pemodelan aliran darah satu dimensi pada arteri...

i

PEMODELAN ALIRAN DARAH SATU DIMENSI

PADA ARTERI MANUSIA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Inge Wijayanti Budiawan

NIM: 133114021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

MODELLING OF ONE-DIMENSIONAL BLOOD FLOWS

IN HUMAN ARTERY

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Inge Wijayanti Budiawan

Student ID: 133114021

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“Dan biarkan kepercayaanmu lebih besar dari ketakutanmu.”

“JUMP!! And you will find out how to unfold your wings as you fall.”

“If you get tired, learn to rest, not to quit.”

Karya ini dipersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku,

kedua orang tua tercinta, Sasra Budiawan dan Meitje,

kakak tersayang, Andre Wijaya Budiawan,

dan saudara/i keluarga besar dari kedua orang tua yang terkasih.


vi

ABSTRAK

Skripsi ini membahas penurunan dan penyelesaian model aliran darah satu

dimensi pada arteri manusia. Model aliran darah diturunkan dari hukum kekekalan

massa dan momentum, kemudian didapatkan dua model aliran darah dalam sistem

(𝐴,𝑄) dan sistem (𝐴,𝑢). Di sini 𝐴 adalah luas penampang melintang arteri, 𝑄 adalah

fluks volume, dan 𝑢 adalah kecepatan rata-rata pada setiap penampang melintang

arteri. Model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) merupakan bentuk hukum kesetimbangan,

sedangkan model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) merupakan bentuk hukum kekekalan.

Kedua model tersebut merupakan sistem persamaan diferensial parsial

hiperbolik. Mencari solusi analitis kedua model tersebut tidaklah mudah, maka

solusi analitis didekati secara numeris. Metode yang dipakai adalah metode volume

hingga dengan definisi fluks Lax-Friedrichs. Kedua model diselesaikan dengan

nilai awal dan nilai batas yang sama. Denyut tekanan darah hasil simulasi kedua

model sangat mirip. Untuk menentukan model mana yang lebih baik secara

numeris, dihitung residual masing-masing model. Model dikatakan lebih baik

secara numeris jika model tersebut memiliki nilai mutlak residual yang lebih kecil.

Dari hasil penelitian dalam skripsi ini, sistem (𝐴,𝑄) mempunyai unjuk kerja model

yang lebih baik dibandingkan sistem (𝐴,𝑢).

Kata kunci: aliran darah, hukum kesetimbangan, hukum kekekalan, persamaan

diferensial parsial hiperbolik, metode volume hingga, fluks Lax-Friedrichs.


vii

ABSTRACT

This thesis discusses about the derivation and solution of models of one-

dimensional blood flows in human artery. Blood flows models are derived from

mass and momentum conservation laws, then we get two blood flows models which

are in the form of (𝐴,𝑄) system and (𝐴,𝑢) system. Here, 𝐴 is artery cross section

area, 𝑄 is volume flux, and 𝑢 is average velocity in every artery cross section. The

blood flows model in the (𝐴,𝑄) system is in the form of balance law, and the blood

flows model in the (𝐴,𝑢) system is in the form of conservation law.

Both models are hyperbolic partial differential equation systems. Finding

analytical solutions of both models is not easy, so analytical solutions will be

approximated using a numerical method. The method which is used to find the

numerical solution is the finite volume method with the Lax-Friedrichs flux

formulation. Both models are solved with the same initial and boundary values. The

forms of blood pressure pulses from both models are quite similar. To assess which

model is better in the numerical sense, we compute the residual of each model. A

model is said to be better in the numerical sense, if the model has smaller residual

absolute values. Based on research results in this thesis, the (𝐴,𝑄) system performs

better than the (𝐴,𝑢) system.

Keywords: blood flows, balance law, conservation law, hyperbolic partial

differential equation, finite volume method, Lax-Friedrichs flux.


viii

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang

diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana

Sains dari Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Sanata Dharma. Banyak tantangan dalam penulisan skripsi ini. Namun demikian,

dengan penyertaan Tuhan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya skripsi ini

dapat diselesaikan. Untuk itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi sekaligus dosen pembimbing yang dengan sabar dan penuh

semangat dalam membimbing penulisan skripsi ini.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi

Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati

Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan ilmu-ilmu yang sangat berguna dalam penulisan skripsi.

5. Kedua orang tua dan kakak yang selalu mendoakan dan mendukung penulis

dalam menyusun skripsi.

6. Teman-teman Program Studi Matematika, Sorta, Ambar, Yui, Melisa, Ezra,

Yuni, Laras, Agung, Tia, Bintang, Lya, Sisca, Natali, Yola, Sari, Dhita, Rey,


ix


x


xi


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................. v

ABSTRAK ............................................................................................................. vi

ABSTRACT .......................................................................................................... vii

KATA PENGANTAR ......................................................................................... viii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. x

PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................................................ xi

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 4

C. Batasan Masalah........................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan .......................................................................................... 4

E. Metode Penulisan ......................................................................................... 5

F. Manfaat Penulisan ........................................................................................ 5

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 5


xiii

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................. 8

A. Turunan ........................................................................................................ 8

B. Big-O dan Little-o ...................................................................................... 11

C. Deret Taylor ............................................................................................... 12

D. Penurunan Numeris .................................................................................... 13

E. Nilai dan Vektor Eigen............................................................................... 15

F. Persamaan Diferensial ................................................................................ 17

G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik ................................................. 19

H. Galat Pemotongan Lokal ............................................................................ 21

I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial....................... 25

J. Fungsi Galat ............................................................................................... 29

BAB III MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA ...................... 31

A. Bentuk Sederhana Model Aliran Fluida ..................................................... 31

B. Persamaan Termodifikasi ........................................................................... 34

C. Metode Tingkat Satu dan Difusi ................................................................ 35

D. Keakuratan ................................................................................................. 36

BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH ........... 40

A. Penurunan Model Aliran Darah ................................................................. 40

B. Metode Volume Hingga ............................................................................. 45

C. Hasil Simulasi dan Analisis ....................................................................... 53


xiv

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................. 66

A. Kesimpulan ................................................................................................ 66

B. Saran ........................................................................................................... 66

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 68

LAMPIRAN .......................................................................................................... 70


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada saat ini, penerapan ilmu Matematika semakin berkembang dalam

berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu Matematika adalah pemodelan matematis.

Pemodelan matematis mampu mendeskripsikan suatu permasalahan real ke dalam

bentuk sistem persamaan matematis. Dalam hal ini, sistem persamaan matematis

disebut sebagai model matematika. Untuk menyusun suatu model matematika

tentunya dibutuhkan pengetahuan mengenai ilmu Matematika secara umum dan

ilmu mengenai bidang permasalahan terkait secara khusus.

Pemodelan matematis dapat digunakan dalam berbagai bidang seperti sains,

teknologi, bisnis, manajemen, dan lain-lain. Pada saat ilmu pemodelan matematis

belum digunakan secara luas, banyak orang dan ilmuwan melakukan eksperimen

langsung terhadap suatu permasalahan untuk mendapatkan informasi yang

diinginkan. Dengan adanya model matematika, diharapkan bahwa suatu

permasalahan dapat diselesaikan tanpa melakukan eksperimen secara langsung.

Beberapa contoh model matematika antara lain adalah model arus lalu lintas, model

gelombang air dangkal, dan model aliran darah. Dalam skripsi ini akan dibahas

mengenai model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia.

Darah adalah salah satu komponen dalam tubuh manusia yang memiliki

peranan sangat penting. Salah satu peranan penting darah adalah mengangkut

oksigen dan nutrisi ke seluruh jaringan dalam tubuh. Dalam kasus khusus, aliran


2

darah dapat terhambat karena adanya penyumbatan atau penyempitan rongga arteri.

Kondisi tersebut sangatlah berbahaya dan dapat menimbulkan penyakit yang serius,

sehingga harus segera diatasi. Beberapa cara untuk mengatasi masalah tersebut

adalah operasi by-pass dan implantasi tabung stainless-steel (stent implantation).

Meski begitu, cara tersebut menimbulkan efek gangguan pola aliran dan tekanan

darah. Dalam skripsi ini tidak akan dibahas cara mengatasi masalah aliran darah

tanpa menimbulkan efek gangguan pola aliran dan tekanan darah, namun akan

dibahas cara memodelkan aliran darah, menyelesaikan dan mensimulasikan model

aliran darah, serta menentukan model yang lebih baik secara numeris sesuai dengan

masalah dari dunia nyata.

Dalam hal ini, model matematika yang cukup sederhana dapat digunakan untuk

menjelaskan fenomena atau permasalahan mengenai aliran darah. Dalam

menurunkan model, diasumsikan bentuk arteri manusia adalah silindris dengan

penampang melintang 𝑆 berbentuk lingkaran dan koordinat 𝑧 sejajar sumbu

silinder. Arteri manusia diilustrasikan dalam Gambar 1.1.1.

Gambar 1.1.1. Ilustrasi bentuk arteri manusia


3

Dengan memodelkan aliran darah secara langsung dari permasalahan nyata,

didapatkan model sebagai berikut

{

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑄2

𝐴) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0,

(1.1.1)

dengan 𝐴, 𝑄, dan 𝑝 berturut-turut adalah luas penampang arteri 𝑆, fluks volume, dan

tekanan darah rata-rata pada 𝑆. Lebih lanjut, 𝜌 adalah massa jenis darah, 𝑧 adalah

variabel ruang, dan 𝑡 adalah variabel waktu. Model (1.1.1) disebut sistem (𝐴,𝑄).

Model tersebut bukan satu-satunya model yang merepresentasikan

permasalahan aliran darah. Aliran darah juga dapat dimodelkan sebagai berikut

{

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕(𝐴𝑢)

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑢2

2) +

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0,

(1.1.2)

dengan 𝑢 adalah kecepatan aliran darah rata-rata pada 𝑆. Model (1.1.2) disebut

sistem (𝐴,𝑢).

Secara analitis, mencari solusi dari model aliran darah tersebut akan sangat

sulit, sehingga solusi akan didekati secara numeris. Dalam hal ini, bentuk model

aliran darah pada persamaan (1.1.1) dan (1.1.2) adalah sistem persamaan diferensial

parsial hiperbolik. Bentuk model ini dapat menghasilkan solusi diskontinyu

meskipun nilai awalnya kontinyu sehingga metode numeris yang akan digunakan

dalam skripsi ini adalah metode volume hingga. Metode volume hingga dapat

digunakan untuk menyelesaikan model dengan solusi kontinyu maupun

diskontinyu.


4

Metode volume hingga berkaitan erat dengan metode beda hingga, dan metode

volume hingga dapat dipandang langsung sebagai pendekatan beda hingga terhadap

persamaan diferensial (LeVeque, 2002). Dengan menyelesaikan sistem persamaan

model aliran darah tersebut secara numeris, akan didapat nilai pendekatan 𝐴, 𝑄, dan

𝑝 yang bergantung pada variabel bebas 𝑧 (posisi) dan 𝑡 (waktu), sehingga luas

penampang arteri 𝑆, debit aliran darah, dan tekanan darah pada posisi di-𝑧 dan

waktu ke-𝑡 di bagian rongga arteri dapat diprediksi.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana memodelkan aliran darah satu dimensi pada arteri manusia?

2. Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan model aliran darah satu dimensi

pada arteri manusia secara numeris dengan metode volume hingga?

3. Model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia manakah yang lebih baik

secara numeris?

C. Batasan Masalah

Dalam skripsi akan dicari solusi numeris dari sistem persamaan model aliran

darah dengan metode volume hingga, terbatas pada masalah satu dimensi.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Memodelkan aliran darah satu dimensi pada arteri manusia.


5

2. Mencari solusi numeris dari sistem persamaan model aliran darah satu dimensi

pada arteri manusia.

3. Membandingkan dua sistem persamaan model aliran darah satu dimensi pada

arteri manusia, sehingga diperoleh suatu sistem yang lebih baik secara numeris

(dibandingkan dengan sistem yang lain).

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan untuk menulis skripsi ini adalah studi

pustaka dari buku-buku dan jurnal-jurnal, serta praktik simulasi numeris.

F. Manfaat Penulisan

Dengan mengetahui solusi sistem persamaan model aliran darah tersebut, luas

penampang arteri, debit aliran darah, dan tekanan darah dapat diprediksi, sehingga

dapat diprediksi seberapa cepat obat, nutrisi, racun, atau zat-zat lainnya dapat

menyebar ke tubuh manusia.

G. Sistematika Penulisan

Berikut ini adalah sistematika penulisan skripsi.

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan


6

E. Metode Penulisan

F. Manfaat penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan

B. Big-O dan Little-o

C. Deret Taylor

D. Penurunan Numeris

E. Nilai dan Vektor Eigen

F. Persamaan Diferensial

G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik

H. Galat Pemotongan Lokal

I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial

J. Fungsi Galat

BAB III MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA

A. Bentuk Umum Model Aliran Fluida

B. Persamaan Termodifikasi

C. Metode Tingkat Satu dan Difusi

D. Keakuratan

BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH

A. Penurunan Model Aliran Darah

B. Metode Volume Hingga

C. Hasil Simulasi dan Analisis


7

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


8

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bagian ini berisi landasan teori skripsi yang terdiri atas turunan, notasi big-O

dan little-o, deret Taylor, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan

diferensial, persamaan diferensial parsial hiperbolik, galat pemotongan lokal,

metode karakteristik, dan fungsi galat.

A. Turunan

Berikut ini adalah definisi dan contoh dari turunan fungsi satu variabel.

Definisi 2.1.1

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ dan titik 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓. Turunan fungsi 𝑓 di titik

𝑥0, dengan notasi 𝑓′(𝑥0), adalah

𝑓′(𝑥0) = limℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ (2.1.1)

dengan syarat nilai limit tersebut ada.

Contoh 2.1.1

Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 di titik 𝑥 = 3.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan Definisi 2.1.1 didapat penyelesaian sebagai berikut.

𝑓′(3) = limℎ→0

𝑓(3 + ℎ) − 𝑓(3)

ℎ

= limℎ→0

(3 + ℎ)2 + (3 + ℎ) − (32 + 3)

ℎ


9

= limℎ→0

ℎ2 + 7ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ + 7

= 7.

Aturan Rantai

Jika 𝑓 dan 𝑔 mempunyai turunan, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔 juga

mempunyai turunan, yaitu

(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥). (2.1.2)

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥), maka dengan notasi Leibniz, 𝑦 dapat diturunkan

terhadap 𝑥, yaitu

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥. (2.1.3)

Penjelasan lebih lanjut mengenai aturan rantai dapat dilihat pada Thomas dkk.

(2009). Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan parsial dari fungsi dua variabel.

Definisi 2.1.2

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ dan titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) ∈ 𝐷𝑓. Turunan parsial 𝑓

terhadap 𝑥 di titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) adalah

𝜕𝑓

𝜕𝑥|(𝑥𝑜,𝑦0)

=𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥, 𝑦0)|

𝑥=𝑥𝑜

= limℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎ, (2.1.4)

dengan syarat nilai limit tersebut ada. Turunan parsial di atas dapat dinotasikan

dengan 𝑓𝑥(𝑥𝑜 , 𝑦0).

Definisi 2.1.3

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ dan titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) ∈ 𝐷𝑓. Turunan parsial 𝑓

terhadap 𝑦 di titik (𝑥𝑜 , 𝑦0) adalah


10

𝜕𝑓

𝜕𝑦|(𝑥𝑜,𝑦0)

=𝑑

𝑑𝑦𝑓(𝑥0, 𝑦)|

𝑦=𝑦𝑜

= limℎ→0

𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

ℎ, (2.1.5)

dengan syarat nilai limit tersebut ada (Thomas dkk., 2009). Turunan parsial di atas

dapat dinotasikan dengan 𝑓𝑦(𝑥𝑜 , 𝑦0).

Contoh 2.1.2

Tentukan turunan parsial 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 terhadap 𝑥 dan 𝑦 di titik (2,3).

Penyelesaian:

Dengan menggunakan Definisi 2.1.2 didapat turunan parsial 𝑓 terhadap 𝑥 di

titik (2,3) sebagai berikut.

𝜕𝑓

𝜕𝑥|(2,3)

=𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥, 3)|

𝑥=2

= limℎ→0

𝑓(2 + ℎ, 3) − 𝑓(2,3)

ℎ

= limℎ→0

(2 + ℎ)2 + 32 − (22 + 32)

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 4ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ + 4

= 4

Kemudian, dengan menggunakan Definisi 2.1.3 didapat turunan parsial 𝑓

terhadap 𝑦 di titik (2,3) sebagai berikut.

𝜕𝑓

𝜕𝑦|(2,3)

=𝑑

𝑑𝑦𝑓(2, 𝑦)|

𝑦=3

= limℎ→0

𝑓(2,3 + ℎ) − 𝑓(2,3)

ℎ


11

= limℎ→0

22 + (3 + ℎ)2 − (22 + 32)

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + 6ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ + 6

= 6

B. Big-O dan Little-o

Definisi 2.2.1

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ → ℝ dan 𝑔:𝐷𝑔 ⊂ ℝ → ℝ ,

𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑔(𝑥)) (2.2.1)

untuk 𝑥 → ∞ jika dan hanya jika terdapat bilangan real 𝑐 > 0 dan 𝑥0 sedemikian

sehingga

|𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐|𝑔(𝑥)| (2.2.2)

untuk setiap 𝑥 ≥ 𝑥0. Sedangkan

𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) (2.2.3)

untuk 𝑥 → ∞ jika dan hanya jika

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 0. (2.2.4)

Notasi 𝑂 dibaca big-O, sedangkan notasi 𝑜 dibaca little-o.

Contoh 2.2.1

Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 − 10 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥4, maka 𝑓(𝑥) =

𝑂(𝑔(𝑥)) karena untuk 𝑐 = 14 dan 𝑥0 = 1 berlaku

|𝑓(𝑥)| = |𝑥4 + 3𝑥2 − 10|


12

≤ 𝑥4 + 3𝑥2 + 10

≤ 𝑥4 + 3𝑥4 + 10𝑥4

= 14𝑥4

= 14|𝑔(𝑥)|

Contoh 2.2.2

Diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 7𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥4, maka 𝑓(𝑥) = 𝑜(𝑔(𝑥)) karena

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim

𝑥→∞

7

𝑥3= 0.

C. Deret Taylor

Fungsi yang terdiferensial tak hingga banyak kali dapat diperluas menjadi deret

yang disebut deret Taylor.

Definisi 2.3.1

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada

suatu interval 𝐼 ⊂ 𝐷𝑓 dengan 𝑎 merupakan titik interior 𝐼. Fungsi 𝑓 dapat dideretkan

di sekitar titik 𝑎 sebagai berikut

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 +⋯

+𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 +⋯.

(2.3.1)

Deret tersebut disebut deret Taylor 𝑓 di sekitar titik 𝑎 (Thomas dkk., 2009).

Contoh 2.3.1

Tentukan deret Taylor 𝑓(𝑥) =1

𝑥 di sekitar titik 𝑎 = 2.


13

Penyelesaian:

Berikut adalah turunan-turunan fungsi 𝑓

𝑓(𝑥) = 𝑥−1, 𝑓′(𝑥) = −𝑥−2, 𝑓′′(𝑥) = 2𝑥−3, ⋯ , 𝑓𝑛(𝑥) = (−1)𝑛𝑛! 𝑥−(𝑛+1),

sehingga didapat

𝑓(2) =1

2, 𝑓′(2) = −

1

22, 𝑓′′(2) =

1

22, ⋯ , 𝑓𝑛(2) = (−1)𝑛𝑛! 2−(𝑛+1).

Jadi, deret Taylor 𝑓(𝑥) =1

𝑥 di sekitar titik 𝑎 = 2 adalah

1

𝑥=1

2−(𝑥 − 2)

22+(𝑥 − 2)2

23−⋯+ (−1)𝑛

(𝑥 − 2)𝑛

2𝑛+1+⋯.

Definisi 2.3.2

Diketahui fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊂ ℝ2 → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada

suatu himpunan terbuka 𝐴 dengan (𝑎, 𝑏) merupakan titik interior 𝐴. Fungsi 𝑓 dapat

dideretkan di sekitar titik (𝑎, 𝑏) sebagai berikut

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)

+1

2![𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)

2 + 2𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏)

+ 𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)(𝑦 − 𝑏)2] + ⋯.

(2.3.2)

Deret tersebut disebut deret Taylor 𝑓 di sekitar titik (𝑎, 𝑏).

D. Penurunan Numeris

Nilai turunan dari fungsi 𝑓 di titik 𝑥0, dengan notasi 𝑓′(𝑥0), dapat didekati

secara numeris dengan beberapa metode dengan tingkat keakuratan tertentu.

Berikut adalah beberapa metode penurunan numeris (Buchanan dan Turner, 1992).


14

Diketahui fungsi 𝑓:ℝ ⟶ ℝ dengan variabel bebas 𝑥 adalah fungsi yang

terdiferensial di titik 𝑥0. Berdasarkan Definisi 2.1.1, didapatkan pendekatan sebagai

berikut

𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

ℎ (2.4.1)

untuk nilai ℎ tertentu. Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda maju.

Cara lain untuk mendefinisikan turunan 𝑓 di titik 𝑥0 adalah


𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

ℎ. (2.4.2)

Untuk nilai ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut

𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

ℎ. (2.4.3)

Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda mundur.

Selain itu, turunan 𝑓 di titik 𝑥0 juga dapat didefinisikan sebagai


𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

2ℎ. (2.4.4)

Untuk nilai ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut

𝑓′(𝑥0) ≈𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ)

2ℎ. (2.4.5)

Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda pusat.

Penurunan numeris fungsi dua variabel adalah sebagai berikut (Rosloniec,

2008). Diketahui fungsi 𝑓:ℝ × ℝ → ℝ dengan variabel bebas 𝑥 dan 𝑦, turunan

numeris fungsi 𝑓 terhadap variabel 𝑥 di titik 𝑥0 didefinisikan dalam berbagai cara

sebagai berikut


15

𝜕𝑓

𝜕𝑥|𝑥=𝑥0

≈𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦)

ℎ, (2.4.6)

𝜕𝑓

𝜕𝑥|𝑥=𝑥0

≈𝑓(𝑥0, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)

ℎ, (2.4.7)

𝜕𝑓

𝜕𝑥|𝑥=𝑥0

≈𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦)

2ℎ. (2.4.8)

Secara berturut-turut, pendekatan di atas merupakan penurunan numeris beda maju,

beda mundur, dan beda pusat. Hal yang serupa juga berlaku pada variabel 𝑦.

Turunan numeris fungsi 𝑓 terhadap variabel 𝑦 di titik 𝑦0 didefinisikan dalam

berbagai cara sebagai berikut

𝜕𝑓

𝜕𝑦|𝑦=𝑦0

≈𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦0)

ℎ, (2.4.9)

𝜕𝑓

𝜕𝑦|𝑦=𝑦0

≈𝑓(𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ)

ℎ, (2.4.10)

𝜕𝑓

𝜕𝑦|𝑦=𝑦0

≈𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ)

2ℎ. (2.4.11)

Dengan menggunakan deret Taylor 𝑓(𝑥0 + ℎ), 𝑓(𝑥0 − ℎ), 𝑓(𝑥0 + ℎ, 𝑦),

𝑓(𝑥0 − ℎ, 𝑦), 𝑓(𝑥, 𝑦0 + ℎ), dan 𝑓(𝑥, 𝑦0 − ℎ) didapatkan tingkat keakuratan

penurunan numeris beda maju dan mundur adalah satu, sedangkan tingkat

keakuratan penurunan numeris beda pusat adalah dua. Perhitungan tingkat

keakuratan penurunan numeris dapat dilihat pada lampiran.

E. Nilai dan Vektor Eigen

Diketahui matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛. Vektor tak nol �̅� yang memenuhi


16

𝑨�̅� = 𝜆�̅� (2.5.1)

dengan 𝜆 ∈ ℝ, disebut vektor eigen dari matriks 𝑨. Bilangan real 𝜆 disebut nilai

eigen dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan vektor eigen �̅� (Budhi, 1995).

Teorema 2.5.1

Bilangan real 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks 𝑨 jika dan hanya jika 𝜆

memenuhi persamaan

det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0. (2.5.2)

Persamaan (2.5.2) di atas disebut sebagai persamaan karakteristik.

Contoh 2.5.1

Diketahui matriks 𝑨 berukuran 2 × 2

𝑨 = [5 −62 −2

].

Nilai eigen dari matriks 𝑨 dapat dicari menggunakan Teorema 2.5.1

det(𝑨 − 𝜆𝑰) = det ([5 −62 −2

] − [𝜆 00 𝜆

])

= det ([5 − 𝜆 −62 −2 − 𝜆

])

= 𝜆2 − 3𝜆 + 2

sehingga didapat persamaan karakteristik

𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0.

Jadi, nilai eigen dari matriks 𝑨 adalah 𝜆1 = 2 dan 𝜆2 = 1.

Selanjutnya vektor eigen matriks 𝑨 dapat dicari dengan substitusi masing-

masing nilai eigen ke persamaan (2.5.1). Untuk 𝜆1 = 2

[5 −62 −2

] [𝑥𝑦] = 2 [

𝑥𝑦], (2.5.3)

sehingga didapat vektor eigen �̅�1 dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan 𝜆1


17

�̅�1 = [21] 𝑘1

dengan 𝑘1 ≠ 0 merupakan sebarang konstanta real. Dengan cara yang sama,

didapatkan vektor eigen �̅�2 dari matriks 𝑨 yang berkaitan dengan 𝜆2 yaitu

�̅�2 = [32] 𝑘2

dengan 𝑘2 ≠ 0 merupakan sebarang konstanta real.

Matriks 𝑨 berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat

matriks tak singular 𝑷 sedemikian sehingga

𝑨 = 𝑷𝑫𝑷−1 (2.5.4)

dengan 𝑫 merupakan matriks diagonal dan 𝑷−1 merupakan invers dari matriks 𝑷.

Berikut ini merupakan syarat cukup suatu matriks dapat didiagonalkan.

Teorema 2.5.2

Jika 𝑨 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang memiliki 𝑛 buah nilai eigen yang

berbeda, maka matriks 𝑨 dapat didiagonalkan.

Matriks 𝑨 berukuran 2 × 2 seperti pada Contoh 2.5.1 merupakan contoh

matriks yang dapat didiagonalkan karena memiliki dua nilai eigen berbeda.

Penjelasan lebih lanjut mengenai teorema di atas dapat dilihat pada Budhi (1995).

F. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan

suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Berikut ini adalah contoh persamaan

diferensial.


18

Contoh 2.6.1

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥 = 3 (2.6.1)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 0 (2.6.2)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑦 = 1 (2.6.3)

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ (

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)

2

+ 2𝑑𝑦

𝑑𝑥= sin(𝑥) (2.6.4)

(𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)

2

− (𝑑𝑦

𝑑𝑥)3

− 2𝑦 = 𝑥 (2.6.5)

𝜕𝑧

𝜕𝑥+𝜕𝑧

𝜕𝑦− 𝑧 = 0 (2.6.6)

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2− 2

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2+ 𝑥 + sin (𝑧) = 0 (2.6.7)

Secara umum, persamaan diferensial diklasifikasi berdasarkan jumlah variabel

bebasnya. Persamaan diferensial yang memuat satu variabel bebas disebut

persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memuat dua

atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan (2.6.1)-

(2.6.5) merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan

(2.6.6) dan (2.6.7) merupakan contoh persamaan diferensial parsial.

Persamaan diferensial juga dapat diklasifikasi berdasarkan tingkat (order)-nya.

Tingkat dari persamaan diferensial merupakan tingkat dari turunan tertinggi yang

termuat pada persamaan diferensial (Ayres, 1981). Bentuk umum persamaan

diferensial biasa tingkat ke-𝑛 adalah


19

𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑢′, 𝑢′′, ⋯ , 𝑢(𝑛)) = 0 (2.6.8)

dengan 𝑥 adalah variabel bebas, 𝑢 adalah sebarang fungsi terhadap 𝑥, dan 𝑢(𝑛)

adalah turunan ke-𝑛 dari fungsi 𝑢 (Boyce dan DiPrima, 2012) . Sedangkan, bentuk

umum persamaan diferensial parsial tingkat ke-𝑛 adalah

𝐹(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑢, 𝑢′, 𝑢′′, ⋯ , 𝑢(𝑛)) = 0 (2.6.9)

dengan 𝑥1, 𝑥2, ⋯ adalah variabel bebas, 𝑢 adalah sebarang fungsi terhadap

𝑥1, 𝑥2, ⋯, dan 𝑢(𝑛) adalah turunan parsial ke-𝑛 dari fungsi 𝑢. Persamaan (2.6.1),

(2.6.3), dan (2.6.6) merupakan persamaan diferensial tingkat satu; (2.6.2), (2.6.5),

dan (2.6.7) merupakan persamaan diferensial tingkat dua; dan (2.6.4) merupakan

persamaan diferensial tingkat tiga.

Selain itu, persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi persamaan

diferensial linear dan nonlinear. Persamaan diferensial yang fungsi dan suku-suku

turunannya (baik itu turunan biasa maupun turunan parsial) bersifat linear disebut

persamaan diferensial linear. Jika terdapat fungsi atau suku turunan yang bersifat

nonlinear, maka disebut persamaan diferensial nonlinear. Persamaan (2.6.1)-(2.6.3)

merupakan persamaan diferensial biasa linear; persamaan (2.6.4) dan (2.6.5)

merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear; persamaan (2.6.6) merupakan

persamaan diferensial parsial linear; dan persamaan (2.6.7) merupakan persamaan

diferensial parsial nonlinear.

G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik

Diberikan hukum kekekalan


20

𝑢𝑡(𝑧, 𝑡) + 𝑓(𝑢(𝑧, 𝑡))𝑧 = 0 (2.7.1)

dengan 𝑓(𝑢) merupakan fungsi fluks. Dalam bentuk kuasilinear, persamaan

tersebut ditulis menjadi

𝑢𝑡 + 𝐴𝑢𝑧 = 0 (2.7.2)

dengan 𝑨 = 𝑓′(𝑢) merupakan matriks Jacobian dari fungsi fluks. Persamaan

diferensial parsial di atas disebut hiperbolik jika dan hanya jika matriks Jacobian

dari fungsi fluksnya, yaitu 𝑓′(𝑢), memiliki nilai eigen yang semuanya real dan

matriks tersebut dapat didiagonalkan (LeVeque, 1992). Elemen baris ke-i dan

kolom ke-j dari matriks Jacobian 𝑓′(𝑢) adalah 𝜕𝑓𝑖

𝑢𝑗⁄ . Lebih jelasnya lagi,

perhatikan definisi berikut.

Definisi 2.7.1

Diketahui fungsi bernilai vektor �̅�(�̅�) = [𝑓1(�̅�)⋮

𝑓𝑚(�̅�)] dengan �̅� = [

𝑥1⋮𝑥𝑛]. Matriks

Jacobian dari �̅� didefinisikan sebagai berikut

𝑱 =𝜕�̅�

𝜕�̅�=

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋮𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑓𝑚𝜕𝑥𝑛]

. (2.7.3)

Contoh 2.7.1

Diketahui fungsi bernilai vektor �̅�(�̅�) = [5𝑥1𝑥2

3𝑥1 + 7𝑥22] dengan �̅� = [

𝑥1𝑥2]. Pada

kasus ini, 𝑓1 = 5𝑥1𝑥2 dan 𝑓2 = 3𝑥1 + 7𝑥22 sehingga matriks Jacobian dari �̅�

adalah


21

𝑱 =

[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1

𝜕𝑓1𝜕𝑥2

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

𝜕𝑓2𝜕𝑥2]

= [5𝑥2 5𝑥13 14𝑥2

].

H. Galat Pemotongan Lokal

Galat pemotongan lokal 𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) merupakan suatu ukuran seberapa baik

persamaan diferensi memodelkan persamaan diferensial secara lokal (LeVeque,

1992). Galat pemotongan lokal didefinisikan dengan cara menggantikan solusi

pendekatan persamaan-persamaan diferensi 𝑈𝑖𝑛 dengan solusi eksak 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛).

Tentunya, solusi eksak dari persamaan diferensial parsial merupakan solusi

pendekatan persamaan-persamaan diferensi. Seberapa baik solusi eksak tersebut

memenuhi persamaan-persamaan diferensi akan memberikan indikasi seberapa

baik solusi eksak persamaan-persamaan diferensi memenuhi persamaan diferensial.

Perhatikan persamaan diferensial (2.7.1) dengan 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 dan diskritisasi

domain ruang dan waktu berikut

𝑧𝑖 = 𝑖∆𝑧, (2.8.1)

𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡, (2.8.2)

dengan ∆𝑧 dan ∆𝑡 adalah konstan, 𝑖 ∈ {⋯ ,−2,−1,0,1,2,⋯ }, dan 𝑛 ∈ {0,1,2,3,⋯ }.

Dengan kata lain, ∆𝑡

∆𝑧 adalah konstan. Untuk analisis lebih lanjut, diasumsikan bahwa

𝑎 adalah suatu konstanta positif.

Asumsikan bahwa solusi 𝑢(𝑧, 𝑡) merupakan fungsi halus, yaitu fungsi yang

kontinyu, terdiferensial, dan turunannya kontinyu. Jika suku-suku 𝑢𝑡 dan 𝑓(𝑢)𝑧


22

persamaan tersebut didekati secara numeris, maka didapatkan skema volume

hingga berikut

𝑈𝑖𝑛+1 − 𝑈𝑖

𝑛

∆𝑡+

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑧= 0 (2.8.3)

atau

𝑈𝑖𝑛+1 = 𝑈𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ) (2.8.4)

dengan 𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 dan 𝐹𝑖−1 2⁄

𝑛 merupakan fluks yang dapat didefinisikan dengan

berbagai cara. Untuk definisi fluks Lax-Friedrichs (LeVeque, 2002),

𝐹𝑖+12

𝑛 =𝑓(𝑈𝑖+1

𝑛 ) + 𝑓(𝑈𝑖𝑛)

2−∆𝑧

2∆𝑡(𝑈𝑖+1

𝑛 −𝑈𝑖𝑛) (2.8.5)

dan

𝐹𝑖−12

𝑛 =𝑓(𝑈𝑖

𝑛) + 𝑓(𝑈𝑖−1𝑛 )

2−∆𝑧

2∆𝑡(𝑈𝑖

𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) (2.8.6)

dengan 𝑓(𝑈𝑖𝑛) = 𝑎𝑈𝑖

𝑛 dan sebarang skalar 𝑎. Jika persamaan (2.8.5) dan (2.8.6)

disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8.4), maka didapatkan persamaan

1

∆𝑡[𝑈𝑖

𝑛+1 −1

2(𝑈𝑖+1

𝑛 + 𝑈𝑖−1𝑛 )] +

1

2∆𝑧𝑎(𝑈𝑖+1

𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) = 0. (2.8.7)

Jika setiap 𝑈𝑖𝑛 pada persamaan di atas diganti dengan solusi eksak 𝑢(𝑧, 𝑡), maka

nilai di ruas kanan tidak tepat sama dengan nol, sehingga didapat galat pemotongan

lokal metode Lax-Friedrichs

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1

∆𝑡[𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) −

1

2(𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡) + 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡))]

+1

2∆𝑧𝑎[𝑢(𝑧 + ∆𝑧, 𝑡) − 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡)].

(2.8.8)


23

Karena solusi diasumsikan merupakan fungsi halus, maka 𝑢(𝑧, 𝑡) pada ruas kanan

persamaan (2.8.8) dapat dijabarkan menjadi deret Taylor sehingga didapatkan

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1

∆𝑡[(𝑢 + ∆𝑡𝑢𝑡 +

1

2∆𝑡2𝑢𝑡𝑡 +⋯) − (𝑢 +

1

2∆𝑧2𝑢𝑧𝑧 +⋯)]

+1

2∆𝑧𝑎 [2∆𝑧𝑢𝑧 +

∆𝑧3

3𝑢𝑧𝑧𝑧 +⋯]

=1

∆𝑡[∆𝑡𝑢𝑡 +

1

2∆𝑡2𝑢𝑡𝑡 −

1

2∆𝑧2𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡

3) + 𝑂(∆𝑧4)]

+ 𝑎𝑢𝑧 + 𝑂(∆𝑧2).

(2.8.9)

Berdasarkan asumsi bahwa ∆𝑡

∆𝑧 adalah konstan, didapatkan

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1

2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡 −

∆𝑧2

∆𝑡𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧

2). (2.8.10)

Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diasumsikan sebagai solusi eksak, maka 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0 atau 𝑢𝑡 =

−𝑎𝑢𝑧, sehingga

𝑢𝑡𝑡 = −𝑎𝑢𝑧𝑡

= −𝑎𝑢𝑡𝑧

= −𝑎(−𝑎𝑢𝑧)𝑧

= 𝑎2𝑢𝑧𝑧. (2.8.11)

Substitusi persamaan-persamaan di atas ke persamaan (2.8.10) didapat

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 0 +1

2(∆𝑡𝑎2𝑢𝑧𝑧 −

∆𝑧2


2)

=1

2∆𝑡 (𝑎2 −

∆𝑧2

∆𝑡2)𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑧

2)

= 𝑂(∆𝑧) (2.8.12)

ketika ∆𝑧 → 0. Jadi, tingkat keakuratan metode numeris Lax-Friedrichs adalah satu.


24

Sedangkan untuk definisi fluks Upwind (LeVeque, 2002),

𝐹𝑖+12

𝑛 = 𝑓(𝑈𝑖𝑛) = 𝑎𝑈𝑖

𝑛 (2.8.13)

dan

𝐹𝑖−12

𝑛 = 𝑓(𝑈𝑖−1𝑛 ) = 𝑎𝑈𝑖−1

𝑛 . (2.8.14)

Jika persamaan (2.8.13) dan (2.8.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.8.4),

maka didapatkan persamaan

1

∆𝑡[𝑈𝑖

𝑛+1 − 𝑈𝑖𝑛] +

1

∆𝑧𝑎(𝑈𝑖

𝑛 − 𝑈𝑖−1𝑛 ) = 0. (2.8.15)

Dengan cara yang sama, didapatkan galat pemotongan lokal metode Upwind

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1

∆𝑡[𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) − 𝑢(𝑧, 𝑡)]

+1

∆𝑧𝑎[𝑢(𝑧, 𝑡) − 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡)].

(2.8.16)

Jika suku-suku 𝑢(𝑧, 𝑡 + ∆𝑡) dan 𝑢(𝑧 − ∆𝑧, 𝑡) dijabarkan dengan deret Taylor, maka

didapatkan

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) =1

∆𝑡[𝑢 + ∆𝑡𝑢𝑡 +

∆𝑡2

2𝑢𝑡𝑡 +⋯− 𝑢]

+1

∆𝑧𝑎 [𝑢 − 𝑢 + ∆𝑧𝑢𝑧 −

∆𝑧2

2𝑢𝑧𝑧 +⋯]

= 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +𝑎

2∆𝑧 (

∆𝑡

∆𝑧

𝑢𝑡𝑡𝑎− 𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧

2). (2.8.17)

Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diasumsikan sebagai solusi eksak, maka 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0. Berdasarkan

persamaan (2.8.11) dan asumsi ∆𝑡

∆𝑧 adalah konstan, persamaan (2.8.17) dapat ditulis

menjadi


25

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 0 +𝑎

2∆𝑧 (

∆𝑡

∆𝑧

𝑎2𝑢𝑧𝑧𝑎

− 𝑢𝑧𝑧) + 𝑂(∆𝑧2)

= 𝑂(∆𝑧). (2.8.18)

Jadi, tingkat keakuratan metode numeris Upwind adalah satu.

I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial

Perhatikan persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut,

𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑦 − 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢) = 0. (2.9.1)

Persamaan tersebut diasumsikan memiliki solusi dalam bentuk 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), atau

secara implisit

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑢) ≡ 𝑢(𝑥, 𝑦) − 𝑢 = 0 (2.9.2)

merepresentasikan suatu permukaan solusi (solution surface) dalam ruang (𝑥, 𝑦, 𝑢).

Persamaan (2.9.2) sering disebut sebagai permukaan integral (integral surface) dari

persamaan (2.9.1). Di setiap titik (𝑥, 𝑦, 𝑢) pada permukaan solusi, vektor gradien

∇𝑓 = (𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑢) = (𝑢𝑥, 𝑢𝑦, −1) merupakan vektor normal permukaan solusi. Di

lain pihak, persamaan (2.9.1) dapat ditulis dalam bentuk perkalian titik (dot

product) antara dua vektor yaitu

𝑎𝑢𝑥 + 𝑏𝑢𝑦 − 𝑐 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∙ (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦, −1) = 0, (2.9.3)

Sehingga didapatkan bahwa vektor (𝑎, 𝑏, 𝑐) merupakan vektor singgung dari

permukaan solusi pada titik (𝑥, 𝑦, 𝑢).


26

Gambar 2.9.1. Vektor normal dan vektor singgung dari permukaan solusi di titik

(𝑥, 𝑦, 𝑢)

Kurva pada ruang (𝑥, 𝑦, 𝑢) yang garis singgung setiap titiknya berimpit dengan

medan arah karakteristik (𝑎, 𝑏, 𝑐) disebut kurva karakteristik. Jika persamaan

parameter dari kurva karakteristik tersebut adalah

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑢 = 𝑢(𝑡), (2.9.4)

maka vektor singgung kurva tersebut adalah (𝑑𝑥

𝑑𝑡,𝑑𝑦

𝑑𝑡,𝑑𝑢

𝑑𝑡). Berdasarkan persamaan

(2.9.3) didapat sistem persamaan diferensial biasa dari kurva karakteristik sebagai

berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢),

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢),

𝑑𝑢

𝑑𝑡= 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢), (2.9.5)

atau secara ekuivalen dapat ditulis sebagai

𝑑𝑥

𝑎=𝑑𝑦

𝑏=𝑑𝑢

𝑐. (2.9.6)

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan (2.9.1).


27

Teorema 2.9.1

Solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu

𝑎(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦, 𝑢)𝑢𝑦 = 𝑐(𝑥, 𝑦, 𝑢) (2.9.7)

adalah

𝑓(𝜙, 𝜓) = 0, (2.9.8)

dengan 𝑓 merupakan sebarang fungsi dari 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑢) dan 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑢), serta 𝜙 = 𝑐1

dan 𝜓 = 𝑐2 merupakan kurva solusi persamaan karakteristik

𝑑𝑥

𝑎=𝑑𝑦

𝑏=𝑑𝑢

𝑐. (2.9.9)

Bukti dari Teorema 2.9.1 dapat dilihat pada karya Debnath (2012) halaman

209.

Contoh 2.9.1

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut

𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑢. (2.9.10)

Penyelesaian:

Kurva karakteristik dari persamaan (2.9.10) adalah

𝑑𝑥

𝑥=𝑑𝑦

𝑦=𝑑𝑢

𝑢, (2.9.11)

yang tidak lain merupakan sistem persamaan diferensial biasa dengan tiga

persamaan. Fungsi 𝜙 dan 𝜓 dapat dicari dengan menyelesaikan sebarang dua

persamaan diferensial biasa di atas. Untuk 𝑑𝑥

𝑥=

𝑑𝑦

𝑦, didapat

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ∫

1

𝑦𝑑𝑦 ⟺ ln(𝑥) = ln(𝑦) + 𝑘1

⟺ 𝑥 = 𝑦𝑒𝑘1


28

⟺𝑦

𝑥= 𝑐1

dengan 𝑐1 adalah sebarang konstan, sehingga 𝜙 =𝑦

𝑥= 𝑐1. Sedangkan untuk

𝑑𝑥

𝑥=

𝑑𝑢

𝑢, didapat

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ∫

1

𝑢𝑑𝑢 ⟺ ln(𝑥) = ln(𝑢) +𝑘2

⟺ 𝑥 = 𝑢𝑒𝑘2

⟺𝑢

𝑥= 𝑐2

dengan 𝑐2 adalah sebarang konstan, sehingga 𝜓 =𝑢

𝑥= 𝑐2.

Jadi, solusi umum persamaan (2.9.10) adalah

𝑓(𝜙, 𝜓) = 0

atau

𝑓 (𝑦

𝑥,𝑢

𝑥) = 0,

dengan 𝑓 sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum persamaan (2.9.10) dapat

ditulis

𝑢

𝑥= 𝑔 (

𝑦

𝑥)

atau

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦

𝑥),

dengan 𝑔 sebarang fungsi.

Agar pembahasan lengkap, dapat diperiksa bahwa 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦

𝑥) adalah

benar-benar solusi persamaan (2.9.10) sebagai berikut.


29

𝑢𝑥 = 1𝑔 (𝑦

𝑥) − 𝑥𝑔′ (

𝑦

𝑥)𝑦

𝑥2

= 𝑔 (𝑦

𝑥) −

𝑦

𝑥𝑔′ (

𝑦

𝑥) (2.9.12)

𝑢𝑦 = 𝑥𝑔′ (𝑦

𝑥)1

𝑥

= 𝑔′ (𝑦

𝑥) (2.9.13)

Berdasarkan persamaan (2.9.12) dan (2.9.13), maka didapat

𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑥𝑔 (𝑦

𝑥) − 𝑦𝑔′ (

𝑦

𝑥) + 𝑦𝑔′ (

𝑦

𝑥)

= 𝑥𝑔 (𝑦

𝑥)

= 𝑢. (2.9.14)

Jadi, diperoleh 𝑥𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑢 untuk 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑔 (𝑦

𝑥).

J. Fungsi Galat

Fungsi galat, atau disebut juga integral probabilitas (Coleman, 2013),

didefinisikan sebagai berikut

erf(𝑥) =2

√𝜋∫ 𝑒−𝑧

2 𝑑𝑧.

𝑥

0

(2.10.1)

Fungsi galat merupakan fungsi ganjil, yaitu fungsi yang simetri terhadap titik

𝑂(0,0), sehingga berlaku sifat erf(−𝑥) = −erf (𝑥). Perhatikan bahwa

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2 (2.10.2)

memiliki bentuk grafik yang mirip dengan grafik fungsi densitas normal, yaitu

berbentuk seperti lonceng (lihat Gambar 2.10.1)


30

Gambar 2.10.1. Grafik 𝑦 = 𝑒−𝒙2

Kemudian, fungsi galat komplementer didefinisikan sebagai berikut

erfc(𝑥) = 1 − erf(𝑥). (2.10.3)

Gambar 2.10.2 adalah gambar grafik fungsi galat dan fungsi galat komplementer.

Gambar 2.10.2. Grafik fungi galat dan fungsi galat komplementer


31

BAB III

MODEL ALIRAN FLUIDA SECARA SEDERHANA

A. Bentuk Sederhana Model Aliran Fluida

Fenomena mengenai pergerakan gelombang atau transportasi adveksi dari

suatu zat dapat dimodelkan secara matematis dengan sistem persamaan diferensial

parsial hiperbolik. Perhatikan persamaan adveksi skalar dengan nilai awal

diskontinyu berikut,

𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0 (3.1.1)

𝑢0(𝑧) = {1, jika 𝑧 ≤ 0

0, jika 𝑧 > 0 (3.1.2)

dengan 𝑧 ∈ (−∞,∞), 𝑡 ≥ 0, dan 𝑎 > 0. Persamaan tersebut merupakan model

aliran fluida yang paling sederhana dengan 𝑢 merupakan kuantitas (tekanan, debit

aliran, volume, dan lain-lain) yang nilainya tidak diketahui. Konstanta 𝑎 merupakan

kecepatan aliran fluida. Jika 𝑎 positif maka fluida mengalir ke arah sumbu positif

(kanan), dan jika 𝑎 negatif maka fluida mengalir ke arah sumbu negatif (kiri).

Persamaan (3.1.1) merupakan persamaan diferensial parsial hiperbolik jika 𝑎

merupakan konstanta real. Persamaan tersebut merupakan salah satu contoh hukum

kekekalan

𝑢𝑡 + 𝑓(𝑢)𝑧 = 0, (3.1.3)

dengan 𝑓(𝑢) = 𝑎𝑢 merupakan fungsi fluks. Misal,


32

𝑄𝑖𝑛 ≈ 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛) (3.1.4)

atau

𝑄𝑖𝑛 ≈

1

∆𝑧∫ 𝑢(𝑧, 𝑡𝑛)𝑧𝑖+1 2⁄

𝑧𝑖−1 2⁄

𝑑𝑧 (3.1.5)

merupakan pendekatan nilai rata-rata 𝑢 pada interval ke-𝑖 dan waktu 𝑡𝑛. Dengan

menggunakan pendekatan numeris, 𝑢𝑡 dan 𝑓(𝑢)𝑧 dapat ditulis menjadi

𝑢𝑡 ≈𝑢(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛+1) − 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)

∆𝑡≈𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖

𝑛

∆𝑡

(3.1.6)

dan

𝑓(𝑢)𝑧 ≈

𝑓 (𝑢 (𝑧𝑖+12, 𝑡𝑛)) − 𝑓 (𝑢 (𝑧

𝑖−12, 𝑡𝑛))

∆𝑧≈

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑧.

(3.1.7)

Dengan substitusi persamaan (3.1.6) dan (3.1.7) ke dalam persamaan (3.1.3),

didapatkan solusi metode volume hingga

𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ) (3.1.8)

dengan 𝐹𝑖+1

2

𝑛 merupakan pendekatan fluks rata-rata pada interface 𝑧𝑖+

1

2

yang dapat

didefinisikan dalam berbagai cara, diantaranya adalah definisi fluks Lax-Friedrichs

dan fluks Upwind. Fluks Lax-Friedrichs didefinisikan sebagai berikut ,

𝐹𝑖+12

𝑛 =𝑓(𝑢(𝑧𝑖+1, 𝑡

𝑛)) + 𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛))

2−∆𝑧

2∆𝑡(𝑢(𝑧𝑖+1, 𝑡

𝑛) − 𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)) (3.1.9)

dan

𝐹𝑖−12

𝑛 =𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛)) + 𝑓(𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛))

2−∆𝑧

2∆𝑡(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛) − 𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛)). (3.1.10)

Sedangkan fluks Upwind didefinisikan secara lebih sederhana, yaitu


33

𝐹𝑖+12

𝑛 = 𝑓(𝑢(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)) (3.1.11)

dan

𝐹𝑖−12

𝑛 = 𝑓(𝑢(𝑧𝑖−1, 𝑡𝑛)). (3.1.12)

Berikut ini adalah gambar solusi numeris persamaan adveksi skalar (3.1.1)

dengan nilai awal (3.1.2), 𝑎 = 1, ∆𝑧 = 0.0025, dan ∆𝑡 = 0.5∆𝑧 pada waktu

𝑡 = 0.5 (Yoman, 2014).

Gambar 3.1.1. Solusi numeris dengan definisi fluks Lax-Friedrichs


34

Gambar 3.1.2. Solusi numeris dengan definisi fluks Upwind

Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa solusi numeris menghasilkan galat yang

cukup besar di sekitar titik diskontinyu.

B. Persamaan Termodifikasi

Penurunan persamaan termodifikasi berkaitan erat dengan perhitungan galat

pemotongan lokal dari suatu metode. Perhatikan galat pemotongan lokal Lax-

Friedrichs untuk persamaan (3.1.1) yang didapatkan dari persamaan (2.8.10)

𝐿∆𝑧(𝑧, 𝑡) = 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1

2(∆𝑡 𝑢𝑡𝑡 −

∆𝑧2


2). (3.2.1)

Karena 𝑢(𝑧, 𝑡) diambil sebagai solusi eksak dari 𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 0, maka didapatkan

galat pemotongan lokal 𝐿∆𝑡(𝑧, 𝑡) = 𝑂(∆𝑡). Jika 𝑢(𝑧, 𝑡) sekarang diasumsikan

merupakan solusi persamaan diferensial parsial


35

𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 +1

2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡 −

∆𝑧2

∆𝑡𝑢𝑧𝑧) = 0, (3.2.2)

maka didapat galat pemotongan 𝑂(∆𝑡2). Disimpulkan bahwa tingkat keakuratan

pendekatan metode Lax-Friedrichs terhadap solusi (3.2.2) adalah dua. Persamaan

ini disebut persamaan termodifikasi untuk metode Lax-Friedrichs.

Jika suku 𝑢𝑡𝑡 pada persamaan (3.2.2) dinyatakan ke dalam suku-suku turunan

𝑧, maka didapatkan persamaan yang lebih mudah untuk dianalisis. Perhatikan

operasi aljabar yang didapatkan dari persamaan (3.2.2) berikut

𝑢𝑡𝑡 = −𝑎𝑢𝑡𝑧 −1

2(∆𝑡𝑢𝑡𝑡𝑡 −

∆𝑧2

∆𝑡𝑢𝑧𝑧𝑡)

= −𝑎[−𝑎𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡)] + 𝑂(∆𝑡)

= 𝑎2𝑢𝑧𝑧 + 𝑂(∆𝑡). (3.2.3)

Dengan substitusi 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2𝑢𝑧𝑧, persamaan termodifikasi (3.2.2) dapat ditulis

sebagai berikut

𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 =∆𝑧2

2∆𝑡(1 −

∆𝑡2

∆𝑧2𝑎2) 𝑢𝑧𝑧. (3.2.4)

C. Metode Tingkat Satu dan Difusi

Persamaan termodifikasi (3.2.4) merupakan persamaan adveksi-difusi dalam

bentuk

𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 = 𝑑𝑢𝑧𝑧 , (3.3.1)

dengan konstanta difusi 𝑑 sebagai berikut

𝑑 =∆𝑧2

2∆𝑡(1 −

∆𝑡2

∆𝑧2𝑎2). (3.3.2)


36

Gambar 3.1.1 menunjukkan bahwa, untuk ∆𝑧 dan ∆𝑡 tertentu, solusi numeris

metode Lax-Friedrichs persamaan adveksi skalar (3.1.1) mendekati solusi eksak

persamaan termodifikasi (3.3.1). Untuk ∆𝑧 → 0 dan ∆𝑡 → 0, solusi numeris Lax-

Friedrichs akan konvergen ke solusi eksak dari persamaan termodifikasi (3.3.1).

Dengan cara yang sama, persamaan termodifikasi metode Upwind dapat

diturunkan dari galat pemotongan lokal (2.8.17) menjadi

𝑢𝑡 + 𝑎𝑢𝑧 =1

2𝑎∆𝑧 (1 −

∆𝑡

∆𝑧𝑎) 𝑢𝑧𝑧 . (3.3.3)

Persamaan tersebut juga merupakan persamaan adveksi-difusi.

D. Keakuratan

Solusi metode Lax-Friedrichs dari persamaan (3.1.1) dengan nilai awal (3.1.2)

hanya berupa nilai pendekatan, dan solusi tersebut tidak lain merupakan solusi

untuk persamaan termodifikasi (3.3.1), sehingga galat pendekatan numeris dapat

diduga dengan beda solusi analitik dari persamaan (3.1.1) dan solusi analitik dari

persamaan termodifikasi (3.3.1). Pendugaan tersebut bukan merupakan pendugaan

galat yang tepat, dan hanya berlaku untuk nilai awal tertentu seperti pada (3.1.2),

tetapi pendugaan tersebut memberikan indikasi yang akurat terhadap pendugaan

secara umum.

Menurut Zoppou dan Roberts (1996), solusi analitis persamaan termodifikasi

(3.3.1) dengan nilai awal (3.1.2) adalah

𝑢𝑑(𝑧, 𝑡) =1

2−1

2erf (

𝑧 − 𝑎𝑡

√4𝑡𝑑). (3.4.1)


37

Sedangkan solusi analitis persamaan (3.1.1) dapat dicari dengan menyelesaikan

persamaan karakteristik

𝑑𝑡

𝑑𝑥= 1,

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 𝑎,

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 0 (3.4.2)

Untuk 𝑑𝑡

𝑑𝑥= 1 dan

𝑑𝑧

𝑑𝑥= 𝑎, didapat penyelesaian sebagai berikut

𝑎 𝑑𝑡 = 𝑑𝑧 ⇔ ∫𝑎 𝑑𝑡 = ∫𝑑𝑧

⟺ 𝑎𝑡 + 𝑘1 = 𝑧

⟺ 𝑘1 = 𝑧 − 𝑎𝑡.

Untuk 𝑑𝑡

𝑑𝑥= 1 dan

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 0, didapatkan penyelesaian sebagai berikut

0 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 ⟺ ∫0𝑑𝑡 = ∫1 𝑑𝑢

⟺ 𝑘2 = 𝑢.

Solusi umum dari persamaan (3.1.1) adalah

𝑓(𝑧 − 𝑎𝑡, 𝑢) = 0 (3.4.3)

dengan 𝑓 sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum tersebut dapat ditulis

sebagai

𝑢 = 𝑔(𝑧 − 𝑎𝑡) (3.4.4)

dengan 𝑔 sebarang fungsi, sehingga didapatkan solusi analitis persamaan (3.1.1)

dengan nilai awal (3.1.2) sebagai berikut

𝑢(𝑧, 𝑡) = 𝑢0(𝑧 − 𝑎𝑡) = {1, jika 𝑧 ≤ 𝑎𝑡

0, jika 𝑧 > 𝑎𝑡 (3.4.5)

Jadi, beda solusi analitis persamaan (3.1.1) dan solusi analitis persamaan

termodifikasi (3.3.1) adalah


39

dengan Κ = 2∫ |erfc(𝜉)|∞

0𝑑𝜉. Semakin besar nilai 𝑡, maka semakin besar pula nilai

‖𝑢(∙, 𝑡) − 𝑢𝑑(∙, 𝑡)‖. Artinya, untuk nilai 𝑡 yang semakin besar, galat solusi metode

numeris juga semakin besar.

Dalam bab ini telah dibahas mengenai bentuk sederhana model aliran darah,

persamaan termodifikasi, metode tingkat satu dan difusi, serta pendugaan

keakuratan suatu metode. Dari pembahasan dalam bab ini tampak jelas bahwa

metode yang akurat (khususnya pada bagian yang memuat titik diskontinyu) sangat

diperlukan untuk menyelesaikan model matematika penjalaran gelombang dan

aliran fluida. Sebagai catatan, model matematikanya sendiri haruslah realistis.


40

BAB IV

PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH

A. Penurunan Model Aliran Darah

Untuk memodelkan aliran darah, perhatikan ilustrasi bentuk arteri manusia

pada Gambar 4.1.1. Agar lebih sederhana, asumsikan bahwa luas penampang arteri

𝑆(𝑧, 𝑡) tidak bergantung pada variabel ruang 𝑥 dan 𝑦.

Gambar 4.1.1. Ilustrasi bentuk arteri manusia dengan asumsi penyederhanaan

Selanjutnya, diasumsikan bentuk arteri manusia adalah silindris dengan bentuk

setiap penampang melintangnya adalah lingkaran, dan koordinat 𝑧 sejajar sumbu

silinder. 𝑆(𝑧, 𝑡) merupakan penampang melintang arteri untuk sebarang 𝑧 dan 𝑡.

Pada pembahasan selanjutnya, Gambar 4.1.1 disebut volume kontrol. Pada setiap 𝑆

didefinisikan,

𝐴(𝑧, 𝑡) = ∫𝑑𝜎

𝑆

, (4.1.1)

𝑢(𝑧, 𝑡) =1

𝐴∫ �̂� 𝑑𝜎

𝑆

, (4.1.2)

𝑝(𝑧, 𝑡) =1

𝐴∫ �̂� 𝑑𝜎,

𝑆

(4.1.3)


41

dengan 𝐴 adalah luas penampang arteri 𝑆, 𝑢 adalah kecepatan aliran darah rata-rata

pada 𝑆, 𝑝 adalah tekanan darah rata-rata pada 𝑆, �̂� adalah kecepatan aliran darah di

titik 𝑧, �̂� adalah tekanan darah di titik 𝑧. Kemudian, didefinisikan fluks volume

𝑄(𝑧, 𝑡) = 𝐴(𝑧, 𝑡)𝑢(𝑧, 𝑡). Asumsikan bahwa darah merupakan fluida yang tak

termampatkan sehingga kekentalan dan massa jenis darah konstan. Selanjutnya

sifat struktural arteri seperti panjang arteri, tebal dinding arteri, dan lain-lain,

diasumsikan konstan.

1. Hukum Kekekalan Massa

Hukum kekekalan massa, seperti yang dikutip pada Sari (2016),

menyatakan bahwa massa tidak dapat diciptakan dan tidak dapat dimusnahkan,

sehingga laju perubahan massa dalam volume kontrol ditambah netto fluks

massa yang keluar dari volume kontrol sama dengan nol. Pernyataan tersebut

dapat ditulis sebagai

𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡+ 𝜌𝑄(𝑙, 𝑡) − 𝜌𝑄(0, 𝑡) = 0, (4.1.4)

dengan definisi volume sebagai berikut

𝑉(𝑡) = ∫ 𝐴(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙

0

. (4.1.5)

Perhatikan bahwa

𝑄(𝑙, 𝑡) − 𝑄(0, 𝑡) = ∫𝜕𝑄

𝜕𝑧 𝑑𝑧

𝑙

0

. (4.1.6)

Jika persamaan (4.1.5) dan (4.1.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1.4),

maka didapatkan


42

𝜌𝑑

𝑑𝑡∫ 𝐴(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙

0

+ 𝜌∫𝜕𝑄

𝜕𝑧 𝑑𝑧

𝑙

0

= 0. (4.1.7)

Karena 𝑙 adalah konstan, maka

𝜌∫ (𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧) 𝑑𝑧

𝑙

0

= 0. (4.1.8)

Karena persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan 𝑙, maka

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧= 0. (4.1.9)

2. Hukum Kekekalan Momentum

Hukum Newton yang kedua, seperti yang dikutip pada Sari (2016),

menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu sistem sama dengan total

gaya yang bekerja. Diasumsikan bahwa tidak ada fluks yang melalui dinding

arteri, sehingga laju perubahan momentum dalam volume kontrol ditambah

netto fluks momentum yang keluar dari volume kontrol sama dengan total gaya

yang bekerja dalam volume kontrol. Pernyataan tersebut dapat ditulis sebagai

berikut

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) 𝑑𝑧𝑙

0

+ 𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡) = 𝐹, (4.1.10)

dengan 𝜌𝑄(𝑧, 𝑡) adalah momentum, dan 𝛼 adalah faktor koreksi fluks

momentum. Kemudian, total gaya 𝐹 didefinisikan sebagai berikut (Sherwin

dkk., 2003)

𝐹 = 𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) + ∫ 𝑝𝜕𝐴

𝜕𝑧 𝑑𝑧

𝑙

0

+∫ 𝑓𝑙

0

𝑑𝑧, (4.1.11)


43

dengan 𝑓 adalah gaya gesek darah dengan permukaan dalam dinding arteri per

satuan panjang. Substitusi persamaan (4.1.11) ke dalam persamaan (4.1.10)

akan menghasilkan persamaan berikut

𝑑


0

+ 𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡)

= 𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) + ∫ 𝑝𝜕𝐴

𝜕𝑧 𝑑𝑧

𝑙

0

+∫ 𝑓𝑙

0

𝑑𝑧.

(4.1.12)

Perhatikan bahwa

𝛼𝜌𝑄(𝑙, 𝑡)𝑢(𝑙, 𝑡) − 𝛼𝜌𝑄(0, 𝑡)𝑢(0, 𝑡) = ∫𝜕(𝛼𝜌𝑄𝑢)

𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑙

0

(4.1.13)

dan

𝑝(0, 𝑡)𝐴(0, 𝑡) − 𝑝(𝑙, 𝑡)𝐴(𝑙, 𝑡) = −∫𝜕(𝑝𝐴)

𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑙

0

. (4.1.14)

Substitusi persamaan (4.1.13) dan (4.1.14) ke dalam persamaan (4.1.12),

didapatkan

𝑑


0

+∫𝜕(𝛼𝜌𝑄𝑢)

𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑙

0

= −∫𝜕(𝑝𝐴)

𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑙

0

+∫ 𝑝𝜕𝐴

𝜕𝑧 𝑑𝑧

𝑙

0

+∫ 𝑓𝑙

0

𝑑𝑧.

(4.1.15)

Karena 𝜌 dan 𝑙 adalah konstan tak nol, persamaan tersebut dapat ditulis

menjadi

∫ (𝜌𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 𝜌

𝜕(𝛼𝑄𝑢)

𝜕𝑧)𝑑𝑧

𝑙

0

= ∫ (−𝜕(𝑝𝐴)

𝜕𝑧+ 𝑝

𝜕𝐴

𝜕𝑧+ 𝑓)𝑑𝑧

𝑙

0

. (4.1.16)

Persamaan tersebut dipenuhi untuk sebarang konstan 𝑙, sehingga


44

𝜌𝜕𝑄

𝜕𝑡+ 𝜌

𝜕(𝛼𝑄𝑢)

𝜕𝑧= −

𝜕(𝑝𝐴)

𝜕𝑧+ 𝑝

𝜕𝐴

𝜕𝑧+ 𝑓. (4.1.17)

Perhatikan bahwa

−𝜕(𝑝𝐴)

𝜕𝑧= −𝑝

𝜕𝐴

𝜕𝑧− 𝐴

𝜕𝑝

𝜕𝑧 , (4.1.18)

sehingga persamaan (4.1.17) dapat ditulis menjadi

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕(𝛼𝑄𝑢)

𝜕𝑧= −

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧+𝑓

𝜌 (4.1.19)

atau

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝛼

𝑄2

𝐴) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧−𝑓

𝜌= 0. (4.1.20)

Berdasarkan hukum kekekalan massa dan momentum di atas, didapatkan

model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia sebagai berikut

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧= 0, (4.1.21)

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑄2

𝐴) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0, (4.1.22)

dengan asumsi tambahan yaitu 𝛼 = 1 dan 𝑓 = 0. Model ini disebut model sistem

(𝐴, 𝑄).

Perhatikan bahwa 𝑄 = 𝐴𝑢. Dengan asumsi bahwa 𝐴 dan 𝑢 merupakan fungsi

halus, ruas kiri persamaan (4.1.22) dapat ditulis menjadi

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑄2

𝐴) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧=𝜕(𝐴𝑢)

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝐴𝑢2) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧

= 𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝐴

𝜕𝑡+ 2𝑢𝐴

𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝑢2

𝜕𝐴

𝜕𝑧+𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧


45

= 𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝐴

𝜕𝑡+ 𝑢𝐴

𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝑢 (𝐴

𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝑢

𝜕𝐴

𝜕𝑧) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧

= 𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢𝐴

𝜕𝑢

𝜕𝑧+ 𝑢

𝜕𝐴

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕(𝐴𝑢)

𝜕𝑧+𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧

= 𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝐴

𝜕

𝜕𝑧(𝑢2

2) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧.

Dengan kata lain, persamaan (4.1.22) dapat ditulis ulang menjadi

𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝐴

𝜕

𝜕𝑧(𝑢2

2) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0 (4.1.23)

sehingga didapatkan model aliran darah satu dimensi pada arteri manusia berikut

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝐴𝑢

𝜕𝑧= 0, (4.1.24)

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑢2

2) +

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0. (4.1.25)

Model ini disebut model sistem (𝐴, 𝑢).

B. Metode Volume Hingga

Mencari solusi secara analitis dari suatu model tidak selalu mudah. Karena itu,

solusi tersebut didekati secara numeris sehingga didapat solusi pendekatan atau

sering disebut solusi numeris. Dalam skripsi ini, metode yang digunakan adalah

metode volume hingga. Metode ini dapat digunakan untuk mencari solusi kontinyu

maupun diskontinyu sehingga cocok digunakan untuk mencari solusi numeris dari

model dalam bentuk persamaan diferensial parsial, dimana model seperti itu dapat

menghasilkan solusi diskontinyu meskipun nilai awalnya kontinyu. Berikut akan

dicari masing-masing solusi dari model aliran darah sistem (𝐴, 𝑄) dan (𝐴, 𝑢)

dengan metode volume hingga dengan definisi fluks Lax-Friedrichs.


46

Perhatikan model aliran darah sistem (𝐴, 𝑄) untuk 𝑧 ∈ (0, 𝑙) dan 𝑡 > 0 berikut

{

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑄2

𝐴) +

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧= 0.

(4.2.1)

Di sini 𝐴, 𝑄, dan 𝑝 berturut-turut adalah luas penampang arteri 𝑆, fluks volume, dan

tekanan darah. Kemudian 𝜌 adalah massa jenis darah, 𝑧 adalah variabel ruang, dan

𝑡 adalah variabel waktu. Model ini terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel

bergantung yaitu 𝐴, 𝑄, dan 𝑝. Untuk mendapatkan dua persamaan dengan dua

variabel bergantung maka didefinisikan suatu relasi yang menghubungkan tekanan

darah dengan luas penampang arteri 𝑆 (lihat Formaggia dkk., 2002),

𝑝 = 𝑝ext + 𝛽(√𝐴 − √𝐴0) (4.2.2)

dengan 𝑝ext adalah tekanan eksternal dan 𝐴0 adalah luas penampang arteri 𝑆 pada

saat 𝑡 = 0. Pada skripsi ini diasumsikan bahwa 𝑝ext bernilai nol dan 𝐴0 adalah

konstan, sehingga bentuk arteri adalah silinder (tabung) pada saat 𝑡 = 0. Kemudian

𝛽 adalah parameter yang berhubungan dengan sifat elastisitas dinding arteri yang

didefinisikan sebagai berikut,

𝛽(𝑧) =4√𝜋ℎ0𝐸(𝑧)

3𝐴0 (4.2.3)

dengan 𝐸(𝑧) adalah modulus Young dan ℎ0 adalah tebal dinding arteri.

Untuk mencari solusi numeris model aliran darah ini, diperhatikan diskritisasi

domain ruang pada Gambar 4.2.1 dengan

𝑧𝑖 = 𝑖∆𝑧,

∆𝑧 = 𝑧𝑖+1/2 − 𝑧𝑖−12= 𝑧𝑖 − 𝑧𝑖−1,


47

dan diskritisasi domain waktu 𝑡𝑛 = 𝑛∆𝑡 untuk sebarang bilangan bulat tak negatif

𝑖 dan 𝑛.

𝑧𝑖−32 𝑧

𝑖−12 𝑧

𝑖+12 𝑧

𝑖+32

𝑧𝑖−1 𝑧𝑖 𝑧𝑖+1

Gambar 4.2.1. Diskritisasi domain ruang

Lalu, perhatikan operasi aljabar berikut

𝜕𝑝

𝜕𝑧=𝜕

𝜕𝑧(𝛽(√𝐴 − √𝐴0))

=𝑑𝛽

𝑑𝑧𝐴12 +

𝛽

2𝐴−

12𝜕𝐴

𝜕𝑧−𝑑𝛽

𝑑𝑧𝐴0

12 . (4.2.4)

Dengan mengalikan masing-masing ruas dengan faktor 𝐴

𝜌 maka didapatkan

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧=𝑑𝛽

𝑑𝑧

𝐴32

𝜌+𝛽

2

𝐴12

𝜌

𝜕𝐴

𝜕𝑧−𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧𝐴0

12. (4.2.5)

Karena 𝛽 merupakan fungsi terhadap 𝑧 dan 𝐴 merupakan variabel yang

bergantung pada 𝑧 dan 𝑡, maka didapatkan persamaan

𝜕

𝜕𝑧(𝛽𝐴

32

3𝜌) +

𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧(2

3√𝐴 − √𝐴0) =

𝑑𝛽

𝑑𝑧

𝐴32

𝜌+𝛽

2

𝐴12

𝜌

𝜕𝐴

𝜕𝑧−𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧𝐴0

12. (4.2.6)

Berdasarkan persamaan (4.2.5) dan (4.2.6) maka didapatkan persamaan

𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧=𝜕

𝜕𝑧(𝛽𝐴

32

3𝜌) +

𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧(2

3√𝐴 − √𝐴0), (4.2.7)

sehingga model aliran darah (4.2.1) dapat ditulis ulang menjadi


48

{

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕𝑄

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑄

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑄2

𝐴+𝛽

3𝜌𝐴32) =

𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧(√𝐴0 −

2

3√𝐴)

(4.2.8)

Model aliran darah di atas dapat ditulis dalam hukum kesetimbangan sebagai

berikut

�̅�𝑡 + 𝑓 ̅(�̅�)𝑧 = �̅�(�̅�) (4.2.9)

dengan kuantitas, fluks, dan suku sumbernya secara berturut-turut adalah

�̅� = [𝐴𝑄], (4.2.10)

𝑓(̅�̅�) = [

𝑄

𝑄2

𝐴+𝛽

3𝜌𝐴32], (4.2.11)

dan

�̅�(�̅�) = [

0𝐴

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧(√𝐴0 −

2

3√𝐴)

]. (4.2.12)

Misalkan �̅�𝑖𝑛, 𝑓(̅�̅�𝑖

𝑛), dan 𝑆�̅�𝑛 berturut-turut adalah nilai pendekatan dari �̅�(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛),

𝑓(̅�̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)), dan �̅�(�̅�(𝑧𝑖, 𝑡

𝑛)). Hukum kesetimbangan (4.2.9) merupakan bentuk

umum dari hukum kekekalan dengan suku sumber tak nol, sehingga solusi

numerisnya didapat secara analog seperti yang telah dijelaskan pada Bab III yaitu

�̅�𝑖𝑛+1 = �̅�𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(�̅�

𝑖+12

𝑛 − �̅�𝑖−12

𝑛 ) + ∆𝑡𝑆�̅�𝑛 (4.2.13)

dengan definisi fluks Lax-Friedrichs

�̅�𝑖+12

𝑛 =𝑓(̅�̅�𝑖+1

𝑛 ) + 𝑓(̅�̅�𝑖𝑛)

2−∆𝑧

2∆𝑡(�̅�𝑖+1

𝑛 − �̅�𝑖𝑛) (4.2.14)

dan


49

�̅�𝑖−12

𝑛 =𝑓(̅�̅�𝑖

𝑛) + 𝑓(̅�̅�𝑖−1𝑛 )

2−∆𝑧

2∆𝑡(�̅�𝑖

𝑛 − �̅�𝑖−1𝑛 ). (4.2.15)

Jadi, berdasarkan persamaan (4.2.13)-(4.2.15), skema numeris model aliran

darah (4.2.1) dapat ditulis secara lebih detil yaitu

𝐴𝑖𝑛+1 = 𝐴𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ) (4.2.16)


𝐹𝑖+12

𝑛 =1

2(𝑄𝑖+1

𝑛 + 𝑄𝑖𝑛) −

∆𝑧

2∆𝑡(𝐴𝑖+1

𝑛 − 𝐴𝑖𝑛), (4.2.17)

𝐹𝑖−12

𝑛 =1

2(𝑄𝑖

𝑛 + 𝑄𝑖−1𝑛 ) −

∆𝑧

2∆𝑡(𝐴𝑖

𝑛 − 𝐴𝑖−1𝑛 ), (4.2.18)

dan

𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(ℱ

𝑖+12

𝑛 − ℱ𝑖−12

𝑛 ) + ∆𝑡 (𝐴𝑖𝑛

𝜌

𝑑𝛽

𝑑𝑧(√𝐴0 −

2

3√𝐴𝑖

𝑛)) (4.2.19)


ℱ𝑖+12

𝑛 =1

2[(𝑄𝑖+1

𝑛 )2

𝐴𝑖+1𝑛 +

𝛽

3𝜌(𝐴𝑖+1

𝑛 )32 +

(𝑄𝑖𝑛)2

𝐴𝑖𝑛 +

𝛽

3𝜌(𝐴𝑖

𝑛)32]

−∆𝑧

2∆𝑡(𝑄𝑖+1

𝑛 − 𝑄𝑖𝑛),

(4.2.20)

ℱ𝑖−12

𝑛 =1

2[(𝑄𝑖

𝑛)2

𝐴𝑖𝑛 +

𝛽

3𝜌(𝐴𝑖

𝑛)32 +

(𝑄𝑖−1𝑛 )2

𝐴𝑖−1𝑛 +

𝛽

3𝜌(𝐴𝑖−1

𝑛 )32]

−∆𝑧

2∆𝑡(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ).

(4.2.21)

Lebih lanjut, perhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) pada

persamaan (4.2.11). Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah


50

𝑯𝟏 =𝜕𝑓(̅�̅�)

𝜕�̅�=

[

𝜕𝑄

𝜕𝐴

𝜕𝑄

𝜕𝑄

𝜕

𝜕𝐴(𝑄2

𝐴+𝛽

3𝜌𝐴32)

𝜕

𝜕𝑄(𝑄2

𝐴+𝛽

3𝜌𝐴32)]

= [

0 1𝛽

2𝜌𝐴12 − (

𝑄

𝐴)2 2𝑄

𝐴

]. (4.2.22)

Nilai eigen dari matriks 𝑯𝟏 dapat dicari melalui persamaan karakteristik

det(𝑯𝟏 − 𝜆𝑰) = 0, sehingga didapatkan

𝜆2 −2𝑄

𝐴𝜆 − [

𝛽

2𝜌𝐴12 − (

𝑄

𝐴)2

] = 0,

𝜆 =𝑄

𝐴± √

𝛽

2𝜌√𝐴.

Karena 𝑄, 𝐴, 𝛽, dan 𝜌 bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real

yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks 𝑯𝟏 dapat didiagonalisasi. Jadi,

model aliran darah sistem (𝐴,𝑄) merupakan sistem persamaan diferensial parsial

hiperbolik.

Selanjutnya, diperhatikan model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) untuk 𝑧 ∈ (0, 𝑙) dan

𝑡 > 0 berikut

{

𝜕𝐴

𝜕𝑡+𝜕(𝐴𝑢)

𝜕𝑧= 0

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑧(𝑢2

2) = −

1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝑧, (4.2.23)

dengan 𝐴, 𝑢, dan 𝑝 berturut-turut adalah variabel luas penampang arteri 𝑆,

kecepatan rata-rata pada 𝑆, dan tekanan darah rata-rata pada 𝑆, serta 𝜌 adalah massa

jenis darah. Relasi antara tekanan darah rata-rata dan luas penampang arteri 𝑆, serta


51

𝛽 didefinisikan dengan cara yang sama seperti pada persamaan (4.2.2) dan (4.2.3).

Model aliran darah (4.2.23) dapat ditulis dalam bentuk hukum kekekalan

�̅�𝑡 + 𝒻 ̅(�̅�)𝑧 = 0̅ (4.2.24)

dengan kuantitas dan fluks secara berturut-turut adalah

�̅� = [𝐴𝑢], (4.2.25)

𝒻(̅�̅�) = [

𝐴𝑢𝑢2

2+𝑝

𝜌]. (4.2.26)

Misalkan �̅�𝑖𝑛 dan 𝒻(̅�̅�𝑖

𝑛) berturut-turut adalah nilai pendekatan untuk �̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛) dan

𝒻(̅�̅�(𝑧𝑖, 𝑡𝑛)). Hukum kekekalan (4.2.24) memiliki solusi yang serupa dengan

hukum kekekalan (3.1.3), sehingga didapatkan solusi numeris sebagai berikut

�̅�𝑖𝑛+1 = �̅�𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(Ϝ̅

𝑖+12

𝑛 − Ϝ̅𝑖−12

𝑛 ) (4.2.27)


Ϝ̅𝑖+12

𝑛 =𝒻(̅�̅�𝑖+1

𝑛 ) + 𝒻(̅�̅�𝑖𝑛)

2−∆𝑧

2∆𝑡(�̅�𝑖+1

𝑛 − �̅�𝑖𝑛) (4.2.28)

dan

Ϝ̅𝑖−12

𝑛 =𝒻(̅�̅�𝑖

𝑛) + 𝒻(̅�̅�𝑖−1𝑛 )

2−∆𝑧

2∆𝑡(�̅�𝑖

𝑛 − �̅�𝑖−1𝑛 ). (4.2.29)

Jadi, berdasarkan persamaan (4.2.27)-(4.2.29), skema numeris untuk model aliran

darah (4.2.23) dapat ditulis secara lebih detil yaitu

𝐴𝑖𝑛+1 = 𝐴𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ) (4.2.30)



52

𝐹𝑖+12

𝑛 =1

2(𝐴𝑖+1

𝑛 𝑢𝑖+1𝑛 + 𝐴𝑖

𝑛𝑢𝑖𝑛) −

∆𝑧

2∆𝑡(𝐴𝑖+1

𝑛 − 𝐴𝑖𝑛), (4.2.31)

𝐹𝑖−12

𝑛 =1

2(𝐴𝑖

𝑛𝑢𝑖𝑛 + 𝐴𝑖−1

𝑛 𝑢𝑖−1𝑛 ) −

∆𝑧

2∆𝑡(𝐴𝑖

𝑛 − 𝐴𝑖−1𝑛 ), (4.2.32)

dan

𝑢𝑖𝑛+1 = 𝑢𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑧(ℱ

𝑖+12

𝑛 − ℱ𝑖−12

𝑛 ) (4.2.33)


ℱ𝑖+12

𝑛 =1

2[(𝑢𝑖+1

𝑛 )2

2+𝑝𝑖+1𝑛

𝜌+(𝑢𝑖

𝑛)2

2+𝑝𝑖𝑛

𝜌] −

∆𝑧

2∆𝑡(𝑢𝑖+1

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛), (4.2.34)

ℱ𝑖−12

𝑛 =1

2[(𝑢𝑖

𝑛)2

2+𝑝𝑖𝑛

𝜌+(𝑢𝑖−1

𝑛 )2

2+𝑝𝑖−1𝑛

𝜌] −

∆𝑧

2∆𝑡(𝑢𝑖

𝑛 − 𝑢𝑖−1𝑛 ). (4.2.35)

Lebih lanjut, diperhatikan fungsi fluks model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) pada

persamaan (4.2.26). Matriks Jacobian fungsi fluks tersebut adalah

𝑯𝟐 =𝜕𝒻(̅�̅�)

𝜕�̅�=

[

𝜕

𝜕𝐴(𝐴𝑢)

𝜕

𝜕𝑢(𝐴𝑢)

𝜕

𝜕𝐴(𝑢2

2+𝑝

𝜌)

𝜕

𝜕𝑢(𝑢2

2+𝑝

𝜌)]

= [

𝑢 𝐴1

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝐴𝑢].

(4.2.36)

Nilai eigen dari matriks 𝑯𝟐 dapat dicari melalui persamaan karakteristik

det(𝑯𝟐 − 𝜆𝑰) = 0, sehingga didapatkan

𝜆2 − 2𝑢𝜆 + (𝑢2 −𝐴

𝜌

𝜕𝑝

𝜕𝐴) = 0,

𝜆 = 𝑢 ± √𝛽

2𝜌√𝐴.


53

Karena 𝑢, 𝐴, 𝛽, dan 𝜌 bernilai real positif, maka didapatkan dua nilai eigen real

yang berbeda. Menurut Teorema 2.5.2, matriks 𝑯𝟐 dapat didiagonalisasi. Jadi,

model aliran darah sistem (𝐴,𝑢) merupakan sistem persamaan diferensial parsial

hiperbolik.

C. Hasil Simulasi dan Analisis

Kedua skema numeris yang didapat dari metode volume hingga akan

disimulasikan dengan program MATLAB. Nilai koefisien-koefisien dan nilai awal

yang digunakan dalam simulasi kedua solusi tersebut adalah sama. Dalam simulasi

ini, nilai 𝑙1 = 15 cm dan 𝑡 ∈ [0,0.035]. Modulus Young 𝐸 diasumsikan konstan,

sehingga mengakibatkan parameter 𝛽 juga konstan. Hal ini berarti bahwa nilai 𝐸

dan 𝛽 tidak berubah (atau selalu sama) di setiap 𝑧 ∈ (0, 𝑙1), sehingga nilai dari 𝑑𝛽

𝑑𝑧

sama dengan nol. Selanjutnya, diambil nilai ∆𝑧 = 0.005 dan ∆𝑡 = 0.002∆𝑧.

Berikut ini adalah garis besar simulasi numeris yang dilakukan.

Gambar 4.3.1. Bentuk arteri pada saat 𝑡 = 0

Simulasi ini menggunakan tiga titik pengamatan yaitu titik 𝑃, 𝑀, dan 𝐷 untuk

mengamati variasi tekanan, di mana titik 𝑃, 𝑀, dan 𝐷 merupakan titik proksimal,

medium, dan distal. Lokasi titik-titik ini ditunjukkan pada Gambar 4.3.1. Titik 𝑃

merupakan titik terdekat dari jantung, sedangkan titik 𝐷 merupakan titik terjauh


54

dari jantung. Tabel 4.3.1 menunjukan nilai dari koefisien-koefisien yang digunakan

dalam simulasi numeris ini (Formaggia dkk., 2002)

Tabel 4.3.1. Nilai dari koefisien-koefisien

Koefisien Nilai

Masa jenis darah, 𝜌 1 g/ cm3

Modulus Young, 𝐸0 3x106 dyne/ cm2

Tebal dinding arteri, ℎ 0.05 cm

Luas penampang melintang awal, 𝐴0 𝜋0.52 cm2

Kemudian, diberikan nilai awal dan nilai batas untuk masing-masing variabel

𝐴, 𝑄, 𝑢, dan 𝑝. Nilai awalnya adalah 𝐴(𝑧, 0) = 𝐴0, 𝑄(𝑧, 0) = 0, 𝑢(𝑧, 0) = 0, dan

𝑝(𝑧, 0) = 0 untuk setiap 𝑧 ∈

pemodelan aliran darah satu dimensi pada arteri...

Documents