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電気電子工学実験１テキスト

キーワード：直流回路と交流回路、実験配線と測定技術、実験データの取り扱い

専門技術と電気理論の理解を伸長するため、この授業は電気回路を中心とした実験学習

の機会とする。授業では、まず抵抗やコンデンサ、インダクターといった素子（デバイス）

の基本特性について学ぶ。その際、実験を通して測定器の使用方法を学ぶとともに、電気

量および磁気量の基礎を習得する。次に、基本的な電気回路を実際に作製し、その特性の

測定値と理論によって求められる計算値について比較しながら、実験結果の考察と検討の

仕方を体得する。実験テーマは、技術者教育の指針に沿って、実験のあり方と役割、専門

実験に対する関連性に重点を置いて計画されている。特に、直流回路と交流回路における

現象の測定と理解に重点を置いている。以上のことから、電気磁気現象の基本と電気回路

の法則を体験的に理解しながら、自らが専門の基礎知識を向上させ、さらに高学年次で発

展してゆく応用実験科目への礎としていただきたい。

このテキストは実験を実施するための指導書であるとともに、実験報告書（レポート）

の様式になっている。今後、自らが実験報告書を作成する際には、本テキストの様式を参

考にしていただきたい。

東海大学工学部電気電子工学科

授業スケジュール (2011年度春学期)

【】内は担当教員

(１) ガイダンス（実験時の安全確保、機器の取り扱い、実験実習の方法）

【庄、桑畑、森本、大山、沖村、青木】

(２) 第 1回抵抗 Rの性質と直流回路での基本動作１（抵抗とオームの法則）

【庄】

(３) 第２回抵抗 Rの性質と直流回路での基本動作２（抵抗の直列接続と並列接続）

【庄】

(４) 第３回抵抗 Rの性質と直流回路での基本動作３（キルヒホッフの法則）

【桑畑】

(５) 第４回テブナンの定理とブリッジ回路（ホイートストンブリッジ）

【桑畑】

(６) 第５回インダクタンスとキャパシタンスの基本動作（過渡現象）

【森本】

(７) 第６回微分回路と積分回路（過渡現象）

【森本】

(８) 第７回正弦波交流の波形（周期、波長、位相、波高値、平均値、実効値）

【大山】

(９) 第８回交流回路での基本動作１（直列抵抗・並列抵抗接続のインピーダンス）

【大山】

(10) 第９回交流回路での基本動作２（LR直列接続のインピーダンス、電流の遅れ）

【沖村】

(11) 第 10 回交流回路での基本動作３（CR直列接続のインピーダンス、電流の進み）

【沖村】

(12) 第 11 回交流電力（力率、有効電力、無効電力、皮相電力）

【青木】

(13) 第 12 回交流 RLC直並列回路（教科書の回路図を例題として）

【青木】

(14) 補充実験


(15) 学期のまとめ（試験を含む）


電気電子工学実験１

1-1

第１回抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作１１. 目的

ここでは直流電源，抵抗器，デジタルマルチメータの使い方，オームの法則について学ぶ。直流電源は、

一定の直流電圧を発生する電子機器である。この電源を抵抗器に繋げると、電流が抵抗器に流れる。そのと

きの電圧および電流の値は、デジタルマルチメータを用いて測定可能である。また、電圧と、抵抗および電

流の間にはオームの法則が成り立つ。本実験では、これらの測定結果からオームの法則を理解することを目

的とする。

2. 理論

2.1 オームの法則

抵抗 R (Ω)に電圧 E (V)を印加した場合に流れる電流 I (A)は、式(1)で示されるオームの法則で求めること

が可能である。

オームの法則 REI = (A) (1)

オームの法則は、式(2)、(3)のように変形することが可能である。式(2)は抵抗 R (Ω)に電流 I (A)が流れた

ときに抵抗器の両端には電圧 E (V)が発生することを示している。一方、式(3)は電圧 E (V)を印加したときに

電流 I (A)が流れるような抵抗は R (Ω)であることを示している。

RIE = (V) (2)

IER = (Ω) (3)

３. 実験方法

本実験では、直流電源、抵抗器、マルチメータ、ブレットボードの使用法を理解する必要がある。以下に

それらの使用法を記す。なお、直流電源の使用法は別冊資料を参考すること。

3.1 抵抗器のカラーコード表記

各抵抗器の抵抗値は、カラーコードという色の帯を用いて表示されている。カラーコードを読む場合は、

抵抗値の誤差を示す金(5%)または銀(10%)の帯を右側に向け、左から 3 つの色帯を読む。左から 2 つの帯の

色は数値を示し、その次の帯は値取りを示している(図 1 参照)。表１に各色が示す値を示す。

以上を参考にして本実験で使用する 1(kΩ)、2(kΩ)、3(kΩ)、3.9(kΩ)、5.1(kΩ)の抵抗器のカラーコードを

表 2 に記し、それを用いて各抵抗器を用意せよ。カラーコードの読み取りに慣れるまでは、マルチメータを

用いて抵抗器の値を測定し、抵抗値が正しいことを確認してから実験に使用すると良い。

3.2 マルチメータの使用法

マルチメータは、電圧、電流、抵抗値などを測定する機器である。また、直流および交流の電圧、電流を

測定することが可能である。測定目的によって、プローブの接続端子およびダイヤルを設定する必要がある。

なお、詳細なマルチメータの使用法は、取り扱い説明書を参照すること。

No.１抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作１

2-2

表 1 抵抗器のカラーコード

帯の色数値値取り

茶 1 101

赤 2 102

橙 3 103

黄 4 104

緑 5 105

青 6 106

紫 7 107

灰 8 108

白 9 109

黒 0 1010

金 10-1

銀 10-2

3.2.1 抵抗測定

抵抗値を行なう場合は、マルチメータのファンクションスイッチを抵抗測定の位置に合わせる。赤色のテ

ストリードを電圧と抵抗測定用端子に、黒色のテストリードを共通入力端子に接続する。(図 2 を参照)。

実験 3.1 で用意した抵抗器が正しい値であるか、マルチメータを用いて確認せよ。

3.2.2 電圧測定

電圧値を測定する場合は、マルチメータのファンクションスイッチを直流電圧測定の位置に合わせる。赤

色のテストリードを電圧と抵抗測定用端子に、黒色のテストリードを共通入力端子に接続する。(図 2を参照)。

直流の電圧測定では、赤色のテストプローブを測定したい電圧のプラス側(電位の高い方)に接続した場合、

電圧表示値はプラスとなる。一方、逆に接続した場合は、マイナスの電圧値が表示される。

直流電源の出力端子の電圧を測定せよ。マルチメータの赤色のテストプローブを電源の+DC OUTPUT の

端子に、黒色のテストプローブを GND ０[V]に接続し、電源の出力電圧が 15(V)であることを確認せよ。ま

た、テストプローブを逆に接続すると表示がマイナスとなることも確認せよ。注意

直流電源およびマルチメータの結線作業の時は、必ず電源のスイッチを切ってお

くこと。決せ院間違いがないことを確認してから、電源のスイッチを入れること。

また、測定中は、テストプローブのテストピン(金属)部分に触れないこと。以上を怠ると、感電する危険がある。

3.2.3 電流測定

電流値を測定する場合は、マルチメータのファンクションスイッチを電流測定 mA の位置に合わせる。赤

色のテストリードをµA・mA 電流測定端子に、黒色のテストリードを共通入力端子に接続する。直流の電流

測定では、電流が赤色のテストプローブからマルチメータに流れ入り、黒色のテストプローブから流れ出る

方向に接続した場合に、電流表示値がプラスとなる。この接続は、赤色のテストプローブがプラス側の電圧、

黒色のテストプローブがマイナスの電圧に繋がっていることに等しい。

図 1 1kΩ、誤差 5%の抵抗器のカラー

コード表示の例

茶黒赤金

1 0 102 誤差 5%


1-3

3.3 ブレットボードの使用法

ブレットボードは、その表面上の端子(穴)に電子部品を差し込むことで、電子部品を接続することが可能

な板である。各端子の位置は、横方向に 1 から 63 番まで、縦方向に A から J までの記号で表されている。

同じ番号の列で、A から E および F から J までの端子がそれぞれ電気的に接続されている。例えば 2 つの電

子部品のリード線(足)を接続したい場合には、それぞれの部品をブレットボード上の A1 と A2 の端子に接続

すれば良い。

3.4 抵抗器に流れる電流の測定

抵抗器に印加する電圧値を一定として、抵抗値を変化させた場合に流れる電流を調べる。電流測定は、ブ

レットボード上に抵抗器を挿し、そこに直流電源(15V)および電流計(マルチメータ)を直列に接続して行なう。

(図 3 参照)

抵抗器の値を 1(kΩ)、2(kΩ)、3(kΩ)、3.9(kΩ)、5.1(kΩ)に変化させ、それぞれの抵抗器に流れる電流を測

定する。

４. 実験結果

15V の電圧を各抵抗器に印加した場合に流れる電流をオームの法則で求め、表 2 に記入せよ。

実験から得られた各抵抗値に対する電流値を表 2 にまとめて整理せよ。また、そのデータから横軸を抵抗

値、縦軸を電流値としてグラフを図４に描け。グラフのタイトルも記入すること。

図 2 各種測定でのマルチメータの

設定方法およびテストリード

テストリード

電流

直流電源E=15(V)

+DCOUTPUT

GND0[V]

抵抗器(ブレットボード上に固定する )

A

電流計(マルチメータ )

黒赤

図 3 実験回路図

No.１抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作１

2-4

表 2 15V の直流電圧を印加した場合に各抵抗器に流れる電流の値

抵抗値(Ω) カラーコード電流値

計算値測定値

1ｋ (1000) Ω

2k (2000) Ω

3ｋ (3000) Ω

3.9k (3900) Ω

5.1k (5100) Ω

グラフのタイトル

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

抵抗値 (ｋΩ)

電流

(mA)

印加電圧


1-5

５. 考察

(1) 実験で得た抵抗値と電流の関係の表およびグラフから、これらがどのような関係にあるかを記述せよ。

(抵抗値を増加させると、どのように電流が変化するか。)

６. まとめ

実験により得られた知見を箇条書きにして整理する。(実験装置の使い方などを含めて，気付いた点を書く)


2-1

第２回抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作２１. 目的

ここでは直列および並列に接続された抵抗の合成法を学ぶ。抵抗に電圧を印加した場合に、各抵抗で発生

する電圧および電流、電力を測定し、分圧および分流の定理について理解することを目的とする。

2. 理論

2.1 抵抗の直列接続

図 1 に示すような抵抗 R1 と R2 が直列に接続され、そこに電圧 E が印加されている場合を考える。抵抗

R1と R2の合成抵抗 R は式(1)で求められる。このことから、図 1 の回路は、図 2 に示す 1 つの抵抗 R と電

源 E の回路に書き換えることが出来る(等価回路)。

直列接続での合成抵抗 21 RRR += (Ω) (1)

合成抵抗 R に電圧 E が印加されていることから、回路に流れる電流 I はオームの法則を用いた式(2)で求

めることが出来る。

回路に流れる電流 21 RR

EREI

+== (A) (2)

図 1 の回路の抵抗 R1および R2には、式(2)で求めた電流が流れる。抵抗に電流が流れた場合、抵抗の両端

には電圧が発生する。図 1 の回路で直列接続された抵抗 R1および R2には、電流 I が流れていることから、

これらの両端で発生する電圧 V1、V2はそれぞれ式(3)、(4)で求められる。

抵抗 R1の両端電圧 ERR

RIRV21

111 +== (V) (3)

抵抗 R2の両端電圧 ERR

RIRV21

222 +

== (V) (4)

式(3)、(4)は、電圧 E が、抵抗 R1、R2の比によって、両端電圧 V1、V2に分圧されることを示している(分

圧の定理)。さらに、抵抗値の高い方が、より高い端子電圧を発生することを示している。なお、分圧された

抵抗の両端電圧 V1、V2の和は、電源電圧 E と等しくなる(キルヒホフの電圧則)。

直列に接続された抵抗 R1、R2には、電流 I が流れ、それぞれ両端電圧 V1、V2が発生することから、それ

ぞれの抵抗で消費される電力 P1、P2は式(5)、(6)で求めることが出来る。

抵抗 R1の消費電力 ( )

22

21

1

2121

111 E

RRR

RREE

RRRIVP

+=

+⋅

+== (W) (5)

抵抗 R2の消費電力 ( )

22

21

2

2121

222 E

RRR

RREE

RRRIVP

+=

+⋅

+== (W) (6)

これらの式は、直列に接続された抵抗 R1、R2 では、抵抗値の高い方がより多くの電力を消費することを

示している。

No.２抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作２

2-2

2.1 抵抗の並列接続

図 3 に示すような抵抗 R1 と R2 が並列に接続され、そこに電圧 E が印加されている場合を考える。抵抗

R1と R2の合成抵抗 R は式(7)で求められる。このことから、図 3 の回路は、図 4 に示す 1 つの抵抗 R と電

源 E の回路に書き換えることが出来る(等価回路)。なお、2 つの抵抗が並列接続されている場合の合成抵抗

は、式(8)の式を用いると便利である。(式(８)で用いている記号// は、並列に接続された抵抗 R1と R2の合成

抵抗を求めることを表している)。

並列接続での合成抵抗

21

111RRR

+= (S) (7)

並列接続での合成抵抗(抵抗が 2 つの場合) 21

2121 //

RRRRRRR+

== (Ω) (8)

合成抵抗 R に電圧 E が印加されていることから、回路全体に流れる電流 I (電源から出力される電流)は、

オームの法則を用いた式(2)で求めることが出来る。

回路に流れる電流 ERR

RRREI

21

21 +== (A) (9)

並列接続では、抵抗 R1と R2に等しく電源電圧 E が印加されている。このことから、各抵抗に流れる電流

I1と I2は、それぞれ式(10)、(11)で求めることが出来る。

抵抗 R1に流れる電流

11 R

EI = (A) (10)

抵抗 R2に流れる電流

22 R

EI = (A) (11)

図 1 の抵抗の並列接続回路では、回路全体を流れる電流 I が点 a で、2 つの抵抗 R1と R2に分かれて流れ

る(分流の定理)。各抵抗に流れる電流 I1と I2は、回路全体を流れる電流 I を用いて、式(12)、(13)で表すこと

が出来る。(式(9)と式(10)、(11)を比較することで、式(12)、(13)は導出できる。)

抵抗 R1に流れる電流 IRR

RI21

21 += (A) (12)

抵抗 R2に流れる電流 IRR

RI21

12 += (A) (13)

E

R=R1+R2

VR

I

E

I

R1

I1

V1

R2

I2

V2

図 1 抵抗 R1と R2の直列接続回路図 2 抵抗 R1と R2の合成抵抗の回路


2-3

式(12)、(13)は、並列に接続された抵抗では、抵抗値の低い方により多くの電流が流れることを示してい

る。

抵抗 R1、R2の並列接続では、同じ電源電圧 E が印加され、それぞれ電流 I1と I2が流れることから、それ

ぞれの抵抗器で消費される電力電力 P1、P2は式(14)、(15)で求めることが出来る。

抵抗 R1の消費電力

1

2

111 R

EREEEIP =⋅== (W) (14)

抵抗 R2の消費電力

2

2

222 R

EREEEIP =⋅== (W) (15)

これらの式は、並列に接続された抵抗では、抵抗値の低い方がより多くの電力を消費することを示してい

る。

３. 実験方法

3.1 直列接続された抵抗の実験

表 1 に記された 2 つの抵抗 R1、R2を直列接続し、直流電源 E=15 (V)を印加する。回路全体に流れる電流

I をマルチメータを用いて測定する。また、各抵抗の両端電圧 V1、V2をマルチメータを用いて測定せよ．得

られた結果を用いて、以下のデータ処理(a)～(c)を行い、表 1 にまとめよ。

(a) 測定された電流 I と直流電源の電圧 E=15 (V)を用いて、R1と R2の合成抵抗を求めよ。

(b) 測定された電流 I と両端電圧 V1、V2を用いて、R1、R2で消費される電力 P1、P2を求めよ。

(c) 抵抗 R1、R2の直列接続で、直流電源の電圧が E=15 (V)であるとき、理論より求められる電流、合成抵

抗、両端電圧、消費電力を表 1 の括弧内に記入せよ。

3.2 並列接続された抵抗の実験

表 2 に記された 2 つの抵抗 R1、R2を並列接続し、直流電源 E=15 (V)を印加する。回路全体に流れる電流

I をマルチメータを用いて測定する。また、各抵抗に流れる電流 I1、I2をマルチメータを用いて測定する。

得られた結果を用いて、以下のデータ処理(a)～(c)を行い，表 2 にまとめよ。

E

VR

I

R=R1//R2= R1+R2

R1R2

図 3 抵抗 R1と R2の並列接続回路図 4 抵抗 R1と R2の合成抵抗の回路 E

I

R1

I1

V1

R2

I2

V2

a

No.２抵抗 Rの性質と直流回路での基礎動作２

2-4

(a) 測定された回路全体に流れる電流 I と直流電源の電圧 E=15 (V)を用いて、R1と R2の合成抵抗を求めよ。

(b) 各抵抗を流れる電流 I1、I2と直流電源の電圧 E=15 (V)を用いて、各抵抗 R1、R2で消費される電力 P1、

P2を求めよ。

(c) 抵抗 R1、R2の並列接続で、直流電源の電圧が E=15 (V)であるとき、理論より求められる回路全体を流

れる電流、合成抵抗、各抵抗を流れる電流、消費電力を表 2 の括弧内に記入せよ。ただし、各抵抗を流

れる電流は、式(12)、(13)を用いて回路全体を流れる電流を抵抗で分流することで求めよ。

４. 実験結果

表 1 直列接続された抵抗回路に流れる電流、各抵抗の両端電圧および消費電力

抵抗器回路に流れ

る電流 I 合成抵抗

両端電圧消費電力

R1 R2 V1 V2 P1 P2

1ｋΩ 1ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ｋΩ 1ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ｋΩ 2ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

実験結果から合成抵抗、消費電力を求める。

(a) 合成抵抗は、電源電圧 E と回路に流れる電流 I の関係で計算できる。

(b) 消費電力は、回路に流れる電流 I (各抵抗に流れる電流と等しい)と抵抗の両端電圧 V1、V2から計算でき

る。

表 2 並列接続された抵抗回路に流れる電流、各抵抗に流れる電流および消費電力

抵抗器回路に流れ

る電流 I 合成抵抗

各抵抗を流れる電流消費電力

R1 R2 I1 I2 P1 P2

1ｋΩ 1ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ｋΩ 1ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2ｋΩ 2ｋΩ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

実験結果から合成抵抗、消費電力を求める。

(a) 合成抵抗は、電源電圧 E と回路に流れる電流 I の関係で計算できる。

(b) 消費電力は、各抵抗に流れる電流 I1、I2 と電源の電圧 E=15 (V) (抵抗の両端電圧と等しい)から計算でき

る。


2-5

５. 考察

(1) 直列接続された 2 つの抵抗で、抵抗値と両端電圧および消費電力の関係を考察せよ。

(例) 抵抗 R1、R2の値が共に等しい時、抵抗 R1、R2の両端電圧 V1、V2および消費電力 P1、P2はどの

ような関係になっているか。

(例) 抵抗 R1の値が抵抗 R2にくれべて大きい時(R1>R2)、抵抗 R1、R2の両端電圧 V1、V2および消費電

力 P1、P2はどのような関係になっているか(どちらが，どの程度大きいかなど)。

(2) 並列接続された 2 つの抵抗で、抵抗値と各抵抗を流れる電流および消費電力の関係を考察せよ。

(例) 抵抗 R1、R2の値が共に等しい時、抵抗 R1、R2の両端電圧 V1、V2および消費電力 P1、P2はどの

ような関係になっているか。

(例) 抵抗 R1の値が抵抗 R2にくれべて大きい時(R1>R2)、抵抗 R1、R2の両端電圧 V1、V2および消費電

力 P1、P2はどのような関係になっているか(どちらが，どの程度大きいかなど)。

６. まとめ

実験により得られた知見を箇条書きにして整理する。(実験装置の使い方などを含めて，気付いた点を書く)

電気電子工学実験 1

3-1

第３回抵抗 Rの性質と直流回路での基本動作３

キルヒホッフの法則

1. 目的

ここではキルヒホッフの法則について学ぶ。キルヒホッフの法則は、回路内の節点(接続点)に流

出入する電流の関係と閉回路内の電圧の関係を規定する法則である。実験によりキルヒホッフの

法則が成り立つことを確かめる。 2. 理論

2.1 キルヒホッフの電流則

〈キルヒホッフの電流則〉「回路中の任意の節点において、その節点における電流の代数和は 0 である」または、「回路中の

任意の節点において、その節点に流れ込む電流の和はその節点から流れ出す電流の和に等しい」図 3-1 の回路の節点から見て、流れ込む電流の符合を正(＋)とし、流れ出る電流の符合を負(－)

とすれば、節点では次式が成り立つ。 I1＋I2－I3=0 (1)

式(1)を置き換えると、次のようになる。 I1＋I2 = I3 (2)

図 3-1 キルヒホッフの電流則図 3-2 キルヒホッフの電圧則 2.2 キルヒホッフの電圧則

〈キルヒホッフの電圧則〉「回路中の任意の閉回路内に生じる電圧降下(RI)の代数和は、その閉回路内の起電力の和に等し

い」図 3-2 の閉回路 acdf をたどる道順(巡路)の方向を矢印の方向とするとき、電圧降下の符合は、

巡路にそって流れる電流による電圧降下は正(＋)、巡路と反対方向に流れる電流による電圧降下は

負(－)とする。また、起電力の符合は、巡路の方向に電流を流すような極性の起電力を正(＋)、反

対の場合を負(－)とする。

流入(＋)

流入(＋)

流出(－)

節点 E1 E2

R1 R2 R3

I1 I2

I3 a b c

d

流入電流流出電流

e f

I1

I2

I3


3-2

閉回路 abef では、 E1+(‐E2)= R1I1‐R2I2 (3)

この式を、閉回路 abef の回路方程式という。 3. 実験方法

実験 1 図 3-3 に実験回路 1 を示す。図 3-4 に供試電源回路 E1を示す。供試電源は、①変圧回路ユニッ

ト、②整流回路ユニット、③平滑回路ユニット、④定電圧回路ユニットを用いる。この出力電圧

E1=15 V (端子：黒－赤タップ間)を、図 3-3 実験回路の端子 a-f 間に印加する。図 3-5 に直流電圧

源 E 2の作り方を示す。供試電源回路 E1を用い、図 3-5 の回路をブレッドボード上に作製する。

図 3-5 の端子 c-d を図 3-3 の端子 c-d に印加する。 (1) 直流電圧源 E1と E2の電圧、抵抗 R1～R3の抵抗値を、それぞれデジタルマルチメータを用い

て測定する。 (2) 図 3-3 の実験回路をブレッドボード上に作製し、スイッチを ON にする。 (3) 電流値I1～I3を、デジタルマルチメータを用いて測定する。デジタルマルチメータを回路に接

続する際は、必ずスイッチをOFFにする

。

図 3-3 実験回路 1

図 3-4 供試電源回路 E1

注意回路に手を触れる際は、必ず変圧器ユニットのスイッチを OFF にすること。

R1=3kΩ R2=1kΩ

E1=15V E2=3V R3=2kΩ

I1 I2

I3

a b c

d e f

E1=15V


3-3

図 3-5 直流電圧源 E 2の作り方実験 2

図 3-6 に実験回路 2 を示す。図 3-3 の実験回路 1 において電源回路E2の向きを逆にする。実験

1 と同様に電流値I1～I3を、デジタルマルチメータを用いて測定する。デジタルマルチメータを回

路に接続する際は、必ずスイッチをOFFにする

。

図 3-6 実験回路 2

E1=15V

4kΩ

1kΩ

c

d

E2=3V

E1=15V E2=3V R3=2kΩ

I1 I2

I3

a b c

d e f

R1=3kΩ R2=1kΩ


3-4

4. 実験結果

実験により得られた測定値を表にまとめて整理する。表 1 実験 1 の結果

電源の電圧値抵抗値電流値 E1 (V) E2 (V) R1 (Ω) R2 (Ω) R3 (Ω) I1 (mA) I2 (mA) I3 (mA)

表 2 実験 2 の結果

電流値

I1 (mA) I2 (mA) I3 (mA)

5. 考察

(1) 実験 1 の図 3-3 中の節点 b でキルヒホッフの電流則が成り立っているか確かめよ。 (2) 実験 1 の図 3-3 中の各閉回路において、回路方程式を示し、キルヒホッフの電圧則が成り立

っているか計算して確かめよ。表 3 実験 1 の回路

閉回路回路方程式計算式(数値) abef (左側)

bcde (右側)

acdf (全体)


3-5

(3) 実験 2 の図 3-6 中の節点 b でキルヒホッフの電流則が成り立っているか確かめよ。 (4) 実験 2 の図 3-6 中の各閉回路において、回路方程式を示し、キルヒホッフの電圧則が成り立

っているか計算して確かめよ。表 4 実験 2 の回路

閉回路回路方程式計算式(数値) abef (左側)

bcde (右側)

acdf (全体)

6. まとめ

実験により得られた知見を箇条書きにして整理する。


4-1

第４回テブナンの定理とブリッジ回路

等価電圧源の概念とブリッジ回路を用いた抵抗値の測定

1. 目的

ここではテブナンの定理とブリッジ回路について学ぶ。等価電圧源の定理とも言われるテブナ

ンの定理を理解し、実験によりテブナンの定理が成り立つことを確かめる。また、零位法の概念

を理解し、ブリッジ回路(ホイートストンブリッジ)を用いた抵抗値の測定方法を学ぶ。 2. 理論

2.1 テブナンの定理

〈テブナンの定理〉「多数の電源、多数の抵抗からなる回路のある任意の二端子からみたその回路は、等価的に１個

の電圧源 E0と１個の内部抵抗 R0の直列回路で表すことができる」

(a) (b) 図 4-1 テブナンの定理

(a) 回路例 (b) 等価回路

図 4-2 テブナンの定理による等価電圧源回路図 4-1 は、テブナンの定理を説明する図である。テブナンの定理を用いると、回路(a)がどのよ

うな回路であっても、右の回路(b)のように１個の内部抵抗 R0を有する電圧源 E0と置き換えるこ

とができる。図 4-2(a)の回路中で、点線で囲まれている部分は１個の直流電圧源と２個の抵抗からなってい

？ E0

R0 a

b

a

b

E

R1

R2 RL IL E0

R0 IL RL

a

b

a

b


4-2

る。いま、端子 ab 間に負荷抵抗 RL を接続したときにこの抵抗に流れる電流 IL を求める。テブナ

ンの定理より得られた E0と R0を用いると、図 4-2 (b)の等価回路が得られる。

(1) ab 端子間の開放電圧(負荷抵抗 RLを接続しないときの電圧)を E0とする。 E0とR0の求め方

(2) 回路中の起電力を 0 にしたときの ab 間からみた合成抵抗を R0する。

LL RR

EI

+=

0

0 (1)

ただし、

ERR

RE21

20 += (2)

21

210 RR

RRR+

= (3)

2.2 ブリッジ回路

図 4-3 のような回路をブリッジ回路という。図中の(G)は検流計とよばれるもので、そこに電流

が流れるとメータが振れるものである。ここでメータが振れない(検流計に流れる電流が 0 となる)ための条件を求める。もし、メータが振れない(検流計には電流が流れない)とすると、回路を流れる電流は図のように

I1と I2となる。また節点 a と b の電位差 Vabは 0 となる。電流 I1と I2は、

311 RR

EI

+=

422 RR

EI

+= (4)

節点 a、b の電圧 Vaと Vbは、

ERR

RERIEVa31

111 +

−=−= (5)

ERR

RERIEVb42

222 +

−=−= (6)

従って、電位差 Vabは

ERR

RRR

RVVV baab )(31

1

42

2

+−

+=−= (7)

Vab=0 から、

31

1

42

2

RRR

RRR

+=

+ (8)

これより、

R1R4＝R2R3 または 4

2

3

1

RR

RR

= (9)

たすきがけの抵抗の積が等しいことになる。これをブリッジ回路の平衡条件という。


4-3

仮に R3が未知であって、他が既知であるとすると、検流計のメータが振れないときには、

2

413 R

RRR = (10)

で R3が測定できることになる。

図 4-3 ブリッジ回路図 4-4 ホイートストンブリッジ回路

2.3 ホイートストンブリッジ

抵抗を測定する場合、電流計と電圧計を用いて電流と電圧を測定し、オームの法則に基づいて

抵抗値を計算すればよい。しかし、電流計と電圧計には内部抵抗が存在するので、誤差が含まれ

て正確な抵抗測定をするには工夫を必要とする。ホイートストンブリッジは、抵抗を精密測定す

るのに広く利用される回路であり、おもに中抵抗(10～104Ω)を測定するのに使用される。図 4-4 において、あらかじめ高精度の抵抗 R1と R2と可変抵抗 R4を用意しておき、R4を調整

して検流計の振れを 0 にして未知抵抗 R3を求めるもので、このような方法を零位法という。 3. 実験方法

3.1 テブナンの定理の確認実験

図 4-5(a)に実験回路を、図 4-5(b)にその等価回路を示す。図 4-6 に供試電源回路 E1を示す。供

試電源は、①変圧回路ユニット、②整流回路ユニット、③平滑回路ユニット、④定電圧回路ユニ

ットを用いる。この出力電圧 E1=15 V (端子：黒－赤タップ間)を、図 4-5(a)の実験回路の直流電

圧源 E1とする。

(1) 直流電圧源 E1の電圧、各抵抗 R1～R3と負荷抵抗 RL の抵抗値を、それぞれデジタルマルチメ

ータで測定する。 (2) 図 4-5(a)の実験回路を、ブレッドボード上に作製する。 (3) 負荷抵抗RLに流れる電流IL1を、デジタルマルチメータで測定する。

G

デジタルマルチメータを

R4

a

b

E

R1

R2

R3

I1

I2

G

E

R1

R2

R3 (未知抵抗)

R4 (可変抵抗)


4-4

回路に接続する際は、必ずスイッチをOFFにする

(4) テブナンの定理を用いて、等価回路の端子開放電圧 E0と内部抵抗 R0の値を計算から求める。。

(5) 供試電源回路 E1を用いて図 4-7 のように回路を作製し、等価電圧源 E0とする。この E0の電

圧値を、デジタルマルチメータで測定する。 (5) 計算から求めた内部抵抗 R0 の値となるように、可変抵抗(小型ボリューム)をデジタルマルチ

メータを用いて調整する。 (6) ブレッドボード上に等価回路を作製する。 (7) 図 4-5(b)の等価回路の負荷抵抗RLに流れる電流IL2を、デジタルマルチメータで測定する。デ

ジタルマルチメータを回路に接続する際は、必ずスイッチをOFFにする

。

(a) 実験回路 (b) 等価回路

図 4-5 テブナンの定理の確認実験回路

図 4-6 供試電源回路 E1


E1=15V

R1=4kΩ R2=1kΩ

R3=3kΩ

RL=2kΩ

IL1 E0

R0

a

b

IL2 RL=2kΩ

a

b

E1=15V


4-5

図 4-7 等価電圧源 E0の作り方 3.2 ブリッジ回路を用いた抵抗値の測定

ブリッジ回路を用いて、未知抵抗 Rx(黒色と赤色の２個)の抵抗値を求めよ。未知抵抗の抵抗値

をデジタルマルチメータで測定しないこと。 (1) 供試直流電圧源 E1の電圧、R1と R2の抵抗の抵抗値をデジタルマルチメータで測定する。 (2) 図 4-8 に示すようにブリッジ回路をブレッドボード上に作製する。デジタルマルチメータを電

圧計(V)として用いる。 (3) 可変抵抗 R4のつまみを回し、中間ぐらいにする。 (4) 電源のスイッチを入れ、デジタルマルチメータの電圧が V=0 となるように、可変抵抗 R4のつ

まみを回し調節する。(ブリッジの平衡をとる) (5) ブレッドボードから可変抵抗 R4 をはずし、デジタルマルチメータでその抵抗値を測定する。 (6) デジタルマルチメータを用いて未知抵抗 Rx(黒色と赤色の２個)の抵抗値を測定する。

図 4-8 ブリッジ回路を用いた抵抗値の測定回路

E1=15V

4kΩ

1kΩ E0=3V

c

d

V

E1

R1=1kΩ

R2= 1kΩ

RX (未知抵抗)

R4 (可変抵抗)

a

b


4-6

4. 実験結果

実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表にまとめて整理する。 4.1 テブナンの定理の確認実験の結果

表 1 実験回路の結果

電源の電圧値抵抗値電流値 E1 (V) R1 (Ω) R2 (Ω) R3 (Ω) RL (Ω) IL1 (mA)

表 2 等価回路の結果

電源の電圧値内部抵抗値電流値 E0 (V) R0 (Ω) IL2 (mA)

4.2 ブリッジ回路を用いた抵抗値の測定の結果

表 3 ブリッジ回路を用いた抵抗値の測定の結果

電源の電圧値既知抵抗値 E (V) R1 (Ω) R2 (Ω)

表 4 未知抵抗値の比較

RX黒 (Ω) RX赤 (Ω) ブリッジ回路マルチメータブリッジ回路マルチメータ


4-7

5. 考察

5.1 テブナンの定理の確認実験

(1) テブナンの定理を用いて、等価電圧源 E0の値が 3 V となることを示せ。 (2) テブナンの定理を用いて、内部抵抗 R0を R1～R3を用いて示し、R0の計算値を示せ。 (3) テブナンの定理が成り立っていたか考察せよ。 5.2 ブリッジ回路を用いた抵抗値の測定

(1) ブリッジ回路を用いて求めた未知抵抗値が正しかったのか考察せよ。 6. まとめ



5-1

第５回インダクタンスとキャパシタンスの基本動作

１. 目的

ここでは回路素子であるインダクタンスとキャパシタンスについて学ぶ。インダクタンスと

キャパシタンスは電磁エネルギに関係する回路素子である。いずれもエネルギを蓄積し、蓄積

したエネルギを外部へ放出できる。そのために過渡現象を生じ、時定数を有する。ここではキ

ャパシタンスを例にしてオシロスコープを使用して電圧波形と電流波形の双方を観測し、過渡

現象の基本波形を理解する。

2. 理論

2.1 インダクタンスとキャパシタンス

インダクタンス L とキャパシタンス

C の図記号を図 6.1 に示す。

コイルに鎖交する磁束が電流に比例

する。その比例係数がインダクタンスLである。インダクタンスの端子電圧 Lvと電流 i の関係は次の式で表される。

dtdiLvL = (6.1)

インダクタンス L に電流 I が流れ

ているとき、インダクタンスには次のような電磁エネルギが蓄積されている。

22

2

21

221 LI

LIW =

Ψ=Ψ= (J) (6.2)

コンデンサの電極間に存在する電荷量 Q と端子電圧 v は比例する。キャパシタンス C はその

傾きを示す。

CvCQ ⋅= (6.3)

キャパシタンスの両端の電圧が V のとき、キャパシタンスに蓄積される静電エネルギは次の

ように表される。

22

21

221 CV

CQQVW ===

(6.4) キャパシタンスへ電荷を充電してエネルギを蓄積するとき、電荷の移動と電流は次のような

関係にある。

dtdqi =

(6.5)

インダクタンスとキャパシタンスはこのようにエネルギを蓄積するので、エネルギの蓄積放出

図 6.1 インダクタンスとキャパシタンス

No.５インダクタンスとキャパシタンス

5-2

に伴う過渡現象が発生する。

2.2 R-L回路の過渡現象

図 6.2 に示す回路の過渡現象について考えてみよう。

スイッチ S をオンしたあとの回路方程式は次のように

なる。

EdtdiLRi =+ (6.6)

この微分方程式の解は次のようになる。

)1(t

LRt

LR

eREe

RE

REi

−−−=−= (6.7)

求めた電流の変化をグラフに描くと図 6.4 のようにな

る。変化の速さを表すのに時定数という指標を用いる。

時定数とは

teIi α−= 0 (6.8)

で電流が変化するとき、 1=tα になる時間を時定数τ

と定義する。すなわち

τα == 1t (6.9)

である。したがってこの場合、

1=tLR

より τ==RLt となり、時定数τは L/R に等しくなる。

2.3 RC回路の過渡現象

次に図 6.4に示す回路の過渡現象について考えてみよう。

スイッチ Sをオンしたあとの回路方程式は次のようになる。

EidtC

Rit

=+ ∫01

(6.10)

この微分方程式の解は次のようになる。

tRCe

REi

1−

= (6.11)

求めた電流の変化をグラフに描くと図 6.5 のようにな

る。

図 6.2 直流 RL 回路

図 6.3 RL 回路の電流の変化

図 6.4 RC 回路


5-3

T=0 ではREであった電流が

tRCe1

−にしたがって減衰

してゆく。このときの時定数は

11=t

CR より τ== CRt となり、時定数τは CR

に等しくなる。 2.3コンデンサの電圧と蓄積エネルギ

求めた電流からコンデンサの両端の電圧 Cv とコンデンサに蓄積するエネルギ UC を求め

ることが出来る。 R-C 回路でキャパシタンス C の両端に現れる電圧 Cv は次のように表される。

∫=t

C idtC

v0

1 (6.12)

式(6.11)を代入すると次のようになる。

∫∫−

==t t

CRt

C idteRE

Cidt

Cv

0

1

0

11

)1(1 t

CEeE−

−= (6.13)

キャパシタンスに蓄えられるエネルギ UCは

∫=t

CC idtvU0

(6.14)

(6.11)(6.13)式を代入整理すると

∫ ∫ ⋅−==−−t t

CRt t

CRCC dte

REeEidtvU

0

1

0

1

)1(

)12(21 11

2 +−=−− t

CRt

CR eeCE (6.15)

(6.15)式は ∞→t では

EVC =

2

21 CEU C = (6.16)

となる。VC,UCの過渡現象による時間的変化を示したのが図 6.6 である

図 6.6 VC と UCの過渡現象

図 6.5 CR 回路の電流変化


5-4

３. 実験方法

3.1 測定の準備

図 6.6に実験装置の概略を示す。供試電源は、①変圧回路ユニット、②整流回路ユニット、

③平滑回路ユニット、④定電圧回路ユニットを用いる。この出力電圧（端子:黒-赤タップ間）

を供試回路の端子 a-b 間に印加して直流の入力電圧 v(t)とする。その際、定電圧回路ユニット

と端子 a の間には、抵抗 100 Ωを挿入して供試回路に流れる電流を制限する。供試回路は、

Bread Board（Sunhayato, SRH-32）にスイッチおよび R－C直列回路を配置し、リード線によ

り配線して構成する。入力電圧 v(t)は、電圧プローブ（Tektronix, P2220）を用いてオシロス

コープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。併せて、負荷の R-Cに流れる電流 i(t)は、

電流プローブ（Tektronix, A622）を用いて電流-磁界-電圧へ変換し、オシロスコープにより

観測する。電流プローブのクランプ方向は、図 6.7 に示した端子 a 側を正(Positive)にする。

図 6.7 実験装置の概略図


負荷に R=10k Ωの抵抗と C=100μF のコンデンサを接続する。まず、スイッチ S を”開”の

状態にする。端子 ab間の入力電圧 v(t)について、オシロスコープの主要な操作 ① オートセッ

ト（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④ 垂直軸コン

トロール（Vertical）Ch1と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、

入力電圧 v(t)を観測する。入力電圧 v(t)が一定の直流であることを確認する。


5-5

3.2 R-C直列回路に加えた電圧とその電流の観測

電圧と電流の波形観測の準備が出来たら次に過渡現象の観測を行う。スイッチ S を”閉”にした

時の電圧、電流の時間的な動きをオシロスコープで観測する。電圧、電流が定常値になったら再

度スイッチ S を”開”にする。その状態ではコンデンサに電荷が蓄積されているのでコンデンサの

両端の電圧があることをテスタで確認する。

コンデンサに蓄積された電荷を放出するために、スイッチが“開”の状態で適当な抵抗をコン

デンサの両端に接触させる。テスタで電圧が低下したことを確認する。コンデンサの両端の電圧

が０ということは初期電荷が０ということを示している。

この操作を何回か繰り返し、オシロスコープの水平軸（Horizontal）、垂直軸（Vertical）を

調節し、過渡現象の終了までが画面内に記録できるようにする。なお電圧プローブの感度を×10

に設定する。電流プローブの感度は 100mV/Aに設定する。

過渡現象が画面内に記録できるようになったら、電圧、電流の時定数を画面から読み取る。時

定数は図 6.3に示すように最終値の約 63%（ e11− ）に到達する時間である(ここで eは自然対

数の底である)。また過渡現象が終了した定常状態の電圧、電流も読み取る。

結果を表１に記入する。

3.3 抵抗 Rとコンデンサ Cの電圧波形の観測

次に電圧プローブで抵抗 Rの両端の電圧を測定できるように電圧プローブのわに口クリップ

側の端子を抵抗 Rとコンデンサ Cの中間に接続し、抵抗 Rの両端の電圧 RV の過渡現象を観測し、

波形を読み取る。

さらに電圧プローブでコンデンサ C の両端の電圧を測定できるように電圧プローブの端子を

コンデンサ Cの両端に接続し、コンデンサ Cの両端の電圧 CV の過渡現象を観測し、波形を読み

取る。

それぞれの結果を表１に記入する。

3.4 抵抗 Rとコンデンサ Cの値を変更しての測定

次の組み合わせでの測定を行う。

① 抵抗 R=47kΩ、コンデンサ C=100μF

② 抵抗 R=47kΩ、コンデンサ C=47μF

③ 抵抗 R=100kΩ、コンデンサ C=47μF

結果を表２に記入する。


5-6

４. 実験結果

実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表１から表２にまとめて整理する。

表１ R-C回路の過渡現象の観測結果

電源電圧 v(t) V(t) ＝ V

負荷 R ＝ Ω、 C＝ F

時定数

a-b間の電圧 RCV の時定数

ｓ

R-C回路を流れる電流 RCI の時定数

ｓ

R の両端の電圧 RV の時定数

ｓ

C の両端の電圧 CV の時定数

ｓ

最終値

（定常値）

a-b間の電圧 RCV の最終値

V

R-C回路を流れる電流 RCI の最終値

A

R の両端の電圧 RV の最終値

V

C の両端の電圧 CV の最終値

V


5-7

表２ CRを変更したときの観測結果

抵抗 R＝ Ω、 R＝ Ω、 R＝ Ω、

コンデンサ C＝ F C＝ F C＝ F

RCV の時定数

ｓ

ｓ

ｓ

RCI の時定数

ｓ

ｓ

ｓ

RV の時定数

ｓ

ｓ

ｓ

CV の時定数

ｓ

ｓ

ｓ

RCVの最終値 V

V V

RCIの最終値 A

A

A

５. 考察

5.1 R-C回路に加えた電圧とその電流の観測結果（表１）について

(1) CR回路の電圧 v(t)、電流 i(t)を表す瞬時式を求めよ。

=RCv

=RCi


5-8

(2) 各部の電圧電流について最終値(定常値)の理論値を求めよ。

表３定常値（理論値）

RCV の定常値

V

RCI の定常値 A

RV の定常値

V

CV の定常値

V

RCVの

定常値 V

RCIの

定常値 A

5.2 CRを変更したときの観測結果（表２）について

(3)CR を変更したときの RCI の時定数の理論値を求めよ。

表４定常値（理論値）

抵抗 R＝ Ω、 R＝ Ω、 R＝ Ω、

コンデンサ C＝ F C＝ F C＝ F

実験により得られた時定数

ｓ

ｓ

ｓ

理論値

ｓ

ｓ

ｓ

(4)表 4で得られた理論値と実験値を比較し、値が異なる場合、その理由を述べよ。


6-1

第６回微分回路と積分回路

１. 目的

ここでは回路素子による微分、積分の動作について学ぶ。インダクタンス、キャパシタンス

を含む回路の動作は微分方程式で表されることはすでに学んでいる。これを利用するとインダ

クタンス、キャパシタンスを含む回路で電圧、電流の微積分が可能である。素子の電圧が入力

電圧、電流などを微分または積分したものを示すのである。ここではオシロスコープを使用し

て入力波形と出力波形の双方を観測し、回路による微積分の動作を理解する。

2. 理論

2.1 微分回路

微分回路はインダクタンス、キャパシタンスを用いて構成することが出来る。図 1 に示すの

が代表的な微分回路である。入力電圧波形に対して R や L の端子間の電圧が入力電圧波形を微

分した波形になる。

2.1.1 RC 回路による微分

図 7.1(a)の RC 回路の回路方程式は次のようになる。

∫ =+t

teidtC

Ri0

)(1 (7.1)

この式を t で微分すると

)(1 tedtdi

CdtdiR =+ (7.2)

両辺に C を掛けると

)(tedtdCi

dtdiRC =+ (7.3)

いま、時定数 RC=τ が非常に小さいとすると、

(a) RC 微分回路 (b) RL 微分回路図 7.1 微分回路

No.6 微積分回路

6-2

)(tedtdCi ≈ (7.4)

と考えることが出来る。したがって抵抗 R の両端に現れる電圧 VRは

dttdeRCRiVR)(

== (7.5)

となり、入力電圧 e(t)の微分となる。

2.1.2 RL 回路による微分

図 7.1(b)の RL 回路の回路方程式は次のようになる。

)(teRidtdiL =+ (7.6)

両辺を R で割ると

)(1 teR

idtdi

RL

=+ (7.7)

いま、時定数RL

=τ が非常に小さいとすると、(7.7)式は次のように表すことができる。

)(1 teR

i ≈ (7.8)

したがってインダクタンス L の両端に現れる電圧

VLは

dttde

RL

dtdiLVL

)(≈= (7.9)

となり、入力電圧 e(t)の微分となる。

微分回路の出力電圧 VR,VL は入力電圧をオンオ

フすることにより図 7.2 に示すような微分波形と

なる。

2.2 積分回路

積分回路は微分回路と同様にインダクタンス、キャパシタンスを用いて構成することが出来

る。図 7.3 に示すのが代表的な積分回路である。入力電圧波形に対して R や L の端子間の電圧

が入力電圧波形を積分した波形になる。

2.2.1 RC 回路による積分

回路方程式は微分回路の(7.1)式と同じ式で表される。

図 7.2 微分回路の出力波形


6-3

∫ =+t

teidtC

Ri0

)(1 (7.10)

両辺を R で割ると

∫ =+t

teR

idtRC

i0

)(11 (7.11)

いま、時定数 RC=τ が非常に大きいとすると、次のように考えることが出来る。

)(1 teR

i ≈ (7.12)

コンデンサの両端の電圧 VC は

dtiC

Vt

C ∫=0

1

なので、

∫∫∫ =≈=ttt

C dtteRC

dtRte

Cdti

CV

000)(1)(11

(7.13)

となり、入力電圧 e(t)を積分したものになる。

2.2.2 RL 回路による積分

図 7.3(b)の RL 回路の回路方程式は微分回路の(7.6)式と同じ式で表される。

)(teRidtdiL =+ (7.14)

両辺を L で割ると

)(1 teL

iLR

dtdi

=+ (7.15)

いま、時定数RL

=τ が非常に大きいとすると、(7.15)式は次のように表すことができる。

(a) RL 積分回路 (b) RC 積分回路図 7.3 積分回路


6-4

)(1 teLdt

di≈ (7.16)

したがって抵抗 R の両端に現れる電圧 VR

は

∫∫ ≈==tt

R dtteLRdt

dtdiRRiV

00)(

(7.17)

となり、入力 e(t)の積分に比例する。

積分回路の出力電圧 VR,VCは入力電圧を

オンオフすることにより図 7.4 に示すような微分波形となる。３. 実験方法

3.1 測定準備

図 7.5 に実験装置の概略を示す。供試電源は、①変圧回路ユニット、②整流回路ユニット、

③平滑回路ユニット、④定電圧回路ユニットを用いる。この出力電圧（端子:赤-白タップ）を

供試回路の直流の入力電圧±v(t)とする。3P スイッチの外側の端子にそれぞれ接続する。０V 端

子（黒タップ）は抵抗 100 Ω を挿入して電流を制限したうえで供試回路に接続する。供試回路

は、Bread Board（Sunhayato, SRH-32）にスイッチおよび Z1 と Z2 の直列回路を配置し、リード線

により配線して構成する。入力電圧 v(t)および Z2 の両端の電圧は、電圧プローブ（Tektronix,

P2220）を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。ここでは電圧プロ

ーブを 2 個使用し、それぞれ CH1 と CH2 に接続する。



図 7.4 積分回路の出力波形


6-5

負荷 Z1に C=100μF のコンデンサを接続する。負荷 Z2 に R=470Ω の抵抗を接続する。スイッチ

S を＋１４V 側に倒しておく。端子 ac 間の入力電圧 v(t)について、オシロスコープの主要な操作

① オートセット（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④ 垂

直軸コントロール（Vertical）Ch1 と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しな

がら、入力電圧 v(t)を観測する。入力電圧 v(t)が一定の直流であることを確認する。このとき CH1

と CH2 は同一波形である。

引き続き、スイッチ S を-14V 側に倒し同様の確認を行う。このとき、CH2 はマイナス側の直流

電圧であることを確認する。

3.2 微分波形の観測

スイッチ S を＋１４V,－１４V を切り換えたときの入力電圧波形および Z2の両端の電圧波形

を観察する。このとき、画面上に図 7.3 のように二つの波形が表示できるように調節する。

波形が表示できたら VCの傾き（ V/s）を読み取るとともに波形を表２に書き写す。

続いて Z1 を R=100kΩ、Z2 を C=330 μF に変更して同様に傾きを読み取ると共に波形を書き写

す。

3.3 積分波形の観測

次に積分回路に変更する。Z1 を R=47kΩ、 Z2 を C=100μF とする。このとき、微分回路のと

きと同様にスイッチ S を＋１４V,－１４V を切り換えたときの入力電圧波形および Z2 の両端の

電圧波形を観察する。このとき、画面上に図 7.4 のように二つの波形が表示できるように調節す

る。

波形が表示できたら VR のピーク値を読み取るとともに波形を表１に書き写す。

続いて Z1 を C=10 μF、Z2を R=100Ω に変更して同様にピーク値を読み取ると共に波形を書き

写す。

スイッチの内部配線


6-6

４. 実験結果

実験により得られた測定値および波形を表１から表２にまとめて整理する。

表１微分波形の観測結果

条件観測結果

C=100μF

R=470Ω

微分波形のピーク値： V

C=10μF

R=100Ω

微分波形のピーク値： V


6-7

表２積分波形の観測結果

条件観測結果

R=47kΩC=100μF

積分波形の傾き： V/s

R=100kΩC=330μF

積分波形の傾き： V/s


6-8

５. 考察

5.1 微分波形の観測結果（表１）について

(1) 理論式である(7.5)式は時定数 RC=τ が非常に小さいと仮定したうえで成り立っている。

実験に用いた RC の値を計算し非常に小さいことを確認せよ。

・C=100μF、R=470Ω の場合

・C=10μF、R=100Ω の場合

(2) 理論式である(7.5)式から得られるピーク値を求めよ。さらに実験により得られたピーク値

と比較し、異なる場合、その理由を述べよ。

・理論式から得られるピーク値 V

・理論式と実験結果が異なる理由

5.2 積分の観測結果（表２）について

(3) 理論式である(7.13)式に実験で用いた定数を代入し、t=0 から t=1 秒まで定積分せよ。また、

実験から得られた傾きから得られる電圧と比較せよ。

∫=t

C dtteRC

V0

)(1、なお

Vte 14)( =(一定値)と考える。

定積分の結果得られた電圧実験から得られた電圧

R=47kΩ、C=100μF

R=100kΩC=330μF


7-1

第７回正弦波交流の波形１. 目的

ここでは正弦波交流（Alternative Current: AC）の基本波形について学ぶ。AC の電圧 V（または電流 I）

の波形には最大値 Vm（Im）、実効値|V|（|I|）、角速度ω、周期 T、周波数 f、位相θなどが定義される。AC

の表現には三角関数による表示（瞬時値表示）、または実効値と位相のみによる表示（フェーザ表示）がある。

実験ではオシロスコープを使用して AC の電圧波形と電流波形の双方を観測し、AC の基本波形を理解する。

2. 理論

2.1 正弦波交流波形と瞬時値

家庭の電気は東日本で周波数が 50Hz、西日本で 60Hz の正弦波交流になっている。その電圧の大きさは

100V、あるいは 200V である。しかし、50Hz の正弦波交流電圧は電圧の大きさが１秒間にプラスとマイナ

スの双方に 50 回も一定速度で振動しているため、その電圧の大きさが 100V あるいは 200V というのは代表

的な大きさ（実効値）を表現していることになる。図７-１は周波数 50Hz、実効値 100V、初期位相 30°の

正弦波交流電圧の大きさを時間 t 秒の関数として描いたものである。一般に、この波形を表す時間 t の関数

（瞬時式）は式(1)のように周期関数の sin で表される。

瞬時式 v(𝑡) = Vm sin(ω𝑡 + θ) = |V|√2 sin(2πf𝑡 + θ) (V) (1)

ここで、各記号の定義は以下のとおりである。

v(t)は瞬時値(V)

|V|は実効値 (V)（Vm = |V|√2は最大値 (V)） ωは角速度 (rad/s)（ω = 2πf；f は周波数 (Hz)、f = 1/T；T は周期 (s)）

θは初期位相 (rad)あるいは(°),(deg))

(a) 一定振動速度を回転軌跡に描いた図 (b) 正弦波交流電圧の波形

図 7-1 正弦波交流電圧 v(t) = 100√2 sin(2π50𝑡 + 30°) (V)の軌跡と波形（f =50 Hz、|V|=100 V、θ=30°）

No.７正弦波交流の波形

7-2

2.1 時間と位相差

正弦波交流Vm sin(ω𝑡 + θ)では、(ω𝑡 + θ)のことを位相と言う。図 7-1 に示した正弦波交流は初期位相

θ=30°の例であった。この初期位相θは、基準（Vm sin(ω𝑡) 、すなわちθ=0°とした正弦波交流）に対する時

間的な変位（差）を表している。ここでは初期位相θ=30°（= 16π (rad)）がどれほどの時間差 t (s)に対応す

るのか求めてみよう。周波数 f=50 Hzの周期 T = 1f (Hz)

= 150 (Hz)

= 20 ms、1周期T (= 20 ms)に対応する角360°

（= 2π (rad)）より、初期位相θ=30°( = 16π (rad) ）に相当する時間差は、

𝑡 = θ°360°

T (s) = 30°360°

20 ms = 1.67 ms (2)

（あるいは 𝑡 = θ (rad)2π (rad)

T (s) = 16π (rad) × 1

2π (rad)× 20 ms = 1.67 ms ）

になる。図７-１(b)を見ると正弦波交流 v(t)が t = －1.67 (ms)から正サイクルを開始していることがわかる。

2.2 平均値と実効値

正弦波交流Vm sin(ω𝑡)は正と負サイクルが交互に現れるため、12 周期（正サイクルの間）の平均値 Vaveは

12 周期の平均値 Vave = 1

T2∫ Vm sin(ω𝑡)dtt=12Tt=0 = 2

πVm (V) (3)

になる。しかし、１周期の間の平均値は０になります。そこで、正と負サイクルを合わせて表現するために、

実効値（root mean square）という、2 乗と 1/2 乗して平均値を求めた絶対値が一般に使われる。

1 周期の実効値 |V| = 1T∫ Vm sin(ω𝑡)2dtt=T

t=0 = Vm√2

(V) (4)

この実効値は、直流(Direct current; DC)の値と比較して同じ大きさを示している。例えば、DC の V=100 V

と AC の|V|=100 V は相対的に同じ大きさである。 2.3 正弦波交流波形のフェーザ

正弦波交流を表すには、時間変化の詳しいグラフを描くのは複雑である。周波数が変化しない場合（ω = 一

定）は、実効値|V|と初期位相θのみが正弦波交流の変数（パラメータ）になる。一般に、大きさと位相の２

つで定まる量を同時に複素数により表示することをフェーザ（phasor）と言う。すなわち、式(1)に示した正

弦波交流の瞬時式 v(t)とフェーザ表示 Vの関係は次の通りである。

v(𝑡) = Vm sin(ω𝑡 + θ) ↔ V = |V|∠θ フェーザ；極形式 (5-1)

= a + jb a = |V| cos θb = |V| sin θ

フェーザ；直交形式 (5-2)

= |V|∠θ |V| = √a2 + b2

θ = tan−1 ba

ここで、∠は偏角（argument）と言い、初期位相（時間 t=0 での位相）になる。電気回路では、複素記号 jは位相を 90°進ませるものとして表現される。例えば、図 7-1 に示したv(𝑡) = 100√2 sin(100π𝑡 + 30°) (V)

をフェーザ表示すると

V = 100∠30° (V)極形式 = 86.6 + j50 (V)（直交形式）

になる。図７-２は、時間 t の波形と回転フェーザ（複素平面）表示の関係を表している。複素平面では横軸

が実数(Re)、縦軸が虚数(Im)になる。


7-3

(a) 回転フェーザ（複素平面）表示 (b) 正弦波交流電圧の波形

図 7-2 正弦波交流電圧 v(t) = 100√2 sin(100πt + 30°) (V)のフェーザと波形

2.3インピーダンス

＜抵抗 R (Ω) ＞

図 7-3に示す回路において正弦波交流電圧v(t) = |V|√2 sin(ωt + θ) (V)が抵抗 R (Ω)の両端に加わったとき、

抵抗 Rに流れる電流 i(t)はオームの法則より

瞬時式 i(𝑡) = v(𝑡)R

= |V|√2sin(ω𝑡+θ)R

= |V|√2ZR

sin(ω𝑡 + θ) (A)

フェーザ表示 I = VR

= |V|∠θR

= |V|R∠θ = |V|

ZR∠θ (A)

ZR = R (Ω) (6) になる。これより電流と電圧の間には位相差がないことがわかる。

ここで、ZR (Ω)を抵抗 R のインピーダンスと言う。

＜インダクタンス（コイルの誘導起電力の起こしやすさ）L (H) ＞

図 7-4に示す回路において正弦波交流電流i(t) = |I|√2 sin(ωt + θ) (A)がインダクタンス L (H)に流れたと

き、インダクタンス L の両端に現れる電圧 v(t)は

v(𝑡) = L di(𝑡)dt

= L|I|√2ω cos(ω𝑡 + θ) = ωL|I|√2 sin(ω𝑡 + θ + 90°) (V)

になる。フェーザ表示では

I = |I|∠θ (A)

V = ωL|I|∠(θ + 90°) (V)

である。これより電流と電圧の間には 90°の位相差が生じ、電流は電圧

に比べて 90°（すなわち14周期）遅れる波形になる。また、インダクタ

ンス LのインピーダンスZL (Ω)は、オームの法則より求められる。

ZL = VI

= ωL|I|∠(θ+90°)|I|∠θ

= ωL∠(θ + 90° − θ) = ωL∠90° = jωL (Ω) (7)

図 7-3 抵抗 R

図 7-4 インダクタンス L


7-4

＜キャパシタンス（コンデンサの電荷を蓄える容量）C (F) ＞

図 7-5に示す回路において正弦波交流電圧v(𝑡) = |V|√2 sin(ω𝑡 + θ) (V)が抵抗R (Ω)の両端に加わったとき、

抵抗 Rに流れる電流 i(t)は

i(𝑡) = C dv(𝑡)dt

= C|V|√2ω cos(ω𝑡 + θ) = ωC|V|√2 sin(ω𝑡 + θ + 90°) (A)

になる。フェーザ表示では

V = |V|∠θ (V)

I = ωC|V|∠(θ + 90°) (A)

である。これより電流と電圧の間には 90°の位相差が生じ、電流は電圧

に比べて 90°（すなわち14周期）進む波形になる。また、キャパシタンス

C のインピーダンスZC (Ω)は、オームの法則より求められる。

ZC = VI

= |V|∠θωC|V|∠(θ+90°)

= 1ωC

∠(θ − θ − 90°) = 1ωC

∠(−90°) = 1jωC

= −j 1ωC

(Ω) (8)

３. 実験方法

図 7-6 に実験装置の概略を示す。正弦波交流の供試電源には、商用電源（周波数 50 Hz,実効値 100 V）を

変圧器により降圧（実効値約 14 V）させるユニット（変圧回路ユニット）を用いる。この出力電圧（端子:

黄-黒タップ間）を供試回路の端子 a-b間に印加して正弦波交流の入力電圧 v(t)とする。その際、変圧回路ユ

ニットと端子 aの間には、抵抗 100 Ωを挿入して供試回路に流れる電流を制限する。供試回路は、Bread Board

（Sunhayato, SRH-32）に負荷 Z を配置し、リード線により配線して構成する。入力電圧 v(t)は、電圧プロー

ブ（Tektronix, P2220）を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。併せて、負荷

Z に流れる電流 i(t)は、電流プローブ（Tektronix, A622）を用いて電流-磁界-電圧へ変換し、オシロスコー

プにより観測する。電流プローブのクランプ方向は、図 8-6に示した端子 a 側を正(Positive)にする。オシ

ロスコープの Couplingは AC に設定する。

図 7-6 実験装置の概略図


3.1 抵抗 Rに加えた電圧とその電流の観測

負荷 Z に R=10 Ωの抵抗を接続する。まず、端子 ab 間の入力電圧 v(t)について、オシロスコープの主要

な操作 ① オートセット（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④

図 7-5 キャパシタンス C


7-5

垂直軸コントロール（Vertical）Ch1と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、

入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に観測する。その際、電圧プローブ（感度）とオシロスコープ CH1（垂直軸）を

各々×10 に設定する。電流プローブ（感度）とオシロスコープ CH2（垂直軸）を各々100 mV/A に設定する。

電圧と電流の両者について、最大値 Vmと Im、実効値|V|と|I|、周期 T、ならびに両者の位相差 θを測定す

る。ただし、入力電圧 v(t)の初期位相はθ=0°、電流 i(t)の初期位相θは v(t)からの位相差とする。

3.2 キャパシタンス C に加えた電圧とその電流の観測

負荷 Z に C=470 μF のコンデンサを接続する。上記 3.1と同様に入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に最大値

Vmと Im、実効値|V|と |I|、周期 T、ならびに両者の位相差 θを測定する。

４. 実験結果

実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表にまとめて整理する。

表 7-1 抵抗 Rに加えた電圧とその電流の観測結果

負荷 R ＝ 10 Ω

インピーダンス ZR ＝ R ＝ Ω

入力電圧 v(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |V| (V)

周期 T (ms)

初期位相 θV (° )

平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） θI (° )

平均

平均

平均

平均

表 7-2 キャパシタンス Cに加えた電圧とその電流の観測結果

負荷 C ＝470 μF

インピーダンス Zc ＝ 1jωC

＝ 1ωC

∠(−90°) ＝ Ω

入力電圧 v(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |V| (V)

周期 T (ms)

初期位相 θV (° )

平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） θI (° )

平均

平均

平均

平均


7-6

５. 考察

5.1 抵抗 R に加えた電圧とその電流の観測結果（表 7-1）について

(1) 入力電圧 v(t)、電流 i(t)の各瞬時式を求めよ。

v(𝑡) = |V|√2 sin(2πf𝑡 + θV) (V) =

i(𝑡) = |I|√2 sin(2πf𝑡 + θI) (A) =

(2) 入力電圧 v(t)、電流 i(t) について各フェーザ V、I の極形式と直交形式を求めよ。

V = |V|∠θV (V) =

I = |I|∠θI (A) =

(3) 入力電圧 V と電流 I からオームの法則よりインピーダンス ZRを求めよ。また、この ZRと抵抗値 R を

比較せよ。

ZR = VI

= |V|∠θV |I|∠θI

(Ω) =

5.2 キャパシタンス C に加えた電圧とその電流の観測結果（表 7-2）について

(4) 入力電圧 v(t)、電流 i(t)の各瞬時式を求めよ。

v(𝑡) = |V|√2 sin(2πf𝑡 + θV) (V) =

i(𝑡) = |I|√2 sin(2πf𝑡 + θI) (A) =

(5) 入力電圧 v(t)、電流 i(t) について各フェーザ V、I の極形式と直交形式を求めよ。

V = |V|∠θV (V) =

I = |I|∠θI (A) =

(6) 入力電圧 Vと電流 I からオームの法則よりインピーダンス ZCを求めよ。また、この ZCと値1ωC

∠(−90°)を

比較せよ。

ZC = VI

= |V|∠θV |I|∠θI

= |V| |I|

∠(θV − θI) (Ω) =

６. まとめ

実験により得られた知見を箇条書きにして整理してください。


8-1

第８回交流回路の基本動作１

－直列抵抗・並列抵抗接続のインピーダンス－１. 目的

ここでは正弦波交流（AC）における抵抗器（Resistor）の基本動作について学ぶ。抵抗器を接続した回路

には直列回路（Series circuit）と並列回路（Parallel circuit）がある。交流回路では、抵抗器等に加えた電圧

と電流との間の比例定数をインピーダンス Z（その逆数はアドミタンス Y）という。実験では、抵抗器を接続

した交流回路の電圧波形と電流波形の双方を観測し、直列接続による電圧の分圧、および並列接続による電流

の分流動作について理解する。

2. 理論

2.1 抵抗器 Rのインピーダンス Z

前回の実験「正弦波交流の波形」においてすでに学習した通り、図 8-1 に示す回路において正弦波交流電圧

v(𝑡) = |V|√2 sin(ω𝑡 + θ) (V)が抵抗 R (Ω)の両端に加わったとき、抵抗 Rに流れる電流 i(t)はオームの法則より

瞬時式 i(𝑡) = v(𝑡)R

= |V|√2sin(ω𝑡+θ)R

= |V|√2ZR

sin(ω𝑡 + θ) (A)

フェーザ表示 I = VR

= |V|∠θR

= |V|R∠θ = |V|

ZR∠θ (A)

ZR = R (Ω) (1)

になる。ここで、交流電圧と交流電流との間の比例定数ZR [Ω]を抵抗 R

のインピーダンス（Impedance）という。インピーダンス Z の単位はΩ

（Ohm）であり、直流回路の抵抗値と同じ単位である。

2.2 インピーダンスの直列接続

２個以上の抵抗（インピーダンス）を１列に接続した構成を直列接続という。直列接続では、各抵抗に流れ

る電流が同じ値であるため、電圧を各抵抗に分けるように動作する。これを電圧の分圧という。このような分

圧動作は直流と交流に関わらず同様である。

図 8-2 に示すようにｎ個の抵抗器を直列に接続した場合、その両端 a-b 間の合成インピーダンス Zabは各抵

抗器のインピーダンス Z1, Z2, ･･･, Zn (Ω)の和に等しい。

Zab = Z1 + Z2 + ⋯+ Zn (Ω) (2)

個々のインピーダンス Zi (i=1,2,･･･,n)の両端の

電圧降下（電位差、電圧は同じ意味）Vi (V)は、

オームの法則から次のようになる。

Vi = ZiIab (3)

個々の電位差 Vi の総和は端子 ab 間の電圧 Vab

に等しいので、次のようになる。

図 8-1 抵抗 R

図 8-2 インピーダンスの直列接続

No.８交流回路の基本動作１

8-2

Vab = V1 + V2 + ⋯+ Vn = (Z1 + Z2 + ⋯+ Zn) Iab (4)

したがって、電圧の分圧は各インピーダンスの比に配分される。

V1 ∶ V2 : ･･･ ∶ Vn ∶ Vab = Z1 ∶ Z2 : ･･･ ∶ Zn ∶ Zab (5)

∴ Vi = ZiZab

Vab (6)

すなわち、個々のインピーダンス Zi の両端の電圧は Zi に比例し、大きいインピーダンスの両端には大きな電

圧を取り出すことができる。

2.3 インピーダンスの並列接続

２個以上の抵抗を並列に接続した構成を並列接続という。並列

接続では、各抵抗に加わる電圧が同じ値であるため、電流を各抵

抗に分けるように動作する。これを電流の分流という。このよう

な分流動作は直流と交流に関わらず同様である。

図 8-3 に示すようにｎ個の抵抗を並列に接続した場合、その両

端 a-b 間の合成インピーダンス Zabは各抵抗のインピーダンス Z1,

Z2, ･･･, Zn (Ω)の逆数の和の逆数に等しい。

Zab = 1

1Z1+ 1Z2+⋯+ 1

Zn

(Ω) (7)

各インピーダンス Zi (i=1,2,･･･,n)に流れる電流 Ii (A)は、オームの

法則から次のようになる。

Ii = VabZi

(8)

個々の電流 Iiの総和は、端子 ab 間に流れる全体の電流 Iabに等し

いので、次のようになる。

Iab = I1 + I2 + ⋯+ In = 1Z1

+ 1Z2

+ ･･･ + 1Zn Vab (9)

したがって、電流の分流は各インピーダンスの比に配分される。

I1 ∶ I2 : ･･･ ∶ In ∶ Iab = 1Z1∶ 1Z2

: ･･･ ∶ 1Zn∶ 1Zab

(10)

∴ Ii = ZabZi

Iab (11)

すなわち、個々のインピーダンス Ziに流れる電流は Ziに反比例して分流する。

３. 実験方法

図 8-4 に実験装置の概略を示す。正弦波交流の供試電源には、商用電源（周波数 50 Hz,実効値 100 V）を

変圧器により降圧（実効値約 14 [V]）させるユニット（変圧回路ユニット）を用いる。この出力電圧（端

子:黄-黒タップ間）を供試回路の端子 a-b 間に印加して正弦波交流の入力電圧 v(t)とする。その際、変圧回

路ユニットと端子 aの間には、抵抗 100 Ωを挿入して供試回路に流れる電流を制限する。供試回路は、Bread

図 8-3 インピーダンスの並列接続


8-3

Board（Sunhayato, SRH-32）に負荷 Z を配置し、リード線により配線して構成する。電圧の測定は、電圧プ

ローブ（Tektronix, P2220）を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により行う。電流の測定は、

電流プローブ（Tektronix, A622）を用いてオシロスコープにより行う。電流プローブのクランプ方向は、図

8-4に示した端子 a 側を正(Positive)にする。オシロスコープの Couplingは ACに設定する。

図 8-4 実験装置の概略図

3.1 直列インピーダンスの電圧とその電流の観測（分圧回路）

端子 ab間の負荷 Z には、図 8-5 に示すように抵抗器３個（各インピーダンスは Z1=3 Ω、Z2=5.6 Ωおよ

び Z3=10 Ω）を直列接続する。それぞれの抵抗値はテスターにより確認する。各接点 a、P1、P2の電圧波形

は電圧プローブを用いて観測する。その際、電圧プローブの GNDクリップは端子 b（電位 0 V）に接続し、端

子 bから見た接点 a、P1、P2 の電位差（電圧）の最大値と実効値を測定する。また、接点 a、P1、P2の電流

は電流プローブを用いて測定する。

3.2並列インピーダンスの電圧とその電流の観測（分流回路）

端子 ab間の負荷 Z には、図 8-6 に示すようにインピーダンスが Z1, Z2, Z3, Z4の抵抗器を１～４個まで順に

並列接続して供試する。ここで、Z1= Z2=51 Ω、Z3=5.6 Ω、Z4=10 Ωとする。それぞれの抵抗値はテスタ

ーにより確認する。接点 ab 間の電位差（電圧）、および各抵抗器に流れる電流を測定する。

図 8-5 直列インピーダンスによる供試負荷 Z


8-4

図 8-6 並列インピーダンスによる供試負荷 Z

４. 実験結果

実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表８-１から表８-２にまとめて整理する。

表８-１直列インピーダンスの電圧と電流の観測結果（分圧回路）

接点抵抗器

(Ω)

電流電位差（電圧）電圧降下 (V)

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

最大値 Vm (V)

実効値 |V| (V)

電位差より求めた値

オームの法

則より求め

た値 ※２

a |Ia|

|Va|

a-P1 間 Z1

V1 =|Va|－|VP1| =

V1 =|Iab|×Z1

=

P1 |IP1|

|VP1|

P1-P2

間

Z2

V2 =|VP1|－|VP2| =

V2 =| Iab |×Z2

=

P2 |IP2|

|VP2|

P2-b 間 Z3

V3 =|VP2|－|Vb| =

V3 =| Iab |×Z3

=

b |Ib|

０

|Vb|

０

a-b 間の合成インピ

ーダンス|Zab| a-b 間の電流|Iab| ※１

a- b 間の電圧降下|Vab| ※３

(Ω) (mA) (V) (V)

※１ |Ia|～|Ib|の平均より求めた値 ※２ | Iab |は※１で求めた値 ※３ V1～V3の合計より求めた値


8-5

表８-２並列インピーダンスの電圧と電流の観測結果（分流回路）

抵抗器

100 Ω

並列数

接点 ab間各抵抗器に流れる電流接点 ab間の電流 Iab (mA)

合成イン

ピーダン

ス Zab (Ω)

電圧

|Vab| (V) |I1| (mA) |I2| (mA) |I3| (mA) |I4| (mA) 測定による

値 ※１計算による

値 ※２

１個

２個

３個

４個

※１ |I1|～|I4|の合計より求めた値 ※２オームの法則|Vab|／Zabより求めた値

５. 考察

5.1分圧回路の結果（表 8-1）について

(1) インピーダンス Z1, Z2, Z3の各両端電圧 V1, V2, V3の測定結果から、印加電圧 Vabが各インピーダンスの

比に配分されていることを確かめよ。

V1 ∶ V2 : V3 ∶ Vab = Z1 ∶ Z2 : Z3 ∶ Zab

(2) インピーダンス Z1, Z2, Z3の直列接続のため、測定電流|Ia|, |IP1|, |IP2|, |Ib|がほぼ等しいことを確か

めよ。

(3) 端子 a- b 間の電圧降下 Vabについて、電位差より求めた値とオームの法則より求めた値がほぼ一致して

いることを確かめよ。


8-6

(4) 端子 ab 間の電流 Iab、電圧降下 Vabについて、それぞれ瞬時式とフェザーの極形式を求めよ。

また、端子 ab 間の合成インピーダンス Zabについてフェザーの極形式を求めよ。

iab(𝑡) = |Iab|√2 sin(2πf𝑡 + θI) (A) =

Iab = |Iab|∠θI (A) =

vab(𝑡) = |Vab|√2 sin(2πf𝑡 + θV) (V) =

Vab = |Vab|∠θV (V) =

Zab = |Zab|∠θR (Ω) =

5.2分圧回路の結果（表 8-2）について

(5) インピーダンス Z1, Z2, Z3, Z4に流れた電流 I1, I2, I3, I4の測定結果から、全電流 Iabが各インピーダンス

の逆数比に配分されていることを確かめよ。

I1 ∶ I2 : I3 ∶ I4 ∶ Iab = 1Z1∶ 1Z2∶ 1

Z3∶ 1

Z4∶ 1Zab

(6) 端子 a b 間の電流 Iabについて、測定値と計算値がほぼ一致していることを確かめよ。

６. まとめ

実験により得られた知見を箇条書きにして整理してください。


9-1

第９回交流回路の基本動作２

RL直列回路のインピーダンスと電流の遅れ１. 目的

ここでは抵抗 R とインダクタンス（コイル）L の直列回路について学ぶ。R と L の直列による合成インピ

ーダンスの大きさとそれによって決まる電流の大きさを及び位相角について調べる。Ｌによる電流の位相遅

れは交流回路を理解する上で基本となる事項であり、本実験では理論値を求めた後に、実際に遅れの位相角

を測定し理論値と比較する。電圧信号と電流信号の位相差は前実験と同様にオシロスコープの波形観測より

求める。

2. 理論

2.1 ＲＬ直列回路

＜記号法による取り扱い＞

正弦波交流の瞬時値表示とその扱いは前実験において学習した。また、インダクタンスＬに正弦波交流が

流れると電磁誘導作用による逆起電力発生が電流を制限する抵抗成分となり、Ｌに流れる電流はＬに掛かる

電圧に対して 90°の位相遅れを生じることを学んだ。

正弦波交流を扱う場合、時間に対する変化（時間微分）が位相の変化を伴う正弦波となるため、複素記号

法を導入することで位相遅れを正しく扱うことができる。ここでは、初年次に学習した複素記号法を用いて

ＲＬ直列回路の解析を行っておく。

右図のようなＲＬ直列回路（図 9-1）において、電源電圧の

起電力をＥ、角周波数ω、周波数ｆとするときインピーダンスＺ

及び電流Ｉは以下のように書ける。

　fLjRLjRZ πω 2+=+= (1)

即ち、複素数によって大きさと位相角を有するベクトル量を示す方法である。ここで、極座標表示を導入

すると、大きさと位相角を分離して表示できるので実用上のメリットが大きい。

　　θωωω ∠=∠+=+= − ZRLLRLjRZ 122 tan)( (2)

尚、ここではベクトルの表示法として、オイラーの公式を

θθ ∠== AeAA j (3)

を用いて便宜的に表示している。この表示法は A が大きさ、 θ∠ が位相角を示すことからベクトルの積

や商の計算が非常に簡単にできる利点がある。

図 9-1 RL 直列回路

L

R E (ω)

I

No.9 交流回路の基本動作２

9-2

したがって、回路に流れる電流値 I は

　　)( θφθ

φ−∠=

∠

∠==

Z

E

Z

EZEI (4)

と得られる。尚、電源電圧の位相角が０°の場合には次式となる。

　　θθ

−∠=∠

==Z

E

Z

EZEI (5)

以上により、ＲＬ直列回路に流れる電流は電源電圧に比べて位相角θ遅れることがわかる。この位相角は

RL 合成インピーダンスの角度θで決まるものであるから、インピーダンスが回路に流れる電流の大きさと

位相角を決定することが理解できる。

次にＲ及びＬの端子電圧 VRと VLを調べる。素子の端子電圧はインピーダンスと電流の積で与えられるか

ら次式となる。

　　IRVR = (6)

　　°∠=°∠== 9090 LIILLIjVL ωωω (7) したがって、Ｒの端子電圧は電流と同相であり、Ｌの端子電圧は電流より 90°進んでいることがわかる。

インダクタンスＬの基本はＬに掛かる電圧よりも電流の位相が 90°遅れることであるから、Ｉを基準に考え

れば端子電圧は 90°進んでいることになる。

実験において電源電圧ＥとＩの位相差を調べるには、Ｉと同じ位相を有するＲの端子電圧 VR の位相をＥ

と共にオシロスコープで観察すればよいことがわかる。

３. 実験方法

図 9-2 にＲＬ直列回路の結線図の概略を示す。正弦波交流電圧は、前回実験で用いたように商用電源（周

波数 50 Hz,実効値 100 V）を変圧器により降圧（実効値約 14 V）させて用いる。また、実験に利用するＲ

とＬの許容電流値が小さいために、電流制限用の 100 Ωの抵抗を直列に挿入する。この 100 Ωの抵抗を出た

後の電圧 VabがＲＬ回路への入力電圧となる。ＲとＬは実験グループ毎に配布されるので、それらについて理

論解析を行なった後に実験を行なう。本実験で用いる標準のＲとＬはＲ＝10 Ω、Ｌ＝10 mH である。

配線はブレッドボード上に行なうが、本実験で用いるＬはサイズが大きいためブレッドボードには直接実

装せず、外部に置いてリード線で配線を行なう。入力電圧 e(t) (実効値Ｅ)は、電圧プローブ（Tektronix, P2220）

を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。また、回路に流れる電流 i(t)(実効値Ｉ)

の瞬時波形はＲの端子電圧をオシロスコープに入力して観測する。電流波形は、電流プローブ（Tektronix,

A622）を用いて観測することができるが、本実験ではＲの端子電圧として観測する。


9-3

図 9-2 ＲＬ直列回路の実験の結線図


3.1 電源電圧と電流の観測

まず、回路への入力電圧Ｖab(t)をオシロスコープの ch1 入力とする。オシロスコープの主要な操作 ① オ

ートセット（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④ 垂直軸コント

ロール（Vertical）Ch1と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、入力電圧波形

を観測し、波高値を読み取る。

次に、回路の電流波形を観測するために抵抗Ｒの端子電圧 VLをオシロスコープの ch2入力とする。ch1と

ch2の２チャネルを同時に観測し、両者の位相差を読む。まず、ch1の電源電圧波形を初期位相 0の位置に合

わせ、その時の ch2の波形の時間差を記録する。１周期の時間は 20 msであるから、得られた時間差を位相

差に換算する。また、電流の大きさは ch2 の電圧信号をＲの値で割って算出する。

以上の測定によって、ＲＬ直列回路の電流の大きさ及び電源電圧との位相差θを得る。これらの値を実験

結果の表に記入し、先に行なった理論解析結果と比較検討する。

3.2 ＲとＬの端子電圧の測定

Ｒの端子電圧VRとＬの端子電圧VLを測定し、両者と電源電圧Ｅとの大きさの関係について検討する。また、

これらを同時にオシロスコープで観測することで、VLと電流の位相の関係を検討する。

Vab(t)

14V

14V

0V

商用周波電源

AC 100 V, 50 Hz

a

b

スイッチ S

降圧トランス

R0 100 Ω

変圧回路

L

ch1 R

ch2

I


9-4

４. 実験結果

4-1 標準の RL を利用した場合


表１ＲＬ直列回路の電源電圧Ｅ(=Vab)と電流Ｉの観測結果

負荷 R ＝ 10 Ω, L = 10 mH

インピーダンス Z = + j (Ω)

入力電圧 e(t)

最大値 Em (V)

実効値 |E| (V)

周期 T (ms)

初期位相 θV (°)

平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)*

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） θI (°)

平均

平均

平均

平均

*電流はＲの端子電圧 VRを観測して VR/R から算出する。

表２ＲＬ直列回路の Rと L の端子電圧の観測結果

負荷 R ＝ 10 Ω, L = 10 mH


L の端子電圧

e L(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VL| (V)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

０（基準）

R の端子電圧

e R(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VR| (V)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

平均

※ 標準の R,Lに対する測定が終わったら他の R,Lの組合せに対して実験を行い、次頁の表に

結果を記録すること。


9-5

4-2 他の RLを利用した場合


表１ＲＬ直列回路の電源電圧Ｅ(=Vab)と電流Ｉの観測結果

負荷 R ＝ Ω, L = mH


入力電圧 e(t)

最大値 Em (V)

実効値 |E| (V)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)*

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

平均


表２ＲＬ直列回路の Rと L の端子電圧の観測結果

負荷 R ＝ Ω, L = mH


L の端子電圧

e L(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VL| (V)

周期 T (ms)

初期位相 θL (°)

平均

平均

平均

０（基準）

R の端子電圧

e R(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VR| (V)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） θR (°)

平均

平均

平均

平均


9-6

５. 考察

5.1 実験で用いたＲＬ直列回路について理論解析を行なった結果を纏める。

(1) インピーダンスの記号法表示を求め、大きさと位相角を書け。

(2) 電流制限用の抵抗 R0 = 100 Ωの抵抗を出た後の電圧 Vabを極座標表示で求めよ。この電圧がＲＬ回路へ

の入力電圧となる。尚、トランスの出口の電圧は 14 Vとせよ。この結果から、Vabの位相角は非常に小さ

く、ＲＬ直列回路への入力電圧の位相角を近似的に 0°と扱えることが確認できる。

(3) ＲＬ直列回路の入力電圧 Vabを電源電圧として、回路に流れる電流Ｉを極座標表示で求めよ。

5.2 実験結果と理論解析の結果を比較検討する。

(4) 観測結果（表１）より、電流の大きさと電源電圧との位相差を(3)で求めた理論値と比較せよ。測定値と

理論値にずれがあれば、その原因を考察せよ。

(5) 観測結果（表２）より、Ｒ及びＬの端子電圧と電源電圧の大きさの関係及び位相差を理論値と比較せよ。

測定値と理論値にずれがあれば、その原因を考察せよ。

(6) 本実験で測定したＲＬ直列回路のフェーザ図を描いてみよ。

６. まとめ



10-1

第１０回交流回路の基本動作

RC直列回路のインピーダンスと電流の進み１. 目的

ここでは抵抗 R とキャパシタンス（静電容量）Ｃの直列回路について学ぶ。R とＣの直列による合成イン

ピーダンスの大きさとそれによって決まる電流の大きさを及び位相角について調べる。Ｃによる電流の位相

の進みは交流回路を理解する上で基本となる事項であり、本実験では理論値を求めた後に、実際に進みの位

相角を測定し理論値と比較する。電圧信号と電流信号の位相差は前実験と同様にオシロスコープの波形観測

より求める。

2. 理論

2.1 ＲＣ直列回路

＜記号法による取り扱い＞

正弦波交流の瞬時値表示とその扱いは実験８において学習した。キャパシタンスＣは直流電圧に対しては

極板に一定の電荷が蓄積して定常的な電流は流れない。一方、Ｃに正弦波交流を印加すると極板間に電荷移

動が生じるために電流が流れることになる。この電流は電荷の時間変化によって決まるために、正弦波交流

に対する抵抗成分となり、その値は周波数が高いほど小さくなる。Ｃに流れる電流はＣに掛かる電圧に対し

て 90°位相が進むことになる。

正弦波交流を扱う場合、時間に対する変化（時間微分）が位相の変化を伴う正弦波となるため、複素記号

法を導入することで位相遅れを正しく扱うことができる。ここでは、初年次に学習した複素記号法を用いて

ＲＣ直列回路の解析を行っておく。

右図のようなＲＣ直列回路（図 10-1）において、電源電圧の

起電力をＥ、角周波数ω、周波数ｆとするときインピーダンスＺ

及び電流Ｉは以下のように書ける。

　　fC

jRC

jRZπω 211

−=−= (1)

即ち、複素数によって大きさと位相角を有するベクトル量を示す方法である。ここで、極座標表示を導入

すると、大きさと位相角を分離して表示できるので実用上のメリットが大きい。

　　)(1tan)1(1 122 θωωω

−∠=−

∠+=−= − ZCRC

Rc

jRZ (2)

尚、ここではベクトルの表示法として、オイラーの公式を

θθ ∠== AeAA j (3)

を用いて便宜的に表示している。この表示法は A が大きさ、 θ∠ が位相角を示すことからベクトルの積

や商の計算が非常に簡単にできる利点がある。

図 10-1 RC 直列回路

C

R E (ω)

I

No.10 交流回路の基本動作３

10-2

したがって、回路に流れる電流値 I は

　　)()(

θφθ

φ+∠=

−∠

∠==

Z

E

Z

EZEI (4)

と得られる。尚、電源電圧の位相角が０°の場合には次式となる。

　　θθ

∠=−∠

==Z

E

Z

EZEI

)( (5)

以上により、ＲＣ直列回路に流れる電流は電源電圧に比べて位相角θだけ進むことがわかる。この位相角

は RＣ合成インピーダンスの角度θで決まるものであるから、インピーダンスが回路に流れる電流の大きさ

と位相角を決定することが理解できる。

次にＲ及びＣの端子電圧 VRと VCを調べる。素子の端子電圧はインピーダンスと電流の積で与えられるか

ら次式となる。　　IRVR = (6)

　　)90()90(11°−∠=°−∠=−=

CII

CI

CjVC ωωω

(7)

したがって、Ｒの端子電圧は電流と同相であり、Ｃの端子電圧は電流より 90°遅れていることがわかる。

キャパシタンスＣの基本はＣに掛かる電圧よりも電流の位相が 90°進むことであるから、Ｉを基準に考えれ

ば端子電圧は 90°遅れていることになる。

実験において電源電圧ＥとＩの位相差を調べるには、Ｉと同じ位相を有するＲの端子電圧 VR の位相をＥ

と共にオシロスコープで観察すればよいことがわかる。

３. 実験方法

図 10-2にＲＣ直列回路の結線図の概略を示す。正弦波交流電圧は、前回実験で用いたように商用電源（周

波数 50 Hz,実効値 100 V）を変圧器により降圧（実効値約 14 V）させて用いる。また、実験に利用するＲ

とＣの許容電流値が小さいために、電流制限用の 100 Ωの抵抗を直列に挿入する。この 100 Ωの抵抗を出た

後の電圧 VabがＲＣ回路への入力電圧となる。ＲとＣは実験グループ毎に配布されるので、それらについて理

論解析を行なった後に実験を行なう。本実験で用いる標準のＲとＣはＲ＝10 Ω、Ｃ＝470 μFである。

配線はブレッドボード上に行なう。入力電圧 e(t) (実効値Ｅ)は、電圧プローブ（Tektronix, P2220）を用

いてオシロスコープ（Tektronix, TDS2002B）により観測する。また、回路に流れる電流 i(t)(実効値Ｉ)の瞬

時波形はＲの端子電圧をオシロスコープに入力して観測する。電流波形は、電流プローブ（Tektronix, A622）

を用いて観測することができるが、本実験ではＲの端子電圧として観測する。


10-3

図 10-2 ＲＣ直列回路の実験の結線図


3.1 電源電圧と電流の観測

まず、回路への入力電圧Ｖab(t)をオシロスコープの ch1 入力とする。オシロスコープの主要な操作 ① オ

ートセット（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④ 垂直軸コント

ロール（Vertical）Ch1と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、入力電圧波形

を観測し、波高値を読み取る。

次に、回路の電流波形を観測するために抵抗Ｒの端子電圧 VLをオシロスコープの ch2入力とする。ch1と

ch2の２チャネルを同時に観測し、両者の位相差を読む。まず、ch1の電源電圧波形を初期位相 0の位置に合

わせ、その時の ch2の波形の時間差を記録する。１周期の時間は 20 msであるから、得られた時間差を位相

差に換算する。また、電流の大きさは ch2 の電圧信号をＲの値で割って算出する。

以上の測定によって、ＲＣ直列回路の電流の大きさ及び電源電圧との位相差θを得る。これらの値を実験

結果の表に記入し、先に行なった理論解析結果と比較検討する。

3.2 ＲとＣの端子電圧の測定

Ｒの端子電圧VRとＣの端子電圧VCを測定し、両者と電源電圧Ｅとの大きさの関係について検討する。また、

これらを同時にオシロスコープで観測することで、VCと電流の位相の関係を検討する。

Vab(t)

C

ch1 R

ch2

I

14V

14V

0V

商用周波電源

AC 100 V, 50 Hz

a

b

スイッチ S

降圧トランス

R0 100 Ω

変圧回路


10-4

４. 実験結果

4-1 標準の RC を利用した場合


表１ＲＣ直列回路の電源電圧Ｅ(=Vab)と電流Ｉの観測結果

負荷 R ＝ 10 Ω, C = 470 μF

インピーダンス Z = － j (Ω)

入力電圧 e(t)

最大値 Em (V)

実効値 |E| (V)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)*

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

平均


表２ＲＣ直列回路の Rと C の端子電圧の観測結果

負荷 R ＝ 10 Ω, C = 470 μF


C の端子電圧

e C(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VC| (V)

周期 T (ms)

初期位相 ΘC (°)

平均

平均

平均

０（基準）

R の端子電圧

e R(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VR| (V)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） ΘR (°)

平均

平均

平均

平均

※ 標準の R,Cに対する測定が終わったら他の R,Cの組合せに対して実験を行い、次頁の表に

結果を記録すること。


10-5

4-2 他の RCを利用した場合


表１ＲＣ直列回路の電源電圧Ｅ(=Vab)と電流Ｉの観測結果

負荷 R ＝ Ω, C = μF


入力電圧 e(t)

最大値 Em (V)

実効値 |E| (V)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

０（基準）

電流 i(t)*

最大値 Im (mA)

実効値 |I| (mA)

周期 T (ms)


平均

平均

平均

平均


表２ＲＣ直列回路の Rと C の端子電圧の観測結果

負荷 R ＝ Ω, C = μF


C の端子電圧

e C(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VC| (V)

周期 T (ms)

初期位相 ΘC (°)

平均

平均

平均

０（基準）

R の端子電圧

e R(t)

最大値 Vm (V)

実効値 |VR| (V)

周期 T (ms)

初期位相（位相差） ΘR (°)

平均

平均

平均

平均


10-6

５. 考察

5.1 実験で用いたＲＣ直列回路について理論解析を行なった結果を纏める。

(1) インピーダンスの記号法表示を求め、大きさと位相角を書け。

(2) 電流制限用の抵抗 R0 = 100 Ωの抵抗を出た後の電圧 Vabを極座標表示で求めよ。この電圧がＲＣ回路へ

の入力電圧となる。尚、トランスの出口の電圧は 14 Vとせよ。この結果から、Vabの位相角は非常に小さ

く、ＲＣ直列回路への入力電圧の位相角を近似的に 0°と扱えることが確認できる。

(3) ＲＣ直列回路の入力電圧 Vabを電源電圧として、回路に流れる電流Ｉを極座標表示で求めよ。

5.2 実験結果と理論解析の結果を比較検討する。

(4) 観測結果（表１）より、電流の大きさと電源電圧との位相差を(3)で求めた理論値と比較せよ。測定値と

理論値にずれがあれば、その原因を考察せよ。

(5) 観測結果（表２）より、Ｒ及びＣの端子電圧と電源電圧の大きさの関係及び位相差を理論値と比較せよ。

測定値と理論値にずれがあれば、その原因を考察せよ。

(6) 本実験で測定したＲＣ直列回路のフェーザ図を描いてみよ。

６. まとめ



11-1

第１１回交流電力１. 目的

ここでは正弦波交流回路における電力について学ぶ。交流電力は電圧と電流の大きさが時間に対して変化

するので、その積である電力の大きさも時間的に変化する。そのため、直流のように簡単ではなく回路素子

の構成により有効電力、無効電力、皮相電力、力率などが定義される。AC（交流）の表現には三角関数によ

る表示（瞬時値表示）、または実効値と位相のみによる表示（フェーザ表示）がある。ここではオシロスコー

プを使用して R-C 直列回路に交流電源を加えたときの AC の電圧波形と電流波形の双方からを観測し、有効

電力、無効電力、皮相電力、力率、位相などを理解する。

2. 理論

2.1 基本回路素子と瞬時電力

これまで学んだ素子には抵抗 R、インダクタンス L、コンデンサ C が存在する。例えば、R と L における

直列回路の瞬時電力 p=v･i について調べると表 11.1 のように表現される。

表 11.1 R、L 単一回路素子における電力の計算

抵抗 R インダクタンス L

瞬時電流 i 𝑖 = √2I sin𝜔𝑡 (A) 𝑖 = √2I sin𝜔𝑡 (A) 瞬時電圧 v 𝑣 = √2𝑅I sin𝜔𝑡 (V) 𝑣 = √2𝜔𝐿I sin(𝜔𝑡 + 90°) (V)

= √2𝜔𝐿I cos 𝜔𝑡 瞬時電力 p=v･i p= 2𝑅I2 sin2𝜔𝑡

= 𝑅I2 − 𝑅I2 cos 2𝜔𝑡 (W)

p= 2𝜔𝐿I2 sin𝜔𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜔t

= 𝜔𝐿I2 sin2𝜔𝑡 (W)

平均電力 P P= 𝑅I2 (W) P= 0 (W)

ただし、表中の式の誘導には次の公式を用いている。

2sin2𝜃 = 1－cos 2𝜃 、2sin𝜃･𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑖𝑛2𝜃 上表で平均電力を求める際、R ではｐの式中にある第二項は時間的に変化するが、平均するとこの項は０とな

る。（１周期の平均値も同じ）したがって、時間的に変化しない第１項が残ることになる。L についても同様

で、瞬時電力は正負を交互に繰り返していることになる。正の場合は、電源からエネルギーが供給されること

を示し、負の場合は、エネルギーを電源に返還していることになる。即ち、エネルギーのやりとりをしている

だけで消費していないことから変化する項については考えなくてもよく、消費する電力は零となる。

2.2 複合素子による交流回路の電力

図 11.1 に示すＲＬ直列回路に瞬時電圧ｖを印加したとき、遅れ位相の瞬時電流 i

が流れることになる。ここで、電圧の実効値を V、電流の実効値を I とすると

𝑣 = √2V sin𝜔𝑡 𝑖 = √2I sin(𝜔𝑡 − 𝜃) p = 𝑣𝑖 = 2𝑉𝐼sin𝜔𝑡 ･𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝜃)

図 11.1 ここで、加法定理の公式2sin𝜃1･sin𝜃2 = －［cos(𝜃1+𝜃2)－cos(𝜃1−𝜃2)］を用い、

LR

i

v

No.１１交流電力

11-2

𝜃1 ＝ 𝜔𝑡、𝜃2 ＝ 𝜔𝑡 − 𝜃 と置き換えると上式の瞬時電力 p は

p = 2𝑉𝐼・−１

２［cos｛𝜔𝑡＋(𝜔𝑡 − 𝜃)－cos｛𝜔𝑡＋(𝜔𝑡 − 𝜃)｝］

p = 𝑉𝐼・［cos𝜃－cos (2𝜔𝑡 − 𝜃)］ (11.1)

図 11.2 交流電力，電圧，電流波形

交流回路の平均電力(average power) P は有効電力とも呼ばれ、瞬時電力ｐの 1 周期の平均値で定義され、次

のようになる。

P = １𝑇 ∫ ｐ𝑑𝑡𝑇

0 = １

𝑇 ∫ 𝑉𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃－𝑐𝑜𝑠 (2𝜔𝑡 − 𝜃) 𝑑𝑡𝑇0 = 𝑉𝐼

𝑇 [𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃－ 1

2𝜔𝑠𝑖𝑛(2𝜔𝑡 − 𝜃) − − 1

2𝜔 𝑠𝑖𝑛(−𝜃)

上式に𝜔𝑡=2πを代入して

P = 𝑉𝐼𝑇

[𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃－ 12𝜔𝑠𝑖𝑛(−𝜃) + 1

2𝜔 𝑠𝑖𝑛(−𝜃)

= VI 𝑐𝑜𝑠𝜃 (11.2) 図 11.2 は、これまでの式にある v、i、p、P の時間変化を示したものである。

P は、有効電力(effective power)または消費電力と呼ばれているもので、単位はワット（W）である。すな

わち、RL 直列回路においても電力は結局、表 11.1 に示したように抵抗だけによって消費されることになる。

Ｐ= VI 𝑐𝑜𝑠𝜃 = RI2 = VRI （W） (11.3)

ここで、θは V と I との位相差の角であり、𝑐𝑜𝑠𝜃 は力率(power factor)と呼ばれるもので電源から負荷に供給

された電力が、どの程度負荷で消費されたかを表している。また、見かけ上の電力 VI を皮相電力(apparent

power) といい、単位はボルトアンペア［V･A］を用いる。このとき L では、V と I との位相差は θ = 90°で

あるから𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 となりリアクタンスだけの回路の電力は表 11.1 に示したように P = VI 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 となる。

2.3 有効電力と無効電力および皮相電力

図 11.1 の R-L 直列回路に電流 I が流れた場合の交流電力を複素数表示すると次式のようになる。

𝑎 = 𝑃＋𝑗 𝑄 = 𝑉𝐼 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 𝜃) (11.4)

p

v

i

ωｔ

p,v,

i,P

π0

θ

P=VI cosθ


11-3

= 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 (11.5) （11.2）式において、𝑎 は皮相電力であり電源から負荷に供給する電

力を表し、P (= VI𝑐𝑜𝑠 𝜃) は有効電力のことで負荷の実部（抵抗）が消

費する電力である。𝑄 (= VI𝑠𝑖𝑛 𝜃) は無効電力 (reactive power) と呼ば

れ、負荷の虚部 (リアクタンス分) が蓄積する電力を表しており、単位

はバール［Var］を用いる。これらのフェーザ図は、図 11.3 のように示

図 11.3 され、次式のように表現される。

𝑃𝑎 = 𝑃2 + 𝑄2 = VI |𝑍| = √𝑅2 + 𝜔𝐿2 とすると

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑃𝑃𝑎

= 𝑃𝑉𝐼

= 𝑅

|𝑍| = 𝑅𝑍

𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑄𝑃𝑎

= 𝑄𝑉𝐼

= 𝜔𝐿|𝑍| =

𝜔𝐿𝑍

また、Ｒ-C 直列回路に電流 I が流れた場合のインピーダンスと電圧、電流のフェーザ図を図 11.4 に示している。c𝑜𝑠𝜃、𝑠𝑖𝑛𝜃は上記と同様に読み取ることができる。このとき、電流は電圧より位相がφ進むことになる。 = 𝑅 − 𝑗 (1/𝜔𝐶) |𝑍1| = 𝑅2 + (1/𝜔𝐶)2

図 11.4

𝑡𝑎𝑛φ = −１ 𝜔𝐶𝑅

３. 実験方法

図 11.5 に実験装置の概略を示す。正弦波交流の供試電源には、商用電源[周波数 50 [Hz],実効値 100 （V）]

を変圧器により降圧［実効値約 14(V)]させるユニット（変圧回路ユニット）を用いる。この出力電圧（端



Board（Sunhayato, SRH-32）に負荷 Z を配置し、リード線により配線して構成する。入力電圧 v(t) は、電圧

プローブ（Tektronix, P2220）を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。併せて、

負荷 Z に流れる電流 i(t)は、電流プローブ（Tektronix, A622）を用いて電流-磁界-電圧へ変換し、オシロス

コープにより観測する。電流プローブのクランプ方向は、図 11.5 に示した端子 a 側を正(Positive)にする。


θ

VIjQ

P

θ

Zｊ ωL

R

φ

Z1

ｊ- (1/ωC)

R

φ

Vｊ- (1/ωC)I

RII

Ω


11-4


実験は、R-L 直列回路、R-C 直列回路のいずれにおいても可能である。力率𝑐𝑜𝑠𝜃の変更は、回路にあるいずれ

か 1 つの素子を一定にし、他の素子を可変することによりその変化を確認することができる。実験では、まず

抵抗回路における位相 θについて確認する。次に、R-C 直列回路について実験し、その特性を測定する。

3.1 抵抗 Rに加えた電圧とその電流の観測

負荷 Z に R=10 Ωの抵抗を接続する。まず、端子 ab 間の入力電圧 v(t)について、オシロスコープの主要

な操作 ① オートセット（Auto set）、② トリガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④

垂直軸コントロール（Vertical）Ch1と Ch2、⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、

入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に観測する。その際、電圧と電流の両者について、最大値（Vm, Im）、実効値（|V|,

|I|）ならびに両者の位相差（θ）を測定する。ただし、入力電圧 v(t)の初期位相はθ=0°、電流 i(t)の初期

位相θは v(t)からの位相差とする。電圧プローブ（感度）とオシロスコープ CH1（垂直軸）を各々×10 に設

定する。電流プローブ（感度）とオシロスコープ CH2（垂直軸）を各々100mV/Aに設定する。

3.2 R－C 直列回路に加えた電圧とその電流の観測

負荷 Z に R=10 Ωの抵抗と C=470 μF のコンデンサを直列に接続する。上記 3.1 と同様に入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に最大値（Vm, Im）、実効値（|V|, |I|）ならびに両者の位相差（θ）を測定する。その際、電

流が電圧より位相が進んでいることを確認する。また、これらの関係は理論式からも検討することができる

ので考察（２）において比較して下さい。

４. 実験結果

3.1と 3.2 の実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表 11.2と表 11.3にまとめる。

表 11.2 抵抗 Rに加えた電圧とその電流の測定結果

負荷 R ＝ (Ω)

インピーダンス ZR ＝R ＝ (Ω)

電圧と電流の位相差初期位相の確認 θ＝ ( ° )

電圧最大値 Vm (V) 実効値 | V | (V)

３回の測定とその平均

値

電流最大値 Im (mA) 実効値 | I | (mA)


値

電圧と電流の位相差 θ ( ° )


値


11-5

表 11.3 R－C 直列回路に加えた電圧とその電流の測定結果

負荷 R ＝ (Ω)、 C = (μF)

インピーダンス

|𝑍| = 𝑅2 + (1/𝜔𝐶)2

Z ＝ (Ω)

電圧と電流の位相差 𝜃＝ 𝑡𝑎𝑛−1 −１ 𝜔𝐶𝑅 θ＝ ( ° )



値

電流最大値 Im (mA) 実効値 | I | (mA)


値

電圧と電流の位相差 θ ( ° )


値

５. 考察

5.1 R－C 直列回路に加えた電圧と電流の測定結果（表 11.3）について

(1) 測定結果から電流、有効電力、無効電力、力率をそれぞれ求めよ。

Ｉ = |V| Z⁄ ：I＝ (A) 、Ｐ= RI2 ： P = (W) Q = (1/ωC)I2 ：Q = (Var)、Pa ＝ |V|I ： Pa ＝ (VA)

cosθ = P |V|･I⁄ ： cosθ =

(2) 入力電圧 V、抵抗 R 、コンデンサ C が与えられている場合、公式に基づいて電流、有効電力

無効電力、力率をそれぞれ算出することができる。（理論式）次式によってそれぞれの値を求めよ。

Ｉ = V Z⁄ ：I＝ (A) 、Ｐ= VI cosθ ：P = (W)

Q = VI sinθ ：Q = (Var)、 Pa ＝ |V|I ：Pa ＝ (VA)

cosθ = P V･I⁄ あるいは cosθ = R Z⁄ ： cosθ =

(3) 測定結果(1)と理論式(2)から得られた結果について考察せよ。

(4) 上記の実験と同じ R－C 直列回路において、抵抗Ｒの値を変更したときの電圧、電流、位相差を測定し、

測定結果から有効電力、無効電力および力率を求め、それらについて考察せよ。

（例えば、抵抗の値をＲ＝51（Ω）としたとき）

(5) 時間に余裕のある学生は、(2)の C の変わりにインダクタンス L＝10 [mH]が与えられた場合の理論式に


11-6

よる結果を考察せよ。

６. 演習問題

①抵抗ＲとコイルＬからなる回路の端子電圧 v(t)と流れる電流 i(t) が次式のように表されるとき、力率cosθ、

有効電力 P、無効電力Q および皮相電力 Pa を求めよ。 𝑣(𝑡) = 100√2 sin (𝜔𝑡 + 𝜋 4 ) (V)

𝑖(𝑡) = 2√2 sin (𝜔𝑡 − 𝜋 12 ) (A)

②RC 直列回路に、V=100 [V] の電圧を加えた。回路の有効電力 P、無効電力𝑄 、皮相電力 Pa および力率cosθを

求めよ。ただし、R=30 Ω、1 ωC⁄ = 40 Ω とする。

③図(a)、図(b)に示す RL 直列回路と RL 並列回路において、回路の有効電力 P、無効電力Q 、皮相電力 Pa お

よび力率cosθを求めよ。

図(a) RL 直列回路図(b) RL 並列回路

④図に示す回路において、電流が 20∠0° A 流れているとき、回路の有効電力 P、無効電力Q 、皮相電力 Pa および力率cosθを求めよ。

７. まとめ


1/ωCR

V

V=100 (V)

15 (Ω) 20 (Ω)

V=100 (V)

25 (Ω) 50 (Ω)

I=20 (A)

2.56 (Ω)

3 (Ω)4 (Ω)


12-1

第１２回交流 R-L-C直並列回路１. 目的

ここでは正弦波交流回路における R-L-C 直並列回路について学ぶ。通常、交流回路素子は直列接続と並列

接続が混在する直並列回路となる。そのため、複雑な回路を構成することになる。ここでは、それらの回路

を解析するのに必要な基礎知識を、実験を通して学ぶことになる。実験では、オシロスコープを使用し、簡

単な R-L-C 直並列回路の電圧波形と電流波形の観測から、直並列回路計算の理解を深めることを目的とする。

2. 理論

2.1 合成インピーダンスと合成アドミタンス

ここでは、まず図 12．1 に示すような複素インピーダンス1、2、3の三つの素子の直列接続について考

える。回路素子には抵抗 R、インダクタンス L、コンデンサ C が存在するため、いずれも複素数表示となる

が、以後本章では上部に示されるドットマークの記述を省略し、記述するものとする。

各部の電圧の和は電源電圧 V に等しいので、次式が成立する。

V ＝ V1 + V2 + V3 ＝( Z1 + Z2 + Z3 ) I (12.1)

これより、回路全体の合成複素インピーダンス Z は、次のようになる。

Z ＝ 𝑉𝐼 ＝ Z1 + Z2 + Z3 (12.2)

また、この逆数である合成複素アドミタンスは次式のようになる。

Y ＝１𝑍 ＝１

𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 (12.3)

次に、図 12．2 に示す並列接続について考える。

各部の電流の和は全電流 I に等しいので次式が成り立つ。

I ＝ I1 + I2 + I3 ＝１𝑍1 + １

𝑍2+ １

𝑍3 𝑉 (12.4)

したがって、合成複素アドミタンス Y は次式のようになる。

V

１２．１図

Z1

Z2

Z3

I

V3

V2

V1

Z1V Z2 Z3

I

I1 I2 I3

１２．２図

No.12 交流 RLC直並列回路

12-2

Y ＝ 𝐼𝑉 ＝１𝑍1

+ １

𝑍2+ １

𝑍3 (12.5)

このような考え方は、直流回路の抵抗計算と同じであり、違いは複素数で計算する点だけである。簡単のた

めに図 12．3 に示す直並列接続の合成インピーダンスについて考える。

まず、並列となっている回路のアドミタンス Ybc とインピーダンス Zbc は次式として表現される。

Ybc ＝ 1𝑍𝑏𝑐 ＝

１

𝑍2+ １

𝑍3 , Zbc ＝ 𝑍2 𝑍3

𝑍2 + 𝑍3 (12.6)

したがって、回路全体の合成複素インピーダンス Z は次式となる。

Z = Z1 + 𝑍2 𝑍3𝑍2 + 𝑍3 (12.7)

2.2 分圧と分流

図 12.4 に示す直列回路における分圧の関係を求める。流れる電流 I は次式となる。

I ＝ 𝑉𝑍1 + 𝑍2

(12.8)

V

１２．３図

Z1

Z2 Z3

Ia

b

c

V

１２．図 4

Z1

Z2

I

V2

V1

Z1V Z2

I

I1 I2

１２．５図


12-3

よって、各部の電圧 V1、V2は次式のようになる。

V1 ＝ Z1・I ＝ 𝑍1𝑍1 + 𝑍2

V , V2 ＝ Z2・I ＝ 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

V (12.9)

次に、図 12.5に示す並列回路における分流の関係を求める。合成複素インピーダンス Z は次式となる。

Z ＝ 𝑍1 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

(12.10)

このとき、回路に流れる全電流を I とすると、並列回路部分にかかる電圧 V は

V ＝ Z・I = 𝑍1 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

I (12.11)

となり、各素子に流れる電流 I1、I2は次式のようになる。

I1 ＝ 𝑉𝑍1

＝ 𝑍2𝑍1 + 𝑍2

I , I2 ＝ 𝑉𝑍2

＝ 𝑍1𝑍1 + 𝑍2

I (12.12)

３. 実験方法

図 12.6 に実験装置の概略を示す。正弦波交流の供試電源には、商用電源[周波数 50 [Hz],実効値 100 (V）]

を変圧器により降圧[実効値約 14 (V)]させるユニット（変圧回路ユニット）を用いる。この出力電圧（端



Board（Sunhayato, SRH-32）に負荷 Z を配置し、リード線により配線して構成する。入力電圧 v(t)は、電圧

プローブ（Tektronix, P2220）を用いてオシロスコープ（Tektoronix, TDS2002B）により観測する。併せて、

負荷 Z に流れる電流 i(t)は、電流プローブ（Tektronix, A622）を用いて電流-磁界-電圧へ変換し、オシロス

コープにより観測する。電流プローブのクランプ方向は、図 12.6 に示した端子 a 側を正(Positive)にする。


実験では、R-L-C 直並列回路における電圧、電流などの測定から、回路計算のための知識を理解する。

3.1 負荷 Z の回路を抵抗 R とコンデンサ C の並列回路としたときの電圧、電流の観測

図 12．6にある負荷Zを図12.7に示すようにR1=5.1Ωの抵抗とC=470μFのコンデンサを並列に接続する。

まず、端子 ab間の入力電圧 v(t)について、オシロスコープの主要な操作 ① オートセット（Auto set）、② ト

リガー（Trigger）、③ 水平軸コントロール（Horizontal）、④ 垂直軸コントロール（Vertical）Ch1 と Ch2、

⑤ 測定（Measure）、⑥カーソル（Cursor）を確認しながら、入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に観測する。その際、

Ω


12-4

電圧と電流の両者について、最大値（Vm, Im）、実効値（|V|, |I|）を測定する。次に、並列回路にある抵抗

R1とコンデンサ C に流れる電流の最大値（Im1, Im2）、実効値（| I1|, |I2|）を測定する。ただし、電圧プロー

ブ（感度）とオシロスコープ CH1（垂直軸）を各々×10 に設定する。電流プローブ（感度）とオシロスコープ

CH2（垂直軸）を各々100mV/A に設定する。

3.2 負荷 Z の回路を直列抵抗 R と並列回路（抵抗 R1とコンデンサ C）を接続したときの電圧、電流の観測

図 12．6 にある負荷 Z を図 12.8 に示すように R=10Ω、R1=5.1Ω、C=470μF のコンデンサを直並列に接

続する。まず、上記 3.1 と同様に入力電圧 v(t)、電流 i(t)の順に最大値（Vm, Im）、実効値（|V|, |I|）を測

定する。次に、並列回路にある抵抗 R1とコンデンサ C に流れる電流の最大値（Im1, Im2）、実効値（|I1|, |I2|）

を測定する。これらの関係は理論式からも検討することができるので考察において比較して下さい。

４. 実験結果

3.1 と 3.2 の実験により得られた測定値および算出した諸量の結果を表 12.1 と表 12.2 にまとめる。

表 12.1 抵抗 R1とコンデンサ C の並列回路における電圧、電流の測定

負荷 R1 ＝ (Ω)、 C = (μF)

合成インピーダンス Z ＝ (Ω)：(12.10) 式を参考に


数回測定による平均値

全電流最大値 Im (mA) 実効値 | I | (mA)


R1に流れる電流最大値 Im1 (mA) 実効値 | I 1| (mA)


C に流れる電流最大値 Im2 (mA) 実効値 | I 2| (mA)


I

I1 I2

１２．７図

Z

R1

C

I

I1 I2

１２．８図

Z

R1

C

R


12-5

表 12.2 R、R1および C の直並列回路における電圧、電流の測定

負荷 R ＝ (Ω)、 R1 ＝ (Ω)、 C = (μF)

合成インピーダンス Z ＝ (Ω) ：(12.7) 式を参考に計算



全電流最大値 Im (mA) 実効値 | I | (mA)


R1に流れる電流最大値 Im1 (mA) 実効値 | I 1| (mA)


C に流れる電流最大値 Im2 (mA) 実効値 | I 2| (mA)


５. 考察

5.1 R1－C 並列回路に加えた電圧と電流の測定結果（表 12.1）について

測定結果と比較するために、理論式から求められる電流 I、I 1、I2をそれぞれ算出する。また、このとき

の各電流によるフェーザ図についても描いてみよ。ただし、フェーザ図を書きやすくするために I の位相

を基準(０°)とする。

5.2 R－R1－C 直並列回路に加えた電圧と電流の測定結果（表 12.2）について

測定結果と比較するために、理論式から求められる電流 I、I 1、I2をそれぞれ算出する。また、このとき

の各電流によるフェーザ図についても描いてみよ。ただし、フェーザ図を書きやすくするために I の位相

を基準(０°)とする。

６. 演習問題

①図 12.9（ａ）、（ｂ）に示す二つの回路ａ-ｂ間の合成複素インピーダンスおよびその大きさを求めよ。

１２．９（ａ）図

a

b

4 (Ω)ｊ 3 (Ω)

5 (Ω)

１２．９（ｂ）図

a

b

ｊ- 3 (Ω)

ｊ 4 (Ω)

3 (Ω)


12-6

②図 12.10 に示す回路において V=250[V]の電圧を加えたとき、回路に流れる電流 I、I 1、I2 をそれぞれ求めよ。

③図 12.11 に示す回路において V=j30[V]の電圧を加えたとき、回路に流れる電流 I、I 1、I2 をそれぞれ求めよ。

７. まとめ


V

I

I1 I2

１２．１０図

250 (V)

30 (Ω)

j40 (Ω)

80 (Ω)

ｊ- 60 (Ω)

2 (Ω)

１２．１１図

Vj30 (V)

3 (Ω)

I

I1

ｊ- (Ω)

ｊ 3 (Ω)

I2

直流電源学習セット

model DCPS151D

仕様書・参考資料

ユニット式直流安定化電源装置

model DCPS151D

2


model DCPS151D

3

直流電源学習セット《各ブロックの概要》セットの概要

本セットは，リニア・レギュレータ方式の電源回路

を各ユニットに分割し，個々の筐体に収めています．

透明の上部カバーを採用し，実際の電子部品による

回路構成を観察できます．

本セットの出力は，OPアンプ回路等の実験・実習

に最適な± 15 Vが得られます．

セットの構成は，

① . 変圧回路

② . 整流回路

③ . 平滑回路

④ . 定電圧回路

⑤ . ダミーロード

の 5つから成り，①から④までのユニットを順に接

続することで，直流電源を構成することができます．

各ユニットの接続に

は専用の接続片を用い

ます．接続片には波形

観測用のプローブ端子

を設け，各ユニットの

入出力波形の観測が容

易に行えます．

⑤ダミーロードを用いれば，任意の箇所で終端でき，

例えば①―②―③―⑤の接続を行えば，定電圧回路を

省略した直流電源となります．③―⑤間の接続片から

リプルを含む波形を観測できます．

変圧回路ユニット（接続順序①）ユニットの概要

商用電源を所望の電

圧に変圧します．

本体には商用電源

に接続するコネクタ，

ヒューズ・ホルダ，主

電源スイッチ，出力を取り出すパネル・ジャックを装

備しています．

商用電源入力コネクタ

専用のプラグ付き

コードを用い，商用電

源（単相 AC100 V）を

入力します．

専用コードは本体へ

の着脱部をネジロック

式とし，不意の脱落を防止します．

ヒューズ，ヒューズ・ホルダ

過電流から回路を保

護するため、ヒューズ

を装備しています．

ヒューズ・ホルダの

キャップは不用意な開

閉を防止するため，工

具（マイナス・ドライバ）を必要とするタイプを採用

しています．適合ヒューズ管はφ5.2 × 20 mm，0.5 A

（slow）もしくは 1.0 A（normal）を用います．

主電源スイッチ

電源を ON/OFF する

ためのロッカ・スイッ

チです．操作部にネオ

ン管を内蔵し，通電す

ると点灯し，動作状態

を目視できます．

2極連動接点により，OFF 時は商用ラインから回路

を完全に切り離すことができます．

AC出力端子

出力はセンタ・タップを介した２極構成で，単極あ

たり 14 VRMS ，差動で 28 VRMS が得られます．

　配色は黄―黒―黄であり，黒がトランスのセン

タ・タップ（0 V），黒―黄間の電位差が双方とも

14 VRMS，黄―黄間の電位差が 28 VRMS となります．

出力端子に直接触れたり，回路ユニットを脱着す

る場合は，必ず変圧回路ユニットの主電源スイッチを

OFF にし，スイッチの表示灯が消えていることを確認

し，作業を行ってください．

変圧回路ユニットの出力端子に接続できるユニット

は②整流回路ユニット，⑤ダミーロード（もしくは任

意の負荷）です．


model DCPS151D

2


model DCPS151D

3

なお，全てのユニットの接続端子にはφ4のバナナ・

プラグが接続できます．

整流回路ユニット（接続順序②）変圧回路ユニットの

AC出力を入力し，これ

を全波整流します．シ

リコン整流素子を採用

しており，電圧損失は

単極当たり約 0.6 V で

す．全波整流のため，出力波形の周波数は電源周波数

の 2倍となります．

出力端子に直接触れたり，回路ユニットを脱着す

る場合は，必ず変圧回路ユニットの主電源スイッチを

OFF にし，スイッチの表示灯が消えていることを確認

し，作業を行ってください．

出力端子にはφ4のバナナ・プラグが接続できます．

出力端子に接続できるユニットは③平滑回路ユニッ

ト，⑤ダミーロード（もしくは任意の負荷）です．

平滑回路ユニット（接続順序③）整流回路ユニットの

DC出力を入力し，これ

に含まれる脈流を平滑

します．回路方式はコ

ンデンサ入力形であり，

⑤ダミーロード（もし

くは任意の負荷）を接続すれば鋸波状のリプルを観測

できます．

リプル含有率は定格負荷（出力電流 500 mA）にお

いて約 3.5 %（12.1 %p-p）の設計です．

定電圧回路ユニット（接続順序④）平滑回路ユニットの

DC出力を入力し，これ

を定電圧化します．

正極・負極とも固定

電圧のレギュレータ IC

を採用しており，出力

は単極当たり15 V，差動で30 Vが得られます．レギュ

レータ IC の最大電流は単極あたり１ Aですが，ディ

レーティングし，定格は単極当たり500 mAとします．

ダミーロード（接続順序⑤）各回路ユニットの出

力に接続することで負

荷接続時の波形を観測

することができます．

特に平滑回路ユニット

の波形観測には欠かせ

ません．

負荷容量は正極・負極とも同一の 330 Ωです．こ

の値は定格の約９%と，大幅にディレーティング（de-

rating：定格低減）したものです．回路ユニットを①

―②―③―⑤の接続とし，リプル含有率を測定すれば，

約 0.33 %（1.1 %p-p）が得られます．

なお，本セットの定格負荷は純抵抗で 30Ω，この

ときの定格電流は 500 mA，定格電力は 7.5 Wとなり

ます．定格負荷時の波形観測を行う場合は別途，30Ω，

許容電力は余裕を見て 10W以上の抵抗器を用意し，

抵抗器の放熱を確保し，測定してください．

主要諸元《設計過程・資料》

定格（設定値）

入力電圧

単相 100 V

周波数

50 Hz ／ 60 Hz

整流方式

全波整流

出力電圧

ＯＰアンプを用いたアナログ回路の実験応用

性を考慮し，± 15 V（正負２電源，固定電圧）

とする．

出力電流（定格）

定格 500 mA（最大 1.0 A ）

リプル含有率

定格電流にて 3.5 %（12.1 %p-p）以下．

電源ＩＣの利用と選定

部品点数の削減と調整箇所排除のため，所望の出力

電圧を満足する電源専用ＩＣ（３端子レギュレータ）

７８シリーズ（正電圧電源用），７９シリーズ（負電

圧電源用）のラインナップより選定する．


model DCPS151D

4


model DCPS151D

5

正電源側

型名：７８１５

定格：＋ 15 V／１ A

負電源側

型名：７９１５

定格：－ 15 V／１ A

電源ＩＣの運用電圧

7815 ／ 7915 の運用電圧 VWR は，

VWR ＝ VO ＋ VD　VO：出力電圧

　VD：IC のドライブ電圧（カタログ標準値）

すなわち，

VWR ＝ 15 V ＋ 3 V

＝ 18 V

を必要とする．

電源トランスの２次電圧

シリコン・ダイオードによる一般的な電圧損失は約

0.6 [V] である．したがって，電源ＩＣの運用電圧を

満足するトランスの２次電圧は，

VWR ＋ 0.6 V ＝ 18.6 V

が必要である．この電圧はピーク値であるから，実効

値に直すと，

18.6 Vp-p ＝ 13.2 VRMS

2

である．変圧器メーカーのカタログ値と諸損失を考慮

し，電源トランスの２次電圧を 14 Vに決定する．

平滑コンデンサおよび，電源ＩＣのデカップリング・

コンデンサの耐圧設計

決定した電源トランスの２次電圧に由来する，平滑

コンデンサの運用電圧 VWC を求める．

VWC ＝ 2×トランス２次電圧－整流器損失

＝ 2 × 14 V － 0.6 V

＝ 19.2 V（ピーク値）

コンデンサの耐圧は一般に運用電圧の 25%増とし，

さらに安全係数 10 %を加味し，

VWCmax ＝ VWC × 1.25 × 1.1

　　 ≒ 2 VWC（慣例として 2を用いる）

　　＝ 27.2 V

求めた耐圧値に完全一致するコンデンサは規格品と

して存在しないため，コンデンサのカタログ値を参考

に大きい側の電圧値で近似し，

VWCmax ＝ 35 V

とする．

電源ＩＣに付随する発振防止コンデンサの選定

入力側デカップリング

ポリエステル・フィルムコンデンサ

0.22 μF（メーカ推奨値）

出力側デカップリング（兼リザーバ）

アルミ電解コンデンサ

47μF（メーカ推奨値）

平滑コンデンサの容量設計

西日本・東日本で商用電源の周波数が異なり，これ

は電源回路における平滑コンデンサの充電頻度に直接

影響する．

コンデンサの充電効率は，周波数が高い方が良好

で，60 Hz を基準に設計した容量値を 50 Hz で運用

した場合，充電頻度が設計値未満となり，平滑後の電

圧脈動幅（リプル値）が大きくなる．後段の定電圧回

路の安定動作のため，容量設計は低い周波数（すなわ

ち 50 Hz）を基準に進める．

全波整流による脈流周期 Tは，

1T＝＝ 10 ms

2 f

　f：電源の周波数＝ 50 Hz

定格電流による１周期当たりの充放電電荷量 ΔQ は

ΔQ＝ IO × T

　IO：500 mA（定格電流）

より求められる．すなわち，

ΔQ＝ 500 mA× 10 ms

＝ 5 mC

定格諸元の設定値は，

リプル含有率δ＝ 3.5 %

であり，これのピーク値＊１は，

δp-p ＝ 2 3 δ＝ 12.1 %

である．これを用い，平滑後のリプル値 epvを求める．

epv ＝δ VWC ＝ 0.121 × 19.2 V

＝ 2.33 V

したがって，コンデンサの静電容量 Cは


model DCPS151D

4


model DCPS151D

5

ΔQ　　 5 mC　　C＝＝＝ 2146μFepv 2.33 V

と求められる．ただし，この容量に完全一致するコン

デンサは規格品として存在しないため，E系列標準数

により大きい側の数値で近似し，

C＝ 2200μF

とする．選定値は算出値を若干上回るため，リプル含

有率は幾分改善する．

（検　算）

・選定した容量からリプル含有率を算出する

負荷条件は同一であるため，

ΔQ＝ 5 mC

C＝ 2200μF

より，リプル値 epv を求めると，

ΔQ　　 5 mC　　epv ＝＝＝ 2.27 V

C 2200 μF

リプル含有率のピーク値は，

epv　　 2.27 V　　δp-p ＝＝ × 100 ＝ 11.8 %

VWC 19.2 V

2 3 で除して＊２，リプル含有率の実効値を求めると，

δ＝ 3.42 %

が得られる．

補足：＊１，＊２

コンデンサ入力型の平滑回路におけるリプル波形

は，概ね『のこぎり波』に近似できる．したがって，

リプル分の実効値は

epv ｜E｜＝２３

により求められる．

以上を整理し，主要部品の仕様を表１にまとめる．

表１　主要部品の電気的仕様一覧部品名称仕　様（型　名）

電源トランス 2次側：14 V／ 1 A

アルミ電解コンデンサ2200μF ／ 35 V

47μF ／ 35 V

ポリエステル・フィルムコンデンサ 0.22 μF ／ 50 V

３端子レギュレータ＋ 15 V／ 1 A（7815）

－ 15 V／ 1 A（7915）

電源回路図

図１に本セットの全回路図を示す．同図は目的とす

る波形処理ごとに破線で囲み，ブロック化して示して

いる．

実際のブロックは５個の筐体に分かれており，各ブ

ロック間の接続（部分）は専用の接続片を用い

て接続する．

ダミーロードの抵抗器は発熱するため，耐候性のあ

る金属酸化皮膜抵抗器を採用した．

定電圧回路ユニットのポリエステル・フイルムコン

デンサは入力側の発振防止に，アルミ電解コンデンサ

は出力側の発振防止と，負荷急変に応じるリザーバを

兼ねている．このため，両コンデンサの実装は可能な

限り３端子レギュレータに近接させている．

AC100V50Hz / 60Hz

レセプタクル／コネクタCN-45-2P

ロッカ・スイッチ（２接点連動，ネオン球照光型）

電源トランスHT-1812

100V 14V

14V

0

0

シリコンブリッジダイオードS1VB20

アルミ電解コンデンサ47μF／35V×２

ポリエステル・フイルムコンデンサ0.22μF

×２

３端子レギュレータ７８１５

３端子レギュレータ７９１５

in

in

out

out

GND

GND

金属酸化皮膜抵抗器3W / 330Ω

×２

アルミ電解コンデンサ2200μF／35V

×２

ヒューズ1A

～

～

＋

－

0 0 0 0

＋

－

＋

－

0

＋

－

0

＋

－

0

＋

－

① 変圧回路ユニット ② 整流回路ユニット ③ 平滑回路ユニット ④ 定電圧回路ユニット ⑤ ダミーロード

図１　直流電源学習セット　全回路図


model DCPS151D

6


model DCPS151D

7

回路の動作実験

変圧器の特性

用意するもの

・変圧回路ユニット（①）

・プラグ付き ACコード

・摺動抵抗（110 Ω／ 2 A）

・デジタルマルチメータ（ピーク値，平均値，

実効値などが計測可能なものが便利）

変圧回路ユニットの準備

１．変圧回路ユニット（①）の主電源スイッチ（橙

色のロッカ・スイッチ）がOFF 側（0）になっ

ていることを確認し，プラグ付き ACコードの

コネクタ側（ねじリング付き）を本体のレセプ

タクルに取り付ける．

２．ACプラグをコンセントに差し込み，ロッカ・

スイッチを ONにする．（ロッカ・スイッチの

操作面が点灯し，電源の投入が確認できる．）

２次開放電圧の測定

１．デジタルマルチメータを用い，図２に示した

e1，e2 の各電圧を実効値にて測定する．（諸損

失を考慮し，電圧は高めに設定されている．）

２．２次電圧不平衡度の評価

一般に，変圧器の２次側に同仕様の出力が複

数ある場合，それらの平衡度が要求される．平

衡が取れていない場合，全波整流した波形は２

種類のピーク電圧が交互に現れる脈流となり，

総合的にリプル含有率を増大させる要因とな

る．

本セットの変圧回路ユニットは２次側出力端

子がセンタタップ付きの２電源仕様であり，平

衡度が要求される．

ここで，２次電圧不平硬度δは次式で与えら

れる．

e1 － e2δ＝ × 100 %

e1 ＋ e2

例）

e1 ＝ 16.82 VRMSe2 ＝ 16.83 VRMS

16.82－ 16.83δ＝ × 100 %

16.82＋ 16.83

－ 0.01　＝ × 100 %

33.65

　＝－ 0.03 %RMS

電圧変動率試験（略式）

１次電圧に定格（100 V）を印加し，２次側開放時

の２次電圧 V2o および，２次側定格負荷時の２次電圧

V2n を測定する．

ここで，電圧変動率εは次式で与えられる．

V2o － V2nε＝ × 100 %

V2n

例）

無負荷時の端子電圧を測定する

V2o ＝ 16.78 VRMS次に，純抵抗負荷を調整し，２次側に定格電流（1 A）

を流す．このときの端子電圧V2n を測定する．ただし，

抵抗器の許容電流は余裕あるものを用意すること．

V2n ＝ 15.40 VRMS

16.78－ 15.40ε＝ × 100 %

15.40

1.380　＝ × 100 %

15.40

　＝ 8.96 %RMS図２　変圧器の特性試験

AC100V50Hz / 60Hz

レセプタクル／コネクタ

（ねじ止め可能なコネクタ）



100V 14V

14V

0

0

ヒューズ1A

① 変圧回路ユニット


model DCPS151D

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model DCPS151D

7

整流回路の構成と波形観測

※回路ブロックを再構成する場合は主電源を OFF に

し，作業を進めること．

用意するもの

・回路ブロック（①，②，⑤）

・専用接続片（6個）


・オシロスコープ



回路の準備と測定

１．図３を参考に，各ブロックを①―②―⑤の順に

専用接続片を用い接続する．

２．変圧回路ユニットの主電源スイッチ（ロッカ・

スイッチ）が OFF 側になっていることを確認

し，プラグ付き ACコードのコネクタ側（ねじ

リング付き）を本体のレセプタクルに取り付け

る．プラグ側はコンセントに差し込む．

３．オシロスコープのプローブを図３のＡ―Ａ’間

に接続する．このとき，GND（みのむしクリッ

プ）は 0 V端子に接続する．また，オシロスコー

プの電源はこの時点で投入しておく．

※　デジタル・マルチメータを利用する場合，オシ

ロスコープと並列に接続しておく．（図４参照）

４．変圧回路ユニットの

ロッカ・スイッチを

ONにする．（ロッカ・

スイッチの操作面が

点灯し，電源の投入

が確認できる．）

５．オシロスコープを操

作し，波形を観測し，

記録する．

例）

図５に全波整流波形の観

測例を示す．（ピーク電圧＝

23.0 V，周波数≒ 100 Hz）

図４　専用接続片への測定器の接続

図５　整流回路の波形観測例

AC100V50Hz / 60Hz





100V 14V

14V

0

0



×２

ヒューズ1A

～

～

＋

－

0 0 0

＋

－

① 変圧回路ユニット ② 整流回路ユニット ⑤ ダミーロード

図３　整流回路の波形観測接続図


model DCPS151D

8


model DCPS151D

9

平滑回路の構成と波形観測



用意するもの

・回路ブロック（①，②，③，⑤）







１．図６を参考に，各ブロックを①―②―③―⑤の

順に専用接続片を用い接続する．

２．変圧回路ユニットの主電源スイッチ（ロッカ・

スイッチ）が OFF 側になっていることを確認

し，プラグ付き ACコードのコネクタ側（ねじ

リング付き）を本体のレセプタクルに取り付け

る．プラグ側はコンセントに差し込む．

３．オシロスコープのプローブを図６のＡ―Ａ’間




※　デジタル・マルチメータを利用する場合，オシ

ロスコープと並列に接続しておく．（図４参照）

４．変圧回路ユニットのロッカ・スイッチをONに

する．（ロッカ・スイッチの操作面が点灯し，

電源の投入が確認できる．）

５．オシロスコープを操作し，波形を観測し，記録

する．

例）

図７に全波整流後の平滑波形の観測例を示す．（の

こぎり波部分のピーク電圧＝ 0.255 V，周波数≒

100 Hz，直流分＝ 19.2 V）

リプル含有率（ピーク値）は，

epv　　 0.225 V　　δp-p ＝＝ × 100 ＝ 1.17 %

VWC 19.2 V

2 3 で除して＊２，リプル含有率の実効値を求めると，

δ＝ 0.338 %

が得られる．

AC100V50Hz / 60Hz





100V 14V

14V

0

0



×２


×２

ヒューズ1A

～

～

＋

－

0 0 0 0

＋

－

＋

－

0

＋

－

① 変圧回路ユニット ② 整流回路ユニット ③ 平滑回路ユニット ⑤ ダミーロード

図６　平滑回路の波形観測接続図

図７　平滑回路の波形観測例


model DCPS151D

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model DCPS151D

9

安定化電源（全回路）の構成と波形観測



用意するもの

・回路ブロック（①，②，③，④，⑤）







１．図８を参考に，各ブロックを①―②―③―④―

⑤の順に専用接続片を用い接続する．

２．変圧回路ユニットの主電源スイッチが OFF に

なっていることを確認し，プラグ付き ACコー

ドのコネクタ側（ねじリング付き）を本体のレ

セプタクルに取り付ける．プラグ側はコンセン

トに差し込む．

３．オシロスコープのプローブを図８のＡ―Ａ’間




４．変圧回路ユニットのロッカ・スイッチをONに

する．（ロッカ・スイッチの操作面が点灯し，

電源の投入が確認できる．）

５．オシロスコープにより波形を観測する．

補足事項：

１．レギュレータ IC の働きによりリプル分が除去

される．オシロスコープにて脈動が除去されて

いることを確認すること．（直流分はデジタル

マルチメータで測定すると良い．）

２．リプル分が除去される様子を観測するために，

オシロスコープに定電圧回路ユニットの入力波

形を同時に映し出しても良いだろう．

３．正・負２電源の各電圧が揃っているか，また

0 V（GND）を基準に＋電源が正電圧，－電源

が負電圧であることを確認せよ．

検討事項（全般）：

１．変圧器の２次側出力波形にひずみが生じている

場合、その理由を検討せよ．（ヒント：変圧器

の鉄損について調査すると良い）

２．変圧器の２次コイルの損失抵抗（銅損）をテス

タ等で測定し，これが何に対し影響を及ぼすか

検討せよ．

３．変圧器（１次側）に接続するヒューズの電流容

量はどのようにして決定すればよいか，ヒュー

ズの溶断特性をふまえて検討せよ．

４．平滑方式（コンデンサ入力型，チョーク入力型）

によるメリット／デメリットを検討せよ．

５．平滑コンデンサの容量設計を『西日本』を基準

として行った場合，どのような影響が起きうる

か，具体的に検討せよ．

６．電源 IC の保護回路（ショットキ・バリア・ダ

イオード）の接続箇所について検討せよ．

以上（文責：米岡）

AC100V50Hz / 60Hz

レセプタクル／コネクタCN-45-2P



100V 14V

14V

0

0


アルミ電解コンデンサ47μF／35V×２

ポリエステル・フイルムコンデンサ0.22μF

×２

３端子レギュレータ７８１５

３端子レギュレータ７９１５

in

in

out

out

GND

GND


×２


×２

ヒューズ1A

～

～

＋

－

0 0 0 0

＋

－

＋

－

0

＋

－

0

＋

－

0

＋

－

① 変圧回路ユニット ② 整流回路ユニット ③ 平滑回路ユニット ④ 定電圧回路ユニット ⑤ ダミーロード

図８　全回による波形観測


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