Jorge Francisco Lazo Sanchez MAF Proyecto final:

Ricardo Neftal Martnez Chacn Partcula cuntica contenida

Hugo Agustn Garca Gonzlez entre dos cilindros.

Objetivo

Mediante uso de series de Fourier, Bessel y teora de la mecnica cuntica, clasificar los niveles de energa de una

partcula cuntica atrapada entre dos cilindros.

Introduccin.

Para el estudio de partculas atmicas, la mecnica de Newton nos es insuficiente, fue esta insuficiencia la que

inici una nueva revolucin intelectual a partir del siglo XX y que hoy conocemos como Mecnica Cuntica.

Postulados de la Mecnica Cuntica

-1. Existe para cada partcula una funcin ( , ), continua y compleja, tal que :

( , ) 2 = ( , )( , )1

Es la densidad de probabilidad de encontrar a la partcula en el punto , a un tiempo t.

-2. ( , ) es la solucin a la ecuacin de Shdinger:

, = ( , ) (I.1)

Donde el

= 2

2+ , y =

(I.2)

son los operadores hamiltoniano y de energa, respectivamente. Con la masa de la partcula y

=

2 =1.054572 1035J s 2

-3. A cada observable (propiedad fsica del sistema, medible) , se le asocia un operador . El valor esperado para cada observable se calcula:

= ( , ) ( , ) (I.3)

Esta integral se realiza sobre todo el espacio donde est confinada la partcula (TE). El operador asociado a la

observable, debe ser hermitiano, es decir:

= 3 (I.4)

1 ( , ) representa la funcin complejo conjugada de ( , ). 2 h es la constante de Plank.

Definicin y contextualizacin del problema.

Considere una partcula cuntica de masa confinada en un cilindro de radio interno a, radio externo b y altura L. La ecuacin de Schdinger es:

=

2

1

+

1

22

2+

2

2 (1)

Donde (, , , ) se anula en la frontera de confinamiento. Encuentre los niveles de energa en trminos de los

parmetros geomtricos de la trampa. Clasifique los niveles de energa de acuerdo con nmeros cunticos

( , , ), donde corresponde a un nodo de la funcin de onda en la coordenada indexada. Qu sucede con los

niveles de energa cuando a0 y ab? Con respecto a la pregunta anterior haga un anlisis sobre el

comportamiento de los siguientes niveles de energa: ,1,0, ,0,1 con =0,1,2.

Desarrollo.

El operador laplaciano en coordenadas cilndricas: 2 (nabla al cuadrado), viene dado por:

2=1

+

1

22

2+

2

2=

2

2+

1

+

1

22

2+

2

2 (2)

Entonces la ecuacin la Ec. 1, la podemos escribir de la siguiente manera:

=

22 (3)

Si nosotros aplicamos separacin de variables a la Ec. 3, haciendo , , , = , , () y sustituyendo en

la Eq. 3, obtenemos:

=

22

Ahora, dividiendo, por = y multiplicndola por :

=

2

2

2

= (4)

Donde E es la constante de separacin. Entonces para la funcin dependiente del tiempo, tenemos:

=

Que multiplicando por

:

T=

Y cuya solucin es:

= 0

(5) 3 El hecho de que el operador asociado a cada observable sea hermitiano, es una condicin necesaria y suficiente para que los observables sean reales

(medibles).

De la Ec. 4, tambin obtenemos la ecuacin de Shdinger independiente del tiempo:

2

22 = (6)

Despejando el laplaciano de U, de la Ec. 6:

2 = 2

2 (7)

Obtenemos una ecuacin de Helmholtz, y haciendo:

2

2= 2 (8)

La Eq. 6 queda:

2 = 2 (9)

Mediante separacin de variables; haciendo , , = y aplicando el laplaciano en coordenadas

cilndricas (Eq. 2), llegamos a:

() +1

() +

1

+ = Z (10)

multiplicando por 2

+

+

+

=

despejando

= +

+

+

= 2

Con 2, la constante de separacin. Volviendo a despejar la ecuacin anterior, obtenemos una ecuacin para y

otra para y z:

2 = 0 (11)

+

+

+

=

Multiplicando, la ecuacin anterior por 1

+

+

+

=

Despejando para obtener una ecuacin para Z y otra para R, con la constante de separacin

=

+

+ =

Entonces para :

= 0 (12)

Y para R

+

+ =

Donde reacomodando, obtenemos

2 + + 2 2 2 = 0 (13)

Evaluamos las condiciones de la frontera, para obtener las soluciones de las Ecs. 11, 12 y 13. Para la Ec. (11), como

+ 2 = (), para todo , la solucin debe de ser peridica, entonces se debe considerar +m en la Ec. 11,

y la solucin para , es

= = + m=0,1,2,... (14)

De hecho la Ec. 14 se cumple para m , pero los valores negativos de m, no contribuyen a nuevas soluciones.

Para la Ec. 12 debe ocurrir por condiciones de frontera que: Z(0)=Z(H)=0 (Z oscila entre 0 y H). Por lo tanto,

tomamos +2 en la Ec. 12 cuya solucin general es de la forma:

= +

Evaluando en la ecuacin anterior z=0, se tiene:

0 = = 0

haciendo C=0 , se cumple la primer condicin de frontera, evaluando ahora la Eq. 12, para z=H

= 0 =

Para que esto se cumpla, debe ocurrir que: = , con , entonces, =

, y

=

p =0,1,2,3, (15)

Nuevamente los enteros negativos, no contribuyen a nuevas soluciones para la Ec. 15.

Como ya se determinaron los signos de las constantes de separacin en las Ecs. 11 y 12, la Ec. 13, queda como:

2 + + 2(2 2) 2 = 0 (16)

Que es muy parecida a la ecuacin de Bessel, de orden m.

Haciendo el cambio de variable: = 2 2, y

= 2 2

entonces, =

= = , entonces, por regla de la cadena: = =

2 2 y volviendo a derivar, () = (2 2) , que al sustituir en la Eq. 16:

+

+ = 0

Reduciendo:

+ + = 0 (17)

Que es la ecuacin de Bessel de orden m, y cuya solucin, sabemos que es:

= + (18)

Donde:

= 1

! + !

2

2+=0 (19)

y

= cos ()

( ) (20)

Que son las series de Bessel y Neumann de orden m y cuyas graficas aparecen en las figuras 1 y 2, para ciertos

ordenes de las series.

Figura 1. Muestra la grafica de las series de Bessel de orden cero, uno y dos.

Figura 2. Muestra la grfica de la series de Neumann de orden cero, uno y dos.

Sustituyendo nuevamente = 2 2 en la Eq. 18

= () = + (21)

La Eq. 21, debe cumplir las condiciones de frontera R(a)=R(b)=0, con a .

Entonces, evaluando en a. Sabemos que (0)=O, m \ 0 , esto sugiere trasladar el origen a a, de modo que:

= 2 2( ) + 2 2( ) = 0 (22)

De la Eq. 20, notamos que 2 2( ) tiende a - cuando tiende , entonces debe ocurrir que G =0.

Y esto motiva a escribir

= 2 2( ) (23)

Pero la Eq. 23, tambin debe cumplir, la condicin de frontera para cuando =b

= 2 2( ) = 0 (24)

Esto implica que

2 2 = (25)

donde es la n sima raz de la serie de Bessel de orden .

Despejando de la Ec. 25

=

2

()+ (26)

Y sustituyendo en la Ec. 24:

=

( ) = 0

Entonces la solucin a R, es:

() =

( ) (27)

Donde ya sabemos m=0,1,2,3, y n=1,2,3,

Una solucin a la Eq. 9, es:

(, , ) = [ + ]{

}(

( ) )

=[ + ]

( )

Con m,p=0,1,2, y n=1,2,

Entonces usando el principio de superposicin, encontramos la solucin a la ecuacin de Shdinger independiente

del tiempo:

, , = [ + ]

( ) =1 ,=0 (28)

Ahora, vamos interpretar el significado fsico de la constante de separacin E de la Ec. 4

Apliquemos el operador a la funcin , = (), entonces:

, = ,

(por Eq. I.2)

=

= (despejando la Eq. 4 y sustituyendo)

= ,

Ahora obtengamos el valor esperado del operador , haciendo uso de la Eq. I.3:

= ( , ) ( , ) por las igualdades obtenidas anteriormente

= , ( , ) como E es una constante

= , ( , )

=E

Ya que , ( , ) , representa la probabilidad de encontrar la partcula en el volumen donde est

confinada (Eq. I.3), y esta es igual a uno.

Por lo tanto el valor esperado del operador energa es la constante de separacin E, es decir la constante de

separacin, representa a la energa.

= (29)

Ahora, igualando las Ecs. 8 y 26, y como =

:

2 =2

2=

2

( )+

Y despejando E

=2

2

2

+

2 (30)

No obstante, podemos clasificar los niveles de energa, mediante los nmeros cunticos , y la Ec. 30:

=2

2

2+

2 (31)

Donde = 1,2,3, 4 y , = 0,1,2,3

Algunos valores de , se muestran en la Tabla 1.

0 1 2 3 4 5

0 No existe 0 0 0 0 0

1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.761 11.0647 12.3386

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002

4 11.7915 13.3237 14.796 16.2235 17.616 18.9801

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178

Tabla 1. Muestra la -raiz de la serie de Bessel de orden . Con , {0,1,2,3,4,5}

Aprovechando la notacin de la Ec. 31, tambin podemos escribir la solucin a la ecuacin de Shdinger

dependiente del tiempo, entonces mediante las Ecs. 5 y 28, ya que , = )( :

, = [ + ]

( ) ,=0

=1

(32)

Donde ( ), 0 2 y 0

De la Ec. 31, claramente cuando a 0, los niveles de energa estn regidos por:

=2

2

2+

2 (33)

4 De hecho , podra correr desde el entero cero, considerando el origen como la raz cero para toda serie de Bessel de orden m, con m \ 0

Mientras, si a , tambin de la Ec. 31, observamos que los niveles de energa incrementan bastante (tienden a

infinito)

Resultados.

Las tablas 2 y 3, de ,1,0, ,0,1 con =0,1,2 respectivamente, cuando a0. Para ciertos: partcula de masa y

cilindro de radio b y altura H.

0,1,0 1,1,0 2,1,0

0 2

2

3.8317

2

2

2

7.0156

2

Tabla 2.

0,0,1 1,0,1 2,0,1

No existe tal nivel de

energa

2

2

2.4048

2

+

2

2

2

5.5201

2

+

2

Tabla 3.

Las tablas 4 y 5, de ,1,0, ,0,1 con =0,1,2 respectivamente, cuando ab. Para ciertos: partcula de masa y

cilindro de radio b y altura H. aqu r =b-a 0

0,1,0 1,1,0 2,1,0

0 2

2

3.8317

2

2

2

7.0156

2

Tabla 4.

0,0,1 1,0,1 2,0,1

No existe tal nivel de

energa

2

2

2.4048

2

+

2

2

2

5.5201

2

+

2

Tabla 5.

Para las siguientes graficas, se tomo el radio como r=b-a, con b una constante cualquiera y a una variable cuyos

valores van desde a=0 hasta a=b.

Figura 3. Niveles de energa ,1,0 para =0,1,3 dependientes del radio.

Figura 4. Niveles de energa ,0,1dependientes para =1,2,3. Dependientes del radio.

Figura 5. Niveles de energa ,0,1 y ,1,0 con =1 dependientes del radio.

Figura 6. Niveles de energa ,0,1 y ,1,0 con =2 dependientes del radio.

Figura 7. Niveles de energa ,0,1 y ,1,0 con =3 dependientes del radio.

Conclusin y discusin

El desarrollo presentado en las lneas anteriores, muestra que los niveles de energa son dependientes de la

geometra del problema. Adems la energa que contiene una partcula cuntica va en aumento a medida que el

espacio entre los dos cilindros se va reduciendo, de modo que esta tiende a infinito, grficas de las figuras 3-5. Si

esto ocurre la amplitud de la funcin de onda, debe tambin aumentar de tal modo que se conserve la

probabilidad5 de encontrar la partcula cuntica en el rea confinada entre los cilindros. Sin embargo, para el nivel

de energa 0,1,0, la energa siempre es cero sin importar la separacin entre los cilindros, Tablas 2 y 4.

Bibliografa.

1. Arkfen, Weber, et al, Mathematical Methods for Physicists, ELSEVIER, 7 Ed. 2. Asmar Nakhl H., Partial Differential Equations with Fourier Series, Pearson 2 Ed 3. Haberman Richard, Applied Differential Equations, Pearson, 4 Ed. 4. http://demonstrations.wolfram.com/QuantumMechanicalParticleInACylinder/ 5. David S. Saxon, Elementary Cuantum Mechanics, Holden-Day, San Francisco, 1968

Apndice I. Cdigo de Matlab.

%%PROYECTO FINAL MAF%% b=6; a=0:0.01:b; r=b-a; mu=1; nz=[0,1,2,3]; H=15; al=[2.4048 3.831 5.135; 5.5201 7.0156 8.4172;8.6537 10.173 11.619]; hbar=1.0545e-34; %%% figure(1) title('E_{np,1,0}') hold on E010=(hbar)^2/(2*mu)*(((al(1,2))./(b-a)).^2+((nz(1)*pi)/(H))^2); plot(r,E010,'b'); hold on E101=(hbar)^2/(2*mu)*(((al(2,1))./(b-a)).^2+((nz(1)*pi)/(H))^2); plot(r,E101,'r'); hold on E210=(hbar)^2/(2*mu)*(((al(3,2))./(b-a)).^2+((nz(1)*pi)/(H))^2); plot(r,E210,'k'); hold on axis([0, 3, 0, 3e-65]) legend('np=1','np=2','np=3') %%%

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5 David S. Saxon, Elementary Cuantum Mechanics, Holden-Day, San Francisco, 1968, pgs. 68-69.

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axis([0, 3, 0, 3e-65]) legend('E_{3,1,0}','E_{3,0,1}')