pendugaan parameter distribusi rayleigh dengan …

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE

KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh :

Skolastika Augustia Sarasvati

NIM: 133114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING

LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD

A Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Skolastika Augustia Sarasvati

Student Number: 133114026

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan memberikan

kemudahan lewat orang-orang baik hati yang berada di sekelilingku terutama dalam

perjuanganku menyelesaikan skripsi ini.

Kedua orangtuaku Bonaventura Saptono Arko dan Teresia Atik Solikhati

Adik-adikku, yaitu Ano, Awgia, Sekal, Zita.

Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik.

Semua orang yang akan membaca skripsi saya.


vi


vii


viii

ABSTRAK

Distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal memiliki satu parameter yaitu

parameter 𝑏. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dapat dilakukan dengan

berbagai metode. Dalam skripsi ini dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh

dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square

Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih

garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat

Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan

Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi

likelihood.

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang

terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Rata-Rata

Kuadrat Galat (Mean Square Error) dipilih sebagai kriteria pembanding kedua metode

penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah

metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yang minimum. Dari hasil penerapan

pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang

menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga

parameter distribusi Rayleigh.

Kata kunci: distribusi Rayleigh, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil,

Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.


ix

ABSTRACT

Rayleigh distribution with single parameter has a parameter namely parameter b.

The parameter of Rayleigh distribution can be estimated using several methods. In this

final assignment, writter will estimated the parameter estimation of Rayleigh

distribution using two methods which are Least Square Method and Maximum

Likelihood Method. In general, Least Square Method estimate the parameter by

selecting the regression line that best fit among all data which minimizes the Sum of

Square Error. Meanwhile the concept of Maximum Likelihood Method is to estimate

the parameter distribution that maximizes the likelihood function.

The parameter estimation of Rayleigh distribution is implemented on the data of

the annual biggest wave’s height in Kalukalukuang Island’s offshore, South Sulawesi.

Mean Square Error is chosen as the comparasm criteria for both methods. Method

which has minimum Mean Square Error is the best one. From our attempts on the

annual biggest wave’s height data in Kalukalukuang Island’s offshore shows that

Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh

distribution.

Keywords: Rayleigh distribution, parameter estimation, Least Square Method,

Maximum Likelihood Method, Mean Square Error


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan karunia-

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Skripsi yang berjudul “Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh Dengan

Metode Kuadrat Terkecil Dan Kemungkinan Maksimum” ini diajukan untuk

memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas

Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat

banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh

karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir

yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran

serta memberikan masukan, arahan, bimbingan, dan nasihat kepada penulis.

2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi

Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan

arahan yang berkaitan dengan perkuliahan.

4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains

dan Teknologi.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,

M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc.,

Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati

Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah

membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains

dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan, arahan,

dan nasihat sampai skripsi ini selesai.


xi


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .......................................................... vii

ABSTRAK ................................................................................................................. viii

ABSTRACT ................................................................................................................. ix

KATA PENGANTAR .................................................................................................. x

DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL ...................................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1

A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 2

C. Batasan Masalah .................................................................................................. 3

D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3

E. Manfaat penulisan ................................................................................................ 3

F. Metode Penulisan................................................................................................. 4

G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6

A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 6

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya................................................................. 13

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ........................................................... 18

D. Pendugaan Parameter......................................................................................... 23


xiii

E. Selang Kepercayaan........................................................................................... 25

F. Ukuran Penduga Yang Baik .............................................................................. 29

G. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 31

H. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 35

I. Uji Kolmogorov-Smirnov .................................................................................. 39

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 41

BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN

METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM .......... 44

A. Distribusi Rayleigh ............................................................................................ 44

B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter ............................................. 47

C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil .. 49

D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan

Maksimum ......................................................................................................... 51

E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh ............................................... 53

Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh .............................................................. 58

BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 61

A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat

Terkecil (Least Squared Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan

di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. ........................................ 61

B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum ................................................................................. 65

C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 69

D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan

Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum .................... 71

BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 73

A. Kesimpulan ........................................................................................................ 73

B. Saran .................................................................................................................. 74

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 75

LAMPIRAN .............................................................................................................. 756


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 ........................................................................................ 34

Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 ........................................................................................ 42

Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 ................................................. 42

Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut .......... 62

Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut. 69


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma ..................................................................... 17

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square ................................................................ 18

Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90 ............ 28

Gambar 2. 4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil ........................................................ 35

Gambar 2. 5 Grafik 𝐹0(𝑥𝑖) dan 𝐹𝑛(𝑥𝑖) ..................................................................... 43

Gambar 3. 1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai b = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3.

..................................................................................................................................... 45

Gambar 3. 2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh ......................... 46

Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala b = 1.715623 ..... 65

Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan b = 1.757045 67

Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0(𝑥𝑖) dan 𝐹𝑛(𝑥𝑖) ..................................................................... 70


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu

distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data

kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada

tahun 1880. Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan

dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal

radio yang diterima. Distribusi ini juga merupakan distribusi penting dalam

statistik dan diterapkan di beberapa bidang seperti kesehatan, pertanian, biologi,

dan ilmu-ilmu lainnya.

Variabel acak 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Reyleigh dengan satu

parameter 𝑏 bila fungsi densitasnya

𝑓(𝑥; 𝑏) =𝑥

𝑏2𝑒(−𝑥2

2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0

Pendugaan parameter merupakan salah satu persoalan yang penting dalam

bidang statistika. Pendugaan adalah bidang dari statistika yang berhubungan

dengan menduga nilai-nilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarkan

data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen acak. Pendugaan

parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan

menggunakan nilai-nilai dari sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu

penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).

1. Penduga titik (Point Estimation)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-

baiknya menduga parameter yang sebenarnya.


2

2. Penduga Selang (Interval Estimation)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki

peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.

Dalam skripsi ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh dilakukan

dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square

Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih

garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah

Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode

Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang

memaksimumkan fungsi likelihood.

Selain itu, dalam skripsi ini juga akan dilakukan perbandingan Metode

Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum untuk menduga

parameter distribusi Rayleigh. Untuk menentukan metode mana yang lebih baik

dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis akan menggunakan Rata-

Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Rata-Rata

Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Penduga (estimator) adalah

suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan

bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang

termuat di dalam sampel. Metode yang terbaik dalam menduga parameter

distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat

minimum.

B. Rumusan Masalah

Masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah:

1. Bagaimana sifat-sifat distribusi Rayleigh?

2. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat

Terkecil?


3

3. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode

Kemungkinan Maksimum?

4. Bagaimana memilih metode terbaik dalam pendugaan parameter distribusi

Rayleigh?

C. Batasan Masalah

Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:

1. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas

penduga titik dan penduga selang distribusi Rayleigh dengan satu parameter.

2. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas

pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan

Metode Kemungkinan Maksimum.

3. Penulis tidak membahas perluasan dari distribusi Rayleigh.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menduga parameter distribusi

Rayleigh satu parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan


E. Manfaat penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Dapat mempelajari metode untuk pendugaan parameter distribusi Rayleigh

yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan

Maksimum.

2. Dapat mengetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil dan Metode

Kemungkinan Maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh

dengan satu parameter.


4

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-

jurnal yang berkaitan dengan distribusi Rayleigh dan metode-metode yang

digunakan dalam pendugaan parameter.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Moment

D. Penduga Parameter

E. Selang Kepercayaan

F. Ukuran Penduga Yang Baik

G. Metode Kuadrat Terkecil

H. Metode Kemungkinan Maksimum

I. Uji Kolmogorov-Smirnov

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN ME-

TODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Rayleigh


5

B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh

C. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat

Terkecil

D. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan

Maksimum

BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI

RAYLEIGH

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


6

BAB II

LANDASAN TEORI

Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang

mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang

berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi

Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan

parameter, selang kepercayaan dan sebagainya.

A. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi

probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas

yang akan dijelaskan pada subbab ini.

1. Variabel Random

Definisi 2.1

Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang

sampel.

Huruf kapital, misalnya 𝑋, adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil

𝑥, menyatakan nilainya.

Definisi 2.2

Variabel 𝑋 dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga

terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak 𝑋 dikatakan

kontinu.

Contoh:

a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010.

b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama

satu tahun.


7

2. Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas

diskrit yang dilambangkan dengan 𝑝(𝑥) dan distribusi probabilitas kontinu

(fungsi densitas) yang dilambangkan dengan 𝑓(𝑥).

a. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.3

Himpunan pasangan terurut (𝑥, 𝑝(𝑥)) adalah distribusi probabilitas dari

variabel random diskrit 𝑋 jika

1) 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥

2) ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥

Contoh 2.1

Distribusi Geometrik

𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 , 𝑥 = 1, 2, 3, . . .

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3

1) Diketahui 𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 untuk 𝑥 = 1, 2, 3, .. maka diperoleh

𝑝(𝑥) positif untuk setiap 𝑥. Jadi terbukti 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1 untuk setiap 𝑥.

2) Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku

pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ =𝑎

1− 𝑟. Dengan

menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri 𝑆∞ =𝑎

1− 𝑟 maka

diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝 sehingga

∑𝑝(𝑥) = 𝑝

1 − (1 − 𝑝)= 1.

𝑥

b. Distribusi Probabilitas Kontinu

Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga

fungsi densitas (density function).


8

Definisi 2.4

Fungsi 𝑓(𝑥) adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu 𝑋,

jika

1) 𝑓(𝑥) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

2) ∫ 𝑓(𝑥)∞

−∞𝑑𝑥 = 1

Contoh 2.2

a) Distribusi Normal

𝑓(𝑥) = 1

𝜎 √2𝜋exp [−(

1

2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4

1) Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0.

2) ∫1

𝜎 √2𝜋exp [− (

1

2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] 𝑑𝑥 =

∞

−∞∫

1

𝜎 √2𝜋 𝑒−

1

2 (𝑥−𝜇

𝜎)2

𝑑𝑥 = 1.∞

−∞

Misalkan 𝑚 =𝑥−𝜇

𝜎 , 𝑑𝑚 =

𝑑𝑥

𝜎 , 𝜎 𝑑𝑚 = 𝑑𝑥,

misalkan 𝑄 = ∫1

𝜎 √2𝜋𝑒−(

1

2)𝑚2

𝜎 𝑑𝑚∞

−∞

𝑄2 = (∫1

√2𝜋𝑒−(

12)𝑚2

𝑑𝑚∞

−∞

)(∫1

√2𝜋𝑒−(

12)𝑛2 𝑑𝑛

∞

−∞

)

= 1

2𝜋∬𝑒−(

12)(𝑚2+𝑛2) 𝑑𝑚 𝑑𝑛

∞

−∞

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞

𝑚 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑛 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑄2 = 1

2𝜋∫ ∫ 𝑒−(

12)(𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃)|𝐽|𝑑𝑟 𝑑𝜃

∞

0

2𝜋

0

|𝐽| = |

𝜕𝑚

𝜕𝜃

𝜕𝑚

𝜕𝑟𝜕𝑛

𝜕𝜃

𝜕𝑛

𝜕𝑟

| = |−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 cos 𝜃𝑟 cos 𝜃 sin 𝜃

|

= |(−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃)(sin 𝜃) − (𝑟 cos 𝜃)(cos 𝜃)|


9

= |−𝑟 𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 𝑟 𝑐𝑜𝑠2𝜃| = |−𝑟| |𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃| = 𝑟

𝑄2 = 1

2𝜋∫ ∫ 𝑒−(

12)𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃+ 𝑠𝑖𝑛2𝜃) 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

∞

0

2𝜋

0

= 1

2𝜋∫ ∫ 𝑒−(

1

2)𝑟2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

∞

0

2𝜋

0

Misal 𝑤 = 𝑟2, 𝑑𝑤 = 2𝑟 𝑑𝑟,𝑑𝑤

2= 𝑟 𝑑𝑟

= 1

2𝜋∫ [∫ 𝑒−(

12)𝑤 𝑑𝑤

2

∞

0

]2𝜋

0

𝑑𝜃

=1

2𝜋∫

1

2

2𝜋

0

|−2 𝑒−12𝑤 |

0

∞

𝑑𝜃

=1

2𝜋∫ −(0 − 1)𝑑𝜃2𝜋

0

= 1

2𝜋∫ −(−1)𝑑𝜃2𝜋

0

= 1

2𝜋∫ 1 𝑑𝜃 =

1

2𝜋|𝜃|0

2𝜋 2𝜋

0

=1

2𝜋 (2𝜋 − 0) = 1

Jadi,

𝑄2 = 1 → 𝑄 = ∫1

𝜎 √2𝜋𝑒−(

12)𝑚2

𝜎 𝑑𝑚∞

−∞

= 1.

b) Distribusi Eksponensial

𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒−𝜆 𝑥, 𝜆 > 0, 𝑥 ≥ 0

Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4

1) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0.

2) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝜆𝑒−𝜆 𝑥𝑑𝑥∞

0

∞

−∞

= |𝜆𝑒−𝜆 𝑥 (−1

𝜆) |

0

∞

= −(|𝑒−𝜆 𝑥 |0

∞)

= −(0 − 1) = 1.


10

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif

Definisi 2.5

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-

riabel random diskrit dan kontinu 𝑋 didefinisikan sebagai berikut

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) =

{

∑ 𝑝(𝑥)

∀𝑋≤𝑥

, jika 𝑋 diskrit

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞

, jika 𝑋 kontinu

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi

yang merupakan karakteristiknya.

a. Mean

Definisi 2.6

Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random X dino-

tasikan sebagai 𝜇 atau 𝐸(𝑋) didefinisikan sebagai

𝐸(𝑋) =

{

∑𝑥𝑝(𝑥)

∀𝑥

,jika 𝑋 diskrit

∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

, jika 𝑋 kontinu

b. Variansi

Definisi 2.7

Jika 𝑋 adalah variabel random, maka variansi dari 𝑋 ditulis 𝑉(𝑋) didefini-

sikan sebagai

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2].

Teorema 2.1

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2


11

Bukti:

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2]

= 𝐸(𝑋2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2

= 𝐸(𝑋2) − 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2 ∎

Contoh 2.3

a) Jika 𝑥 berdistribusi Geometrik

𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 , 𝑥 = 1, 2, 3, . . .

Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik

𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑝(𝑥)

∀𝑥

=∑𝑥 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1∞

𝑥=1

= 𝑝∑𝑥(1 − 𝑝)𝑥−1∞

𝑥=1

𝐸(𝑋) = 𝑝[1 + 2(1 − 𝑝) + 3(1 − 𝑝)2 + 4(1 − 𝑝)3+. . . ]

(1 − 𝑝)𝐸(𝑋) = 𝑝[(1 − 𝑝) + 2(1 − 𝑝)2 + 3(1 − 𝑝)3 + 4(1 − 𝑝)4+. . . ]

𝐸(𝑋)(1 − (1 − 𝑝)) = 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 + (1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4+. . . ].

Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan 𝑎 merupakan suku

pertama dan 𝑟 merupakan rasio antar suku adalah 𝑆∞ =𝑎

1− 𝑟. Dengan

menggunakan deret geometri tersebut diperoleh 𝑎 = 𝑝 dan 𝑟 = 1 − 𝑝

sehingga jumlah deret tak hingga dari 𝑝[1 + (1 − 𝑝) + (1 − 𝑝)2 +

(1 − 𝑝)3 + (1 − 𝑝)4+. . . ] dapat ditulis kembali menjadi

𝐸(𝑋)𝑝 = 𝑝

1 − (1 − 𝑝)

𝐸(𝑋)𝑝 = 1.

Jadi, 𝐸(𝑋) =1

𝑝.

Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi

Geometrik

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2


12

Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa

𝐸(𝑋) =1

𝑝,

maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah

𝐸(𝑋2) =∑𝑥2𝑝(𝑥)

∀𝑥

=∑𝑥2 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1∞

𝑥=1

= 𝑝∑𝑥2(1 − 𝑝)𝑥−1∞

𝑥=1

Misalkan 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑝 = 1 − 𝑞,∑ 𝑥2(𝑞)𝑥−1 = 1+ 𝑞

(1− 𝑞)3∞𝑥=1

= 𝑝∑𝑥2(𝑞)𝑥−1∞

𝑥=1

= 𝑝 ( 1 + 𝑞

(1 − 𝑞)3) = 𝑝 (

1 + 1 − 𝑝

𝑝3) =

2 − 𝑝

𝑝2.

Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 =2 − 𝑝

𝑝2− (

1

𝑝)2

= 2 − 𝑝

𝑝2−1

𝑝2=1 − 𝑝

𝑝2.

b) Jika 𝑥 berdistribusi Normal

𝑓(𝑥) = 1

𝜎 √2𝜋exp [−(

1

2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞

Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞

=1

𝜎 √2𝜋∫ 𝑥 𝑒−

12 (𝑥−𝜇𝜎

)2

𝑑𝑥 ∞

−∞

=1

𝜎 √2𝜋∫ 𝑥 𝑒

−12𝜎2

(𝑥−𝜇)2𝑑𝑥

∞

−∞

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇

𝐸(𝑋) =1

𝜎 √2𝜋 ∫ (𝑦 + 𝜇) 𝑒

−12𝜎2

(𝑦)2𝑑𝑦

∞

−∞

= 𝜇 +1

𝜎 √2𝜋∫ 𝑦 𝑒

−1

2𝜎2 (𝑦)2

𝑑𝑦∞

−∞= 𝜇.

Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑥 − 𝜇)2] = ∫ (𝑥 − 𝜇)𝑓(𝑥) 𝑑𝑥∞

−∞


13

=1

𝜎 √2𝜋∫ (𝑥 − 𝜇)𝑒

−(12𝜎2

)((𝑥−𝜇)2) 𝑑𝑥

∞

−∞

Misalkan 𝑦 = 𝑥 − 𝜇, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥, 𝑥 = 𝑦 + 𝜇,

=1

𝜎 √2𝜋∫ (𝑦2)𝑒

−(12𝜎2

)((𝑦)2) 𝑑𝑦

∞

−∞

Misal 𝑢 = 𝑦, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦, 𝑑𝑣 = 𝑦𝑒−(

1

2𝜎2)((𝑦)2)

𝑑𝑦, 𝑣 = −𝜎2𝑒−(

1

2𝜎2)((𝑦)2)

=1

𝜎 √2𝜋| 𝑦 (−𝜎2𝑒

−(12𝜎2

)((𝑦)2))|0

∞

−1

𝜎 √2𝜋∫ −𝜎2𝑒

−(12𝜎2

)(𝑦2)𝑑𝑦

∞

−∞

= 0 + 𝜎2. 1

= 𝜎2.

Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah 𝑉(𝑋) = 𝜎2.

B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya

Definisi 2.8

Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat

digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi

pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.

Teorema 2.2

Fungsi Gamma memiliki sifat

1. 𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1) untuk setiap 𝛼 > 1

Bukti:

Berdasarkan definisi 2.8

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

,

misalkan 𝑢 = 𝑥𝛼−1maka 𝑑𝑢 = (𝛼 − 1)𝑥𝛼−2 dan 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 maka 𝑣 = −𝑒−𝑥


14

𝛤(𝛼) = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢∞

0

= lim𝑏→∞

[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 −∫ −(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

= lim𝑏→∞

[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 + (𝛼 − 1)∫ 𝑥𝛼−2𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

= lim𝑏→∞

[−𝑥𝛼−1𝑒−𝑥]0𝑏 + (𝛼 − 1)∫ 𝑥(𝛼−1)−1𝑒−𝑥𝑑𝑥

∞

0

= lim𝑏→∞

(𝑏𝛼−1

𝑒𝑏) + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)

= − lim𝑏→∞

[exp ((𝛼 − 1) ln 𝑏)

𝑒𝑏] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)

= − lim𝑏→∞

[exp ((𝛼 − 1) ln 𝑏 − 𝑏)] + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)

= − lim𝑏→∞

{exp [(𝛼 − 1)𝑏 (ln 𝑏)

𝑏− 1)]} + (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1)

= (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1).

2. 𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! Dengan 𝑛 bilangan bulat positif.

Bukti:

Berdasarkan sifat Gamma

𝛤(𝛼) = (𝛼 − 1)𝛤(𝛼 − 1),

sehingga diperoleh

𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)𝛤(𝑛 − 1)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝛤(𝑛 − 2)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)𝛤(𝑛 − 3)

= (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)… (3)(2)(1)𝛤(1) (2.1)

Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh

𝛤(1) = ∫ 𝑥1−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0


15

= lim𝑝→∞

∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥𝑝

0

= lim𝑝→∞

[−𝑒−𝑥]0𝑝

= 1

Persamaan (2.1) menjadi

𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)… (3)(2)(1)𝛤(1) = (𝑛 − 1)!.

3. 𝛤 (1

2) = √𝜋

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa 𝛤 (1

2) = √𝜋

Berdasarkan definisi 2.8

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥,∞

0

misalkan 𝑥 = 𝑢2, 𝑑𝑥 = 2𝑢 𝑑𝑢

𝛤(𝛼) = ∫ 𝑢2𝛼−2𝑒−𝑢2 2𝑢 𝑑𝑢

∞

0

= 2∫ 𝑢2𝛼−2𝑒−𝑢2 𝑢 𝑑𝑢

∞

0

= 2∫ 𝑢2𝛼−1𝑒−𝑢2 𝑑𝑢

∞

0

ketika 2𝛼 − 1 = 0 maka 𝛼 =1

2,

sehingga diperoleh

𝛤 (1

2) = ∫ 𝑒−𝑢

2 𝑑𝑢

∞

0

[𝛤 (1

2)]2

= [𝛤 (1

2)] [𝛤 (

1

2)]

= (2∫ 𝑒−𝑢2 𝑑𝑢

∞

0

)(2∫ 𝑒−𝑣2 𝑑𝑣

∞

0

)

= 4 ∫ ∫ 𝑒−(𝑢2+𝑣2) 𝑑𝑢

∞

0𝑑𝑣

∞

0.


16

Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi

integral polar. Misalkan 𝑢 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑣 = 𝑟 sin 𝜃 maka

𝑢2 + 𝑣2 = 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑟2𝑠𝑖𝑛2𝜃

= 𝑟2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2𝜃)

= 𝑟2

[𝛤 (1

2)]2

= 4∫ ∫ 𝑒−𝑟2 𝑑𝑢

𝜋2

0

𝑑𝑣∞

0

= 4∫ ∫ 𝑒−𝑟2 𝑟𝑑𝑟

𝜋2

0

𝑑𝑣∞

0

= 4(∫ 𝑑𝜃

𝜋2

0

)(∫ 𝑒−𝑟2 𝑟𝑑𝑟

∞

0

)

misalkan 𝑠 = 𝑟2, 𝑑𝑠 = 2𝑟 𝑑𝑟

= 4 (𝜋

2)(−

1

2lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑠 𝑑𝑠𝑏

0

)

= −𝜋 lim𝑏→∞

[−𝑒−𝑠]0𝑏

= −𝜋(0 − 1)

= 𝜋.

Definisi 2.9

Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 >

0 dan 𝛽 > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas 𝑋 adalah

𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥𝛽

𝛽𝛼𝛤(𝛼), 𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

0, selainnya

dengan 𝛤(𝛼) = ∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0.


17

Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma

Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1

Definisi 2.10

Misal 𝑣 adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random 𝑋 dikatakan

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas 𝑣 jika dan hanya jika 𝑋 merupakan

variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter 𝛼 =𝑣

2 dan 𝛽 = 2.

Fungsi densitasnya adalah

𝑓(𝑥) =

{

𝑥𝑣2−1𝑒−

𝑥2

2𝛼𝛤 (𝑣2), 𝑥2 > 0

0, selainnya

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 5 10 15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

ß=1,a=2

ß=2,a=2

ß=3,a=2

ß=5,a=1

ß=9,a=0.5

ß=7.5,a=1

ß=0.5,a=1


18

Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square

Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2

C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.11

Momen ke – 𝑘 dari variabel random 𝑋 di sekitar titik asal didefinisikan sebagai

𝐸(𝑋𝑘) dan dinotasikan dengan 𝜇′𝑘.

Contoh 2.4

Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2.

Jawab:

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

f(x)

v=1

v=2

v=3

v=4

v=6

v=9


19

Untuk k=1, 𝐸(𝑋) = 𝜇1′ = 𝜇. Untuk k=2, 𝐸(𝑋2) = 𝜇2

′. Hal ini dapat berguna saat

mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − (𝐸(𝑋))2

= 𝜇2′ − 𝜇2.

Definisi 2.12

Fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) untuk variabel random 𝑋 didefinisikan sebagai

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑥). Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah

konstanta positif 𝑏 berhingga untuk |𝑡| ≤ 𝑏.

Definisi 2.13

Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random 𝑋 adalah 𝐸(𝑒𝑡𝑥) dan dinyatakan

dengan 𝑚𝑥(𝑡). Sehingga

𝑚𝑥(𝑡) =

{

∑𝑒𝑡𝑥 𝑓(𝑥),

∀𝑥

jika 𝑋 diskrit

∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥),∞

−∞

jika 𝑋 kontinu

Contoh 2.5

1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal

𝑚𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)∞

−∞

= ∫ 𝑒𝑡(𝑥−𝜇)1

𝜎√2𝜋𝑒−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2∞

0

𝑑𝑥

misalkan 𝑢 = 𝑥 − 𝜇

= ∫ 𝑒𝑡𝑢1

𝜎√2𝜋𝑒−(𝑢)2

2𝜎2∞

0

𝑑𝑥

=1

𝜎√2𝜋∫ 𝑒𝑡𝑢𝑒

−(𝑢)2

2𝜎2∞

0

𝑑𝑥


20

=1

𝜎√2𝜋∫ 𝑒

𝑡𝑢−(𝑢)2

2𝜎2∞

0

𝑑𝑥

=1


−𝑢2

2𝜎2+2𝜎2𝑡𝑢2𝜎2

∞

0

𝑑𝑥

=1


−12𝜎2

(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)∞

0

𝑑𝑥

=𝑒𝑡

2𝜎2

2

𝑒𝑡2𝜎

2

2

1


−12𝜎2

(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)𝑑𝑥

∞

0

=1

𝜎√2𝜋𝑒𝑡

2𝜎2

2 ∫ 𝑒−𝑡2𝜎

2

2 ∙ 𝑒−

12𝜎2

(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢)∞

0

𝑑𝑥

=1

𝜎√2𝜋𝑒𝑡

2𝜎2

2 ∫ 𝑒−

12𝜎2

(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢+𝜎4𝑡2)∞

0

𝑑𝑥

= 𝑒𝑡2𝜎

2

2 ∫𝑒−

12𝜎2

(𝑢2−2𝜎2𝑡𝑢+𝜎4𝑡2)

𝜎√2𝜋

∞

0

𝑑𝑥

= 𝑒𝑡2𝜎

2

2 ∫1

𝜎√2𝜋𝑒−(𝑢−𝜎2𝑡)

2

2𝜎2∞

0

𝑑𝑥

= 𝑒𝑡2𝜎

2

2

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡2𝜎

2

2 .

2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma

𝑚𝑥(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥𝑓(𝑥)∞

−∞

= ∫ 𝑒𝑡𝑥1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥𝛽

∞

0

𝑑𝑥

= ∫1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)𝑥𝛼−1 𝑒𝑡𝑥 𝑒

−𝑥𝛽

∞

0

𝑑𝑥

=1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1 𝑒

𝑡𝑥−𝑥𝛽

∞

0

𝑑𝑥


21

=1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥𝛽+𝑡𝑥

𝑑𝑥∞

0

=1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥(1𝛽 − 𝑡)

𝑑𝑥∞

0

misalkan 1

𝑠=

1

𝛽− 𝑡

=1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)∫ 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥(

1𝑠 )𝑑𝑥

∞

0

=1

𝛽𝛼𝛤(𝛼)[𝛤(𝛼)𝑠(𝛼)]

=𝑠𝛼

𝛽𝛼

Ingat 1

𝑠=

1

𝛽− 𝑡 =

1−𝛽𝑡

𝛽, maka 𝑠 =

𝛽

1−𝛽𝑡

𝑠

𝛽=

𝛽1 − 𝛽𝑡

𝛽=

𝛽

1 − 𝛽𝑡∙1

𝛽=

1

1 − 𝛽𝑡

Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah

𝑚𝑥(𝑡) =𝑠𝛼

𝛽𝛼= (

𝑠

𝛽)𝛼

= (1

1 − 𝛽𝑡)𝛼

= (1 − 𝛽𝑡)−𝛼.

Teorema 2.3

Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen

1. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka

𝑚𝑐𝑋(𝑡) = 𝑚𝑋(𝑐𝑡).

2. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, maka

𝑚𝑋+𝑐(𝑡) = 𝑒𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥(𝑡).

3. Jika 𝑋 adalah variabel random dan 𝑎 & 𝑏 adalah dua buah konstanta, maka

𝑚(𝑋+𝑎)𝑏

(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡𝑏 ∙ 𝑚𝑥 (

𝑡

𝑏).


22

Bukti:

1. 𝑚𝑐𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑐𝑋)𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑐𝑡)𝑋) = 𝑚𝑋(𝑐𝑡).

2. 𝑚𝑋+𝑐(𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑋+𝑐)𝑡) = 𝐸(𝑒(𝑡𝑋)𝑒(𝑐𝑡)) = 𝑒𝑐𝑡 ∙ 𝑚𝑥(𝑡).

3. 𝑚(𝑋+𝑎)

𝑏

(𝑡) = 𝐸 (𝑒((𝑋+𝑎)

𝑏)𝑡) = 𝐸 (𝑒(

(𝑋𝑡+𝑎𝑡)

𝑏)) = 𝐸 (𝑒(

(𝑋𝑡)

𝑏)𝑒(

(𝑎𝑡)

𝑏)) = 𝑒

𝑎𝑡

𝑏 ∙ 𝑚𝑥 (𝑡

𝑏).

Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan

Misalkan 𝑚𝑥(𝑡) dan 𝑚𝑦(𝑡) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel

acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan 𝑚𝑥(𝑡) = 𝑚𝑦(𝑡)

untuk semua nilai dari 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 mempunyai distribusi probabilitas yang

sama.

Bukti:

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.

Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan

menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu

𝜑𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑖𝑡𝑥),

dengan 𝑖 adalah bilangan kompleks.

Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari

fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila 𝐹 dan 𝐺

adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu

∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐹(𝑥)∞

−∞

= ∫ 𝑒𝑖𝑡𝑥𝑑𝐺(𝑥) ∀𝑡 ∈ ℝ,∞

−∞

maka 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥). (Skripsi halaman 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi

pembangkit momen dengan fungsi probabilitas ∎


23

Teorema 2.5

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen 𝑚𝑋1(𝑡),𝑚𝑋2

(𝑡), … ,𝑚𝑋𝑛(𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛,

maka

𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2

(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡).

Bukti:

𝑚𝑈(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑈)

= 𝐸(𝑒𝑡(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛))

= 𝐸(𝑒𝑡𝑋1𝑒𝑡𝑋2 …𝑒𝑡𝑋𝑛)

= 𝐸(𝑒𝑡𝑋1) × 𝐸(𝑒𝑡𝑋2) × …× 𝐸(𝑒𝑡𝑋𝑛)

= 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2

(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡) ∎

D. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan

dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data

empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu

metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai

dari sampel.

Definisi 2.15

Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan (merupakan karakteristik)

populasi.

Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang

diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.


24

Contoh 2.6:

1. Populasi berdistribusi Normal dengan fungsi densitasnya adalah

𝑓(𝑥) = 1

𝜎 √2𝜋exp [− (

1

2𝜎2) ((𝑥 − 𝜇)2)] , −∞ < 𝑥 < ∞ memiliki parameter

𝜇 dan 𝜎2, dengan 𝜇 merupakan rata-rata populasi dan 𝜎2 merupakan variansi

populasi.

2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah 𝑓(𝑥; 𝜆) =

𝜆𝑒−𝜆𝑥, dengan 𝜆 > 0. Maka untuk setiap 𝜆 > 0, 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah fungsi densitas.

Kumpulan dari 𝑓(𝑥; 𝜆) adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas.

Definisi 2.16

Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang

digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas

pengukuran di dalam sampel.

Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan

penduga selang (interval estimation).

Definisi 2.17

Penduga Titik (Point Estimation)

Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya

menduga parameter yang sebenarnya.

Contoh 2.7

Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus

�̅� =1

𝑛∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇.


25

Definisi 2.18

Penduga Selang (Interval Estimation)

Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang

besar akan memuat parameter sebenarnya.

E. Selang Kepercayaan

Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai

yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan

memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter 𝜃, kedua, intervalnya akan

relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran

sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel

yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat

secara pasti mengetahui letak dari parameter 𝜃, tapi kita tahu bahwa letaknya di

dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang

relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter 𝜃.

Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan (Confidence

Interval). Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut

juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan

akan memuat parameter 𝜃 disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang

praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah 𝑖 dalam sampling

berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter 𝜃 yang menjadi sasaran.

Contoh, misal koefisien kepercayannya 95% , artinya jika ada sampling sebanyak

100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat 𝜃. Jika diketahui bahwa

koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat

dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan

hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter 𝜃.

Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas

bawah selang kepercayaan random untuk parameter 𝜃.


26

Maka, jika 𝑃 (𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼 , peluang (1 − 𝛼) adalah koefisien

kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] disebut selang

kepercayaan dua sisi.

Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah

yaitu

𝑃 (𝜃𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼,

selang kepercayaannya adalah [𝜃𝐿 , ∞). Dengan cara yang sama, dapat dibentuk

selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu

𝑃 (𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,

selang kepercayaannya adalah (−∞, 𝜃𝑈].

Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut

metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas

Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃, dengan 𝜃 adalah

kuantitas yang tidak diketahui.

2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝜃.

Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut

dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika 𝑌 merupakan variabel

random, 𝑐 > 0 adalah konstan, dan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) = 0.7; maka jelas bahwa

𝑃(𝑐𝑎 ≤ 𝑐𝑌 ≤ 𝑐𝑏) = 0.7. Dengan cara yang sama untuk setiap konstan 𝑑,

𝑃(𝑎 + 𝑑 ≤ 𝑌 + 𝑑 ≤ 𝑏 + 𝑑) = 0.7. Peluang kejadian 𝑃(𝑎 ≤ 𝑌 ≤ 𝑏) tidak

dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari 𝑌.

Contoh 2.8

Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi

Eksponensial dengan mean θ. Dengan menggunakan 𝑌, buatlah selang

kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90.


27

Jawab:

Fungsi densitas untuk Y adalah sebagai berikut

𝑓(𝑦) = {(1

θ) 𝑒−

𝑦θ , 𝑦 ≥ 0

0, selainnya

Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U =𝑌

θ memenuhi

syarat sebagai kuantitas Pivot.

F𝑢(𝑢) = 𝑃(𝑈 ≤ 𝑢) = 𝑃 (𝑌

θ≤ 𝑢) = 𝑃(𝑌 ≤ θ𝑢) = F𝑌(θ𝑢) (2.2)

F𝑌(y) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑦

−∞

= ∫1

θ

𝑦

−∞

𝑒−𝑡θ𝑑𝑡 = 1 − 𝑒−

𝑦θ (2.3)

Dari (2.2) dan (2.3) diperoleh

F𝑌(θ𝑢) = 1 − 𝑒−𝑢𝜃θ = 1 − 𝑒−

𝑢θ

f𝑢(𝑢) = F𝑢′(𝑢) = F𝑌

′(θ𝑢) = 𝑒−𝑢

U =𝑌

θ adalah kuantitas Pivot, karena

1. U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝜃 yang tidak

diketahui.

2. f𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝜃.

Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan

0.90, akan dicari 𝑎 dan 𝑏 untuk 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90


28

Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90

𝑃(𝑈 < 𝑎) = ∫ 𝑒−𝑢𝑎

0𝑑𝑢 = 0.05 dan 𝑃(𝑈 > 𝑏) = ∫ 𝑒−𝑢

∞

𝑏𝑑𝑢 = 0.05

Maka, 1 − 𝑒−𝑎 = 0.05 𝑒−𝑏 = 0.05

𝑒−𝑎 = 1 − 0.05 𝑙𝑛(𝑒−𝑏) = ln(0.05)

𝑒−𝑎 = 0.95 −𝑏 = −2.99573

ln(𝑒−𝑎) = ln(0.95) 𝑏 = 2.99573

−𝑎 = −0.0512

𝑎 = 0.0512

Diperoleh 𝑎 = 0.0512 dan 𝑏 = 2.99573 sehingga 𝑃(𝑎 ≤ 𝑈 ≤ 𝑏) = 0.90

menjadi

𝑃(0.0512 ≤ 𝑈 ≤ 2.99573) = 0.90

𝑃 (0.0512 ≤𝑌

𝜃≤ 2.99573) = 0.90

𝑃 (0.0512

𝑌≤1

𝜃≤2.99573

𝑌) = 0.90

𝑃 (𝑌

0.0512≥ 𝜃 ≥

𝑌

2.99573) = 0.90

𝑃 (𝑌

2.99573≤ 𝜃 ≤

𝑌

0.0512) = 0.90

0.05

0.050.90

a b

𝑢

𝑓(𝑢)


29

Jadi, selang kepercayaan bagi 𝜃 dengan koefisien kepercayaan 0.90 adalah

𝑃 (𝑌

2.99573≤ 𝜃 ≤

𝑌

0.0512) = 0.90.

F. Ukuran Penduga Yang Baik

Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang

sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau

memiliki bias yang sekecil mungkin.

Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik

Definisi 2.19

Misalkan 𝜃 adalah penduga titik dari parameter 𝜃, maka 𝜃 adalah penduga tak

bias jika E(θ̂) = θ. Jika E(θ̂) ≠ θ, maka θ̂ disebut bias.

Definisi 2.20

Bias dari penduga titik 𝜃 didefinisikan sebagai 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.

Contoh 2.9

Diberikan 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑛 merupakan sampel random dari populasi memiliki

fungsi densitas sebagai berikut

𝑓(𝑦) = {(

1

θ + 1) 𝑒

−𝑦

(θ+1), 𝑦 > 0, 𝜃 > −1

0, selainnya

Tentukan penduga yang tak bias bagi 𝜃. Apakah �̅� merupakan penduga yang tak

bias bagi 𝜃?

Jawab:

Akan dicoba �̅� sebagai penduga 𝜃.


30

𝐸(�̅�) = 𝐸 (∑ 𝑌𝑖𝑛𝑖=1

𝑛) =

1

𝑛𝐸 (∑𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

) =1

𝑛∑𝐸(𝑌𝑖) =

1

𝑛𝑛(𝜃 + 1) = 𝜃 + 1.

Jadi �̅� bias.

Biasnya dari �̅� adalah 1, maka

𝐸(�̅�) = 𝜃 + 1

𝐸(�̅� − 1) = 𝜃

Jadi, �̅� − 1 adalah penduga tak bias dari 𝜃.

Definisi 2.21

Rata-rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik 𝜃 adalah

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃 )2].

Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga 𝜃 adalah fungsi dari variansi dan

biasnya.

Teorema 2.6

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)2]

Bukti:

𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃)) + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))2

+ 2(𝜃 − 𝐸 (𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃) + (𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))2

] + 𝐸 [2 (𝜃 − 𝐸 (𝜃)) (𝐸(𝜃) − 𝜃)] + 𝐸 [(𝐸(𝜃) − 𝜃)2]

= 𝑉(𝜃) + 2𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))𝐵(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)𝐸 [(𝜃 − 𝐸 (𝜃))] + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + 2𝐵(𝜃)𝐸 (𝜃) − 𝐸[𝐸(𝜃)] + [𝐵(𝜃)]2


31

= 𝑉(𝜃) + 0 + [𝐵(𝜃)]2

= 𝑉(𝜃) + [𝐵(𝜃)]2 ∎

G. Metode Kuadrat Terkecil

Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui

hubungan antara variabel terikat (dependen;𝑌) dengan satu atau lebih variabel

bebas (independen;𝑋).

Definisi 2.22

Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛

dengan 𝑌𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel dependen 𝑌

𝑋𝑖 = pengamatan ke- 𝑖 variabel independen 𝑥

𝛽0 = intersep (konstanta)

𝛽1 = parameter regresi

𝑢𝑖 = galat (error) dari pengamatan ke-𝑖

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu

metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter

model regresi. Misalkan (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) pasangan sampel random berukuran 𝑛

pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis

regresinya adalah

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 .

Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari 𝛽0 dan

𝛽1, yaitu 𝛽0̂ dan 𝛽1̂. Dengan asumsi 𝐸(𝑢𝑖) = 0 persamaan regresi akan diduga

dengan

𝑌�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑋𝑖.

Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari 𝛽0 dan 𝛽1 yang

meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).


32

Definisi 2.23

Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefinisikan sebagai berikut

𝑆𝑆𝐸 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑦�̂�)2 = ∑[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]

2.

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

Jumlah Kuadrat Galat (SSE) akan memiliki nilai minimum jika nilai 𝛽0̂ dan 𝛽1̂

memenuhi persamaan 𝜕𝑆𝑆𝐸

𝜕𝛽0̂= 0 dan

𝜕𝑆𝑆𝐸

𝜕𝛽1̂= 0. Dengan menggunakan turunan

parsial terhadap 𝛽0̂ dan 𝛽1̂, maka diperoleh

𝜕𝑆𝑆𝐸

𝜕𝛽0̂=𝜕( ∑ [𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]

2𝑛𝑖=1

𝜕𝛽0̂ = 0

= −∑2[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]

𝑛

𝑖=1

= 0

= −2(∑𝑦𝑖 − ∑( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

) = 0

= (∑𝑦𝑖 − 𝑛𝛽0̂ − 𝛽1̂∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

) = 0

∑𝑦𝑖 = 𝑛𝛽0̂ + 𝛽1̂∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

(2.4)

dan

𝜕𝑆𝑆𝐸

𝜕𝛽1̂ =

𝜕( ∑ [𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]2𝑛

𝑖=1

𝜕𝛽1̂= 0

= −∑ 2[𝑦𝑖 − ( 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖)]𝑥𝑖𝑛𝑖=1 = 0

= −2(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝛽0̂∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − 𝛽1̂ ∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 𝑛

𝑖=1 ) = 0

= (∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝛽0̂∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 − 𝛽1̂ ∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 𝑛

𝑖=1 ) = 0

∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝛽0̂∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

(2.5)


33

Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka

akan diperoleh 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ sebagai berikut

𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −

1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

= ∑ (𝑌𝑖 − �̅�)𝑛𝑖=1 (𝑥𝑖 − �̅�)

∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2𝑛𝑖=1

(2.6)

𝛽0̂ = −1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 +

1𝑛∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 − 1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

=

1𝑛∑ 𝑥𝑖


𝑛𝑖=1 −

1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

=

1𝑛 ∑ 𝑦𝑖𝑛𝑖=1 (∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2) − (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −

1𝑛∑ 𝑥𝑖 ∑ 𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 ) (

1𝑛 ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

=

1𝑛∑ 𝑥𝑖


𝑛𝑖=1 − (

1𝑛2 ∑ 𝑦𝑖(∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2𝑛

𝑖=1 ) − 1𝑛∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 ∑ 𝑥𝑖 + (

1𝑛2 ∑ 𝑦𝑖(∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2𝑛

𝑖=1 )𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

=1

𝑛 ∑𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

−∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −


𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1 −

1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

(1

𝑛 ∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

)

= �̅� − 𝛽1̂ �̅� (2.7)

Penduga 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ pada persamaan (2.6) dan (2.7) adalah penduga yang

memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka 𝛽0̂ dan 𝛽1̂ adalah titik

minimum.

Contoh 2.10

Tentukan koefisien dari garis lurus dengan model 𝑦�̂� = 𝛽0̂ + 𝛽1̂𝑥𝑖 untuk 𝑛 = 15

titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode

Kuadrat Terkecil.


34

Tabel 2.1 Data Contoh 2.10

No Roe (𝑥𝑖) Gaji (𝑦𝑖)

1 14.1 1095

2 10.9 1001

3 23.5 1122

4 5.9 578

5 13.8 1368

6 20.0 1145

7 16.4 1078

8 16.3 1094

9 10.5 1237

10 26.3 833

11 25.9 567

12 26.8 933

13 14.8 1339

14 22.3 937

15 56.3 2011

Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th

Edition). South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh

hasil

𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 −


𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 − 1𝑛 (∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 )2

= 361935.1 −

115(303.8)(16338)

8106.78 − 115(303.8)2

= 15.884

𝛽0̂ = �̅� − 𝛽1̂ �̅� = 1089.2 − (15.884 ∗ 20.25333) = 767.4784

Jadi, penyelesaiannya adalah �̂� = 767.4784 + 15.884 𝑥.


35

Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil

Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat

dilihat pada lampiran A.3.

H. Metode Kemungkinan Maksimum

Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan

dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga

bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak

diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.

Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel

random menghasilkan dua bola merah, dapat disimpulkan bahwa jumlah bola

merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah

pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika

mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu

bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara random adalah

0 10 20 30 40 50 60

05

00

10

00

15

00

20

00

X

Y


36

(22)(10)

(32)

= 1

3

Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluang terpilihnya tiga bola

merah secara random adalah

(32)

(32)= 1

Oleh karena itu dipilih tiga sebagai perkiraan jumlah bola merah di dalam

kotak, karena perkiraan ini memaksimumkan peluang dari sampel yang diamati.

Tentu saja, ada kemungkinan bahwa kotak hanya berisi dua bola merah, tetapi hasil

yang diamati memberikan kepercayaan lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam

kotak.

Contoh ini mengilustrasikan suatu metode untuk menemukan suatu penduga

yang dapat diaplikasikan di berbagai situasi. Metode ini disebut Metode

Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).

Definisi 2.24

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berukuran 𝑛 dengan fungsi

densitas 𝑓(𝑥; 𝜃) dan 𝜃 adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood

dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari 𝑛 variabel random dan

merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood

dinotasikan dengan 𝐿 (𝑥|𝜃) dan didefinisikan sebagai 𝐿 (𝑥|𝜃) =

∏ 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)𝑛𝑖=1 , dengan 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃) adalah notasi fungsi probabilitas dari 𝑥𝑖 dengan

parameter 𝜃.

Definisi 2.25

Bila fungsi kemungkinan 𝐿 (𝜃) bergantung pada 𝑘 buah parameter yaitu

𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 maka tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

menentukan penduga dari 𝜃 yang memaksimumkan 𝐿 (𝑥|𝜃) =


37

𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan fungsi

log-likelihood 𝑙(𝑥|𝜃) dengan 𝑙 = ln 𝐿 (𝑥|𝜃).

Nilai parameter 𝜃 dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-

likelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama

dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE 𝜃

merupakan penyelesaian persamaan 𝜕𝐿

𝜕𝜃= 𝜃. Misalkan terdapat 𝑘 parameter yang

tidak diketahui, maka pendugaan 𝜃𝑖 dengan Metode Kemungkinan Maksimum

𝜕𝐿

𝜕𝜃𝑖 = 0 dengan 𝑙 = ln(𝜃1, 𝜃2, . . . , 𝜃𝑘 ) dan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑘.

Contoh 2.11

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah sampel random berdistribusi Normal dengan rata-

rata 𝜇 dan variansi 𝜎2. Tentukan �̂� dan 𝜎2̂ dengan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum.

Jawab:

𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan rata-

rata 𝜇 dan variansi 𝜎2 maka fungsi probabilitas densitasnya didefinisikan sebagai

berikut

𝑓(𝑥) =1

𝜎 √2𝜋exp [− (

1

2𝜎2) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2)] , − ∞ < 𝑥 < ∞

Berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh

𝐿 (𝜇|𝜎2) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜇, 𝜎2)

𝑛

𝑖=1

= 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 ; 𝜇, 𝜎2)

= 𝑓(𝑥1|𝜇, 𝜎2) × 𝑓(𝑥2|𝜇, 𝜎

2) × … × 𝑓(𝑥𝑛|𝜇, 𝜎2)

= [1

𝜎 √2𝜋exp (− (

1

2𝜎2) ((𝑥1 − 𝜇)2))] × …

×1

𝜎 √2𝜋exp (−(

1

2𝜎2) ((𝑥𝑛 − 𝜇)2))


38

= (1

𝜎2 2𝜋)

𝑛2exp [−(

1

2𝜎2)∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2

𝑛

𝑖=1

]

Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah

ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)] = ln {(1

𝜎2 2𝜋)

𝑛2exp [− (

1

2𝜎2)∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2

𝑛

𝑖=1

]}

=𝑛

2[ln (

1

𝜎2 2𝜋)] −

1

2𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

=𝑛

2ln 𝜎2 −

𝑛

2ln 2𝜋 −

1

2𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

2

𝑛

𝑖=1

Penduga Kemungkinan Maksimum dari 𝜇 dan 𝜎2 adalah penduga yang

memaksimumkan ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap 𝜇

dan 𝜎2, maka diperoleh

∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)]

𝜕𝜇=

1

𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

(2.6)

∂ln[𝐿 (𝜇|𝜎2)]

𝜕𝜎2= −

𝑛

2𝜎2+

1

2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

(2.7)

Jika persamaan (2.6) diselesaikan maka akan diperoleh

1

𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

= 0

∑(𝑥𝑖 − 𝜇)

𝑛

𝑖=1

= 0

∑𝑥𝑖 − 𝑛𝜇

𝑛

𝑖=1

= 0

�̂� = ∑ 𝑥𝑖 𝑛𝑖=1

𝑛= �̅�


39

dan jika persamaan (2.7) diselesaikan maka akan diperoleh

−𝑛

2𝜎2+

1

2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

= 0

1

2𝜎4 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

=𝑛

2𝜎2

1

𝜎2 ∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

= 𝑛

𝜎2̂ =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2𝑛

𝑖=1

Dengan substitusi hasil dari persamaan (2.6) yaitu 𝜇 = �̅� maka hasil dari

persamaan (2.7) menjadi 𝜎2 =1

𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2.𝑛𝑖=1 Jadi, penduga kemungkinan

maksimum untuk �̂� dan 𝜎2̂ adalah �̂� = �̅� dan 𝜎2̂ =1

𝑛∑ (𝑥𝑖 − �̅�)2.𝑛𝑖=1

I. Uji Kolmogorov-Smirnov

Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan

distribusi yang mendasari suatu kumpulan data. Uji kecocokan (goodness of fit

test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang

tidak diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya uji ini mencakup

perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi

teoritisnya.

Misalkan variabel random 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 berasal dari distribusi yang tidak

diketahui 𝐹(𝑥), dan dimisalkan 𝑥(1) < 𝑥(2) < . . < 𝑥(𝑛) adalah statistik terurut,

akan diuji hipotesis bahwa 𝐹(𝑥) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu

𝐹𝑛(𝑥).


40

Definisi 2.26

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)

didefinisikan sebagai

𝐹𝑛(𝑥) = 1

𝑛∑1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)

𝑛

𝑖=1

Contoh 2.12

Diberikan 10 sampel random yang memuat 𝑥1 = 0.621, 𝑥2 = 0.503, 𝑥3 =

0.203, 𝑥4 = 0.477, 𝑥5 = 0.710, 𝑥6 = 0.581, 𝑥7 = 0.329, 𝑥8 = 0.480, 𝑥9 =

0.554, 𝑥10 = 0.382.

Berdasarkan definisi 2.26 fungsi distribusi empirisnya adalah

𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) = 1

𝑛∑1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥(𝑖))

𝑛

𝑖=1

Dengan 𝑥(𝑖) adalah statistik terurut dari 𝑥𝑖, 𝑖=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Maka akan

diperoleh

𝑥(𝑖) 0.203 0.329 0.382 0.477 0.480 0.503 0.554 0.581 0.621 0.71

𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Definisi 2.27

Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov 𝐷𝑛 didefinisikan sebagai

𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐷+, 𝐷−)

𝐷+ = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹0(𝑥(𝑖)))

𝐷− = 𝑚𝑎𝑘𝑠 (𝐹0(𝑥(𝑖)) − 𝐹𝑛−1(𝑥𝑖))

Dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah

𝐻0: 𝐹(𝑥) = 𝐹0(𝑥)


41

Untuk setiap 𝑥 dengan 𝐹0(𝑥) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui,

dan

𝐻1: 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0(𝑥)

Jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛) yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka 𝐻0

ditolak pada tingkat signifikansi 𝛼. 𝐷𝛼(𝑛) adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov

pada tingkat 𝛼 dan ukuran sampel 𝑛. Tabel 𝐷𝛼(𝑛) dapat dilihat pada lampiran A.4.

J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data

berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan Kolmogorov-

Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh.

Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah

sebagai berikut

1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh

2. 𝐻1= data tidak berdistribusi Rayleigh

3. Tentukan tingkat signifikansi 𝛼

4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)

5. Wilayah kritis

𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛)

6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar

b) Hitunglah 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

Rayleigh

c) Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)

d) Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan tentukan

maksimum dari 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)

7. Kesimpulan


42

Contoh 2.13

Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2

Tabel 2.2 Data Contoh 2.13

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝑥𝑖 2 0.2 1 1.8 2.7 5 3.6 1.4 4.7 1.5

No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

𝑥𝑖 4.2 3 2.1 2.4 3.1 4 2.8 3.2 4.1 2.6

Jawab:

1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2

2. 𝐻1 = data tidak berdistribusi Rayleigh

3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05

4. Statistik Uji: 𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)

5. Wilayah kritis

𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝛼(𝑛) = 0.29408


b) Akan dihitung 𝐹0(𝑥) berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari

distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (−(𝑥2

2𝑏2))

c) Akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥) berdasarkan definisi 2.26

d) Akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan


Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13

𝑖 𝑥(𝑖) 𝐹0(𝑥(𝑖)) 𝐹𝑛(𝑥(𝑖)) 𝐹𝑛−1(𝑥(𝑖)) 𝐷+ 𝐷−

1 0.20 0.0050 0.0500 0.0000 0.0450 0.0050

2 1.00 0.1175 0.1000 0.0500 -0.0175 0.0675

3 1.40 0.2173 0.1500 0.1000 -0.0673 0.1173

4 1.50 0.2452 0.2000 0.1500 -0.0452 0.0952

5 1.80 0.3330 0.2500 0.2000 -0.0830 0.1330

6 2.00 0.3935 0.3000 0.2500 -0.0935 0.1435

7 2.10 0.4238 0.3500 0.3000 -.0.0738 0.1238


43

8 2.40 0.5132 0.4000 0.3500 -0.1132 0.1632

9 2.60 0.5704 0.4500 0.4000 -0.1204 0.1704

10 2.70 0.5980 0.5000 0.4500 -0.0980 0.1480

11 2.80 0.6247 0.5500 0.5000 -0.0747 0.1247

12 3.00 0.6753 0.6000 0.5500 -0.0753 0.1253

13 3.10 0.6992 0.6500 0.6000 -0.0492 0.0992

14 3.20 0.7220 0.7000 0.6500 -0.0220 0.0720

15 3.60 0.8021 0.7500 0.7000 -0.0521 0.1021

16 4.00 0.8647 0.8000 0.7500 -0.0647 0.1147

17 4.10 0.8777 0.8500 0.8000 -0.0277 0.0777

18 4.20 0.8897 0.9000 0.8500 0.0103 0.397

19 4.70 0.9368 0.9500 0.9000 0.0132 0.0368

20 5.00 0.9561 1.000 0.9500 0.0439 0.0061

Maksimum 0.0450 0.1704

Gambar 2.5 Grafik 𝐹0(𝑥(𝑖)) dan 𝐹𝑛(𝑥(𝑖))

Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5.

7. Kesimpulan

𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.0.18949 ≤ 𝐷𝛼(𝑛) = 0.29408, maka data di atas

berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 2.

1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Xi

F

F0(xi)

Fn(xi)

𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−) = 0.1704


44

BAB III

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE

KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Rayleigh

Definisi 3.1

Variabel random 𝑋 dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu

parameter bila fungsi probabilitasnya

𝑓(𝑥; 𝑏)={𝑥

𝑏2𝑒(−𝑥2

2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0

0, selainnya

dengan 𝑏 adalah parameter skala (scale parameter).

Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi

Rayleigh merupakan fungsi densitas.

1) 𝑓(𝑥, 𝑏) ≥ 0,untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅

Jelas bahwa 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.

2) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑏)∞

−∞𝑑𝑥 = 1

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫ 𝑓(𝑥)∞

−∞𝑑𝑥 = 1

Misalkan 𝑢 = (𝑥2

2𝑏2) maka 𝑑𝑢 =

1

𝑏2𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)∞

0

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥

𝑏2𝑒−(

𝑥2

2𝑏2)

∞

0

𝑑𝑥

= lim𝑐→∞

∫ 𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑐

0

= lim𝑐→∞

−𝑒−𝑢|0𝑐

= lim𝑐→∞

− 𝑒−𝑐 + 𝑒0 = 1.

Terbukti bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi densitas.


45

Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut

Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai 𝑏 = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3.


Definisi 3.3

Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang

diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi

Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh

𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑥

0

𝑑𝑡

= ∫ 𝑡

𝑏2𝑒−(

𝑡2

2𝑏2)

𝑥

0

𝑑𝑡

Misalkan 𝑢 = (𝑡2

2𝑏2) maka 𝑑𝑢 =

1

𝑏2𝑡 𝑑𝑡

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

f(x)

b=0.5

b=0.8

b=1

b=1.5

b=2

b=3


46

𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑡

𝑏2𝑒−(

𝑡2

2𝑏2)

𝑥

0

𝑑𝑡

= ∫ 𝑒−𝑢𝑑𝑢𝑥

0

= ∫ exp(−𝑢) 𝑑𝑢𝑥

0

= −exp (−𝑢)|0𝑥

= −exp (−(𝑥2

2𝑏2))|

0

𝑥

= 1 − exp (−(𝑥2

2𝑏2)).

Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah 1 − exp (−(𝑥2

2𝑏2)).

Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh


0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)

b=0.5

b=0.8

b=1

b=1.5

b=2

b=3


47

B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter

Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata

(mean) dan variansi.

a. Rata-rata (Mean)

Berdasarkan definisi 2.6,

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 . 𝑓(𝑥)∞

−∞

𝑑𝑥

= lim𝑐→∞

∫ 𝑥𝑥

𝑏2𝑒−(

𝑥2

2𝑏2)

𝑐

0

𝑑𝑥

= 1

𝑏2 lim𝑐→∞

∫ 𝑥. 𝑥 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2)

𝑐

0

𝑑𝑥

=1

𝑏2 [𝑥 ∫ 𝑥 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥 ] − lim

𝑐→∞∫ 2 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

= 1

𝑏2 [0 − (−𝑏2 lim

𝑐→∞∫ 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

]

= 0 − lim𝑐→∞

∫ 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

=√2𝜋𝑏2

√2𝜋𝑏2 lim𝑐→∞

∫ 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

Dengan mengingat contoh 2.2 bahwa ∫1

𝜎 √2𝜋 𝑒−

1

2 (𝑥−𝜇

𝜎)2

𝑑𝑥 = 1,∞

−∞ atau

1

𝜎 √2𝜋∫ 𝑒−

1

2 (𝑥−𝜇

𝜎)2

𝑑𝑥 =1

𝜎 √2𝜋(𝜎 √2𝜋) = 1,

∞

−∞ maka ∫ 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

∞

0 akan memiliki

penyelesaian √2𝜋𝑏2

2, sehingga

=√2𝜋𝑏2

√2𝜋𝑏2 .√2𝜋𝑏2

2

= 𝑏√2𝜋

2


48

= 𝑏√𝜋

2.

Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah 𝐸(𝑋) = 𝑏√𝜋

2, dengan 𝜋 = 3,14.

b. Variansi

Berdasarkan teorema 2.1,

𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2,

diketahui 𝐸(𝑋) = 𝑏√𝜋

2, maka untuk mencari 𝑉 (𝑋) akan dihitung terlebih dahulu

𝐸(𝑋2) = ∫ 𝑥2 . 𝑓(𝑥)∞

−∞

𝑑𝑥

= lim𝑐→∞

∫ 𝑥2𝑥

𝑏2𝑒−(

𝑥2

2𝑏2)

𝑐

0

𝑑𝑥

= 𝑥2 lim𝑐→∞

∫𝑥

𝑏2 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2)𝑑𝑥

𝑐

0

− lim𝑐→∞

∫ 2𝑥 𝑥

𝑏2 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

= 𝑥2 (1

2𝑏2(2𝑏2) 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2)|0

∞

) − lim𝑐→∞

∫ 2𝑥 1

𝑏21

2 (2𝑏2)𝑒

−(𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

= 0 − (−2 lim𝑐→∞

∫ 𝑥 𝑒−(

𝑥2

2𝑏2) 𝑑𝑥

𝑐

0

)

= 2 (−2𝑏2)1

2 𝑒

−(𝑥2

2𝑏2)|0

∞

= 0 − (−2𝑏2)

= 2𝑏2

sehingga diperoleh

𝑉 (𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2 = 2𝑏2 − (𝑏√𝜋

2)

2

= 2𝑏2 − 𝑏2 𝜋

2= 𝑏2 (2 −

𝜋

2 ).

Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah 𝑉 (𝑋) = 𝑏2 (2 − 𝜋

2 ), dengan 𝜋 = 3,14.


49

C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala 𝑏,

pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya

adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk

menduga parameter dari sebuah model linear.

Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah

𝐹(𝑥) = 1 − exp(−(𝑥2

2𝑏2)).

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi

nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga

parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi

persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut

𝐹(𝑥𝑖) = 1 − exp (−(𝑥2

2𝑏2))

exp (−(𝑥2

2𝑏2)) = 1 − 𝐹(𝑥𝑖)

ln (exp (−(𝑥2

2𝑏2))) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))

− (𝑥2

2𝑏2) = ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))

𝑥2 = −2𝑏2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))

𝑥𝑖 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)) (3.1).


50

Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 dengan

𝑌𝑖 = 𝑥𝑖, 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan

𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)), dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan

persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu

∑𝑦𝑖 = 𝑛𝛽0̂ + 𝛽1̂∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 𝛽0̂∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

dan diketahui untuk β0̂ yang merupakan penduga dari β0 = 0 maka β0̂ tidak akan

dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut

∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 0∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

∑𝑥𝑖𝑦𝑖 = 0 + 𝛽1̂ ∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝛽1̂ = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛𝑖=1

(3.2)

Karena 𝛽1̂ merupakan penduga dari 𝛽1 = 𝑏, maka 𝛽1̂ = �̂� kemudian nilai 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖,

𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)) disubstitusikan ke persamaan (3.2)


51

�̂� =

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))

2

𝑛𝑖=1

=

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1

(3.3)

𝐹(𝑥𝑖) pada persamaan (3.3) tidak diketahui maka akan diduga dengan �̂�(𝑥𝑖).

Karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖) diduga dengan

�̂�(𝑥𝑖) =𝑖

𝑛+1, bukan dengan

1

𝑛∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)𝑛𝑖=1 sebagaimana definisi 2.26.

D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan

Maksimum

Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang

digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan

penduga parameter 𝜃, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan

parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala 𝑏. Menurut definisi

3.2, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah

𝑓(𝑥; 𝑏)={𝑥

𝑏2𝑒(−𝑥2

2𝑏2), 𝑥 ≥ 0, 𝑏 > 0

0, selainnya

Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah

𝐿 (𝑥|𝜃) =∏𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)

𝑛

𝑖=1

Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah

𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝑏2) = ∏𝑓 (𝑥𝑖 ; 𝑏

2)

𝑛

𝑖=1

Untuk selanjutnya 𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 |𝑏2) akan ditulis dengan 𝐿. Misalkan

𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 merupakan sampel random dari 𝑛 observasi dari populasi Rayleigh,

maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu


52

𝐿 =∏𝑥𝑖𝑏2

𝑛

𝑖=1

𝑒(−𝑥𝑖

2

2𝑏2)= ∏ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑏2𝑛 𝑒−∑𝑥𝑖

2

2𝑏2

=1


2

2𝑏2 ∏ 𝑥𝑖𝑛

𝑖=1 (3.3)

Penduga parameter �̂� dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-

likelihood-nya. Untuk menduga 𝑏 akan dilakukan pendugaan terhadap 𝑏2 terlebih

dahulu, yaitu 𝑏2̂. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial

pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya,

gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan (3.3) tersebut menjadi

persamaan linear

ln 𝐿 = ln (1


2


𝑖=1)

ln 𝐿 = −ln(𝑏2𝑛) + ln (𝑒−∑𝑥𝑖

2

2𝑏2 ) + ln (∏ 𝑥𝑖𝑛

𝑖=1)

ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏2 +−∑𝑥𝑖

2

2𝑏2+ ∑𝑙𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

ln 𝐿 = −𝑛 ln 𝑏2 −∑𝑥𝑖

2


𝑛

𝑖=1

(3.4)

Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari

turunan parsial pertamanya terhadap 𝑏2 dan nilai dari turunannya disama dengankan

nol, maka akan diperoleh

𝑑(ln 𝐿)

𝑑𝑏2=

𝑑

𝑑𝑏2(−𝑛 ln 𝑏2 −

∑𝑥𝑖2


𝑛

𝑖=1

) = 0

=𝑑

𝑑𝑏2(−𝑛 ln 𝑏2) +

𝑑

𝑑𝑏2(−

∑𝑥𝑖2

2𝑏2) +

𝑑

𝑑𝑏2(∑𝑙𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

) = 0

= −𝑛

𝑏2+∑𝑥𝑖

2

2𝑏4= 0 (3.5)

Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian


53

−𝑛

𝑏2+∑𝑥𝑖

2

2𝑏4= 0

𝑛

𝑏2=∑𝑥𝑖

2

2𝑏4

1

𝑏2=∑𝑥𝑖

2

2𝑏4𝑛

𝑏2̂ = ∑ 𝑥𝑖

2

2𝑛 (3.6)

Karena 𝑏2̂ merupakan penduga dari 𝑏2̂ = ∑𝑥𝑖

2

2𝑛, maka penduga bagi 𝑏 adalah

�̂� = √∑𝑥𝑖2

2𝑛.

E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh

Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan

berguna untuk mencari fungsi densitas dari 𝑏2̂. Berdasarkan definisi 2.13, maka

diperoleh

𝑚𝑥2(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥2

∞

−∞

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

= ∫ 𝑒𝑡𝑥2 𝑥

𝑏2𝑒−𝑥2

2𝑏2∞

−∞

𝑑𝑥

= lim𝑐→∞

∫1

𝑏2𝑥 𝑒𝑡𝑥

2 𝑒−𝑥2

2𝑏2𝑐

0

𝑑𝑥

= 1

𝑏2lim𝑐→∞

∫ 𝑥 𝑒𝑡𝑥2−

𝑥2

2𝑏2𝑐

0

𝑑𝑥

= 1

𝑏2lim𝑐→∞

∫ 𝑥 𝑒−𝑥2

2𝑏2+𝑡𝑥2

𝑐

0

𝑑𝑥

= 1

𝑏2lim𝑐→∞

∫ 𝑥 𝑒−𝑥2(

12𝑏2

− 𝑡)𝑐

0

𝑑𝑥

Misalkan 1

𝑤=

1

2𝑏2− 𝑡


54

= 1

𝑏2lim𝑐→∞

∫ 𝑥 𝑒−𝑥2(1𝑤)

𝑐

0

𝑑𝑥

Misalkan 𝑢 = 𝑥2, 𝑥 = √𝑢, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

2𝑥=

𝑑𝑢

2√𝑢

= 1

𝑏2lim𝑐→∞

∫ √𝑢 𝑒−𝑢(

1𝑤)

𝑐

0

𝑑𝑢

2√𝑢

= 1

2𝑏2lim𝑐→∞

∫ 𝑒−𝑢(1𝑤)𝑑𝑢

𝑐

0

= 1

2𝑏2𝜞(1)𝑤

= 𝑤

2𝑏2

Ingat 1

𝑤=

1

2𝑏2− 𝑡 =

1− 2𝑏2𝑡

2𝑏2, sehingga, 𝑤 =

2𝑏2

1− 2𝑏2𝑡.

𝑤

2𝑏2=

2𝑏2

1 − 2𝑏2𝑡2𝑏2

= 2𝑏2

1 − 2𝑏2𝑡 ∙

1

2𝑏2=

1

1 − 2𝑏2𝑡= (1 − 2𝑏2𝑡)−1

Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah

𝑚𝑥2(𝑡) = (1 − 2𝑏2𝑡)−1 (3.7)

Teorema 3.1

Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah sebagai berikut

𝑓(𝑏2̂) =

{

(𝑏2̂)

𝑛−1𝑒−𝑛𝑏2̂

𝑏2̂

(𝑏2̂

𝑛 )

𝑛

(𝑛 − 1)!

𝑏2 ≥ 0

0 𝑏2 < 0

Bukti:

Akan dicari fungsi pembangkit moment dari 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖

2

2𝑛. Terlebih dahulu akan

dicari fungsi pembangkit momen dari ∑ 𝑋𝑖2𝑛

𝑖=1 , dengan 𝑋𝑖 merupakan sampel

random dari distribusi Rayleigh. Jika 𝑋𝑖 diasumsikan independen, maka 𝑚∑𝑋𝑖2(𝑡)

dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari


55

jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi

pembangit momen dari masing-masing suku jumlah,

𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2

(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡).

Dari persamaan (3.7) diketahui fungsi pembangkit momen dari 𝑋𝑖 yang

merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu

𝑚𝑥2(𝑡) = (1 − 2𝑏2𝑡)−1

maka

𝑚∑𝑋𝑖2(𝑡) = 𝑚𝑋1

(𝑡) × 𝑚𝑋2(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛

(𝑡)

= (1 − 2𝑏2𝑡)−1 × (1 − 2𝑏2𝑡)−1 × … × (1 − 2𝑏2𝑡)−1

= (1 − 2𝑏2𝜃)−𝑛

Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu

𝑚𝑐𝑔(𝑥)(𝑡) = 𝑚𝑔(𝑥)(𝑐𝑡)

dengan 𝑔(𝑥) merupakan fungsi dari 𝑥 dan 𝑐 adalah sebuah konstanta, akhirnya

diperoleh fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖

2

2𝑛 sebagai berikut

𝑚𝑏2̂(𝑡) = 𝑚∑𝑥𝑖

2

2𝑛

(𝑡)

= 𝑚∑𝑥𝑖2 (

𝑡

2𝑛)

= (1 − 𝑏2𝑡

𝑛 )

−𝑛

Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂ di atas dapat diidentifikasi bahwa

itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu.

Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi

pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂.

Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah

𝑓(𝑥) = {𝑥𝛼−1𝑒

−𝑥𝛽

𝛽𝛼𝛤(𝛼) 𝑥 ≥ 0

0 𝑥 < 0


56

Pada parameter 𝛼 dan 𝛽 akan dikenakan suatu nilai, misal 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 = 𝑏2

𝑛

dengan 𝑛 adalah ukuran sampel dan 𝑏2 adalah parameter distribusi Rayleigh.

Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi

𝑓(𝑥) =

{

𝑥𝑛−1𝑒

−𝑥𝑏2

𝑛

(𝑏2

𝑛 )𝑛

𝛤(𝑛)

𝑥 ≥ 0

0 𝑥 < 0

Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat 𝛤(𝑎) =

𝛤(𝑛) = (𝑛 − 1)! dengan 𝑛 selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh

𝑓(𝑥) =

{

𝑥𝑛−1𝑒

−𝑛𝑥𝑏2

(𝑏2

𝑛 )𝑛

(𝑛 − 1)!

𝑥 ≥ 0

0 𝑥 < 0

Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari 𝑓(𝑥) sebagai berikut

𝑚𝑋(𝑡) = ∫𝑒𝑡𝑥𝑥𝑛−1 𝑒

−𝑛𝑥𝑏2

𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!

∞

0

𝑑𝑥

= ∫𝑥𝑛−1𝑒𝑡𝑥 𝑒

−𝑛𝑥𝑏2

𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!

∞

0

𝑑𝑥

= ∫𝑥𝑛−1𝑒

𝑡𝑥−𝑛𝑥𝑏2

𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!

∞

0

𝑑𝑥

= ∫𝑥𝑛−1𝑒

−𝑥(𝑛𝑏2−𝑡)

𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!

∞

0

𝑑𝑥

dengan memisalkan 1

𝑤= (

𝑛

𝑏2− 𝑡), maka diperoleh

= ∫𝑥𝑛−1𝑒−𝑥(

1𝑤)

𝑏2𝑛𝑛−𝑛(𝑛 − 1)!

∞

0

𝑑𝑥

= 𝛤(𝑛)𝑤𝑛

𝑏2𝑛𝑛−𝑛𝛤(𝑛)


57

= 𝑤𝑛

𝑏2𝑛𝑛−𝑛

= (𝑤𝑛)𝑛

𝑏2𝑛

Ingat bahwa 1

𝑤= (

𝑛

𝑏2− 𝑡) =

𝑛−𝑏2𝑡

𝑏2 maka 𝑤 =

𝑏2

𝑛−𝑏2𝑡

(𝑤𝑛)𝑛

𝑏2𝑛=(

𝑏2

𝑛 − 𝑏2𝑡𝑛)

𝑛

𝑏2𝑛= (

𝑏2𝑛

𝑛 − 𝑏2𝑡)

𝑛

∙ 1

𝑏2𝑛=

𝑏2𝑛𝑛𝑛

(𝑛 − 𝑏2𝑡)𝑛∙ 1

𝑏2𝑛= (

𝑛

𝑛 − 𝑏2𝑡)𝑛

= (1

1 −𝑏2𝑡𝑛

)

𝑛

= (1 −𝑏2𝑡

𝑛)

−𝑛

Jadi,

𝑚𝑋(𝑡) = (𝑤𝑛)𝑛

𝑏2𝑛= (1 −

𝑏2𝑡

𝑛)

−𝑛

(3.6)

Telah ditujukkan bahwa persamaan 3.6 yang merupakan fungsi pembangkit

momen dari distribusi Gamma dengan nilai 𝛼 = 𝑛 dan 𝛽 = 𝑏2

𝑛 identik dengan

fungsi pembangkit momen dari 𝑏2̂. Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3

(Teorema Ketunggalan) dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah

fungsi densitas Gamma dengan 𝑎 = 𝑛 dan 𝑏 = 𝑏2

𝑛. Jadi, fungsi densitas dari 𝑏2̂

adalah

𝑓(𝑏2̂) =

{

(𝑏2̂)


𝑏2̂

(𝑏2̂

𝑛 )

𝑛

(𝑛 − 1)!

𝑏2 ≥ 0

0 𝑏2 < 0

∎


58

Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh

Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah

menduga selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, menduga selang kepercayaan

rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk

mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada

suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri:

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter 𝑏, dengan 𝑏 adalah

kuantitas yang tidak diketahui.

2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter 𝑏.

Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel

random 𝑢 =𝑏2̂

𝑏2𝑚 dengan 𝑚 = 2𝑛 sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri

kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas

dari kuantitas Pivot.

Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari 𝑏2̂ adalah sebagai

berikut

𝑓(𝑏2̂) =

{

(𝑏2̂)


𝑏2̂

(𝑏2̂

𝑛 )

𝑛

(𝑛 − 1)!

𝑏2 ≥ 0

0 𝑏2 < 0

Telah dipilih variabel random 𝑢 = (𝑏2̂

𝑏2)𝑚, dengan 𝑚 = 2𝑛.

𝑓(𝑢) = {

(𝑢)𝑚2−1 𝑒

𝑢2

(𝑢)𝑚2 𝛤 (

𝑚2)

𝑢 ≥ 0

0 𝑢 < 0

Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi 𝜒2 (Chi-Square)

dengan derajat bebas 𝑚. Oleh karena itu, 𝑓(𝑢) = 𝑓 [(𝑏2̂

𝑏2)𝑚] = 𝜒2(𝑢;𝑚), dengan


59

𝑚 adalah derajat bebas. Karena variabel random 𝑢 =𝑏2̂

𝑏2𝑚 merupakan kuantitas

Pivot akan ditunjukan bahwa 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu

1. 𝑢 merupakan fungsi dari pengukuran sampel (melalui 𝑏2̂) dan parameter 𝑏 yang

tidak diketahui.

2. f𝑢(𝑢) tidak bergantung pada 𝑏

Jadi, 𝑢 memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk

memperoleh selang kepercayaan.

Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃

Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏, terlebih dahulu akan

dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏2. Karena distribusi probabilitas

dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi 𝜒2 (Chi-Square) dengan derajat

bebas 𝑚, maka selang kepercayaan 𝜒2 (Chi-Square) dapat digunakan untuk

membentuk selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏2.

Misalkan tingkat signifikansi sebesar 1 − 𝛼 = 0.95, maka selang kepercayaan

bagi 𝑏2 akan ditentukan sebagai berikut

Pr [𝜒2(0.025;𝑚) < 𝑏2̂

𝑏2𝑚 < 𝜒2(0.975;𝑚) ] = 0.95

Pr [𝑏2̂𝑚

𝜒2(0.975;𝑚)< 𝑏2 <

𝑏2̂𝑚

𝜒2(0.025;𝑚) ] = 0.95

Karena 𝑏2̂ =∑𝑥𝑖

2

2𝑛=

∑𝑥𝑖2

𝑚, kemudian diperoleh

Pr [∑𝑥𝑖

2

𝜒2(0.975;𝑚)< 𝑏2 <

∑𝑥𝑖2

𝜒2(0.025;𝑚) ] = 0.95

Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi 𝛼 diperoleh

Pr

[

∑ 𝑥𝑖2

𝜒2 ((1 + (1 − 𝛼))

2 ; 2𝑛)

< 𝑏2 <∑𝑥𝑖

2

𝜒2 ((1 − (1 − 𝛼))

2 ; 2𝑛)

]

= 1 − 𝛼


60

Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏 untuk bentuk umum dari setiap

signifikansi 𝛼 adalah

Pr

[

√(∑𝑥𝑖2

𝜒2 ((2 + 𝛼)

2 ; 2𝑛)) < 𝑏 < √(

∑𝑥𝑖2

𝜒2 ((𝛼)2 ;𝑚)

)

]

= 1 − 𝛼.

Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh

Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah 𝜇 = 𝑏√𝜋

2 dan

variansi adalah 𝜎2 = 𝑏2 (2 − 𝜋

2 ). Dengan menggunakan selang kepercayaan

terhadap parameter 𝑏2 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼, hal ini

memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata 𝜇 = 𝑏√𝜋

2,

yaitu

Pr

[

(𝜋∑𝑥𝑖

2

2𝜒2 [(2 + 𝛼)

2 ; 2𝑛])

12⁄

< 𝜇 < (𝜋∑𝑥𝑖

2

2𝜒2 [(𝛼)2 ; 2𝑛]

)

12⁄

]

= 1 − 𝛼

dan variansi 𝜎2 = 𝑏2 (2 − 𝜋

2 )

Pr [(2 −

𝜋2)∑𝑥𝑖

2

𝜒2 ((2 + 𝛼)

2 ; 2𝑛)< 𝜎2 <

(2 −𝜋2)∑𝑥𝑖

2

𝜒2 ((𝛼)2 ; 2𝑛)

] = 1 − 𝛼

Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi 𝑏, rata-rata (𝜇), dan variansi (𝜎2), yang

merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh.


61

BAB IV

PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH

Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus

data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter

distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai

P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas

Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari “Pengolahan Data Angin dan Pasang Surut”

Laporan Tugas Akhir (Kl-4020) Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe

Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.

A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat

Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan

di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.

Tabel 4.1 di bawah ini berupa data sebaran gelombang laut di Lepas Pantai

P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang menyajikan informasi mengenai jumlah

kejadian satu-tahunan variasi tinggi gelombang laut. Data yang digunakan adalah

data tinggi gelombang laut terbesar berdasarkan arah angin dalam periode 14 tahun

(1991-2004) dengan jumlah sampel 𝑛 = 14. Tujuan dari subbab ini adalah menduga

parameter 𝑏 dari data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai

P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.


62

Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut

dalam (m)

Gelombang Terbesar Tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang

(Diramal Berdasarkan Data Angin dari Stasiun Makassar)

No Tahun Utara Selatan Barat

Daya Barat

Barat

Laut

Tinggi

Gelombang

Terbesar

(𝑥𝑖) 1 1991 0.56 0.23 0.34 1.27 1.13 1.27

2 1992 1.61 0.67 0.49 1.49 0.94 1.61

3 1993 0.69 0.94 1.09 2.47 1.03 2.47

4 1994 1.38 1.27 1.94 1.00 1.68 1.94

5 1995 1.2 0.56 0.76 1.45 1.27 1.45

6 1996 1.13 0.41 0.56 1.80 2.00 2.00

7 1997 1.09 0.41 0.58 1.16 4.04 4.04

8 1998 0.94 0.55 0.50 1.00 1.68 1.68

9 1999 3.49 0.59 0.93 1.29 1.48 3.49

10 2000 1.16 0.4 0.44 1.00 1.38 1.38

11 2001 2.1 0.59 0.95 1.06 2.24 2.24

12 2002 2.36 0.76 1.09 2.15 1.34 2.36

13 2003 1.48 1.28 1.47 2.33 3.15 3.15

14 2004 1.29 0.65 1.19 2.75 3.54 3.54

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Rayleigh

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah fungsi nonlinear. Oleh

karena itu, dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan

transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.1 transformasi logaritma dari

distribusi Rayleigh adalah

𝑥 = 𝑏√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖))

Data tinggi gelombang yang mengikuti distribusi Rayleigh akan ditransformasikan

dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽1𝑥𝑖


63

dengan 𝑌𝑖 = 𝑥𝑖, 𝛽0 = 0, 𝛽1 = 𝑏, dan 𝑋𝑖 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)), dengan 𝑖 =

1,2, … , 𝑛, 𝑥𝑖= tinggi gelombang laut terbesar.

Misalkan untuk 𝑖 = 1

𝑥1 = √−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥1))

𝑌1 = 𝑥1

Dengan langkah yang sama, maka akan di dapatkan 𝑥2 dan 𝑌2 sampai 𝑥14 dan 𝑌14.

2. Pendugaan Parameter

Berdasarkan persamaan 3.2 penduga dari 𝑏 adalah

�̂� =

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1

karena 1 − 𝐹(𝑥𝑖) > 0 maka 𝐹(𝑥𝑖) < 1 dengan demikian 𝐹(𝑥𝑖) diduga dengan yaitu

�̂�(𝑥𝑖) =𝑖

𝑛+1, bukan dengan

1

𝑛∑ 1(𝑥𝑖 ≤ 𝑥)𝑛𝑖=1 sebagaimana definisi 2.26.

Jadi pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat

Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di

Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang diduga dengan �̂�, sehingga

diperoleh hasil

�̂� =

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1

= 43.65052

25.44296

= 1.715623

sehingga fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh diperoleh sebagai berikut

𝑓(𝑥) =𝑥

(1.715623)2𝑒(

−𝑥2

2(1.715623)2).


64

Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode

Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar

tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R

dapat dilihat pada lampiran A.8.

Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi

Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) menyatakan

distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung

peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu

𝑓(𝑥) =∫𝑥

(1.715623)2𝑒(

−𝑥2

2(1.715623)2)

2.3

2

𝑑𝑥 =1

1.715623∫ 𝑥𝑒

−𝑥2

5.88672

2.3

2

𝑑𝑥

Misal 𝑢 =−𝑥2

5.88672 maka 𝑑𝑢 =

−2𝑥

5.88672𝑑𝑥 ,

5.88672

−2𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan dihitung

terlebih dahulu

∫𝑥 𝑒−𝑥2

5.88672 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑒𝑢5.88672

−2𝑥 𝑑𝑢 =

5.88672

−2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −2.94336 𝑒𝑢 + 𝑐

= −2.94336 𝑒−𝑥2

5.88672 + 𝑐

sehingga

𝑓(𝑥) =1

1.715623∫ 𝑥𝑒

−𝑥2

18.99

2.3

2

𝑑𝑥 = −2.94336

1.715623(𝑒

−𝑥2

5.88672)|2

2.3

= −1.715623 (𝑒−2.32

5.88672 − (𝑒−22

5.88672))

= −1.715623(𝑒−0.8986 − (𝑒−0.6794))

= −1.715623(0.40713 − 0.50692)

= −1.715623(−0.09979)

= 0.171202

Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah

0.171202.


65

Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala 𝑏 = 1.715623

Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.9.

B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode

Kemungkinan Maksimum

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh juga dapat dilakukan dengan

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Prinsip dasar Metode

Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang

memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.3 fungsi likelihood

dari distribusi Rayleigh adalah

𝐿 (𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 ; 𝑏2) = ∏𝑓 (𝑥𝑖 , 𝑏

2) =1


2


𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.1

00

.15

0.2

00

.25

0.3

00

.35

Xi

f

dist Rayleigh

data asli


66

Berdasarkan persamaan 3.6 penduga dari 𝑏 yaitu

�̂� = √∑𝑥𝑖2

2𝑛

Pendugaan parameter data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas

Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan Metode Kemungkinan

Maksimum dilakukan dengan Ms. Excel, berikut ini adalah hasil pendugaan

parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum

�̂� = √∑𝑥𝑖2

2𝑛= √

86.4418

2 ∙ 14= 1.757045.

Jadi fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah

𝑓(𝑥)=𝑥

(1.757045)2𝑒(

−𝑥2

2(1.757045)2)

Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode

Kemungkinan Maksimum pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas

Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada

lampiran A.10.

Arti 𝑓(𝑥) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi

Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum menyatakan distribusi

peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang

terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu

𝑓(𝑥) =∫𝑥

(1.757045)2𝑒(

−𝑥2

2(1.757045)2)

2.3

2

𝑑𝑥 =1

1.757045∫ 𝑥𝑒

−𝑥2

6.174414

2.3

2

𝑑𝑥

Misal 𝑢 =−𝑥2

6.174414 maka 𝑑𝑢 =

−2𝑥

6.174414𝑑𝑥 ,

6.174414

−2𝑥𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, lalu akan

dihitung terlebih dahulu


67

∫𝑥 𝑒−𝑥2

6.174414 𝑑𝑥 = ∫𝑥 𝑒𝑢6.174414

−2𝑥 𝑑𝑢 =

6.174414

−2∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −3.0872 𝑒𝑢 + 𝑐

= −3.0872 ∙ 𝑒−𝑥2

6.174414 + 𝑐

sehingga

𝑓(𝑥) =1

1.757045∫ 𝑥𝑒

−𝑥2

6.174414

2.3

2

𝑑𝑥 = −3.0872

1.757045(𝑒

−𝑥2

6.174414)|2

2.3

= −1.757045 (𝑒−2.32

6.174414 − (𝑒−22

6.174414))

= −1.757045(𝑒−0.85676 − (𝑒−0.64783))

= −1.757045(0.424535 − 0.523179)

= −1.757045(−0.098644)

= 0.17332194

Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah

0.17332194.

Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan 𝑏 = 1.757045

Grafik diatas diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.11

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.1

00

.15

0.2

00

.25

0.3

00

.35

Xi

f

dist Rayleigh

data asli


68

Selang Kepercayaan terhadap parameter 𝒃

Dalam skripsi ini juga akan dibahas selang kepercayaan terhadap parameter 𝑏

untuk bentuk umum dari setiap signifikansi 𝛼 = 0.05 dan tingkat kepercayaan 1 −

𝛼 = 0.95 pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.

Kalukalukuang, Sulawesi Selatan adalah

Pr

[

√

(

∑𝑥𝑖2

𝜒2 ((1 + (1 − 𝛼))

2 ; 2𝑛))

< 𝑏 <

√

(

∑𝑥𝑖2

𝜒2 ((1 − (1 − 𝛼))

2 ;𝑚))

]

= 0.95

Pr

[

√

(

86.4418

𝜒2 ((2 − 0.05)

2 ; 2(14)))

< 𝑏 <

√

(

86.4418

𝜒2 ((0.05)2 ; 2(14))

)

]

= 0.95

Pr [√(86.4418

𝜒2(0.975; 28)) < 𝑏 < √(

86.4418

𝜒2(0.025; 28)) ] = 0.95

Dengan melihat tabel Chi-Square (𝜒2) pada lampiran A.12 maka diperoleh

Pr [√(86.4418

44.461) < 𝑏 < √(

86.4418

15.308) ] = 0.95.

Pr[ √1.9442𝑏 < √5.6468 ] = 0.95.

Pr[1.39434 < 𝑏 < 2.37629 ] = 0.95.

Berarti kita percaya bahwa 95% bahwa nilai 𝑏 pada data tinggi gelombang

terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan diantara

1.39434 < 𝑏 < 2.37629.


69

C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov

Pengujian ini dilakukan untuk mengecek bahwa model yang telah diduga

berdistribusi Rayleigh. Data tinggi gelombang laut pada data tinggi gelombang

terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan akan

diperiksa apakah data tersebut merupakan data yang berdistribusi Rayleigh dengan

menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov. Dengan langkah-langkah sebagai

berikut

1. 𝐻0 = data berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045

2. 𝐻1= data tidak berdistribusi Rayleigh

3. Tingkat signifikansi 𝛼 = 0.05

4. Statistik Uji:

𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−)

5. Wilayah kritis

𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890


b) Akan dihitung 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari

distribusi Rayleigh, yaitu 𝐹(𝑥) = 1 − exp (−(𝑥2

2𝑏2))

c) Berdasarkan definisi 2.26 akan dihitung fungsi distribusi empiris 𝐹𝑛(𝑥)

d) Berdasarkan definisi 2.27 akan dihitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan menentukan


Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut

1 1.27 0.2299 0.0714 0.0000 -0.1585 0.2299

2 1.38 0.2654 0.1429 0.0714 -0.1225 0.1940

3 1.45 0.2886 0.2143 0.1429 -0.0743 0.1457

4 1.61 0.3428 0.2857 0.2143 -0.0571 0.1285

5 1.68 0.3669 0.3571 0.2857 -0.0097 0.0812

6 1.94 0.4564 0.4286 0.3571 -0.0278 0.0993

7 2.00 0.4768 0.5000 0.4286 0.0232 0.0483


70

8 2.24 0.5563 0.5714 0.5000 0.0151 0.0563

9 2.36 0.5943 0.6429 0.5714 0.0486 0.0228

10 2.47 0.6277 0.7143 0.6429 0.0866 -0.0151

11 3.15 0.7995 0.7857 0.7143 -0.0138 0.0852

12 3.49 0.8609 08571 0.7857 -0.0038 0.0752

13 3.54 0.8686 0.9286 0.8571 0.0600 0.0115

14 4.04 0.9289 1.0000 0.9286 0.0711 0.0003

Maksimum 0.0866 0.2299

Gambar 4. 3 Grafik 𝐹0(𝑥(𝑖)) dan 𝐹𝑛(𝑥(𝑖))


7. Kesimpulan

𝐻0 diterima sebab 𝐷𝑛 = 0.2299 ≤ 𝐷𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 0.34890, maka data diatas

berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter 𝑏 = 1.757045.

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

xi

f0

Grafik F0(xi)

Grafik Fn(xi)

𝐷𝑛 = max(𝐷+ , 𝐷−) = 0.2299


71

D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan

menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan

Maksimum

Dalam skripsi ini penulis akan membandingan pendugaan parameter

distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan

Maksimum dengan menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square

Error). Dalam Jurnal Comparation of Estimation of Parameters for The

Rayleigh Distribution, menyatakan bahwa Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean

Square Error) dapat dihitung sebagai berikut

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]

2𝑛

𝑖=1

(4.1)

dengan 𝐹(𝑥𝑖) =𝑖

𝑛+1 dan �̂�(𝑥𝑖) = 1 − exp(− (

𝑥2

2𝑏2)).

Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah

metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang

minimum.

Berdasarkan pendugaan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di

Lepas Pantai P. Kalukalukuang menggunakan Metode Kuadrat Terkecil

diperoleh �̂� = 1.715623 dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum

diperoleh �̂� = 1.757045. Akan dilakukan perbandingan metode yang terbaik

dengan menggunakan hasil MSE yang akan dihitung berdasarkan persamaan

(4.1).

Berdasarkan persamaan (4.1), MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]

2= 0.062033

𝑛

𝑖=1

sedangkan MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

𝑀𝑆𝐸 =1

𝑛∑[�̂�(𝑥𝑖) − 𝐹(𝑥𝑖)]

2= 0.060726

𝑛

𝑖=1

.


72

Perhitungan MSE dengan Program R dilampirkan pada lampiran A.14

Berdasarkan hasil perhitungan MSE di atas maka dapat dilihat bahwa MSE

yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka

metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data

tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang adalah



73

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang

diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Hal yang paling penting

dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Dalam skripsi ini

pendugaan parameter distribusi Rayleigh menggunakan dua metode, yakni Metode

Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum

(Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

mengestimasi parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua

data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).

Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah mengestimasi

parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood.

Pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square

Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan �̂� dapat dirumuskan

sebagai

�̂� =

∑ (√−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1 𝑥𝑖

∑ (−2 ∙ ln(1 − 𝐹(𝑥𝑖)))𝑛𝑖=1

.

Sedangkan pendugaan parameter 𝑏 dengan Metode Kemungkinan

Maksimum (Maximum Likelihood Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga

dengan �̂� dapat dirumuskan sebagai

�̂� = √∑𝑥𝑖2

2𝑛.

Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi

gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang. Pendugaan

parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di

Lepas Pantai P. Kalukalukuang dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil


74

(Least Square Method) diperoleh �̂� = 1.715623 yang berarti tinggi gelombang

1.715623 meter memiliki nilai peluang terbesar, sedangkan pendugaan parameter

dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood

Method) diperoleh �̂� = 1.757045.

Untuk menentukan metode yang terbaik dalam pendugaan parameter

distribusi Rayleigh penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square

Error) sebagai kriteria pembanding. Metode yang terbaik dalam menduga

parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat

Galat (Mean Square Error) yang paling minimum. Dari hasil penerapan

pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar

tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode

Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi

Rayleigh, karena memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang

minimum.

B. Saran

1. Dalam skripsi ini hanya dibahas distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal,

bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk

membahas lebih lanjut tentang distribusi Rayleigh, misalnya distribusi Rayleigh

dengan dua parameter.

2. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah pendugaan parameter distribusi

Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method)

dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method), bagi

pembaca yang ingin melanjutkan dapat menggunakan metode lain dalam

menduga parameter distribusi Rayleigh.

3. Dalam penulisan skripsi ini hanya menggunakan satu data, bagi pembaca yang

ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk menggunakan lebih

dari satu data.


75

DAFTAR PUSTAKA

Al Mayali, Dr. Yahya Mahdi. & Al Shaibani, Irtifaa Abul Kadhum. (2013). A

Comparison for Some of the Estimators of Rayleigh Distribution with Simulation.

Journal of Kerbala University, 11 (4).

Bain, Lee J., Engelhardt, Max. (1992). Introduction To Probability and Mathematical

Statistics. Duxbury Press: Brooks/Cole.

Best, D.J., Rayner, J.C.W & Thas, O. (2008). Easily applied tests of fit for the Rayleigh

distribution. The Indian Journal of Statistics, 72 (2) :254-263.

Evans, M., et al. Statistical Distributions. Third edition. New York: John Wiley &

Sons, Inc.

Fall, Prof. D. Joyce. (2014). Moments and the moment generating function. Math 217

Probability and Statistics. Lecture note.

Hoffman, Dan., Karst, Otto J. (1975). The Theory of the Rayleigh Distribution and

Some of Its Application. Journal of Ship Research, 9(3): 172-191.

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.

Mahdi, Smail. & Cenac, Myrtene. (2006). Estimating and Assessing the Parameters of

The Logistic and Rayleigh Distributions from Three Methods of Estimation. Carrib

J Math Comput Sci, 13: 25-34.

Mkolesia, A.C., et al. (2016). Estimation of the Rayleigh Distribution Parameter.

Transylvanian Review Journal, 24(8) 1158-1163.

Ullah, Ehsan., Shahzad, Mirza N. (2016). “Transmutation of the two parameters

Rayleigh distribution”. International Journal of Advanced Statistics and

Probability, 4(2): 95-101.

Wackerley, D. D., Mendenhall, W. & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics

with Applications. Duxbury: Thomson Brooks/Cole.

Walck, Christian. (2007). Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists.

Stockholm: University of Stockholm.

W. J. Conover. (1999). Practical Nonparametric Statistical. 3rd Edition. New York:

John Wiley & Sons, Inc. pp. 428-433.

Wooldrige, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). South-

Western: Cengage Learning.

Kartikasari, Yualita. (2008). Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck

On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan. Skripsi. Program

Studi Teknik Kelautan. Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan. Institut Teknologi

Bandung.


76

LAMPIRAN

Lampiran A.1 : Grafik Distribusi Gamma dengan program R

> library(VGAM)

Loading required package: stats4

Loading required package: splines

> x<-seq(0,15,length.out=1000)

> plot(x, dgamma(x,shape=1,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =

"f(x)", col="red")

> par(new=TRUE)


"f(x)", col="orange")

> par(new=TRUE)


"f(x)", col="yellow")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dgamma(x,shape=5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =

"f(x)", col="green")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dgamma(x,shape=9,scale=0.5), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =

"f(x)", col="black")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dgamma(x,shape=7.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =

"f(x)", col="blue")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dgamma(x,shape=0.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab =

"f(x)", col="violet")

> legend("topright",c("β=1,α=2","β=2,α=2","β=3,α=2","β=5,α=1","β=9,α=0.5",

"β=7.5,α=1","β=0.5,α=1"),col=c("red","orange","yellow","green","black","blue","vi

olet"),lty=1:1)


77

Lampiran A.2: Grafik Distribusi Chi-Square dengan program R

> library(VGAM)


> plot(x, dchisq(x,df=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",

col="brown")

> par(new=TRUE)


col="green")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dchisq(x,df=3), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue")

> par(new=TRUE)


col="violet")

> par(new=TRUE)


col="black")

> par(new=TRUE)

> plot(x, dchisq(x,df=9, ncp = 1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)",

col="red")

> legend("topright",c("v=1","v=2","v=3","v=4","v=6","v=9"),col=c("brown","green",

"blue","violet","black","red"),lty=1:1)


78

Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.10 dengan program R

> data=read.csv(file.choose(),header=T)

> data

X Y

1 3 5

2 7 11

3 11 21

4 15 16

5 18 16

6 27 28

7 29 27

8 30 25

9 30 35

10 31 30

11 31 40

12 32 32

13 33 34

14 33 32

15 34 34

16 36 37

17 36 38

18 36 34

19 37 36

20 38 38

21 39 37

22 39 36

23 39 45

24 40 39

25 41 41

26 42 40

27 42 44

28 43 37

29 44 44

30 45 46

31 46 46

32 47 49

33 50 51

> x=data[,1]

> y=data[,2]

> plot(x,y, xlab="X", ylab="Y", ylim=c(0,60), xlim=c(0,60), pch=15, col="blue")


79

> g=myline.fit <- lm(y ~ x)

> g

Call:

lm(formula = y ~ x)

Coefficients:

(Intercept) x

3.8296 0.9036

> abline(g)


80

Lampiran A.4: Tabel Kolmogorov-Smirnov

n α=0.20 α=0.10 α=0.05 α=0.02 α=0.01

1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929

3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829

4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734

5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669

6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617

7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576

8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542

9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513

10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486

11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468

12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449

13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432

14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418

15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404

16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392

17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381

18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371

19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361

20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352

21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344

22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337

23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330

24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323

25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317

26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311

27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305

28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300

29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295

30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290

35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269

40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252

45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238

50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226

55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216

60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207

65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199

70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192


81

75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185

80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179

85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174

90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169

95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165

100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161

Pendekatan n > 100 1.07

√𝑛

1.22

√𝑛

1.36

√𝑛

1.52

√𝑛

1.63

√𝑛


82

Lampiran A.5 : Program R untuk Gambar 2.5


> data

i Xi Fxi Fn Fn.1 D. D..1

1 1 0.2 0.004987521 0.05 0.00 0.04501248 0.004987521

2 2 1.0 0.117503097 0.10 0.05 -0.01750310 0.067503097

3 3 1.4 0.217295462 0.15 0.10 -0.06729546 0.117295462

4 4 1.5 0.245160398 0.20 0.15 -0.04516040 0.095160398

5 5 1.8 0.333023189 0.25 0.20 -0.08302319 0.133023189

6 6 2.0 0.393469340 0.30 0.25 -0.09346934 0.143469340

7 7 2.1 0.423770926 0.35 0.30 -0.07377093 0.123770926

8 8 2.4 0.513247744 0.40 0.35 -0.11324774 0.163247744

9 9 2.6 0.570442642 0.45 0.40 -0.12044264 0.170442642

10 10 2.7 0.597978617 0.50 0.45 -0.09797862 0.147978617

11 11 2.8 0.624688901 0.55 0.50 -0.07468890 0.124688901

12 12 3.0 0.675347533 0.60 0.55 -0.07534753 0.125347533

13 13 3.1 0.699182046 0.65 0.60 -0.04918205 0.099182046

14 14 3.2 0.721962700 0.70 0.65 -0.02196270 0.071962700

15 15 3.6 0.802101301 0.75 0.70 -0.05210130 0.102101301

16 16 4.0 0.864664717 0.80 0.75 -0.06466472 0.114664717

17 17 4.1 0.877696547 0.85 0.80 -0.02769655 0.077696547

18 18 4.2 0.889749475 0.90 0.85 0.01025052 0.039749475

19 19 4.7 0.936787297 0.95 0.90 0.01321270 0.036787297

20 20 5.0 0.956063066 1.00 0.95 0.04393693 0.006063066

> xi=data[ ,2]

> f0=data[ ,3]

> fn=data[ ,4]

> plot(xi,f0, xlab="Xi", ylab="F",type="l",col="blue")

> lines(xi,fn,col="red")

> legend("topleft",c("F0(xi)","Fn(xi)"),col=c("blue","red"),pch=21:22,lty=1:1)


83

Lampiran A.6: Program untuk Gambar 3.1

> library(VGAM)

Loading required package: stats4

Loading required package: splines


> plot(x, drayleigh(x, scale = 0.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",

col="black")

> par(new=TRUE)

> plot(x, drayleigh(x, scale = 0.8), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab =

"f(x)",col="magenta")

> par(new=TRUE)

> plot(x, drayleigh(x, scale = 1), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab =

"f(x)",col="blue")

> par(new=TRUE)

> plot(x, drayleigh(x, scale = 1.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",

col="green")

> par(new=TRUE)

> plot(x, drayleigh(x, scale = 2), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",

col="red")

> par(new=TRUE)

> plot(x, drayleigh(x, scale = 3), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",

col="yellow")

>

legend("topright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black","ma

genta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)


84

Lampiran A.7 : Program untuk Gambar 3.2


> f <- function(x,b){ 1-exp(-(x^2)/2*b^2)}

> plot(x,f(x,0.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="black")

> par(new=TRUE)

> plot(x,f(x,0.8), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="magenta")

> par(new=TRUE)

> plot(x,f(x,1), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="blue")

> par(new=TRUE)

> plot(x,f(x,1.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="green")

> par(new=TRUE)

> plot(x,f(x,2), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="red")

> par(new=TRUE)

> plot(x,f(x,3), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="yellow")

>legend("bottomright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black",

"magenta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)


85

Lampiran A.8 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode

Kuadrat Terkecil


> data

gelombang F.xi.

1 1.27 0.06666667

2 1.61 0.13333333

3 2.47 0.20000000

4 1.94 0.26666667

5 1.45 0.33333333

6 2.00 0.40000000

7 4.04 0.46666667

8 1.68 0.53333333

9 3.49 0.60000000

10 1.38 0.66666667

11 2.24 0.73333333

12 2.36 0.80000000

13 3.15 0.86666667

14 3.54 0.93333333

> xi=data[,1]

> Fxi=data[,2]

> atas=(sqrt((-2)*log(1-Fxi)))*xi

> bawah=((-2)*log(1-Fxi))

> b=(sum(atas))/(sum(bawah))

> b

[1] 1.715623


86



> data

gelombang

1 1.27

2 1.38

3 1.45

4 1.61

5 1.68

6 1.94

7 2.00

8 2.24

9 2.36

10 2.47

11 3.15

12 3.49

13 3.54

14 4.04

> b=1.715623

> xi=data[,1]

> fMKT=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2)))

> plot(xi,fMKT, xlab="Xi", ylab="f",col="blue",type="o")

> x=seq(0,4.04,length.out=14)

> f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2)))

> lines(x,f,col="red",type="l")

> legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("red",

"blue"),pch=22:21,lty=1:1)


87

Lampiran A.10 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode

Kemungkinan Maksimum


> data

gelombang F.xi.

1 1.27 0.06666667

2 1.61 0.13333333

3 2.47 0.20000000

4 1.94 0.26666667

5 1.45 0.33333333

6 2.00 0.40000000

7 4.04 0.46666667

8 1.68 0.53333333

9 3.49 0.60000000

10 1.38 0.66666667

11 2.24 0.73333333

12 2.36 0.80000000

13 3.15 0.86666667

14 3.54 0.93333333

> xi=data[,1]

> Fxi=data[,2]

> xi_kuadrat=xi^2

> n=14

> b=sqrt((sum(xi_kuadrat))/(2*n))

> b

[1] 1.757045


88



> data

gelombang

1 1.27

2 1.38

3 1.45

4 1.61

5 1.68

6 1.94

7 2.00

8 2.24

9 2.36

10 2.47

11 3.15

12 3.49

13 3.54

14 4.04

> b=1.757045

> xi=data[,1]

> fMKM=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2)))

> plot(xi,fMKM, xlab="Xi", ylab="f",col="green",type="o")

> x=seq(0,4.04,length.out=14)

> f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2)))

> lines(x,f,col="black",type="l")

>legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("green", "black"),pch=22:21,

lty=1:1)


89

Lampiran A.12 : Tabel Chi-Square

d.f. 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01

1 0 0 0 0 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63

2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21

3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34

4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28

5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09

6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 10.64 12.59 14.45 16.81

7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48

8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09

9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67

10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21

11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72

12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 18.55 21.03 23.34 26.22

13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69

14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14

15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25 27.49 30.58

16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.3 28.85 32

17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41

18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81

19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.2 30.14 32.85 36.19

20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57

22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29

24 9.89 10.86 12.4 13.85 15.66 33.2 36.42 39.36 42.98

26 11.16 12.2 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64

28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28

30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.6 40.26 43.77 46.98 50.89

32 15.13 16.36 18.29 20.07 22.27 42.58 46.19 49.48 53.49

34 16.5 17.79 19.81 21.66 23.95 44.9 48.6 51.97 56.06

38 19.29 20.69 22.88 24.88 27.34 49.51 53.38 56.9 61.16

42 22.14 23.65 26 28.14 30.77 54.09 58.12 61.78 66.21

46 25.04 26.66 29.16 31.44 34.22 58.64 62.83 66.62 71.2

50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 63.17 67.5 71.42 76.15

55 31.73 33.57 36.4 38.96 42.06 68.8 73.31 77.38 82.29


90

60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 74.4 79.08 83.3 88.38

65 39.38 41.44 44.6 47.45 50.88 79.97 84.82 89.18 94.42

70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 85.53 90.53 95.02 100.43

75 47.21 49.48 52.94 56.05 59.79 91.06 96.22 100.84 106.39

80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 96.58 101.88 106.63 112.33

85 55.17 57.63 61.39 64.75 68.78 102.08 107.52 112.39 118.24

90 59.2 61.75 65.65 69.13 73.29 107.57 113.15 118.14 124.12

95 63.25 65.9 69.92 73.52 77.82 113.04 118.75 123.86 129.97

100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 118.5 124.34 129.56 135.81


91



> data

i Xi f0 Fn Fn.1 D. D..1

1 1 1.27 0.2299 0.0714 0.0000 -0.1585 0.2299

2 2 1.38 0.2654 0.1429 0.0714 -0.1225 0.1940

3 3 1.45 0.2886 0.2143 0.1429 -0.0743 0.1457

4 4 1.61 0.3428 0.2857 0.2143 -0.0571 0.1285

5 5 1.68 0.3669 0.3571 0.2857 -0.0097 0.0812

6 6 1.94 0.4564 0.4286 0.3571 -0.0278 0.0993

7 7 2.00 0.4768 0.5000 0.4286 0.0232 0.0483

8 8 2.24 0.5563 0.5714 0.5000 0.0151 0.0563

9 9 2.36 0.5943 0.6429 0.5714 0.0486 0.0228

10 10 2.47 0.6277 0.7143 0.6429 0.0866 -0.0151

11 11 3.15 0.7995 0.7857 0.7143 -0.0138 0.0852

12 12 3.49 0.8609 0.8571 0.7857 -0.0038 0.0752

13 13 3.54 0.8686 0.9286 0.8571 0.0600 0.0115

14 14 4.04 0.9289 1.0000 0.9286 0.0711 0.0003

> f0=data[,3]

> fn=data[ ,4]

> xi=data[,2]

> plot(xi,f0,type="l",col="blue")

> lines(xi,fn,col="red")

>legend("topleft",c("Grafik F0(xi)","Grafik Fn(xi)"), cex=0.8,col=c("blue","red"),

pch=21:22, lty=1:2)


92

Lampiran A.14 : Perhitungan MSE untuk data tinggi gelombang terbesar di

Pantai P. Kalukalukuang


> data

gelombang F.xi.

1 1.27 0.06666667

2 1.61 0.13333333

3 2.47 0.20000000

4 1.94 0.26666667

5 1.45 0.33333333

6 2.00 0.40000000

7 4.04 0.46666667

8 1.68 0.53333333

9 3.49 0.60000000

10 1.38 0.66666667

11 2.24 0.73333333

12 2.36 0.80000000

13 3.15 0.86666667

14 3.54 0.93333333

> xi=data[,1]

> Fxi=data[,2]

> b=1.715623

> FMKT=1-exp(-((xi^2)/(2*b^2)))

> n=14

> MSE=(1/n)*sum((Fxi-FMKT)^2)

> MSE

[1] 0.06203295

> bMLE=1.757045


93

> FMLE=1-exp(-((xi^2)/(2*bMLE^2)))

> MSE2=(1/n)*sum((Fxi-FMLE)^2)

> MSE2

[1] 0.06072646


pendugaan parameter distribusi rayleigh dengan …

Documents