pendugaan parameter distribusi pareto ...digilib.unila.ac.id/57064/5/skripsi tanpa bab...

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN

METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES DENGAN

PRIOR KONJUGAT

(Skripsi)

Oleh

LUT WILIANTO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION OF PARETO DISTRIBUTION USING

MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD AND BAYESIAN METHOD WITH

CONJUGATE PRIOR

by

Lut Wilianto

Parameter estimation is the basis of statistics and widely used in terms of

researches. Parameter estimation is used for explaining how the characteristics of

population data using the statistic of sample. In this research, the sample

distribution used is Pareto. The method used for estimating Pareto distribution

parameter is Maximum Likelihood and Bayesian methods. Maximum Likelihood

estimation is done by maximizing the likelihood function of the sample

distribution. While, Bayesian estimation is a modification from the Bayesian

theorem in the study of probability theory. It combines the sample distribution and

prior distribution so that the posterior distribution is obtained. Prior distribution

used is the conjugate prior forming its likelihood function, that is Gamma

distribution.

The aim of this research is for knowing the maximum likelihood and Bayesian

estimators of Pareto distribution. Then, this research examines the properties of

that estimators analytically and also empirically through data simulation study.

Using the Maximum Likelihood method, the estimator point for the parameter θ is

obtained, i.e.

∑

. Then, using the Bayesian method obtained

∑

. Estimator and are biased estimators, but asymptotically

unbiased. In this research also showed that both estimators are consistent

estimators.

Key Words : Maximum Likelihood Estimation, Bayesian Estimation, Conjugate

Prior, Pareto, Gamma, Properties of Estimators.

ABSTRAK

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN

METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN METODE BAYES DENGAN

PRIOR KONJUGAT

oleh

Lut Wilianto

Pendugaan parameter merupakan dasar dari ilmu statistika yang sering digunakan

khususnya dalam hal penelitian. Pendugaan parameter bertujuan untuk

menjelaskan bagaimana karakteristik data pada populasi melalui statistik sampel.

Pada penelitian ini, distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi Pareto.

Metode pendugaan yang digunakan adalah metode klasik Maximum Likelihood

dan metode Bayes. Metode Maximum Likelihood dilakukan dengan

memaksimumkan fungsi likelihood dari distribusi sampel. Sedangkan, metode

Bayes menggunakan konsep teorema peluang Bayes, yaitu menggabungkan

distribusi sampel dan distribusi awal (prior) sehingga didapat distribusi posterior.

Distribusi prior yang digunakan adalah prior konjugat dilihat dari distribusi

pembentuk fungsi likelihoodnya yaitu distribusi Gamma.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui penduga dari parameter

distribusi Pareto dengan menggunakan kedua metode pendugaan tersebut.

Kemudian, dalam penelitian ini ingin juga bagaimana sifat-sifat penduga dari

kedua metode tersebut baik secara analitik maupun secara empirik dalam studi

simulasi data.

Menggunakan metode Maximum Likelihood diperoleh penduga titik bagi

parameter , yaitu

∑

. Kemudian, dengan metode Bayes

diperoleh

∑

. Penduga dan merupakan penduga yang bias,

namun secara asimtotik tak bias. Pada penelitian ini juga ditunjukkan bahwa

kedua penduga tersebut merupakan penduga yang konsisten.

Kata Kunci: Metode Maximum Likelihood, Metode Bayes, Prior Konjugat,

Pareto, Gamma, Sifat-Sifat Penduga.

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI PARETO

MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD DAN

METODE BAYES DENGAN PRIOR KONJUGAT

Oleh

LUT WILIANTO

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2019

Judul Skripsi : PENDUGAAN PARAMETER

DISTRIBUSI PARETO MENGGUNAKAN

METODE MAXIMUM LIKELIHOOD

DAN METODE BAYES DENGAN PRIOR

KONJUGAT

Nama Mahasiswa : Lut Wilianto

Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031017

Program Studi : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dr. Khoirin Nisa, M.Si.

NIP. 197407262000032001 Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D.

NIP. 195701011984041001

2. Ketua Jurusan Matematika

Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D

NIP. 19631108 198902 2 001

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Khoirin Nisa, M.Si. .....................

Sekretaris : Prof. Drs. Mustofa Usman, MA., Ph.D. .....................

Penguji

Bukan Pembimbing : Drs. Rudi Ruswandi, M.Si. .....................

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Drs. Suratman, M.Sc.

NIP. 196406041990031002

Tanggal Lulus Ujian Skripsi : 14 Mei 2019

PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA

Yang bertanda tangan di bawah ini :

Nama : Lut Wilianto

Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031017

Jurusan : Matematika

Judul Skripsi : Pendugaan Parameter Distribusi Pareto

Menggunakan Metode Maximum Likelihood

dan Metode Bayes dengan Prior Konjugat

Dengan ini menyatakan bahwa penelitian ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri.

Dan Apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan

atau dibuat oleh orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan

ketentuan akademik yang berlaku.

Bandar lampung, 14 Mei 2019

Yang Menyatakan,

Lut Wilianto

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama lengkap Lut Wilianto, dilahirkan pada tanggal 21 November

1997 di Jakarta. Penulis merupakan putra sulung dari Bapak Sumbodo dan Ibu

Rustini, dan kakak dari Elza Rafael.

Penulis menempuh pendidikan TK di TK Marsudirini Tanjung Priok, Jakarta

Utara pada tahun 2002 sampai tahun 2003. Kemudian melanjutkan ke sekolah

dasar di SD Strada Tunas Keluarga Mulia II Cilincing Jakarta Utara pada tahun

2003 sampai tahun 2007. Kemudian pindah sekolah ke SD Strada Tunas Harapan

Tigaraksa, Tangerang pada tahun 2007 dilanjutkan sampai tahun 2009. Kemudian

melanjutkan ke sekolah menengah pertama di SMP Strada Tunas Harapan

Tigaraksa, Tangerang pada tahun 2009 sampai 2012. Dan belajar pada jenjang

Sekolah Menengah Akhir di SMA Negeri 3 Kabupaten Tangerang pada tahun

2012 sampai 2015.

Pada tahun 2015, melalui jalur SNMPTN, penulis diterima dan terdaftar sebagai

mahasiswa S1 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

Pada tahun 2016 - 2017 penulis ikut aktif dalam organisasi berbasis pelayanan,

yaitu Persekutuan Oikumene Mahasiswa Fakultas MIPA (POM MIPA) sebagai

anggota Seksi Persekutuan Umum. Pada tahun 2017-2018 penulis ditunjuk

sebagai koordinator umum di POM MIPA. Dan di tahun-tahun terakhir menuntut

ilmu di jurusan ini, penulis memiliki tanggung jawab sebagai Tim Pendamping

Pelayanan Mahasiswa (TPPM) di POM MIPA.

Di awal tahun 2017 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Pelayanan

Pajak (KPP) Pratama Teluk Betung. Pada pertengahan tahun 2018, sebagai bentuk

aplikasi bidang ilmu kepada masyarakat, penulis telah melaksanakan Kuliah Kerja

Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Teluk Dalem, Kecamatan Mataram Baru,

Lampung Timur.

MOTTO

“Kamu adalah garam dunia dan terang dunia.”

(Matius 5 : 13-16)

“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah dalam kesesakan, dan

bertekunlah dalam doa!”

(Roma 12 : 12)

“Takut Akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang

bodoh menghina hikmat dan didikan”

(Amsal 1 : 7)

“Cobalah untuk tidak menjadi orang sukses, melainkan menjadi orang

yang berharga.”

(Albert Einstein)

Sebagai wujud rasa kasihku kupersembahkan

karya ini untuk:

Tuhan Allah Tritunggal,

Bapak dan Ibu,

Adikku,

Serta Teman Dekatku Fenti

Yang telah menyertai setiap langkahku

dengan penuh kasih.

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Allah Tritunggal yang Maha Kasih,

karena kasih dan anugerah-NYA yang menyertai penulis dari hari ke hari sehingga

penulis dapat menyelesaikan skripsi ini, dengan judul “Pendugaan Parameter

Distribusi Pareto Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Bayes

dengan Prior Konjugat”.

Dalam penulisan skripsi ini penulis banyak mendapatkan bantuan, bimbingan dan

saran. Maka itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dr. Khoirin Nisa, M.Si., selaku pembimbing I yang telah memberikan

wakti dan pemikiran dalam memberikan bimbingan, saran serta dukungan

kepada penulis sehingga bisa menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku pembimbing II yang

selalu memberikan dukungan dan arahan kepada penulis.

3. Bapak Drs. Rudi Ruswandi, M.Si., selaku penguji yang telah memberikan

saran dan kritik serta mengarahkan penulis sehingga terselesainya skripsi ini.

4. Bapak Warsono, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah

membimbing penulis.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

7. Seluruh Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

8. Bapak dan Ibu tercinta atas kasihnya, dukungannya baik secara moral dan

materi, serta atas motivasi dan doanya.

9. Adikku Elza Rafael yang selalu menanyakan kabar serta memotivasi penulis.

10. Fenti Ariyani untuk kasih, doa, semangat, kritik, dan nasihat kepada penulis.

11. Temanku Ario Pandu, teman seperjuangan yang sangat baik, selalu

memotivasi dan banyak memberikan bantuan kepada penulis.

12. Teman baik penulis Dony C. V. dan Philip Topan yang selalu mendukung dan

memotivasi, serta telah banyak direpotkan oleh penulis.

13. Teman-teman satu bimbingan skripsi.

14. Teman-teman baik penulis, Nathanael, Amar, Edwin, Atuy, Randy, Reni,

Sandria, Oline, Mira, Almira, Luvita, Rima.

15. Teman-teman Jurusan Matematika 2015 yang berjuang bersama-sama dari

awal masuk kuliah.

16. Keluarga besar POM MIPA untuk setiap kebersamaan dan persekutuan yang

terjalin.

17. Teman-teman, kakak dan abang di persekutuan PERKANTAS Lampung yang

banyak memberikan dukungan, nasihat dan banyak kemudahan kepada

penulis.

18. Teman-teman remaja GKBI siding Bandar Lampung yang memberikan banyak

sukacita dan pengalaman selama penulis berada di Lampung.

19. Kepada seluruh teman-teman dan pihak yang tidak dapat penulis sebutkan

namanya satu-persatu.

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Penulis juga menyadari

bahwa skripsi ini masih belum sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan

kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini.

Bandar Lampung, 14 Mei 2019

Penulis,

Lut Wilianto

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ......................................................................................... xvii

DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ............................................................. 1

1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................... 4

1.3 Manfaat Penelitian ............................................................................. 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Variabel Acak .................................................................................... 5

2.1.1 Variabel Acak Diskrit ................................................................. 6

2.1.2 Variabel Acak Kontinu ............................................................... 6

2.2 Fungsi Distribusi ............................................................................... 7

2.2.1 Fungsi Distribusi Variabel Acak Diskrit ..................................... 7

2.2.2 Fungsi Distribusi Variabel Acak Kontinu ................................... 7

2.3 Nilai Harapan ..................................................................................... 8

2.4 Varians ............................................................................................... 9

2.4.1 Varians dari Distribusi Peluang Diksrit ...................................... 10

2.4.2 Varians dari Distribusi Peluang Kontinu .................................... 10

2.5 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 12

2.6 Fungsi Densitas Peluang Bersama ..................................................... 13

2.7 Fungsi Densitas Peluang Marginal .................................................... 13

2.8 Distribusi Peluang Bersyarat ............................................................. 14

2.9 Bebas Stokastik Identik ..................................................................... 14

2.10 Transformasi Variabel Acak ............................................................... 15

2.11 Transformasi Peubah Acak dengan Fungsi Pembangkit Momen ....... 18

2.12 Fungsi Gamma .................................................................................... 19

2.13 Distribusi Gamma ............................................................................... 23

2.14 Distribusi Invers Gamma .................................................................... 27

2.15 Distribusi Pareto ................................................................................. 28

2.16 Estimasi Parameter ............................................................................. 33

2.17 Sifat-Sifat Estimator (Penduga) ......................................................... 34

2.18 Fungsi Likelihood ............................................................................... 35

2.19 Metode Bayes ..................................................................................... 35

2.19.1 Teorema Bayes ............................................................................ 36

2.19.2 Distribusi Prior ............................................................................ 37

2.19.3 Distribusi Posterior ...................................................................... 38

2.20 Maksimum Likelihood Estimator (MLE) ........................................... 39

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 41

3.2 Metode Penelitian .............................................................................. 41

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Metode Maximum Likelihood dalam Menduga Parameter distribusi

Pareto .................................................................................................. 44

4.2 Metode Bayes dalam Menduga Parameter pada Distribusi Pareto . 48

4.3 Sifat-Sifat Penduga Maximum Likelihood .......................................... 52

4.3.1 Nilai Harapan Penduga Maximum Likelihood .......................... 52

4.3.2 Varians Penduga Maximum Likelihood .................................... 57

4.3.3 Konsistensi Penduga Maximum Likelihood .............................. 61

4.4 Sifat-Sifat Penduga Bayes .................................................................. 62

4.4.1 Nilai Harapan Penduga Bayes .................................................. 62

4.4.2 Varians Penduga Bayes............................................................. 65

4.4.3 Konsistensi Penduga Bayes ...................................................... 66

4.5 Studi Simulasi ..................................................................................... 66

4.5.1 Grafik Sebaran Pareto ............................................................... 67

4.5.2 Simulasi Data Berdistribusi Pareto dengan dan . 69






4.6 Analisis Hasil Studi Simulasi ............................................................. 79

4.6.1 Bias Penduga Maximum Likelihood dan Bayes ........................ 79

4.6.2 Varians Penduga Maximum Likelihood dan Bayes ................... 91

4.6.3 Mean Square Error (MSE) Penduga Maximum Likelihood dan

Bayes ........................................................................................ 103

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Karakteristik Penduga dan pada Distribusi Pareto dengan ,

................................................................................................ 69


................................................................................................ 71


................................................................................................ 73


............................................................................................... 74


............................................................................................... 76


............................................................................................... 77

7. Bias Penduga dan ketika , ............................... 79

8. Bias Penduga dan ketika , ............................... 80

9. Varians dan ketika , ........................................ 91

10. Varians dan ketika , ........................................ 92

11. MSE dan ketika , ........................................... 103

12. MSE dan ketika , ........................................... 103

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Fungsi Naik ....................................................................................... 16

2. Fungsi Turun ..................................................................................... 17

3. Teorema Bayes .................................................................................. 36

4. Grafik Fungsi Densitas Peluang Distribusi Pareto dengan Variasi Nilai

dan ................................................................................................ 68

5. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk .. 81

6. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk ... 82

7. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk . 83



10. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk 86

11. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk

dan 3 ................................................................................................ 86


dan 3 ................................................................................................ 87


dan 3 ................................................................................................ 88


dan 3 ................................................................................................. 89

15. Bias Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 ... 90



18. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk

dan 3 ......................................................................................................... 93


dan 3 ......................................................................................................... 94


dan 3 ......................................................................................................... 95


dan 3 ......................................................................................................... 96


dan 3 ......................................................................................................... 97


dan 3 ......................................................................................................... 98


dan 3 ......................................................................................................... 99


dan 3 ......................................................................................................... 99


dan 3 ......................................................................................................... 100


dan 3 ......................................................................................................... 101

28. Varians Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika

dan 3 ................................................................................................ 102


dan 3 ................................................................................................ 102


dan 3 ................................................................................................ 102

31. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk dan 3 104

32. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk dan 3 105

33. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) untuk

dan 3 ......................................................................................................... 106


dan 3 ......................................................................................................... 107


dan 3 ......................................................................................................... 108


dan 3 ......................................................................................................... 109


dan 3 ......................................................................................................... 110


dan 3 ......................................................................................................... 111


dan 3 ......................................................................................................... 111


dan 3 ......................................................................................................... 112

41. MSE Penduga ML ( ) dan Bayes ( ) ketika dan 3 113



1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Statistika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari prosedur-prosedur

yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis dan interpretasi data.

Statistika juga merupakan cabang ilmu yang memiliki peran penting dalam

berbagai bidang, khususnya di bidang penilitian. Statistika inferensia adalah salah

satu cabang statistika yang mempelajari semua metode yang berhubungan dengan

analisis sebagian data untuk kemudian melakukan peramalan atau penarikan

kesimpulan mengenai keseluruhan data induknya.

Pada suatu penelitian terkadang diamati karakteristik dari data induk yang

merupakan himpunan keseluruhan data yang menjadi perhatian kita atau

dinamakan populasi. Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk

mengetahui karakteristik dari populasi, misalnya rataan, varian, median, atau

proporsi. Pada inferensi statistik ingin diperoleh kesimpulan mengenai populasi,

meskipun tidak praktis untuk mengamati keseluruhan individu yang menyusun

populasi atau tidak mungkin jika populasinya tak hingga. Dengan berbagai

keterbatasan dan kendala, tidak dimungkinkan mengamati keseluruhan dari

elemen populasi, maka dapat dilakukan langkah alternatif yaitu pendugaan

2

populasi dengan menggunakan sampel yang diambil secara acak dari sebuah

populasi.

Pada pengambilan sampel secara acak terdapat peluang-peluang untuk

terambilnya sampel-sampel tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa populasi

tersebar membentuk suatu distribusi peluang tertentu. Dalam teori peluang,

distribusi Pareto ( ) adalah salah satu dari distribusi peluang kontinu

dengan parameter bentuk dan parameter skala dimana dan .

Distribusi Pareto berasal dari nama seorang professor ekonom yaitu Vilfaredo

Pareto. Umumnya distribusi Pareto digunakan dalam bidang sosial, ekonomi,

bisnis, asuransi, politik, dan mempelajari tingkat ozon di atmosfer.

Untuk mengetahui karakteristik suatu distribusi perlu dilakukan pendugaan

parameter pada distribusi tersebut dengan menggunakan metode pendugaan.

Pendugaan parameter merupakan proses yang menggunakan sampel statistik

untuk menduga parameter populasi yang tidak diketahui. Estimasi titik dapat

dilakukan dengan dua metode yaitu metode klasik dan metode Bayes. Metode

klasik sepenuhnya mengandalkan proses inferensi pada data sampel yang diambil

dari populasi, sedangkan metode Bayes disamping memanfaatkan data sampel

yang diperoleh dari populasi juga memperhitungkan suatu distribusi awal yang

disebut distribusi prior (Walpole & Myers, 1995). Salah satu teknik yang

digunakan dalam metode klasik adalah metode maksimum likelihood. Metode

klasik memandang parameter sebagai besaran tetap yang tidak diketahui

harganya, dan inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel. Metode

Bayes memandang parameter sebagai variabel yang menggambarkan

3

pengetahuan awal tentang parameter sebelum pengamatan dilakukan dan

dinyatakan dalam suatu distribusi yang disebut dengan distribusi prior (Bolstad,

2007). Setelah pengamatan dilakukan, informasi dalam distribusi prior

dikombinasikan dengan informasi dengan data sampel melalui teorema Bayes,

dan hasilnya dinyatakan dalam bentuk distribusi yang disebut distribusi posterior

yang selanjutnya menjadi dasar untuk inferensi di dalam metode Bayes (Berger,

1990).

Distribusi prior pada dasarnya bisa diperoleh berdasarkan keyakinan subjektif

dari peneliti itu sendiri mengenai nilai yang mungkin untuk parameter yang

diestimasi, sehingga perlu diperhatikan bagaimana cara menentukan prior. Jika

distribusi sampel berasal dari keluarga Eksponensial, maka salah satu caranya

adalah dengan menggunakan prior konjugat (Bolstad, 2007), dimana distribusi

prior konjugat (conjugate) mengacu pada acuan analisis model terutama dalam

pembentukan fungsi likelihoodnya, sehingga dalam penentuan prior konjugat

selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang mempunyai

bentuk konjugat dengan fungsi densitas peluang pembangun likelihoodnya (Box

& Tiao, 1973). Kemudian digabungkan dengan informasi sampel melalui

teorema Bayes sehingga dihasilkan distribusi posterior. Setelah distribusi

posterior terbentuk, maka dapat diperoleh estimasi Bayes untuk parameter yang

diestimasi.

Dengan demikian, melalui penelitian ini akan dikaji bagaimana untuk menduga

nilai parameter dari suatu populasi yang berdistribusi Pareto dengan metode

pendugaan Bayes menggunakan prior konjugat.

4

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :

1. Menentukan estimasi titik atau menduga parameter dari distribusi Pareto

dengan metode Maximum Likelihood.

2. Menentukan estimasi titik atau menduga parameter dari distribusi Pareto

dengan metode Bayes menggunakan distribusi Gamma sebagai prior

konjugatnya.

3. Mengkaji sifat-sifat penduga Maximum Likelihood dan penduga Bayes pada

pendugaan parameter distribusi Pareto.

1.3 Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat dijadikan sarana pembelajaran untuk

meningkatkan wawasan dan dapat memberikan sumbangan pemikiran mengenai

pendugaan parameter distribusi Pareto.

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Variabel Acak

Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang

ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel yang memetakan setiap elemen

c C dengan satu dan hanya satu bilangan real X(c) = x, dan kumpulan dari

semua hasil percobaan disebut ruang sampel (Hogg & Craig, 1986).

Ruang sampel didefinisikan sebagai himpunan semua semua kemungkinan hasil

suatu percobaan dandilambangkan dengan huruf S (Walpole, 1995).

Distribusi peluang terdiri dari distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang

kontinu yang masing-masing distribusi peluangnya ditentukan oleh variabel acak

diskrit dan variabel acak kontinu.

Variabel acak diskrit ialah variabel acak yang hanya mengambil bilangan bulat

(bukan pecahan), sedangkan variabel acak kontinu adalah variabel acak yang

dapat mengambil nilai pecahan.

6

2.1.1 Variabel Acak Diskrit

Menurut Walpole & Myers (1995), bila suatu ruang sampel mengandung jumlah

titik sampel yang berhingga banyaknya atau suatu deretan anggota yang

banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut

ruang sampel diskrit, dan variabel acak yang didefinisikan pada ruang sampel

tersebut adalah variabel acak diskrit, Fungsi ( ) adalah suatu fungsi peluang

atau distribusi peluang suatu variabel acak diskrit X, bila untuk setiap hasil x yang

mungkin,

( )

∑ ( )

( ) ( )

2.1.2 Variabel Acak Kontinu

Menurut Walpole & Myers (1995), bila ruang sampel mengandung titik sampel

yang tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan banyak titik pada

sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu dan variabel

acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut adalah variabel acak kontinu.

Fungsi ( ) adalah fungsi padat peluang variabel acak kontinu X’ yang

didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real R, bila:

1. ( ) , untuk setiap x

2. ∫ ( )

3. P(a < X < b) ∫ ( )

dx

7

2.2 Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi atau distribusi peluang adalah sebaran kemungkinan terjadinya

variabel acak tertentu. Variabel acak adalah peristiwa yang diharapkan terjadi,

yang biasanya dilambangkan dengan X. Variabel acak disini dapat juga

didefinisikan sebagai suatu bilangan yang ditentukan oleh peristiwa yang

dihasilkan dari eksperimen.

2.2.1 Fungsi Distribusi Variabel Acak Diskrit

Jika X adalah variabel acak diskrit maka fungsi

( ) ( ) ∑ ( )

dimana ( ) adalah nilai distribusi peluang X di t disebut fungsi distribusi atau

kumulatif dari X (Miller, et al., 1999).

2.2.2 Fungsi Distribusi Variabel Acak Kontinu

Jika X adalah variabel acak kontinu dan fungsi densitas pada t adalah f(t) maka

fungsi :

( ) ( ) ∫ ( )

Disebut fungsi distribusi atau distribusi kumulatif dari X (Miller, et al., 1999).

8

2.3 Nilai Harapan

Menurut Walpole & Myers (1995), misalkan X suatu variabel acak dengan

distribusi peluang f(x), maka Nilai ekspektasi X ialah

( ) ∑ ( ) bila X diskrit (2.1)

( ) ∫ ( )

bila X kontinu (2.2)

Teorema 2.3.1

Misalkan X adalah suatu variabel acak dengan a dan b merupakan suatu tetapan,

maka,

( ) ( )

Bukti :

Menurut definisi nilai ekspektasi

( ) ∫( ) ( )

∫( ) ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ∫( ) ( )

Karena ∫ ( )

( ) dan ∫ ( )

= 1, maka diperoleh ( )

( ) .

9

2.4 Varians

Menurut Walpole & Myers (1995), dalam teori probabilitas dan statistika, varians

(dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu variabel acak (atau distribusi

probabilitas) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar.

Varians nol mengindikasikan bahwa semua nilai sama. Varians selalu bernilai

non-negatif: varians yang rendah mengindikasikan bahwa titik data condong

sangat dekat dengan nilai rerata (nilai ekspektasi) dan antara satu sama lainnya,

sementara varians yang tinggi mengindikasikan bahwa titik data sangat tersebar

disekitar rerata dan dari satu sama lainnya. Pengukuran yang sama yaitu akar

kuadrat dari varians, disebut juga simpangan baku. Simpangan baku memiliki

dimensi dan data yang sama, oleh karena itu bisa dibandingkan dengan deviasi

dari rerata.

Varians adalah salah satu pendeskripsi dari sebuah distribusi probabilitas. Pada

khususnya, varians adalah salah satu momen dari sebuah distribusi. Dalam

konteks tersebut, ia menjadi bagian dari pendekatan sistematis sebagai pembeda

antara distribusi probabilitas. Walau pendekatan lain telah dikembangkan, yang

berbasis momen lebih menguntungkan dalam kemudahan secara matematis dan

penghitungan.

Varians adalah salah satu parameter yang menjelaskan, antara lain, distribusi

probabilitas sebenarnya dari suatu populasi bilangan yang diobservasi, atau

distribusi probabilitas teoretis dari sebuah populasi yang tidak secara penuh

diobservasi di mana sebuah bilangan sampel diambil. Pada kasus terakhir, sebuah

sampel data dari distribusi dapat digunakan untuk membentuk sebuah estimasi

10

varians dari distribusi yang mendasarinya; pada kasus sederhana estimasi ini bisa

menjadi varians sampel.

2.4.1 Varians dari Distribusi Peluang Diskrit

Jika X adalah suatu variabel random diskrit dengan distribusi peluang f(x) maka

varians dari X yang dinotasikan dengan 2 atau Var(X), adalah

( ) ( ) ( ) ∑( ) ( )

∑( ) ( )

∑ ( )

∑ ( ) ∑ ( )

∑ ( )

∑ ( ) ∑ ( )

∑ ( )

∑ ( )

Standar deviasi X adalah √ (Montgomery & Runger, 2003).

2.4.2. Varians dari Distribusi Peluang Kontinu

Jika X adalah suatu variable random kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x),

maka varians dari X yang dinotasikan dengan adalah

( )

11

∫( ) ( )

[ ∫( ∫

∫

] ( )

∫

( ) ∫

( ) ∫ ( )

∫

( )

∫

( ) ( )

Standar deviasi X adalah √ (Montgomery & Runger, 2003).

Teorema 2.4.1

Menurut Spiegel, et al. (2004), jika X adalah suatu variable random dengan fungsi

densitas peluang f(x), maka varians dari X yang dinotasikan dengan adalah

( ) ( ) ( ) [ ( )]

Dimana ( )

Bukti:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) [ ( )]

12

2.5 Fungsi Pembangkit Momen

Menurut Hogg, et al. (2012), fungsi pembangkit momen adalah suatu fungsi yang

unik yang terdapat dalam suatu distribusi. Berdasarkan fungsi pembangkit momen

ini dapat dicari juga fungsi lainnya, yaitu momen terhadap origin dari suatu

variabel acak X. fungsi pembangkit momen biasa disimbolkan dengan ( ) atau

( ) dengan definisinya sebagai berikut :

Definisi 2.5.1

Apabila terdapat suatu variabel acak X untuk sejumlah bilangan maka

untuk suatu , ekspektasi dari ( ) ada, sehingga fungsi pembangkit

momennya adalah sebagai berikut :

Jika X merupakan variabel acak kontinu

( ) ∫ ( )

( )

atau, jika X merupakan variabel diskrit

( ) ∑ ( )

Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi dan

dilambangkan dengan ( ), yaitu

( ) ( )

13

2.6 Fungsi Densitas Peluang Bersama

Definisi 2.6.1

Fungsi densitas peluang bersama dari k-dimensi variable random diskrit

X = (X1, X2, …., Xk) didefinisikan

f(x1, x2, …, xk) = P[X1 = x1, X2 = x2, …, Xk = xk] (2.6)

untuk semua nilai x = (x1, x2, …, xk) dari X (Bain & Engelhardt, 1992).

Definisi 2.6.2

Sebuah k- dimensi nilai vector variable random X = (X1, X2, …., Xk) kontinu

dengan fungsi densitas bersama f(x1, x2, …, xk), maka fungsi densitas kumulatifnya

dapat ditulis

( ) ∫

∫ ( )

( )

untuk semua ( ) (Bain & Engelhart, 1992).

2.7 Fungsi Densitas Peluang Marginal

Menurut Bain & Engelharft (1992), jika pasangan (X1, X2) adalah variable random

diskrit yang mempunyai fungsi densitas peluang bersama f(x1, x2), maka fungsi

densitas peluang marginal untuk X1 dan X2 adalah

( ) ∑ ( )

( )

( ) ∑ ( )

( )

14

Jika pasangan (X1, X2) adalah variable random kontinu yang mempunyai fungsi

densitas peluang bersama f(x1, x2), maka fungsi densitas peluang marginal untuk

X1 dan X2 adalah

( ) ∫ ( )

( )

( ) ∫ ( )

( )

2.8 Distribusi Peluang Bersyarat

Jika X1 dan X2 merupakan variable random diskrit atau kontinu dengan fungsi

densitas peluang bersama f (x1, x2), maka fungsi densitas peluang bersyarat dari X2

jika diketahui X1 = x1 didefinisikan dengan:

( | ) ( )

( ) ( )

Untuk nilai sedemikian hingga ( ) , dan nol untuk lainnya (Bain &

Engelhardt, 1992).

2.9 Bebas Stokastik Identik

Misalkan adalah variabel acak yang memiliki fungsi densitas

peluang yang sama yaitu ( ) sehingga

15

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

dan fungsi densitas bersamanya adalah ( ) ( ) ( ) ( )

Variabel acak disebut bebas stokastik identik (Hogg & Craig, 2005).

2.10 Transformasi Variabel acak

Menurut Walpole & Myers (1995), dalam statistika, sangat perlu mencari

distribusi peluang suatu fungsi dari satu atau lebih variabel acak. Misalkan X

adalah suatu variabel acak diskrit dengan distribusi peluang p(x) dan misalkan

selanjutnya bahwa ( ) menyatakan transformasi satu-satu antara nilai X

dan Y. Maka selanjutnya akan dicari distribusi peluang Y. Transformasi satu-satu

berarti bahwa tiap nilai x berpadanan dengan satu, dan hanya satu nilai ( ),

bila ( ) diperoleh dengan mencari ( ) untuk yang dinyatakan dalan y.

Untuk mencari distribusi peluang variabel acak ( ) bila diketahui X

variabel acak yang kontinu dan transformasinya satu-satu maka akan

dipergunakan teorema berikut ini:

Teorema 2.10.1

Misalkan X suatu variabel acak kontinu dengan distribusi peluang ( ). Misalkan

( ) menyatakan hubungan (korespondensi) satu-satu antara nilai X dan Y

16

sehingga persamaan ( ) mempunyai jawaban tunggal untuk x dalam y

misalnya ( ) Maka distribusi peluang Y adalah

( ) [ ( )]| | ( )

dengan ( ) dan disebut Jacobi transformasi.

Bukti:

Misalkan ( ) fungsi naik seperti pada Gambar 1. Terlihat bahwa bila y

bernilai antara a dan b maka variabel acak X akan bernilai antara ( ) dan ( ).

Gambar 1. Fungsi naik

Jadi

( ) [ ( ) ( )]

∫ ( ) ( )

( )

Bila variabel acak integrasi diganti dari x ke y melalui hubungan ( ) maka

diperoleh ( ) , sehingga

17

( ) ∫ [ ( )]

( )

Karena integral memberikan nilai peluang yang dicari untuk setiap a < b dalam

batas-batas nilai y yang mungkin, maka distribusi peluang Y adalah

( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

karena ( ) adalah kebalikan dari kecondongan (koefisien arah) garis

singgung pada kurva ( ) yang naik, maka jelas bahwa | | Sehingga

( ) [ ( )]| |.

Gambar 2. Fungsi Turun

Kemudian misalkan ( ) fungsi naik seperti pada Gambar 2, maka dapat

ditulis

( ) [ ( ) ( )]

∫ ( ) ( )

( )

Kembali ganti variabel integrasi menjadi y, maka diperoleh

( ) ∫ [ ( )] ( )

18

∫ [ ( )] ( )

sehingga dapat disimpulkan bahwa

( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

dalam hal ini kecondongan kurva negatif dan | |

Jadi,

( ) [ ( )]| |

seperti sebelumnya.

2.11 Transformasi Peubah Acak dengan Fungsi Pembangkit Momen

Teorema 2.11.1

Menurut Sahoo (2008), jika diketahui bahwa X dan Y merupakan variabel acak

yang independen (saling bebas), maka

( ) ( ) ( )

Penyelesaian ini dapat digunakan untuk menemukan distribusi dari penjumlahan

jika X dan Y merupakan variabel acak independent. Ilustrasi dari metode

transformasi ini dapat dilihat dalam contoh seperti berikut.

Contoh 11.1. Diketahui ( ) dan ( ). Jika diketahui

bahwa fungsi pembangkit momen dari dan yaitu ( ) (

)

dan

( ) (

)

. Kemudian, X dan Y independent, diperoleh

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

19

(

)

Sehingga memiliki fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma

dengan parameter dan . Dengan demikian,

( )

2.12 Fungsi Gamma

Menurut Saibagki (1952), untuk n > 0, n pecahan negatif n bukan bilangan

negatif, fungsi Gamma didefinisikan oleh

( ) ∫

( )

Teorema 2.12.1

Menurut Saibagki (1952), sifat-sifat dari fungsi Gamma antara lain:

a) ( ) ( ) ( ) atau ( ) ( )

( ) (2.15)

n > 1, n pecahan dan n bukan bilangan bulat negatif

b) ( ) ( ) (2.16)

c) (

) √ (2.17)

Bukti Persamaan (2.15):

Berdasarkan dari Persamaan (2.14) jika dilakukan integral parsial dari fungsi

Gamma dengan ( ) dan , maka diperoleh

( ) ( ) ( )

20

( ) ( ) ∫

sehingga

( ) ∫ ( ) ( )

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

| ∫( )( )

( )∫( )

( ) ( ) ( ) ; n > 1


Berdasarkan dari Persamaan (2.15), dengan menggunakan rumus berulang

berkali-kali diperoleh

( ) ( ) ( )

Dengan menggunakan cara yang sama akan dihasilkan

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

Bila n adalah bilangan bulat postirif, maka,

( ) ( )( ) ( )

dimana

21

( ) ∫ |

( ) ( )

( )

sehingga diperoleh

( ) ( )( )

( ) ( )

Untuk n = 1, 2,…


Bentuk lain dari ( ) adalah:

( ) ∫

∫

( )


( ) ∫

substiusi: x = y2

dx = 2ydy

Batas integralnya :

∫ ∫( ) ( )

22

∫

∫

Terbukti bahwa ( ) ∫

, sehingga Persamaan 2.17 dapat

dibuktikan sebagai berikut

(

) ∫ (

)

∫

{ (

)}

[ ∫

] [ ∫

]

∫ ∫ ( )

Substutusi:

Batas integralnya:

23

{ (

)}

∫ ∫

⁄

∫ ∫

⁄

∫ (

) |

⁄

(

)∫

{ (

)}

(

) √

2.13 Distribusi Gamma

Suatu variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Gamma atau terdistribusi

Gamma, jika fungsi kepadatan peluangnya adalah

( ) {

( ) ( )

( )

Dimana ( ) adalah fungsi Gamma (Hogg & Craig, 2005).

Teorema 2.13.1

Menurut Hogg & Craig (2005), bila X berdistribusi Gamma X~G (x | )

maka mean dan variansnya ditentukan oleh

24

( )

( )

Bukti:

( )

∫ ( )

∫

( )

Misalkan:

Sehingga,

∫

( )(

)

( )

∫

( ) ( )

( )

25

( )

( )

( )

( )


( ) ∫ ( )

∫

( )

Misalkan:

Sehingga,

Maka,

( ) ∫ (

)

(

)

∫

( )

26

( ) ( )

( )

Maka,

( ) ( ) [ ( )]

( )

(

)

( )

3. ( ) (

)

(2.22)

Bukti:

( )

( )

( )

( )∫

( )∫

( )∫ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

27

Jika , maka (

) akan menjadi non-positif dan integralnya akan menjadi

infinite. Sehingga fungsi pembangkit momen untuk distribusi gamma hanya akan

terdefinisi jika .

2.14 Distribusi Invers Gamma

Kemudian, jika X adalah variabel random berdistribusi gamma, dinotasikan

dengan X~Gamma( ) maka fungsi densitasnya dapat dinyatakan dalam bentuk:

( ) {

( ) ( )

Dengan melakukan transformasi ( )

maka,

( )

|

( )| |

(

)|

sehingga diperoleh

( ) [ ( )] |

( )|

( )(

)

( )(

)

Jika , maka menurut Hogg & Craig (2005), distribusi yang terbentuk adalah

distribusi invers gamma seperti dinyatakan dalam persamaan:

( ) {

( )

( )

( )

Menurut Cook (2008), jika ( ), dengan maka

momen dari adalah

28

( )

( )∫

( )∫

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Khususnya, untuk

( )

( )

dan untuk

( )

( )( ) ( )

dan juga untuk

( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( )

2.15 Distribusi Pareto

Distribusi Pareto berasal dari nama seorang ekonom yaitu Vilfredo Pareto (1848-

1923) yang mengamati bahwa 80% kekayaan di Milan dimiliki oleh hanya 20%

dari penduduknya. Distribusi Pareto disebut juga dengan distribusi power law.

Jika sebuah kumpulan data memiliki distribusi power-law, maka dikatakan bahwa

data-data tersebut tidak sensitif terhadap rata-rata atau standar deviasi dari data

tersebut atau dengan kata lain, data itu tidak bersifat acak. Distribusi Pareto sering

29

dipakai pada persoalan uji hidup, seperti waktu sampai rusak atau umur suatu

komponen yang diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak (Sugiarto, S.,

2014).

Definisi 2.15.1

1. Jika X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka fungsi kepadatan

peluang dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah:

( ) { (

)

( )

Bukti :

∫ (

)

∫

∫( )

|

|

|

( )

2. Jika X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka fungsi distribusi

kumulatif (CDF) dari variabel acak Pareto dengan parameter dan adalah:

30

( ) { (

)

( )

dimana > 0 dan > 0 adalah parameternya.

Bukti:

( ) { (

)

( ) ∫ (

)

∫( )

∫

|

( ) ( )

( )

3. Jika adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka probabilitas bahwa X

lebih besar dari beberapa nilai dengan parameter skala dan parameter

31

bentuk diberikan oleh :

( ) {(

)

( )

dimana > 0 dan > 0 adalah parameternya (Malik, 2011).

Bukti:

( ) ( )

( )

Untuk maka,

( ) (

)

(

)

Untuk maka,

( )

Teorema 2.12.1

1. Andaikan X adalah variabel acak berdistribusi Pareto, maka:

( )

( )

Bukti:

( ) ∫

( ) ∫ ( )

∫ ( )

32

∫

∫

∫

2. Andaikan X adalah variabel acaka berdistribusi Pareto, maka:

( ) (

)

( )

Bukti:

( ) ∫

( ) ∫ ( )

∫

∫

∫

33

( ) ( ) [ ( )]

[

]

( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ ( ) ( )]

( ) ( )

[ ( ) ( )]

( ) ( )

[( ) ( )]

( ) ( )

(

)

2.16 Estimasi Parameter

Estimasi (pendugaan) adalah keseluruhan proses yang menggunakan sebuah

estimator untuk menghasilkan hasil estimasi dari suatu parameter. Estimator

merupakan setiap statistik (mean sampel, presentase sampel, varians sampel dan

lain-lain) yang digunakan untuk mengestimasi sebuah parameter. Hasil estimasi

adalah sebuah nilai dari suatu statistik seperti mean sampel, presentase sampel,

atau varians sampel (Harinaldi, 2005).

34

2.17 Sifat-Sifat Estimator (Penduga)

Menurut Spiegel, et al. (2004), penduga yang baik adalah yang memiliki sifat-

sifat seperti berikut.

1. Sifat Tak Bias

Sifat tak bias merupakan sifat baik dari estimator yang diperoleh melalui

pendekatan klasik, dalam pembahasan pemilihan estimator terbaik salah satunya

harus memenuhi sifat tak bias. Suatu statistik disebut estimator tak bias dari suatu

parameter populasi jika mean atau ekspektasi dari statistik itu sama dengan

parameter yang ditaksir. Sehingga untuk suatu statistik dikatakan penaksir tak

bias patameter bila

( ) ( )

2. Efisien

Suatu penduga ( ) dikatakan efisien bagi parameternya ( ) apabila penduga

disebut memiliki varians yang kecil. Apabila terdapat lebih dari satu penduga,

penduga yang efesien adalah penduga yang memiliki varians paling minimum.

( ) ( )

Maka, dikatakan bahwa ( ) merupakan peduga yang efisien.

3. Konsisten

Suatu estimator dapat dikatakan konsisten bila memenuhi syarat berikut:

a. Jika ukuran sampel semakin bertambah maka estimator akan mendekati

parameternya, jika besarnya sampel menjadi tak terhingga maka estimator

konsisten harus dapat memberi suatu estimator titik yang sempurna terhadap

35

parameternya. Jadi ( ) merupakan estimator yang konsisten jika dan hanya

jika:

( ( ))

b. Jika ukuran sampel bertambah besar maka distribusi sampling estimator akan

mengecil menjadi suatu garis tegak lurus di atas parameter yang sama dengan

probabilitas sama dengan 1.

2.18 Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood adalah fungsi densitas bersama dari n variabel random X1, X2,

….,Xn dan dinyatakan dalam bentuk f (x1, x2,…, xn,; ). Jika X1, X2,…,Xn menyatakan

suatu sampel random dari f (x; ), maka

( ) ( ) ( ) ( )

∏ ( )

( )

Kemungkinan maksimum dapat diperoleh dengan menentukan turunan dari L

terhadap dan menyatakannya sama dengan nol (Bain & Engelhardt, 1992).

2.19 Metode Bayes

Metode Bayes merupakan suatu metode yang menyediakan cara dimana data

historis dapat digunakan dalam penilaian saat ini. Metode Bayes mempunyai cara

tersendiri dalam menentukan prior dan posterior yang secaa signifikan dapat

menbantu menyelesaikan bagian yang sulit dari sebuah solusi.

36

2.19.1 Teorema Bayes

Definisi 2.19.1

Menurut Soejoeti & Soebanar (1988), misal S adalah ruang sampel dari suatu

eksperimen dan adalah peristiwa-peristiwa didalam S sedemikian

sehingga saling asing dan ⋃ dikatakan bahwa

membentuk partisi di dalam S

Gambar 3. Teorema Bayes

Jika k peristiwa membentuk partisi di dalam S, maka terlihat pada

Gambar 3 bahwa peristiwa-peristiwa ⋂ ⋂ ⋂ membentuk

partisi dalam sehingga dapat ditulis ( ⋂ )⋃( ⋂ ) ⋃( ⋂ ).

Karena peristiwa-peristiwa di ruas kanan saling asing maka

( ) ∑ ( ⋂ )

( )

Jika ( ) untuk maka ( ⋂ ) ( ) ( | ) sehingga

didapat ( ) ∑ ( ) ( | ) . Misal peristiwa-peristiwa

membentuk partisi di dalam ruang sampel S sedemikian sehingga ( )

37

dan misalkan B sembarang peristiwa sedemikian sehingga ( )

maka untuk

( | ) ( ) ( | )

∑ ( ) ( | )

( )

Teorema Bayes memberikan aturan sederhana untuk menghitung probabilitas

bersyarat peristiwa jika terjadi, jika masing-masing probabilitas tak bersyarat

dan probabilitas bersyarat jika diberikan

2.19.2 Distribusi Prior

Dalam metode Bayes, memilih distribusi prior f ( ) menunjukkan ketidakpastian

tentang parameter yang tidak diketahui. Distribusi prior dikelompokkan

menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk fungsi likelihoodnya (Box & Tiao,

1973).

1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya

a. Distribusi prior konjugat, mengacu pada acuan analisis model terutama

dalam pembetukan fungsi likelihoodnya sehingga dalam penelitian prior

konjugat selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang

mempunyai bentuk konjugat dengan fungsi kepadatan peluang pembangkit

likelihoodnya.

b. Distribusi prior tidak konjugat, apabila pemberian prior pada suatu model

tidak memperhatikan pola pembentuk likelihoodnya.

2. Berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi

prior tersebut.

38

a. Ditribusi prior informatif mengacu pada pemberian parameter dari

distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau tidak,

pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat

memperngaruhi bentuk distribusi posterior yang akan didapatkan dengan

menggabungkan informasi distribusi prior dengan informasi data yang

diperoleh.

b. Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data

yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang

parameter , salah satu pendekatan dari non-informatif prior adalah

metode Jeffrey’s.

2.19.3 Distribusi Posterior

Bila diberikan data x, maka distribusi dari yang disebut distribusi posterior

adalah

( | ) ( | ) ( )

( ) ( )

di mana ( ) adalah fungsi distribusi peluang marginal dari x. Fungsi distribusi

peluang marginal dalam definisi di atas dapat dihitung dengan menggunakan

rumus berikut

( )

{

∑ ( | ) ( ) ( )

∫ ( | ) ( ) ( )

Distribusi posterior dapat digunakan untuk menentukan estimator dan estimasi

interval dari parameter yang tidak diketahui. Dalam konsep dasar Bayes, semua

39

informasi tentang dari data yang diamati dan dari pengetahuan priornya termuat

dalam posterior atau distribusi ( | ) (Walpole & Myers, 2005).

2.20 Maksimum Likelihood Estimator (MLE)

Definisi 2.20.1

Menurut Bain & Engelhardt (1992), misalkan adalah sampel acak

dari populasi dengan densitas ( | ), fungsi likelihood didefinisikan dengan:

( ) ∏ ( | )

Bila fungsi likelihood ini terdiferensikan dalam maka calon estimator likelihood

yang mungkin adalah sedemikian sehingga:

( )

Untuk membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood

( ) harus ditunjukan bahwa:

( )

Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja pada

logaritma dari ( ) yaitu ( ). Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma

naik tegas pada ( ) yang berarti bahwa ( ) mempunyai ekstrem yang sama.

Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari sebagai

berikut:

40

1. Tentukan fungsi likelihood

( ) ∏ ( | )

2. Bentuk log likelihood ( )

3. Tentukan turunan dari ( ) terhadap

[ ( )]

Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum

likelihood untuk .

4. Tentukan turunan kedua dari [ ( )] dari terhadap . Jika [ ( )]

,

maka akan membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi

likelihood ( ).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2018/2019 di Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah metode studi pustaka, yaitu

mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang terkait dengan pendugaan

parameter dari sebaran Pareto. Metode ini digunakan peneliti untuk menyeleksi

teori-teori yang dapat mendukung pokok permasalahan yang dimunculkan pada

penelitian ini, agar pembahasannya dapat diselesaikan secara tuntas. Teori-teori

pendukung tersebut telah dibahas pada Bab II. Adapun lngkah-langkah yang

dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mencari dugaan parameter dengan metode Maximum Likelihood dengan

langkah-langkah:

1) Menentukan fungsi kepadatan peluang dari distribusi Pareto.

2) Membentuk fungsi kepadatan peluang bersama dari fungsi kepadatan

peluang distribusi Pareto kedalam fungsi likelihood .

42

3) Membentuk fungsi likelihood kedalam fungsi yang dinamakan

dengan fungsi maksimum likelihood (log likelihood).

4) Memaksimumkan fungsi maksimum likelihood dengan menurunkan

fungsi maksimum likelihood tersebut terhadap parameter yang

mengikutinya yakni kemudian menyamakan dengan 0.

5) Melakukan uji turunan kedua untuk memastikan fungsi likelihood pada

fungsi

telah maksimum.

2. Mencari dugaan parameter distribusi Pareto menggunakan metode Bayes

dengan langkah-langkah:

1) Mencari fungsi bersama f (x, ) Pareto-Gamma dengan mengalikan fungsi

Likelihood dari distribusi Pareto dengan fungsi kepekatan peluang

distribusi prior-nya, yaitu distribusi Gamma.

2) Mendapatkan fungsi marginal dari fungsi bersama f (x, ) Pareto-Gamma.

3) Menetapkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari sampel acak

Xi ~Pareto ( , ) dengan priornya ~ Gamma (

4) Menduga parameter distribusi Pareto dari fungsi kepekatan peluang

akhir (posterior).

5) Mendapatkan penduga Bayes dari distribusi Pareto.

3. Membuktikan karaktersitik ketakbiasan bagi penduga MLE dan Bayes.

4. Menentukan ragam dan MSE bagi penduga MLE dan Bayes.

5. Melakukan simulasi data menggunakan Software R dengan langkah-langkah

seperti berikut.

1) Membuat grafik fungsi kepekatan peluang distribusi Pareto untuk melihat

pengaruh parameter terhadap bentuk sebarannya.

43

2) Membangkitkan data dengan n=20, k=1, dan

3) Menghitung penduga untuk MLE dan Bayes.

4) Ulangi langkah 2 dan 3 sebanyak 1000 kali.

5) Hitung bias, varians, dan MSE untuk kedua metode pendugaan.

6) Ulangi langkah 2 s.d. 5 untuk n=40, n=100, n=300, n=500, n=1000,

n=5000, n=10000, n=20000, dan n=50000.

7) Ulangi langkah 2 s.d. 6 untuk k=1 dan ; k=1 dan ; k=3 dan

; k=3 dan ; serta k=3 dan .

6. Membandingkan hasil penduga dari kedua metode tersebut dengan melihat

bias, varians, dan mean square error (MSE).

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Estimasi atau penduga titik bagi parameter dan pada distribusi Pareto

dengan menggunakan metode Maximum Likelihood adalah sebagai berikut:

Untuk parameter yaitu:

dan untuk parameter yaitu:

∑

2. Pada pendugaan parameter distribusi Pareto menggunakan metode Bayes,

diasumsikan bahwa parameter telah diketahui atau diasumsikan ,

seperti pada pendugaan dengan metode Maximum Likelihood dan jika dilihat

berdasarkan grafik sebaran Pareto. Sehingga didapat penduga titik bagi

parameter yaitu sebagai berikut:

∑

3. Secara analitik ditunjukkan bahwa penduga dan penduga keduanya

merupakan penduga yang bias. Namun, kedua peduga tersebut secara asimtotik

akan menjadi tak bias. Besar bias kedua penduga memiliki nilai yang bervariasi

118

dan dipengaruhi oleh parameter . Selain pengaruh dari bias penduga

juga dipengaruhi oleh besar nilai parameter dari distribusi priornya Penduga

memiliki varians yang lebih kecil dari penduga . MSE dari kedua

penduga akan dipengaruhi oleh biasnya. Baik secara analitik maupun empirik,

telah ditunjukkan bahwa penduga dan keduanya merupakan penduga

yang konsisten.

5.2 Saran

Penelitian ini hanya membahas dan mengkaji pendugaan parameter bagi distribusi

Pareto dengan metode pendugaan Maximum Likelihood dan Bayes. Sehingga

terbuka kesempatan bagi peneliti lain untuk melakukan pendugaan pararameter

pada distribusi lain seperti distribusi Pareto terpotong, Weibull, ataupun distribusi

keluarga eksponensial lainnya. Selain itu, disarankan pula untuk mencoba

melakukan penelitian serupa dengan menggunakan metode lain seperti Uniformly

Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE), Probability Weighted Moment

(PWM) dan sebagainya.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L.J. & Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical

Statistics. 2nd

Edition. Duxbury Press, California.

Berger, C. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, New York.

Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics. 2nd

Edition. John

Wiley & Sons, New York.

Box, G.E.P. & Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis.

Addision-Wesley, Massachusetts.

Harinaldi. 2005. Prinsip-Prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Erlangga,

Jakarta.

Hogg, R.V., & Craig, A.T. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. 6th

Edition. Pearson Prentice Hall, New Jersey.

Hogg, R.V., McKean, Joseph W. & Craig, A.T. 2012. Introduction to

Mathematical Statistics. 7th

Edition. Prentice Hall International, United

States of America.

Malik, M. 2011. Estimasi Parameter Distribusi Pareto dengan Metode Kuadrat

Terkecil, Maximum Product of Spacing dan Regresi Ridge. Skripsi. Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, Medan.

Miller, I. & Miller, M. 1999. John E. Freud’s Mathematical Statistics. 6th

Edition. Prentince Hall International Inc., New Jersey.

Montgomery & Runger. 2003. Aplied Statistics and Probability for Engineers.

3th

Edition. John Wiley & Sons, United States of America.

Mukhopadhyay, N. & Ekwo, M.E. 1987. Sequental Estimation Problems for the

Scale Parameter of Pareto Distribution. Scandinavian Actuarial Journal. 83-

103.

Sahoo, P. 2008. Probability and Mathematical Statistics. Department of

Mathematics University of Louisville, Louisville.

Saibagki, W. 1952. Theory and Applications of Gamma Function. Iwanami

Syoten, Tokyo.

Soejoeti, Z. & Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Karunika Universitas

Terbuka, Jakarta

Spiegel, M.R., Schiller, J.J., & Srinivasan, R.A. 2004. Probabilitas dan Statistik.

Diterjemahkan oleh Ratna Indriasari. Erlangga, Jakarta.

Sugiarto, S. 2014. Penduga Interval Parameter Bentuk dari Distribusi Pareto

Berdasarkan Metode Momen dan Maksimum Likelihood. Skripsi. Jurusan

Matematika FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru.

Walpole, E.R. 1995. Pengantar Statistika. Ed. ke-3. Gramedia, Jakarta.

Walpole, E.R. & Myers, H.R. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur

dan Ilmuwan. Ed. ke-4. ITB, Bandung.

pendugaan parameter distribusi pareto ...digilib.unila.ac.id/57064/5/skripsi tanpa bab...

Documents