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de la thèse

http://ethesis.inp-toulouse.fr/archive/00000530/01/roux_sebastien1.pdf

Quatrième partie

Simulation d’un moteur réel

Table des matières

9 La configuration dite "réelle" : un moteur d’avion 1679.1 Un moteur réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.2 Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.3 Le distributeur haute pression (DHP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.4 Le maillage utilisé pour la LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.5 Présentation du calcul LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.5.1 Conditions aux limites d’entrées/sortie d’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1729.5.2 Condition d’entrée de carburant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.5.3 Conditions aux murs et sur les parois multiperforées . . . . . . . . . . . . . . . 1759.5.4 Chimie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.5.5 Coût CPU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.5.6 Etablissement du calcul réactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10 Résultats des simulations LES 17710.1 Calcul sans DHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.1.1 Champs moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.1.2 Comportement instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.2 Calcul avec DHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.2.1 Champs moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.2.2 Comportement instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

11 Comparaison des écoulements sans et avec le distributeur haute pression (DHP) 19111.1 Profils moyens et RMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.2 Particularités hydrodynamiques instantanées de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . 199

11.2.1 Nombre de tourbillons dans l’injecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.2.2 Inversion du profil de vitesse axiale dans l’injecteur au cours du temps . . . . . . 202

11.3 Structure de flamme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.4 Champ de pression instationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20511.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

TABLE DES MATIÈRES

12 Perspectives : les points sensibles de la LES des instabilités de combustion d’un moteur réel21112.1 Quelle condition limite après le DHP ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

12.1.1 Si le DHP n’est pas amorcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21112.1.2 Si le DHP est amorcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21212.1.3 Le refroidissement du DHP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

12.2 Un système d’injection détaillé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21412.3 Prise en compte du contournement de la chambre de combustion . . . . . . . . . . . . . 215

166

Chapitre 9

La configuration dite "réelle" : un moteurd’avion

9.1 Un moteur réel

Développer la LES en combustion nécessite de mener des études détaillées pour éprouver ses capa-cités en confrontant ses résultats à de nombreuses mesures expérimentales locales (vitesse, température,espèces). Ceci impose de travailler dans des conditions indulgentes pour les expérimentateurs, c’est-à-dire principalement à pression atmosphérique, à des régimes de faible puissance et avec une chambre decombustion de section carrée pour permettre l’accès optique au travers de parois planes comme pour lecas PRECCINSTA. Si ce travail mérite le sérieux qui lui est consacré, il ne faut pas pour autant perdrede vue que l’objectif à court terme est d’être aussi capable d’appliquer la LES dans des configurationsréelles de moteurs et de vérifier qu’aucune erreur stratégique n’a été commise. Par exemple, travailleravec des maillages structurés aurait été possible pour PRECCINSTA mais mène à une impasse sur deschambres réelles. De même, certaines méthodes de traitement de la cinétique chimique ou de la combus-tion turbulente peuvent être envisageables dans des configurations académiques mais être inemployablesdans des cas industriels. Ainsi, cette partie est consacrée à la LES d’un démonstrateur de corps hautepression de nouvelle génération développé par un industriel.

Comme pour PRECCINSTA, un des objectifs de l’étude est de déterminer l’influence des conditionsaux limites et de la taille du domaine sur les résultats. En particulier dans les cas "réels", la chambrede combustion débouche dans un DHP (distributeur haute pression) qui peut modifier considérablementl’écoulement moyen (à cause du champ de pression moyenne induit par les vannes du DHP) mais aussil’écoulement instationnaire (à cause des ondes entropiques et acoustiques réfléchies sur le DHP). Dansce chapitre, une LES avec DHP sera comparée à une LES sans DHP pour éclaircir ces points.

Le moteur choisi pour cette étude est annulaire et présente 18 brûleurs installés dans 18 secteursparfaitement identiques de 20 degrés chacun comme le montre la Fig. 9.1. Cette étude portera donc pourdes raisons de coût de calcul sur un seul secteur pourvu de conditions de périodicité. Cette simplification

LA CONFIGURATION DITE "RÉELLE" : UN MOTEUR D’AVION

FIG. 9.1 - Trois angles de vue du moteur complet : 18 secteurs identiques de 20˚ chacun

se justifie dans les points abordés par la suite par l’importance limitée de la configuration orthoradiale dumoteur.

9.2 Configuration

Le moteur considéré présente les caractéristiques principales des moteurs qui l’ont précédé au sein desa gamme. Un premier circuit d’air alimente une cavité appelée plénum qui elle-même débouche dansdeux vrilles composées de 12 vannes chacune et chargées de mettre l’écoulement d’air en rotation. Enplus des deux vrilles, l’air du plénum alimente une série de 26 trous de bol qui veillent à ce que la flammene vienne pas lêcher le fond de chambre. Un injecteur de carburant pulvérise le carburant liquide (JP10)sur l’axe de l’injecteur. C’est à partir de cet endroit que le mélange entre les réactifs peut s’effectuer.Les figures Fig 9.2 à 9.3 montrent le moteur, son système d’injection et le distributeur haute pression. Lafigure Fig 9.4 détaille le cheminement de l’air au travers de l’injecteur.

En sus du premier circuit d’air, un second alimente une partie appelée "contournement" de la chambrede combustion (Fig. 9.5). Cet air passe ensuite dans la chambre de combustion au travers des trousprimaires, des trous de dilution et des parois multiperforées (Fig. 9.6) qui la recouvrent.

9.3 Le distributeur haute pression (DHP)

Le distributeur haute pression (DHP) est une pièce maîtresse dans l’anatomie d’une turbomachine(Fig 9.7). Il s’agit de la première rangée d’aubes que rencontre l’écoulement en sortie de chambre de com-bustion. Cet aubage est statique : il n’est pas entraîné en rotation par l’arbre du moteur. Les contraintesque subissent les aubes du DHP sont parfois telles qu’il est nécessaire de refroidir leur surface grâce àun écoulement d’air froid injecté en bord d’attaque des pales et en d’autres endroits de leur profil comme

168


FIG. 9.2 - Vue 3D du plénum, de la chambre de combustion et du distributeur pour un secteur de 20˚. Les paroissupérieures et inférieures de la chambre de combustion sont multiperforées.

FIG. 9.3 - Vue 3D du plénum, de la chambre de combustion et du distributeur du sous un autre angle permettantde mieux discerner les deux pales du DHP (distributeur haute pression)

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FIG. 9.4 - Détail de l’injection, coupe axiale

FIG. 9.5 - Circuit de contournement du moteur qui alimente les injections d’air dans la chambre de combustion.

170


FIG. 9.6 - Exemple de paroi multiperforée de trous ayant un diamètre de l’ordre du millimètre

le montre la figure Fig 9.8 qui présente le DHP d’un autre moteur. Le principe est le même que celuiemployé pour les pales des turbines [72]. Si le rôle principal du DHP est de dévier l’écoulement, il fautgarder à l’esprit qu’il peut modifier considérablement les conditions acoustiques en sortie de chambre decombustion.

FIG. 9.7 - Photo d’une pale de distributeur semblable à celle étudiée ici. Elle est pourvue de petits trous quiinjectent de l’air froid afin de la réfroidir.

Le DHP étudié dans ce travail présente deux pales pour la section de moteur étudiée. Pour des raisonsde périodicité, l’une des deux pales a du être "coupée" par le plan de périodicité comme on peut le voirsur la Fig. 9.3.

171


FIG. 9.8 - Schéma du circuit de refroidissement du distributeur haute pression.

9.4 Le maillage utilisé pour la LES

Deux maillages non structurés ont été réalisés pour étudier l’influence de la prise en compte du DHPdans la simulation. Le premier débute à l’entrée du plénum et se termine à la sortie du DHP tandis quele second se termine juste avant le DHP. Les deux maillages présentent un raffinement local sensible-ment identique (Fig. 9.9) en insistant sur les zones importantes du calcul : l’injecteur où se déroule lemélange et la zone de flamme où se produit la combustion (Fig. 9.10). Pour s’affranchir de conditionsaux limites difficiles à imposer numériquement sur les entrées d’air dans la chambre de combustion, destubes d’amenée d’air ont été ajoutés et maillés. Ils ne correspondent bien sûr pas à la géométrie réelle etont seulement pour rôle d’introduire les flux de dilution en mimant au mieux les trous utilisés en réalité.

Les deux maillages comportent environ 400 000 noeuds soit environ 2 000 000 cellules qui conduisentà un pas de temps de l’ordre de 0,17 ms.

9.5 Présentation du calcul LES

9.5.1 Conditions aux limites d’entrées/sortie d’air

Tout l’air injecté, comme le carburant, est à une température de 473K. La table 9.1 dresse la répartitiondes débits dans le domaine de calcul considéré. Les conditions limites d’entrée sont non réfléchissanteset obéissent aux lois NCSBC présentées au chapitre 5. En sortie, la pression est imposée de manière nonréfléchissante pour obtenir une pression de l’ordre de 4,4 bar dans la chambre de combustion.

172


FIG. 9.9 - Différents angles de vue du maillage

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FIG. 9.10 - La densité de points du maillage augmente dans les zones importantes du calcul : injecteur (mélange)et zone réactionnelle (combustion)

9.5.2 Condition d’entrée de carburant

Au fond de l’injecteur, un mélange de richesse contante (Fig. 9.11, droite) est injecté selon un profilde vitesse représentant grossièrement l’ouverture d’un injecteur réel. Ce profil de vitesse est illustré parla Fig. 9.11 (gauche).

FIG. 9.11 - Profil de vitesse (gauche) et de fraction massique (droite) de l’injection de carburant

174


Injection Débit (kg/s)Plénum 0,164

Film de coupelle extérieur 0,041Film de coupelle intérieur 0,034Trous primaires extérieurs 0,081Trous primaires intérieurs 0,100

Trous de dilution extérieurs 0,114Trous de dilution intérieurs 0,112Multiperforation extérieure 0,121Multiperforation intérieure 0,101

Injecteur : air 0,010Injecteur : carburant (JP10) 0,026

TAB. 9.1 - Débits des injections dans le secteur de 20˚ simulé du moteur

9.5.3 Conditions aux murs et sur les parois multiperforées

On impose sur les parois des lois de parois adiabatiques (présentées aux chapitre 5.3.1). Une loide paroi spécifique [74, 75] développée au cours du projet INTELLECT est appliquée sur les paroismultiperforées. Cette loi permet d’imposer la porosité, l’angle d’injection et le débit total injecté dans lesmultiperforations. Elle joue un rôle important sur les résultats mais n’a pas été étudiée en détail ici.

9.5.4 Chimie

Le carburant utilisé est le JP10 dont la Fig. 9.12 nous propose un portrait. Le modèle chimique utilisépour ce calcul consiste en un schéma cinétique à une seule étape avec le recours à la méthode de laconstante pré-exponentielle ajustée dans la loi d’Arrhénius, dite aussi méthode PEA. Cette méthode adéjà été présentée dans cet ouvrage au chapitre 3.6.4.

FIG. 9.12 - Le JP10, sous son meilleur profil

175


9.5.5 Coût CPU

En terme de coût de calcul, l’efficacité réduite de la simulation LES (temps de calcul en µs / itération/ noeud est de l’ordre de 2,1. Le pas de temps (le schéma numérique est explicite) vaut environ 0,17 µs.Les calculs ont été réalisés sur 32 noeuds d’un cluster IBM BladeCenter de 2.2 Tflops [2].

9.5.6 Etablissement du calcul réactif

Dans cette étude d’un moteur réel, seul le cas réactif a été l’objet d’attention. Ne disposant de toutefaçon d’aucune mesure (ni dans le cas réactif ni dans le cas isotherme), il n’a pas semblé intéressantde dépenser de précieuses heures de calcul pour approfondir le cas non réactif. Ainsi, même si dans laméthodologie de la LES avec le code AVBP il faut simuler un transitoire avec un champ de vitesse prochede celui du cas réactif pour l’allumer ensuite, il n’a pas été question d’extraire des moyennes du cas nonréactif.

176

Chapitre 10

Résultats des simulations LES

Ce chapitre présente les résultats obtenus d’abord en excluant le DHP (distributeur haute pression) dudomaine de calcul puis en le prenant en compte. Comme indiqué au chapitre 9, on cherchera à répondreà une question simple : une LES correcte doit-elle inclure le calcul de l’écoulement dans le DHP ?

10.1 Calcul sans DHP

10.1.1 Champs moyens

Les Figs. 10.1 à 10.4 présentent en termes de moyennes et de RMS les résultats de la simulation dumoteur réel sans la prise en compte du DHP.

FIG. 10.1 - Simulation LES sans le DHP : champ moyen de vitesse axiale, en noir l’isoligne de vitesse axiale nulle

Il est possible d’ores et déjà d’identifier plusieurs zones de recirculation d’après le champ de vitesse

RÉSULTATS DES SIMULATIONS LES

FIG. 10.2 - Simulation LES sans le DHP : champ RMS de vitesse axiale, en noir l’isoligne de vitesse axiale nulle

FIG. 10.3 - Simulation LES sans le DHP : champ moyen de température

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FIG. 10.4 - Simulation LES sans le DHP : champ RMS de température

axiale (Fig. 10.1) :– deux en fond de chambre coincées entre la flamme et les films de coupelle,– une centrale à la sortie de l’injecteur caractéristique des écoulements swirlés dans ce type de

chambre de combustion,– plusieurs en amont des trous de dilution résultant de leur rencontre et– plusieurs dans le sillage de ces trous de dilution.

La flamme est concentrée entre le fond de chambre et les trous de dilution (Fig. 10.3).

10.1.2 Comportement instationnaire

Les Figs. 10.5 à 10.10 présentent quelques coupes axiales instantanées de l’ensemble du domaine decalcul pour la simulation qui ne prend pas en compte la présence du DHP. Ces figures représentent unesuite d’instants pris à peu de temps d’intervalle de sorte à restituer un mouvement complet du battementde la flamme. Le champ présenté est la norme du champ de vitesse. En blanc figure la ligne de vitesseaxiale nulle : on retrouve la présence des zones de recirculation évoquées sur le champ moyen. En noir,une isoligne de taux de réaction permet de localiser la position du front de flamme épaissi. En violet, uneligne de richesse égale à l’unité (mélange stœchiométrique) permet de rendre compte de l’état local dumélange.

Le spectre du signal de pression dans la chambre de combustion est donné par la Fig. 10.11. Uneseule fréquence émerge clairement de ce spectre à la hauteur de 790 Hz. Les Figs. 10.5 à 10.10 repré-sentent donc six instants également répartis sur un cycle de fréquence 790 Hz. En outre, en effectuant latransformation de Fourier du signal de pression dans tout le domaine de calcul, il est possible de visua-liser la densité spectrale de puissance dans de dernier. Ces cartes spectrales permettent d’identifier leszones où une fréquence donnée s’exprime. La Fig. 10.12 présente la coupe axiale de ce résultat et permetd’affirmer que la principale activité instationnaire du calcul LES se situe dans l’injecteur à la fréquencede 790 Hz.

179


FIG. 10.5 - Simulation sans le DHP : champ instantané de vitesse, en blanc une isoligne de vitesse axiale nulle,en noir la position de la flamme, en violet la ligne de mélange stoechiométrique. Phase = 0˚


180




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FIG. 10.9 - tSimulation sans le DHP : champ instantané de vitesse, en blanc une isoligne de vitesse axiale nulle,en noir la position de la flamme, en violet la ligne de mélange stoechiométrique. Phase = 288˚


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FIG. 10.11 - Spectre de Fourier des fluctuations de pression dans la chambre de combustion adimensionalisé parl’amplitude du même spectre dans le cas prenant en compte le DHP (voir Fig. 13.23). Ici, sans le DHP, seule la

fréquence 790 Hz émerge. Amplitude de Prms = 3 000 Pa.

FIG. 10.12 - Densité de puissance (unité relative) des fluctuations de pression à la fréquence de 790 Hz

183


10.2 Calcul avec DHP

10.2.1 Champs moyens

Les Figs. 10.13 à 10.16 présentent présentent en termes de moyennes et de RMS les résultats de lasimulation du moteur réel en incluant le DHP. La prise en compte du DHP ne modifie pas l’existence deszones de recirculation déjà rencontrées dans le cas où le DHP n’était pas maillé.

FIG. 10.13 - Simulation LES avec le DHP : champ moyen de vitesse axiale, en noir l’isoligne de vitesse axialenulle

FIG. 10.14 - Simulation LES avec le DHP : champ RMS de vitesse axiale, en noir l’isoligne de vitesse axiale nulle

184


FIG. 10.15 - Simulation LES avec le DHP : champ moyen de température

FIG. 10.16 - Simulation LES avec le DHP : champ RMS de température

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10.2.2 Comportement instationnaire

Les Figs. 10.17 à 10.22 présentent quelques coupes axiales instantanées de l’ensemble du domaine decalcul pour la simulation qui ne prend pas en compte la présence du DHP. Ces figures représentent unesuite d’instants pris à peu de temps d’intervalle. Avec les mêmes codes de couleur que lors de l’exposédu calcul sans le DHP, le champ présenté est la norme du champ de vitesse. En blanc figure la ligne devitesse axiale nulle : on retrouve la présence des zones de recirculation évoquées sur le champ moyen.En noir, une isoligne de taux de réaction permet de localiser la position du front de flamme épaissi. Enviolet enfin, une ligne de richesse égale à l’unité (mélange stœchiométrique) permet de rendre compte del’état local du mélange.

Le spectre du signal de pression dans la chambre de combustion est donné par la Fig. 10.23. Troisfréquences émergent clairement de ce spectre à la hauteur de 440 Hz, 600 Hz et 2120 Hz par ordredécroissant d’importance. Les Figs. 10.24 et 10.25 présentent la structure spatiale de ces modes.

FIG. 10.17 - Simulation avec le DHP : champ instantané de vitesse, en blanc une isoligne de vitesse axiale nulle,en noir la position de la flamme, en violet la ligne de mélange stoechiométrique.

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FIG. 10.23 - Spectre de Fourier des fluctuations de pression dans la chambre de combustion quand on prend encompte le DHP. Amplitude de Prms = 5 500 Pa. (comparer avec Fig. 13.11 pour le cas sans DHP)

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FIG. 10.24 - Structure spatiale du mode à 440 Hz dans la simulation LES avec le DHP

FIG. 10.25 - Structure spatiale du mode à 600 Hz dans la simulation LES avec le DHP

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Chapitre 11

Comparaison des écoulements sans et avecle distributeur haute pression (DHP)

11.1 Profils moyens et RMS

A priori, il est difficile de voir une grande différence entre les champs moyens de vitesse sans/avecDHP quand on se limite à des visualisations globales. Afin d’être mieux à même d’établir la comparaison,des profils détaillés sont établis ici pour différentes positions le long de l’axe central de la chambre decombustion. La Fig. 11.1 permet de situer la position de ces profils, eux-mêmes présentés par les Fig. 11.2à 11.7.

FIG. 11.1 - Positions des 5 profils de comparaison des champs sans/avec DHP

Il est alors possible de distinguer deux zones dans l’écoulement : jusqu’à x=120 mm, donc pour l’in-jecteur et la première partie de la chambre, des différences faibles existent entre les deux calculs et tous

COMPARAISON DES ÉCOULEMENTS SANS ET AVEC LE DISTRIBUTEUR HAUTE PRESSION (DHP)

les profils sont proches. Par contre, dans la seconde partie de la chambre (x=140 mm), des différencesapparaissent entre la calcul avec et le calcul sans DHP. La vitesse axiale par exemple (Fig. 11.5) montrentque le cas avec DHP exhibe des oscillations plus importantes que le cas sans DHP. La même observationest faite sur les vitesses RMS radiales (Fig. 11.6) ou azimutales (Fig. 11.7) où le cas avec DHP présentedes niveaux RMS 5 à 10 fois plus élevés que le cas sans DHP.

La température moyenne est aussi assez différente (Fig. 11.8) en x=120 et 140 mm ce qui montre quele profil de sortie de la chambre est affecté par la présence du DHP. Ceci est important car les profils detempérature en sortie sont une des premières grandeurs utilisées en pratique pour dessiner les chambres.De même, les fluctuations de température sont clairement sous estimées quand le DHP n’est pas pris encompte (Figs. 11.9 à 11.13).

Ces résultats montrent donc un résultat simple : le DHP joue un rôle important dans la seconde partiede la chambre mais influe peu sur la zone primaire. Dans un cadre industriel, il semble donc important dele prendre en compte car ce sont les caractéristiques de l’écoulement en sortie de chambre qui importentpour le design du foyer.

FIG. 11.2 - Profils de vitesse axiale moyenne. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

192


FIG. 11.3 - Profils de vitesse radiale moyenne. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

FIG. 11.4 - Profils de vitesse azimutale moyenne. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

193


FIG. 11.5 - Profils de vitesse axiale RMS. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

FIG. 11.6 - Profils de vitesse radiale RMS. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

194


FIG. 11.7 - Profils de vitesse azimutale RMS. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

FIG. 11.8 - Profils de température moyenne. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

195


FIG. 11.9 - Profils de température RMS. (−)sans DHP, (- -) avec DHP

FIG. 11.10 - Champ moyen de température dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul sans DHP.

196


FIG. 11.11 - Champ moyen de température dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul avec DHP.

FIG. 11.12 - Champ RMS de température dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul sans DHP.

197


FIG. 11.13 - Champ RMS de température dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul avec DHP.

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11.2 Particularités hydrodynamiques instantanées de l’écoulement


11.2.1 Nombre de tourbillons dans l’injecteur

Même dans le comportement instationnaire plus fin de l’activité hydrodynamique au sein de l’in-jecteur, les mêmes caractéristiques apparaissent dans l’écoulement. Par exemple, si l’on essaie de faireapparaître au travers de la pression la structure du tourbillon qui poursuit un mouvement de précessiondans ce type d’écoulement, alors il est difficile d’assurer la présence d’une seule structure telle que leprésentait la Fig. 6.20 dans le cas de l’écoulement du projet PRECCINSTA. En effet, par instant, un seulnoyau de tourbillon est présent mais parfois, il est possible d’en identifier deux voire même trois. Surles Fig. 11.14 à 11.16, il est possible de voir ces structures sur le plan de coupe transversal "b". Ceci estvalable pour les deux simulations : sans et avec le DHP. La Fig. 11.17 montre que le PVC (precessingvortex core) est plus marqué à froid.

FIG. 11.14 - Le champ de pression dans l’injecteur traduit la présence d’un seul tourbillon sur la coupe "b".

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FIG. 11.15 - Le champ de pression dans l’injecteur traduit la présence de deux tourbillons sur la coupe "b".

FIG. 11.16 - Le champ de pression dans l’injecteur traduit la présence de trois tourbillons sur la coupe "b".

200


FIG. 11.17 - Visualisation du PVC pour le calcul non réactif grâce à une isosurface de pression

201


11.2.2 Inversion du profil de vitesse axiale dans l’injecteur au cours du temps

Pour ce qui est du champ de vitesse axiale, on retrouve aussi dans les deux simulations (sans/avecDHP) une inversion de la répartition radiale de l’écoulement dans le temps (coupes "b" des Fig. 11.18et 11.19). En effet, à certains instants la vitesse axiale est plus importante au centre et en périphérie del’injecteur tandis qu’à d’autres, la vitesse est maximale entre ces deux zones.

FIG. 11.18 - Champ instantané de vitesse axiale dans l’injecteur

FIG. 11.19 - Champ instantané de vitesse axiale dans l’injecteur à un autre instant

202

11.3 Structure de flamme

11.3 Structure de flamme

En ce qui concerne la structure de flamme, là encore, les résultats du calcul réalisé sans le DHP sontsimilaires à celui mené en le prenant en compte. La forme générale de la flamme est illustrée par laFig. 11.20 : la flamme s’enroule autour de l’injection de carburant elle-même emportée dans un mou-vement de rotation dû aux deux vrilles de l’injecteur. La flamme est plissée, bat et se déplace sur l’axecentral de la chambre de combustion.

Afin de mieux comprendre la structure de la flamme, il est possible de visualiser la valeur de l’indexde Takeno Tak =

∇YJP10·∇YO2|∇YJP10·∇YO2

| sur la flamme [151]. Cet indice vaut 1 dans les zones de combustion enmode prémélangé et -1 dans les zones de flamme de diffusion. La Fig. 11.21 présente ce résultat en 2D :il ne faut considérer la pertinence de l’indice que dans la zone de flamme limitée par l’isoligne de taux deréaction en noir. Il apparaît ainsi un premier front de flamme de prémélange qui ne parvient pas à brûlertout le carburant. Ainsi, lorsque le mélange chaud contenant encore du carburant rencontre l’air froidinjecté par les trous primaires et de dilution, il produit une flamme de diffusion. La Fig. 11.22 permet deconstater ce résultat : la flamme représentée par une isosurface tridimensionnelle de taux de réaction estcoloriée par l’indice de Takeno et montre les deux types de flammes évoqués. Cette structure de flammeest identique dans les deux simulations LES, c’est-à-dire avec ou sans DHP.

FIG. 11.20 - La flamme s’enroule autour de l’injection de carburant.

203


FIG. 11.21 - Visualisation de l’indice de Takeno dans le plan axial de la chambre de combustion

FIG. 11.22 - Visualisation de l’indice de Takeno sur la surface de la flamme en 3D (rouge = prémélange, bleu =diffusion)

204

11.4 Champ de pression instationnaire


Le champ de pression quant à lui est en moyenne équivalent dans les deux calculs sans/avec DHP.C’est ce que montrent les Figs. 11.23 et 11.24 qui présentent le champ de pression moyen auquel est retiréla pression dans le plénum (afin de s’affranchir de la petite différence de pression de fonctionnement entreles deux simulations).

D’un point de vue instationnaire, les choses sont différentes. D’abord, les fluctuations de pression sontmoins importantes dans le cas sans DHP (Figs. 11.25 et 11.27) que dans le cas avec DHP (Figs. 11.26et 11.28). Mais en plus de l’intensité des fluctuations, c’est le comportement acoustique de la chambrede combustion qui est remis en cause en fonction de la prise en compte ou non du DHP puisque le cassans DHP présente un mode à 790 Hz (Fig. 10.11) tandis que le cas avec DHP présente plusieurs modesà 440 Hz et 600 Hz (Fig. 10.23).

FIG. 11.23 - Pression moyenne - pression dans le plénum. Calcul sans DHP.

205


FIG. 11.24 - Pression moyenne - pression dans le plénum. Calcul avec DHP.

FIG. 11.25 - Pression RMS dans la chambre, sans DHP.

206


FIG. 11.26 - Pression RMS dans la chambre, avec DHP.

FIG. 11.27 - Champ RMS de pression dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul sans DHP.

207


FIG. 11.28 - Champ RMS de pression dans un plan proche de la sortie de la chambre. Calcul avec DHP.

208

11.5 Conclusion

11.5 Conclusion

Il ressort de cette étude que la prise en compte du distributeur haute pression dans le domaine decalcul LES a son importance selon l’objectif que se fixe le numéricien :

– Pour étudier l’hydrodynamique de la chambre de combustion et la thermique dans la partie primairede la chambre de combustion, on peut se passer du calcul du DHP.

– Pour étudier des profils de température en sortie de chambre de combustion, des niveaux de fluctua-tions de pression dans le chambre ou accéder aux instationnarités acoustiques (donc aux instabilitésde combustion), il faut prendre en compte le DHP dans le calcul LES.

Il est clair que la prise en compte du DHP représente cependant une difficulté considérable : l’écoule-ment y est sonique à certains régimes de fonctionnement (pas dans notre étude où il s’agit d’un régime deralenti) rendant inadaptés les codes de type "Low-Mach", des zones de décollement fort sont localiséesderrière les pâles et la gestion des conditions limites après le DHP reste délicate. Malgré ces difficultés,intégrer le DHP devrait être envisagé de façon systématique à court terme.

209


210

Chapitre 12

Perspectives : les points sensibles de laLES des instabilités de combustion d’unmoteur réel

Les chapitres précédents ont montré l’impact de la prise en compte du distributeur haute pression surl’écoulement dans la chambre de combustion d’un moteur d’avion. Au cours de cette étude, plusieursautres points spécifiques au calcul d’une chambre réelle ont été étudiés. Beaucoup n’ont pas trouvé desolution satisfaisante pendant ce travail. Ce chapitre décrit ces points afin de préparer les études à venirdans ce domaine.

12.1 Quelle condition limite après le DHP ?

12.1.1 Si le DHP n’est pas amorcé

Les calculs précédents ont été faits avec un DHP non amorcé correspondant à un régime de ralenti :tout l’écoulement est subsonique. Dans le cas où le DHP n’est pas amorcé, il faut prendre garde à lacondition limite à imposer en sortie de ce dernier. En effet, il y a deux manières de s’y prendre :

– on détermine une surface géométrique de pression constante et on impose une pression avec laméthode NSCBC [129] sur ce patch ou

– on calcule le profil de pression à imposer sur un patch arbitrairement choisi en sortie de DHP.Dans les calculs LES menés ici, on a choisi de fixer une pression en sortie sur un patch arbitrairement

choisi mais avec une condition de relaxation faible (cf. chapitre 5), de sorte à réaliser un bon compromisentre le temps dont on disposait pour effectuer le calcul et la qualité du résultat. La Fig.12.1 montre quela pression varie d’environ 7% sur le patch de sortie.

PERSPECTIVES : LES POINTS SENSIBLES DE LA LES DES INSTABILITÉS DE COMBUSTION D’UN

MOTEUR RÉEL

FIG. 12.1 - Visualisation depuis l’aval du patch de sortie (côté aval du DHP) : la pression (en Pa) n’est pasuniforme

12.1.2 Si le DHP est amorcé

Dans le cas où le DHP est amorcé, ce qui est souvent le cas en pratique dans les régimes de fonction-nement des moteurs différents du ralenti, alors paradoxalement, le problème se simplifie pour la LES.En effet, pour un numéricien qui se donne pour tâche de simuler une chambre de combustion grâce àla LES, la principale préoccupation concernant la sortie du domaine de calcul d’attribuer une conditionlimite qui :

– laisse sortir le débit entrant,– permet de fixer la pression au sein de la chambre de combustion et– a une impédance acoustique identique à celle du dispositif réel.

En ce qui concerne le premier point, le principal souci est d’ordre numérique : un tourbillon quifranchit le patch de sortie du domaine de calcul peut en effet tenter de "faire entrer" du fluide par le patchde sortie. Dans ce cas, un moyen simple de ne pas s’embarrasser de ces questions d’entrées de fluide parla sortie consiste à positionner la sortie du domaine de calcul loin de la zone étudiée et de recourir à unpatch de viscosité, c’est-à-dire à imposer artificiellement une viscosité importante au fluide avant qu’ilne franchisse le patch de sortie. Ainsi, les tourbillons sont dissipés et le fluide peut sortir "sagement"du domaine de calcul. La Fig.12.2 montre par exemple la position du patch de viscosité utilisé lors dutransitoire : toute la partie avale est "dix fois trop visqueuse".

Pour ce qui est de fixer la pression au sein de la chambre de combustion, alors il suffit de se mettredans une situation où le patch de sortie est globalement à la même pression sur toute sa surface. Leparagraphe précédent 12.1.1 montre que ce n’est pas toujours évident. Dans le cas PRECCINSTA traitéen troisième partie en revanche, cela n’est pas un obstacle compte tenu du fait que l’atmosphère elle-même est maillée.

212

12.1 Quelle condition limite après le DHP ?

FIG. 12.2 - Le patch de viscosité (à droite de la limite noire) permet de limiter les problèmes numériques en sortiede domaine de calcul.

Enfin, la question de l’impédance acoustique en sortie reste la plus délicate. Mis à part dans certainscas simplifiés comme c’est le cas du projet PRECCINSTA par exemple (cf. partie 3), il n’est jamaisfacile de savoir comment et où fixer la condition limite de sortie en pression car cela revient à déciderarbitrairement de la position d’un noeud de pression (et donc un ventre de vitesse). Il existe désormais desoutils qui permettent de littéralement "remplacer" un conduit aval (tuyère, distributeur) par une conditiond’impédance complexe équivalente [55]. L’outil Nozzle développé par le CERFACS par exemple permet,à partir de quelques données thermodynamiques et du profil axial des section de passage des partiesmécaniques au-delà de la sortie de déterminer l’impédance acoustique équivalente à imposer dans lecalcul LES. Cependant, ce type d’outil reste basé sur une analyse monodimensionnelle [69] et surtout nepeut pas prendre en compte la succession complexe des étages des turbines. Toutefois, dans le cas d’unDHP amorcé, l’impossibilité pour toute information acoustique de remonter à travers le col permet desimplifier le problème. En pratique, lorsqu’un col est amorcé, il faut d’abord en déterminer la positionpuis en faire le patch de sortie du domaine de calcul final. Afin de déterminer la position du col (lessections de passages ne sont pas toujours très commodes...), on peut par exemple réaliser un calculrapide de l’écoulement au travers du seul DHP en augmentant le débit jusqu’à l’amorçage (Fig. 12.3).

Cependant, même si l’on parvient à déterminer l’impédance acoustique en sortie du domaine de calculLES et si cette information peut être exploitée par un code acoustique comme celui utilisé dans l’étudedu cas PRECCINSTA, il reste délicat d’en déduire la condition limite à imposer pour le calcul LES. Parconséquent cette question de la condition limite de sortie reste aujourd’hui ouverte et ne peut admettre deréponse générale : il faut la traiter au cas par cas, selon que l’écoulement débouche sur une atmosphère,une turbine, un distributeur, etc.

213


MOTEUR RÉEL

FIG. 12.3 - Détermination des deux surfaces de Mach égal à l’unité dans le DHP

12.1.3 Le refroidissement du DHP

En pratique, les distributeurs des moteurs réels sont des pièces mécaniques soumises à de fortescontraintes thermiques et doivent souvent être refroidies. Il est ainsi courant de mettre en place un circuitde refroidissement au sein des pales des distributeurs (Fig. 9.8). Des multiperforations sur l’intrados etl’extrados mais aussi en bord d’attaque des pales permettent de générer à leur surface un film d’air froidqui réduit l’impact thermique de l’écoulement chaud en provenance de la chambre. Evidemment, il esthors de question de mailler ces injections d’air en LES. Pourtant si l’on ne tient pas compte du débitadditionnel injecté dans le distributeur qui peut être de l’ordre de 15% du débit total injecté dans lachambre de combustion, alors il est impossible d’obtenir des profils corrects de FRT ou bien simplementla température des gaz en sortie du DHP.

Lors des simulations réalisées dans cet ouvrage, le débit d’air de refroidissement du DHP a été ajoutéau débit passant au travers de la paroi multiperforée en fin de chambre de combustion (en aval destrous de dilution). Ce compromis permet de tenir compte du débit de refroidissement sans avoir à faireface au mode d’injection sur les parois du distributeur. L’impact de ce choix n’a pas été étudié ici etla question du débit de refroidissement du DHP sera sans doute importante dans toutes les simulationsLES qui incluront à l’avenir le DHP dans leur domaine de calcul car ce refroidissement modifie aussil’acoustique dans le DHP (en diminuant la vitesse du son).

12.2 Un système d’injection détaillé

Le système d’injection simulé dans le moteur est grossier. Il est constitué d’un simple profil plat derichesse et d’une injection suivant un profil de vitesse en couronne (cf. 9.5.2). Dans le dispositif réel, destrous de purges sont présents et l’injection est en réalité diphasique et légèrement en amont de la position

214

12.3 Prise en compte du contournement de la chambre de combustion

occupée par le patch d’injection du domaine de calcul. Dans le cadre d’un écoulement diphasique, il esttout à fait possible d’envisager le ruissellement du carburant sur les parois internes de l’injecteur, notam-ment entre les deux vrilles corotatives. Le mélange en résultant serait alors complètement différent decelui simulé. Mais sans entrer dans la complexité d’une injection diphasique, l’ouverture même du jet re-lève dans la simulation plus de la sensibilité du numéricien qu’elle ne résulte de mesures expérimentalesintangibles...

D’autre part, pour l’injection de carburant comme pour l’injection d’air en entrée du plénum, il estdifficile de connaître les impédances qui doivent apparaître dans le calcul LES. Des études similairesà celles menées sur les impédances équivalentes des distributeurs grâce au code Nozzle sont en coursconcernant les diffuseurs (partie située entre le compresseur et la chambre de combustion) et constitue-ront une étape supplémentaire nécessaire à la mise en place de calculs LES fiables. La prise en compte dela réponse instationnaire des injecteurs de carburant constituera à elle seule une difficulté considérable.


Les calculs précédents ont été effectués sans inclure le contournement dans le domaine de calcul.L’influence de cette simplification est double : elle modifie l’écoulement moyen et elle change les modesacoustiques. Le premier effet n’a pas été quantifié ici mais le second peut l’être. En parallèle de cescalculs LES de la chambre de combustion, des études acoustiques ont été réalisées par M. Myrczik [81],en incluant notamment le circuit de contournement de la chambre de combustion (Fig. 12.4) et en tra-vaillant aussi sur le moteur complet (et non plus seulement un secteur de 20˚). Deux maillages ont doncété utilisés :

– un premier maillage raffiné de 49000 noeuds d’un secteur de 20˚ pour étudier les modes longitudi-naux (Fig. 12.5) et

– un second maillage plus étendu de 90000 noeuds du moteur complet (360˚) pour étudier les modesazimutaux (Fig. 12.6).

Le calcul acoustique est réalisé pour des conditions semblables aux simulations LES :

– température d’entrée : 473 K– pression : 4,4 bar– débit total dans la chambre : 0,44 kg/s

Afin de connaître le champ de vitesse du son nécessaire à l’utilisation du code acoustique AVSP (présentéau chapitre 3.2), un premier calcul réactif RANS est effectué dans la chambre de combustion à l’aide ducode N3S (Fig. 12.7). En sortie du domaine de calcul, les admittances (inverse de l’impédance : Y = 1

Z )sont fournies par NOZZLE (Fig. 12.8). En entrée, deux conditions limites sont envisagées : Z(0) = 0et Z(0) = ∞ comme paramètres du code NOZZLE afin de fournir deux impédances d’entrée au calculacoustique AVSP. Toutes les autres conditions aux limites sont des parois et vérifient une condition devitesse normale nulle.

215


MOTEUR RÉEL

FIG. 12.4 - Visualisation du circuit de contournement d’air autour de la chambre de combustion

FIG. 12.5 - Maillage du calcul acoustique pour capter les modes longitudinaux sur un secteur de 20˚ en prenanten compte le contournement

216


FIG. 12.6 - Maillage du calcul acoustique pour capter les modes azimutaux sur le moteur complet en prenant encompte le contournement

FIG. 12.7 - Un rapide calcul réactif RANS permet d’obtenir la vitesse du son dans le domaine.

217


MOTEUR RÉEL

FIG. 12.8 - Le code NOZZLE fournit l’admittance en sortie de chambre en fonction de la fréquence.

Mode 1L 2L 1A 2AAvec contournement + Z(0) = 0 767 Hz 1344 Hz 349 Hz 500 HzAvec contournement + Z(0) =∞ 662 Hz 1347 Hz 307 Hz 500 HzSans contournement + Z(0) = 0 837 Hz - 344 Hz 686 Hz

TAB. 12.1 - Résultats des calculs acoustiques avec AVSP

Une fois cela mis en place, le code acoustique AVSP fournit les fréquences des modes acoustiques etleur structure. La table 12.1 donne ces résultats et plusieurs conclusions sont à en tirer. Il faut en effetd’abord souligner le rôle de l’impédance d’entrée du diffuseur qui a un impact de 13% sur la fréquencedu premier mode azimutal (Fig. 12.9) et de 16% sur celle du premier mode longitudinal (Fig. 12.10).D’autre part, il apparaît également indispensable de considérer le contournement dans les simulationsLES car il introduit à lui seul une variation de 8% de la fréquence du premier mode longitudinal.

218


FIG. 12.9 - Influence de l’impédance d’entrée (côté compresseur) sur le premier mode azimutal

FIG. 12.10 - Influence de l’impédance d’entrée (côté compresseur) sur le premier mode longitudinal

219


MOTEUR RÉEL

220

Conclusion générale

A l’issue de ces nombreux chapitres, il faut insister sur les points clef de ce travail de thèse. Faceaux nouvelles contraintes de conception des moteurs aéronautiques, l’industrie ne peut faire l’économied’un outil numérique capable de prédire les instabilités de combustion. Il a été démontré que l’utilisationcomplémentaire du code acoustique AVSP et du code de simulation aux grandes échelles AVBP a permisde prédire en détail les instabilités de combustion dans le cadre de la configuration académique PREC-CINSTA d’un injecteur branché à une chambre de combustion. Ce calcul validé par des expériences aété construit de sorte à ne pas laisser place à d’éventuelles modifications des conditions limites (en vued’étayer les expériences). Par ailleurs, l’accent a été mis pour la simulation de cet injecteur sur le risquede faire l’hypothèse trop hâtive d’un prémélange parfait et sur la nécessité d’établir un dialogue appro-fondi entre numériciens et expérimentateurs afin de donner sens aux comparaisons des résultats. Dans lecas d’un moteur réel ensuite, ce travail s’est focalisé sur la prise en compte du distributeur haute pressiondans le domaine de calcul LES et démontre que si certains résultats ne sont que peu dépendant de la pré-sence de ce DHP, la prédiction des instabilités de combustion passe quant à elle par sa prise en compte.D’autres thématiques relatives aux conditions limites ont également soulevées notamment pour le circuitde contournement autour de la chambre de combustion sans pour autant donner de réponse approfondie.

Dans la perspective d’une prédiction efficace des instabilités de combustion d’un moteur aéronautiqueréel, il appartient maintenant à la LES de résoudre les grandes questions encore vagues de la conditionlimite d’entrée d’un calcul (que voit la chambre de combustion du compresseur ?), du comportement desparois multiperforées et de la simulation des injecteurs diphasiques.

CONCLUSION GÉNÉRALE

222

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232

Annexes

Annexe A

Characteristic wave decomposition

A.1 Basic definitions

mass density ρ =∑k ρk

mass fractions Yk = ρk/ρ

momentum m1 = ρu, m2 = ρv, m3 = ρw

sensible energy esk =∫ T

0 CvkdT

sensible enhalpy hsk =∫ T

0 CpkdT

sensible energy density ρes =∑k ρkesk = ρ

∑k Ykesk

sensible enhalpy density ρhs =∑k ρkhsk = ρ

∑k Ykhsk

kinetic energy density ρec = 12ρ(u2 + v2 + w2) = 1

2ρ(m21 +m2

2 +m23)

total energy E = ρE = ρec + ρestotal enthalpy H = ρH = ρec + ρhs

For each species :

rk = Cpk − Cvk γk =CpkCvk

Mean (mixture) quantities are defined as :

Cv =∑k

YkCvk Cp =∑k

YkCpk r =∑k

Ykrk1

W=∑k

YkWk

γ =Cp

Cv

Finally, pressure is :P =

∑k

ρkrkT = ρrT

The fundamental relation between enthalpy and energy reads :

H = E + P

CHARACTERISTIC WAVE DECOMPOSITION

It is useful to introduce two new parameters :

β = γ − 1 et χk = rkT − βesk

and thus :χ =

∑k

χkYk = rT − βes = β(CvT − es) = −βe0s

where e0s is defined by e0

s = es − CvT so that the sensible energy can be locally written as a linearfunction of temperature :

es = CvT + e0s

Of course, Cv and e0s are not constant and es is not a linear function of T over the whole range of

temperature. However, this notation is useful to simply the coding in AVBP.

236

A.1 Basic definitions

These are useful differential relations :

dρ =∑k

dρk dP = ρrdT +∑k

rkTdρk dT =1

ρrdP −

∑k

rkT

ρrdρk

dm1 = ρdu+∑k

udρk dm2 = ρdv +∑k

vdρk dm3 = ρdw +∑k

wdρk

d(ρec) = ρudu+ ρvdv + ρwdw +∑k ecdρk

= udm1 + vdm2 + wdm3 −∑k ecdρk

d(ρes) = ρCvdT +∑k

eskdρk d(ρhs) = ρCpdT +∑k

hskdρk

dE = ρudu+ ρvdv + ρwdw +∑k

(ec + esk)dρk + ρCvdT

dE = udm1 + vdm2 + wdm3 +∑k

(−ec + esk)dρk + ρCvdT

dE = ρudu+ ρvdv + ρwdw +∑k

(ec + esk −rkrCvT )dρk +

1

βdP

dE = udm1 + vdm2 + wdm3 +∑k

(−ec + esk −rkrCvT )dρk +

1

βdP

dT =1

ρCv

(dE − ρudu− ρvdv − ρwdw −

∑k

(ec + esk)dρk

)

dT =1

ρCv

(dE − udm1 − vdm2 − wdm3 +

∑k

(ec − esk)dρk

)

dP = β

(−ρudu− ρvdv − ρwdw + dE +

∑k

[−ec +

χkβ

]dρk

)

dP = β

(−udm1 − vdm2 − wdm3 + dE +

∑k

[+ec +

χkβ

]dρk

)

As from AVBPV5.1 the esk are tabulated in intervals of 100 K such that Cvk are piecewise contant.

237


A.2 Governing equations

This section explains how to recast the equations from the AVBP form conservative fluxes in theglobal basis

(~i,~j,~k

)to primitive variables in a normal

(~n, ~t1, ~t2

)basis (where ~n is the inward normal

to the patch reference vector and ~t1, ~t2 the tangential ones). Then projection on a characteristic basiswill be detailed. The key idea is to build three transformation matrices : the first, called M−1, allowsthe passage from conservative (U ) to primitive variables (V ), the second, called Ω−1

V the rotation to thebasis normal to the wall (Vn) and the third, called L the characteristic decomposition (W ). Then, thesematrices are combined to give the global transformation. Table A.1 summarizes the whole procedureshowing the three transformations.

Conservative Primitive Primitive Characteristicin a normal basis

∂U ∂V ∂Vn ∂W∂(ρu)∂(ρv)∂(ρw)∂(ρE)∂(ρYk)

M−1

−→←−M

∂u∂v∂w∂P

∂(ρYk)

Ω−1V

−→←−ΩV

∂un∂ut1∂ut2∂P

∂(ρYk)

L−→←−R

∂W 1 = ∂un + ∂P

ρc

∂W 2 = −∂un + ∂Pρc

∂W 3 = ∂ut1∂W 4 = ∂ut2

∂W 4+k = −Ykc2∂P + ∂ρk

- LU

66

RU

TAB. A.1 - Summary of links between different set of variables and passage matrices involved in the wavedecomposition process.

The model equations for solving the Boundary Conditions for U are the compressible 3D Euler equa-tions written in conservative form :

∂ρu

∂t+∂(ρuu+ P )

∂x+∂ρuv

∂y+∂ρuw

∂z= 0 (A.1)

∂ρv

∂t+∂ρvu

∂x+∂(ρvv + P )

∂y+∂ρvw

∂z= 0 (A.2)

∂ρw

∂t+∂ρwu

∂x+∂ρwv

∂y+∂(ρww + P )

∂z= 0 (A.3)

∂ρE

∂t+∂ρHu

∂x+∂ρHv

∂y+∂ρHw

∂z= 0 (A.4)

∂ρk∂t

+∂ρku

∂x+∂ρkv

∂y+∂ρkw

∂z= 0 (A.5)

238


These equations can be re-written in matrix notation :

∂~U

∂t+∂ ~FU∂x

+∂ ~GU∂y

+∂ ~HU

∂y= 0 (A.6)

where ~U is the vector of conserved variables :

~U = (m1,m2,m3, E , ρk)t (A.7)

The fluxes in x, y and z directions are :

~FU = (ρuu+ P, ρvu, ρwu, ρHu, ρku)t

~GU = (ρuv, ρvv + P, ρwv, ρHv, ρkv)t

~HU = (ρuw, ρvw, ρww + P, ρHw, ρkw)t(A.8)

These equations can finally be written in quasi-linear form :

∂~U

∂t+AU

∂~U

∂x+BU

∂~U

∂y+ CU

∂~U

∂y= 0 (A.9)

where AU , BU and CU are the Jacobian matrices in the x, y and z directions :

AU =∂ ~FU

∂~UBU =

∂ ~GU

∂~UCU =

∂ ~HU

∂~U(A.10)

The x-Jacobian matrix :

AU =

∂Fm1∂m1

∂Fm1∂m2

∂Fm1∂m3

∂Fm1∂E

∂Fm1∂ρk

∂Fm2∂m1

∂Fm2∂m2

∂Fm2∂m3

∂Fm2∂E

∂Fm2∂ρk

∂Fm3∂m1

∂Fm3∂m2

∂Fm3∂m3

∂Fm3∂E

∂Fm3∂ρk

∂FE∂m1

∂FE∂m2

∂FE∂m3

∂FE∂E

∂FE∂ρk

∂Fρk∂m1

∂Fρk∂m2

∂Fρk∂m3

∂Fρk∂E

∂Fρk∂ρk

Explicitely :

AU =

∂ρuu+P∂m1

∂ρuu+P∂m2

∂ρuu+P∂m3

∂ρuu+P∂E

∂ρuu+P∂ρk

∂ρuv∂m1

∂ρuv∂m2

∂ρuv∂m3

∂ρuv∂E

∂ρuv∂ρk

∂ρuw∂m1

∂ρuw∂m2

∂ρuw∂m3

∂ρuw∂E

∂ρuw∂ρk

∂ρuH∂m1

∂ρuH∂m2

∂ρuH∂m3

∂ρuH∂E

∂ρuH∂ρk

∂ρku∂m1

∂ρku∂m2

∂ρku∂m3

∂ρku∂E

∂ρku∂ρk

so that :

239


AU =

2u− βu −βv −βw β −uu+ βec + χ1 . . . −uu+ βec + χNv u 0 0 −uv . . . −uvw 0 u 0 −uw . . . −uw

H − βuu −βuv −βuw (1 + β)u −uH + βuec + uχ1 . . . −uH + βuec + uχNY1 0 0 0 u− uY1 . . . −uY1...

......

......

. . ....

YN 0 0 0 −uYN . . . u− uYN

where ec is the kinetic energy and H , β and χ are defined in the previous section (appendix A.1).

240


The y-Jacobian matrix :

BU =

∂Gm1∂m1

∂Gm1∂m2

∂Gm1∂m3

∂Gm1∂E

∂Gm1∂ρk

∂Gm2∂m1

∂Gm2∂m2

∂Gm2∂m3

∂Gm2∂E

∂Gm2∂ρk

∂Gm3∂m1

∂Gm3∂m2

∂Gm3∂m3

∂Gm3∂E

∂Gm3∂ρk

∂GE∂m1

∂GE∂m2

∂GE∂m3

∂GE∂E

∂GE∂ρk

∂Gρk∂m1

∂Gρk∂m2

∂Gρk∂m3

∂Gρk∂E

∂Gρk∂ρk

Explicitely :

BU =

∂ρvu∂m1

∂ρvu∂m2

∂ρvu∂m3

∂ρvu∂E

∂ρvu∂ρk

∂ρvv+P∂m1

∂ρvv+P∂m2

∂ρvv+P∂m3

∂ρvv+P∂E

∂ρvv+P∂ρk

∂ρvw∂m1

∂ρvw∂m2

∂ρvw∂m3

∂ρvw∂E

∂ρvw∂ρk

∂ρvH∂m1

∂ρvH∂m2

∂ρvH∂m3

∂ρvH∂E

∂ρvH∂ρk

∂ρkv∂m1

∂ρkv∂m2

∂ρkv∂m3

∂ρkv∂E

∂ρkv∂ρk

so that :

BU =

v u 0 0 −vu . . . −vu−βu 2v − βv −βw β −vv + βec + χ1 . . . −vv + βec + χN

0 w v 0 −vw . . . −vw−βvu H − βvv −βvw (1 + β)v −vH + βvec + vχ1 . . . −vH + βvec + vχN

0 Y1 0 0 v − vY1 . . . −vY1...

......

......

. . ....

0 YN 0 0 −vYN . . . v − vYN

241


The z-Jacobian matrix :

CU =

∂Hm1∂m1

∂Hm1∂m2

∂Hm1∂m3

∂Hm1∂E

∂Hm1∂ρk

∂Hm2∂m1

∂Hm2∂m2

∂Hm2∂m3

∂Hm2∂E

∂Hm2∂ρk

∂Hm3∂m1

∂Hm3∂m2

∂Hm3∂m3

∂Hm3∂E

∂Hm3∂ρk

∂HE∂m1

∂HE∂m2

∂HE∂m3

∂HE∂E

∂HE∂ρk

∂Hρk∂m1

∂Hρk∂m2

∂Hρk∂m3

∂Hρk∂E

∂Hρk∂ρk

Explicitely :

CU =

∂ρwu∂m1

∂ρwu∂m2

∂ρwu∂m3

∂ρwu∂E

∂ρwu∂ρk

∂ρwv∂m1

∂ρwv∂m2

∂ρwv∂m3

∂ρwv∂E

∂ρwv∂ρk

∂ρww+P∂m1

∂ρww+P∂m2

∂ρww+P∂m3

∂ρww+P∂E

∂ρww+P∂ρk

∂ρwH∂m1

∂ρwH∂m2

∂ρwH∂m3

∂ρwH∂E

∂ρwH∂ρk

∂ρkw∂m1

∂ρkw∂m2

∂ρkw∂m3

∂ρkw∂E

∂ρkw∂ρk

so that

CU =

w 0 u 0 −wu . . . −wu0 w v 0 −wv . . . −wv−βu −βv 2w − βw β −ww + βec + χ1 . . . −ww + βec + χN−βwu −βwv H − βww (1 + β)w −wH + βvec + vχ1 . . . −wH + βvec + vχN

0 0 Y1 0 w − wY1 . . . −wY1...

......

......

. . ....

0 0 YN 0 −wYN . . . w − wYN

242


The AU , BU and CU Jacobian matrices are difficult to diagonalise. It is more convenient to reintro-duce the primitive variables V

V = (u, v, w, P, ρk)t

The M matrix allows to change from conserved variables U to primitive variables V :

∂U = M.∂V M =∂U

∂V

Obviously, the inverse relations hold :

∂V = M−1.∂U M−1 =∂V

∂U

The transformation matrices M and M−1 are :

M =

∂m1∂u

∂m1∂v

∂m1∂w

∂m1∂P

∂m1∂ρ1

. . . ∂m1∂ρN

∂m2∂u

∂m2∂v

∂m2∂w

∂m2∂P

∂m2∂ρ1

. . . ∂m2∂ρN

∂m3∂u

∂m3∂v

∂m3∂w

∂m3∂P

∂m3∂ρ1

. . . ∂m3∂ρN

∂E∂u

∂E∂v

∂E∂w

∂E∂P

∂E∂ρ1

. . . ∂E∂ρN

∂ρ1

∂u∂ρ1

∂v∂ρ1

∂w∂ρ1

∂P∂ρ1

∂ρ1. . . ∂ρ1

∂ρN...

......

......

. . ....

∂ρN∂u

∂ρN∂v

∂ρN∂w

∂ρN∂P

∂ρN∂ρ1

. . . ∂ρN∂ρN

=

ρ 0 0 0 u . . . u0 ρ 0 0 v . . . v0 0 ρ 0 w . . . wρu ρv ρw 1

β ec − χ1

β . . . ec − χNβ

0 0 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1

M−1 =

∂u∂m1

∂u∂m2

∂u∂m3

∂u∂E

∂u∂ρ1

. . . ∂u∂ρN

∂v∂m1

∂v∂m2

∂v∂m3

∂v∂E

∂v∂ρ1

. . . ∂v∂ρN

∂w∂m1

∂w∂m2

∂w∂m3

∂w∂E

∂w∂ρ1

. . . ∂w∂ρN

∂P∂m1

∂P∂m2

∂P∂m3

∂P∂E

∂P∂ρ1

. . . ∂P∂ρN

∂ρ1

∂m1

∂ρ1

∂m2

∂ρ1

∂m3

∂ρ1

∂E∂ρ1

∂ρ1. . . ∂ρ1

∂ρN...

......

......

. . ....

∂ρN∂m1

∂ρN∂m2

∂ρN∂m3

∂ρN∂E

∂ρN∂ρ1

. . . ∂ρN∂ρN

=

1ρ 0 0 0 −u

ρ . . . −uρ

0 1ρ 0 0 −v

ρ . . . −vρ

0 0 1ρ 0 −w

ρ . . . −wρ

−βu −βv −βw β βec + χ1 . . . βec + χN0 0 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1

where ec is the kinetic energy and H , β and χ are defined as in the previous section (appendix A.1).

It is important to notice that the ∂ operator is not applied to matrixM . This means that the matrix doesnot change depending on the way variations are calculated and therefore on the choice of the formulation(i.e. Iwave) used for the characteristic decomposition. Now, Eq. (A.9) is multiplied by M−1 :

M−1M∂V

∂t+M−1AU

M∂V

∂x+M−1BU

M∂V

∂y+M−1CU

M∂V

∂z= 0 (A.11)

to give the Euler equations written in quasi-linear form in primitive variables :

∂V

∂t+AV

∂V

∂x+BV

∂V

∂y+ CV

∂V

∂z= 0 (A.12)

243


The Jacobians for primitive variables are then :

AV = M−1.AU .M BV = M−1.BU .M CV = M−1.CU .M (A.13)

The primitive Jacobian matrices are thus :

AV =

u 0 0 1ρ 0 . . . 0

0 u 0 0 0 . . . 00 0 u 0 0 . . . 0ρc2 0 0 u 0 . . . 0ρ1 0 0 0 u . . . 0...

......

......

. . ....

ρN 0 0 0 0 . . . u

BV =

v 0 0 0 0 . . . 00 v 0 1

ρ 0 . . . 0

0 0 v 0 0 . . . 00 ρc2 0 v 0 . . . 00 ρ1 0 0 v . . . 0...

......

......

. . ....

0 ρN 0 0 0 . . . v

CV =

w 0 0 0 0 . . . 00 w 0 0 0 . . . 00 0 w 1

ρ 0 . . . 0

0 0 ρc2 w 0 . . . 00 0 ρ1 0 w . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 ρN 0 0 . . . w

The next step is to write this system of equations in the basis associated to the boundary(~n, ~t1, ~t2

).

For simplicity the derivation is described first in two dimensions and then extended in 3D.

The transformation can be done in two steps : first, a change of coordinates (x, y) ⇒ (X,Y ) mustbe performed and second, the velocity must be expressed in this new orthogonal basis ~s = u~i + v~j =un~n+ ut~t.Let ~p be a generic space vector. It can be written as :

~p = x~i+ y~j = X~n+ Y~t (A.14)

244


The vectors containing their coordinates are noted as :

P(~i,~j) =

(xy

)and P(~n,~t) =

(XY

)(A.15)

These two vectors are linked by a rotation matrix ΩΘ by :

P(~i,~j) = ΩΘP(~n,~t) (A.16)

where Θ is the angle of rotation. The matrix ΩΘ can be written as :

ΩΘ =

(cos Θ sin Θ− sin Θ cos Θ

)=

(nx txny ty

)(A.17)

where ~n = nx~i+ ny~j and ~t = tx~i+ ty~j.

The matrix ΩΘ is orthogonal :Ω−1

Θ = ΩTΘ = Ω−Θ (A.18)

An interesting property is that :

d~p = dx~i+ dy~j = dX~n+ dY ~t (A.19)

and thus : (dxdy

)= ΩΘ

(dXdY

)or dP(~i,~j) = ΩΘdP(~n,~t) (A.20)

One can thus write for any scalar field Z :

dZ =∂Z

∂xdx+

∂Z

∂ydy = (∇Z)(~i,~j) dP(~i,~j) (A.21)

and

dZ =∂Z

∂XdX +

∂Z

∂YdY = (∇Z)(~n,~t) dP(~n,~t) (A.22)

with :

(∇Z)(~i,~j) =

(∂Z

∂x,∂Z

∂y

)and (∇Z)(~n,~t) =

(∂Z

∂X,∂Z

∂Y

)(A.23)

This finally gives :(∇Z)(~i,~j) = (∇Z)(~n,~t)Ω

−1Θ (A.24)

or explicitly ∂Z∂x = nx

∂Z∂X + tx

∂Z∂Y

∂Z∂y = ny

∂Z∂X + ty

∂Z∂Y

(A.25)

245


Eq. (A.12) can be recast in the (~n,~t) basis :

∂V

∂t+ (AV nx +BV ny)

∂V

∂X+ (AV tx +BV ty)

∂V

∂Y= 0 (A.26)

The final transformation is to make a new change of variable :

V2D = ΩV2DVn2D (A.27)

with :Vn2D = (un, ut, P, ρ1, . . . , ρN )T (A.28)

being the primitive variables with the velocity now written in the (~n,~t) basis. The matrix ΩV2Dis thus :

ΩV2D=

nx tx 0 0 . . . 0ny ty 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 . . . 1

(A.29)

The inverse matrix is just :

Ω−1V2D

= ΩTV2D

=

nx ny 0 0 . . . 0tx ty 0 0 . . . 00 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 . . . 1

(A.30)

In three dimensions two vectors are linked by a rotation matrix ΩΘ1,Θ2,Θ3 by :

P(~i,~j,~k)

= ΩΘ1,Θ2,Θ3P(~n,~t1,~t2) (A.31)

where Θ1,Θ2,Θ3 are the angles of rotation around the three axis(~i,~j,~k

). The matrix ΩΘ can be written

as the product of three bi-dimensionnal rotation matrices :

ΩΘ1,Θ2,Θ3 =

cos Θ1 sin Θ1 0− sin Θ1 cos Θ1 0

0 0 1

cos Θ2 0 sin Θ2

0 1 0− sin Θ2 0 cos Θ2

1 0 0

0 cos Θ3 sin Θ3

0 − sin Θ3 cos Θ3

In summary, the matrix ΩV allows to change from variables V in (~i,~j,~k) frame to variables Vn in

(~n,~t1,~t2) frame. The link between Vn and V is :

V = ΩV Vn (A.32)

246


withVn = (un, ut1, ut2, P, ρ1, . . . , ρN )T (A.33)

These are the same variables as V except for the velocity wich is now written in the (~n, ~t1, ~t2) basis. Thematrix ΩV is thus :

ΩV =

nx t1x t2x 0 0 . . . 0ny t1y t2y 0 0 . . . 0nz t1z t2z 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 00 0 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1

(A.34)

The inverse matrix is just :

Ω−1V = ΩT

V =

nx ny nz 0 0 . . . 0t1x t1y t1z 0 0 . . . 0t2x t2y t2z 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 00 0 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 0 0 . . . 1

(A.35)

The calculation of the terms of this matrix can be found in AVBP normals_bface.F and tangential.Froutines.

As before, the change of variables in Eq. (A.26) is performed by multiplying by Ω−1V :

Ω−1V

ΩV ∂Vn∂t

+ Ω−1V An

ΩV ∂Vn∂X

+ Ω−1V Bn

ΩV ∂Vn∂Y

+ Ω−1V Cn

ΩV ∂Vn∂Z

= 0 (A.36)

whereAn = AV nx +BV ny + CV nzBn = AV t1x +BV t1y + CV t1zCn = AV t2x +BV t2y + CV t2z

(A.37)

or, in a more compact form :

∂Vn∂t

+N∂Vn∂X

+ T1∂Vn∂Y

+ T2∂Vn∂Z

= 0 (A.38)

with :N = Ω−1

V AnΩV (A.39)

andT1 = Ω−1

V BnΩV (A.40)

T2 = Ω−1V CnΩV (A.41)

247


The matrix N , contains the normal Jacobian in primitive variables and can now be diagonalised todecompose the system into characteristic waves :

D = L.N.L−1 = L.N.R (A.42)

N = L−1.D.L = R.D.L (A.43)

D is the diagonal matrix that contains the eigenvalues of the system, L is the matrix composed of theleft eigenvectors (ordered in rows) and R is the matrix of right eigenvectors (ordered in columns)

L =

1 0 0 1ρc 0 . . . 0

−1 0 0 1ρc 0 . . . 0

0 1 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 0

0 0 0 −Y1c2

1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 −YNc2

0 . . . 1

and R =

12 −1

2 0 0 0 . . . 00 0 1 0 0 . . . 00 0 0 1 0 . . . 0ρc2

ρc2 0 0 0 . . . 0

ρ1

2cρ1

2c 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

ρN2c

ρN2c 0 0 0 . . . 1

(A.44)

D =

~u.~n+ c~u.~n− c 0

~u.~n~u.~n

0 ~u.~n. . .

~u.~n

It must be noticed that three eigenvectors are associated to the same eigenvalue ~u.~n. This means that

the choice of right and left eigenvectors is not unique because every linear combination of these threeeigenvectors is still an eigenvector of the system. In this derivation only the normal Jacobian has beendiagonalised, this means that the flow is decomposed into waves travelling normally to the boundary.However, no unique direction of propagation exists in multidimensional problems, because the jacobianmatrices N , T1 and T2 are not simultaneously diagonalizable. Fortunately, the boundary condition ana-lysis only requires that any one coordinate direction be diagonalizable at a time, and this may alwaysbe done. So, even tangent jacobian matrices can, in theory, be decomposed into waves propagating inthe two tangent directions. This appoach is useful for the treatment of edge and corners even if the im-plementation is somehow cumbersome. In AVBP, the decomposition is performed only for the directionnormal to the boundary since most important physical aspects of the flow (i.e. acoustics) can be takeninto account in this way.

The transformation into characteristic variables ∂W can be recast as∂W = L∂Vn∂Vn = L−1∂W = R∂W

(A.45)

248


So, multiplying Eq. A.38 by L gives :

L∂Vn∂t

+ LL−1DL∂Vn∂X

+ LT1L−1L

∂Vn∂Y

+ LT2L−1L

∂Vn∂Z

= 0 (A.46)

that leads to∂W

∂t+D

∂W

∂X+ LT1L

−1∂W

∂Y+ LT2L

−1∂W

∂Z= 0 (A.47)

L and L−1 perform the passage from the variations of primitive variables to the variations of the cha-racteristic variables without making any assumptions on how to calculate these variations. This is veryimportant since it allows the use of different formulations for describing physical quantities variations(see sections 5.2.2 and 5.2.3).

Now that we have obtained the variation of characteristic variables ∂W from the variation of primitivevariables in a local normal basis ∂Vn we can start going back. Reminding that

D = L.N.R

N = Ω−1V .An.ΩV

(A.48)

we obtain for DD = L.Ω−1

V .An.ΩV .R (A.49)

and defining nowLV = L.Ω−1

V

RV = ΩV .R(A.50)

as

LV =

nx ny nz1ρc 0 . . . 0

−nx −ny −nz 1ρc 0 . . . 0

t1x t1y t1z 0 0 . . . 0t2x t2y t2z 0 0 . . . 0

0 0 0 −Y1c2

1 . . . 0...

......

......

. . ....

0 0 0 −YNc2

0 . . . 1

RV =

+nx2 −nx

2 t1x t2x 0 . . . 0+ny2 −ny

2 t1y t2y 0 . . . 0+nz

2 −nz2 t1z t2z 0 . . . 0

ρc2

ρc2 0 0 0 . . . 0

ρ1

2cρ1

2c 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

ρN2c

ρN2c 0 0 0 . . . 1

characteristic variables can be obtained directly from primitive variables in a global basis using thefollowing relations :

∂W = LV ∂V∂V = RV ∂W

(A.51)

249


In the same way, reminding that :AV = M−1.AU .M (A.52)

we can define the following matrices

LU = LVM−1

RU = MRV(A.53)

LU =

−βu−cnxρc −βv−cny

ρc −βw−cnzρc

βρc

cρ(βec+χ1

c2− ~u.~n

c ) . . . cρ(βec+χN

c2− ~u.~n

c )

−βu+cnxρc −βv+cny

ρc −βw+cnzρc

βρc

cρ(βec+χ1

c2+ ~u.~n

c ) . . . cρ(βec+χN

c2+ ~u.~n

c )t1xρ

t1yρ

t1zρ 0 −~u.~t1ρ . . . −~u.~t1ρ

t2xρ

t2yρ

t2zρ 0 −~u.~t2ρ . . . −~u.~t2ρ

βuY1

c2βvY1

c2βwY1

c2−βY1

c2−Y1(βec+χ1)

c2+ 1 . . . −Y1(βec+χN )

c2...

......

......

. . ....

βuYNc2

βvYNc2

βwYNc2

−βYNc2

−YN (βec+χ1)c2

. . . −YN (βec+χN )c2

+ 1

(A.54)

RU =

ρ2c(u+ cnx) ρ

2c(u− cnx) ρt1x ρt2x u . . . uρ2c(v + cny)

ρ2c(v − cny) ρt1y ρt2y v . . . v

ρ2c(w + cnz)

ρ2c(w − cnz) ρt1z ρt2z w . . . w

ρ2c

(ec + c~u.~n+ c2−χ

β

)ρ2c

(ec − c~u.~n+ c2−χ

β

)ρ~u.~t1 ρ~u.~t2 ec − χ1

β . . . ec − χNβ

ρ1

2cρ1

2c 0 0 1 . . . 0...

......

......

. . ....

ρN2c

ρN2c 0 0 0 . . . 1

(A.55)

The following relations

∂W = LU∂U∂U = RU∂W

(A.56)

allow the passage from conserved variables in a global basis to characteristic variables.

250


The following relations show wave definitions (∂W with the notation used in section 5.2) for primitiveand conservative variables. Moreover, some useful identities obtained with the following inverse relationsare detailed.

∂V = RV ∂W ∂U = RU∂W (A.57)

In primitive variables, we have :

∂W 1 = +~n.∂~u+ 1ρc∂P λ1 = ~u.~n+ c

∂W 2 = −~n.∂~u+ 1ρc∂P λ2 = ~u.~n− c

∂W 3 = +~t1.∂~u λ3 = ~u.~n

∂W 4 = +~t2.∂~u λ4 = ~u.~n

∂W 4+k = −Ykc2∂P + ∂ρk λ4+k = ~u.~n

While in conserved variables :

∂W 1 = − 1ρc(β~u− c~n).∂ρ~u+ β

ρc∂E +∑k

1ρ

(−~u.~n+ βec+χk

c

)∂ρk λ1 = ~u.~n+ c

∂W 2 = − 1ρc(β~u+ c~n).∂ρ~u+ β

ρc∂E +∑k

1ρ

(+~u.~n+ βec+χk

c

)∂ρk λ2 = ~u.~n− c

∂W 3 = 1ρ~t1.∂ρ~u−

∑k~t1.~uρ ∂ρk λ3 = ~u.~n

∂W 4 = 1ρ~t2.∂ρ~u−

∑k~t2.~uρ ∂ρk λ4 = ~u.~n

∂W 4+k = βYkc2~u.∂ρ~u− βYk

c2∂E + ∂ρk − Yk

c2∑j(βec + χj)∂ρj λ4+k = ~u.~n

One can also find the entropy wave ∂WS by adding all the species wavesW 4+k. ∂WS is a linear com-bination of eigenvectors that have the same eigenvalue ~u.~n and thus this pseudo-wave is also convectedat the speed ~u.~n.

∂WS =∑j ∂W

4+k = ∂ρ− ∂Pc2

λS = ~u.~n

We also have the following inverse relations :

∂(~u.~n) = 12(∂W 1 − ∂W 2)

∂(~u.~t1) = ∂W 3

∂(~u.~t2) = ∂W 4

∂u = 12nx(∂W 1 − ∂W 2) + t1x∂W

3 + t2x∂W4

∂v = 12ny(∂W

1 − ∂W 2) + t1y∂W3 + t2y∂W

4

∂w = 12nz(∂W

1 − ∂W 2) + t1z∂W3 + t2z∂W

4

∂P = 12ρc(∂W

1 + ∂W 2)∂ρk = ρk

2c (∂W 1 + ∂W 2) + ∂W 4+k

∂ρ = ρ2c(∂W

1 + ∂W 2) + ∂WS

∂Yk = 1ρ

(∂W 4+k − Yk∂WS

)∂r = 1

ρ

(∑k rk∂W

4+k − r∂WS)

∂T = βT2c (∂W 1 + ∂W 2)−

∑jrjTρr ∂W

4+j

∂ρu = ρ(u+cnx)2c ∂W 1 + ρ(u−cnx)

2c ∂W 2 + ρt1x∂W3 + ρt2x∂W

4 + u∂WS

∂ρv =ρ(v+cny)

2c ∂W 1 +ρ(v−cny)

2c ∂W 2 + ρt1y∂W3 + ρt2y∂W

4 + v∂WS

∂ρw = ρ(w+cnz)2c ∂W 1 + ρ(w−cnz)

2c ∂W 2 + ρt1z∂W3 + ρt2z∂W

4 + w∂WS

(A.58)

251


A.3 LODI relations

This section presents some theory about the NSCBC method [99]. As said in section 5.2.2, followingthe development of Poinsot [99] we can introduce the L notation for wave amplitude variations :

L = λ∂W

∂n(A.59)

The link between L and ∂W formulations is detailed in table A.2. To recast the original notation ofPoinsot, acoustic waves should be multiplied by ρc and species waves by c2.

Inflow boundaryType Way NSCBC MS [80] AVBP V5.X Annex Aacoustic wave out -L−∆t strength(5) ∂W 2

entropy wave in -LS∆t strength(1) ∂W s

transverse shear in -Lt1∆t strength(2) ∂W 3

transverse shear in -Lt2∆t strength(3) ∂W 4

acoustic wave in -L+∆t strength(4) ∂W 1

species waves in -Lk∆t strength(5+k) ∂W 4+k

Outflow boundaryType Way NSCBC MS [80] AVBP V5.X Annex Aacoustic wave in -L−∆t strength(4) ∂W 2

entropy wave out -LS∆t strength(1) ∂W s

transverse shear out -Lt1∆t strength(2) ∂W 3

transverse shear out -Lt2∆t strength(3) ∂W 4

acoustic wave out -L+∆t strength(5) ∂W 1

species waves out -Lk∆t strength(5+k) ∂W 4+k

TAB. A.2 - Correspondance between notations in the NSCBC_MS paper [80], the ∂W notation and thestrength in the AVBP implementation (in 3D).

Values for the amplitude variations in the spatial form are :

L+

L−Lt1

Lt2

Lk

=

(un + c)(∂un∂n + 1

ρc∂P∂n

)(un − c)

(−∂un

∂n + 1ρc∂P∂n

)un

∂ut1∂n

un∂ut2∂n

un(∂ρk∂n −

Ykc2∂P∂n

)

(A.60)

252

A.3 LODI relations

with the associated propagation velocities

λ+

λ−λt1λt2λk

=

un + cun − cununun

(A.61)

The acoustic waves L+ and L− are convected respectively at the velocity un + c and un − c. All otherwaves are convected with the flow at the velocity un. The waves Lt1 and Lt2 are shear waves. Theremaining waves Lk (for k = 1 to N ) are species waves. The entropy wave LS is not explicitely usedbut can be constructed simply by adding all N species waves :

LS =N∑k=1

Lk = un

(− 1

c2

∂P

∂n+∂ρ

∂n

)(A.62)

The central idea of characteristic methods for boundary conditions is to identify the outgoing and inco-ming waves crossing a boundary. The outgoing waves carry information from the interior of the domainand must be kept as computed by the numerical scheme. However, the incoming waves carry infor-mation coming from the outside (i.e. controlled by the boundary condition). They cannot be computedfrom interior points data [99]. The principle of NSCBC is to infer the amplitude of the incoming wavesfrom the amplitude of the outgoing waves using appropriate LODI (Local One Dimensional Inviscid)relations [99]. These LODI relations are obtained by assuming if the flow as locally inviscid and one-dimensional (in the direction normal to the boundary) giving :

∂Vn∂t

+N∂Vn∂n

= 0 (A.63)

where

N∂Vn∂n

=

un

∂un∂n + 1

ρ∂P∂n

un∂ut1∂n

un∂ut2∂n

un∂P∂n + ρc2 ∂un

∂n

un∂ρk∂n + ρk

∂un∂n

=

12(L+ −L−)

Lt1

Lt2ρc2 (L+ + L−)

ρk2c (L+ + L−) + Lk

(A.64)

At this point, the physical behaviour of the boundary must be taken into account to find which LODIrelation should be used in order to assess the entering wave(s). Some examples of useful LODI relationsare given below, using standard notations (Mn is the local Mach number in direction n : Mn = un/c andβ = γ − 1) :

253


∂P∂t + ρc

2 (L+ + L−) = 0∂un∂t + 1

2(L+ −L−) = 0∂ut1∂t + Lt1 = 0∂ut2∂t + Lt2 = 0

∂ρk∂t + ρk

2c (L+ + L−) + Lk = 0∂ρ∂t + ρ

2c(L+ + L−) + LS = 0∂Yk∂t + 1

ρ(Lk − YkLS) = 0∂r∂t + 1

ρ(−rLS +∑rkLk) = 0

∂T∂t + βT

2c (L+ + L−)− Tρr

∑rkLk = 0

∂ρun∂t + L+(ρ2(γMn + 1)) + L−(ρ2(γMn − 1)) + ρcMn

T∂T∂t = 0

∂ρun∂t + L+(ρ2(Mn + 1)) + L−(ρ2(Mn − 1)) + cMnLS = 0

(A.65)

Additional LODI equations can be written for enthalpy, entropy, momentum or for normal gradients, bycombining the previous relations. These LODI relations can be used to set the incoming wave amplitudeas a function of the outgoing waves and the variations on the boundary. For example on fixed velocityinlet, eq. A.65 suggests that the incoming wave L+ must be equal to L−.

254

Annexe B

Publication lors de la seconde conférenceinternationale CAME-GT en avril 2004 àBled, Slovénie

Titre

Measurements and Large Eddy Simulation of combustion instabilities in a scaled Gas Turbine Com-bustor

Auteurs

S. Roux, L.Y.M Gicquel, U. Meier, C. Bérat et T. Poinsot.

Résumé

If Lean Premixed (partially Prevaporised) combustion arises as a promising solution to the reductionof NOx in gas turbine engines, it is not without tackling the issue of combustion instabilities which cancreate pressure and heat transfer oscillations capable of damaging the engine. This paper sheds light onthe interactions between turbulence, chemistry and acoustics.

Within the European Commission Fifth Framework, the PRECCINSTA project is dedicated to pre-diction and control of combustion instabilities in tubular and annular gas turbine combustors. DLR,CERFACS, and Turbomeca are working together in a work package to study turbulence chemistry andacoustics interaction fundamentals. The starting point is a low emissions gas turbine injector designed byTurbomeca. A derivation of this injector was designed for the scaled conditions and delivered to DLR and

PUBLICATION LORS DE LA SECONDE CONFÉRENCE INTERNATIONALE CAME-GT EN AVRIL 2004 À

BLED, SLOVÉNIE

the unforced unsteady behaviour was reproduced. Detailed measurements will also be used to validatethe latest Large Eddy Simulation (LES) calculations by CERFACS.

The non-intrusive measurements capabilities of DLR include : Spectroscopic techniques using pulsedlasers to provide temporally and spatially resolved measurements of flame structure, temperature andcomposition, planar laser-induced fluorescence (PLIF) of radical species like OH or CH allows quali-tative visualisation of flame structure and location, heat release or mixing regions and Laser DopplerVelocimetry (LDV).

The LES flow solver of CERFACS resolves the unsteady, reacting and compressible equations of theflow and thus takes into account the acoustic phenomena. This enables to simulate the coupling betweenthe turbulent flame and the acoustics which is known to be the fundamental mechanism controllingcombustion instabilities.

In this paper, comparisons between experience and computations will be presented. An analysis of theacoustical characteristics of the device is also made so as to understand the behaviour of the gas turbineinjector.

Plus d’informations

http ://came-gt.com

256

Annexe C

Article publié dans le journal"Combustion and Flame", no. 154

Studies of mean and unsteady flow in a

swirled combustor using experiments, acoustic

analysis and Large Eddy Simulations

S. Roux a,∗, G. Lartigue a, T. Poinsot a,b, U. Meier c andC. Berat d

aCERFACS, 31057 Toulouse, France

bIMFT, 31400 Toulouse, France

cDLR, D-70569 Stuttgart, Germany

dTurbomeca, 64511 Bordes, France

Short title : LES, acoustics, experiments in gas turbines.

Abstract

The turbulent flow within a complex swirled combustor is studied with compress-ible LES (Large Eddy Simulation), acoustic analysis and experiments for both coldand reacting flows. Detailed fields of axial, tangential and radial velocities (averageand RMS) given by LES are compared with experimental values measured by LDV.The unsteady activity is identified using LES and acoustic tools for the whole ge-ometry from inlet (far upstream of the swirler) to the atmosphere (far downstreamof the chamber exhaust). Concerning comparisons between experiments and LES,this nose-to-tail procedure removes all ambiguities related to the effects of boundaryconditions. Results for the cold flow show that the second acoustic mode at 360 Hzdominates in the plenum while a hydrodynamic mode at 540 Hz due to a Precess-ing Vortex Core (PVC) is found in the combustion chamber. With combustion, thePVC mode is damped and the main mode frequency dominating all unsteady ac-tivity is 500 Hz. Acoustic analysis shows that this mode is still the second acousticmode observed in the cold flow: its frequency shifts from 360 Hz to 500 Hz whencombustion is activated. More generally, these results illustrate the power of com-bined numerical tools (LES and acoustic analysis) to predict mean flow as well asinstabilities in combustors.

Key words: GAS TURBINES, ACOUSTICS, LARGE EDDY SIMULATION

∗ Corresponding author. Address: CERFACS, 42, Avenue Coriolis, 31057 Toulouse,France. Tel: +33 (0)5 61 19 30 13. Email: [email protected]

Preprint submitted to Elsevier Science 14 December 2004258

Introduction

The design of modern combustion chambers for gas turbines relies heavily onRANS (Reynolds Averaged Navier Stokes) which predicts the mean valuesof all parameters in the chamber (velocity, temperature, density, species massfractions and turbulent quantities). Even though these mean fields are essentialingredients of a successful design, recent research has shown that they had tobe complemented by other tools. In the continuous development of gas turbinesburners and chambers, unexpected problems such as flashback, quenching orcombustion oscillations appear in many cases. Combustion instabilities are oneof the most dangerous phenomena: these oscillations are caused by combustion/ acoustics coupling and can lead to the complete destruction of the combustor[1− 7]. They are difficult to predict at the design level using RANS methods.To understand and predict combustion instabilities, other numerical methodsare needed [8, 9]:

• Acoustic analysis: using drastic assumptions on the flow and on combustion,the stability of a combustor can be studied using purely acoustic tools whichpredict the frequency and the growth rates of all modes. Such tools havebeen used in research centers but also in industry to determine longitudi-nal low-frequency modes [4, 10, 11], longitudinal/azimuthal modes [12, 13],fully three-dimensional acoustic modes [12, 14], linear or non-linear dynam-ics [15− 17] with analytical or numerical techniques. The weakest part ofthese models is the description of the flame response to acoustic perturba-tions.• LES (Large Eddy Simulations): more recently, the development of LES has

allowed detailed studies of turbulent combustion. Even though the cost ofsuch LES remains very high, the predictive capacities of these tools forturbulent combustion have been clearly demonstrated [18− 21]. ExtendingLES to study flame / acoustics coupling is therefore an obvious researchpath [9, 22].

Although they can address the same issue (flame / acoustics coupling), acous-tic tools and LES follow different routes: while LES provides a detailed analysisof one reacting case, acoustic tools can be used to explore a wide range of pa-rameters and geometries. Combining these solvers is likely to offer the bestsolution to understand and control combustion oscillations but very few stud-ies have tried to use both approaches together. The objective of this paper is toexplore this path by using simultaneously Large Eddy Simulation and acousticanalysis for a swirled premixed gaseous combustor. These two approaches arecompared to detailed measurements performed at DLR Berlin and Stuttgart.First, mean LES profiles are compared for all velocity components (mean andRMS) for cold and reacting flows: this set of data constitutes an extensivevalidation data base for LES results since it incorporates profiles of mean and

2259

RMS velocity components in the axial, tangential and radial directions. Theunsteady activity in the combustor is characterized in a second step usingLES, acoustic analysis and experimental results: the natural hydrodynamicinstabilities of the swirled flow (especially the Precessing Vortex Core [23])are identified and their importance in flow / acoustics coupling is studied forcold and reacting cases. Oscillation frequencies revealed by LES and acousticanalysis are compared to experimental measurements using microphones andhot-wire measurements.

An important aspect of the study is the design of a combustor and the useof numerical tools allowing a ’stand-alone’ computation. LES and acousticanalysis are run from an upstream section to the downstream end. Boundaryconditions are extremely simple: the mass flow rate is imposed at the inlet ofthe whole device while the pressure at infinity is specifed far away from theexhaust for the outlet. No boundary condition (like velocity, species or swirlprofiles at the inlet) can be tuned to match results: this allows a more directevaluation of the two methods capabilities and limitations.

The experimental configuration is described first before providing short de-scriptions of the LES and acoustic tools. Results for the non-reacting flow arethen presented before results for the reacting case at equivalence ratio 0.75.

Configuration: swirled premixed burner

The burner features a swirled injector (Fig. 1): swirl is produced by tangentialinjection downstream of a plenum. The chamber has a square cross section (86mm × 86 mm) to allow optical diagnostics. The chamber length is 110 mmand ends into an exhaust duct with a 6:1 contraction. The burner operates atatmospheric pressure and the inlet air temperature is 300 K.

In addition to swirl, a central hub is used to stabilize the flame and controlits position. In the experiment, methane is injected through holes located inthe swirler but mixing is fast so that for the present computations, perfectpremixing can be assumed. Experiments include LDV velocity measurementsas well as a study of combustion regimes. Velocity profiles are measured for theaxial, tangential and radial components at various sections of the combustorfor both cold and reacting flows. Microphones are used to charaterize theunsteady activity in the plenum and in the chamber.

To provide a non ambiguous comparison between LES and experiments, it isimportant to consider a stand-alone configuration, i.e. a situation where theinfluence of boundary conditions is as small as possible: for example, the pos-sibility of tuning the LES inlet or outlet conditions to match the experimental

3260

results (a procedure which is often employed but rarely mentioned for obviousreasons) must be suppressed. For the present study, boundary conditions werepushed as far away as possible from the chamber by extending the computa-tional domain upstream and downstream of the combustion zone (Fig. 2): theswirlers and the plenum are fully meshed and computed and even a part ofthe outside atmosphere is meshed to avoid having to specify a boundary con-dition at the chamber exhaust (Section 3 in Fig. 2). At the inlet of the plenum(Section 1), a flat 27 m.s−1 velocity profile is imposed (Re ∼ 45000) and itwas checked that this profile had no influence on results as long as the totalmass flow rate was conserved. The inlet temperature is 300 K. At the outletof the combustion chamber (Section 3), a part of the exhaust atmosphere isadded to the computation. This is an expensive but necessary step: acousticwaves reaching the chamber exhaust (Section 3) are properly transmitted orreflected without having to specify an acoustic impedance for this section sinceit is not a boundary condition but a part of the computational domain.

Large Eddy Simulations for gas turbines

Large Eddy Simulations (LES) are powerful tools to study the dynamics ofturbulent flames [9, 20, 21, 24− 27]. In the present article a parallel LES solvercalled AVBP (see www.cerfacs.fr/cfd/) is used to solve the full compressibleNavier Stokes equations on hybrid (structured and unstructured) grids withthird-order spatial and temporal accuracy [28, 29].

No-slip adiabatic conditions are imposed at all walls of the chamber. Sub-grid stresses are described by the WALE model [30]. Even though this modelcan predict wall turbulence as shown in [30], the mesh size near walls is notsufficient to correctly resolve turbulent boundary layers for all walls of thecombustors. This obvious limitation is well known when dealing with LES incombustion chambers but, interestingly, it has limited effects on the results.The comparisons of LES and LDV data show that only a limited zone nearthe walls is affected by the lack of resolution in these regions: most of theturbulent activity is generated by the velocity gradients inside the chamberwhich are well resolved on the grid so that this approximation is acceptable.Other simulations performed with law-of-the-walls for LES (not shown in thispaper) do not exhibit significant differences with the present no-slip condition.

The flame / turbulence interaction is modeled by the Thickened Flame /Efficiency Function model [22, 31]. The chemical scheme for methane / aircombustion takes into account six species (CH4, O2, CO2, CO, H2O and N2)and two reactions [21].

4261

CH4 +3

2O2 −→ CO + 2H2O (1)

CO +1

2O2←→CO2 (2)

The first reaction (1) is irreversible whereas the second one (2) is reversibleand leads to an equilibrium between CO and CO2 in the burnt gases and acorrect prediction of product temperatures as well as laminar flame speed [21].The rates of reaction (1) and (2) are respectively given by:

q1 = A1

(

ρYCH4

WCH4

)n1F(

ρYO2

WO2

)n1O

exp(

−Ea1

RT

)

(3)

q2 = A2

[

(

ρYCO

WCO

)n2CO

(

ρYO2

WO2

)n2O

−

(

ρYCO2

WCO2

)n2CO2

]

exp(

−Ea2

RT

)

(4)

where the parameters appearing in these expressions are gathered in Table 1.

The unstructured mesh used for this study contains 3 millions elements. A spe-cific feature of AVBP is the possibility of using hybrid meshes on massivelyparallel computers : the combustion chamber, the injection and the exhaustcan be computed simultaneously. The distribution of the cells in the computa-tional domain is the same for non reacting and reacting flow : 20% are locatedin the plenum (Fig. 3) and in the swirler (Fig. 4), 50% in the upstream halfof the combustion chamber, 20% in the downstream half of the combustionchamber (Fig. 5) and 10% in the exhaust pipe and in the atmosphere. Sincethe solver is fully compressible, acoustic waves are also explicitely capturedand characteristic methods are used to specify boundary conditions while con-trolling acoustic waves reflection [32, 29]. For the burner of Fig. 1, the inlet(Section 1 in Fig. 2) is a fixed velocity section while the outlet of the atmo-sphere part (Section 2) corresponds to a constant pressure surface [9].

In terms of CPU costs, the reduced efficiency (time(µs)/iteration/node) isabout 270 for a typically non-reacting computation on one precessor. Thetime step is about 1.5µs. Computations have been done with an Origin 3000SGI 500MHz at the CINES (National Computer Centre for Higher Education:http://www.cines.fr) in Montpellier, France.

Three-dimensional acoustic solver

The problem of the coupling between flames and acoustics is old and stillunsolved except in certain simple cases. The famous example of the singingflame of Lord Rayleigh [33] demonstrated that this coupling can be very strong:it is sufficient to place a flame in a duct to observe (for certain conditions) that

5262

the acoustic modes of the duct can be excited at very high levels. Being able topredict the acoustic eigenmodes of the combustor is therefore a necessary stepto understand and avoid combustion instabilities. It was shown in Ref. [34]that the temperature distribution markedly influenced the modal structureand frequencies and that calculations could be carried out with finite elementmethods. In the present work, a code called AVSP based on the thesis of Nottin[35] is used to solve the Helmholtz equation in a non-isothermal flow [8, 9]:

∇ ·

(

c2∇p′

)

−∂2

∂t2p′ = 0 (5)

where p′ is the pressure perturbation and c is the local sound speed. Thesound speed c is obtained by averaging LES results. Eq. (5) integrates theinfluence of combustion on the local sound speed but not its effect as anactive acoustic generator [9]. This is sufficient to identify modes but not topredict whether they will actually be amplified or damped by the combustor.The pressure fluctuations equation (5) is solved in the frequency domain byassuming harmonic pressure variations at frequency f = ω/(2π):

p′ = P ′(x, y, z) exp(−iωt) (6)

with i2 = −1.Eq. (5) then becomes the Helmholtz equation where the unknown quantity isthe pressure oscillation amplitude P ′ at frequency f :

∇ ·

(

c2∇P ′

)

+ ω2P ′ = 0 (7)

A finite element method is applied to discretize this equation and an eigenvaluesolver based on the Arnoldi method is used [36]. Solving Eq. (7) with properboundary conditions on walls, inlets and outlets provides the frequencies ofthe eigenmodes (the real part of ω), their growth rate (the imaginary part ofω) and the mode structure (the distribution of P ′). Like the LES solver, theHelmholtz solver uses hybrid meshes and can be applied to the full geometryof the burner. For the burner considered in the present study (Fig. 1), theacoustic boundary conditions match those used for the LES solver: the inlet(Section 1 in Fig. 2) is treated as a velocity node and the boundary of theatmosphere part meshed for the exhaust (Section 2 in Fig. 2) as a pressurenode.

6263

Non reacting flow

The cold flow was characterized for a mass flow rate of 12 g.s−1. An example ofinstantaneous axial velocity field is presented in Fig. 6. As expected from thelarge swirling motion induced by the vanes, a large backflow zone (identified bylines corresponding to zero axial velocity) is found on the chamber axis. Otherrecirculated zones exist in the corners of the chamber. All these zones arehighly unsteady and their position oscillates rapidly with time. Note the com-plex flow inside the plenum, upstream of the swirler where other recirculatedzones are found. Outside Section 3 (Fig. 2), the external atmospheric pressureregion is meshed with progessively larger elements to damp perturbations.

Average profiles

LES and experimental average velocity profiles have been compared at varioussections of the combustion chamber (Fig. 7). The averaging time for LES is100 ms corresponding to 15 flow-through times in the chamber at the bulkvelocity. Data compared for LES and experiments are :

• average axial (Fig. 8), azimuthal (Fig. 10) and radial (Fig. 12) velocities,• RMS axial (Fig. 9), azimuthal (Fig. 11) and radial (Fig. 13) velocities 1 in

the same sections

The comparison of all profiles shows a good agreement for all velocity com-ponents : the mean velocity is correctly predicted as well as the length ofthe central backflow zone (Fig. 8). The swirl levels observed in the tangentialvelocity profiles are also good (Fig. 10). Considering that this computationhas absolutely no inlet boundary condition which can be tuned to fit thevelocity profiles, this confirms the capacity of LES in such flows. The RMSprofiles obtained experimentally by LDV and numerically by LES, both foraxial (Fig. 9) and azimuthal (Fig. 11) velocities are also close. The small dis-crepancies observed close to the chamber axis are due to the experimental dif-ficulty of producing a perfectly symmetric flow : at x = 5 mm for example, theexperimental mean profile of tangential velocity (circles in Fig. 10) is not sym-metrical and slightly deviates from the LES profiles. Near walls (for y = −43or +43 mm in Fig. 8 to 13), even though the mesh is not sufficient to resolveturbulent near-wall structures, the agreement for all profiles is good for allavailable LDV measurements. As mentioned previously, near-wall turbulencehas a limited effect on the mean and RMS flow field in the chamber. Table 3summarizes the quantitative accuracy of the LES prediction. This relies on a

1 All RMS quantities are computed with the resolved LES signal. Subgrid scaleturbulence effects are not included.

7264

comparison between LES and LDV results for the maximum mean/rms ax-ial/tangential/radial velocity (in percent of their maximum value) and theirposition (in percent of the half-width of the combustion chamber).

Unsteady and acoustic analysis

The RMS fluctuation levels in both LES and experiments (Fig. 9 and 11) arevery intense around the axis, close to the inlet of the burner (of the order of20 m/s at x = 1.5 mm). Even though this activity appears as ‘turbulence’,it is actually due to a large scale hydrodynamic structure, called Precess-ing Vortex Core (PVC) which is well known in swirling flows [23, 37, 38] andis visualized in Fig. 14 from LES data. Simulations indicate that the spiralstructure appearing in Fig. 14 rotates around the burner axis at a frequencyof 540 Hz. Measurements performed inside the chamber reveal a dominantfrequency around 510 Hz.

The Helmholtz solver confirms the hydrodynamic nature of the 540 Hz fre-quency which does not appear as an acoustic eigenmode: the acoustic modesof the combustor obtained with AVSP are listed in Table 2 and none of themmatches the 540 Hz frequency. The first acoustic mode of Table 2 (172 Hz) isobserved neither in LES nor in experiments: this mode is stable. However, thesecond mode (363 Hz) is indeed identified in experiments (around 340 Hz) andin LES (around 360 Hz) but only in the plenum and in the exhaust pipe. Thismode is actually present everywhere in the device but it is dominated by thePVC signal inside the first part of the chamber. Fig. 15 shows experimentaland numerical pressure spectra measured in the plenum and in the chamberand confirms that these two modes exist simultaneously but not in the sameplaces.

To extend the analysis of these modes and especially to look at their spatialstructure, it is not easy to use measurements since they would require mul-tiple simultaneous pressure probes. It is more convenient to rely on LES and

acoustic calculations: the pressure fluctuations amplitude (measured by p′21/2

)computed both with LES and the acoustic solver are presented in Fig. 16.Since the 3/4 wave mode has a long wavelength compared to the chamber,this plot is obtained in the LES and in the Helmholtz solver by displaying localRMS pressure versus x coordinate. In Fig. 16, LES shows RMS of the wholepressure signal whereas the acoustic solver displays only the RMS acousticstructure of the 363 Hz mode. The two codes give similar pressure amplitudesin the plenum (x < −0.05 m) and in the exhaust (x > 0.05 m), indicatingthe acoustic nature of the pressure fluctuations in these regions. However, inthe swirler and in the first half of the chamber (−0.05 m < x < 0.05 m), thepressure fluctuations given by LES are larger than the acoustic predictions

8265

of the Helmholtz solver: these fluctuations are due to the PVC at 540 Hz.The PVC acts acoustically like a rotating solid placed in the flow: this dipoleradiates weakly outside of the chamber. This explains why the acoustic modeat 360 Hz is visible and unaffected in the plenum and in the exhaust.

High levels of RMS velocity are found also in the swirler (not shown here)confirming the requirement for an entrance to exhaust computation: there isno section in the swirler or in the chamber inlet which could possibly be usedto specify inlet boundary conditions and reduce the size of the computationaldomain.

In summary, for cold flow, two modes coexist: a low-amplitude acoustic (3/4wave) mode at 360 Hz everywhere in the device and a strong hydrodynamicmode at 540 Hz due to the PVC, localised near the burner inlet (0 < x < 5 cm).

Reacting flow

The reacting case corresponds to an equivalence ratio of 0.75, an air flow rateof 12 g/s and a thermal power of 27 kW. A snapshot of an instantaneoustemperature isosurface (Fig. 17) reveals a compact flame located close to theburner inlet. Fig. 18 shows the pseudo-streamline pattern on the x - r planebased on the mean axial and radial velocity components. A central toroidalrecirculation zone is established in the wake of the center body under the effectof the swirling flow. A corner recirculation zone is formed downstream of thebackward-facing step.

Average profiles

Mean and RMS temperature profiles are displayed in Fig. 19. As expectedfrom the snapshot of Fig. 17, combustion is nearly finished at x = 35 mm andno fresh gases are found (in the mean) beyond this section. RMS temperaturelevels are quite high close to the burner inlet (300 K) indicating a strongintermittency and flame flapping in this zone. No comparison is possible withexperiments here because temperatures have not been measured yet.

The velocity fields, however, have been measured and are presented in Fig. 20(mean axial), 21 (RMS axial), 22 (mean tangential), 23 (RMS tangen-tial), 24 (mean radial), 25 (RMS radial). The overall agreement betweenmean LES results and experimental data is good. Table 4 gives an overviewof the quantitative accuracy of the LES prediction. It is based on a com-parison between LES and LDV results in terms of the maximum mean/rms

9266

axial/tangential/radial velocity (in percent of their maximum value) and theirposition (in percent of the half-width of the combustion chamber). The ratherlow accuracy of the RMS maximum values may come from the fact that thesubgrid-scale fluctuations are not included in the RMS values shown in thepresent paper.

The LES captures both the mean values and the fluctuations precisely, exceptin a zone close to the burner inlet. This lack of precision could be due to aninsufficient mesh resolution in this region but a more fundamental issue linkedto averaging techniques in non-constant density flows is probably responsiblefor the discrepancy observed in these regions: LES averages are obtained usingtime averages of the Favre filtered LES quantities while the averaging process(Favre or Reynolds) used for experimental results (LDV measurements) isoften difficult to qualify because of data sampling [9, 39]. Most zones whereexperiments and LES do not match in Fig. 21 or 23 are regions where the RMStemperature (Fig. 19) is large, i.e. zones with strong intermittency. In theseregions, Reynolds and Favre averages can be very different [9] and this couldbe the source of the present errors. In regions with limited RMS temperatures(for example at x = 35 mm), the experimental and LES data match verywell confirming the possible explanation. Obviously, these results suggest thatmore studies are required to clarify this issue and this is left for further work.

Unsteady and acoustic analysis

The first major consequence of combustion is to damp the PVC observedunder cold flow conditions. Even though this mechanism cannot be expectedto exist in all swirled combustors, it has already been observed in other cases[21]. With combustion, dilatation and increased viscosity in the burnt gasesseem to damp the PVC: its signature on the unsteady pressure field disappearsand is replaced by the acoustic mode traces.

For this reacting flow, two self-excited acoustic modes appear experimen-tally around 300 Hz and 570 Hz. To identify the nature of these modes, theHelmholtz solver was run using the average temperature field given by LESto obtain the list of acoustic eigenmodes with combustion. Table 2 confirmsthat the two frequencies observed in experiments correspond to the first twomodes (1/4 wave and 3/4 wave) of the combustor. The agreement betweenmeasurements and the Helmholtz solver is quite good: around 10% for the 1/4wave and less than 2% for the 3/4 wave mode. The most amplified mode is stillthe 3/4 wave mode which was already observed for the cold flow: its frequencyshifted from 360 Hz (cold flow) to 570 Hz (reacting flow). The difference be-tween the measured LES frequency (500 Hz) and the experimental (570 Hz) orHelmholtz solver (588 Hz) values for this mode is probably due to changes in

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acoustic boundary conditions but there is little doubt that LES, experimentsand Helmholtz solver are pointing at the same mode: this can be checked bydisplaying the field of RMS pressure measured in the LES along the cham-ber axis together with the modal structure predicted by the Helmholtz solverfor the 3/4 wave mode (Fig. 26). Even though the LES signal contains thesignature of all modes (and not only of the 3/4 wave mode), its shape neatlymatches the structure of the 3/4 wave mode predicted by the Helmholtz solver.Unlike the RMS pressure profile for the cold flow (Fig. 16), the match betweenthe LES and the Helmholtz solver is good everywhere, even in the combustionchamber, indicating that the whole flow is locked on the 3/4 wave mode.

In summary, with combustion (for this regime at an equivalence ratio of 0.75),the hydrodynamic mode (PVC) is damped and the acoustic level is enhanced.The most amplified mode is the 3/4 wave mode for the whole device (Fig. 26).The mode structure measured in the LES matches the structure predicted bythe Helmholtz code.

Conclusions

LES and acoustic analysis were used jointly to analyse a swirled premixedcombustor and results were compared to experimental data. Both the meanflow and the unsteady activity were studied for cold and reacting regimes. Thefull geometry was computed from plenum inlet to atmosphere to avoid anypossible bias effect or tuning exercices of boundary conditions during LES /experiments comparison.

The mean values of velocity measured in five sections in the chamber obtainedwith LES closely match experimental data for both cold flow and for a reactingcase at an equivalence ratio of 0.75. The RMS values are also in good agreementfor the cold flow with limited differences for reacting flows in regions of largeintermittency, suggesting that these errors might be due to the definition of theaveraging procedure in these regions (Favre vs Reynolds). Generally speaking,these results confirm the remarkable predictive capacity of LES methods andalso highlight the need for well-defined boundary conditions : for example, thecomputation must include the swirler vanes and cannot start at the chamberinlet plane.

Regarding the unsteady behavior of the flow the LES results (confirmed byexperimental data) show that, without combustion, the 3/4 wave acousticlongitudinal mode at 360 Hz coexists with a Precessing Vortex Core (PVC)at 540 Hz. With combustion, the pressure fluctuations in the chamber lockonto the 3/4 wave acoustic mode of the device which shifts from 360 Hz (coldflow) to 588 Hz (reacting case): the PVC disappears and the acoustic structure

11268

revealed by LES matches exactly the prediction of the acoustic solver for thismode. Future studies will concentrate on the unsteady flame motion usingPLIF and Raman measurements but the present results demonstrate that thenature of the acoustic / flow coupling changes when combustion is activated:hydrodynamic structures such as PVC appearing in cold flow can disappearwhen combustion starts while acoustic modes are reinforced by combustion.More generally, this study confirms the potential of LES for such flows andalso highlights the need for Helmholtz solvers and a joint use of both methods.

Acknowledgments

The support of Turbomeca and of the EC project PRECCINSTA is gratefullyacknowledged. This work has been carried within the framework of the PREC-CINSTA project, section Thermoacoustic Interaction Fundamentals (WP2),of the European Union (EU Contract ENK5-CT-2000-00060). The support ofCINES is also gratefully acknowledged.

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14271

Tables

A1 n1F n1O Ea1 A2 n2CO n2O n2CO2Ea2

2.1015 0.9 1.1 35000 2.109 1 0.5 1 12000

Table 1Rate constants for methane / air two-step scheme. The activation energies are incal/mole and the preexponential constants in cgs units.

Mode Mode Cold flow (Hz) Reacting flow (Hz)

number name Helm Exp LES Helm Exp LES

(1) 1/4 wave 172 damped damped 265 300 290

(2) 3/4 wave 363 340 360 588 570 500

(3) 5/4 wave 1409 damped damped 1440 damped damped

Table 2Longitudinal modes frequencies predicted by Helmholtz solver (Helm), measured inthe experiment (Exp) and in the LES (LES).

Mean velocity RMS velocity

axial tangential radial axial tangential radial

Max. value 10% 8% 30% 4% no isolated max. 8%

Max. value position 1% 2% 2% 3% no isolated max. 5%

Table 3Accuracy of the LES/experiment comparison for non-reacting case.

Mean velocity RMS velocity

axial tangential radial axial tangential radial

Max. value 6% 5% 11% 33% 16% 19%

Max. value position 1% 3% 5% 7% 8% 0%

Table 4Accuracy of the LES/experiment comparison for reacting case.

15272

List of Figures

1 Global view of the burner and combustion chamber. 18

2 Boundary conditions: the atmospheric region downstream ofthe exhaust (Section 3) is also meshed to avoid specifyingboundary conditions in this section. 18

3 Mesh resolution in the plenum. 19

4 Mesh resolution in the swirler (12 vanes). 19

5 Mesh resolution in the combustion chamber. 20

6 Instantaneous field of axial velocity for cold flow. The blackline corresponds to zero velocity locations. 20

7 Section for velocity profiles comparisons. 21

8 Average axial velocity profiles for cold flow LDV; LES. 21

9 RMS axial velocity profiles for cold flow. LDV; LES. 22

10 Average azimuthal velocity profiles for cold flow. LDV;LES. 23

11 RMS azimuthal velocity profiles for cold flow. LDV;LES. 23

12 Average radial velocity profiles for cold flow. LDV;LES. 24

13 RMS radial velocity profiles for cold flow. LDV; LES. 24

14 Visualization of the 540 Hz PVC hydrodynamic instability atthe exit of the swirler using an isosurface of low pressure. 25

15 Pressure fluctuations spectra for cold flow at two locations.Solid line: experiment; Dashed line: LES 26

16 Pressure fluctuations amplitude obtained by LES (circles) andacoustic analysis (solid line) code for cold flow. 26

17 Instantaneous 1250 K isosurface (LES data). 27

18 Mean x− r pseudo-streamline pattern. 27

16273

19 Mean (solid line) and RMS (circles) temperature in the centralplane of the combustor (LES data). 28

20 Mean axial velocity in the central plane for reacting flow. LDV; LES. 28

21 RMS axial velocity in the central plane for reacting flow LDV; LES. 29

22 Mean tangential velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES. 30

23 RMS tangential velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES. 31

24 Mean radial velocity in central plane for reacting flow. LDV;LES. 31

25 RMS radial velocity in central plane for reacting flow. LDV;LES. 32

26 Pressure fluctuations amplitude predicted by the LES code(circles) and the acoustic solver (line) for reacting flow. 32

17274

Figures

FLAME

Fig. 1. Global view of the burner and combustion chamber.

Fig. 2. Boundary conditions: the atmospheric region downstream of the exhaust(Section 3) is also meshed to avoid specifying boundary conditions in this section.

18275

Fig. 3. Mesh resolution in the plenum.

Fig. 4. Mesh resolution in the swirler (12 vanes).

19276

Fig. 5. Mesh resolution in the combustion chamber.

Fig. 6. Instantaneous field of axial velocity for cold flow. The black line correspondsto zero velocity locations.

20277

X= 5 mmX= 1,5 mm

X= 25 mm

X= 15 mm

X= 35 mm

FROM SWIRLER

TO OUTLET

Fig. 7. Section for velocity profiles comparisons.

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3020100

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20100-10

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0

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40

100

x=1.5 mm x=5 mm x=15 mm x=25 mm x=35 mm

Distance from axis [mm]

Fig. 8. Average axial velocity profiles for cold flow LDV; LES.

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2520151050

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Fig. 9. RMS axial velocity profiles for cold flow. LDV; LES.

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-10 0 10



Fig. 10. Average azimuthal velocity profiles for cold flow. LDV; LES.

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Fig. 11. RMS azimuthal velocity profiles for cold flow. LDV; LES.

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-10 0 10



Fig. 12. Average radial velocity profiles for cold flow. LDV; LES.

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0

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40

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Fig. 13. RMS radial velocity profiles for cold flow. LDV; LES.

24281

Fig. 14. Visualization of the 540 Hz PVC hydrodynamic instability at the exit ofthe swirler using an isosurface of low pressure.

25282

Fig. 15. Pressure fluctuations spectra for cold flow at two locations. Solid line:experiment; Dashed line: LES

Fig. 16. Pressure fluctuations amplitude obtained by LES (circles) and acousticanalysis (solid line) code for cold flow.

26283

Fig. 17. Instantaneous 1250 K isosurface (LES data).

Fig. 18. Mean x− r pseudo-streamline pattern.

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0

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200010000

T_mean [K]

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T_rms [K]

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T_mean [K]

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T_rms [K]

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T_mean [K]

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T_rms [K]

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T_mean [K]

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T_rms [K]

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0

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200010000

T_mean [K]

4002000

T_rms [K]



Fig. 19. Mean (solid line) and RMS (circles) temperature in the central plane of thecombustor (LES data).

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200

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-20

0

20

40

200



Fig. 20. Mean axial velocity in the central plane for reacting flow. LDV; LES.

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Fig. 21. RMS axial velocity in the central plane for reacting flow LDV; LES.

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Fig. 22. Mean tangential velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES.

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Fig. 23. RMS tangential velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES.

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Fig. 24. Mean radial velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES.

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Fig. 25. RMS radial velocity in central plane for reacting flow. LDV; LES.

Fig. 26. Pressure fluctuations amplitude predicted by the LES code (circles) andthe acoustic solver (line) for reacting flow.

32289

pdf (partie 2 sur 2 : partie 4, conclusion, bibliogr. annexes)

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