zadatak predikatske logike - pmf.ni.ac.rs predikatske logike iskazna logika se bavi reˇcenicama kao...

Zadatak predikatske logikeZadatak predikatske logikeZadatak predikatske logike

Iskazna logika se bavi recenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu

unutrasnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Zbog toga se pomocu iskaznih formula ne moze izraziti sve ono sto

inace izrazavamo u matematici.

Na primer, iskaznom formulom se ne moze izraziti

”postoji element u skupu X koji nije u skupu Y ”.

Za simbolicko izrazavanje takvih recenica ocito nisu dovoljni samo

iskazna slova i iskazni veznici.

Pored toga, postoje primeri logicke argumentacije koji izgledaju savrseno

ispravni, ali se ne mogu izraziti koriscenjem iskazne logike.

Matemati cka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatemati cka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatemati cka logika – 2 – Predikatska logika - I deo


Primer 1:

1. Svi macori imaju repove.

2. Tom je macor.

Iz ovih dveju recenica trebalo bi da smo u stanju da zakljucimo

sledece:

3. Tom ima rep.

Da bi pokazali da je ova argumentacija ispravna, moramo biti u stanju

da identifikujemo individue, kao sto je Tom, zajedno sa njihovim svo-

jstvima i predikatima.

To je zadatak predikatske logike.



Generalno, predikati se koriste da se opisu izvesna svojstva i odnosi

izmedu individua i objekata.

Primer 2: U ”Petar i Marko su braca”, izraz ”su braca” je predikat.

Entiteti povezani na ovakav nacin, kao sto su ”Petar” i ”Marko”, nazi-

vaju se termi.

Naziv ”term” bi se mogao prevesti kao ”izraz”.

Medutim, kako se pojam ”izraz” ovde koristi u opstijem i neformalnom

smislu, to se kod nas naziv ”term” odomacio bas u takvom obliku.

U predikatskoj logici termi igraju ulogu slicnu onoj koju u prirodnom

jeziku igraju imenice i zamenice, a predikati ulogu slicnu glagolima.



Pored terma i predikata, u predikatskoj logici koriste se i kvantifikatori

ili kvantori.

Njihova uloga je da naznace koliko cesto je neko tvrdenje tacno.

Univerzalni kvantifikator se koristi da naznaci da je tvrdenje uvek tacno.

Sa druge strane, egzistencijalni kvantifikator se koristi da naznaci da je

tvrdenje ponekad tacno.

Primer 3: U ”Svi macori imaju repove”, recju ”svi” istice se da je

tvrdenje ”macori imaju repove” univerzalno tacno.



Predikatska logika je uopstenje iskazne logike.

Zbog toga, pored terma, predikata i kvantifikatora, jezik predikatske

logike sadrzi i iskazne promenljive, konstante i veznike.

Znacajnu ulogu igraju i funkcije, koje su kljucne kada se razmatraju

jednacine.


Predikatska logika u InformaticiPredikatska logika u InformaticiPredikatska logika u Informatici

❏ Predikatska logika predstavlja osnovu jezika logickog programiranja,

kakav je Prolog.

❏ Predikatska logika se sve vise korisiti u specificiranju zahteva racu-

narskih aplikacija.

❏ U oblasti verifikacije korektnosti programa, predikatska logika omo-

gucava da se precizno utvrdi pod kakvim uslovima program daje

korektan izlaz.


DomenDomenDomen

Primer 4: Razmotrimo sledecu argumentaciju:

1. Marija je Petrova majka.

2. Marija je Markova majka.

3. Svake dve muske osobe koje imaju istu majku su rodena braca.

4. Petar i Marko su rodena braca.

Medutim, istinitist tvrdenja ”Marija je Petrova majka” moze se proce-

niti samo unutar odredenog konteksta.

Postoji puno osoba koje se zovu Marija i Petar, i bez preciznijih informa-

cija tvrdenje se odnosi na mnogo razlicitih ljudi, sto ga cini visesmislenim.


DomenDomenDomen

Da bi se sprecile takve visesmislenosti uvodi se sledeci pojam:

❏ Domen ili univerzum razmatranja je kolekcija svih osoba, ideja,

simbola, struktura podataka, itd., na koje se odnosi logicka argu-

mentacija koju razmatramo.

U ranijem primeru o Mariji, Petru i Marku, visesmislenost se moze

izbeci ako domen ogranicimo na osobe koje zive u odredenoj kuci,

stambenoj zgradi i slicno.

Mnoge argumentacije ukljucuju brojeve, i u takvim slucajevima moramo

precizirati da li je domen skup prirodnih, celih, racionalnih, realnih ili

kompleksnih brojeva.


DomenDomenDomen

Istinitost tvrdenja moze zavisiti od domena koji smo izabrali.

Na primer, tvrdenje ”postoji najmanji broj” je tacno ako je domen skup

prirodnih brojeva, ali nije tacno ako je domen skup celih brojeva.

❏ Elemente domena nazivamo individue.

Individua moze biti osoba, broj, struktura podataka, ili bilo sta drugo

sto zahteva da se o njemu rasuduje.

Da bi se izbegao trivijalan slucaj, dogovoricemo se da svaki domen mora

da sadrzi bar jednu individuu.

❏ Umesto naziva ”individua” ponekad se koristi naziv objekat.


DomenDomenDomen

❏ Da bi uputili na izvesnu konkretnu individuu ili objekat, koristimo

identifikatore koje nazivamo individualne konstante.

Ako se domen sastoji od osoba, individualne konstante mogu biti nji-

hova imena.

U slucaju prirodnih brojeva, individualne konstante su cifre koje pred-

stavljaju te brojeve.

Svaka individualna konstanta mora jednoznacno da identifikuje jednu

konkretnu individuu, i nijednu drugu.


PredikatiPredikatiPredikati

Generalno, predikatima se izrazavaju tvrdenja o individuama, kao u

– ”Petar i Marko su rodena braca”.

– ”Ana je Markova majka”.

– ”Tom je macak”.

– ”Zbir brojeva 2 i 3 je 5”.

U ovim primerima individue smo oznacili plavom bojom.

U svakom od ovih tvrdenja postoji lista individua, koja je zadata listom

argumenata, zajedno sa frazama koje opisuju izvesna svojstva ili relacije

izmedu individua navedenih u listi argumenata.

Ta svojstva ili relacije nazivamo predikatima.



U tvrdenju ”Petar i Marko su rodena braca” lista argumenata sa satoji

od ”Petar” i ”Marko”, tim redom, dok je predikat opisan frazom ”su

rodena braca”.

Slino, tvrdenje ”Tom je macak” ima listu argumen ata sa samo jednim

elementom ”Tom”, a predikat je opisan sa ”je macak”.

Elemente liste argumenata nazivamo argumentima.

Argumenti mogu biti ili promenljive, ili individualne konstante, ali posto

jos uvek nismo govorili o promenljivim, zadrzacemo nasu paznju samo

na slucajeve kada su svi argumenti individualne konstante.



U predikatskoj logici, svaki predikat je zadat svojim imenom, za kojim

sledi lista argumenata, koja je ogradena malim zagradama.

Na primer, da bi izrazili tvrdenje ”Ana je Markova majka” mozemo

izabrati identifikator, recimo ”majka” da izrazi predikat ”je majka od”,

tako sto cemo pisati majka(Ana, Marko).

Da bi pojednostavili pisanje, najcesce koristimo samo jedno slovo kao

ime predikata ili konstante.

Tako umesto majka(Ana, Marko) mozemo pisati M(a, m), gde je

M ime predikata ”je (cija) majka”, dok su a i m imena individualnih

konstanti ”Ana” i ”Marko”.



Primetimo da je redosled argumenata izuzetno bitan.

Na primer, predikati majka(Ana, Marija) i majka(Marija, Ana)

imaju potpuno drugaciji smisao, dok za predikat majka(Marko, Ana)

mozemo cak reci i da je besmislen.

Broj elemenata u listi argumenata nazivamo arnost ili duzina predikata.

Na primer, predikat majka(Ana, Marko) ima arnost 2.

Arnost predikata je fiksirana. Na primer, isti predikat ne moze imati

dva argumenta u jednom slucaju, a tri argumenta u drugom slucaju.

Predikati sa razlicitom arnoscu su razliciti.



Ilustrujmo ovo sledecim primerom:

➠ Suma brojeva 2 i 3 je 5.

➠ Suma brojeva 2, 3 i 4 je 9.

Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike, mozemo koristiti dva

imena predikata, na primer ”zbir2” i ”zbir3”, cime dobijamo predikate

zbir2(2, 3, 5) i zbir3(2, 3, 4, 9).

Druga mogucnost je da, jedn ostavnosti radi, za oba ova predikata

koristimo isto ime, na primer zbir, pri cemu implicitno podrazumevamo

da su zbir(2, 3, 5) i zbir(2, 3, 4, 9) razliciti predikati.



❏ Predikat arnosti n nazivamo n-mestni predikat.

❏ Jednomestan predikat nazivamo svojstvo.

Drugim recima, arnost predikata se moze shvatiti kao broj mesta u

zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajuci argumenti.

Primer 5:

➠ U ”Tom je macak” imamo da ”je macak” jeste jednomestan predikat,

tj. svojstvo.

➠ U ”Ana je Markova majka” predikat ”je majka od” je dvomestan.

➠ U ”Suma brojeva 2 i 3 je 6” predikat ”je suma brojeva” je tromestan.


Atomi cne formuleAtomi cne formuleAtomi cne formule

❏ Ime predikata, praceno listom argumenata u zagradama, nazivamo

atomicnom formulom.

Atomicne formule mogu se kombinovati pomocu logickih veznika, poput

iskaza, odnosno iskaznih formula.

Na primer, ako su cat(Tom) i hastail(Tom) dve atomicne formule,

kojima je izrazeno da je Tom macak, odnosno da ima rep, onda mozemo

formirati slozenu formulu

cat(Tom) ⇒ hastail(Tom)

koja izrazava tvrdenje da ako je Tom macak, onda on ima rep.



U slucaju kada su svi argumenti predikata individualne konstante, sto

je jedini tip predikata koje smo do sada razmatrali, tada rezultujuca

atomicna formula mora biti ili tacna ili netacna.

To je deo definicije predikata.

Na primer, ako se domen sastoji od individua Dejan, Ana, Marko i

Petar, tada za svaki uredeni par individua treba da znamo da li je na

tom paru dvomestni predikat ”je majka od” tacan ili ne.

To moze biti uradeno u obliku tabele.

Metod koji svim mogucim kombinacijama individua predikata pridruzuje

istinitosne vrednosti naziva se dodeljivanje.



Na primer, sledeca tabela je dodeljivanje za predikat ”je majka od”.

Dejan Ana Marko Petar

Dejan 0 0 0 0

Ana 0 0 1 1

Marko 0 0 0 0

Petar 0 0 0 0



Drugi primer dodeljivanja je sledeci.

Domen se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 4, a predikat ”veci” je tav can

ako je prvi argument veci od drugog argumenta.

Na primer, predikat veci(4, 3) je tacan, a predikat veci(3, 4) je netacan.

Prema tome, dodeljivanje za predikat ”veci” je

1 2 3 4

1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

3 1 1 0 0

4 1 1 1 0



U slucaju konacnog domena, dodeljivanja za n-arne predikate mogu se

predstaviti n-dimenzionalnim nizovima.

Primetimo i da matematicke relacije <, 6, > i > jesu predikati.

Ipak, te predikate obiv cno pisemo u infiks notaciji, pod cime po-

drazumevamo da su znaci kojima ih oznacavamo smesteni izmedu ar-

gumenata, a ne ispred argumenata.

Na primer, da bi smo izrazili da je 2 vece od 1, radije pisemo 2 > 1

nego > (2, 1).


PromenljivePromenljivePromenljive

Cesto se ne zeli da se kao argumenti atomicnih formula razmatraju kon-

kretne individue. U takvim prilikama, umesto individualnih konstanti

koriste se promenljive.

Za oznacavanje promenljivih najcesce se koriste poslednja slova latinic-

nog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa.

Primer 6:

➠ cat(x) ⇒ hastail(x)

➠ dog(y) ∧ brown(y)

➠ grade(x) ⇒ (x 6= 0) ∧ (x 6 100)

Prva i treca formula sadrze promenljivu x, a druga promenljivu y.



Kao i u iskaznom racunu, formulama mozemo dati imena.

Na primer, mozemo definisati A sa

A = cat(x) ⇒ hastail(x)

Gledano sa aspekta sintakse, promenljive je moguce koristiti na svim

mestima na kojima je dozvoljeno koristiti individualne konstante.

Prema tome, pojam ”term” se koristi da predstavi ilikonstantu, ili

promenljivu.

Uopsteno govoreci, term je bilo sta sto se moze koristiti umesto indi-

vidua.



Cesto se javlja potreba da se sva pojavljivanja neke konkretne promenljive

u formuli zamene termom.

Na primer, u izrazu cat(x) ⇒ hastail(x) moze se javiti potreba da

se sva pojavljivanja promenljive x zamene termom Tom, sto daje

cat(Tom) ⇒ hastail(Tom).

Neka je sa A oznacena formula, sa x promenljiva a sa t term. Tada sa

SxtA oznacavamo formulu dobijenu zamenom svih pojavljivanja promen-

ljive x u formuli A termom t.

❏ SxtA se naziva instancijacija formule A, a za t se kaze da je instanca

promenljive x.



Primer 7: Neka su a, b i c individualne konstante, neka su P i Q

jednomestni predikati i neka su x i y promenljive. Tada:

➠ Sxa(P (a) ⇒ Q(x)) = P (a) ⇒ Q(a);

➠ Sya(P (y) ∨ Q(y)) = P (a) ∨ Q(a);

➠ Sya(Q(a)) = Q(a);

➠ Sya(P (x) ⇒ Q(x)) = P (x) ⇒ Q(x).

SXt

je zapravo operacija koja se moze vrsiti nad predikatima.


KvantifikatoriKvantifikatoriKvantifikatori

Razmotrimo sledeca tri tvrdenja:

➠ Sve macke imaju repove.

➠ Neki ljudi vole sirovo meso.

➠ Svako mora jednom da se odmori.

Sva ova tvrdenja ukazuju na to koliko cesto su neke stvari tacne.

U predikatskoj logici se za takve potrebe koriste kvantifikatori:

❏ univerzalni kvantifikator

❏ egzistencijalni kvantifikator


Univerzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikatorUniverzalni kvantifikator

Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.

Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za sve moguce vrednosti

promenljive x, onda pisemo

(∀x)A ili ∀x A,

pri cemu kazemo sledece:

❏ (∀x)A je univerzalni kvantifikator;

❏ formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

❏ simbol ∀ citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”.



Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao

celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.

Tvrdenja koja sadrze reci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”

i slicno, obicno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.

Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”za svaki x”,

sto se potom prevodi u ∀x.

Na primer, neka je T ranije razmatrani predikat ”imati rep”. Tada je

sa T (x) oznaceno tvrdenje ”x ima rep”.

Prema tome, tvrdenje ”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa

(∀x)T (x).



Naravno, ovde se podrazumevalo da domen, gde promenljiva x uzima

svoje vrednosti, jeste kolekcija macaka.

Medutim, ako domen nismo tako odredili, onda moramo da uvedemo

i predikat C: ”biti macka”, odnosno C(x): ”x je macka”, i onda se

”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa

(∀x)(C(x) ⇒ T (x)).

U ovom slucaju formula A, tj. oblast dejstva kvantifikatora, je

A = C(x) ⇒ T (x).


Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator

Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.

Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za bar jednu vrednost

promenljive x, onda pisemo

(∃x)A ili ∃x A,

pri cemu kazemo sledece:

❏ (∃x)A je egzistencijalni kvantifikator;

❏ formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;

❏ promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;

❏ simbol ∃ citamo ”postoji”, odnosno (∃x)A citamo ”postoji x tako

da vazi A” ili ”postoji x tako da A”.


Egzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikatorEgzistencijalni kvantifikator

Tvrdenja koja sadrze reci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i slicno, obicno

ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.

Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”postoji x

tako da”, sto se potom prevodi u ∃x.

Na primer, neka je V predikat ”voleti sirovo meso”. Tada je (∃x)P (x)

oznaka za

”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”

ili

”Neki ljudi vole sirovo meso”.


Napomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorimaNapomene o kvantifikatorima

❏ Kao sto smo vec rekli, ∀x i ∃x se mogu shvatiti kao unarni veznici.

❏ Poput negacije, kvantifikatori su viseg prioriteta u odnosu na binar-

ne veznike, sto znaci da prvo primenjujemo kvantifikatore, pa tek

onda binarne veznike.

Na primer, neka P (x) znaci ”x je zivo” a Q(x) znaci ”x je nezivo”.

Tada

(∀x)(P (x) ∨ Q(x))

ukazuje na to da je bio sta ili zivo ili nezivo.

Sa druge strane,

(∀x)P (x) ∨ Q(x)

znaci da je bilo sta zivo, ili da je x nezivo.



❏ Promenljiva x u izrazu ∀x ili ∃x je samo nesto sto bi se na en-

gleskom jeziku moglo nazvati ”placeholder” (drzac, nosilac mesta).

To znaci da ako imamo formulu (∀x)A, odnosno (∃x)A, gde je A

oblast dejstva kvantifikatora, onda u ∀x, odnosno ∃x, i svuda u A,

promenljivu x mozemo zameniti bilo kojom drugom promenljivom

y koja se ne javlja u A, i pri tome se nista nece promeniti.

Naime, formule (∀x)P (x) i (∀y)P (y) imaju isto znacenje, one su

logicki ekvivalentne.



Drugim recima, promenljiva x je zajednicko ime za sve individue iz

datog domena, pa se znacenje predikatskih formula se nece promeniti

ako to ime, svuda gde se ono koristi, zamenimo nekim drugim, koje

se ne koristi za neke druge individue.

❏ Za formulu kazemo da je varijanta formule (∀x)A ako je oblika

(∀y)SxyA, gde je y bilo koja promenljiva, a Sx

yA je formula dobijena

iz A zamenom svih pojavljivanja promenljive x sa promenljivom y.

❏ Na potpuno isti nacin se definise i varijanta formule (∃x)A



❏ Kvantifikatori mogu biti ugnjezdavani (engleski nested).

To ilustrujemo sledecim primerom.

➠ Recenicu ”Postoji neko ko poznaje svakog” prevesti na jezik predi-

katske logike. Koristiti oznaku K(x, y) za ”x poznaje y”.

Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pisemo

(∃x)(x poznaje svakog).

Izraz ”x poznaje svakog” je i dalje u govornom jeziku, i znaci da ”za

svako y vazi da x poznaje y”. Prema tome, ”x poznaje svakog”

se moze izraziti sa

(∀y)K(x, y).



Dakle, ”postoji neko ko poznaje svakog” se moze izraziti sa

(∃x)(∀y)K(x, y).

❏ Tvrdenje ”Niko nije savrsen” takode ukljucuje kvantifikator ”niko”

koji ukazuje na odsustvo individue koja ima odredeno svojstvo.

U predikatskoj logici cinjenica da niko nema svojstvo P se moze

izraziti direktno.

Naime, cinjenica da ”ne postoji x za koje vazi A” se moze izraziti

bilo sa ¬(∃x)A ili sa (∀x)¬A.

Ako sa P oznacimo svojstvo ”biti savrsen”, onda i ¬(∃x)P (x) i

(∀x)¬P (x) ukazuju na to da niko nije savrsen.


Vezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljiveVezane i slobodne promenljive

❏ Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili

∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kazemo da je

vezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.

Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja tri

puta, i sva tri pojavljivanja su vezana.

❏ Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno po-

javljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.

Kasnije cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moze imati

i vezana i slobodna pojavljivanja.

U takvim slucajevima je neophodno jasno istaci poziciju na kojoj se

javlja promenljiva o kojoj govorimo.



Primer 8: Odrediti slobodne promenljive u

(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).

Samo je promenljiva x slobodna, dok su sva pojavljivanja promenljivih

y i z vezana.

Primetimo da se status promenljive moze promeniti kada se iz formule

izdvoji podformula.

Na primer, u (∀x)P (x) promenljiva x se javlja dva puta, oba puta

kao vezana. Ova formula sadrzi P (x) kao podformulu, i u njoj je x

slobodna promenljiva.



❏ Instancijacija, zamena promenljive termom, utice samo na slobodne

promenljive.

Preciznije, ako je A formula, onda SxtA utice samo na slobodna

pojavljivanja promenljive x u A.

Na primer, Sxy(∀x)P (x) je (∀y)P (y), a to je sa aspekta logike,

kako smo vec napomenuli, isto sto i (∀x)P (x).

Dakle, ovom zamenom nismo nista promenili.

Sa druge strane, Sxy(Q(x) ∧ (∀x)P (x)) daje Q(y) ∧ (∀x)P (x).



❏ Prema tome, instancijacija se prema promenljivim odnosi razlicito,

zavisno od toga da li su slobodne ili vezane, cak i ako se ista

promenljiva javlja dva puta u istom izrazu, jednom kao slobodna

a drugi put kao vezana.

Ocigledno, dve stvari su identicne samo ako uvek imaju identican

tretman. To povlaci da, ako se promenljiva javlja i kao slobodna

i kao vezana u istoj formuli, onda mi zapravo imamo dve razlicite

promenljive za koje se samo desilo da imaju isto ime.

Zbog toga se treba truditi da promenljive, koje su fakticki razlicite,

razlicito i oznacavamo.


Napomene o promenljivimNapomene o promenljivimNapomene o promenljivim

❏ Vezane promenljive mozemo tretirati kao lokalne u okviru oblasti

dejstva kvantifikatora, upravo onako kako su parametri i lokalno

deklarisane promenljive u PASCAL-u lokalne u procedurama u ko-

jima su deklarisane.

❏ Analogija sa PASCAL-om se moze dalje prosiriti i ako razmatramo

ime promenljive u kvantifikatoru kao deklaraciju.

Ova analogija takode sugerise da, ako nekoliko kvantifikatora koristi

istu vezanu promenljivu za kvantifikaciju, tada su sve te promenljive

lokalne u okviru oblasti dejstva odgovarajuceg kvantifikatora, i prema

tome, razlicite su.



❏ Kada se formiraju varijante, preba paziti da se ne remete lokalne

definicije.

Da bi smo ilustrovali ovo, razmotrimo tvrdenje ”y ima majku”.

Ako sa M oznacimo predikat ”je majka od”, tada se to tvrdenje

moze izraziti sa (∃x)M(x, y).

Jasno je da u ovoj formuli promenljivu x ne smemo zameniti sa y,

jer u tom slucaju dobijamo (∃y)M(y, y), sto znaci da je y sebi

majka.

Sa druge strane, ilegalna je i instancijacija Syx((∃x)M(x, y)) jer i

ona daje (∃x)M(x, x).



❏ Iz svega napred recenog zakljucujemo da za instancijacije (zamene

promenljivih termima) moraju da postoje neka ogranicenja.

Instancijacija koje dovodi do toga da promenljiva koja je imala slo-

bodno pojavljivanje postane vezana naziva se sukob promenljivih.

Jasno, svi sukobi promenljivih se moraju izbeci.


Restrikcija kvantifikatoraRestrikcija kvantifikatoraRestrikcija kvantifikatora

❏ Ponekad se kvantifikovanje vrsi samo nad podskupom domena.

Na primer, uzmimo da je domen kolekcija svih zivotinja.

Kako izraziti recenice poput ”Svi psi su sisari” ili ”Neki psi su ridi”?

❏ Razmotrimo prvo tvrdenje ”Svi psi su sisari”.

Kako kvantifikator treba da se ogranici na pse, mozemo prefor-

mulisati tvrdenje sa ”Ako je x pas, onda je x sisar”, sto dovodi do

formule

(∀x)(P (x) ⇒ S(x)).

Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Sve individue sa

svojstvom P (x) imaju svojstvo S(x)”.



❏ Razmotrimo sada drugo tvrdenje ”Neki psi su ridi”.

To znaci da postoje neke zivotinje koje su psi i koje su ride.

Jasno, tvrdenje ”x je pas i x je rid” se prevesti u

P (x) ∧ R(x)

pa se ”postoje neki ridi psi” moze prevesti u

(∃x)(P (x) ∧ R(x)).

Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Neke individue sa

svojstvom P (x) imaju takode i svojstvo R(x)”.



❏ Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo

samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikaciju

da bi ogranicili domen.

❏ Ako na slican nacin zelimo da ogranicimo primenu egzistencijalnog

kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju.

❏ Umesto (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) obicno pisemo

(∀x ∈ D) Q(x),

gde je D = {x | P (x)} skup svih individua sa svojstvom P (x), dok

umesto (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) pisemo

(∃x ∈ D) Q(x).


Jezik predikatske logikeJezik predikatske logikeJezik predikatske logike

Posle objasnjenja osnovnih koncepata predikatske logike, stigli smo i

do formalne definicije jezika predikatske logike.

Jezik predikatske logike, u oznaci Lp sastoji se od sledecih osnovnih

simbola:

❏ znaci konstanti: a1, a2, a3, . . .

U slucajevima kada radimo sa manjim brojem konstanti, umesto

ovih mozemo koristiti i znake a, b, c, . . .

❏ znaci promenljivih: x1, x2, x3, . . .

Kada radimo sa ne velikim brojem promenljivih, mozemo koristiti i

znake x, y, z, . . .



Ponegde se koristi i konvencija da se vezane i slobodne promenljive

oznacavaju drugacije, na primer,

➠ za vezane promenljive koriste se znaci x, y, z, . . . , ili sa odgo-

varajucim indeksima,

➠ za slobodne promenljive koriste se znaci u, v, w, . . . , ili sa

odgovarajucim indeksima.

❏ funkcijski znaci: f1

1, f1

2, . . . , f2

1, . . . , f

j

i , . . .

Dozvoljeni su i neki drugi znaci, kao sto su f , g, h, . . .

Ovi znaci se koriste za oznacavanje funkcija proizvoljnih arnosti

(duzine), pomocu kojih gradimo slozenije terme.



❏ predikatski ili relacijski znaci: R1

1, R1

2, . . . , R2

1, . . . , R

j

i , . . .

ili P , Q, R, . . .

Ovi znaci se koriste za oznacavanje relacija, odnosno predikata, ta-

kode proizvoljnih arnosti.

❏ logicki veznici: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔,

❏ kvantifikatori: ∀, ∃

❏ pomocni znaci: zagrade ( i ), zapeta ,



Svaka posebna matematicka teorija ima svoj specifican jezik, svoj skup

polaznih simbola – oznaka konstanti, funkcijskih i relacijskih znaka.

Kada se zadaje takav specifican jezik, onda se za svaki funkcijski znak,

odnosno relacijski znak, mora jasno odrediti njegova arnost (duzina,

broj argumenata).

Kada se to ucini, onda ce se znati da se funkcijskim znakom arnosti n

oznacavaju samo operacije iste te arnosti, a relacijskim znakom arnosti

n samo relacije iste te arnosti.

U oznacavanju funkcijskih i relacijskih znaka sa fj

i , odnosno Rj

i , gornji

indeks oznacava arnost tog znaka, a donji sluzi za razlikovanje znakova

iste duzine, kada radimo sa vise takvih znakova.



Ipak, kod znakova konstanti, promenljivih, funkcijskih i relacijskih znaka

cesto i ne pisemo gornje ili donje indekse – gornji se izostavljaju ako je

jasno koja je arnost razmatranih simbola, a donji se izostavljaju ako na

neki drugi nacin mozemo da napravimo razliku izmedu tih simbola.

Logicki simboli i promenljive su svuda isti, uz napred vec izrecenu

napomenu da promenljive mogu biti i slova bez indeksa (na primer

x, y, z), velika slova, slova grckog alfabeta itd.

U mnogim slucajevima razmatrani jezik ce sadrzati i binarni relacijski

znak =, koji interpretiramo upravo kao jednakost.



Primer 9: U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa

operacijama sabiranja i mnozenja i uobicajenom relacijom poretka, ima-

mo sledece:

➠ Simbol konstante je samo broj 1,

➠ Operacijski znaci su f2

1i f2

2, i oznacavaju se redom sa + (plus) i

· (puta),

➠ Relacijski znaci su R2

1i R2

2, a njihove uobicajene oznake su redom

= i 6.

Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne

brojeve dobijamo na sledeci nacin:

2def= 1 + 1, 3

def= 2 + 1, 4

def= 3 + 1, . . .



U manje formalnom (ali cescem) izlaganju, konstantom se smatra oz-

naka svakog prirodnog broja.

Isto vazi i za druge strukture brojeva.

Tako je i u primerima koji slede.


TermiTermiTermi

Definicija terma je induktivna:

(i) Promenljive i znaci konstanti su termi.

(ii) Ako je fnm

funkcijski znak (arnosti n), a t1, . . . , tn su termi, onda

je term i izraz

fnm

(t1, . . . , tn).

(iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom

pravila (i) i (ii) konacan broj puta.

Prema tome, termi se grade samo od konstanti, promenljivih i funkcij-

skih znaka.


TermiTermiTermi

Primer 10: Primeri terma su:

f1

1(x1), f3

1(x1, x2, f1

1(x2)), f2

2(x1, f2

1(x2, a1)).

Na jeziku prirodnih brojeva uobicajeno je da se, na primer, term

f2

2(x1, f2

1(x2, a1))

belezi sa x(y + 1) i sl.



Kao sto je receno, od terma se do recenica (formula) dolazi tek kada

se termi povezu simbolima relacija.

Kada se termi povezu odgovarajucim relacijskim znakom, dobijaju se

najjednostavnije formule koje se nazivaju atomarne ili atomicne formule.

Naime, neka Rni

jeste n-arni relacijski znak i t1, . . . , tn su termi.

Tada se izraz oblika

Rni(t1, . . . , tn)

naziva atomicna formula.



Primer 11: Atomicne formule su, na primer

R3

1(f1

1(x2), x1, f2

1(x2, x3)), R2

2(a1, f1

1(x2)), R1

1(f3

1(x1, x1, x2)).

U jeziku teorije skupova jedna atomicna formula je

X ⊆ Y ∪ Z,

a u strukturi prirodnih brojeva je to, na primer,

x 6 y + z.

Prema dogovorima o oznacavanju, obe ove formule su u stvari uobicajeni

zapisi, u odgovarajucem jeziku, jedne iste formule

R2

1(x1, f2

1(x2, x3)).



Primer 12: U jeziku algebarskih struktura obicno postoji relacijski

znak duzine 2, koji se oznacava sa = i interpretira se kao jednakost.

Atomicna formula t1 = t2, gde su t1 i t2 termi naziva se identitet ili

algebarski zakon.

Identiteti su, na primer,

x + y = y + x i x(y + z) = xy + xz

za brojeve, kao i

A ∪ (B ∩ A) = A

za skupove, i sl.


Predikatske formulePredikatske formulePredikatske formule

Definicija predikatske formule je takode induktivna:

(i) Svaka atomicna formula je predikatska formula.

(ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i

sledeci izrazi predikatske formule:

¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F ⇒ G), (F ⇔ G),

((∀x)F ), ((∃x)F ).

(iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati

konacnim brojem primena pravila (i) i (ii).

Jednostavnosti radi, nadalje cemo govoriti samo formule.


Predikatske formulePredikatske formulePredikatske formule

Primer 13: Primeri formula su:

((∃x1)((∀x2)R2

2(x1, x2))),

(((∀x2)R2

1(x1, f2

2(x1, x2))) ⇒ ¬((∃x1)R

2

2(f2

2(x1, x2), x2)))

Prva od ovih formula se u jeziku strukture prirodnih brojeva belezi sa

(∃x)(∀y)(x 6 y).

Kao i kod iskaznih formula, podformula predikatske formule se definise

se svaki podniz (podrec) formule koji je i sam formula.


Oblast dejstva kvantifikatoraOblast dejstva kvantifikatoraOblast dejstva kvantifikatora

Oblast dejstva kvantifikatora (∀x), odnosno (∃x), koji se pojavljuje u

formuli, je sam kvantifikator zajedno sa najmanjom podformulom koja

neposredno sledi iza njega.

Primer 14: U formuli

(((∃x1)¬R2

1(x1, x2)) ⇒ R1

1(x2)),

oblast dejstva kvantifikatora (∃x1) je formula

((∃x1)¬R2

1(x1, x2)).


Oblast dejstva kvantifikatoraOblast dejstva kvantifikatoraOblast dejstva kvantifikatora

U formuli

¬(∃x)(x > 1 ∧ (∀y)(y 6 x))

oblast dejstva kvantifikatora (∃x) je formula

(∃x)(x > 1 ∧ (∀y)(y 6 x)),

a oblast dejstva kvantifikatora (∀y) je formula

(∀y)(y 6 x).


Brisanje zagradaBrisanje zagradaBrisanje zagrada

Kao sto smo vec rekli, jednostavnosti radi, funkcijski znaci se cesto

oznacavaju bez indeksa, i to sa f , g, h, . . . , a relacijski malim slovima

grckog alfabeta.

U jezicima pojedinih matematickih teorija se, medutim, koriste vec

poznati funkcijski i relacijski znaci (+, ·, 6, = itd.) i ustaljena pravila o

zagradama.

Pri zapisivanju predikatskih formula se prihvataju isti dogovori o izosta-

vljanju zagrada navedeni za iskazne formule, pri cemu su kvantifikatori

iza veznika ⇒ i ⇔, koji su iza veznika ∧ i ∨.



Primer 15: (a) Na osnovu dogovora o izostavljanju zagrada, umesto

(((∃x1)¬R2

1(x1, x2)) ⇒ R1

1(x2))

pise se

(∃x1)¬R2

1(x1, x2) ⇒ R1

1(x2).

(b) U formuli

¬(∀x)(∃y)((α(x, y) ⇒ α(f(x, y), f(y, x))),

α je relacijski, a f funkcijski znak, oba duzine 2.



(c) I u formuli

(∀x)(∃y)(x 6 y ∧ y 6= x + 1),

6 i + su redom relacijski i funkcijski znak duzine 2.

Drugi relacijski znak duzine 2 je =, ali je umesto

¬(y = x + 1),

zabelezeno krace y 6= x + 1.

Ovo su uobicajene oznake u jezicima struktura brojeva.



Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako se x javlja u

oblasti dejstva nekog od kvantifikatora (∀x) odnosno (∃x).

Slobodno pojavljivanje promenljive u formuli je ono koje nije vezano.

Primer 16: (a) U formuli

(∀x)α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ(y))

prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a trece je slobodno;

prva dva pojavljivanja promenljive y su vezana, a trece je slobodno.

(b) U formuli(∀x)(α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ(y)))

sva tri pojavljivanja promenljive x su vezana, prva dva za y su vezana

a trece je slobodno.



(c) U formuli

(∀x)(α(x) ⇒ (∃y)(β(x, y) ∨ γ(y)))

su sva pojavljivanja obeju promenljivih vezana.

Promenljiva x je slobodna ili vezana u formuli A ako u njoj ima redom

slobodno ili vezano pojavljivanje.

Kao sto se vidi iz prethodnih primera, promenljiva moze biti i vezana i

slobodna u istoj formuli.


zadatak predikatske logike - pmf.ni.ac.rs predikatske logike iskazna logika se bavi reˇcenicama kao...

Documents