valores Suma (VS), y Número de Grupos por cada caso (N⁰G)

CASO: m=9 ,y r=2 Valores suma posibles: (m-1)r+1= 8x2 +1 = 17 casos

𝑉𝑆𝑚í𝑛 = 2 , 𝑉𝑆𝑚á𝑥 = 18 , 𝑉𝑆𝑚á𝑥

𝑉𝑆𝑚í𝑛= 9

9 grupos con dos elementos iguales y sus valores suma (VS): 𝒎 = 𝟗

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO 2 1,1 4 2,2 6 3,3 8 4,4 10 5,5 12 6,6 14 7,7 16 8,8 18 9,9

Resumen Totales VS 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (9)

N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)

Cada uno de estos casos genera 𝑷𝟐,𝟐=1 posibilidad (el propio grupo) Total :9x1=9

36 grupos con dos elementos diferentes entre sí y sus valores suma (VS): m(m-1)/2= 9x4=36

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales 3 1,2 1 4 1,3 5 2,3 2 5 1,4 6 2,4 7 3,4 3 6 1,5 7 2,5 8 3,5 9 4,5 4

7 1,6 8 2,6 9 3,6 10 4,6 11 5,6 5 8 1,7 9 2,7 10 3,7 11 4,7 12 5,7 13 6,7 6 9 1,8 10 2,8 11 3,8 12 4,8 13 5,8 14 6,8 15 7,8 7

10 1,9 11 2,9 12 3,9 13 4,9 14 5,9 15 6,9 16 7,9 17 8,9 8 Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2 ⁄ = 36 Resumen Totales

VS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (15) N⁰ Grupos 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟐 = 𝟐! = 𝟐 posibilidades o permutaciones. Total: 36x2=72

El total general de grupos del caso corresponde a: 9+72=81=𝟗𝟐

CASO: m=9 , y r=3 Valores suma posibles: (m-1)r + 1 =8x3 +1=25 casos



9 grupos con tres elementos iguales y sus valores suma (VS): m = 𝟗

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO 3 1,1,1 6 2,2,2 9 3,3,3 12 4,4,4 15 5,5,5 18 6,6,6 21 7,7,7 24 8,8,8 27 9,9,9

Resumen Totales VS 3 6 9 12 15 18 21 24 27 (9)

N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟑,𝟑=1 posibilidad (el propio grupo) Total: 9x1=9

72 grupos con dos elementos iguales y uno diferente y sus valores suma (VS): m(m-1)=9x8=72

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO 4 1,1,2 5 2,2,1 7 3,3,1 9 4,4,1 11 5,5,1 13 6,6,1 15 7,7,1 17 8,8,1 19 9,9,1 5 1,1,3 7 2,2,3 8 3,3,2 10 4,4,2 12 5,5,2 14 6,6,2 16 7,7,2 18 8,8,2 20 9,9,2 6 1,1,4 8 2,2,4 10 3,3,4 11 4,4,3 13 5,5,3 15 6,6,3 17 7,7,3 19 8,8,3 21 9,9,3

7 1,1,5 9 2,2,5 11 3,3,5 13 4,4,5 14 5,5,4 16 6,6,4 18 7,7,4 20 8,8,4 22 9,9,4 8 1,1,6 10 2,2,6 12 3,3,6 14 4,4,6 16 5,5,6 17 6,6,5 19 7,7,5 21 8,8,5 23 9,9,5 9 1,1,7 11 2,2,7 13 3,3,7 15 4,4,7 17 5,5,7 19 6,6,7 20 7,7,6 22 8,8,6 24 9,9,6 10 1,1,8 12 2,2,8 14 3,3,8 16 4,4,8 18 5,5,8 20 6,6,8 22 7,7,8 23 8,8,7 25 9,9,7 11 1,1,9 13 2,2,9 15 3,3,9 17 4,4,9 19 5,5,9 21 6,6,9 23 7,7,9 25 8,8,9 26 9,9,8

Resumen Totales VS 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 (23) N⁰G 1 2 1 3 3 3 4 5 3 5 4 4 4 5 3 5 4 3 3 3 1 2 1 (72)

Cada uno de estos casos genera 𝑷𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟑 posibilidades o permutaciones. Total: 72x3=216

84 grupos con tres elementos, al menos con un elemento diferente, y sus valores suma (VS):

𝑪𝟗,𝟑 = 𝟖𝟒 (Combinaciones)

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales 6 1,2,3 1 7 1,2,4 8 1,3,4 2 8 1,2,5 9 1,3,5 10 1,4,5 3

9 1,2,6 10 1,3,6 11 1,4,6 12 1,5,6 4 10 1,2,7 11 1,3,7 12 1,4,7 13 1,5,7 14 1,6,7 5 11 1,2,8 12 1,3,8 13 1,4,8 14 1,5,8 15 1,6,8 16 1,7,8 6 12 1,2,9 13 1,3,9 14 1,4,9 15 1,5,9 16 1,6,9 17 1,7,9 18 1,8,9 7 28 9 2,3,4 1 10 2,3,5 11 2,4,5 2

11 2,3,6 12 2,4,6 13 2,5,6 3 12 2,3,7 13 2,4,7 14 2,5,7 15 2,6,7 4 13 2,3,8 14 2,4,8 15 2,5,8 16 2,6,8 17 2,7,8 5 14 2,3,9 15 2,4,9 16 2,5,9 17 2,6,9 18 2,7,9 19 2,8,9 6 21 12 3,4,5 1 13 3,4,6 14 3,5,6 2

14 3,4,7 15 3,5,7 16 3,6,7 3 15 3,4,8 16 3,5,8 17 3,6,8 18 3,7,8 4 16 3,4,9 17 3,5,9 18 3,6,9 19 3,7,9 20 3,8,9 5 15 15 4,5,6 1 16 4,5,7 17 4,6,7 2 17 4,5,8 18 4,6,8 19 4,7,8 3

18 4,5,9 19 4,6,9 20 4,7,9 21 4,8,9 4 10 18 5,6,7 1 19 5,6,8 20 5,7,8 2 20 5,6,9 21 5,7,9 22 5,8,9 3 6 21 6,7,8 1 22 6,7,9 23 6,8,9 2 3

24 7,8,9 1 1 Total de grupos : 84

Resumen Totales VS 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (19) N⁰G 1 1 2 3 4 5 7 7 8 8 8 7 7 5 4 3 2 1 1 (84)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟑=3!=6 posibilidades o permutaciones. Total:

𝑪𝟗,𝟑x6=84x6=50 (variaciones)

El total general de grupos del caso corresponde a: 9+216+504=729=𝟗𝟑

CASO: m=9 , y r=4 Valores suma posibles: (m-1)r + 1=8x4 +1=33



9 grupos con cuatro elementos iguales y sus valores suma (VS) 𝒎 = 𝟗

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO 4 1,1,1,1 8 2,2,2,2 12 3,3,3,3 16 4,4,4,4 20 5,5,5,5 24 6,6,6,6 28 7,7,7,7 32 8,8,8,8 36 9,9,9,9

Resumen Totales VS 4 8 12 16 20 24 28 32 36 (9) N⁰G 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (9)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟒,𝟒=1 posibilidad (el propio grupo) Total 𝑪𝟗,𝟏𝒙𝟏 = 𝟗𝒙𝟏 = 𝟗

36 grupos con dos pares de elementos iguales y sus valores suma (VS): 𝒎 (𝒎 − 𝟏)/𝟐 = 𝟑𝟔

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales 6 1,1,2,2 1 8 1,1,3,3 10 2,2,3,3 2

10 1,1,4,4 12 2,2,4,4 14 3,3,4,4 3

12 1,1,5,5 14 2,2,5,5 16 3,3,5,5 18 4,4,5,5 4 14 1,1,6,6 16 2,2,6,6 18 3,3,6,6 20 4,4,6,6 22 5,5,6,6 5 16 1,1,7,7 18 2,2,7,7 20 3,3,7,7 22 4,4,7,7 24 5,5,7,7 26 6,6,7,7 6 18 1,1,8,8 20 2,2,8,8 22 3,3,8,8 24 4,4,8,8 26 5,5,8,8 28 6,6,8,8 30 7,7,8,8 7 20 1,1,9,9 22 2,2,9,9 24 3,3,9,9 26 4,4,9,9 28 5,5,9,9 30 6,6,9,9 32 7,7,9,9 34 8,8,9,9 8

Total de grupos : 𝑛(𝑛 − 1) 2 ⁄ = 36

Resumen Totales

VS 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 (15)

N⁰G 1 1 2 2 3 3 4 4 4 3 3 2 2 1 1 (36)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟒,𝟐,𝟐=6 posibilidades o permutaciones Total: = 𝟑𝟔𝒙𝟔 = 𝟐𝟏𝟔

72 grupos con tres elementos iguales y uno diferente, y sus valores suma (VS) : m(m-1)= 9x8=72

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO

5 1,1,1,2 7 2,2,2,1 10 3,3,3,1 13 4,4,4,1 16 5,5,5,1 19 6,6,6,1 22 7,7,7,1 25 8,8,8,1 28 9,9,9,1 6 1,1,1,3 9 2,2,2,3 11 3,3,3,2 14 4,4,4,2 17 5,5,5,2 20 6,6,6,2 23 7,7,7,2 26 8,8,8,2 29 9,9,9,2 7 1,1,1,4 10 2,2,2,4 13 3,3,3,4 15 4,4,4,3 18 5,5,5,3 21 6,6,6,3 24 7,7,7,3 27 8,8,8,3 30 9,9,9,3 8 1,1,1,5 11 2,2,2,5 14 3,3,3,5 17 4,4,4,5 19 5,5,5,4 22 6,6,6,4 25 7,7,7,4 28 8,8,8,4 31 9,9,9,4 9 1,1,1,6 12 2,2,2,6 15 3,3,3,6 18 4,4,4,6 21 5,5,5,6 23 6,6,6,5 26 7,7,7,5 29 8,8,8,5 32 9,9,9,5 10 1,1,1,7 13 2,2,2,7 16 3,3,3,7 19 4,4,4,7 22 5,5,5,7 25 6,6,6,7 27 7,7,7,6 30 8,8,8,6 33 9,9,9,6 11 1,1,1,8 14 2,2,2,8 17 3,3,3,8 20 4,4,4,8 23 5,5,5,8 26 6,6,6,8 29 7,7,7,8 31 8,8,8,7 34 9,9,9,7

12 1,1,1,9 15 2,2,2,9 18 3,3,3,9 21 4,4,4,9 24 5,5,5,9 27 6,6,6,9 30 7,7,7,9 33 8,8,8,9 35 9,9,9,8

Resumen Totales

VS 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 (31)

N⁰G 1 1 2 1 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 1 2 1 1 (72)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟒,𝟑,𝟏 = 𝟒 posibilidades o permutaciones. Total: 72x4=288

252 grupos con dos elementos iguales y dos diferentes y sus valores suma (VS): m(m-1)(m-2)/2=9x8x7/2= 9x28=252

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales 7 1,1,2,3 1 8 1,1,2,4 9 1,1,3,4 2

9 1,1,2,5 10 1,1,3,5 11 1,1,4,5 3 10 1,1,2,6 11 1,1,3,6 12 1,1,4,6 13 1,1,5,6 4 11 1,1,2,7 12 1,1,3,7 13 1,1,4,7 14 1,1,5,7 15 1,1,6,7 5 12 1,1,2,8 13 1,1,3,8 14 1,1,4,8 15 1,1,5,8 16 1,1,6,8 17 1,1,7,8 6 13 1,1,2,9 14 1,1,3,9 15 1,1,4,9 16 1,1,5,9 17 1,1,6,9 18 1,1,7,9 19 1,1,8,9 7 28 8 2,2,1,3 1

9 2,2,1,4 11 2,2,3,4 2 10 2,2,1,5 12 2,2,3,5 13 2,2,4,5 3 11 2,2,1,6 13 2,2,3,6 14 2,2,4,6 15 2,2,5,6 4 12 2,2,1,7 14 2,2,3,7 15 2,2,4,7 16 2,2,5,7 17 2,2,6,7 5 13 2,2,1,8 15 2,2,3,8 16 2,2,4,8 17 2,2,5,8 18 2,2,6,8 19 2,2,7,8 6 14 2,2,1,9 16 2,2,3,9 17 2,2,4,9 18 2,2,5,9 19 2,2,6,9 20 2,2,7,9 21 2,2,8,9 7 28

9 3,3,1,2 1 11 3,3,1,4 12 3,3,2,4 2

12 3,3,1,5 13 3,3,2,5 15 3,3,4,5 3 13 3,3,1,6 14 3,3,2,6 16 3,3,4,6 17 3,3,5,6 4

14 3,3,1,7 15 3,3,2,7 17 3,3,4,7 18 3,3,5,7 19 3,3,6,7 5 15 3,3,1,8 16 3,3,2,8 18 3,3,4,8 19 3,3,5,8 20 3,3,6,8 21 3,3,7,8 6 16 3,3,1,9 17 3,3,2,9 19 3,3,4,9 20 3,3,5,9 21 3,3,6,9 22 3,3,7,9 23 3,3,8,9 7 28 11 4,4,1,2 1 12 4,4,1,3 13 4,4,2,3 2 14 4,4,1,5 15 4,4,2,5 16 4,4,3,5 3

15 4,4,1,6 16 4,4,2,6 17 4,4,3,6 19 4,4,5,6 4 16 4,4,1,7 17 4,4,2,7 18 4,4,3,7 20 4,4,5,7 21 4,4,6, 5 17 4,4,1,8 18 4,4,2,8 19 4,4,3,8 21 4,4,5,8 22 4,4,6, 23 4,4,7,8 6 18 4,4,1,9 19 4,4,2,9 20 4,4,3,9 22 4,4,5,9 23 4,4,6, 24 4,4,7,9 25 4,4,8,9 7 28 13 5,5,1,2 1 14 5,5,1,3 15 5,5,2,3 2

15 5,5,1,4 16 5,5,2,4 17 5,5,3,4 3 17 5,5,1,6 18 5,5,2,6 19 5,5,3,6 20 5,5,4,6 4 18 5,5,1,7 19 5,5,2,7 20 5,5,3,7 21 5,5,4,7 23 5,5,6,7 5 19 5,5,1,8 20 5,5,2,8 21 5,5,3,8 22 5,5,4,8 24 5,5,6,8 25 5,5,7,8 6 20 5,5,1,9 21 5,5,2,9 22 5,5,3,9 23 5,5,4,9 25 5,5,6,9 26 5,5,7,9 27 5,5,8,9 7 28 15 6,6,1,2 1

16 6,6,1,3 17 6,6,2,3 2 17 6,6,1,4 18 6,6,2,4 19 6,6,3,4 3 18 6,6,1,5 19 6,6,2,5 20 6,6,3,5 21 6,6,4,5 4 20 6,6,1,7 21 6,6,2,7 22 6,6,3,7 23 6,6,4,7 24 6,6,5,7 5 21 6,6,1,8 22 6,6,2,8 23 6,6,3,8 24 6,6,4,8 25 6,6,5,8 27 6,6,7,8 6 22 6,6,1,9 23 6,6,2,9 24 6,6,3,9 25 6,6,4,9 26 6,6,5,9 28 6,6,7,9 29 6,6,8,9 7 28

17 7,7,1,2 1 18 7,7,1,3 19 7,7,2,3 2 19 7,7,1,4 20 7,7,2,4 21 7,7,3,4 3 20 7,7,1,5 21 7,7,2,5 22 7,7,3,5 23 7,7,4,5 4 21 7,7,1,6 22 7,7,2,6 23 7,7,3,6 24 7,7,4,6 25 7,7,5,6 5 23 7,7,1,8 24 7,7,2,8 25 7,7,3,8 26 7,7,4,8 27 7,7,5,8 28 7,7,6,8 6 24 7,7,1,9 25 7,7,2,9 26 7,7,3,9 27 7,7,4,9 28 7,7,5,9 29 7,7,6,9 31 7,7,8,9 7 28

19 8,8,1,2 1 20 8,8,1,3 21 8,8,2,3 2 21 8,8,1,4 22 8,8,2,4 23 8,8,3,4 3 22 8,8,1,5 23 8,8,2,5 24 8,8,3,5 25 8,8,4,5 4 23 8,8,1,6 24 8,8,2,6 25 8,8,3,6 26 8,8,4,6 27 8,8,5,6 5 24 8,8,1,7 25 8,8,2,7 26 8,8,3,7 27 8,8,4,7 28 8,8,5,7 29 8,8,6,7 6

26 8,8,1,9 27 8,8,2,9 28 8,8,3,9 29 8,8,4,9 30 8,8,5,9 31 8,8,6,9 32 8,8,7,9 7 28 21 9,9,1,2 1 22 9,9,1,3 23 9,9,2,3 2 23 9,9,1,4 24 9,9,2,4 25 9,9,3,4 3 24 9,9,1,5 25 9,9,2,5 26 9,9,3,5 27 9,9,4,5 4 25 9,9,1,6 26 9,9,2,6 27 9,9,3,6 28 9,9,4,6 29 9,9,5,6 5

26 9,9,1,7 27 9,9,2,7 28 9,9,3,7 29 9,9,4,7 30 9,9,5,7 31 9,9,6,7 6 27 9,9,1,8 28 9,9,2,8 29 9,9,3,8 30 9,9,4,8 31 9,9,5,8 32 9,9,6,8 33 9,9,7,8 7 28

Total de grupos: 9x28= 252

Resumen Totales

VS 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 (27)

N⁰G 1 2 4 3 7 8 11 10 14 13 16 13 17 14 17 13 16 13 14 10 11 8 7 3 4 2 1 (252)

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟒,𝟐,𝟏,𝟏=12 posibilidades o permutaciones .Total: 252x12=3024

126 grupos con sus cuatro elementos diferentes y sus valores suma (VS): 𝑪𝟗,𝟒 = 𝟏𝟐𝟔

VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO VS GRUPO Totales 10 1,2,3,4 1 11 1,2,3,5 12 1,2,4,5 2 12 1,2,3,6 13 1,2,4,6 14 1,2,5,6 3

13 1,2,3,7 14 1,2,4,7 15 1,2,5,7 16 1,2,6,7 4 14 1,2,3,8 15 1,2,4,8 16 1,2,5,8 17 1,2,6,8 18 1,2,7,8 5

15 1,2,3,9 16 1,2,4,9 17 1,2,5,9 18 1,2,6,9 19 1,2,7,9 20 1,2,8,9 6 21 13 1,3,4,5 1

14 1,3,4,6 15 1,3,5,6 2 15 1,3,4,7 16 1,3,5,7 17 1,3,6,7 3 16 1,3,4,8 17 1,3,5,8 18 1,3,6,8 19 1,3,7,8 4 17 1,3,4,9 18 1,3,5,9 19 1,3,6,9 20 1,3,7,9 21 1,3,8,9 5 15 16 1,4,5,6 1 17 1,4,5,7 18 1,4,6,7 2

18 1,4,5,8 19 1,4,6,8 20 1,4,7,8 3

19 1,4,5,9 20 1,4,6,9 21 1,4,7,9 22 1,4,8,9 4 10 19 1,5,6,7 1 20 1,5,6,8 21 1,5,7,8 2

21 1,5,6,9 22 1,5,7,9 23 1,5,8,9 3 6 22 1,6,7,8 1 23 1,6,7,9 24 1,6,8,9 2 3

25 1,7,8,9 1 1 56 14 2,3,4,5 1 15 2,3,4,6 16 2,3,5,6 2

16 2,3,4,7 17 2,3,5,7 18 2,3,6,7 3 17 2,3,4,8 18 2,3,5,8 19 2,3,6,8 20 2,3,7,8 4 18 2,3,4,9 19 2,3,5,9 20 2,3,6,9 21 2,3,7,9 22 2,3,8,9 5 15

17 2,4,5,6 1

18 2,4,5,7 19 2,4,6,7 2 19 2,4,5,8 20 2,4,6,8 21 2,4,7,8 3

20 2,4,5,9 21 2,4,6,9 22 2,4,7,9 23 2,4,8,9 4 10 20 2,5,6,7 1

21 2,5,6,8 22 2,5,7,8 2

22 2,5,6,9 23 2,5,7,9 24 2,5,8,9 3 6 23 2,6,7,8 1 24 2,6,7,9 25 2,6,8,9 2 3

26 2,7,8,9 1 1 35 18 3,4,5,6 1

19 3,4,5,7 20 3,4,6,7 2

20 3,4,5,8 21 3,4,6,8 22 3,4,7,8 3

21 3,4,5,9 22 3,4,6,9 23 3,4,7,9 24 3,4,8,9 4 10

21 3,5,6,7 1

22 3,5,6,8 23 3,5,7,8 2

23 3,5,6,9 24 3,5,7,9 25 3,5,8,9 3 6

24 3,6,7,8 1

25 3,6,7,9 26 3,6,8,9 2 3

27 3,7,8,9 1 1 20

22 4,5,6,7 1

23 4,5,6,8 24 4,5,7,8 2

24 4,5,6,9 25 4,5,7,9 26 4,5,8,9 3 6

25 4,6,7,8 1

26 4,6,7,9 27 4,6,8,9 2 3

28 4,7,8,9 1 1 10

26 5,6,7,8 1

27 5,6,7,9 28 5,6,8,9 2 3

29 5,7,8,9 1 1 4

30 6,7,8,9 1 1 1

Total de grupos: 126

Cada uno de estos grupos genera 𝑷𝟒 = 𝟒! = 𝟐𝟒 posibilidades o permutaciones .Total: 126x24=3024

El total general de grupos del caso corresponde a: 9+216+288+3024+3024=6561=𝟗𝟒

Las casillas sombreadas en los cuadros resumen, corresponden a la simetría encontrada:

Los valores suma equidistantes siempre suman el doble que el valor central.

Los n⁰s de grupos equidistantes del valor central siempre tienen igual valor

Es evidente que para un caso cualquiera de m y r, el total general de grupos

posibles resultará: 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 = 𝒎𝒓, que puede demostrarse por inducción.

TABLAS DE RESULTADOS

Estos cuadros, nos permiten recopilar en unas “Tablas de resultados” los valores o coeficientes

parciales correspondientes a los distintos factores de permutación simple o con repetición, que

intervienen en la determinación del número total de grupos (N⁰G) para cada valor suma posible,

en cada uno de los casos estudiados m=1,2,3 y 4.

TABLAS DE RESULTADOS DE VALORES SUMA Vs NÚMERO DE GRUPOS POSIBLES

Caso m=9 y r=1 (caso trivial)

V.S. 𝑷𝟏 N⁰𝑮𝟏𝟗 r.i

1 1 1 0

2 1 1 0

3 1 1 0

4 1 1 0

5 1 1 0

6 1 1 0

7 1 1 0

8 1 1 0

9 1 1

∑= 45 9 9=𝟗𝟏


Caso m=9 y r=2

Los valores suma propios del caso van desde V.S.=2, hasta V.S.=18

V.S 𝑷𝟐,𝟐 𝑷𝟐 N⁰𝑮𝟐𝟗 r.i

1 0 0 0 1

2 1 0 1 1

3 0 1 2 1

4 1 1 3 1

5 0 2 4 1

6 1 2 5 1

7 0 3 6 1

8 1 3 7 1

9 0 4 8 1

10 1 4 9 -1

11 0 4 8 -1

12 1 3 7 -1

13 0 3 6 -1

14 1 2 5 -1

15 0 2 4 -1

16 1 1 3 -1

17 0 1 2 -1

18 1 0 1

∑= 170 9 36 𝟖𝟏 = 𝟗𝟐

Notas:

1.) r.i es abreviatura de razón incremental

2.) El eje de simetría corresponde al valor de 𝑽. 𝑺. = 𝒓(𝟏 + 𝒎)/𝟐. En este caso a V.S.=5r=10

que resulta el de mayor valor de 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 en la tabla (9)

3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷𝟐,𝟐 = 𝟏 , y 𝑷𝟐 = 𝟐


Caso m=9 y r=3


V.S. 𝑷𝟑,𝟑 𝑷𝟑 𝑷𝟑,𝟐,𝟏 N⁰𝑮𝟑𝟗 r.i. r.i

1 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0

3 1 0 0 1 2 1

4 0 0 1 3 3 1

5 0 0 2 6 4 1

6 1 1 1 10 5 1

7 0 1 3 15 6 1

8 0 2 3 21 7 1

9 1 3 3 28 8 1

10 0 4 4 36 9 -2

11 0 5 5 45 7 -2

12 1 7 3 52 5 -2

13 0 7 5 57 3 -2

14 0 8 4 60 1 -2

15 1 8 4 61 -1 -2

16 0 8 4 60 -3 -2

17 0 7 5 57 -5 -2

18 1 7 3 52 -7 -2

19 0 5 5 45 -9 1

20 0 4 4 36 -8 1

21 1 3 3 28 -7 1

22 0 2 3 21 -6 1

23 0 1 3 15 -5 1

24 1 1 1 10 -4 1

25 0 0 2 6 -3 1

26 0 0 1 3 -2

27 1 0 0 1

∑= 375 9 84 72 𝟕𝟐𝟗 = 𝟗𝟑

Notas:

1.) En este caso habrán dos columnas de razones incrementales



3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷𝟑,𝟑 = 𝟏, 𝑷𝟑 = 𝟔, y 𝑷𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟑


Caso m=9 y r=4


V.S. 𝑷𝟒,𝟒 𝑷𝟒 𝑷𝟒,𝟑,𝟏 𝑷𝟒,𝟐,𝟏,𝟏 𝑷𝟒,𝟐,𝟐 N⁰𝑮𝟒𝟗 r.i r.i r.i.

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0 0 0 3 0

4 1 0 0 0 0 1 3 3 1

5 0 0 1 0 0 4 6 4 1

6 0 0 1 0 1 10 10 5 1

7 0 0 2 1 0 20 15 6 1

8 1 0 1 2 1 35 21 7 1

9 0 0 2 4 0 56 28 8 1

10 0 1 3 3 2 84 36 9 -3

11 0 1 3 7 0 120 45 6 -3

12 1 2 2 8 2 165 51 3 -3

13 0 3 3 11 0 216 54 0 -3

14 0 5 3 10 3 270 54 -3 -3

15 0 6 3 14 0 324 51 -6 -3

16 1 8 2 13 3 375 45 -9 -3

17 0 9 3 16 0 420 36 -12 -3

18 0 11 3 13 4 456 24 -15 -3

19 0 11 3 17 0 480 9 -18 3

20 1 12 2 14 4 489 -9 -15 3

21 0 11 3 17 0 480 -24 -12 3

22 0 11 3 13 4 456 -36 -9 3

23 0 9 3 16 0 420 -45 -6 3

24 1 8 2 13 3 375 -51 -3 3

25 0 6 3 14 0 324 -54 0 3

26 0 5 3 10 3 270 -54 3 3

27 0 3 3 11 0 216 -51 6 3

28 1 2 2 8 2 165 -45 9 -1

29 0 1 3 7 0 120 -36 8 -1

30 0 1 3 3 2 84 -28 7 -1

31 0 0 2 4 0 56 -21 6 -1

32 1 0 1 2 1 35 -15 5 -1

33 0 0 2 1 0 20 -10 4 -1

34 0 0 1 0 1 10 -6 3

35 0 0 1 0 0 4 -3

36 1 0 0 0 0 1

∑=660 9 126 72 252 36 𝟔𝟓𝟔𝟏 = 𝟗𝟒

Notas:

1.) En este caso habrán tres columnas de razones incrementales



3.) Los factores de multiplicación son respectivamente: 𝑷𝟒,𝟒 = 𝟏, 𝑷𝟒 = 𝟐𝟒, 𝑷𝟒,𝟑,𝟏 = 𝟒,

𝑷𝟒,𝟐,𝟏,𝟏 = 𝟏𝟐, y 𝑷𝟒,𝟐,𝟐 = 𝟔

Particiones con repetición o Composición de Enteros

Cuando a la permutación de los elementos de una partición se le considera como una nueva y

diferente partición (el orden si tiene relevancia), en lugar de particiones, hablamos de composición

de enteros, y cuando se permite el uso del cero en la composición, se le denomina composición

débil. Así p.ej. el número 4 tiene 8 composiciones: 4, 3.1, 2.2, 2.1.1, 1.3, 1.2.1, 1.1.2, 1.1.1.1.

Donde los elementos de cada grupo o composición posible, suman siempre 4.

La cantidad de composiciones para un número entero 𝑚 ≥ 1, está dada por∶

𝑪(𝒎) = 𝟐𝒎−𝟏, y al igual que con las particiones, por convención, existe una composición para el

cero 𝐶(0) = 1, y ninguna para números negativos 𝐶(𝑚) = 0, si 𝑚 < 0. En el caso del ejemplo

anterior tendríamos: C(4)=24−1=23 = 8 composiciomes.

Composiciones de m en r

De manera análoga al caso de las particiones, podemos definir como composiciones de m en r, a

las composiciones de un entero m ≥ 0, en grupos de una cantidad fija de r cifras significativas, que

en cada grupo sumen siempre m.

Podemos inferir fácilmente de la construcción de las tablas de resultados, que el 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 para un

determinado valor suma (V.S.) para un caso de m, y r, representa el n⁰ de Composiciones de dicho

valor suma (entero positivo) en r, ya que cuantifica el número de particiones de r cifras

significativas, y sus permutaciones posibles, que suman siempre dicho V.S.

Así p.ej. deducimos de la tabla de resultados, correspondiente a m=9 y r=2, que el N⁰G. de dos cifras

significativas, que tengan como valor suma 8, estará dado por:

1x𝑷𝟐,𝟐 + 3x𝑷𝟐 =𝟏𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟏 + 𝟔 = 𝟕, lo cual se corresponde con la composición de 8 en 2,

es decir: 𝑪𝟐(𝟖) = 𝟕 (ver fila sombreada en amarillo en la tabla correspondiente)

Dichas 7 composiciones de 8 en 2, serían las siguientes:

1.7, 7.1, 2.6, 6.2, 3.5, 5.3, y 4.4

De la tabla de resultados para m=9 y r=3, determinamos que el N⁰G de tres cifras significativas,

que tengan como valor suma 12, estará dado por:

𝟏𝒙𝑷𝟑,𝟑 + 𝟕𝒙𝑷𝟑 + 𝟑𝒙𝑷𝟑,𝟐,𝟏 = 𝟏𝒙𝟏 + 𝟕𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟑 = 𝟏 + 𝟒𝟐 + 𝟗 = 𝟓𝟐, lo cual se corresponde con

la composición de 12 en 3, es decir: 𝑪𝟑(𝟏𝟐) = 𝟓𝟐 (ver fila sombreada en azul en la tabla

correspondiente)

Así mismo, notamos la existencia de un eje de simetría numérica, en cada tabla de resultados,

correspondiente a la fila del valor medio de los V.S. entre el mínimo y el máximo V.S de cada caso

de m y r. Para 𝑚 = 9, 𝑦 𝑟 = 2, estará dado por el valor:

V.S.= (2+18)/2=10, y para 𝑚 = 9, 𝑦 𝑟 = 3, estará dado por el valor: V.S.=(3+27)/2=15

Por otra parte, la recopilación del N⁰G resultante para cada valor suma en dichas tablas de

resultados, nos ha permitido determinar la secuencia de formación de estos valores, que resultan

inter relacionados a través de sucesiones aritméticas de primer orden para m =2, de segundo orden

para m = 3, y de tercer orden para m = 4, (podríamos inferir que serán de orden m-1, para un valor

dado m).

Una observación minuciosa de los resultados obtenidos al construir estas tablas, nos han permitido

encontrar las relaciones internas entre ellas, y desarrollar una tabla que pone en evidencia la

secuencia de formación de los 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 sucesivos para cualquier 𝒓 ≤ 𝒎, en este caso limitados por

el valor máximo escogido de m = 9.

Por razones prácticas y limitaciones de espacio, presentamos a continuación la tabla que nos

permite obtener los valores sucesivos de 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 , y por ende las composiciones de enteros (V.S.)

en r, solo para m =9 y r = 1,2,3,4,5

En primer lugar hemos separado e iniciado la presentación de estas tablas, así como su

explicación, por la secuencia que nos permite pasar de los 𝑵⁰𝑮𝟏𝟗, a los 𝑵⁰𝑮𝟐

𝟗

TABLA DE SECUENCIAS DE FORMACIÓN DE LOS 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 SUCESIVOS

Desde r=1, hasta r=2, para m=9

V.S. 𝑵⁰𝑮𝟏𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮𝟐

𝟗

1 1 (-) 0 (=) 1 (+) 0

2 1 0 1 1

3 1 0 1 2

4 1 0 1 3

5 1 0 1 4

6 1 0 1 5

7 1 0 1 6

8 1 0 1 7

9 1 0 1 8

10 0 1 -1 9

11 0 1 -1 8

12 0 1 -1 7

13 0 1 -1 6

14 0 1 -1 5

15 0 1 -1 4

16 0 1 -1 3

17 0 1 -1 2

18 0 1 -1 1

Explicación de las secuencias:

1. En la 1⁰columna, colocamos los 18 V.S. correspondientes al caso de m=9, y r=2

2. En la 2⁰columna, colocamos los valores correspondientes de 𝑵⁰𝑮𝟏𝟗, para cada V.S., en este

caso los valores unitarios, de las primeras 9 filas. El resto de lugares en las filas siguientes

, es decir de la fila 10, hasta la 18, no habiendo valores de grupo para estos casos, se

asumen como 0 (cero)

3. La 3⁰columna, solo indica, que en la columna siguiente (4⁰), se colocará el resultado de

restar de la columna de 𝑵⁰𝑮𝟏𝟗, los valores de la 2⁰columna

4. Conociendo que para cualquier 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎, el primer valor distinto de cero, será igual a la

unidad, y corresponderá al caso V.S= r, la quinta columna (5⁰), solo indica que debemos

sumar los valores resultantes del paso 3. , ya recogidos en la 4⁰columna, con los valores

sucesivos que van resultando de 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, valores que conformaran dicha columna (lo cual

se indica con la flecha vertical hacia abajo).

Así por ejemplo: Por lo explicado anteriormente, conocemos que la columna de 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗,

comienza con valores 0, hasta la fila correspondiente al V.S.=2. Luego, sumamos el primer

valor contenido en 4⁰, con el primer valor contenido en 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, es decir: 1+0=1, y este

resultado se coloca a continuación como el segundo valor de la columna de 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, a

continuación sumamos el segundo valor de la columna 4⁰, con el resultado obtenido

previamente, o segundo valor de 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, es decir: 1+1=2, y este resultado se coloca como

el tercer valor de la columna de los 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, el procedimiento se repite hasta la fila 17 para

obtener como último resultado de 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗, el valor 1 correspondiente a la fila 18 (aunque

los valores también pueden obtenerse al considerar las simetrías ya descritas

anteriormente)

TABLA DE SECUENCIAS DE FORMACIÓN DE LOS 𝑵⁰𝑮𝒓𝒎 SUCESIVOS

Desde r=2, hasta r=5, para m=9

V.S. 𝑵⁰𝑮𝟐𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮𝟑

𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮𝟒𝟗 1⁰ 2⁰ 3⁰ 4⁰ 5⁰ 𝑵⁰𝑮𝟓

𝟗

1 0 (-)

0 = 0 (+)

0 (-)

0 = 0 (+)

0 (-)

0 = 0 (+) 0

2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

3 2 0 2 1 0 1

0 0 0 0

4 3 0 3 3 0 3 1 0 1

0

5 4 0 4 6 0 6 4 0 4 1

6 5 0 5 10 0 10 10 0 10 5

7 6 0 6 15 0 15 20 0 20 15

8 7 0 7 21 0 21 35 0 35 35

9 8 0 8 28 0 28 56 0 56 70

10 9 0 9 36 0 36 84 0 84 126

11 8 1 7 45 0 45 120 0 120 210

12 7 2 5 52 1 51 165 0 165 330

13 6 3 3 57 3 54 216 1 215 495

14 5 4 1 60 6 54 270 4 266 710

15 4 5 -1 61 10 51 324 10 314 976

16 3 6 -3 60 15 45 375 20 355 1290

17 2 7 -5 57 21 36 420 35 385 1645

18 1 8 -7 52 28 24 456 56 400 2030

19 0 9 -9 45 36 9 480 84 396 2430

20 0 8 -8 36 45 -9 489 120 369 2826

21 0 7 -7 28 52 -24 480 165 315 3195

22 0 6 -6 21 57 -36 456 216 240 3510

23 0 5 -5 15 60 -45 420 270 150 3750

24 0 4 -4 10 61 -51 375 324 51 3900

25 0 3 -3 6 60 -54 324 375 -51 3951

26 0 2 -2 3 57 -54 270 420 -150 3900

27 0 1 -1 1 52 -51 216 456 -240 3750

28 0 0 0 0 45 -45 165 480 -315 3510

29 0 36 -36 120 489 -369 3195

30 0 28 -28 84 480 -396 2826

31 0 21 -21 56 456 -400 2430

32 0 15 -15 35 420 -385 2030

33 0 10 -10 20 375 -355 1645

34 0 6 -6 10 324 -314 1290

35 0 3 -3 4 270 -266 976

36 0 1 -1 1 216 -215 710

37 0 0 0 0 165 -165 495

38 0 120 -120 330

39 0 84 -84 210

40 0 56 -56 126

41 0 35 -35 70

42 0 20 -20 35

43 0 10 -10 15

44 0 4 -4 5

45 0 1 -1 1

46 0 0 0 0

47

Como podemos notar hemos obtenido los valores para 𝑵⁰𝑮𝟓𝟗, o Composiciones de

cualquier valor suma entre 1, y 45 en grupos de 5 cifras significativas, sin desarrollar una

tabla de resultados, específica para ese caso, sino, aplicando los 5 pasos recogidos en las

5 columnas previas a dicho caso, o siguientes al caso de 𝑵⁰𝑮𝟒𝟗, y que hemos descrito para

el caso inicial al pasar de 𝑵⁰𝑮𝟏𝟗, a 𝑵⁰𝑮𝟐

𝟗.

La limitación de las tablas mostradas anteriormente está dada, porque han sido

desarrolladas, en base a un valor fijo m=9. Pero el procedimiento y sus resultados

inferimos que son extensibles a valores de enteros positivos mayores que 9.

Con estas definiciones, procedimientos y tablas de resultados y secuencias, concluimos

esta segunda exploración complementaria en el interesante campo de las particiones y

composiciones de enteros positivos.

Enrique R. Acosta R. Diciembre 2017

Bibliografía:

1. Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes polinomiales y su cadena valor 2017

2. Particiones Discretas de m en r. Formulaciones Matemáticas 2017

particiones con repetición o composición de enteros

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