PENDULO DE TORSION

Abstracto. Observaremos el movimiento periodico de un pendulo de torsion, obteniendo su frecuencia natural de oscilacion de manera teorica y experimental.Identificar y analizar sistemas vibratorios rotacionales de un grado de libertad sin amortiguamiento.Determinar experimental y analíticamente la frecuencia natural de oscilación de sistemas rotacionales.

Descriptores: Frecuencia natural, torsión, péndulo de torsión, momento polar de inercia.

1. Marco Teorico.En 1777, un físico e ingeniero militar francés llamado Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) crea el primer péndulo o balanza de torsión con el objetivo de medir fuerzas débiles. Coulomb buscaba mejorar la brújula de los marinos y, por ello, empezó a experimentar con cargas eléctricas utilizando el péndulo de torsión que creó.

Sea una barra cilíndrica suspendida verticalmente por su extremo superior fijo. Aplicamos, en el extremo inferior, un par de fuerzas, de manera que lo hacemos girar cierto ángulo Φ. Para explicar cómo se mueven las diferentes zonas de la barra, podemos suponer que está constituida por discos horizontales superpuestos, pero ligados entre sí. El giro se va transmitiendo a los discos, pero a medida que nos alejamos del extremo inferior el ángulo girado va disminuyendo, de manera que el disco superior no gira, ya que está fijo. La teoría de elasticidad por torsión establece la relación entre el momento M recuperador y el ángulo girado Φ.

Ec.1Donde r, es el radio de la barra, L su longitud y µ es el módulo de rigidez de la misma. Por otra parte el momento es

Ec.2Con lo que:

Ec.3Donde D es la constante recuperadora de torsión de la barra. (En nuestro caso D viene a ser K la constante de rigidez torsional)La ecuación de movimiento es:

Ec.4La cual pone de manifiesto que se trata de un movimiento oscilatorio armónico de periodo T, dado por:

Ec.5Donde I es el momento de inercia del cuerpo oscilante, respecto del eje de giro. Por (Ec-3) se observa que D, depende de la naturaleza y geometría del cuerpo sometido a este tipo de deformación. Si en (Ec-5) sustituimos el valor de D dado por (Ec-3), se puede apreciar la dependencia del periodo con la longitud L, y radio r, de la barra.Derivando la ecuación del movimiento angular del disco sobre su eje y usando la segunda ley de movimiento de Newton se obtiene:

La frecuencia Natural del sistema es:

ωn=√ DI

2. Procedimiento. Para cumplir con los objetivos propuestos, hemos construido un sistema, el cual consta de una barra rígida circular, la cual de por si muestra ya una deformación inicial. Esta barra rígida ha sido colocada de tal forma de que ella esta empotrado a un extremo, además de esto con la ayuda de dos pinzas equilibradas entre si, de tal manera que se pueda modelar lo mas cercano posible a un par aplicado sobre la barra circular. Al tener el sistema mecánico listo, se procedió a perturbarlo, y se contaron diez oscilaciones junto con el tiempo total de estas oscilaciones, y se procedió a realizarlo tres veces, de tal manera que se obtuviera un promedio de estos tiempos, para mayor exactitud y esto se repitió para tres longitudes diferentes, luego de tener estos datos se procedió a calcular, la frecuencia natural para cada longitud, utilizando los valores experimentales, y luego se procedió a calcularlo de manera teórica, utilizando los modelos matemáticos para este tipo de problemas.

3. Resultados

CUADRO COMPARATIVO. DIFERENCIAS ENTRE UN ANÁLISIS TRASLACIONAL Y ROTACIONAL DE UN SISTEMA DINÁMICO.

Dominio Físico

Variables de Potencia Variables de Energía

Esfuerzo

S.I.

Flujo S.I.

Momento

S.I.

Desplaz.

S.I.

Traslación

Fuerza F

N Velocidad V

ms

Impulso p

N.s

Desplaz. x

m

Rotación

Torque τ

N.m

Velocidad Angular ω

rads

Momento angular L

Nm.s

Ángulo φ

rad

4. Referencias Bibliográficas.

Hibbeler R.C, MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS DINAMICA cap 22. Decima edición en español. Compañía Editorial Pearson Prentice Hall Mexico, 2004.

Balakumar Balachandran. Vibraciones. Cap 1. Edición en español, Editorial Thomson Mexico 2006.

Tylor and Francis Group. Vibration and Shock Handbook. LLC, 2005