BAB IVSISTEM PERSAMAAN LINIER

4.1 PENDAHULUAN

Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai

dalam permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti penyelesaian numeris

persamaan diferensial biasa dan diferensial parsiil, analis struktur, analisis jaringan dan

sebagainya.

Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai x1,x2,........,xn yang memenuhi

sistem persamaan berikut :

Sistem persamaan diatas dapat linier atau tak linier. Penyelesaian sistem persamaan tak

linier adalah sulit. Untungnya, sebagian besar permasalahan yang ada merupakan

persamaan linier. Di dalam bab ini akan dipelajari sistem persamaan linier, yang

mempunyai bentuk umum berikut ini.

(4.1)

Dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan, dan

x1,x2,......,xn adalah bilangan tak diketahui.

4.2 Notasi Matriks

Matriks adalah suatu larikan bilangan – bilangan yang berbentuk empat persegi panjang.

Matriks tersebut mempunyai bentuk sebagai berikut ini :

Di dalam bentuk diatas, A adalah notasi matriks sedang aij adalah elemen matriks.

Deretan horisontal elemen – elemen tersebut disebut baris dan deretan vertikal disebut

kolom. Subkrip pertama i menunjukkan nomor baris dimana elemen berada. Subkrip

kedua j menunjukkan kolom. Misalkan elemen a23 adalah elemen yang terletak pada baris

2 dan kolom 3.

Matriks diatas mempunyai m baris dan n kolom, dan disebut mempunyai dimensi m kali

n (m x n). Matriks dengan dimensi baris m = 1, seperti :

Disebut vektor baris. Untuk menyederhanakan penulisan, subkrip pertama dari setiap

elemen dihilangkan. Matriks dengan dimensi kolom n = 1, seperti:

Disebut vektor kolom. Untuk menyederhanakan penulisan, subkrip kedua dihilangkan.

Matriks dimana m = n disebut matriks bujur sangkar. Misalnya matriks 4 x 4 adalah :

Diagonal yang terdiri dari elemen a11,a12, a33 dan a44 adalah diagonal utama matriks.

4.3 Beberapa tipe matriks bujur sangkar

Ada beberapa bentuk khusus dari matriks bujur sangkar, seperti diberikan berikut :

1. Matriks simetris, apabila aij = aji Misalnya matrik simetris 3 x 3

2. Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar di mana semua elemen

kecuali diagonal utama adalah nol.

3. Matriks identitas, adalah matriks diagonal di mana semua elemen di atas

dan dibawah diagonal utama adalah nol

4. Matriks segitiga atas, matriks di mana semua elemen di dibawah

diagonal utama adalah nol

5. Matriks segitiga bawah adalah matriks dimana semua elemen di atas

diagonal utama adalah nol

6. Matriks pita adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan nol,

kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama

4.4 Operasi matriks

1. Kesamaan dua matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama apabila elemen – elemen matriks A

sama dengan elemen – elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama,

aij = bij untuk semua i dan j.

2. Penjumlahan matriks

Apabila A = [aij] dan B = [bij] adalah dua matriks m x n, penjumlahan

(pengurangan) dari dua matriks tersebut , adalah sama dengan matriks C

= [cij] dengan dimensi m x n, dimana tiap elemen matriks C adalah jumlah

(selisih) dari elemen – elemen yang berkaitan dari A dan B.

C = A ± B = [aij ± bij] = [cij]

Contoh 1

Jika

3. Perkalian matriks

Perkalian matriks A dengan skalar g diperoleh dengan mengalikan semua

elemen dari A dengan skalar g

jika g.A = C , maka cij = g aij

Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan apabila cacah kolom A sama

dengan cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable

operasi perkalian adalah baris dengan kolom; tiap elemen dari baris dikalikan

dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.

Contoh 2

dan

4. Matriks transpose

matriks tranpose adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris

menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks ini diberi notasi AT

Taranspose matriks diatas adalah AT , yang berbentuk :

5. Matriks inversi

Di dalam matriks, operasi pembagian matriks tidak didefinisikan. Akan tetapi

operasi matriks yang mirip dengan pembagian adalah matriks inversi.

Apabila A adalah matriks, maka matriks inversinya adalah A-1 , demikian

sehingga :

AA-1 = A-1A = I

4.5 Sistem Persamaan dalam bentuk matriks

Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Misalnya sistem persamaan

(3.1) dapat ditulis dalam bentuk :

(4.2)

Atau

A.X = B

Dengan :

A : matriks koefisien n x n

X : kolom vektor n x 1 dari bilangan tak diketahui

B : kolom vektor n x 1 dari konstanta

Di dalam penyelesaian sistem persamaan, dicari vektor kolom X berdasarkan persamaan

(3.2). Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah mengalikan kedua ruas persamaan

dengan matriks invers.

A-1A X = A-1 B

Karena : A-1A = I

Maka : X = A-1B

Dengan demikian nilai X dapat dihitung.

Contoh penyelesaian metoda matrik dengan program MathCad

2x1 6x2 10x3 0

x1 3x2 3x3 2

3x1 14x2 28x3 8

A2

1

3

6

3

14

10

3

28

B0

2

8

X

x1

x2

x3

x1

A X B X A 1 B X2

1

1

4.6 Metode Eliminasi Gauss

Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu metode yang paling awal dikembangkan dan

banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Prosedur penyelesaian

metode ini adalah mengurangi sistem persamaan ke bentuk segitiga atas sehingga salah

satu dari persamaan – persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui,

dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari salah satu tambahan bilangan tak

diketahui baru. Dalam hitungan dengan tangan, bentuk segitiga diselesaikan dengan

penambahan dan pengurangan dari beberapa persamaan, setelah persamaan tersebut

dikalikan dengan suatu faktor (konstan).

Untuk memudahkan penjelasan, diberikan suatu sistem dari 3 persamaan dengan 3

bilangan tak diketahui berikut ini :

(4.3.a)

(4.3.b)

(4.3.c)

Persamaan pertama dari sistem dibagi koefisien pertama dari persamaan pertama, yaitu

a11 , sehingga menjadi :

(4.4)

Persamaan (4.4) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan kedua

(4.5)

Persamaan (4.3.b) dikurangi Persamaan (4.5) sehingga didapat :

Atau

a’22x2 + a’23x3 = b’2

Langkah berikutnya, yang telah dinormalkan (Persamaan 4.4) dikalikan dengan koefisien

pertama dari persamaan ketiga, dan hasilnya dikurangkan dengan persamaan ketiga dari

sistem persamaan asli (Persamaan 3.3.c). Hasilnya adalah :

a’32x2 + a’33x3 =b’3

Dengan melakukan prosedur hitungan tersebut diatas, akhirnya didapat sistem persamaan

berikut ini :

a11x1 + a12x2 + a13x3 =b1 (4.6.a)

a’22x2 + a’23x3 = b’2 (4.6.b)

a’32x2 + a’33x3 =b’3 (4.6.c)

Persamaan (4.6) ekivalen dengan persamaan aslinya, tetapi variabel x1 hanya muncul

pada persamaan pertama. Dua persamaan terakhir hanya mengandung dua bilangan tak

diketahui. Apabila dua persamaan terakhir dapat diselesaikan untuk nilai x1 dan x2, maka

hasilnya dapat disubtitusikan ke dalam persamaan pertama untuk mendapatkan nilai x1.

Permasalahan menjadi lebih sederhana, dari menyelesaikan 3 persamaan dengan 3

bilangan tak diketahui menjadi penyelesaian 2 persamaan dengan 2 bilangan tak

diketahui.

Prosedur berikutnya adalah mengeliminasi x2 dari salah satu dari dua persamaan terakhir.

Untuk itu Persamaan (4.6.b) dibagi dengan koefisien pertama dari persamaan (4.6.b),

yaitu a’22 sehingga menjadi :

(4.7)

Persamaan (4.7) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (4.6.c) :

(4.8)

Persamaan (4.6.c) dikurangi persamaan (4.8), sehingga menjadi :

Atau

a’33x3 = b’’3

dengan demikian sistem persamaan menjadi :

a11x2 + a12x2 + a3x3 = b1 (4.9.a)a’22x2 + a’23x3 = b’2 (4.9.b)

a’’33x3 = b’’3 (4.9.c)

Sistem persamaan diatas mempunyai kofisien matriks yang berbentuk segitiga atas (aij =

0 untuk i > j). Dari sistem persamaan tersebut dapat dihitung nilai x1, x2 dan x3, yaitu:

Dengan demikian sistem persamaan telah dapat diselesaikan.

Contoh : 3x + y – z = 5

4x +7y – 3z = 20

2x – 2y + 5z = 10

Penyelesaian Eliminasi Gauss dengan program MathCad

ORIGIN 1

Gauss_B A B( ) n rows A( )

k cols B( )

mAj i

Ai i

Aj k1 Aj k1 m Ai k1

k1 i nfor

Bj k2 Bj k2 m Bi k2

k2 1 kfor

j i 1( ) nfor

i 1 n 1for

xn k1Bn k1

An n

k1 1 kfor

xi k1Bi k1

Ai i

xi k1 xi k1Ai j xj k1

Ai i

j i 1( ) nfor

k1 1 kfor

i n 1( ) 1for

x

A3

4

2

1

7

2

13

5

B5

20

10

X

x1

x2

x3

x1

Gauss_B A B( )1.506

3.1325

2.6506

4.7 Metode Iterasi

Beberapa metode yang telah dipelajari di depan termasuk dalam metode langsung. Dalam

sub bab ini akan dipelajari metode lain, yaitu metode iterasi. Dalam hal tertentu metode

ini lebih baik dibanding dengan metode langsung, misalnya untuk matriks yang tersebar

yaitu matriks dengan banyak elemen nol. Metode ini juga dapat digunakan untuk

menyelsesaikan sistem persamaan tidak linier.

Dalam sub bab ini dipelajari dua metode iteratif, yaitu metode Jacobi dan Gauss-Seidel.

1. Metode Jacobi

Dipandang sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a211x1 + a22x2 + a33x3 = b2 (3.26)

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Persamaan pertama dari sistem diatas dapat digunakan untuk menghitung x1

sebagai fungsi dari x2 dan x3. Demikian juga persamaan kedua dan ketiga untuk

menghitung x2 dan x3, sehingga didapat :

(3.27)

Hitungan dumulai dengan nilai perkiraan awal sembarang untuk varisbel yang

dicari (biasanya semua variabel diambil sama dengan nol). Nilai perkiraan awal

tersebut disubtitusikan ke dalam ruas kanan dari sistem Persamaan (3.27).

Selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubtitusikan ke ruas kanan dari

sistem (3.27) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua. Prosedur tersebut

diulangi lagi sampai nilai setiap variabel pada iterasi ke n mendekati nilai pada

iterasi ke n – 1. Apabila superskrip n menunjukkan jumlah iterasi, maka

persamaan (3.27) dapat ditulis menjadi :

(3.28)

Iterasi hitungan berakhir setelah :

, , dan

Atau telah terpenuhi kriteria berikut :

εa = | | 100% < εs

dengan εs adalah batas ketelitian yang dikehendaki

2. Metode Gauss – Siedel

Di dalam metode Jacobi, xilai x1 yang dihitung dari persamaan pertama tidak

digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua. Demikian juga

nilai x2 tidak digunakan untuk mencari x3, sehingga nila – nilai tersebut tidak

dimanfaatkan. Sebenarnya nilai –nilai baru tersebut lebih baik dari nilai – nilai

yang lama. Di dalam metode Gauss – Siedel nilai – nilai tersebut dimanfaatkan

untuk menghitung variabel berikutnya.

Seperti dalam metode Jacobi sistem persamaan (3.26) diubah menjadi sistem

persamaan (3.27). Kemudian kedalam persamaan pertama dari sistem (2)

disubtitusikan nilai sembarang , (biasanya diambil nol) sehingga :

(3.29.a)

Nilai baru dari tersebut kemudian disubtitusikan kedalam persamaan kedua

dari sistem (3.27), sehingga :

(3.29.b)

Demikian juga kedalam persamaan ketiga dari sistem (3.27) disubtitusikan nilai

baru dan , sehingga didapat :

(3.29.c)

Dengan cara seperti ini nilai x1,x2,x3 akan diperoleh nilai lebih cepat dari pada

metode Jacobi.