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PEF2602 Estruturas na Arquitetura I I - Sistemas Reticulados
EP-USP FAU-USP
Sistemas Reticulados
PEF2603 Estruturas na Arquitetura III -
Sistemas Reticulados e Laminares
Estados Duplos de Tensão(Aula 11/03/2019)
Professores: Ruy Marcelo O. Pauletti, Leila Meneghetti, Luís Bitencourt
1º Semestre 2019
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2PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Sumário
Princípio de Euler CauchyTensão normal e tangencialEstado de tensão em um pontoTensor das tensões de CauchyEstado Plano de TensõesEstado Plano de DeformaçõesTensões atuando em um plano inclinado, em um EPTEquações de transformaçãoTensões e planos principaisTensões de cisalhamento máximasCírculo de MohrEstados de tensões especiais
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3PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão• Princípio de Euler e Cauchy
Sólido em equilíbrio
Corte imaginário em um plano θ
F1
F2
Fn
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4PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Fn
f
A
n
PF1
F2
A
P
f
n
(versor que define o plano : )=1n n
0, lim
A
fP nA
Tensão• Princípio de Euler e Cauchy
O vetor tensão depende do ponto de aplicação P e do
plano de corte!Vetor Tensão:
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5PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão• Princípio de Euler e Cauchy
F1
F2
dA
P
y
z,n x
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6PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
P
y
z
Tensão
• Tensão Normal
• Tensão Tangencial
n n n
plano
direção
xz
xy
produto escalar
n
xy xz
P
y
z
,n x
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7PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensão• Componentes do estado de tensão em um ponto
Convenção de sinais (teoria da elasticidade):
0 tração0 sentido positivo
em ambos os eixosxy
x
xy
xz
yx
y
yz
z zx
zy
z
y
x Nas faces escondidas, agem
seções recíprocas àquelas mostradas nas faces aparentes opostas., que não são indicadas para não congestionar a figura!
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8PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
• Tensor das tensões (Cauchy)
Conhecendo as tensões em 3 planos ortogonais entre si, é possível se obter as tensões em qualquer outro plano
x xy xz
yx y yz
zx zy z
T
Pode-se demonstrar que T é uma matriz simétrica, ou seja, xy= yx , xz= zx , yz= zy , existindo apenas seis componentes independentes!
x xy xzT
xy y yz
xz yz z
T T
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9PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
• Tensor das tensões (Cauchy)
0 Planos principais: planos de corte em relação aos quais
Pode-se demonstrar que existem três planos principais, ortogonais entre si, e que nesses planos as tensões normais são extremas (máximas ou mínimas),
Essas tensões são chamadas de Tensões Principais, e as direções normais aos planos principais são chamadas de direções principais
1
2
3
0 00 00 0
T• Tensor das tensões de Cauchy
nas direções principais
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10PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Linhas de tensão Principal (Linhas de Força ou Linhas de fluxo de Tensões)
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11PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensões Normais
Tensões Principais
Máximas Tensões de Cisalhamento
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12PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Ensaios fotoelásticos de vigas
Linhas de fluxo de tensões em vigas
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13PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
• Linhas de fluxo de tensões em um fêmur humano• Adaptação do material ósseo
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14PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
• Adaptação das fibras da madeira
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15PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Plano de Tensões
chapas finas
Superfícies livres
plano principal paralelo à superfície média
Plano principal é tangente à superfície externa, a cada ponto
00
0 0 0
x xy
xy yTTensor das tensões de Cauchy em um Estado Plano de Tensões
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16PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Ex.: barragensEstado Plano de Deformação(plano principal perpendicular ao eixo)(pode ser tratado como um estado plano de tensões equivalente!)
00
0 0x
z
x xy
y yT
z x x
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17PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
````````````````````````````````````
Estado Plano de Tensão
No estado duplo, o equilíbrio de um prisma triangular infinitesimal contendo o ponto P permite obter as tensões em qualquer plano ortogonal ao plano da face triangular
espessura e=1
y
xy
x
yx
ds
ds
.yds sen .yxds sen
. cosxyds
. cosxdsods . cosds
.ds sen
Diagrama de corpo livre
0 sentido horário
x
y+
Tensão em seções inclinadas
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18PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoTensão em seções inclinadas
As tensões tangenciais em dois planos ortogonais são iguais em módulo e têm sentidos opostos junto à aresta comum aos planos.
O mesmo vale para quaisquer outros dois planos ortogonais entre si!
Equilíbrio do prisma elementar
0 0 xy yxM
2 2( ) 0 cos 2 cosx y xyF sen sen
2 2( ) 0 ( ) cos (cos )x y xyF sen sen
````````````````````````````````````
ds
ds
.yds sen .yxds sen
. cosxyds
. cosxdso
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19PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoEquações de transformação para tensão plana
cos 2 2
2 2x y x y
xy sen
2 cos 22
x yxysen
Com o auxílio das relações trigonométricas
Chega-se às expressões:
2
2
2 cos 1 cos 22 1 cos 22 cos sin 2sensen
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20PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Tensões e planos principais
Estado Duplo de Tensão
( ) 2 2 cos 2 0
x y xysen
2tan 2 xy
px y
Ângulos dos planos principais em relação ao sistema de coordenadas adotado
Nas direções em que as tensões normais são extremas (máximas ou mínimas):
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21PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de Tensão
2tan 2 xy
x y
Ou seja, os planos onde atuam as tensões normais máximas e mínimas não têm tensão de cisalhamento, logo, de fato são planos
principais!
Além disso, nos planos onde as tensões de cisalhamento são nulas, tem-se
2 cos 2 02
x yxysen
22 cos 2
x yxy
sen
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22PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
cos 2 2 (1)
2 2x y x y
xy sen=
22 2
2
2
2 2 2
2
2 2
cos 2 2 2 cos 22 2 2
cos 2 2 cos 2 2 22 2
2 2 2 cos 22 2
x y x y x yxy xy
x y x yxy xy
x y x yxy x
sen sen
sen sen
sen sen
2
2
2 2 2
2
2
cos 2
cos 2 22
2 cos 2
2
y
x yxy
x y xy x y xy
x yxy
sen
sen
2 2(1 ') (2) :
(1 ')cos 2 2
2 2x y x y
xy sen- =
2 (2cos 22
)x yxysen
Círculo de Mohr
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23PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
2 2
2 2
2 2x y x y
xy
0
2
2
2
2
x y
x yxyR
Verifica-se que a equação de transformações de tensão pode ser representada por uma circunferência no plano ( x ), de raio R e
centro no ponto (0,0),
2 2 2
0 R
0
xy R
x
2
‘Círculo de Mohr’
2 2 20 0( ) ( ) rx x y y
Comparando com a equação geral das circunferências:
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24PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
0 0centro: , , 02
x y
2
2raio: R2
x yxy
0
12
max
min
R
Tensões principais
2
22 2 2
x y x y
xy
Tensão normal máxima
2
21 2 2
x y x y
xy
Tensão normal mínima
Tensões de cisalhamento máxima e mínima
2
2max min 2
x yxyR
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25PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
R
2 p
x
xy
R y 1
cos 2
2x y
p R
2 xy
psenR
2 1 2 x y
0
tan 2
2x y
sxy
Planos de tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa
max
min
2 s
R
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26PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoTensões de cisalhamento máximas
2
2max min 2
x y
xy
1 2
max 2
0 2
x yOs planos de tensão de
cisalhamento máxima também contêm tensões normais!
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27PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de MohrRepresentação gráfica bidimensional da lei de transformação de tensões
No eixo xrepresentam-se as tensões normais
No eixo yrepresentam-se as tensões tangenciais ou de cisalhamento
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28PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
Tensões normais positivas de tração
Tensões normais negativas de compressão
0
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29PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
tensões tangencias que tendem a girar o elemento no sentido horário
0
tensões tangencias que tendem a girar o elemento no sentido anti-horário
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30PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
0
50MPa
10MPa
30MPa
5010
30
x
y+(50,30)A
( 10, 30)B
![Page 31: PEF2603 - 2019 - aula 2 -Estados Duplos de Tensão€¦ · 3() (vwuxwxudv qd $utxlwhwxud ,,, 6lvwhpdv 5hwlfxodgrv h /dplqduhv õ •7hqvru gdv whqv}hv &dxfk\ w 3odqrv sulqflsdlv](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022050610/5fb1e109fb9792587e52386f/html5/thumbnails/31.jpg)
31PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
0 5010
30
C
(50,30)A
( 10, 30)B
Unindo-se os pontos A e Bobtém-se o centro do círculo
0 0centro: , , 02
x y
Trace o círculo com o centro em C, passando pelos pontos A e B
20
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32PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
0 5010
30
C
(50,30)A
( 10, 30)B
20
30xy
50 ( 10)30
2 2x y
Os catetos valem:
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33PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
0 5010
30
C
(50,30)A
( 10, 30)B
20
30xy
50 ( 10)30
2 2x y
Os catetos valem:E a hipotenusa vale:
2
2
2x y
xy
2 230 30 42,4R
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34PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Círculo de Mohr
0 5010
30
C
(50,30)A
(10,30)B
20
Os catetos valem:E a hipotenusa vale:
42,4R
max R
1 maxp c R 2 minp c R
max 20 42,4 62,4 min 20 42,4 22,4
As tensões principais são determinadas
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35PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Resumindo:As tensões principais ficam assim definidas
2
21 max 2 2
x y x yp c xyR
2
22 min 2 2
x y x yp c xyR
2
2max 2
x yxy
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36PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoPropriedades do estado duplo de tensão
A soma das tensões normais em 2 planos ortogonais entre si quaisquer é constante:
As tensões de cisalhamento são nulas nos planos onde atuam as tensões principais:
max min e
Os planos principais são ortogonais entre si;
( ) 1 2
( )2
x y
As tensões de cisalhamento extremas valem:
max min e As tensões normais nos planos de
1 2
max min 2
valem:
2x y
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37PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoEstados de tensão especiais Estado simples de tensão
tração compressãot t
cc
2c 2c 2t
2t
t tc c
45º 45º
1 01 t
max 2
c
2 0 2 c
max 2
t
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38PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoEstados de tensão especiais Estado de cisalhamento simples
TMA B
A
A
A A
Ponto A
Ponto B
1 A
A
A
2 A
1 B
B
B
2 B
BB
B
B
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39PEF2603 : Estruturas na Arquitetura III - Sistemas Reticulados e Laminares
Estado Duplo de TensãoEstados de tensão especiais Estado hidrostático de tensão
P
Ponto P
p
p
pp
p
1 2 p max min 0