Test  1  2nd  9  weeks  Review     1  Functions  

 What  is  a  function?  A  rule    Domain:  the  set  of  all  inputs  for  the  function    Range:  the  set  of  all  possible  values  of  f(x)  as  x  varies  throughout  the  domain  (set  of  outputs/  set  of  outcomes)    Finding  the  domain  of  a  function.  What  do  you  look  for?    *Domain  excludes  x-­‐values  that  result  in  division  by  zero.    Ex.  𝑓 𝑥 = !

!!!!  

 𝑥! − 4 ≠ 0    𝑥! ≠ 4    𝑥 ≠ ±2  Domain  would  be  all  real  numbers  x  except  for  2  and  -­‐2.     −∞,−2 ∪ −2,2 ∪ 2,∞    *Domain  excludes  x-­‐values  that  result  in  even  roots  of  negative  numbers.    Ex.  𝑓 𝑥 = 𝑥    𝑥 ≥ 0   𝑐𝑎𝑛𝑛𝑜𝑡  𝑏𝑒  𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒     0,∞    Evaluating  Functions    Input                Output   Equation  𝑥   𝑓(𝑥)   𝑓 𝑥 = 3 − 2𝑥  

 Example:  Find  the  following  function  values.    𝑓 −1 , 𝑓 0 , 𝑎𝑛𝑑  𝑓(2)    Solution:      𝑓 −1 =  3 − 2 −1 = 3 + 2 = 5    𝑓 0 =  3 − 2 0 =  3 − 0 = 3    𝑓 2 = 3 − 2 2 = 3 − 4 = −1      

  Test  1  2nd  9  weeks  Review     2  Functions  

Section  1.8  :  Combining  Functions    Algebra  of  Functions  Let  f  and  g  be  functions  with  domains  A  and  B,  respectively.  Then:       𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥        The  domain  is  𝐴 ∩ 𝐵     𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥        The  domain  is  𝐴 ∩ 𝐵       𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)                      The  domain  is  𝐴 ∩ 𝐵     !!

𝑥 = ! !! !

                       The  domain  is  𝐴 ∩ 𝐵  𝑠𝑢𝑐ℎ  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑔(𝑥) ≠ 0    Composition  of  Functions     𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥  The  domain  of   𝑓 ∘ 𝑔  is  the  set  of  all  x  in  the  domain  of  g  such  that  g(x)  is  in  the  domain  of  f.        

  Test  1  2nd  9  weeks  Review     3  Functions  

Section  1.9:  Inverse  Functions    Horizontal  Line  Test  for  Inverse  Functions  A  function  f  has  an  inverse  function  if  and  only  if  no  horizontal  line  intersects  the  graph  of  f  at  more  than  one  point.    One-­‐to-­‐One  Functions  A  function  f  is  one-­‐to-­‐one  if  each  value  of  the  domain  (inputs)  corresponds  to  exactly  one  value  of  the  range  (outputs).  A  function  f  has  an  inverse  function  if  and  only  if  f  is  1-­‐1.    Inverse  Functions  Let  f  be  a  one-­‐to-­‐one  function  with  domain  A  and  range  B.  Then  its  inverse  function  f-­‐1  has  domain  B  and  range  A  defined  by:  

𝑓!! 𝑦 = 𝑥  𝑖𝑓  𝑎𝑛𝑑  𝑜𝑛𝑙𝑦  𝑖𝑓  𝑓 𝑥 = 𝑦    Verifying  Inverse  Functions    Cancellation  properties:        𝑓 𝑓!! 𝑥 = 𝑥  𝑎𝑛𝑑  𝑓!! 𝑓 𝑥 = 𝑥    If  𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑥  𝑎𝑛𝑑  𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥  then  𝑓  𝑎𝑛𝑑  𝑔  are  inverses  of  each  other.    Finding  an  Inverse  Function  of  a  One-­‐to-­‐One  Function  (algebraically)    1. Replace  f(x)  with  y.  2. Interchange  the  roles  of  x  and  y.  3. Solve  for  y.  4. Replace  y  with  𝑓!! 𝑥 .  

     

  Test  1  2nd  9  weeks  Review     4  Functions  

Study  Questions    Definitions  on  test:    1. A  function  is  even  if  __________________.  2. A  function  is  odd  if  ___________________.  3. 𝑓  and  𝑔  are  inverses  if  ___________________.  4. A  function  is  1-­‐1  if  _______________________.  5. If  a  function  is  even  then  it  is  symmetric  about  the  ___________________.  6. If  a  function  is  odd  then  it  is  symmetric  about  the  ______________.    

     Given  𝑓 𝑥 = 3𝑥! + 4𝑥      and  𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2,  evaluate  the  following:    1. 𝑓 4  2. 𝑓 −2𝑥  3. 𝑓(𝑎 + 5)  4. 𝑔 −6  5. 𝑔 3𝑎 + 5  6. 𝑔 8𝑥! + 4  7. 𝑓 + 𝑔 𝑥  8. 𝑔 − 𝑓 𝑥  9. 𝑓𝑔 𝑥  10. (!

!)(𝑥)  

11. 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥  12. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥  13. 𝑓 ∘ 𝑔 2  14. 𝑓 ∘ 𝑓 𝑥  15. State  the  domain  of  𝑓 𝑥  16. State  the  domain  of  𝑔 𝑥  17. State  the  domain  of  #10    

   

  Test  1  2nd  9  weeks  Review     5  Functions  

 Tell  if  the  following  functions  are  even,  odd  or  neither.  State  the  symmetry.      1. 𝑦 = 5𝑥! + 2𝑥  2. 𝑦 = 3𝑥! + 2𝑥! − 5  3. 𝑦 = 8𝑥! − 3𝑥!  4. 𝑓(𝑥) = 3𝑥! − 8𝑥 − 2  5. 𝑓 𝑥 = 7𝑥!" − 7𝑥! − 5  

 Be  able  to  tell  (from  a  graph)  if  a  function  is  1-­‐1.    State  if  the  given  functions  are  inverses.    1. 𝑓 𝑥 = !

!!!     , 𝑔 𝑥 = !

!− 3  

2. ℎ 𝑥 = − 𝑥 + 2 !    ,𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2! + 2    Find  the  inverse  of  each  function.    1. 𝑓 𝑥 = 3 + !

!𝑥  

2. ℎ 𝑥 = 𝑥 + 1 ! + 2  3. 𝑔 𝑥 = −1 − !

!𝑥  

4. 𝑓 𝑥 = !!!!!!