pedro alberto barbetta / marcelo menezes reis / antonio cezar...

BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004

Estatística para Cursos de Engenharia e Estatística para Cursos de Engenharia e InformáticaInformática

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia

São Paulo: Atlas, 2004

Cap. 6 Cap. 6 –– Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias contínuascontínuas

APOIO:Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina (FAPESC)Departamento de Informática e Estatística – UFSC (INE/CTC/UFSC)


Variável aleatóriaVariável aleatória

os possíveis resultados estão contidos em um conjunto

finito ou enumerável

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo

de números reais

variável aleatória

discreta contínua

0 1 2 3 4 ...

número de defeitos em ...

Ex.

0

Ex.

tempo de resposta de ...


Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas

– tempo de resposta de um sistema computacional;

– rendimento de um processo químico;

– tempo de vida de um componente eletrônico;

– resistência de um material; etc.

• Variáveis aleatórias discretas com grande número de possíveis resultados (podem ser aproximadas para contínuas):– número de transações por segundo de uma CPU;

– número de defeitos numa amostra de 5.000 itens; etc.


Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaDiscretaDiscreta

1

2x

p(x)

1 2

½

x

f(x)

1 2

½área total = 1

81

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8

1

23

4

5

6 7

8

8 setores


00

00

2700

1800

900

IIIIII

II Ix

3601

x3600

f(x)área total = 1

Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínuaContínuaContínua


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua

evento {0 ≤ X < 90}

x360900

f(x)

3601

00

00

2700

1800

900

IIIIII

II Ix

x3600

f(x)área total = 1

3601

área = P( 0 ≤ X < 90)


Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua• As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória

contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade f, que deve satisfazer:

exxf ℜ∈∀≥ ,0)(

x

f(x)

a b

1)()( =∫+∞

∞−xdxf

Se A = [a, b], então

∫=b

axdxfAP )()()(



• Exemplo 6.3

⎩⎨⎧

<≥

=−

0 para,00 para,2)(

2

ttetf

t

t

f(t)2

3

6)3(2

3

2

3

2

30

2122)()3( −−

+∞−∞+ −∞+

=+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−===> ∫∫ eeedtedttfTP tt



• Função de distribuição acumulada

ℜ∈∀=≤= ∫ ∞−xdssfxXPxF

x,)()()(

⎩⎨⎧

<≥−

=−

0 para,00 para,1)(

2

ttetF

t F(t)1

t

• Exemplo 6.3



• Valor esperado e variância

∫+∞

∞−== dxxxfXE )()(µ

∫+∞

∞−−== dxxfxXV )()()( 22 µσ 22 )()( µ−= XEXV

∫+∞

∞−= dxxfxXE )()( 22onde:

ou


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição uniformeDistribuição uniforme

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

],[ para ,0

],[ para,1)(

βα

βααβ

x

xxf

00

00

2700

1800

900

IIIIII

II Ix

3601

x3600

f(x)área total = 1

• Exemplo:


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição uniformeDistribuição uniforme

⎪⎩

⎪⎨⎧

∉

∈−=

],[ para ,0

],[ para,1)(

βα

βααβ

x

xxf

ββα

α

αβα

≥<≤

<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=x

xx

xxF para

para para

,1

,

,0

)(

xα0

f(x)

β

αβ −1

xα0

F(x)

β

2)(

βα +=XE ( )

12)(

2αβ −=XV


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição exponencialDistribuição exponencial

• Exemplos:– tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados;

– tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;

– distância (em m) entre defeitos de uma fita.

0 tx x x

Número X de ocorrências do evento em [0, t)

Poisson

Tempo T até a ocorrência do evento

Exponencial



0,)( >= − tetf tλλ

tetTPtF λ−−=≤= 1)()(

t

λ tetf λλ −=)(

0)( 0tetTP λ−=>

t0

λ1)( =TE

21)(λ

=TV



Resp.

⎩⎨⎧

<≥

=−

0 para,00 para,2)(

2

ttetf

t

?)32( =≤≤ TP

t

f(t)

32

∫ −=≤≤3

2

22)32( dteTP t ou

0158,0)3()2()32( 64)3(2)2(2 =−=−=>−≥=≤≤ −−−− eeeeTPTPTP

• Exemplo 6.3


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normalDistribuição normal

µ + σµµ -σ x

σσ

f(x)

área total = 1

+∞<<∞−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−xexf

x

,2

1)(

2

21

σµ

πσ

µ=)(XE

2)( σ=XV


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normalDistribuição normal

e21 µµ ≠ 21 σσ =e43 µµ = 43 σσ <


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosDistribuição normal padrãoDistribuição normal padrão

P(X > 180) = P(Z > 1)

110

170180=

−=

−=

σµxz

Distribuição de Z:normal padrão

Distribuição de X:normal com µ = 170 e σ = 10


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosTabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão

(pela tabela)

0,00,10,2...

0,09...0,020,010,00z

segunda decimal de z

(área na cauda superior )0,4168


Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos ContínuosTabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão

P(-0,42 < Z < 0,42) = ?

Então, P(-0,42 < Z < 0,42) = 1 – 2 (0,3372) = 0,3256

= -


A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limite de outras distribuiçõesAproximação normal à binomialAproximação normal à binomial

• Condição:– n grande e

– p não muito próximo de 0 (zero) ou de 1 (um).

• Parâmetros:

np= µ

)1( pnp = −σ


Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



0,001 0,01

0,246

0,01 0,001

0,117

0,0440,044

0,205

0,117

0,205

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X > 6) = p(7) + p(8) + p(9) + p(10) = 0,172

Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?

Pela binomial:

( ) ( ) xx ..x

xp −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 105,05,0

10)(



Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?

Pela normal:

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P(X > 6,5)


Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomialEx. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em10 lançamentos de uma moeda “honesta”?

Pela normal:

z0 0,95

0,1711

x5 6,5

P(X > 6,5)

95,05,255,6=

−=

−=

σµxz


A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limite de outras distribuiçõesAproximação normal à PoissonAproximação normal à Poisson

• Aproximação válida quando λ for grande

0 1 2 3 4 50,0

0,1

0,2

0,3

0,4 p(x)

x0 2 4 6 8 10 12

0,00

0,05

0,10

0,15p(x)

x 10 20 300,00

0,04

0,08 p(x)

x

λ =20λ =5λ =1

Parâmetros da normal: λµ =

λσ =


Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal• Ex. Dados:74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9

valor observado

valo

r esp

erad

opel

a no

rmal

-1,4

-1,0

-0,6

-0,2

0,2

0,6

1,0

1,4

73,6 74,0 74,4 74,8 75,2 75,6 76,0


Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal

• Dados com distribuição normal

valores observados

valo

res

espe

rado

s pe

la n

orm

al

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

72,5 73,5 74,5 75,5 76,5 77,5 78,5


Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal

• Dados com distribuição normal, mas com um ponto discrepante

valores observados

valo

res

espe

rado

s pe

la n

orm

al

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

72 74 76 78 80 82 84

valor discrepante


Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal• Dados com distribuição assimétrica

valores observados

valo

res

espe

rado

s pe

la n

orm

al

x

f(x)

pedro alberto barbetta / marcelo menezes reis / antonio cezar...

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