bab ii kajian teorieprints.uny.ac.id/36905/2/bab ii kajian teori.pdf6 bab ii kajian teori pada bab...
TRANSCRIPT
6
BAB II
KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan
dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
dan beberapa kajian matematika, antara lain tentang Fungsi, Fungsi Genap,
Fungsi Ganjil, Limit, Turunan, Turunan Fungsi Trigonometri dan Fungsi
Hiperbolik, Persamaan Diferensial, Persamaan Diferensial Biasa, Integral
Tentu, Integral Parsial, Teorema Nilai Rata-Rata Integral, Persamaan
Diferensial Parsial, Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas, Masalah Sturm-
Liouville dan Fungsi Eigen, Orthogonal Fungsi Eigen, Metode Separasi Variabel,
Deret Fourier, Sifat-Sifat Perambatan Panas. Berikut ini penjelasannya.
A. Fungsi
Definisi 2.1 Fungsi (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010 : 76):
Sebuah fungsi π adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan
setiap objek π₯ dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah
nilai tunggal π(π₯) dari suatu himpunan kedua yag disebut daerah hasil.
Contoh 2.1:
π΄ = {(1, 1), (2, 4), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}
π΅ = {(1, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}
πΆ = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Berdasarkan Definisi (2.1), himpunan π΄ dan πΆ merupakan fungsi, sedangkan
himpunan π΅ bukan merupakan fungsi. Hal ini dikarenakan setiap domain di
7
himpunan A memasangkan tepat satu dengan sebuah nilai tunggal di
kodomain. Begitu juga untuk himpunan πΆ, namun hal yang berbeda untuk satu
nilai domain pada himpunan π΅ yang mempunyai dua anggota di kodomain.
Sehingga hal tersebut tidak sesuai dengan definisi fungsi.
Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi genap dan fungsi ganjil, berikut ini
penjelasannya.
Definisi 2.2 Fungsi Genap (Walter A. Strauss, 1992 : 110):
Sebuah fungsi genap adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti Persamaan
(2.1)
π(βπ₯) = π(π₯) (2.1)
artinya bahwa grafik π¦ = π(π₯) akan simetris terhadap sumbu π¦.
Definisi 2.3 Fungsi Ganjil (Walter A. Strauss, 1992 : 110):
Sebuah fungsi ganjil adalah fungsi yang dapat dinyatakan seperti Persamaan
(2.2)
π(βπ₯) = βπ(π₯). (2.2)
artinya bahwa grafik π¦ = π(π₯) akan simetris terhadap titik asal.
Contoh 2.2:
π(π₯) = π₯3 (2.3)
π(π₯) = π₯2016 (2.4)
π(π₯) = π ππ(4π₯) (2.5)
8
π(π₯) = πππ (14π₯) (2.6)
π(π₯) = 0. (2.7)
Berdasarkan Definisi (2.3), Persamaan (2.3) pada Contoh (2.2) merupakan
fungsi ganjil, karena π(βπ₯) = (βπ₯)3 = βπ₯3 = βπ(π₯). Persamaan (2.5) juga
merupakan fungsi ganjil, karena π(βπ₯) = π ππ(β4π₯) = βπ ππ(4π₯) = βπ(π₯).
Persamaan (2.4) dan Persamaan (2.6) merupakan fungsi genap, karena
π(βπ₯) = (βπ₯)2016 = π₯2016 = π(π₯) dan π(βπ₯) = πππ (β14π₯) =
πππ (14π₯) = π(π₯). Persamaan (2.7) merupakan fungsi genap sekaligus fungsi
ganjil karena π(βπ₯) = π(π₯) = 0.
B. Limit
Definisi 2.4 Limit : (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010 : 118):
Diberikan ππππ₯βπ
π(π₯) = πΏ yang artinya untuk setiap ν > 0 yang nilainya sangat
kecil, terdapat πΏ > 0, sedemikian sehingga |π(π₯) β πΏ| < ν dengan syarat 0 <
|π₯ β π| < πΏ atau dengan kata lain
0 < |π₯ β π| < πΏ β |π(π₯) β πΏ| < ν.
Contoh 2.3:
Akan dibuktikan bahwa limπ₯β2
2π₯2β3π₯β2
π₯β2= 5.
Analisis pendahuluan:
Akan ditentukan nilai dari πΏ, sedemikian sehingga
9
0 < |π₯ β 2| < πΏ β |2π₯2β3π₯β2
π₯β2β 5| < ν
sehingga
|2π₯2 β 3π₯ β 2
π₯ β 2β 5| < ν β |
(2π₯ + 1)(π₯ β 2)
π₯ β 2β 5| < ν
β |(2π₯ + 1) β 5| < ν
β |2π₯ β 4| < ν
β |2(π₯ β 2)| < ν
β |2||π₯ β 2| < ν
β |π₯ β 2| <ν
2
(2.8)
Berdasarkan Persamaan (2.8) diperoleh nilai dari πΏ =π
2.
Bukti baku:
Andaikan nilai dari ν > 0, dan dipilih nilai dari πΏ =π
2, sehingga didapatkan
|2π₯2 β 3π₯ β 2
π₯ β 2β 5| = |
(2π₯ + 1)(π₯ β 2)
π₯ β 2β 5| = |2π₯ + 1 β 5|
= |2(π₯ β 2)| = 2|π₯ β 2| < 2πΏ = ν
(Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010 : 120).
10
C. Turunan
Misalkan π merupakan titik tetap yang terletak pada kurva π¦ = π(π₯) dan π
merupakan titik yang berdekatan dengan π yang melalui π¦ = π(π₯) seperti
tampak pada Gambar (2.1).
Kemiringan garis yang melalui titik π dan π pada Gambar (2.1) adalah
π = πβ²(π₯) =βπ(π₯)
βπ₯
π = πβ²(π₯) =π(π₯ + β) β π(π₯)
(π₯ + β) β π₯
π = πβ²(π₯) =π(π₯ + β) β π(π₯)
β
(2.9)
Apabila nilai π dekat dengan π, maka nilai limit dari β β 0, sehingga
Persamaan (2.9) dapat dituliskan
πβ²(π₯) = limββ0
π(π₯ + β) β π(π₯)
β.
Gambar 2.1 Ilustrasi Garis singgung
π₯
π¦
11
Definisi 2.5 Turunan (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010 : 163):
Turunan pertama fungsi π(π₯) dinotasikan πβ(π₯) yang nilainya pada sembarang
π₯ adalah
πβ²(π₯) = πππββ0
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
dengan syarat nilai limit dari π(π₯) ada.
Notasi dari turunan disimbolkan dengan notasi Leibniz ππ¦
ππ₯,
π2π¦
ππ₯2, π3π¦
ππ₯3... atau notasi
prima π¦β², π¦", π¦β²β²β², β¦ atau bisa dinotasikan sebagai π·π₯π¦, π·π₯2π¦, π·π₯
3π¦ , β¦.
atau πβ(π₯), π"(π₯), πβ²β²β²(π₯) β¦.
Contoh 2.4:
Akan ditentukan turunan pertama dari π(π₯) = 4π₯ β 14.
Menurut Definisi (2.5), sehingga
πβ²(π₯) = limββ0
(4(π₯ + β) β 14) β (4π₯ β 14)
β
πβ²(π₯) = limββ0
(4π₯ + 4β β 14) β (4π₯ β 14)
β
πβ²(π₯) = limββ0
4π₯ + 4β β 14 β 4π₯ + 14
β
πβ²(π₯) = limββ0
4β
β= 4.
Jadi, turunan pertama dari π(π₯) adalah 4.
12
D. Turunan Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
Teorema 2.1 Turunan Fungsi Sin (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010
:182):
Jika π(π₯) = π ππ π₯, maka πβ(π₯) = πππ π₯.
Bukti:
Berdasarkan Definisi (2.5), sehingga
πβ²(π₯) = πππββ0
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
πβ²(π₯) = πππββ0
π ππ(π₯ + β) β π ππ π₯
β
πβ²(π₯) = πππββ0
π ππ π₯ πππ β + πππ π₯ π ππ β β π ππ π₯
β
πβ²(π₯) = πππββ0
(β π ππ π₯ (1 β πππ β
β) + πππ π₯ (
π ππ β
β))
πβ²(π₯) = (β π ππ π₯) (πππββ0
(1 β πππ β
β)) + (πππ π₯) (πππ
ββ0(
π ππ β
β))
πβ²(π₯) = (β π ππ π₯). 0 + (πππ π₯). 1 = πππ π₯
Terbukti.
Teorema 2.2 Turunan Fungsi Cos (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010
:182):
Jika π(π₯) = πππ π₯, maka πβ(π₯) = βπ ππ π₯.
13
Bukti:
Berdasarkan Definisi (2.5), sehingga
πβ²(π₯) = limββ0
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
πβ²(π₯) = limββ0
πππ (π₯ + β) β πππ π₯
β
πβ²(π₯) = limββ0
πππ π₯ cos β β sin π₯ sin β β cos π₯
β
πβ²(π₯) = limββ0
(β cos π₯ (1 β cos β
β) β π ππ π₯ (
sin β
β))
πβ²(π₯) = (β πππ π₯) (limββ0
(1 β cos β
β)) β (π ππ π₯) (lim
ββ0(
sin β
β))
πβ²(π₯) = (β πππ π₯). 0 β (π ππ π₯). 1 = βπ ππ π₯
Terbukti.
Teorema 2.3 Turunan Fungsi Sinh (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010
: 541):
Jika π(π₯) = π ππβ π₯, maka πβ(π₯) = πππ β π₯.
Bukti:
Bentuk lain dari π ππβ π₯ adalah ππ₯βπβπ₯
2, sehingga
π(π₯) =ππ₯ β πβπ₯
2
14
π(π₯) =ππ₯ β πβπ₯
2
π(π₯) =ππ₯
2β
πβπ₯
2
π(π₯) =1
2ππ₯ β
1
2πβπ₯
πβ(π₯) =1
2ππ₯ +
1
2πβπ₯
πβ(π₯) =ππ₯ + πβπ₯
2
πβ(π₯) = πππ β π₯
Terbukti.
Teorema 2.4 Turunan Fungsi Cosh (Dale Varberg & Edwin J Purcell,
2010 : 541):
Jika π(π₯) = πππ β π₯, maka πβ(π₯) = π ππβ π₯.
Bukti:
Bentuk lain dari πππ β π₯, adalah ππ₯+πβπ₯
2, sehingga
π(π₯) =ππ₯ + πβπ₯
2
π(π₯) =ππ₯
2+
πβπ₯
2
15
π(π₯) =1
2ππ₯ +
1
2πβπ₯
πβ(π₯) =1
2ππ₯ β
1
2πβπ₯
πβ(π₯) =ππ₯ β πβπ₯
2
πβ(π₯) = π ππβ π₯
Terbukti.
Berikutnya akan dibahas tentang integral tentu. Integral tentu pada BAB III
digunakan untuk menentukan luasan perambatan panas pada suatu interval
tertutup, berikut penjelasannya.
E. Integral Tentu
Diberikan sebuah fungsi pada interval [π, π] kemudian dipartisi
terhadap sumbu π₯ sebanyak π seperti tampak pada Gambar (2.2) berikut ini.
Gambar 2.2 Partisi Sumbu π₯
Titik Partisi
Titik Sampel
Partisi
βπ₯1 βπ₯2 βπ₯π
π₯π = π π₯πβ1 π₯2 π₯1 π₯0
π₯1β π₯2
β π₯πβ
. . . .
. . . .
16
Pada Gambar (2.2) merupakan partisi sumbu π₯ dengan titik titik partisi π =
π₯0 < π₯1 < π₯2 < β― < π₯πβ1 < π₯π = π. Apabila disketsakan pada sumbu π₯ dan
sumbu π¦, diperoleh bentuk partisi berupa persegi panjang, maka jumlahan semua
persegi panjang dengan banyaknya partisi π disebut Jumlahan Riemann. Pada
Prinsipnya konsep Integral merupakan Jumlahan Riemann. Langkah-langkah
penyelesaian sebagai berikut ini.
1. Partisi fungsi π(π₯) menjadi beberapa bagian misalkan banyak partisi π,
dalam hal ini semakin banyak partisinya semakin bagus, karena nilainya
akan mendekati nilai eksak atau dengan kata lain errornya sangat kecil.
2. Apabila kita akan menentukan hasil dari π(π₯) pada interval [a,b], maka
tentukan jarak di setiap partisinya βπ₯π = π₯π β π₯πβ1, dengan π = 1,2,3 β¦ . π.
3. Setelah itu tentukan nilai dari π(π₯πβ).
4. Kemudian gunakan konsep jumlahan luas persegi panjang yaitu
β π(π₯πβ)(βπ₯π)π
π=1 (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010:363).
Definisi 2.6 Integral Tentu (Dale Varberg & Edwin J Purcell, 2010: 363):
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Jika
πππ|π|β0
β π(π₯πβ)βπ₯π
π
π=1
ada, kita katakan f adalah terintegralkan pada [a,b]. Lebih lanjut β« π(π₯)π
πππ₯
disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari a ke b, diberikan oleh
17
β« π(π₯)ππ₯
π
π
= πππ|π|β0
β π(π₯πβ)βπ₯π
π
π=1
.
Contoh 2.5:
Akan ditentukan luas daerah π(π₯) = π₯ + 2 pada interval [β1,2].
Apabila grafik π(π₯) = π₯ + 2 disketsakan dalam koordinat kartesius, maka
tampak pada Gambar (2.3).
Apabila pada interval [β1,2] dipartisi sebanyak π bagian, maka diperoleh jarak
antar partisi βπ₯π =2β(β1)
π=
3
π dengan βπ₯π = π₯π β π₯πβ1, π = 1,2,3, β¦ π.
Dengan partisi pada interval [π, π] adalah π = π₯0 < π₯1 < π₯2 < π₯3 β¦ <
π₯πβ1 < π₯π = π.
Gambar 2.3 Fungsi π(π₯) = π₯ + 2 dipartisi sebanyak π
π¦
π₯ β1
π(π₯) = π₯ + 2
2
π 2
18
π₯0 = β1
π₯1 = β1 + βπ₯ = β1 + (
3
π)
π₯2 = β1 + 2βπ₯ = β1 + 2 (
3
π)
π₯3 = β1 + 3βπ₯ = β1 + 3 (
3
π)
. . .
π₯πβ1 = β1 + (π β 1)βπ₯ = β1 + (π β 1) (
3
π)
π₯π = β1 + πβπ₯ = β1 + π (
3
π) = 2
karena π₯πβ merupakan titik-titik di ujung sebelah kanan di setiap partisinya,
sehingga diperoleh π₯π = π₯πβ = β1 + π (
3
π) dan π(π₯π
β) = π₯πβ + 2 = (β1 +
π (3
π) ) + 2 = 1 + π (
3
π). Oleh karena itu diperoleh
β«(π₯ + 2)
2
β1
ππ₯ = πππ|π|β0
β π(π₯πβ)βπ₯π
π
π=1
= πππ
|π|β0β (1 + π (
3
π)) (
3
π)
π
π=1
19
= lim|π|β0
((β (3
π)
π
π=1
) + ((9
π2) β π
π
π=1
))
= lim
πββ((
3
π) π + (
9
π2) (1 + 2 + 3 + β― + π))
= limπββ
((3
π) π + (
9
π2) (
π(π + 1)
2))
= lim
πββ(3 +
9
2(1 +
1
π)) = 3 +
9
2= 7
1
2.
Jadi, hasil dari β« (π₯ + 2)2
β1ππ₯ = 7
1
2 satuan luas.
Teorema 2.5 Teorema Dasar Kalkulus (Dale Varberg & Edwin J Purcell,
2010 : 372):
Misalkan π kontinu pada interval [π, π] dan misalkan πΉ antiturunan dari π,
sehingga
β« π(π₯)ππ₯
π
π
= πΉ(π) β πΉ(π).
Bukti:
Misalkan π: π = π₯0 < π₯1 < π₯2 < π₯3 < β― < π₯πβ1 < π₯π = π adalah partisi
pada interval [π, π], sehingga
20
πΉ(π) β πΉ(π) = (πΉ(π₯π) β πΉ(π₯πβ1)) + (πΉ(π₯πβ1) β πΉ(π₯πβ2)) + β―
+ (πΉ(π₯2) β πΉ(π₯1)) + (πΉ(π₯1) β πΉ(π₯0))
πΉ(π) β πΉ(π) = β(πΉ(π₯π) β πΉ(π₯πβ1)).
π
π=1
Menurut Teorema nilai rata-rata turunan πΉ pada selang [π₯πβ1, π₯π] adalah
πΉ(π₯π) β πΉ(π₯πβ1) = πΉβ²(π₯πβ)(π₯πβ1, π₯π) = π(π₯π
β)βπ₯π
Sehingga diperoleh
πΉ(π) β πΉ(π) = β(π(π₯πβ)βπ₯π).
π
π=1
Apabila partisinya diambil sangat kecil |π| β 0, maka
πΉ(π) β πΉ(π) = lim|π|β0
β(π(π₯πβ)βπ₯π)
π
π=1
= β« π(π₯)ππ₯.
π
π
Terbukti.
Contoh 2.6:
Akan ditentukan hasil dari β« πππ ((2π β 1)π₯)ππ₯.π
0
Berdasarkan Teorema (2.5), sehingga diperoleh
β« πππ ((2π β 1)π₯)ππ₯
π
0
= (1
2π β 1) π ππ((2π β 1)π₯)]
0
π
21
β« πππ ((2π β 1)π₯)ππ₯
π
0
= ((1
2π β 1) π ππ((2π β 1)π)) β 0
β« πππ ((2π β 1)π₯)ππ₯
π
0
= ((1
2π β 1) π ππ((2π β 1)π)) = (
1
2π β 1) . 0 = 0
Jadi, hasil dari β« πππ ((2π β 1)π₯)ππ₯π
0= 0.
F. Integral Parsial
Misalkan π(π₯) = π’(π₯)π£(π₯), maka turunan pertama dari π(π₯) adalah
πβ²(π₯) = π’β²(π₯)π£(π₯) + π’(π₯)π£β²(π₯). (2.10)
Apabila Persamaan (2.10) diintegralkan, maka
β« πβ²(π₯) ππ₯ = β«(π’β²(π₯)π£(π₯) + π’(π₯)π£β²(π₯))ππ₯
π’(π₯)π£(π₯) = β«(π’β²(π₯)π£(π₯)) ππ₯ + β«(π’(π₯)π£β²(π₯)) ππ₯
β«(π’(π₯)π£β²(π₯)) ππ₯ = π’(π₯)π£(π₯) β β«(π’β²(π₯)π£(π₯)) ππ₯ (2.11)
karena ππ£ = π£β(π₯)ππ₯ dan ππ’ = π’β(π₯)ππ₯, sehingga Persamaan (2.11) menjadi
β« π’(π₯)ππ£ = π’(π₯)π£(π₯) β β« π£(π₯)ππ’. (2.12)
Persamaan (2.12) merupakan rumus integral parsial (Dale Varberg & Edwin J
Purcell, 2010 : 579).
22
Contoh 2.7:
Akan ditentukan hasil dari β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯.
Berdasarkan Persamaan (2.12), sehingga diperoleh
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ = β1
4ππ₯πππ 4π₯ +
1
4β« ππ₯πππ 2π₯ππ₯ + π
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ = β1
4ππ₯πππ 4π₯ +
1
4(
1
4ππ₯π ππ 4π₯ β
1
4β« ππ₯π ππ 4π₯) + π
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ = β1
4ππ₯πππ 4π₯ +
1
16ππ₯π ππ 4π₯ β
1
16β« ππ₯π ππ 4π₯ + π
17
16β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ = β
4
16ππ₯πππ 4π₯ +
1
16ππ₯π ππ 4π₯ + π
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ = β4
17ππ₯πππ 4π₯ +
1
17ππ₯π ππ 4π₯ + π
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ =1
17ππ₯(β4πππ 4π₯ + π ππ 4π₯) + π.
Jadi, hasil dari
β« ππ₯ π ππ 4π₯ ππ₯ =1
17ππ₯(β4πππ 4π₯ + π ππ 4π₯) + π.
G. Teorema Nilai Rata-Rata Integral
Teorema ini digunakan untuk membuktikan bahwa dalam suatu
perambatan panas pada suatu interval tertutup, dan proses perambatan
panasnya diasumsikan kontinu, maka terdapat minimal satu titik yang terdapat
dalam interval tertutup tersebut.
23
Teorema 2.6 Teorema Nilai Rata-Rata Integral (Dale Varberg & Edwin J
Purcell, 2010 : 387):
Jika fungsi π kontinu pada interval [π, π], maka terdapat suatu bilangan π yang
terletak diantara π dan π, sedemikian sehingga
β« π(π‘)
π
π
ππ‘ = π(π)(π β π).
Bukti:
Andaikan didefinisikan suatu fungsi πΊ(π₯) sebagai berikut
πΊ(π₯) = β« π(π‘)ππ‘
π₯
π
, π β€ π₯ β€ π
Berdasarkan teorema nilai rata-rata turunan yang mengatakan bahwa andaikan
didefinisikan πΊ(π₯), maka terdapat nilai π pada interval (π, π), sehingga
πΊ(π) β πΊ(π) = πΊβ²(π)(π β π)
β« π(π‘)ππ‘ β 0
π
π
= πΊβ²(π)(π β π)
(2.13)
karena πΊβ²(π₯) = π·π₯(β« π(π‘)ππ‘π₯
π). Hal ini akan berakibat nilai dari πΊβ²(π) =
π(π), sehingga Persamaan (2.13) menjadi
π(π) =β« π(π‘)ππ‘
π
π
π β π
Terbukti.
24
H. Persamaan Diferensial
Definisi 2.7 Persamaan Diferensial (Ross,L.S, 1984:3):
Persamaan Diferensial adalah persamaan yang memuat turunan-turunan dari
satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Secara umum Persamaan Diferensial dibedakan menjadi dua, yaitu Persamaan
Diferensial Biasa(PDB) dan Persamaan Diferensial Parsial(PDP).
Definisi 2.8 Persamaan Diferensial Biasa (Ross, L.S, 1984:4):
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan yang memuat turunan-
turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Definisi 2.9 Persamaan Diferensial Parsial (Ross, L.S, 1984:4):
Persamaan Diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat
turunan-turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih
dari satu variabel bebas.
Persamaan Diferensial Parsial biasanya dinotasikan dengan ππ’
ππ₯ untuk turunan
pertama fungsi atas variabel tak bebas π’ terhadap variabel bebas π₯. Untuk
turunan parsial kedua, ketiga sampai turunan ke π berturut-turut dinotasikan
sebagai π2π’
ππ₯2 ,π3π’
ππ₯3 ,π4π’
ππ₯4 , β¦πππ’
ππ₯π. Persamaan Diferensial Parsial juga dapat
dinotasikan π’π₯π₯, β2π’ untuk turunan kedua fungsi atas π’ terhadap π₯.
Contoh 2.8:
25
ππ¦
ππ₯+ 5π¦ = ππ₯
(2.14)
ππ₯
ππ‘+
ππ¦
ππ‘= 2π₯ + π¦
(2.15)
π2π’
ππ‘2= π2
π2π’
ππ₯2
(2.16)
π2π’
ππ₯2=
π2π’
ππ‘2β 2
ππ’
ππ‘
(2.17)
Berdasarkan Contoh (2.8), sesuai dengan Definisi (2.8) dan Definisi
(2.9) tentang Persamaan Diferensial biasa dan Persamaan Diferensial Parsial,
dapat disimpulkan bahwa Persamaan (2.14) dan Persamaan (2.15) merupakan
Persamaan Diferensial biasa. Hal itu karena Persamaan (2.14) terdapat satu
variabel bebas yaitu π₯, dan satu variabel tak bebas yaitu π¦, sedangkan
Persamaan (2.15) terdapat satu variabel bebas yaitu π‘, dan ada dua variabel tak
bebas yaitu π₯, π¦.
Persamaan (2.16) dan Persamaan (2.17) merupakan Persamaan
Diferensial parsial, karena Persamaan (2.16) terdapat dua variabel bebas yaitu
π₯, π‘ dan satu variabel tak bebas π’. Untuk Persamaan (2.17) terdapat dua
variabel bebas yaitu π₯, π‘ dan satu varibel tak bebas π’.
Selanjutnya akan dibahas tentang persamaan Diferensial parsial (PDP).
Definisi 2.10 (James W.B & Ruel V. Churchill 1993:24):
Bentuk umum Persamaan Diferensial parsial linear orde 2 adalah
26
π΄π’π₯π₯ + π΅π’π¦π¦ + πΆπ’π₯π¦ + π·π’π₯ + πΈπ’π¦ + πΉπ’ = πΊ (2.18)
dengan π’ = π’(π₯, π¦), dimana π΄, π΅, πΆ, . . . . πΊ merupakan konstanta atau fungsi
dalam π₯ dan π¦. Apabila nilai dari πΊ = 0, maka Persamaan (2.18) dikatakan
sebagai persamaan Diferensial parsial homogen. Jika nilai πΊ β 0, maka
Persamaan (2.18) dikatakan Persamaan Diferensial parsial nonhomogen.
Selanjutnya akan dibahas tentang Prinsip Superposisi.
Teorema 2.7 Prinsip Superposisi (Dennis G Zill, 2005:130):
Jika π¦1, π¦2, π¦3, β¦ π¦π adalah solusi dari Persamaan Diferensial homogen
berorde π dari Persamaan (2.17) pada interval I, maka kombinasi linearnya
adalah
π¦ = π1π¦1(π₯) + π2π¦2(π₯) + π3π¦3(π₯) + β― + πππ¦π(π₯)
dimana ππ untuk π = 1,2, . . . . π adalah konstanta, juga solusi dalam interval I.
Bukti :
Misalkan πΏ didefinisikan sebagai operator Diferensial dan
π¦1(π₯),π¦2(π₯), π¦3(π₯), β¦ π¦π(π₯) adalah solusi dari persamaan homogen, sehingga
πΏ(π¦(π₯)) = 0. Jika didefinisikan π¦ = π1π¦1(π₯) + π2π¦2(π₯) + π3π¦3(π₯) + β― +
πππ¦π(π₯), maka linearitas dari πΏ adalah
πΏ(π¦) = πΏ(π1π¦1(π₯) + π2π¦2(π₯) + π3π¦3(π₯) + β― + πππ¦π(π₯))
πΏ(π¦) = π1πΏ(π¦1(π₯)) + π2πΏ( π¦2(π₯)) + π3πΏ(π¦3(π₯)) + β― + πππΏ(π¦π(π₯))
27
karena nilai dari πΏ(π¦(π₯)) = 0, maka πΏ(π¦) = π1. 0 + π2. 0 + π3. 0 + β― +
ππ. 0 = 0 (Terbukti).
I. Solusi Persamaan Diferensial Parsial
1. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Untuk ilustrasi yang lebih mudah, dalam hal ini diambil tinjauan sebuah
batang logam dengan panjang π yang dipanasi dengan suhu tertentu. Misalkan
π’(π₯, 0) menyatakan suhu pada posisi π₯ saat waktu π‘ sama dengan nol dan 0 <
π₯ < π , sehingga suhu saat π‘ = 0 untuk setiap posisi dikatakan masalah nilai
awal.
Secara umum syarat batas dibedakan menjadi tiga yaitu syarat batas
Dirichlet, syarat Neumann, dan syarat batas Robin atau Campuran dari syarat
batas Dirichlet dan Neumann. Syarat batas Dirichlet adalah syarat batas yang
kedua ujung batang logam dipertahankan nol derajat, dalam hal ini yang
digunakan untuk mempertahankan suhunya nol derajat adalah benda yang
bersifat isolator. Misalkan π’(π₯, π‘) merupakan suhu pada posisi π₯ saat waktu ke
π‘. Apabila syarat batas Dirichlet dituliskan dalam bentuk notasi matematika,
maka π’(0, π‘) = π’(π, π‘) = 0 dengan π‘ > 0.
Syarat batas Neumann adalah syarat batas yang perubahan suhu di kedua
ujung batang logam dipertahankan 0 derajat. Misalkan ππ’(π₯,π‘)
ππ₯ merupakan
perubahan suhu terhadap posisi. Apabila syarat batas Neumann dituliskan dalam
notasi matematika, maka ππ’(0,π‘)
ππ₯=
ππ’(π,π‘)
ππ₯= 0 dengan π‘ > 0.
28
Syarat batas Robin adalah syarat batas yang perubahan suhu pada posisi
π₯ = 0 dipertahankan nol derajat, sedangkan suhu pada posisi π₯ = π
dipertahankan nol derajat. Apabila dituliskan dalam notasi matematika, maka
ππ’(0,π‘)
ππ₯= π’(π, π‘) = 0 dengan π‘ > 0. Syarat batas Robin disebut juga syarat batas
campuran. Hal ini dikarenakan, syarat batas Robin merupakan kombinasi linear
dari dari syarat batas Dirichlet dan Neumann (Dean G. Duffy, 2003 : 648).
2. Masalah Sturm-Liouville dan Fungsi Eigen
Definisi 2.11 Masalah Sturm-Liouville (Dean G. Duffy, 2003:501):
Diberikan Persamaan Diferensial linear berorde 2 berikut ini
π
ππ₯[π(π₯)
ππ¦
ππ₯] + [π(π₯) + ππ(π₯)]π¦ = 0
π(π₯)π2π¦
ππ₯2+ πβ²(π₯)
ππ¦
ππ₯+ [π(π₯) + ππ(π₯)]π¦ = 0, untuk π β€ π₯ β€ π
(2.19)
dengan syarat batas πΌπ¦(π) + π½π¦β²(π) = 0 dan πΎπ¦(π) + πΏπ¦β²(π) = 0. Dalam hal
ini nilai dari π(π₯), π(π₯), dan π(π₯) merupakan fungsi bilangan real atas π₯, π
adalah suatu parameter. Nilai dari πΌ, π½, πΎ, πΏ merupakan suatu konstanta real,
sedangkan nilai dari π(π₯) dan π(π₯) merupakan suatu fungsi yang kontinu dan
positif yang terletak pada interval π β€ π₯ β€ π, sehingga Persamaan (2.19)
disebut sebagai Masalah Sturm-Liouville.
Ketika π(π₯) atau π(π₯) hilang di salah satu ujung interval [π, π] atau pada interval
tak terbatas, masalah ini merupakan masalah Sturm-Liouville tunggal. Dengan
mempertimbangkan solusi untuk masalah reguler Sturm-Liouville, diperoleh
29
solusi π¦ = 0 untuk semua nilai π. Namun, solusi nontrivial ada jika diambil
nilai tertentu, nilai ini disebut nilai karakteristik atau nilai eigen. Nilai yang
sesuai solusi nontrivial adalah disebut fungsi karakteristik atau fungsi eigen.
(Dean G. Duffy, 2003 : 502).
Selanjutnya, akan ditentukan akar-akar karakteristik dari Persamaan
(2.19). Secara umum, akar-akar karakteristik dari suatu persamaan diferensial
linear homogen orde 2 dibedakan menjadi 3, yaitu:
1. Akar-akar karakteristik riil berbeda
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan (2.19) adalah π
dan π, maka solusi umum dari Persamaan (2.19) adalah
π¦ = π1πππ₯ + π2πππ₯ = π1πππ β(ππ₯) + π2π ππβ (ππ₯).
2. Akar-akar karakteristik riil kembar
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan (2.19) suatu
akar riil kembar yaitu π, maka solusi umum dari Persamaan (2.19) adalah
π¦ = π1πππ₯ + π2π₯πππ₯ .
3. Akar-akar karakteristik bilangan kompleks
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan (2.19) adalah
π + ππ dan π β ππ, maka solusi umum dari Persamaan (2.19) adalah
π¦ = π1πππ (ππ₯) + π2π ππ(ππ₯)
(Ross,L.S, 1984 :126).
30
Contoh 2.9:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada Persamaan
(2.20)
π"(π₯) β π2π(π₯) = 0. (2.20)
Persamaan karakteristik pada Persamaan (2.20) adalah
π2 β π2 = 0
(π β π)(π + π) = 0
π1,2 = Β±π
sehingga solusi umum Persamaan (2.20) adalah
π(π₯) = π3πππ₯ + π4πβππ₯
π(π₯) = (π1 + π2
2) πππ₯ + (
π1 β π2
2) πβππ₯
π(π₯) = (π1
2) πππ₯ + (
π2
2) πππ₯ + + (
π1
2) πβππ₯ β (
π2
2) πβππ₯
π(π₯) = (π1
2) πππ₯ + (
π1
2) πβππ₯ + (
π2
2) πππ₯ β (
π2
2) πβππ₯
π(π₯) = π1 (πππ₯ + πβππ₯
2) + π2 (
πππ₯ β πβππ₯
2)
π(π₯) = π1πππ β(ππ₯) + π2π ππβ(ππ₯).
Jadi, solusi umum dari Persamaan (2.20) adalah
31
π(π₯) = π1πππ β(ππ₯) + π2π ππβ(ππ₯).
Contoh 2.10:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada
Persamaan (2.21)
π"(π₯) β 2ππβ²(π₯) + π2π(π₯) = 0. (2.21)
Persamaan karakteristik dari Persamaan (2.21) adalah
π2 β 2ππ + π2 = 0
(π β π)2 = 0
π1,2 = π
Jadi, solusi umum dari Persamaan (2.21) adalah
π(π₯) = π1πππ₯ + π2π₯πππ₯.
Contoh 2.11:
Akan ditentukan solusi umum dari Masalah Sturm-Liouville pada
Persamaan (2.22)
π"(π₯) + π2π(π₯) = 0. (2.22)
Persamaan karakteristik dari Persamaan (2.22) adalah
π2 + π2 = 0
π = Β±ββπ2
32
π1,2 = Β±ππ
sehingga solusi umum Persamaan (2.22) adalah
π(π₯) = π3πππ₯π + π4πβππ₯π
π(π₯) = π3(πππ (ππ₯) + π π ππ(ππ₯)) + π4(πππ (ππ₯) β π π ππ(ππ₯))
π(π₯) = π3πππ (ππ₯) + ππ3π ππ(ππ₯) + π4πππ (ππ₯) β π4π π ππ(ππ₯)
π(π₯) = π3πππ (ππ₯) + π4πππ (ππ₯) + ππ3π ππ(ππ₯) β π4π π ππ(ππ₯)
π(π₯) = (π3 + π4)πππ (ππ₯) + π(π3 β π4) π ππ(ππ₯)
π(π₯) = π1πππ (ππ₯) + π2 π ππ(ππ₯)
Jadi, solusi umum dari Persamaan (2.22) adalah
π(π₯) = π1πππ (ππ₯) + π2 π ππ(ππ₯).
3. Ortogonal Fungsi Eigen
Diberikan fungsi π(π₯) yang terdefinisi pada interval π < π₯ < π. Kita
dapat menuliskan π(π₯) dalam bentuk fungsi eigen π¦π(π₯), sehingga
π(π₯) = β πππ¦π(π₯)
β
π=1
. (2.23)
Setelah itu kalikan Persamaan (2.23) dengan π(π₯)π¦π(π₯) dengan π adalah
bilangan bulat dan integralkan Persamaan (2.23)dengan batas bawah π dan
batas atas π. Persamaan (2.23) dapat dituliskan menjadi
33
β« π(π₯)π(π₯)π¦π(π₯)ππ₯ =
π
π
β ππ β« π(π₯)
π
π
π¦π(π₯)π¦π(π₯)ππ₯
β
π=1
(2.24)
Bentuk Orthogonal yang berada di ruas kanan di Persamaan (2.24) nilainya
akan sama dengan 0, kecuali nilai π = π, sehingga Persamaan (2.24) menjadi
β« π(π₯)π(π₯)π¦π(π₯)ππ₯ =
π
π
ππ β« π(π₯)
π
π
π¦π(π₯)π¦π(π₯)ππ₯
ππ =β« π(π₯)π(π₯)π¦π(π₯)ππ₯
π
π
β« π(π₯)π
ππ¦π
2 (π₯)ππ₯
(2.25)
kemudian Persamaan (2.25) disebut sebagai Koefisien Fourier secara umum
(Dennis & Michael, 2009:401).
4. Metode Separasi Variabel
Metode Separasi Variabel merupakan salah satu metode yang
digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan Diferensial parsial. Pada
prinsipnya metode ini adalah mengkonversikan masalah persamaan Diferensial
parsial ke dalam persaman Diferensial biasa.Langkah-langkah
penyelesaian(Dean G. Duffy, 2003 : 574):
1. Subtitusi fungsi dari solusi Persamaan diferesial parsial dan pisahkan fungsi
yang memuat satu variabel diruas yang berbeda dengan operasi setiap
fungsinya adalah perkalian.
2. Ambil konstanta pemisah, misalkan β π dengan π merupakan bilangan riil.
3. Pisahkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh Persamaan
diferensial biasa.
34
4. Berdasarkan langkah 3, pisahkan menjadi 3 kemungkinan, yaitu nilai π <
0, π = 0 dan π > 0 dengan mengambil subtitusi pada syarat batas.
5. Berdasarkan langkah 4 tentukan nilai eigen dan fungsi eigen.
6. Selesaikan masalah persamaan diferensial biasa untuk variabel yang lain
dengan menggunakan nilai eigen yang diperoleh pada langkah 5.
7. Gunakan prinsip superposisi untuk memperoleh solusi umum persamaan
diferensial linear homogen orde 2.
Contoh 2.12:
π2π’
ππ‘2= π2
π2π’
ππ₯2.
(2.26)
dengan syarat batas Dirichlet π’(0, π‘) = π’(π, π‘) = 0.
Langkah penyelesaian:
1. Ambil subtitusi fungsi dari solusi Persamaan diferesial parsial dan pisahkan
fungsi yang memuat satu variabel diruas yang berbeda dengan operasi setiap
fungsinya adalah perkalian.
Ambil substitusi π’(π₯, π‘) = π(π₯)π(π‘), sehingga diperoleh π2π’
ππ‘2 =
π(π₯)π"(π‘) dan π2π’
ππ₯2 = π"(π₯)π(π‘), kemudian hasilnya disubtitusikan ke
Persamaan (2.26), maka diperoleh
π2π’
ππ‘2= π2
π2π’
ππ₯2
35
π(π₯)π"(π‘) = π2(π"(π₯)π(π‘)) (2.27)
2. Ambil konstanta pemisah, misalkan β π dengan π merupakan bilangan riil.
Sehingga, Persamaan (2.27) menjadi
π(π₯)π"(π‘) = π2(π"(π₯)π(π‘)) = βπ. (2.28)
3. Pisahkan masing-masing variabel, sehingga menjadi Persamaan diferensial
biasa.
π"(π‘)
π2π(π‘)=
π"(π₯)
π(π₯)= βπ.
(2.29)
Berdasarkan Persamaan (2.29), sehingga diperoleh Masalah Sturm-Liouville
π"(π₯)
π(π₯)= βπ
(2.30)
π"(π‘)
π2π(π‘)= βπ.
(2.31)
4. Berdasarkan langkah 3, pisahkan menjadi 3 kemungkinan, yaitu nilai π <
0, π = 0 dan π > 0 dengan mengambil subtitusi pada syarat batas.
Kemungkinan 1: untuk nilai π = βπ2 < 0, sehingga Persamaan (2.30)
menjadi
π"(π₯) β π2π(π₯) = 0. (2.32)
Solusi umum Persamaan (2.32) adalah
π(π₯) = π1πππ β(ππ₯) + π2π ππβ(ππ₯).
Syarat batas π(0) = 0 β π(π₯) = πΆ1 πππ β(ππ₯) + πΆ2π ππβ (ππ₯)
36
π(0) = πΆ1 πππ β(π. 0) + πΆ2π ππβ (π. 0)
0 = πΆ1. 1 + πΆ2. 0
πΆ1 = 0
syarat batas π(π) = 0 β π(π₯) = πΆ1 πππ β(ππ₯) + πΆ2π ππβ (ππ₯)
π(π) = 0. πππ β(ππ) + πΆ2π ππβ (ππ)
0 = πΆ2
karena πΆ1 = πΆ2 = 0, sehingga untuk nilai π = βπ2 < 0 diperoleh solusi
trivial.
Kemungkinan 2: untuk nilai π = 0, sehingga Persamaan (2.30) menjadi
π"(π₯) = 0. (2.33)
Apabila kedua ruas pada Persamaan (2.33) diintegralkan, maka diperoleh
β« π"(π₯)ππ₯ = β« 0 ππ₯
πβ²(π₯) = π2
β« πβ²(π₯)ππ₯ = β« π2 ππ₯
π(π₯) = π1 + π2π₯.
Syarat batas π(0) = 0 β π(π₯) = πΆ1 + πΆ2π₯
π(0) = πΆ1 + πΆ2. 0
πΆ1 = 0
syarat batas π(π) = 0 β π(π₯) = πΆ1 + πΆ2π₯
37
π(π) = 0 + πΆ2. π
πΆ2 = 0
karena πΆ1 = πΆ2 = 0, sehingga untuk nilai π = 0 diperoleh solusi trivial.
Kemungkinan 3: untuk nilai π = π2 > 0, sehingga Persamaan (2.30)
menjadi
π"(π₯) + π2π(π₯) = 0. (2.34)
Solusi umum Persamaan (2.34) adalah
π(π₯) = π1πππ (ππ₯) + π2 π ππ(ππ₯)
syarat batas π(0) = 0 β π(π₯) = πΆ1πππ (ππ₯) + πΆ2π ππ (ππ₯)
π(0) = πΆ1πππ (π. 0) + πΆ2π ππ (π. 0)
0 = πΆ1. 1 + πΆ2. 0
πΆ1 = 0
syarat batas π(π) = 0 β π(π₯) = πΆ1πππ (ππ₯) + πΆ2π ππ (ππ₯)
π(π) = 0. πππ (ππ) + πΆ2π ππ (ππ)
0 = πΆ2 π ππ(ππ).
Agar diperoleh solusi nontrivial, maka nilai πΆ2 β 0. Tetapi nilai dari
π ππ(ππ) = 0
ππ = ππ, π = 1,2,3 β¦. (2.35)
38
5. Berdasarkan langkah 4, tentukan nilai eigen dan fungsi eigen. Nilai dari
π pada Persamaan (2.35) bergantung dengan π, sehingga π = ππ. Oleh
karena itu Persamaan (2.35) dapat dituliskan
πππ = ππ, π = 1,2,3 β¦.
ππ =ππ
π, π = 1,2,3 β¦.
Karena nilai dari π(π₯) = πΆ1πππ (ππ₯) + πΆ2π ππ (ππ₯), dengan
πΆ1 = 0, sehingga π(π₯) = πΆ2π ππ (ππ₯). Nilai dari π bergantung pada π, hal
tersebut berakibat nilai dari π(π₯) juga bergantung pada π. Jadi, fungsi eigen
dari Persamaan (2.34) adalah
ππ(π₯) = πΆ2π ππ (ππ
ππ₯) dengan π = 1,2,3,4 β¦. (2.36)
6. Selesaikan masalah persamaan diferensial biasa untuk variabel yang lain
dengan menggunakan nilai eigen yang diperoleh pada langkah 5.
Selanjutnya akan ditentukan solusi dari Persamaan
π"(π‘)
π2π(π‘)= βπ.
(2.37)
Mengingat nilai π yang memenuhi adalah π = π2 > 0 dan nilai π
bergantung pada π. Hal itu berakibat nilai dari π(π‘) juga bergantung pada
π, sehingga ππ = ππ2 = (
ππ
π)
2, π = 1,2,3 β¦. Persamaan (2.37) dapat
dituliskan menjadi
π"(π‘) + π2π2π(π‘) = 0
39
dan diperoleh solusi dari Persamaan (2.37) adalah
π(π‘) = πΆ3πππ (πππ‘) + πΆ4π ππ(πππ‘)
ππ(π‘) = (πΆ3)ππππ (ππππ‘
π) + (πΆ4)ππ ππ (
ππππ‘
π)
(2.38)
7. Gunakan prinsip superposisi untuk memperoleh solusi umum persamaan
diferensial linear homogen orde 2. Berdasarkan Persamaan (2.36) dan
Persamaan (2.38) nilai dari π(π₯), π(π‘) bergantung pada π, sehingga nilai
dari π’(π₯, π‘) juga bergantung pada π. Oleh karena itu, π’(π₯, π‘) = π(π₯). π(π‘)
dapat dituliskan menjadi
π’π(π₯, π‘) = ((πΆ3)ππππ (ππππ‘
π) + (πΆ4)ππ ππ (
ππππ‘
π)) (πΆ2π ππ (
ππ
ππ₯))
(2.39)
dengan π = 1,2,3 β¦ Apabila Persamaan (2.39) diubah dengan menggunakan
prinsip superposisi, maka didapatkan
π’(π₯, π‘) = β ((πΆ3)ππππ (ππππ‘
π) + (πΆ4)ππ ππ (
ππππ‘
π)) (πΆ2π ππ (
ππ
ππ₯))
β
π=1
(Walter A. Strauss, 1992 : 83).
Definisi 2.12 Deret Fourier ( Dennis G Zill & Warren Wright 2013: 427):
Deret fourier pada fungsi π yang terdefinisi pada interval (βπ, π)adalah
π(π₯) =π0
2+ β (πππππ (
πππ₯
π) + πππ ππ (
πππ₯
π))
β
π=1
dengan
5. Deret Fourier
40
π0 =1
πβ« π(π₯)ππ₯
π
βπ
ππ =1
πβ« π(π₯)πππ (
πππ₯
π) ππ₯
π
βπ
ππ =1
πβ« π(π₯)π ππ (
πππ₯
π) ππ₯
π
βπ
Contoh 2.13:
Akan ditentukan deret Fourier dari π(π₯) = {βπ₯, jika β 1 < π₯ < 0
π₯, jika 0 < π₯ < 1.
Berdasarkan Definisi (2.12) tentang deret Fourier, sehingga diperoleh nilai
dari
π0 =1
1( β« βπ₯ππ₯
0
β1
+ β« π₯ππ₯
1
0
) = β1
2π₯2]
β1
0
+1
2π₯2]
0
1
= 1
ππ =1
1( β« βπ₯πππ (πππ₯)ππ₯
0
β1
+ β« π₯πππ (πππ₯)ππ₯
1
0
)
ππ =
βπ₯
ππ ππ(πππ₯) β
1
π2πππ (πππ₯)]
β1
0
+π₯
ππ ππ(πππ₯) +
1
π2πππ (πππ₯)]
0
1
ππ =
2
(ππ)2((β1)π β 1)
ππ =1
1( β« βπ₯π ππ(πππ₯)ππ₯
0
β1
+ β« π₯π ππ(πππ₯)ππ₯
1
0
) = 0
41
ππ =
π₯
ππππ (πππ₯) β
1
π2π ππ(πππ₯)]
β1
0
+βπ₯
ππ ππ(πππ₯) +
1
π2πππ (πππ₯)]
0
1
= 0
Jadi, deret Fourier dari π(π₯) adalah
π(π₯) =
π0
2+ β (πππππ (
πππ₯
π) + πππ ππ (
πππ₯
π))
β
π=1
π(π₯) =
1
2+ β (
2
(ππ)2((β1)π β 1)πππ (πππ₯))
β
π=1
π(π₯) =1
2β
4
π2β (
πππ (πππ₯)
π2)
β
π=1,3,5β¦
(Mayer Humi & William B. Miller, 1992:80).
J. Sifat-Sifat Perambatan Panas
Menurut Holman(2010:6), dalam proses perambatan panas terdapat
beberapa sifat yang perlu diperhatikan, diantaranya.
1. Panas hanya mengalir dari suhu yang tinggi menuju suhu yang rendah.
2. Kecepatan perambatan panas dipengaruhi oleh konduksi bahan
penyusunnya.
3. Ketebalan batang logam, panjang batang logam, luas penampang, dan
volume penampang.