5). Use the definition of the limit a sequence to establish the following limits.

a). Lim ( n

n2+1 )=0Diberikan ε>0 , maka

1ε>0 , sedemikian sehingga 1

K>¿ ε

Bukti :

| n

n2+1|<| nn❑+1|<ε

Pilih nn+1

<ε

n < εn + ε

n - ε=εn

n ≥ n−εε

∴ ∀ ε>0 ,Pilih N> n−εε

∋| n

n2+1|<ε

b) Lim ( 2nn+1 )=2Diberikan ε>0 sebarang

| 2nn+1−2|<ε

| 2nn+1−2|=|(2n )−(2n+2)n+1 |=| −2

n+1|= 2n+1

<2n

Jika n ≥ N ,maka2n<ε ; 2

N<ε , sehingga :

| 2n+1|< 2n<ε

∴ n>2ε,Pilih N> 2

ε

C. Lim ( 3n+12n+5 )=32

Diberikan ε>0

|3n+12n+5−32|<ε

|3n+12n+5−32|=

(3n+1)−(3n+152

)

2n+5=

134n+10

= 13

4n+10< 134n

<ε

n > 13ε, PilihN >13

ε

∴∀ ε>0 ,Pilih N> 13ε∋|3n+12n+5

−32|<ε

∀ n ≥ N

11. Show that Lim ( 1n− 1n+1 )=0

Answer

1n− 1n+1

=0

1n(n+1)

=0

Di berikan ε>0 sebarang

1n(n+1)

< 1n<ε

Pilih K ; 1K

<ε, Pada sekitaran ( a ), n ≥ K , 1n<ε

| 1n(n+1)

−0|= 1n(n+1)

< 1n<ε

Karena itu , kita bisa tunjukan bahwa limit dari barisan adalah 0