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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais
Engenharia Elétrica - 7o período
Hélio Marques [email protected]
http://linuxtech.com.br/downloads
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Horários das aulas● Quarta
– 19:00 às 20:40
● Sexta– 19:00 às 20:40
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Bibliografia● Referências
Sinais e Sistemas
● Simon Haykin e Barry Van Veen
Sinais e Sistemas Lineares
● Bhagawandas P. Lathi
Sinais e Sistemas
● Alan V. Oppenheim & Adam S. Willsky
Introdução ao Processamento Digital de Sinais
● José Alexandre Nalon
● A Internet !
E muito mais !
Vejam: http://bookboon.com
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Programa● Introdução
● Sinais e sistemas de tempo discreto
● Representação em em frequência
● Transformada de Fourier
– Resposta em frequência e Aplicações de DFT
– Sistemas FIR e IIR● Analise espectral de sinais
● Transformada Z
● Filtros digitais
– Projetos de filtros digitais FIR e IIR
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Introdução e revisão● Definições
● Sistema– Entidade que manipula um ou
mais sinais consequentemente gerando novos sinais.
● Sinal– Uma função de uma ou mais
variáveis veiculando informações sobre a natureza de um fenômeno físico.
Sinal de entradaSistema
Sinal de saída
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Exemplos● Sistemas ?
● Sinais ?
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Aplicações de processamento de sinais
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Aplicações de processamento de sinais● Controle
– Controle e automação industrial● Comunicações
– Transmissão de informações● Analógica e Digital
● Processameno de sinais
– Extração e alteração de sinais● Modulação, Filtros, Melhoramento
– Transmissão, Armazenamento, Exibição● Eficiencia e Confiabilidade !
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Análise de sinais biológicos● Sinais cerebrais : EEG : Eletroencefalografia● Sinais cardiacos : ECG : Eletrocargiografia● Imagens médicas: Raio X, PET, MRI)
– PET : Positron EmitionTomography
– MRI : Magnetic Ressonance Imaging
● Detecção de atividades anormais● Auxílio aos diagnósticos
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PET SCAN
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Ondas cerebraiscom ruidos difícieis de interpretar
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Exemplo: Imagem jpeg
43K 13K 3.5K
– Jpeg usa transfomada de cosseno discreta
(Similar à Transformada de Fourier)
JPEG: Joint Photografic Experts
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Biometria• Identificação de uma pessoa usando
caracteristicas fisiológicas
– Exemplos ● Identificação digital● Reconhecimento facial● Reconhecimento de voz
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Processamento de sinal de áudio● Cancelamento de ruidos
– Filtro adaptativo de ruídos
● Fones utilizados em cockpits● Efeitos em áudio digital● Adiçao de efeitos musicais
– Atraso, eco e reverberação
● Separação de sinal de áudio– Separar falas de interferência
– Separar som do vento da música em carros
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Sistema de Comunicação
Transmissor Canal Receptor
Sinal da mensagen
Sinal transmitido
Sinal recebido
Estimativa do sinal da mensagem recebido
Atenuação de sinal
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Sinal e Ruído
SNR = Signal Noise Ratio SNR=P signal
P noise
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Algumas distorções de sinais
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Revisão matemática - 1
Números e QuantidadesRepresentação Numérica : Bases numéricas
Conjuntos
Discretos ( ) ℕ : 0 .. + ∞ ℤ : ∞ .. + ∞
Contínuos( ) ℝ : ∞ .. + ∞ ℂ : x + j y
x e y ∈ ℝ
Δ=+/-1
Δ→0
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Trigonometria● Seno, Cosseno, Tangente, ...
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Círculo e Senoide
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Gráficos trigonométricos
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Relações Trigonométricas - 1
sin2 x + cos2 x=1
cotg (x)=1
tan (x)
sin (−x)=−sin (x)
cos(−x) = cos(x)
cosec(x)=1
sen(x)
tan (x) =sin( x)cos( x)
tan (−x) =−tan ( x)
tan (x+ y) =tan (x)+ tan ( y)
1−tan ( x) tan ( y)
tan (x− y) =tan (x)−tan ( y)
1+ tan ( x) tan ( y)
sec(x)=1
cos(x)
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Relações Trigonométricas - 2
sin (x± y)=sin (x)cos( y)±cos(x)sin ( y)
cos(x± y)=cos(x)cos( y)∓sin (x)sin ( y)
sin (x)cos(x) =12
sin (2x)
tan (x2) =
1−cos(x)sin (x)
=sin(x)
1+cos( x)
E muito mais !
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Viagem de uma onda senoidal
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Comprimento de onda
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Dependência de x e ty = sin (kx − ωt)
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Revisão matemática - 2Vetores Fasores
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Tangente
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Revisão : Números Complexos∣Z∣=√x2
+ y2 ∣Z∣<θZ=x+ j y
AB=cos(θ)
BC=sin (θ)
Z1=a+ j b Z2=c+ j d
Z1+Z2=(a+c)+ j(b+d)
Z1∗Z2=(ac−bd)+ j(ad+bc)
Z=x− j yConjugado:
Z1+Z1=2a
Z1∗Z1=a2+b2
1Z=
Z∣Z2∣
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Revisão - FasoresSenoide :
Z=∣Z∣<ϕ
Z=∣Z∣cos(ϕ)+ j sin(ϕ)
ϕ=tan−1[(X L−XC)
R]
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Matrizes
Soma de matrizes
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Matrizes
Multiplicação de matrizesPor constante
Por matriz
Multiplicação de matrizes
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Limites● Seja S uma sequência de números reais
– x1, x2, x3, x4, …
● lim(xi) = L quanto maior for o valor de I
● Para uma função f(x) real
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Cálculo Integral● Seja
y = f (x)
● a integral
● representa a área delimitada pela curva do ponto a até b e a reta real.
F(x) = = F(b) - F(a)
F(x) =
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Integral indefinida
Integral imprópria
∫ f (x)dx
∫−∞
∞
f (x)dx
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Derivativo ou derivada
Notação de Leibinitz :
Notação de Lagrange : f'(x)
f ' ( x) oudfdx( x)
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Derivativa geométrica
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Algumas regras de derivadas
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Regras de derivadas (1/4)(cf )'=cf '
( f +g)'= f '+g '
( fg )'= f ' g+ fg '
(fg)'=
f ' g− fg '
g2
( f ο g) '=( f ' ο g)g '
d (c)dx
=0
d (x)dx
=1
d (cx)dx
=c
d (xc)
dxc =cxc−1
onde ( f ο g)= f (g (x))
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Regras de derivada (2/4)
d (1x)
dx=d
( x−1)
dx=−x−2
=−1
x2
d (1
xc)
dx=d
( x−c)
dx=−c
xc+1
d (√ x)dx
=d x
12
dx=
12x−
12=
12x−
12=
12√ x
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Regras de derivada (3/4)d (sen(x))
dx=cos(x)
d (cos(x))dx
=−sen( x)
d ( tan (x))dx
=sec2(x)=
1
cos2 x
d (sec(x))dx
=tg (x) sec(x)
d (cotg (x))dx
=−cosec2(x)=
−1
sen2 x
d (cosec(x))dx
=−cosec( x)cotg (x)
d (arcsen (x))dx
=1
√1−x2
d (arccos( x))dx
=−1
√1−x2
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Regras de derivada (4/4)d (arctg (x))
dx=
1
1+ x2
d (arcsec (x))dx
=1
∣x∣√(x2−1)
d (arccotg ( x))dx
=−1
1+x2
d (arccosec (x))dx
=−1
∣x∣√(x2−1)
d (senh( x))dx
=cosh (x)=(e x
+e−x)
2
d (cosh (x))dx
=senh(x)=(e x
+e−x)
2
d ( tanh( x))dx
=sech2(x)
d (sech(x))dx
=−tanh (x)sech( x)
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Sinais
● Frequências● Amplitudes● Fases
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Frequências e Harmônicas
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Processamento de Sinais2015-1
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Harmônicas acumuladas
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Processamento de Sinais2015-1
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Modulação de sinais
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Processamento de Sinais2015-1
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Modulações básicas
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Processamento de Sinais2015-1
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Modulação PSK – Phase Shift Keying
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Modulação FSK – Frequency Shift Keying
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Processamento de Sinais2015-1
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Fator de qualidade de sinal
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Processamento de Sinais2015-1
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Superposição positiva
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Reflexão fixa e livre
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Processamento de Sinais2015-1
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Incidência, Superposição e Reflexão
μ = massa/comprimento da linha = densidade da linha
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Processamento de Sinais2015-1
55 / 281
μ crescente
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Processamento de Sinais2015-1
56 / 281
μ decrescente
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Processamento de Sinais2015-1
57 / 281
Potência
P (t)=dWdt
=F.dsdt
=F.v
P (t)=vμω2 A2 cos2(kx−ω t)
Paverage=12vμω2 A2
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Processamento de Sinais2015-1
58 / 281
Intensidade
I=P
4π r2
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Processamento de Sinais2015-1
59 / 281
Radiação de somVídeo: radiation.mpeg
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Processamento de Sinais2015-1
60 / 281
Radiação de luz
![Page 60: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/60.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
61 / 281
Dispersão da luz
![Page 61: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/61.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
62 / 281
Ressonância
![Page 62: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/62.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
63 / 281
Soma, subtração de sinais
y1 = sin (k1x1 − ω1t)
y2 = sin (k2x2 − ω2t)
y = y1 +/- y2
![Page 63: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/63.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
64 / 281
Exemplo
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Processamento de Sinais2015-1
65 / 281
Multiplicação de de sinais
y1 = sin (k1x1 − ω1t)
y2 = sin (k2x2 − ω2t)
y = y1 * y2
![Page 65: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/65.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
66 / 281
Algumas ferramentas● Matlab
$3000 a $4000 http://www.mathworks.com/
● Scilab
opensource
http://scilab.org
● Sage
opensource
http://www.sagemath.org/
![Page 66: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/66.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
67 / 281
Senoidal pura
Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]; -->plot(sin(x));
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Processamento de Sinais2015-1
68 / 281
Senoidal e harmônicas pares
Y = sin(x)+sin(2*x) Y = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)
![Page 68: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/68.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
69 / 281
Senoidal e harmônicas paresY = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)+sin(6*x)+sin(8*x)+sin(10*x)+sin(12*x)+sin(14*x)
![Page 69: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/69.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
70 / 281
Senoidais e harmônicas pares subtrativas
Y = sin(x)-sin(2*x)-sin(4*x)-sin(6*x)-sin(8*x)-sin(10*x)-sin(12*x)-sin(14*x)
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Processamento de Sinais2015-1
71 / 281
Senoidal pura
Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]'; -->plot(sin(x));
![Page 71: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/71.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
72 / 281
Senoidal e harmônicas ímpares
Y = sin(x)+sin(3*x) Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)
![Page 72: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/72.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
73 / 281
Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x) + … + sin(13*x)
Senoidal e harmônicas ímpares
![Page 73: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/73.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
74 / 281
Onda quadrada
Real :
![Page 74: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/74.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
75 / 281
Aproximações da onda quadrada
1
2
3
4
1Senoide pura
Quarta aproximação
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Processamento de Sinais2015-1
76 / 281
Série de Fourier● Seja a onda quadrada f(x) de comprimento 2L
f (x)=4π ∑
n=1,3,5,. ..
∞ 1n
sin(nπ xL
)
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Processamento de Sinais2015-1
77 / 281
Séries de Fourier básicas
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Processamento de Sinais2015-1
78 / 281
Série simplesOnda dente de serra
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Processamento de Sinais2015-1
79 / 281
Onda dente de serra
![Page 79: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/79.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
80 / 281
Onda triangular
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Processamento de Sinais2015-1
81 / 281
Domínio no tempo x frequência
![Page 81: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/81.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
82 / 281
Exemplo com 3 frequências
![Page 82: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/82.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
83 / 281
Transformada de Fourier● Definição:
Seja a Função integrável f : ℝ→ ℂ
Relaciona as funçõesno domínio do tempocom as funções no
domínio da frequência
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Processamento de Sinais2015-1
84 / 281
Domínios em frequência e tempo
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Processamento de Sinais2015-1
85 / 281
Análise de FFT no Scilab 1/2-->// FFT Transform-->N = 100; // número de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequência-->w2 = %pi/10; // 2a frequência-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f);
![Page 85: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/85.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
86 / 281
// A Transformada de Fourier do sinal
F = fft(f); // Calcula a Transformada de Fourier
F_abs = abs(F); // F_abs é o valor absoluto de cada elemento de F
-->plot(n, F_abs(F);
Análise de FFT no Scilab 2/2
![Page 86: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/86.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
87 / 281
FFT com ruídos
![Page 87: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/87.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
88 / 281
DFT: Transformada de Fourier DiscretaLista finita de amostragens igualmente espaçadas
↓Lista de coeficientes de uma combinação finita de senoides
![Page 88: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/88.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
89 / 281
DFT do sinal f-->// FFT Transform-->N = 100; // número de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequência-->w2 = %pi/10; // 2a frequência-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f); -->plot(dft(f, 1));
![Page 89: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/89.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
90 / 281
Ondas estacionárias
![Page 90: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/90.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
91 / 281
Sinais, corrente e campo magnético
![Page 91: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/91.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
92 / 281
Energia e Potência de um sinal
P (t)=v (t)i (t)=1Rv2(t)
No intervalo de tempo t1 a t2 :
∫ p(t)dt=∫t1
t21Rv2(t)dt
Potência média no intervalo de t1 a t2 :
1(t2−t1)∫t1
t2
p(t)dt=1
(t2−t1)∫t1
t21Rv2(t)dt
![Page 92: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/92.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
93 / 281
Energia total● Tempo contínuo
● Tempo discreto
E∞≃lim T→∞∫−τ
τ
∣x(t )∣2dt=∫
−∞
+∞
∣x (t)2∣dt
E∞≃lim N→∞ ∑n=−N
+N
∣x [n]2∣= ∑N=−∞
+∞
∣x [n]∣2
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Processamento de Sinais2015-1
94 / 281
Potência média● Tempo contínuo
● Tempo discreto
P∞≃lim T→∞1
2T∫−τ
τ
∣x(t)∣2dt
P∞≃lim N→∞1
2N+1 ∑n=−N
+N
∣x [n]∣2
![Page 94: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/94.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
95 / 281
Transformações● Variável independente
– Ajuste de controles
– Melhoria dos sinais
– Eliminação de ruídos
– Equalização
– ...
![Page 95: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/95.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
96 / 281
Exemplos de transformações
![Page 96: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/96.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
97 / 281
Deslocamento no tempo● Sinais
– x(n) e x(n – t0)● Idênticos na forma● Deslocados um em relação ao outro● x(n – t0)
– Atrasado se t0 é positivo
– Adiantado se t0 é negativo
● Exemplos– Radar, sonar, sinais sísmicos, ...
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Processamento de Sinais2015-1
98 / 281
Reflexão no tempo● Sinais
– x(n) e x(-n)● Espelhado em relação a n=0
![Page 98: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/98.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
99 / 281
Escala do tempo
x (t)
x (n t )
x (t /n)
![Page 99: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/99.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
100 / 281
Escala do tempo e deslocamento
x (t) x (α t+β)
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Processamento de Sinais2015-1
101 / 281
Sinais não periódicos
![Page 101: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/101.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
102 / 281
Simetria● Simetria par
Contínuo Discreto
– x(-t) = x(t) x[-n] = x[n]
● Simetria ímpar
Contínuo Discreto
– x(-t) = -x(t) x[-n] = -x[n]
Deve ser 0 em t = 0 ou n = 0 !
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Processamento de Sinais2015-1
103 / 281
Sinais senoidais e exponenciais● Sinal exponencial complexo
x(t) = Ceat
C e a são complexos
Sinal exponencial Real
Se C e a são reais
x(t) é exponencial real
A > 0 A < 0
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Processamento de Sinais2015-1
104 / 281
Sinais senoidais e exponenciaiscomplexas periódicas
● Periódica com período T– x(t) = x(t + T)
● Senoidal
– x(t) = A cos(ω0-t + φ)
e jw 0 t=e jw0 ( t + T)
![Page 104: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/104.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
105 / 281
A cos(ω0-t + φ) =
ω1 > ω2 > ω3
T1 < T2 < T3
Frequência fundamental e Período
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Processamento de Sinais2015-1
106 / 281
Potência Média
E período=∫0
t0
∣e jω0 t∣2dt=∫
0
t0
1.dt=T 0
P período=1T 0
E período=1
![Page 106: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/106.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
107 / 281
Soma de 2 sinais
x (t)=e j2t+e j3t
Soma de 2 sinais exponenciais complexos, por exemplo:
Colocando a exponecial em evidência:
x (t)=e j2.5t(e− j0.5
+e j0.5t)
Reescrevendo, utilizando a equação de Euler:
x (t)=2e j2.5t cos(0.5t)
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣
Obtendo o módulo de x(t) :
eix=cos(x)+i sin (x)
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Processamento de Sinais2015-1
108 / 281
Soma de 2 sinais
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal
![Page 108: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/108.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
109 / 281
Soma de 2 sinais
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal
![Page 109: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/109.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
110 / 281
Senoide pura e sua FFT
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Processamento de Sinais2015-1
111 / 281
-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=sin(x + %pi/3)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
Análise senoides deslocadas π/3
![Page 111: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/111.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
112 / 281
-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )
Transformada de Fourier
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Processamento de Sinais2015-1
113 / 281
Transformada de Laplace● Seja uma função f(t)
– F(s) é a transformada de Laplace de f(t)
● S é um número complexo :
Outra notação:
s=σ+iω
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Processamento de Sinais2015-1
114 / 281
-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=sin(x + %pi/5)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )
Análise senoides deslocadas π/5
![Page 114: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/114.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
115 / 281
-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=cos(x)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
-->plot(fft(f1+f2), “magenta )
Análise de seno e cosseno
![Page 115: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/115.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
116 / 281
Sinais exponeciais complexos gerais● Considerando exponencial complexa Ceat
– C expresso na forma polar
– a expresso na forma retangular
– Expandindo usando Euler:
C=∣C∣e j θ
a=r+ jw0
Ceat=∣C∣e j θe(r+ jω0)t=∣C∣ert e j (ω0t+θ)
Ceat=∣C∣ert cos(ω0 t+θ)+ j∣C∣ert sin (ω0t+θ)
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Processamento de Sinais2015-1
117 / 281
Formas de onda
Para r > 0
Para r < 0
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Processamento de Sinais2015-1
118 / 281
Sinais discretos
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Processamento de Sinais2015-1
119 / 281
Sinais senoidais discretos
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Processamento de Sinais2015-1
120 / 281
Sinais crescentes ou decrescentes
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Processamento de Sinais2015-1
121 / 281
Função impulso unitário- discreto
0,n≠0
1,n=0δ={u [n]=∑
k=∞
0
δ[n−k ] u [n]=∑k=0
∞
δ[n−k ]ou
Intervalo do somatório Intervalo do somatório
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Processamento de Sinais2015-1
122 / 281
Degrau unitário – tempo discreto
0, n<0
1, n≥0u [n]={δ[n]=u [n]−u [n−1]
Soma cumulativa: u [n]= ∑m=−∞
n
δ[m]
u [n]=∑k=0
∞
δ[n−k ]equivalente a u [n]=∑k=∞
0
δ[n−k ]
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Processamento de Sinais2015-1
123 / 281
Degrau unitário – tempo contínuo
1, t>0
0, t<0u(t)= { Discontínua se t = 0 !
u(t)=∫−∞
t
δ(τ)d τ Integral cumulativa do impulso unitário !
δ(t)=du(t)dt
Primeira derivada do degrau unitário !
1
0
u( t )
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Processamento de Sinais2015-1
124 / 281
Aproximação do degrau unitário
Aproximação contínua do degrau unitário, u∆(t )
1
0 Δ
uΔ(t)
Pulso curto de duração Δ com área unitária independente de Δ
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Processamento de Sinais2015-1
125 / 281
Impulso unitário – tempo contínuoQuandoδ→0,δΔ (t) torna−se mais estreito emais altomantento sua área unitária .
δ(t)
1
0 t
δ(t)=limΔ→0
δΔ(t) Em geral, um Impulso k δ(t) é:
∫−∞
t
k δ(τ)d τ=ku(t)
k δ(t)
k
0 t
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Processamento de Sinais2015-1
126 / 281
Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto
Sistema de tempo contínuo
x(t) y(t)
Sistema de tempo discreto
x[t]y[t]
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Processamento de Sinais2015-1
127 / 281
Exemplo de sistema contínuo
+- Vc
Vs
R
iC
i(t)=(V s(t )−V c(t))
Ri(t)=C
dvc(t )
dt
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Processamento de Sinais2015-1
128 / 281
Exemplo de sistema contínuo
f
pv
dv (t)dt
=1m
f (t)− pv (t)
dv (t)dt
+pmv (t)=
1m
f (t )
![Page 128: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/128.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
129 / 281
Interconexões de sistemas
Sistema 1 Sistema 2
Entrada Saída
Entrada
Sistema 1
Sistema 2
+ Saída
![Page 129: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/129.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
130 / 281
Interconexões de sistemas
Entrada
Sistema 1
Sistema 3
+
'
Saída
Sistema 2
Sistema 4
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Processamento de Sinais2015-1
131 / 281
Aplicações● Comunicações
– Codificadores● Transmissão de dados codificados● Privacidade
– Transmissão de códigos de verificação● Integridade● Confiabilidade
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Processamento de Sinais2015-1
132 / 281
Segurança da Informação● "Esta é uma informação importante.”
– Codificação
ASCII, Binário,EBCDIC, etc.– ASCII : American Standard Code for Information Interchange
– Adição de código de verificação
Exemplos:
– Check sum, Message Digest, Secure Hash Algorithim● MD5
e6db7ca7a76cbd5d94773b82f506439d● SHA1
9a079ca77b8f4aad0cef878a26555b9fa600b03a● SHA256
14f980026610d39a54072ca1527cb704ad7d805ea3bdeede9b01ce32a764449d
![Page 132: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/132.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
133 / 281
Codificação de símbolos/caracteres
![Page 133: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/133.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
134 / 281
Tabela ASCII
![Page 134: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/134.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
135 / 281
Critérios de Segurança
Integridade
Disponibilidade
Confiabilidade
Privacidade} Significados
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Processamento de Sinais2015-1
136 / 281
Criptografia● Acesso a informação ou serviço
– Usuário: Jose
– Senha: MinhaSenha
● O que é armazenado$6$ydVIN1KPliKJ$QMka05LO./284rCRTNlpxl1znyspZ93ZjbBDYWIZBUbEr1JaT0pXfdERuc9ubWuxI2WioWszZ93MS/Zpoa/c51
● Se recadastrar a senha (mesmo que idêntica)$6$wyv1VOBZvvm4$STo.9s0FMWHv88TtWtcfNmkDxpxVrOZDpC/U2GakMcDU/GPaqSoqhsX5E4EjrmIvMMtHBtO2WrKLJzT8jBSOj
Enigma
![Page 136: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/136.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
137 / 281
Compressão● Algorítmo que reduz o tamanho de um arquivo
● Arquivo : conjunto de símbolos
Exemplosbzip2cabgzipzip7-zipcompressarkrarlha/lhz...
![Page 137: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/137.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
138 / 281
Técnicas simples● Símbolos repetidos
– “aaaaaaaaaaaaaaa” => “δ15a”
– “ “ => “δ12 ”● δ indica que o texto original foi comprimido
● Textos repetidos– “qualquer texto” => “δτ1”
● τ indica que o texto original foi substituído
![Page 138: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/138.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
139 / 281
Codficação Huffman“this is an example of a huffman tree“ Char Freq Code
space 7 111 a 4 010 e 4 000 f 3 1101 h 2 1010 i 2 1000 m 2 0111 n 2 0010 s 2 1011 t 2 0110 l 1 11001 o 1 00110 p 1 10011 r 1 11000 u 1 00111 x 1 10010
![Page 139: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/139.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
140 / 281
ExemploO Processamento de Sinais consiste na análise e/ou modificação de sinais de forma a extrair informações dos mesmos e/ou torná-los mais apropriados para alguma aplicação específica. O processamento de sinais pode ser feito de forma analógica ou digital. Os objeto de interesse do processamento de sinais podem incluir sons, imagens, séries temporais, sinais de telecomunicações, como sinais de rádio e muitos outros.
Tamanho dos arquivos para alguns aplicativos:
Arquivo original: 431 bytes
Lz4 : 370 bytes
bzip2 : 287 bytes
gzip : 278 bytes
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Processamento de Sinais2015-1
141 / 281
Transmissão e Recepção de Rádio
![Page 141: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/141.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
142 / 281
Sinal de TV
![Page 142: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/142.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
143 / 281
Crominâcia
![Page 143: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/143.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
144 / 281
Luminância
![Page 144: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/144.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
145 / 281
Equivalência das equações nos vários sistemas
![Page 145: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/145.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
146 / 281
Propriedades de sistemas● Sem memória
–
● Com memória–
–
–
y (t)=x (t )
y (n)=∑k=−∞
n
x (k )
y (n)=x (n−1)
y (n)=1C∫ x (t )dt
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Processamento de Sinais2015-1
147 / 281
Sistema inverso
x(n) SistemaSistema inverso
y(n)w(n) = x(n)
Sistema inversível => Existe sistema inverso
![Page 147: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/147.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
148 / 281
Exemplos
x(t) SistemaSistema inverso
y(t)w(t) = x(t)
2)
1) y (t)=2x (t ) w (t)=12y (t)
y [n]=∑ x (k ) w [n]= y [n]−y [n−1]
![Page 148: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/148.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
149 / 281
Sistemas não inversíveis
1)
2)
y [n]=0
y (t)=x2(t )
![Page 149: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/149.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
150 / 281
Causalidade● A saída em qualquer tempo depende dos
valores de entrada somente nos instantes presentes e passado.– Sistema não anticipativo
● Exemplo
+- Vc
Vs
R
iC
![Page 150: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/150.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
151 / 281
Sistemas causais
1)
2)
3)
y (n)=∑ x (k )
y (n)=∑ x (n−1)
y (t)=1C∫ i (t)dt
![Page 151: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/151.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
152 / 281
Estabilidade
Sistemas estáveis:Pequenas entradas produzem respostas que não são divergentes.
x(t)y(t)y(t)
y(t)
x(t)
Pêndulo estável Pêndulo invertido instável
![Page 152: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/152.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
153 / 281
Estabilidade
Se a entrada para um sistema estável é limitada a saída também deve ser limitada.
f
ρvLimite da velocidade: aumento da força de atrito !
ρvm=Fm
V=Fρ
![Page 153: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/153.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
154 / 281
LinearidadeSistema com a importante propriedade de superposição
Entrada é soma ponderada de sinaisSaída também é uma soma ponderada de sinais
-2 2
x1(t) y
1(t)
-1 1
0 4
x2(t) = x1(t-2)
y2(t)
0 2
1 1 Linear
Não linear
![Page 154: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/154.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
155 / 281
Invariância no tempo
O comportamento e as características do sistema são fixos ao longo do tempo.
Exemplo: Circuito RC com R e C constantes
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada resulta um deslocamento idêntico no sinal de saída.
x[n] → y[n]
então
x[n - t] → y[n - t]
Exemplo: sin(x(t))
![Page 155: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/155.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
156 / 281
Verificação de linearidadeSeja y(t) = x2(t)
E x1(t), x
2(t) e x
3(t)
Então x
1(t)-> y
1(t) = x2
1(t)
x2(t)-> y
2(t) = x2
2(t)
x3(t)-> y
3(t) = x2
3(t)
= (ax1(t) + bx
2(t))2
= a2x1
2(t)+b2x2
2(t) + 2abx1(t)x
2(t)
= a2y1(t)+b2y
2(t) + 2abx
1(t)x
2(t)
Especificando x1(t), x
2(t), a e b de tal forma que
y3(t) ≠ ay
1(t)+by
2(t)
Exemplo: x1(t) = 1 , x
2(t) = 0, a = 2 e b = 0
y3(t) = [2x
1(t)]2 = 4
Mas 2y1(t) = 2[x
1(t)]2 = 2 logo o sistema não é linear
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Processamento de Sinais2015-1
157 / 281
Transformações - 1(a) x(t)
1
0 1 2 -1
(b) x(t+1)1
0 1 2
(c) x(-t+1)1
0 -1 1
t t
t
![Page 157: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/157.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
158 / 281
Transformações - 2
(d)1
0 2/3 4/3
(e)
1
-2/3
t
x (32t)
2/30
x (32t+1)
t
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Processamento de Sinais2015-1
159 / 281
Exercício
Seja o sinal x(t) de tempo contínuo abaixo:
Esboce os sinais:
a) x(t – 1)
b) X(2 – t)
c) x(2t + 1)
d) x(4 - t/2)
Problema 1.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim
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Processamento de Sinais2015-1
160 / 281
Sistemas lineares discretosinvariante no tempo
Seja o sinal x[n] representado em (a)
E uma sequência de 5 impulsos unitários de (b) a (f).O fator de escala do impulso é igual o valor de x[n] no instante da amostra.
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Processamento de Sinais2015-1
161 / 281
Impulsos
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Processamento de Sinais2015-1
162 / 281
Impulsos
A soma das 5 sequências é igual a x[n] para -2 <= n <= 2
Siplificando:
Combinação linear de dos impulsos unitários deslocados δ[n - k]
Combinação linear de dois impulsos unitários deslocados δ[n - k]
x [n ]=∑k=−∞
+∞
x [k ]σ [n− j ]
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Processamento de Sinais2015-1
163 / 281
Degrau unitário
x[n] = u[n]u[k] = 0 para k < 0 u[k] = 1 para k >= 0
Propriedade seletiva do impulso unitário de tempo discreto.
u [n]=∑0
∞
δ[n−k ]
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Processamento de Sinais2015-1
164 / 281
Representação por soma de convoluçõesEntrada arbitrária:
Resposta:
Saída:
Sistema Linear Invariante no Tempo ( L I T ) Deslocado no tempo h
k[n] = h
0[n-k]
Soma de convolução ouSoma de superposição
y [n]=∑k=−∞
+∞
x [k ]hk [n]
x [n ]
hk [n]
y [n]=∑k=−∞
+∞
x [k ]h [n−k ]
y [n]=∑k=−∞
+∞
x [k ]hk [n]
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Processamento de Sinais2015-1
165 / 281
Calcule a convolução y[n] = x[n]*h[n] para os seguintes pares de sinais
Problema 2.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim
Exercício
x [n ]=αnu [n]h [n ]=βnu [n ]
x [n ]=αnu [n]h [n ]=αn u [n]
a)
b)
c) x [n ]=−12
n
u [n−4]
h [n ]=4nu [2−n]
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Processamento de Sinais2015-1
166 / 281
Integral de convoluçãoSistema de tempo discreto => Sistema que responde a uma sequência de inpulsos
Aproximação em degraus Para um sinal de tempo contínuo
Se ∆ se aproxima de 0 :
e o somatório se aproxima da integral
x̂ (t)=∑ x (k Δ)σδ(t−k Δ)Δ
x (t)=lim∑ x (k Δ)σΔ(t−k Δ)Δ
Δ→0
x (t)=∫ x (τ)σ (t−τ)dt
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Processamento de Sinais2015-1
167 / 281
Representação gráfica
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Processamento de Sinais2015-1
168 / 281
Propriedades de sistemas LIT● Comutativa
Ou seja, em tempo discreto:
x [n ]∗h [n]=h [n]∗x [n ]=∑k=−∞
+∞
h [k ] x [n−k ]
E em tempo contínuo:
x (t)∗h(t )=h (t)∗x (t)=∫−∞
+∞
h (τ) x (t−τ)d τ
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Processamento de Sinais2015-1
169 / 281
Propriedades de sistemas LIT● Distributiva
x [n ]∗(h1[n]+h2[n])
= x [n ]∗h1[n]+ x [n ]∗h2[n]
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Processamento de Sinais2015-1
170 / 281
Propriedades de sistemas LIT● Inversíveis
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Processamento de Sinais2015-1
171 / 281
Propriedades de sistemas LIT● Causalidade
y[n] não deve depender de x[k] para k > n
h[n] = 0 para n < 0
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Processamento de Sinais2015-1
172 / 281
Propriedades de sistemas LIT● Estabilidade
∑|h [k ]|<∞
|x [n ]| <B , para todo n
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Processamento de Sinais2015-1
173 / 281
Sistemas LIT descrita em equações diferenciais
Com entrada x(t) = Ke3tu(t)
Solução particular, equação diferencial homogênea
Determinando Y
dy (t)dt
+2y (t )=x (t)
y (t)= y p(t )+ yh(t )
dy (t)dt
+2y(t)=0 y p(t )=Ye3t
3Y+2Y=K Y=K5 y p(t )=
Ke3t
5
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Processamento de Sinais2015-1
174 / 281
Diagrama de blocosA equação
y[n] = -ay[n-1] + bx[n]
Pode ser representada pelo diagrama:
-a
+x[n]b
y[n]
D
y[n-1]
Sistema discretocom memória!
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Processamento de Sinais2015-1
175 / 281
Diagrama de blocos
Sistema contínuo
dy (t)dt
+ay (t)=bx (t)
y (t)=−1ady (t)dt
+ba+x (t)Reescrita :
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Processamento de Sinais2015-1
176 / 281
Diagrama de blocosRepresentação dos elementos básicos
+
x2(t)
x1(t)
a)
b)
c)
x(t)
x(t) D
dx (t )dt
x1(t)+ x2(t)
a ax (t)
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Processamento de Sinais2015-1
177 / 281
Resoluçãody (t)dt
+ay (t)=bx (t)dy (t)dt
=bx (t)−ay (t)
Integrando
y (t)=∫−∞
t
[bx (τ)−ay (τ)]d τ
-1/a
+x(t) y(t)
D
b/a
dy(t)dt
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Processamento de Sinais2015-1
178 / 281
Representação como integrador
∫ ∫−∞
t
x (τ)d τ
∫+
-a
bx(t) y(t)
y (t)= y (t0)+∫t0
t
[bx (τ)−ay (τ)]d τ
y(t0) é o valor inicial: memória do integrador.
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Processamento de Sinais2015-1
179 / 281
ExercícioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
a)
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Processamento de Sinais2015-1
180 / 281
Exercício
b)
Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
![Page 180: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/180.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
181 / 281
ExercícioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
c)
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Processamento de Sinais2015-1
182 / 281
Funções de singularidade● Impulso unitario de tempo contínuo
● δ(t) e a resposta ao impulso identidade
x (t)=x (t)∗δ(t)
δ(t)=δ(t)∗δ(t)
Para qualquer sinal δ(t)
Então:
Pulso retangular:
rΔ(t)=δΔ(t)∗δΔ(t)
Quandoδ→0⇒ impulso unitario.
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Processamento de Sinais2015-1
183 / 281
Interpretações
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Processamento de Sinais2015-1
184 / 281
Interpretações
![Page 184: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/184.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
185 / 281
Interpretações
![Page 185: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/185.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
186 / 281
Impulso unitário e convoluçãoPara Δ suficientemente pequeno, os sinais
δΔ (t) , rΔ (t) , rΔ (t)∗δΔ (t) , e rΔ (t )∗rΔ (t)
agem todos como impulsos quando aplicados a um sistema LIT.
δ(t) pode ser definido como o sinal para o qual :
x (t)=x (t )∗δ(t) (comoΔ→0)
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Processamento de Sinais2015-1
187 / 281
ExemploSe x(t) = 1, para todo t
1=x (t)=x (t)∗δ(t )δ(t)∗x (t)
∫−∞
+∞
δ(τ) x (t−τ)d τ=
= ∫−∞
+∞
δ(τ)d τ → área unitária
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Processamento de Sinais2015-1
188 / 281
Outra definiçãoSinal arbitrário
g (t)
Espelhado
g (−t)
g (−t)=g (−t )∗δ(t)=∫−∞
+∞
g (τ−t)δ(τ)d τ
Convolução com δ(t)
Para t = 0
g (0)=∫−∞
+∞
g (τ)δ(τ)d τ
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Processamento de Sinais2015-1
189 / 281
Outro exemploConsidere um sistema LIT onde a saída é a derivada da entrada
y (t)=dx (t )dt
A resposta é a derivada do impulso unitário
dx (t)dt
=x (t )∗u1(t) para qualquer sinal x (t )
Segunda derivada de δ(t)
d 2x(t )
dt2 =x (t)∗u2(t)→u2(t)=u1(t)∗u1(t)
A k-ésima derivadauk=u1(t)∗...∗u1(t )
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Processamento de Sinais2015-1
190 / 281
ExemploSinal constante
x (t)=1Temos
0=dx(t)dt=x (t)∗u1(t) ∫
−∞
+∞
u1(τ) x (t−τ)d τ=
∫−∞
+∞
u1(τ)d τ=
Convolução de g (−t)comu1(t)
∫−∞
+∞
g (τ−t )u1(τ)d τ=g (−t)∗u1(t )=
dg (−t)dt
=−g ' (−t)= Cont.
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Processamento de Sinais2015-1
191 / 281
Exemplo (continuação)Para t = 0
−g ' (0)=∫−∞
+∞
g (τ)u1(τ)d τ =
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Processamento de Sinais2015-1
192 / 281
Exercício
Sendo:x(t) a força aplicada a massay(t) o deslocamento da massa
Determine a equação diferencial que relaciona x(t) com y(t)
![Page 192: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/192.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
193 / 281
Exercício
K = Coeficiente de elasticidade = 2 N/mM = Massa = 1 kgB = Constante de amortecimento = 2 N – s/m
Sendo:x(t) a força aplicada a massay(t) o deslocamento da massa
Determine a equação diferencial que relaciona x(t) com y(t)
resolvido
![Page 193: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/193.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
194 / 281
Solução
Md2 x (t)dt2 +B
dx (t)dt
+K x (t)=F (t)
![Page 194: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/194.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
195 / 281
Circuitos e diagrama de blocosCircuito
![Page 195: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/195.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
196 / 281
Diagrama de blocos
![Page 196: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/196.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
197 / 281
Outro sistema
Ri (t)+v0=vi (t) 1C∫ i(t)dt=v0(t)
RCdv0(t)
dt+v0(t )=vi (t)
Condiçao inicial: Vc = 0 resolvido
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Processamento de Sinais2015-1
198 / 281
Como resolver ?
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Processamento de Sinais2015-1
199 / 281
Resolvendo a equação diferencialvo(t)=A(1−e−t /RC
)
Valor de regime considerando t→∞
v0(∞)=lim t→∞ v0(t)=A
Aplicando a transformada de Laplace
R.I (s)+v0(s)=vi (s)I (s)sC
=v0(s)
v0(s)
v i (s)=
1RCs+1
=
1(RC )
s+(1RC
)
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Processamento de Sinais2015-1
200 / 281
Diagrama de blocos
![Page 200: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/200.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
201 / 281
Revisão : Energia
Ex=∫−∞
+∞
x (t )2dt
Energia para um sinal convencional
Energia para um sinal complexo
Ex=∫−∞
+∞
|x (t )|2dt
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Processamento de Sinais2015-1
202 / 281
Exemplos
0
2
1 0 1
1
a)b)
![Page 202: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/202.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
203 / 281
Revisão : Potência
Potência para um sinal convencional
Potência para um sinal complexo
Px=limT
∞ 1T ∫−T
2
T2
(x2(t ))dt
Px=limT
∞ 1T ∫−T
2
T2
|(x2(t ))|dt
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Processamento de Sinais2015-1
204 / 281
Sinal periódico
Px=limT
∞ 1T ∫−T
2
T2
(x2(t ))dt
T = 1
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Processamento de Sinais2015-1
205 / 281
Valores RMS
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Processamento de Sinais2015-1
206 / 281
Serie de Fourier● Soma de um conjunto de senos e cosenos
– Exponenciais complexas
Ver fourier.mpeg
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Processamento de Sinais2015-1
207 / 281
Resposta dos sistemas LIT as exponenciais complexas
est
Tempo contÍnuo
Tempo discreto
zn
H (s)est
H ( z) zn
Apenas mudança de amplitude.
![Page 207: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/207.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
208 / 281
Exemplo● Sistema LIT de tempo contínuo com resposta
ao impulso h(t)
y (t)=∫−∞
+∞
h(τ) x (t−τ)d τ ∫−∞
+∞
h(τ)es (t−τ)d τ=
Fazendo e s(t−τ) e st e−s τcomo
y (t)=est∫−∞
+∞
h(τ)e−s τ d τTemos
y (t)=H (s)est
Convergindo, resulta
H (s)=∫−∞
+∞
h(τ)e−s τd τonde
![Page 208: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/208.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
209 / 281
Filtros de tempo contínuo em equações diferenciais
RCdv c(t )
dt+vc(t)=v s(t )
Resposta em frequência:
H ( jω)
Entrada
Saída
v s(t )=e jω t
vc(t)=H ( jw)e jω t
Filtro passa baixas
![Page 209: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/209.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
210 / 281
Substituindo vs e v
t ...
RCdv c(t )
dt+vc(t)=v s(t )
RCddt[H ( jω)e jω t
]+H ( jω)e jω t=e jω t
RC jωH ( jω)e jω t+H ( jω)e jω t
=e jω t
H ( jω)e jω t=
11+RCjω
e jω t
ou H ( jω)=1
1+RCjω
![Page 210: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/210.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
211 / 281
Filtro passa alta simples
RCdv r(t)
dt=V r(t)=RC
dvs(t)
dtSendo a entrada: v s(t )=e jω t
E a saída: v r(t)=G ( jω)e jω t
Então: G( jω)=jω RC
1+ jω RC
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Processamento de Sinais2015-1
212 / 281
![Page 212: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/212.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
213 / 281
Gráfico de magnitude
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Processamento de Sinais2015-1
214 / 281
Fase da resposta em frequência
![Page 214: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/214.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
215 / 281
Outros filtros
![Page 215: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/215.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
216 / 281
Outros filtros - 1∣He jω∣ He jω<
![Page 216: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/216.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
217 / 281
Outros filtros - 2
∣He jω∣ He jω<
![Page 217: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/217.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
218 / 281
Filtro passa alta
![Page 218: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/218.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
219 / 281
Filtro passa banda
![Page 219: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/219.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
220 / 281
Características de filtros● Frequência de corte
● Potência de saída é metade da potência de entrada
● Constante de carga em regime transitório
● Frequência angular de ressonância
● Fator de qualdade de um par de polos ou zeros
![Page 220: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/220.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
221 / 281
Filtro T(s) – frequência angular ω
![Page 221: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/221.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
222 / 281
Função de transferência
Circuito do FiltroT(s)v i(s)
vo(s)
T (S )=V 0
V 1
(S )=A(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)
(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)
![Page 222: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/222.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
223 / 281
Polos e Zeros
T (S )=V 0
V 1
(S )=A(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)
(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)
Os zeros de um filtro correspondem aos valores de S que anulam o numerador da função de transferência
Os pólos do filtro correspondem aos os valores de S que anulam o denominador de T(S)
![Page 223: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/223.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
224 / 281
Transformada Z● Generalização da DTFT
– Sinais para as quais não existem a DTFT● Estabilidade e Causalidade
– Contraparte discreta da transformada de Laplace
![Page 224: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/224.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
225 / 281
Transformada Z
x( z)=∑ x [n ] z−n
z ⊂ ℂ
x(e jω)=x( z)∣ z= jω
e jω
|(z)|=1
Notação: λ [n]⇔ x (z)
![Page 225: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/225.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
226 / 281
Transformada Z - Definições
x (z) é definido no plano z
x (e jw) é definido somente nocírculo unitário
|z|=1
z=e jw
−π < ω < πPeriodicidade de 2π
![Page 226: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/226.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
227 / 281
Exemplos
![Page 227: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/227.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
228 / 281
Filtro rejeita banda
![Page 228: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/228.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
229 / 281
Circuitos básicos
![Page 229: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/229.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
230 / 281
Equaçõesç
![Page 230: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/230.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
231 / 281
Equação resumida
TS=1
S τ+1onde τ=RC=
LR
Um único polo para S=−t−1
Plano de Argand
![Page 231: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/231.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
232 / 281
Análise do circuito
ic(t)=C∂ vc(t )
∂ t=v i(t )−vc(t )
R→v0(t )+RC
∂ v0(t )
∂ t=v i(t)
Solução : v0(t)=A.l−
tRC
Solução particular para degrau unitário : v0(t)=u(t )
![Page 232: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/232.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
233 / 281
Representação
A. l−
tRC+1
v0(t)={ para t≥0
0 para t<0
Resposta ao degrau unitário de um filtro passa baixas
![Page 233: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/233.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
234 / 281
Filtro passa altas
![Page 234: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/234.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
235 / 281
RepresentaçãoResposta ao degrau unitário de um filtro passa altas
![Page 235: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/235.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
236 / 281
Filtro passivo de 2a ordem
V 0
V 1
(s)=
1SC
R+SL+1C
=1
S 2 LC+SRC+1=
1LC
S 2+S
RL+
1LC
![Page 236: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/236.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
237 / 281
Forma geral
T (S )=A.ω0
2
S 2+S
ω0
Q+ω0
2
onde ω0=1
√(LC ) e Q=1R √ L
CResolvendo o denominador
S 2+S
ω0
Q+ω0
2=0
S=−ω0
Q±√ω0
2
Q2−4ω02
2
dependente de Q
![Page 237: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/237.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
238 / 281
Calculando o fator de qualidade
S=−ω0
Q±√ω0
2
Q2−4ω02
2ω0
2
Q2−4ω02=0 ω0
2
Q2=4ω02 Q2=
14 Q=
12=0.5
![Page 238: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/238.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
239 / 281
No plano de Argand
![Page 239: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/239.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
240 / 281
Singularidades do filtro
![Page 240: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/240.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
241 / 281
Resposta do filtro
![Page 241: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/241.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
242 / 281
Filtros e Transformada de Fourier - 1
Filtro passa-baixas
![Page 242: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/242.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
243 / 281
Filtro passa-altas
Filtros e Transformada de Fourier - 2
![Page 243: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/243.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
244 / 281
Filtros ativos● Filtragem e Amplificação
● Ganhos > 1 ( maiores que 0 dB)● Componentes usados:
– Amplificadores operacionais– Transistores– FETs, – Válvulas– …
![Page 244: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/244.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
245 / 281
Filtro ativo passa baixas de primeira ordem
V i−V −
R1
= V −−V o
R2//
1SC
⇒ V i
R1
=
−Vo⋅(R 2
+1SC )
R2⋅
1SC
⇒ V o
V i
=−R2
R1
⋅1
SR 2C+1
Plando de Argand
![Page 245: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/245.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
246 / 281
Análise do filtro ativo de 1a ordemvi( t )
R1
= −C⋅∂ vo( t )
∂ t−v o( t )R2
= ⇒ vo( t ) + R2C⋅∂ vo( t )
∂ t= −
R2
R1
vi( t )
v o( t )=−v c( t )Dado que
Solução vo( t )=A⋅ℓ−
tR
2C vo( t )=−
R2
R1
⋅u ( t )e
Resposta ao degrau vo( t )={A⋅ℓ−
tR
2C−
R2R1
⇐ t≥0
0 ⇐ t<0
Condição inicial v c(0)=−vo(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ0−R2
R1
⇒ A=R2
R1
vo( t )=( ℓ−
tR
2C−1)⋅R2
R1A⋅u ( t )Tensão de saída
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Processamento de Sinais2015-1
247 / 281
Representação
![Page 247: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/247.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
248 / 281
Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 1
V i−V−
R1+1SC
= V−−V o
R2
⇒ V i
R1+1SC
= −V o
R2
⇒ V o
V i
=−R2
R1
A⋅SR1C
SR1C+1
Função de transferência T (S ) = A⋅S τ
S τ+1onde τ=R1C A=−
R2
R1
e
No plano de Argand
![Page 248: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/248.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
249 / 281
Ganho estático quando S → ∞T (S=0) = −
R2
R1
⋅S τ
S τ+1 = 0 T (S→∞) = −
R2
R1
A⋅S τ
S τ+1 = −
R2
R1
Diagrama de Bode
Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 2
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Processamento de Sinais2015-1
250 / 281
Resposta ao degrau unitário
vi( t )−v c( t )
R1
= C⋅∂ vc( t )
∂ t ⇒ v c( t ) + R1C⋅
∂ vc ( t )
∂ t= vi( t )
vo( t )= −R2C⋅∂v c( t )
∂ tv c( t )=A⋅ℓ
−t
R1C
v c( t )=u ( t )e
v c( t )={A⋅ℓ−
tR
1C+1 ⇐ t≥0
0 ⇐ t<0Tensão nos terminais do capacitor :
v c(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ0+1 ⇒ A=−1Condição inicial
v c( t )=(1−ℓ−
tR
1C )⋅u ( t )Evolução da tensão no capacitor :
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Processamento de Sinais2015-1
251 / 281
Resposta ao degrau unitário
![Page 251: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/251.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
252 / 281
Filtro passa faixa ativo de 2a ordem● Exemplo : configuração Sallen-Key
Frequência de ressonãncia
fr= 12π √ R f +R1
C1C 2 R1 R2 R f
Ganho na frequência de ressonãncia
G (dB)=20 log (1+R2
R1
)
C1=C 2 e R2=2R1
Parâmetros aconselhados
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Processamento de Sinais2015-1
253 / 281
Filtro Chebyshev● Filtro com atenuação mais íngreme e maior ripple
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1
√1+ϵ2T 2( ωω0
)
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Processamento de Sinais2015-1
254 / 281
Filtro Butterworth● Filtro com resposta mais plana possivel
![Page 254: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/254.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
255 / 281
Uma implementaçãopassa baixa de 2a ordem
Para a ordem n :
Gn (ω)=∣H n( jω)∣=1
√(1+ ωωc)
2n
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1
√(1+ω2n)
Frequencia de corte: -3dB de ganho
Normalizando (fazendo ωc= 1) :
![Page 255: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/255.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
256 / 281
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Processamento de Sinais2015-1
257 / 281
Filtro elíptico
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=1
√1+ϵ2Rn
2(ω)
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Processamento de Sinais2015-1
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Comparação com outros filtros
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Processamento de Sinais2015-1
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Usando o Matlab
http://www.mathworks.com/help/dsp/examples/designing-low-pass-fir-filters.html
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Processamento de Sinais2015-1
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Projeto de filtro em MatlabFiltro chebychev simples passa baixas
Fc = 0.4;N = 100; % FIR filter orderHf = fdesign.lowpass('N,Fc',N,Fc);
Hd1 = design(Hf,'window','window',@hamming, 'SystemObject',true);Hd2 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd1,Hd2,'Color','White');legend(hfvt,'Hamming window design', 'Dolph-Chebyshev window design')
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Aumentando a ordem do filtroHf.FilterOrder = 200;Hd3 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd2,Hd3,'Color','White');legend(hfvt,'Dolph-Chebyshev window design.Order = 100', ...'Dolph-Chebyshev window design. Order = 200')
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Controlando a ordem do filtroripple e atenuação
N = 100; % Order = 100 -> 101 coefficientssetspecs(Hf,'N,Fc,Ap,Ast',N,Fc,Ap,Ast);Hd6 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd6)hfvt = fvtool(Hd5,Hd6,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Controlando a região de transiçãosetspecs(Hf,'N,Fp,Fst',N,Fp,Fst);Hd7 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd7)hfvt = fvtool(Hd5,Hd7,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Filtro passa baixas de fase mínimasetspecs(Hf,'Fp,Fst,Ap,Ast',Fp,Fst,Ap,Ast);Hd13 = design(Hf,'equiripple','minphase',true,'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd5,Hd13,'Color','White');legend(hfvt,... 'Linear-phase equiripple design',... 'Minimum-phase equiripple design')
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Filtro de KalmanRudolf E. Kálmán
● Filtro LQE (Linear Quadratic Estimation)– Algoritimo usando estimativas baseada em amostras.
– Operação recursiva em um fluxo ruidoso de dados .
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Processamento de Sinais2015-1
271 / 281
Algoritmo
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Processamento de Sinais2015-1
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Diagrama de blocos
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Processamento de Sinais2015-1
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Exemplos de Aplicação
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de imagensFiltro de Kalman
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de imagensFiltro de Kalman
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Processamento de Sinais2015-1
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Processamento de Sinais2015-1
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Usando MATLAB
kalman
Kalman filter design, Kalman estimator
Syntax
[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known)
[kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type)
Description
kalman designs a Kalman filter or Kalman state estimator given a state-space model of the plant and the process and measurement noise covariance data. The Kalman estimator provides the optimal solution to the following continuous or discrete estimation problems.
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Processamento de Sinais2015-1
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Implementação em C/*
* KFilter.c
*
* Created: 16-03-2012 19:18:41
* Author: Anyone :) :P
*/
#include <avr/io.h>
typedef struct {
float x[2]; // initial state (location and velocity)
float P[2][2]; // initial uncertainty
float u[2]; // external motion // For Prediction
float F[2][2]; // next state function // For Prediction
float H[2]; // measurement function
float R[1]; // measurement uncertainty
float I[2][2]; // identity matrix
} kalman_state;
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Processamento de Sinais2015-1
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kalman_state kalman_init(){ kalman_state result; // First is position and another is velocity // Consider [0.0f // 0.0f]; result.x[0] = 0.0f; result.x[1] = 0.0f; // Consider [[1000.0f 0.0f] // [ 0.0f 1000.0f]]; result.P[0][0] = 1000.0f; result.P[0][1] = 0.0f; result.P[1][0] = 0.0f; result.P[1][1] = 1000.0f; // Consider [0.0f // 0.0f]; result.u[0] = 0.0f; result.u[1] = 0.0f; // Consider [[1.0f, 1.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.F[0][0] = 1.0f; result.F[0][1] = 1.0f; result.F[1][0] = 0.0f; result.F[1][1] = 1.0f; // Consider [1.0f, 0.0f]; result.H[0] = 1.0f; result.H[1] = 0.0f; result.R[0] = 1.0f; //The RAW value is always flickering by? // Consider [1.0f]; // Consider [[1.0f, 0.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.I[0][0] = 1.0f; result.I[0][1] = 0.0f; result.I[1][0] = 0.0f; result.I[1][1] = 1.0f; return result;}
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Processamento de Sinais2015-1
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void kalman_update(kalman_state* state, float measurement){ // y = Z - ( H * x ); // Z - (H0*x0 + H1*x1) float y = (float)measurement - ( state->H[0]*state->x[0] + state->H[1]*state->x[1] ) ; //S = H * P * ( H' ) + R; // ( [H0 H1] * [P00 P01 * [H0 ) + R // P10 P11] H1] float S = state->H[0]*state->H[0]*state->P[0][0] + state->H[0]*state->H[1]*(state->P[0][1]+state->P[1][0]) + state->P[1][1] * state->H[1]*state->H[1] + state->R[0]; //K = P * ( H' ) / S; // or P* H'*inv(S) float K[2]; //Consider [K0 K1] // ([P00 P01 * [H0 ) / S // P10 P11] H1] K[0] = state->P[0][0]*state->H[0]/S+state->P[0][1]*state->H[1]/S; K[1] = state->P[1][0]*state->H[1]/S+state->P[1][1]*state->H[1]/S; //x = x + ( K * y ); // ([x0 + [K0 ) * y x1] K1] state->x[0] = state->x[0] + K[0] * y; state->x[1] = state->x[1] + K[1] * y; //P = ( I - ( K * H ) ) * P; // [I00 I01 - [K0 * [H0 H1] * [P00 P01 // I10 I11] K1] P10 P11] state->P[0][0]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[0][1]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][1])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][1]); state->P[1][0]=((state->I[1][0]-K[1]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[1][1]=((state->I[1][1]-K[1]*state->H[1])*state->P[0][1])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][1] );}
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Processamento de Sinais2015-1
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void kalman_predict(kalman_state* state){ //state->x = state->F*state->x + state->u ; // [F00 F01 * [x0 + [u0 // F10 F11] x1] u1] state->x[0] = state->F[0][0]*state->x[0] + state->F[0][1]*state->x[1] + state->u[0]; state->x[1] = state->F[1][0]*state->x[0] + state->F[1][1]*state->x[1] + state->u[1]; //state->P = state->F*state->P*state->F' // [F00 F01 * [P00 P01 * [F00 F10 F10 F11] P10 P11] F01 F11] state->P[0][0]=state->F[0][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[0][1] * (state->F[0][0]*state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);
state->P[0][1]=state->F[1][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]*(state->F[0][0]* state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);
state->P[1][0]=state->F[0][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+state->F[1][1]* state->P[1][0])+state->F[0][1]*(state->F[1][0]* state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);
state->P[1][1]=state->F[1][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+ state->F[1][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]* (state->F[1][0]*state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);}
![Page 281: PDS apostila.pdf](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022082203/5695d1b01a28ab9b02978711/html5/thumbnails/281.jpg)
Processamento de Sinais2015-1
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int main(void){ unsigned int SensorRAWValue = 0; kalman_state Kalman = kalman_init(); while(1) { // sensor value retrieval kalman_update(&Kalman,SensorRAWValue); kalman_predict(&Kalman); //TODO:: Please write your application code to use Kalman.x[0] and/or Kalman.x[1] }}