PBLogmatematikHans Hüttel, Jakob Gulddahl Rasmussen,

Morten Grud Rasmussen, Bettina Dahl Søndergaard

Institut for Matematiske Fag, Institut for Datalogi, Institut for Planlægning

Et umage par?Baggrunden for projektet var mangeårige erfa-ringer og rygter om, at PBL ikke passer så godttil grundfag som matematik. PBL bygger på au-tentiske problemer med relevans uden for uni-versitetet, hvor de studerende viser at de forstårproblemets kontekst og kan lave en problem-analyse der leder frem til en problemformule-ring. Men hvad vil det egentlig sige for grund-fag som matematik? Matematik er ikke et pro-fessionsfag, men matematik indgår som et cen-tralt værktøj til løsning af mange problemer i vir-keligheden. Men det er ikke det, der er mate-matik. Matematikken er en teoretisk og ab-strakt videnskab. Hvis de studerende skal læ-se matematik, skal de derfor kunne møde beg-ge matematiske verdener – både den anvend-te og den abstrakte matematik. Men hvordanfinder man autentiske problemer med rele-vans uden for universitetet inden for en ab-strakt videnskab? Hvordan kan dette hængesammen med PBL?

Tre eksemplerHer er tre eksempler på de forskellige problem-stillinger, vi har identificeret i matematikprojek-ter.Ekstern (fra medicin) Kan symfyse-fundus-mål af størrelsen på en gravid kvindes maveafsløre, om der er et væksthæmmet barn påvej?

Intern, med ekstern case Kan man konstrue-re en algoritme, der med polynomiel tidskom-pleksitet finder optimale strømninger i en kant-mærket orienteret graf med afstande og kapa-citeter? En mulig anvendelse vil være at be-regne flugtveje i bygninger.

Intern Er det muligt at give et alternativt ogenklere bevis for Riemanns afbildningssæt-ning for polygoner?

Hvem er vi

Lektor LektorHans Jakob GulddahlHüttel Rasmussen

Lektor LektorMorten Grud Bettina DahlRasmussen Søndergaard

ProblemanalysenFørste fase - i god PBL ånd - var at finde ud afhvad problemet egentlig var:I Indsamling af styringsgruppemøderefera-

ter og semesterevalueringer de sidste 10år for matematikstuderende

I Indsamling af skreven litteraturI Interviews med 2 hovedvejledere, 2 bivej-

ledere, 3 studerende og 1 ekstern censorfor 2. semester matematik i foråret 2017

I Undersøgelse af projektrapporter fra mate-matikstuderende ved AAU

Vi fandt ud af, at der var PBL-elementer i pro-jektarbejdet hos de fleste, men at de færresteprojekter var drevet af "problem fra virkelighe-den”. Visse projekter havde påståede eksterneproblemstillinger - men de var ofte pseudo - enanledning til at lære teori. I praksis et spek-trum af projekttyper, gående fra rent teoretiske,til grundlæggende problemdrevne projekter.

ProblemløsningenI efteråret 2018 gik vi i gang med problemløs-ningsfasen. Den bestod af følgende dele:I Deltagelse med oplæg på et institutsemi-

nar på Institut for Matematiske Fag, au-gust 2018 - de første ideer

I Undersøgelse af strukturen af en samlingbachelorrapporter i matematik fra AarhusUniversitet, Roskilde Universitet og Tech-nische Universität München

Vi undersøgte projekter på ikke-PBL-universiteter for at forstå, hvordan problemba-sering finder sted i matematik. Hypotesen var,at gode matematikprojekter altid vil væreproblemorienterede, da matematisk forsk-ning løser faktisk eksisterende (matematiske)problemer og bidrager med ny viden. Vi togogså projekter fra RUC, da dette også er etPBL-universitet - så hvordan gør de det?

Den interne kontekstualiseringDet særlige ved matematikprojekter i PBL er,at nogle af disse nødvendigvis må være fagin-terne (teoretiske), så de studerende får mulig-hed for at komme i dybden med denne del afmatematikken.Projekterne fra AU og TUM havde en megetkort eller helt fraværende problemanalyse.Indledning og konklusion var altid bygget sam-men, men det er ikke i sig selv kritisabelt. I endel projekter var der dog en motivation, somudsprang af en modstrid eller undren.Disse projekter var problembaserede i detskjulte - det var ikke gjort eksplicit tydeligt. Detvar der heller ikke i RUC-projekterne. Dissehavde afsnit som Indledning, Problemformule-ring og Metode, som indeholdt elementer af det,der på AAU kaldes en problemanalyse.Et matematikprojekt bør som problemanalyseindeholde en intern kontekstualisering, hvorman sætter sit faglige dyk i konteksten af denomgivende teori og den måde, den bliverudviklet på. Det faglige dyk udspringer altid afnogle valg, og forståelsen af betydningen af dis-se valg er med til at skabe et fagligt overblik, derer vigtigt for en fagmatematiker.

1. Ekstern problemstillingProjektet tager udgangspunkt i en problem-stilling uden for matematik. Projektets pri-mære mål vil her være at opnå kompetencer in-den for at opstille og anvende en matematiskmodel til analyse af problemstillingen og identi-fikation af en matematisk formulering af et pro-blem inden for den eksterne problemstilling.Projektets problem er således en matematiskudgave af et eksternt problem. Det, der driverprojektet frem, er en kombination af et ønskeom at løse dette problem og ønske om at fin-de en god model hertil. De studerende skal dogikke blot få overrakt en problemstilling, de måhave en grad af selvbestemmelse i at finde el-ler vællge en relevant problemstiling ud fra da-tasættet eller i at videreudvikle det udleveredeproblem.

2. internt problem/ekstern caseProjektet tager udgangspunkt i at forstå ogreflektere over en matematisk teoridannelse,men som en vigtig del af projektet er der encase, hvor teoridannelsen bliver brugt til at kon-struere en matematisk model for casen, hvoref-ter analysen af modellen bruges til at præci-sere forståelsen og (re)konstruktionen af teo-ridannelsen. Projektets primære mål vil være atopnå kompetencer inden for at forstå sammen-hænge mellem og begrænsninger i en matema-tisk teoridannelse, men modelleringsaspektetbliver et sekundært mål. Projektrapporter herskal ikke kun opstille teoridannelsen, men og-så gøre rede for context of discovery (omstæn-dighederne der ledte til opdagelsen), herundercasens betydning for teoridannelsen. Her kande studerende også tage udgangspunkt i eneksisterende model eller metode. De studeren-de kan analysere hvorfor og hvordan modellenvirker, herunder diskutere hvorvidt modellernekan forbedres.

3. Intern problemstillingProjektet tager udgangspunkt i at forstå ogreflektere over en matematisk teoridannel-se. Projektets primære mål vil her væe at op-nå kompetencer inden for at forstå sammen-hænge mellem og begrænsninger i en mate-matisk teoridannelse. Projektets problem skalformuleres som et spørgsmål om sammenhæn-ge og begrænsninger i en teoridannelse. Det,der driver projektet frem, er ønsket om at skabeen præcis og rationel (re)konstruktion af enmatematisk teoridannelse.Projektrapporter her kan ikke kun opstille teo-ridannelsen på struktureret vis, men bør ogsåpræsentere context of discovery, herunder mo-tiverende modeksempler og refleksioner overbud på definitioner og formodninger, det harvist sig nødvendigt at forkaste. På sin vis erhele projektet én stor problemanalyse, der en-der med at formulere et faginternt problem.Grundvidenskab har også samfundsrelevans,men et tidsperspektiv er her nødvendigt, da deikke nødvendigvis har relevans i en nær fremtid.