pdm partie2 chapitre2 et debut 3

CHAPITRE2 Energie de déformation

Dans ce chapitre, on introduit la notion d’énergie de déformation en théorie des poutres.

Sommaire1 Cas de la théorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.1 Contribution due à l’effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.2 Contribution due à l’effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.3 Contribution due au moment fléchissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.4 Contribution due au moment de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.5 Energie de déformation en théorie des poutres . . . . . . . . . . . . . . 114

2 Application : poutre console . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 109

2 Energie de déformation

1 Cas de la théorie des poutres

Considérons un tronçon élémentaire de poutre plane, droite pour simplifier, de longueurd x comme illustré en Figure II.16. Ce petit tronçon subit des déformations dues aux sollici-

z

x

y

x+dxx

-N(x)

-Ty(x)

-Mfz(x)

N(x+dx)

Ty(x+dx)Mfz(x+dx)

G G’

MCRMCR + déformation axialeMCR + déformation axiale + rotation relative des sectionsMCR + déformation axiale + rotation relative des sections + déformation de cisaillement

Figure II.16: Tronçon de poutre droite

tations °N (x), °Ty (x) et °M f z(x) (resp. N (x +d x), Ty (x +d x) et M f z(x +d x)) provenant dela partie amont (resp. aval) du tronçon. Sous ce chargement extérieur vis-à-vis du tronçon,la section de la poutre, S(x), située en x subit des petits déplacements et petites rotations enG , dans le plan, que l’on peut permettre sous la forme d’un torseur :

©U(G2S(x)/R)

™=

Ω!°!z

u°!x + v°!y

æ

G(II.18)

De même, pour la section de la poutre, S(x +d x), située en x +d x, on a :

©U(G 02S(x+d x)/R)

™=

Ω(!+d!)°!z

(u +du)°!x + (v +d v)°!y

æ

G 0(II.19)

Le tronçon de poutre droite se déforme de façon qualitative comme illustré en Figure II.16.Les déformations ont été exagérées dans un soucis de clarté. Les sections S(x) et S(x +d x)sont considérées indéformables (hypothèse cinématique de base de la théorie classique despoutres). Le matériau étant élastique linéaire on peut décomposer cette transformation commela superposition d’ :

– un mouvement d’ensemble de corps rigide (MCR), non déformant ;– un mouvement de déformation longitudinale due à N dans le repère local attaché au

tronçon dans sa configuration déformée ;– un mouvement de rotation relative des deux sections dû à M ;– un mouvement de cisaillement sans rotation relative des sections dû à T dans le repère

local attaché au tronçon dans sa configuration déformée.

110 Pratiques du Dimensionnement en Mécanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf


Dans le cadre des petites perturbations, configuration déformée et configuration initialesont confondues et la définition des composantes du torseur de cohésion ainsi que l’écri-ture de l’équilibre peut se faire sans distinction dans l’une ou l’autre des configurations.

On notera que chacune des sollicitations ne travaille que dans le déplacement qui lui estconcomitant. Ainsi N ne développe pas de travail lorsque T ou M s’appliquent. Il en va demême pour T (lorsque N et M s’appliquent) et M (lorsque N et T s’appliquent). Dans lasuite, on s’intéresse donc indépendamment à chacun des modes de déformation induit parchacune des composantes N , T et M .

1.1 Contribution due à l’effort normal

Considérons que le tronçon n’est soumis qu’à un effort normal (Figure II.17). La sectionS(x +d x) subit un déplacement par rapport à S(x) suivant~x qui vaut :

du = N (x +d x)ES

d x = N (x)ES

d x (II.20)

puisque N (x +d x) = N (x), le tronçon étant en équilibre.

z x

y

x+dxx

-N(x) N(x+dx) = N(x)G G’

u(x) u(x+dx) = u(x) + du

Figure II.17: Déformation du tronçon de poutre due à l’effort normal

On fait croître l’effort normal de 0 à N , en considérant l’effort ∏N avec ∏ variant de 0à 1. A l’effort ∏N correspond un déplacement ∏du, le comportement étant linéaire. A unaccroissement d∏N correspond également un déplacement d∏du. Par analogie avec l’étudedu ressort faite en Section 3.1 (voir (II.9)), le travail élémentaire dWe de l’effort normal sur letronçon de poutre compris entre les sections S(x) et S(x +d x), le d se rapportant ici au faitqu’il s’agit du tronçon élémentaire de longueur d x, vaut :

dWe =Z1

0∏N du d∏= 1

2N du = 1

2N 2

ESd x (II.21)

Compte tenu de (II.6), on en déduit que l’énergie de déformation élémentaire du tronçon delongueur d x est :

dEd = dWe =12

N 2

ESd x (II.22)

Ainsi, pour une poutre de longueur L, l’énergie de déformation (et l’énergie interne U ) dueà l’effort normal est :

Ed = 12

ZL

0

N 2

ESdx (II.23)



1.2 Contribution due à l’effort tranchant

Le tronçon n’est soumis cette fois qu’à un chargement de cisaillement (Figure II.18). Lasection S(x +d x) subit un déplacement par rapport à S(x) suivant~x qui vaut :

d v =Ty (x +d x)

GSd x =

Ty (x)

GSd x (II.24)

puisque Ty (x + d x) = Ty (x), le tronçon étant en équilibre. En effet, si la contrainte de ci-saillement est supposée uniforme sur la section (cas où la déformation de cisaillement ∞ estsupposée constante sur la section comme illustrée en Figure II.18), on a en première ap-proximation :

ø=Ty

S=G∞=G

d vd x

(II.25)

On en déduit la relation (II.24).

z

x

y

x+dxx-Ty(x)

-Mfz(x) Ty(x+dx)

G G’

v(x)

v(x+dx) = v(x) + dv

γ

Figure II.18: Déformation du tronçon de poutre due à l’effort tranchant

Remarque 2.1 Dans le cas où la contrainte de cisaillement n’est plus supposée uniforme, ona :

ø(y) =Ty A(y)

b(y)IGzavec A(y) =

Z

SydS (II.26)

On trouve alors que : d v =Ty

GS yr

d x avec S yr la section « réduite ». On montre que :

– Pour une section rectangulaire pleine : S yr = Sz

r =56

S

– Pour une section circulaire pleine : S yr = Sz

r =9

10S

Par un raisonnement similaire à la Section 1.1, l’application progressive de l’effort tran-chant de la valeur 0 à la valeur Ty permet d’en déduire le travail de l’effort tranchant sur letronçon de poutre compris entre les sections S(x) et S(x +d x), le d se rapportant ici au faitqu’il s’agit du tronçon élémentaire de longueur d x :

dWe =Z1

0∏Ty d v d∏= 1

2Ty d v = 1

2

T 2y

GS yr

d x (II.27)




dEd = dWe =12

T 2y

GS yr

d x (II.28)

Ainsi, pour une poutre de longueur L, l’énergie de déformation (et l’énergie interne U ) dueà l’effort tranchant est :

Ed = 12

ZL

0

T 2y

GS yr

dx (II.29)

1.3 Contribution due au moment fléchissant

Sous l’action d’un chargement de moment fléchissant (Figure II.19), la section S(x+d x)subit une rotation par rapport à S(x) suivant~z qui vaut :

d!=M f z(x +d x)

E IGzd x =

M f z(x)

E IGzd x (II.30)

puisque M f z(x +d x) = M f z(x), le tronçon étant en équilibre. En effet, on a vu que :

M f z =E IGz

R= E IGz

d!d x

(II.31)

On en déduit la relation (II.30).

z

x

y

x+dxx

-Mfz(x) Mfz(x+dx)

G G’

ω(x) ω(x+dx) = ω(x) + dω

R

Figure II.19: Déformation du tronçon de poutre due au moment fléchissant

Par un raisonnement similaire à la Section 1.1, l’application progressive du moment flé-chissant de la valeur 0 à la valeur M f z permet d’en déduire le travail du moment fléchissantsur le tronçon de poutre compris entre les sections S(x) et S(x+d x), le d se rapportant ici aufait qu’il s’agit du tronçon élémentaire de longueur d x :

dWe =Z1

0∏M f zd!d∏= 1

2M f z d!= 1

2

M 2f z

E IGzd x (II.32)


dEd = dWe =12

M 2f z

E IGzd x (II.33)



Ainsi, pour une poutre de longueur L, l’énergie de déformation (et l’énergie interne U ) dueau moment fléchissant est :

Ed = 12

ZL

0

M 2f z

E IGzdx (II.34)

1.4 Contribution due au moment de torsion

Comme vu au Chapitre II.4, sous l’action d’un moment de torsion Mt suivant ~x, la sec-tion S(x +d x) subit une rotation par rapport à S(x) suivant~x qui vaut :

d'= Mt (x +d x)G IGx

d x = Mt (x)G IGx

d x (II.35)

puisque Mt (x +d x) = Mt (x), le tronçon étant en équilibre. En effet, on a vu au Chapitre II.4que :

Mt =G IGx£=G IGxd'd x

(II.36)

Par un raisonnement similaire à la Section 1.1, l’application progressive du moment detorsion de la valeur 0 à la valeur Mt permet d’en déduire le travail du moment de torsion surle tronçon de poutre compris entre les sections S(x) et S(x+d x), le d se rapportant ici au faitqu’il s’agit du tronçon élémentaire de longueur d x :

dWe =Z1

0∏Mt d'd∏= 1

2Mt d'= 1

2

M 2t

G IGxd x (II.37)


dEd = dWe =12

M 2t

G IGxd x (II.38)

Ainsi, pour une poutre de longueur L, l’énergie de déformation (et l’énergie interne U ) dueau moment de torsion est :

Ed = 12

ZL

0

M 2t

G IGxdx (II.39)

1.5 Energie de déformation en théorie des poutres

Chacune des sollicitations ne travaillant que dans le déplacement qui lui est concomi-tant comme vu précédemment en Section 1, l’énergie de déformation emmagasinée par unepoutre de longueur L d’axe~x résulte de la somme des énergies de déformation développéespar chaque sollicitation :

Ed = 12

ZL

0

N 2

ES+

T 2y

GS yr+

T 2z

GSzr+

M 2t

G IGx+

M 2f y

E IG y+

M 2f z

E IGzdx (II.40)

avec :– Pour une section rectangulaire pleine : S y

r = Szr =

56

S


r =9

10S

Remarque 2.2 L’expression (II.40) montre que l’énergie de déformation est toujours positive.


2 Application : poutre console

Remarque 2.3 L’énergie de déformation est une fonction du deuxième degré des efforts et doncdes déplacements, ces derniers étant directement proportionnels aux efforts. Elle dépend descarrés des efforts intérieurs N , Ty , Tz, Mt , M f y et M f z. Par conséquent, l’énergie de déforma-tion engendrée par un système de forces n’est pas égale à la somme des énergie de déformationengendrées par chacune de ces forces séparément. Le principe de superposition ne s’appliquepas pour l’énergie de déformation.

2 Application : poutre console

On s’intéresse à la manivelle du pédalier encastrée au boîtier du pédalier en A et soumiseà un effort ponctuel en B (Figure II.20). On supposera que la manivelle est assimilable àune poutre droite de direction ~x et de section constante au sens de la théorie des poutres.La section est supposée rectangulaire de hauteur h et de largeur b. La modélisation de laFigure II.21 est ainsi proposée.

A B

Figure II.20: Manivelle du pédalier soumise à un effort ponctuel en B et encastrée en A

La poutre console de la Figure II.21 est soumise à un effort ponctuel °F~y (avec F 0) àson extrémité libre. On se propose de comparer les énergies de déformation de flexion et decisaillement.

Le torseur des efforts intérieurs au point courant de la section est :

©Ti nt

™=

ΩTy

°!yM f z

°!z

æ

G=

Ω°F°!y

°F (L°x)°!z

æ

G(II.41)

La poutre est ainsi soumise à de la flexion simple.

L’énergie de déformation due à l’effort tranchant (cisaillement) et celle due au moment



yF=-F y

L

BA

x

G

z x

Figure II.21: Poutre console soumise à un effort tranchant à son extrémité

de flexion sont respectivement :8>>>>><

>>>>>:

Ed ,T = 12

ZL

0

T 2y

GS yr

dx = 12

ZL

0

(°F )2

GS yr

dx = F 2L

2GS yr

Ed ,M = 12

ZL

0

M 2f z

E IGzdx = 1

2

ZL

0

[°F (L°x)]2

E IGzdx = F 2L3

6E IGz

(II.42)

En notant a une dimension caractéristique de la section et en supposant que S yr º S, on a

S ª a2, IGz ª a4. On en déduit que :

Ed ,T

Ed ,M= 3

L2

E IGz

GS= 3

L2

2(1+∫)E IGz

ESª 6(1+∫)

≥aL

¥2(II.43)

L’énergie de déformation de cisaillement devient donc négligeable lorsque l’élancement dela poutre devient important. La prise en compte des déformations dues au cisaillement de-vient négligeable pour une poutre élancée mais s’avère être plus significative pour les poutre« épaisse ». On notera que l’hypothèse cinématique de Euler-Bernoulli conduit à négligerla déformation de cisaillement transverse et donc l’énergie de déformation due au cisaille-ment.

Pour la manivelle du pédalier (Figure II.20) de section rectangulaire pleine on a S yr = 5

6S

avec S = bh et IGz = bh3

12. L’application numérique donne pour h º 32 mm, L º 175 mm et

∫= 0.3 :Ed ,T

Ed ,M= 3

L2

E IGz

GS yr= 3(1+∫)

5

µhL

∂2

= 0.03 (II.44)

Pour cet élancement de L/h = 5.5, l’énergie de déformation de cisaillement Ed ,T est égale à3% de l’énergie de déformation due au moment de flexion Ed ,F .

Remarque 2.4 Une poutre bi-articulée, au sein d’un treillis articulé par exemple (Figure II.22)n’est sollicitée qu’en traction compression. Aussi, son énergie de déformation se réduit à lacontribution de l’effort normal :

Ed = 12

ZL

0

N 2

ESdx


3 Ce qu’il faut retenir

F

N

N

Figure II.22: Treillis articulé et sollicitations sur une de ses barres

3 Ce qu’il faut retenir

t Energie de déformation en théorie des poutres : L’énergie de déformation emmaga-sinée par une poutre de longueur L d’axe ~x résulte de la somme des énergies de défor-mation développées par chaque sollicitation :

Ed = 12

ZL

0

N 2

ES+

T 2y

GS yr+

T 2z

GSzr+

M 2t

G IGx+

M 2f y

E IG y+

M 2f z

E IGzdx

avec :– Pour une section rectangulaire pleine : S y

r = Szr =

56

S


r =9

10S

L’énergie de déformation est toujours positive.

t Energie de déformation pour une poutre « élancée » : L’énergie de déformationde cisaillement est négligeable lorsque l’élancement de la poutre devient important. Laprise en compte des déformations dues au cisaillement devient négligeable pour unepoutre élancée mais s’avère être plus significative pour les poutre « épaisse ». On noteraque l’hypothèse cinématique de Euler-Bernoulli conduit à négliger la déformation decisaillement transverse et donc l’énergie de déformation due au cisaillement.

Ed º 12

ZL

0

N 2

ES+

M 2t

G IGx+

M 2f y

E IG y+

M 2f z

E IGzdx

t Energie de déformation pour une poutre bi-articulée / barre : Une poutre bi-articulée, au sein d’un treillis articulé par exemple n’est sollicitée qu’en traction com-pression. Aussi, son énergie de déformation se réduit à la contribution de l’effort nor-mal :

Ed = 12

ZL

0

N 2

ESdx


CHAPITRE3 Théorèmes énergétiques

Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux théorèmes énergétiques en élasticité linéaire. Cesapproches globales permettent de déterminer rapidement et « directement » (sans nécessité dedéterminer la déformée sur toute la structure) des quantités d’intérêt utiles à l’ingénieur :– Déplacement en un point donné de la structure en fonction du chargement ;– Relation de comportement globale entre une (ou plusieurs) composante(s) de déplace-

ment/rotation et une (ou plusieurs) composante(s) d’effort/moment qui travaille(nt) avecle (les) déplacement(s) associé(s) - e.g. Théorème de Castigliano ;

– Détermination des inconnues hyperstatiques en fonction des paramètres de chargement im-posés - e.g. Théorème de Ménabréa.

Les différents théorèmes énergétiques les plus courants sont présentés : Maxwell-Betti, Casti-gliano, Ménabréa...

Sommaire1 Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.1 Enoncé et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.2 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.3 Théorème de la charge unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2 Théorème de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


2.2 Théorème de la charge fictive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.3 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.4 Application au capteur SRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3 Théorème de Ménabréa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


3.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.1 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2 Méthodologie de résolution d’un problème hyperstatique . . . . . . . . 140


3 Théorèmes énergétiques

1 Théorème de réciprocité de Maxwell-Betti

1.1 Enoncé et démonstration

On considère une structure poutre dans trois états d’équilibre (Figure II.23). Dans l’état(1), le système est soumis à la charge concentrée F1 et dans l’état (2) à la charge F2. Dansl’état (1+2), le système est soumis à l’action combinée de F1 et de F2.

u11 u21

u12 u22

u11 u21u12 u22

F1

F2

F1 F2

Etat (1)

Etat (2)

Etat (1+2)

déformée due à F1

déformée due à l’action combinée de F1 et de F2

Figure II.23: Poutre en flexion sur appui articulé et appui simple dans trois états d’équilibre

On note ui j le déplacement au point de chargement i dans la direction de la sollicita-tion i provoquée par le chargement de l’état ( j ). Il faut entendre par « déplacement » unetranslation ou une rotation. Le chargement de l’état ( j ) peut être composé de multiples sol-licitations (efforts concentrés, moments concentrés, charges réparties...). Dans le cas de laFigure II.23, on a :

– u11 : déplacement au point 1 dans la direction de la sollicitation F1 sous l’effet du char-gement de l’état (1) composé uniquement de F1 ;



– u22 : déplacement au point 2 dans la direction de la sollicitation F2 sous l’effet du char-gement de l’état (2) composé uniquement de F2.

A partir d’un état (0), libre de tout chargement extérieur, appliquons uniquement la charge



F1 de manière progressive pour amener les système dans l’état (1). Le travail des efforts ex-térieurs développé pour passer de l’état (0) à l’état (1) est donc :

We, (0)!(1) =12

F1u11

Partant de cet état (1), tout en maintenant F1, appliquons à présent de manière progressivela sollicitation F2 pour amener le système dans l’état (1+2). Il en résulte des déplacementssupplémentaires correspondant à ceux du système dans l’état (2) en invoquant le principede superposition dû au comportement linéaire du système (élasticité linéaire). Le travail desefforts extérieurs développé pour passer de l’état (1) à l’état (1+2) est donc :

We, (1)!(1+2) =12

F2u22 +F1u12

Le terme F1u12 correspond au travail supplémentaire de F1, constant dans cette phase dechargement, travaillant avec le déplacement u12 induit par F2. L’énergie de déformation to-tale pour passer de l’état (0) à l’état (1+2) est donc d’après (II.6) :

Ed , (0)!(1+2) = Ed , (0)!(1) +Ed , (1)!(1+2) (II.45)

= We, (0)!(1) +We, (1)!(1+2) (II.46)

= 12

F1u11 +12

F2u22 +F1u12 (II.47)

Appliquons maintenant les sollicitations F1 et F2 dans l’ordre inverse, afin d’amener lesystème d’abord dans l’état (2) en appliquant F2, puis en appliquant F1 tout en maintenantF2 à une valeur constante pour l’amener dans l’état (1+2). Le travail des efforts extérieursdéveloppé pour passer de l’état (0) à l’état (2) est donc :

We, (0)!(2) =12

F2u22

Partant de cet état (2), tout en maintenant F2, appliquons à présent la sollicitation F2 pouramener le système dans l’état (1+ 2). Il en résulte des déplacements supplémentaires cor-respondant à ceux du système dans l’état (1) en invoquant le principe de superposition dûau comportement linéaire du système (élasticité linéaire). Le travail des efforts extérieursdéveloppé pour passer de l’état (1) à l’état (1+2) est donc :

We, (2)!(1+2) =12

F1u11 +F2u21

Le terme F2u21 correspond au travail supplémentaire de F2, constant dans cette phase dechargement, travaillant avec le déplacement u21 induit par F1. L’énergie de déformation to-tale pour passer de l’état (0) à l’état (1+2) est donc d’après (II.6) :

Ed , (0)!(1+2) = Ed , (0)!(2) +Ed , (2)!(1+2) (II.48)

= We, (0)!(2) +We, (2)!(1+2) (II.49)

= 12

F2u22 +12

F1u11 +F2u21 (II.50)

L’énergie de déformation ne dépendant pas du chemin suivi mais uniquement des étatsinitial et final on en déduit que les énergies de déformation (II.47) et (II.50) sont égales. Onen déduit donc que :

F1u12 = F2u21



Le travail de F1 dans les déplacements induits par le chargement de l’état (2) est donc égalau travail de F2 dans les déplacements induits par le chargement de l’état (1). Cette égalitétraduit le théorème de Maxwell-Betti qui généralisé à un ensemble de charge s’énonce ainsi :

Théorème 3.1 (de réciprocité de Maxwell-Betti) Soit une structure dans deux étatsd’équilibre élastique. Le travail des efforts extérieurs de l’état (1) dans les déplacementsde l’état (2) est égal au travail des efforts extérieurs de l’état (2) dans les déplacements del’état (1).

Remarque 3.1 Le travail des efforts extérieurs pour passer de l’état (0) à l’état (1+2) par l’ac-tion progressive et simultanée de F1 et de F2 est :

We, (0)!(1+2) =12

F1(u11 +u12)+ 12

F2(u21 +u22)

L’énergie de déformation ne dépendant pas du chemin suivi mais uniquement des états initialet final et en égalant avec (II.47) ou (II.50), on en déduit de la même manière que : F1u12 =F2u21

L’énergie de déformation totale pour passer de l’état (0) à l’état (1+2) pour ce problèmeplan peut s’écrire :

Ed (0)!(1+2) =12

ZL

0

(N1 +N2)2

ES+

(Ty,1 +Ty,2)2

GS yr

+(M f z,1 +M f z,2)2

E IGzdx (II.51)

où N1, Ty,1, M f z,1 (resp. N2, Ty,2, M f z,2) sont les efforts intérieurs engendrés par la chargeF1 (resp. F2). En effet, d’après le principe de superposition, la valeurs des efforts intérieursobtenus par l’action combinée de F1 et F2 sont :

8<

:

N = N1 +N2

Ty = Ty,1 +Ty,2

M f z = M f z,1 +M f z,2

En développant (II.51), il vient que :

Ed , (0)!(1+2) = Ed , (0)!(1) +Ed , (0)!(2) +ZL

0N1

N2

ES+Ty,1

Ty,2

GS yr+M f z,1

M f z,2

E IGzdx (II.52)

avec :

Ed , (0)!(1) = 12

ZL

0

N 21

ES+

T 2y,1

GS yr+

M 2f z,1

E IGzdx

Ed , (0)!(2) = 12

ZL

0

N 22

ES+

T 2y,2

GS yr+

M 2f z,2

E IGzdx

En notant We,(1)°(2) le travail des efforts extérieurs de l’état (1) dans les déplacements del’état (2) ou, inversement, le travail des efforts extérieurs de l’état (2) dans les déplacementsde l’état (1), on a par ailleurs :

We, (0)!(1+2) = We, (0)!(1) +We, (0)!(2) +F1u12

= We, (0)!(1) +We, (0)!(2) +F2u21

= We, (0)!(1) +We, (0)!(2) +We,(1)°(2)

= Ed , (0)!(1) +Ed , (0)!(2) +We,(1)°(2)



En identifiant avec (II.52), on en déduit que We,(1)°(2) le travail des efforts extérieurs de l’état(1) dans les déplacements de l’état (2) ou, inversement est :

We,(1)°(2) = ~F(2) · ~U(1) =ZL

0N1

N2

ES+Ty,1

Ty,2

GS yr+M f z,1

M f z,2

E IGzdx (II.53)

Cette relation est parfois connue sous le nom d’égalité de Müller-Breslau.

1.2 Exemples d’application

1.2.1 Détermination d’un déplacement en un point quelconque

On s’intéresse à un avion au sol (Figure II.24) de masse M . On souhaite déterminer le dé-placement en bout d’aile relativement au fuselage. Cette aile supporte un moteur de massem.

Figure II.24: Avion

On fait les hypothèses suivantes :– l’aile a une section constante d’aire S et d’inertie IGz ;– le train d’atterrissage de l’aile considérée supporte la moitié du poids de l’avion à savoir

M2~g et son action sur l’aile est supposée réductible à un glisseur

M2

g~y ;

– le poids de l’aile est négligé.Sous ces hypothèses, on propose le modèle de la Figure II.25 afin de déterminer le flècheen bout d’aile relative au fuselage, v(1)(L). On introduit l’état auxiliaire, Etat (2), d’une poutreencastrée soumise à de la flexion simple (Figure II.25). Sur cette exemple simple et classique,la déformée peut se déterminer très facilement. En notant E le module de Young de la poutre,on a :

– Moment de flexion : M f z(x) = F (L°x)– Relation de comportement (hypothèse d’Euler-Bernoulli) : M f z(x) = E IGz v 00(x)

L’équation de la déformée se déduit ainsi de l’équation différentielle E IGz v 00(x) = F (L ° x).On intègre une première fois :

E IGz v 0(x) = F Lx °Fx2

2+ A

La flèche étant nulle à l’encastrement (v(0) = 0), la constant A est nulle. On intègre une se-conde fois :

E IGz v(x) = F Lx2

2°F

x3

6+B



v(1)(L)

F2 = -m g y

Etat (1)

Etat (2)F

v(2)(L)

y

z x

x2

x1

F1 = M/2 g y

L

Figure II.25: Modèle simplifié de l’aile d’avion pour la détermination de la flèche en boutd’aile par rapport au fuselage

La dérivée de la flèche étant nulle à l’encastrement (v 0(0) = 0), la constant B est nulle. Ainsi,l’équation de la déformée pour l’état (2) est :

v(2)(x) = F x2

6E IGz(3L°x) (II.54)

L’application du théorème de réciprocité de Maxwell-Betti à partir des états (1) et (2) dela Figure II.25 permet d’écrire :

F1 v(2)(x1)°F2 v(2)(x2) = F v(1)(L)

A l’aide de (II.54), on en déduit que le déplacement recherché vaut :

v(1)(L) = L3

384E IGz

µ238

F1 °11F2

∂= g L3

384E IGz

µ2316

M °11m∂

Méthodologie pour déterminer le déplacement ou la rotation désiré(e) :

t Appliquer une sollicitation au droit et suivant la direction du déplacement que l’ondésire trouver : pour un déplacement on applique une charge concentrée, pourune rotation, un moment concentré.

t Proposer une configuration auxiliaire (état (2)) simple (isostatique si possible)pour laquelle la solution est facilement déterminable.

t Appliquer le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti



1.2.2 Détermination d’une inconnue hyperstatique

On souhaiter déterminer la tension dans le tirant d’un support de caténaire (Figure II.26).Sous le poids du caténaire, la poutre horizontale supportant le caténaire fléchit. On supposeque le tirant accroché à son extrémité, au point B, et sollicité en traction subit des déforma-tions négligeables. On considèrera donc que le tirant est inextensible et que le point B nepeut se déplacer suivant la direction du tirant. On propose ainsi le modèle poutre de la Fi-

Figure II.26: Caténaire et support caténaire

gure II.27. On notera que l’action du tirant inextensible est représentée par un appui simpledont la direction est celle du tirant. On constate que le problème poutre de l’état (1) est hy-perstatique de degré 1. En effet, on a trois équations issues du principe fondamental de lastatique appliqué à la poutre en deux dimensions et quatre inconnues X A, YA, MA et RB . Onsouhaite ainsi déterminer l’inconnue (hyperstatique) RB .

Dans l’état (2) en Figure II.27, la poutre de section S, d’inertie IGz et de longueur L estsollicitée en flexion ainsi qu’en compression à cause de l’appui incliné en B. On note E lemodule de Young de la poutre. La déformée, ~U(2)(x) = u(2)(x)~x + v(2)(x)~y , est facilement dé-terminée (voir (II.54) pour la partie flexion) :

8>><

>>:

u(2)(x) =~F2 ·~xES

x =°F2 cosÆES

x

v(2)(x) = F2 sinÆ6E IGz

x2(3L°x)(II.55)

L’application du théorème de réciprocité de Maxwell-Betti à partir des états (1) et (2) de laFigure II.25 permet d’écrire :

~F2 · ~U(1)(L) = ~F1 · ~U(2)(x1)+~RB · ~U(2)(L)

Dû à l’appui incliné en B, le déplacement en B pour l’état (1) est orthogonal à l’effort ~F2, ainsi~F2 · ~U(1)(L) = 0. A l’aide de (II.55), on en déduit que :

°F1v(2)(x1)+RB ~n°u(2)(L)~x + v(2)(L)~y

¢= 0

°F1v(2)(x1)+RB°°u(2)(L)cosÆ+ v(2)(L)sinÆ

¢= 0

°F1sinÆ

6E IGzx2

1(3L°x1)+RB

µL

ES(cosÆ)2 + L3

3E IGz(sinÆ)2

∂= 0



Etat (1)

MAYA

XAA B

α

Etat (2)

B

α F2 =F2 n

x1

y

z xA

U(2)(L)

L

Tirant

RB =RB n

F1 = -F1 y

Cx

G

Figure II.27: Modèle simplifié du support caténaire pour la détermination de la tension dansle tirant

On en déduit l’expression de l’inconnue hyperstatique RB correspondant à la tension dansle tirant en fonction de la charge F1 due au poids du caténaire :

RB = F1

L

x21(3L°x1)sinÆ

2L2(sinÆ)2 +6IGz

S(cosÆ)2

(II.56)

Cette équation supplémentaire ajoutée aux équations issues du principe fondamental dela statique appliqué à la poutre permet alors de « lever » l’hyperstatisme de degré 1 et dedéterminer toutes les actions de liaisons : X A, YA, MA et RB . Les composantes du torseur desefforts intérieurs peuvent ainsi être déterminées explicitement en fonction du chargement~F1.

Remarque 3.2 Dans le cas où Æ = 90°, on trouve que RB = F1

2L3 x21(3L ° x1) (Figure II.28). De

même si Æ= 0°, on a RB = 0.



A B

α = 90°

RB =RB n F1 = -F1 y

AB

α = 0°

RB =RB n

F1 = -F1 y

Figure II.28: Cas particuliers où Æ= 90° et Æ= 0°

Méthodologie pour déterminer l’inconnue hyperstatique désiré(e) :

t Appliquer une sollicitation (charge concentrée ou moment concentré) au droit etsuivant la direction de l’inconnue hyperstatique que l’on désire trouver.

t Proposer une configuration auxiliaire (état (2)) simple (isostatique si possible,c’est-à-dire ne faisant pas intervenir d’autres inconnues hyperstatiques) pour la-quelle la solution est facilement déterminable.

t Appliquer le théorème de réciprocité de Maxwell-Betti et trouver l’expression del’inconnue hyperstatique.

1.3 Théorème de la charge unitaire

On souhaite déterminer l’expression générale du déplacement (ou de la rotation) en unpoint quelconque d’une structure. On considère deux états d’un même système (Figure II.29) :

– Etat (1) : Le système est soumis à un nombre quelconque de charges (forces ou mo-ments concentrés ou répartis) (état réel).

– Etat (2) : Le système n’est soumis qu’à l’action d’une charge concentrée unitaire (étatunitaire) au point où l’on cherche le déplacement ou la rotation.

Le travail accompli par la charge F2 de l’état (2) dans les déplacement de l’état (1) au pointM est donné d’après (II.53) :

We,(1)°(2) = ~F2 · ~U(1)(M) = F2 u12 =ZL

0N1

N2

ES+Ty,1

Ty,2

GS yr+M f z,1

M f z,2

E IGzdx (II.57)

Cette relation est parfois connue sous le nom d’égalité de Müller-Breslau. On en déduit quele déplacement u12 d’un point quelconque M peut être donné par la formule ci-dessous en



u21

F2 =1

Etat (1)

Etat (2)

M

M

Figure II.29: Structure poutre soumise à un chargement arbitraire (état (1)) et à un charge-ment unitaire (état (2))

prenant pour F2 un chargement unitaire :

u12 =ZL

0N1

N 2

ES+Ty,1

T y,2

GS yr+M f z,1

M f z,2

E IGzdx (II.58)

où N 2, T y,2 et M f z,2 sont les composantes du torseur des efforts intérieurs obtenus pour unchargement unitaire F2 = 1.

Remarque 3.3 La relation précédente est parfois connue sous le nom de « formule généraledes déplacements » ou « formule de Mohr » car faisant intervenir des intégrales de Mohr. Ellecorrespond aussi au « théorème de la charge unitaire ». Elle est également parfois connue sousle nom de « théorème de Bertrand de Fontviolant ».

Méthodologie pour déterminer l’expression générale du déplacement (ou de la rota-tion) en un point quelconque d’une structure :

t Calculer les efforts intérieurs N1, Ty,1 et M f z,1 en tout point engendrés par le sys-tème de chargement réel.

t Appliquer uniquement une sollicitation unitaire (charge ou moment concentré)au droit et suivant la direction du déplacement que l’on cherche.

t Déterminer les efforts intérieurs N 2, T y,2 et M f z,2 en tout point engendrés par lacharge unitaire.

t Déterminer le déplacement recherché à l’aide de la formule (II.58). Si le signe dudéplacement obtenu est négatif cela signifie que le déplacement s’effectue dans lesens inverse de la charge unitaire.

L’approche décrite ci-dessus est bien entendu intéressante si l’on sait déterminer facilementles efforts intérieurs des états (1) et (2). C’est le cas si l’on peut se ramener à des états associésà des problèmes isostatiques. Dans les autres cas, il faudra alors déterminer les inconnueshyperstatiques au préalable, c’est-à-dire trouver des équations supplémentaires.



Exemple 3.1 On s’intéresse à nouveau à l’exemple de la poutre console développé en Section 2du Chapitre II.2. On désire déterminer la flèche au point B de l’extrémité, v(1)(L). On considèrepour se faire l’état (2) de la poutre soumise uniquement à un chargement unitaire ~F2 = °1~y(Figure II.30). Pour ce cas simple, on trouve aisément les efforts intérieurs des états (1) et (2) :

v(1)(L)

F = -F y

Etat (1)

y

z x

xL

B

A

G

Etat (2)

y

z x B

A

F2 =-1 y

Figure II.30: Poutre console soumise à un effort tranchant à son extrémité

8<

:

N1 = 0Ty,1 = °F

M f y,1 = °F (L°x)et

8><

>:

N 2 = 0T y,2 = °1

M f y,2 = °(L°x)

D’après (II.58), on a :

v(1)(L) = v M(1)(L)+ vT

(1)(L)

avec v M(1) et vT

(1) les parties de la flèche dues respectivement à l’énergie de déformation due aumoment de flexion et à l’énergie de déformation due à l’effort tranchant :

8>>><

>>>:

v M(1)(L) =

ZL

0M f z,1

M f z,2

E IGzdx =

ZL

0F

(L°x)2

E IGzdx = F L3

3E IGz

vT(1)(L) =

ZL

0Ty,1

T y,2

GS yr

dx =ZL

0

F

GS yr

dx = F L

GS yr

On en déduit que : v(1)(L) = F L3

3E IGz+ F L

GS yr

Dans le cas où l’énergie de cisaillement est négligée

(hypothèse d’Euler-Bernoulli), on retrouve le résultat bien connu : v(1)(L) = F L3

3E IGz. Dans le cas

où l’on suppose que la section réduite S yr º S, en notant a une dimension caractéristique de la

section, on a S ª a2, IGz ª a4. On en déduit que :

vT(1)(L)

v M(1)(L)

= 3L2

E IGz

GS= 3

L2

2(1+∫)E IGz

ESª 6(1+∫)

≥aL

¥2(II.59)



Pour la manivelle du pédalier (Figure II.20) de section rectangulaire pleine on a S yr = 5

6S avec

S = bh et IGz =bh3

12. L’application numérique donne pour h º 32 mm, L º 175 mm et ∫= 0.3 :

vT(1)(L)

v M(1)(L)

= 3L2

E IGz

GS yr= 3(1+∫)

5

µhL

∂2

= 0.03 (II.60)

Pour cet élancement de L/h = 5.5, la partie de la flèche, vT(1)(L), due à l’énergie de déformation

de cisaillement est égale à 3% de la partie de la flèche, v M(1)(L), due à l’énergie de déformation

induite par le moment flexion.


pdm partie2 chapitre2 et debut 3

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