pembahasan osn tingkat provinsi tahun 2012 jenjang · pdf filetutur widodopembahasan osp...
TRANSCRIPT
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2012Jenjang SMP
Bidang Matematika
Bagian A : Soal Isian Singkat
1. Sebuah silinder memiliki tinggi 5 cm dan volume 20 cm2. Luas permukaan bolaterbesar yang mungkin diletakkan ke dalam silinder tersebut adalah ...Jawaban : 16 cmKarena bola berada dalam silinder maka jari - jari bola sama dengan jari - jari alassilinder. Misalkan jari - jari alas silinder adalah r. Karena tinggi silinder 5 cmdan volumenya 20 cm2 maka luas alas silinder = πr2 = 20
5 = 4 cm2. Padahal luaspermukaan bola = 4πr2 = 4 · 4 = 16 cm2.
2. Jumlah tiga buah bilangan adalah 19. Jika bilangan pertama dan bilangan keduamasing - masing dikurangi 1, maka diperoleh dua bilangan dengan rasio 1 : 3. Jikabilangan kedua dan bilangan ketiga masing - masing ditambah 3, maka diperolehdua bilangan dengan rasio 5 : 6. Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah ...Jawaban : 6Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, b, c dengan a < b < c, maka diperoleh
a+ b+ c = 19 (1)
a− 1b− 1 = 1
3 ⇔ 3a = b+ 2 (2)
b+ 3c+ 3 = 5
6 ⇔ 5c = 6b+ 3 (3)
Dari ketiga persamaan di atas didapat
a+ b+ c = 19 ⇔ 15a+ 15b+ 15c = 285
⇔ 5(b+ 2) + 15b+ 3(6b+ 3) = 285
⇔ 38b = 266
⇔ b = 7
karena b = 7 maka a = 3 dan c = 9. Sehingga c− a = 9− 3 = 6.
3. Jika 1 + 14 + 1
9 + 116 + 1
25 + · · · = a, maka 19 + 1
25 + 149 + · · · = . . .
Jawaban :34a− 1
1
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Misal N = 19 + 1
25 + 149 + · · · , maka
1 + 14 + 1
9 + 116 + 1
25 + · · · = a
1 + 14 + 1
16 + 136 + · · ·+ 1
9 + 125 + 1
49 + · · · = a
1 + 14
(1 + 1
4 + 19 + · · ·
)+N = a
1 + 14a+N = a
N = 34a− 1
4. Lima belas bilangan prima pertama dituliskan berturut - turut pada lima belaskartu. Jika semua kartu tersebut diletakkan dalam sebuah kotak dan kemudiandiambil secara acak dua buah kartu berturut - turut tanpa pengembalian, makapeluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis merupakanbilangan prima adalah ...Jawaban : 2
35
Pasangan bilangan prima yang jumlahnya juga merupakan bilangan prima di antaralima belas bilangan prima yang pertama adalah (2, 3), (2, 5), (2, 11), (2, 17), (2,29) dan (2, 41).
• Jika kartu pertama terambil angka 2 maka kartu kedua harus salah satu dari3, 5, 11, 17, 29 atau 41 sehingga peluangnya adalah 1
15 ·614 = 1
35.
• Jika kartu pertama terambil angka 3, 5, 11, 17, 29 atau 41 maka kartu keduaharus angka 2 sehingga peluangnya adalah 6
15 ·114 = 1
35.
Jadi, peluang terambil dua kartu dengan jumlah dua bilangan yang tertulis meru-pakan bilangan prima adalah 1
35 + 135 = 2
35.
5. Perhatikan gambar bangun datar setengah lingkaran dengan diameter AD danpusat lingkaran M berikut. Misalkan B dan C adalah titik - titik pada lingkaransedemikian sehingga AC⊥BM dan BD memotong AC di titik P . Jika besar∠CAD = s◦, maka besar sudut ∠CPD = ...
2
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
A M D
CB
P
Jawaban : 12s◦ + 45◦
∠AMB = 90◦ − s◦ dan ∠ADB = 12∠AMB = 45◦ − 1
2s◦.
∠CPD = ∠CAD + ∠ADB
= s◦ + 45◦ − 12s◦
= 12s◦ + 45◦
6. Lima angka yakni 1, 2, 3, 4, dan 5 dapat disusun semuanya tanpa pengulanganmenjadi 120 bilangan berbeda. Jika bilangan - bilangan tersebut diurutkan dariyang terkecil ke yang terbesar, maka bilangan yang menempati urutan ke- 75 adalah...Jawaban : 41325Perhatikan,
• Jika angka pertama adalah 1 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
• Jika angka pertama adalah 2 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
• Jika angka pertama adalah 3 maka bilangan yang terbentuk ada 4! = 24
Oleh karena itu, banyak bilangan yang dimulai dengan angka 1, 2, atau 3 adalah24 + 24 + 24 =72. Selanjutnya mudah dilihat bahwa bilangan ke- 73 adalah 41235,bilangan ke-74 yaitu 41253 dan bilangan ke-75 ialah 41325.
7. Diketahui 1 + k habis dibagi 3, 1 + 2k habis dibagi 5, dan 1 + 8k habis dibagi 7.Jika k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil untuk k adalah ...Jawaban : 62Dari keterangan pada soal kita punya,
k = 3x+ 2
2k = 5y + 4
8k = 7z + 6
untuk suatu bilangan bulat x, y, z.
3
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua diperoleh,
2(3x+ 2) = 5y + 4 ⇔ 6x+ 4 = 5y + 4
⇔ 6x = 5y
karena 5 tidak membagi 6 maka haruslah 5 membagi x. Dengan demikian x = 5muntuk suatu bilangan bulat m. Substitusikan x = 5m ke pers. pertama, diperolehk = 3(5m) + 2 = 15m + 2. Selanjutnya substitusikan nilai k = 15m + 2 ke pers.ketiga, didapat
8(15m+ 2) = 7z + 6 ⇔ 120m+ 16 = 7z + 6
⇔ 120m = 7z − 10
⇔ m = 7z − 119m− 7− 3
⇔ m+ 3 = 7z − 119m− 7
perhatikan ruas kanan habis dibagi 7 sehingga ruas kiri juga harus habis dibagi 7.Dengan kata lain m + 3 = 7n ⇔ m = 7n − 3 dengan n merupakan bilanganbulat. Substitusikan nilai m = 7n− 3 ke k = 15m+ 2 sehingga didapat
k = 15(7n− 3) + 2 = 105n− 43
karena k adalah bilangan bulat positif maka nilai terkecil dari k yaitu 62 diperolehketika n = 1.
8. Jika p = 20102+20112 dan q = 20122+20132, maka nilai sederhana dari√
1− 2(p+ q) + 4pqadalah ...Jawaban : 16184525Misalkan n = 2010 maka didapat
p = n2 + (n+ 1)2 = 2n2 + 2n+ 1 dan q = (n+ 2)2 + (n+ 3)2 = 2n2 + 10n+ 13
sehingga diperoleh
2p− 1 = 2(2n2 + 2n+ 1)− 1 = 4n2 + 4n+ 1 = (2n+ 1)2
dan2q − 1 = 2(2n2 + 10n+ 13)− 1 = 4n2 + 20n+ 25 = (2n+ 5)2
4
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Selanjutnya kita peroleh√
1− 2(p+ q) + 4pq =√
(2p− 1)(2q − 1)
=√
(2n+ 1)2(2n+ 5)2
= (2n+ 1)(2n+ 5)
= 4021 · 4025
= 16184525
9. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0, makanilai dari 3a2
4b− 7 + 3b2
4a− 7 adalah ...
Jawaban : −2116
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar - akar persamaan kuadrat diperoleh,
a+ b = 74 dan ab = −1
4
Selain itu karena a adalah penyelesaian dari persamaan kuadrat 4x2 − 7x − 1 = 0kita peroleh,
4a2 − 7a− 1 = 0 ⇔ a(4a− 7)− 1 = 0 ⇔ 4a− 7 = 1a
demikian pula 4b− 7 = 1b.
Oleh karena itu didapat
3a2
4b− 7 + 3b2
4a− 7 = 3a2
1b
+ 3b2
1a
= 3a2b+ 3ab2
= 3ab(a+ b)
= 3(−1
4
)(74
)= −21
16
10. Pada gambar berikut, kedua ruas garis putus - putus yang sejajar membagi persegimenjadi tiga daerah yang luasnya sama. Jika jarak kedua garis putus - putus terse-but adalah 1 cm, maka luas persegi adalah ... cm2.
5
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Jawaban : 13Perhatikan gambar berikut!
y
x
A B
CD
E
F
Misalkan panjang sisi persegi adalah a. Misalkan pula CE = x dan BE = y.Berdasarkan keterangan soal luas jajar genjang AECF adalah 1
3a2. Padahal kita
tahu pula luas jajar genjang AECF = x · 1 = x, maka didapat x = 13a
2. Demikianpula pada 4EBC berlaku
Luas 4EBC = 13a
2
12 ·BE ·BC = 1
3a2
12 · y · a = 1
3a2
y = 23a
Selanjutnya dengan dalil pythagoras pada 4EBC didapat,
y2 + a2 = x2 ⇔(2
3a)2
+ a2 =(1
3a2)2
⇔ 49a
2 + a2 = 19a
4
⇔ 139 = 1
9a2
⇔ a2 = 13
6
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Jadi, luas persegi adalah 13 cm2.
Bagian B : Soal Uraian
1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi persamaan berikut :
2x + 3x − 4x + 6x − 9x = 1
Jawaban :Misalkan 2x = m dan 3x = n maka persamaan pada soal equivalen dengan
m+ n−m2 +mn− n2 = 1 ⇔ m2 + n2 −mn−m− n+ 1 = 0
dengan sedikit manipulasi diperoleh persamaan
12((m− n)2 + (m− 1)2 + (n− 1)2
)= 0
sehingga m = n = 1 atau dengan kata lain 2x = 3x = 1 yang hanya dipenuhi jikadan hanya jika x = 0.Jadi, satu - satunya penyelesaian persamaan pada soal adalah x = 0.
2. Pada gambar berikut, sembilan lingkaran kecil dalam lambang olimpiade akan diisimasing - masing dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9. Tentukan pengisiantersebut sehingga jumlah bilangan di dalam setiap lingkaran besar adalah 14.
Jawaban :Misalkan penyelesaian dari soal adalah seperti pada gambar di bawah ini:Kita tahu bahwa a+ b+ c+ d+ e+ f + g+h+ i = 45 dan karena jumlah di dalam
7
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
setiap lingkaran besar adalah 14, kita peroleh
(a+ b) + (b+ c+ d) + (d+ e+ f) + (f + g + h) + (h+ i) = 5 · 14
b+ d+ f + h+ 45 = 70
b+ d+ f + h = 25
Selain itu, a + b = h + i = 14. Padahal dari sembilan bilangan tersedia yangjumlahnya 14 hanya 5 + 9 dan 6 + 8. Dengan memperhatikan b + d + f + h = 25,maka yang mungkin adalah b = 9 dan h = 6 (dalam hal ini jika b = 6 dan h = 9sama saja karena simetris). Karena b = 9 dan h = 6 berarti d + f = 10. Darisisa angka yanga ada, yang jumlahnya 10 hanya 3 + 7 maka diperoleh d = 3 danf = 7. Angka - angka sisanya yaitu a, c, e, g, h menyesuaikan agar diperoleh jumlah14 pada lingkaran besar. Salah satu penyelesaiannya adalah seperti berikut :
3. Diketahui4ABC dengan AB = 25 cm, BC = 20 cm dan AC = 15 cm. Jika titik Dterletak pada sisi AB sedemikian sehingga perbandingan luas 4ADC dan 4ABC
8
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
adalah 14 : 25, tentukan panjang CD.Jawaban :Perhatikan sketsa di bawah ini!
A
B
C
D
E
Tarik garis CE yaitu garis tinggi 4ABC dari titik E. Sehingga diperoleh
12 · AC ·BC = 1
2 · AB · CE
15 · 20 = 25 · CE
CE = 12
Kemudian dengan pythagoras pada 4ACE diperoleh AE = 9.Selain itu ingat juga bahwa
AD
AB= Luas 4ADC
Luas 4ABC = 1425
sehinggaAD = 14
25 · AB = 1425 · 25 = 14
Oleh karena itu, DE = AD − AE = 14 − 9 = 5 cm. Perhatikan juga 4CDEadalah segitiga siku - siku. Dengan demikian dengan dalil pythagoras pada 4CDEdidapat CD = 13.
4. Dari hasil sensus diketahui bahwa penduduk suatu kota tak lebih dari 10000 orangdan anak - anak 20% lebih banyak daripada penduduk dewasa. Jika anak laki -laki 10% lebih banyak daripada anak perempuan, serta di antara penduduk dewasaterdapat 15% lebih banyak perempuan. Tentukan jumlah terbesar yang mungkindari penduduk kota tersebut.Jawaban :Misalkan,
• N : jumlah seluruh penduduk
• D : jumlah penduduj dewasa
9
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
• A : jumlah penduduk anak - anak
• DL : jumlah laki - laki dewasa
• DP : jumlah perempuan dewasa
• AL : jumlah anak laki - laki
• AP : jumlah anak - anak perempuan
Selanjutnya berdasarkan keterangan pada soal diperoleh :A = D+ 0, 2D = 1, 2D tetapi karena A+D = N maka N = A+D = 1, 2D+D =2, 2D, sehingga
D = 12, 2N dan A = 1, 2
2, 2N
Dengan cara yang sama diperoleh AL = AP + 0, 1AP = 1, 1AP tetapi karena AL +AP = A maka A = AL + AP = 1, 1AP + AP = 2, 1AP sehingga
AP = 12, 1 · A = 1
2, 1 ·1, 22, 2N = 20
77N
AL = 1, 1AP = 1, 1 · 12, 1 · A = 1, 1 · 1
2, 1 ·1, 22, 2N = 2
7N
Demikian pula dengan cara yang sama diperoleh :DP = DL + 0, 15DL = 1, 15DL tetapi karena DL +DP = D maka D = DL +DP =DL + 1, 15DL = 2, 15DL sehingga
DL = 12, 15 ·D = 1
2, 15 ·1
2, 2N = 10011 · 43N
DP = 1, 15 · 12, 15 ·D = 1, 15 · 1
2, 15 ·1
2, 2N = 11511 · 43N
Karena AL, AP , DL dan DP merupakan bilangan bulat positif maka haruslah N
merupakan kelipatan dari 7 · 11 · 43 = 3311. Karena N < 10000 maka nilai Nterbesar yang mungkin adalah N = 3 · 3311 = 9933.Jadi, banyak penduduk terbesar yang mungkin di kota tersebut adalah 9933.
5. Diketahui sebuah bilangan rasional positif kurang dari 1 yang dinyatakan dalam pec-ahan biasa dalam bentuk paling sederhana. Jika hasil kali pembilang dan penyebutdari bilangan rasional tersebut adalah 20! = 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · · 20. Tentukan semuabilangan yang dimaksud.Jawaban :Misalkan bilangan rasional yang dimaksud adalah a
bdengan a < b dan FPB(a, b) =
1 serta ab = 20! Perhatikan karena FPB(a, b) = 1 maka keduanya tidak memilikifaktor prima yang sama. Selain itu kita punya 20! = 218 ·38 ·54 ·72 ·11 ·13 ·17 ·19. Se-lanjutnya untuk mempermudah penulisan, misalkan a1 = 218, a2 = 38, a3 = 54, a4 =72, a5 = 11, a6 = 13, a7 = 17 dan a8 = 19. Ada lima kasus yang mungkin yaitu :
10
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
i. ab
= 18∏
n=1an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan jelas hanya 1.
ii. ab
=
min
ai,8∏
n=1n6=i
an
max
ai,8∏
n=1n6=i
an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C81 = 8.
iii. ab
=
min
aiaj,8∏
n=1n6=i,j
an
max
aiaj,8∏
n=1n6=i,j
an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C82 = 28.
iv. ab
=
min
aiajak,8∏
n=1n 6=i,j,k
an
min
aiajak,8∏
n=1n 6=i,j,k
an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C83 = 56.
v. ab
=
min
aiajakal,8∏
n=1n 6=i,j,k,l
an
max
aiajakal,8∏
n=1n 6=i,j,k,l
an
Untuk kasus ini banyaknya kemungkinan ada sebanyak C84
2! = 35.
Oleh karena itu bilangan rasional yang dimaksud ada sebanyak 1+8+28+56+35 =128.
11
Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMP Tahun 2012
Disusun oleh : Tutur WidodoApabila ada saran, kritik maupun masukan
silakan kirim via email [email protected]
Terima kasih.My Webblog : http://mathematic-room.blogspot.com
12