penelitian operasional - programa linier - metode primal dual
TRANSCRIPT
DUAL PRIMAL• Salah satu penemuan penting dalam awal pengembangan LP
adalah adanya konsep dualitas.
• Setiap masalah programa linier dapat dikaitkan dengan
masalah programa linier lain yang disebut DUAL.
• Suatu permasalahan maksimasi dapat dikaitkan dengan suatu• Suatu permasalahan maksimasi dapat dikaitkan dengan suatumasalah minimasi dan sebaliknya
• Masalah yang diberikan disebut dengan masalah primal, danmasalah yang berkaitan disebut masalah dual.
• Hubungan antara masalah original (primal) dengan dual
terbukti sangat bermanfaat dalam aplikasi LP.
• Untuk memahami masalah dual primal tinjau kasus berikut
Masalah Nutrisi
Setiap buahmengandung nutrienberbeda
Setiap buah harganyaberbedaberbeda
An apple a day keeps the doctor away – tapiharga apel mahal!
Tujuan customer adalahmemenuhi kebutuhannutrisi dengan hargatermurah
• Ambil kasus sederhana antara apel dan pisang
Kalori Vitamin Harga
($)
2 3 5
4 3 7
Min C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2 100
3x1 + 3x2 90
• Konsumen harus mengkonsumsi minimal 100 unit kalori & 90 unit vitamin untuk mendapatkan nutrisiyang baik
• Tujuan konsumen adalah berapa banyak buah yang harus dibeli dengan harga termurah namunkebutuhan nutrisi terpenuhi
4 3 7 3x1 + 3x2 90
x1, x2 0
Jika dibawa ke dalam bentuk Matriks
Minimasi C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2 100
Cj
Xj NiMi,j Xj
3x1 + 3x2 90
x1, x2 0
Primal
Tujuan konsumen membeli sejumlah buah yang mampu memenuhi kebutuhan nutrisi namunbiayanya minimal
Cj
NMHarga buahKebutuhan
XjNi
Mi,j Xj
Koefisien dalam tiapkolom yang menyatakanbanyaknya nutrisi dalamjenis makanan tertentu
Harga buahKebutuhan
harian
Banyaknya tiap jenisbuah
Dualitas
• Permasalahan Primal di atas dapatdipandang sebagai masalah dual.
• Misalkan tinjau dari sudut pandang seorang• Misalkan tinjau dari sudut pandang seorangsalesman yang bermaksud menjualsuplemen untuk setiap jenis buah
Dualitas
NiYi CjMj,i
YiNutrisi harianHarga tiap jenis buah
???
Koefisien dalamtiap barismenyatakanbanyaknya nutriendalam jenis buahtertentu
Apakah Yis dalammasalah dual?
Harga setiapnutrien!
???
•Masalah Primal : Tujuan konsumen adalahmembeli sejumlah buah tertentu dengan hargaminimum tetapi kebutuhan nutrisi terpenuhi
•Masalah Dual : Tujuan salesman adalahmenentukan harga setiap nutrien sehinggakeuntungannya maksimum namun harganya haruslebih murah daripada harga buahlebih murah daripada harga buah
Primal (Konsumen
Minimasi C = 5x1 + 7x2
s.t
2x1 + 4x2 100
3x1 + 3x2 90
x1, x2 0
Dual (Salesman)
Maksimasi P = 100y1 + 90y2
s.t
2y1 + 3y2 ≤ 5
4y1 + 3y2 ≤ 7
y1, y2 0
Masalah Primal
Maksimasi
s.t.
Minimasi
s.t.
n
jjj xcZ
1
,
m
iii ybW
1
,
n
ijij bxa , m
jiij cya ,
Masalah Dual
Masalah Dual menggunakan parameter yang tepat sama dengan parameter dalammasalah primal, namun lokasinya berbeda
j
ijij bxa1
,
i
jiij cya1
,
untuk untuk.,,2,1 mi .,,2,1 nj
untuk.,,2,1 mi
untuk .,,2,1 nj ,0jx ,0iy
Dalam Notasi Matriks
Masalah Primal
Maksimasi
subject to
Minimasi
subject to
bAx cyA
,cxZ ,ybW
Masalah Dual
.0x .0y
bAx cyA
Dimana dan merupakan vektor baris tapidan merupakan vektor kolom.
c myyyy ,,, 21 bx
CONTOH
Maks
s.t.
Min
s.t.
Masalah Primal Masalah Dual
,53 21 xxZ ,18124 321 yyyW
4x 33 yys.t.
1823 21 xx
122 2 x41x
0,0 21 xx
522 32 yy
33 3 y1y
0,0,0 321 yyy
Maks
s.t.
Masalah PrimalDalam bentuk Matriks
Masalah DualDalam bentuk Matriks
Min
s.t.
,5,32
1
x
xZ
401x
01
18
12
4
,, 321 yyyW
18
12
4
,
2
2
0
3
0
1
2
1
x
x
.0
0
2
1
x
x .0,0,0,, 321 yyy
5,3
2
2
0
3
0
1
,, 321
yyy
Primal-dual untuk Program linear Masalah Primal
Koefisien dari: SisiKanan
Masala
hD
ual
Ko
efi
sie
nd
ari
y
y
2
1
21
11
a
a
22
12
a
a
n
n
a
a
2
1
1x 2x nx
1b
2b
untu
kF
ung
siO
bye
kti
fM
inim
asi)
Sis
i
Kan
an
Masala
h
Ko
efi
sie
n
my
1c 2c ncVI VI VI
Koefisien untuk Fungsi Obyektif(Maksimasi)
mna2ma1ma
2
mb
Ko
efis
ien
untu
kO
bye
kti
f(M
inim
asi
Satu Masalah Masalah Lain
Konstrain Variabel
Fungsi Obyektif Sisi Kanan
i i
Hubungan antara Masalah Primal dan Dual
Minimasi MaksimasiMinimasi Maksimasi
Variabel
Variabel
Konstrain
Konstrain
0
0
0
0
Unrestricted
Unrestricted
• Solusi layak untuk masalah dual adalahkondisi yang menjadi solusi optimum padamasalah primal
• Nilai maksimum Z pada masalah primal merupakan masalah minimum W padamasalah dual
• Setiap pasang masalah primal dan dual dapat dikonversikan satu sama lain
• Dual dari suatu masalah dual selalumeurpakan masalah primal
Min W = yb,
s.t. yA c
y 0.
Dual Problem
Max (-W) = -yb,
s.t. -yA -c
y 0.
Converted to Standard Form
Min (-Z) = -cx,
s.t. -Ax -b
x 0.
Its Dual Problem
Max Z = cx,
s.t. Ax b
x 0.
Converted toStandard Form
Minimasi
s.t.
64.06.0
65.05.0
7.21.03.0
21
21
21
xx
xx
xx
0,0 21 xx
21 5.04.0 xx
Minimasis.t.
][y 64.06.0
][y 65.05.0
][y 65.05.0
][y 7.21.03.0
321
-221
221
121
xx
xx
xx
xx
0,0 21 xx
21 5.04.0 xx
Maxs.t.
.0,0,0,0
5.04.0)(5.01.0
4.06.0)(5.03.0
6)(67.2
3221
3221
3221
3221
yyyy
yyyy
yyyy
yyyy
Maxs.t.
.0,edunrestrict :,0
5.04.05.01.0
4.06.05.03.0
667.2
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyy
Bawalah persamaan primal berikut kedalam bentuk dual dan pecahkanmenggunakan tabel simpleks
Maksimasi
s/t102 xxx
321 4125 xxxZ
0,,
832
102
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Bentuk baku
Maksimasi
S.t.
832
102
321
321
Axxx
Sxxx
MASxxxZ 04125 321
[y1]
[ y2]
0
0
0
0
0
832
3
2
1
321
A
S
x
x
x
Axxx [ y2]
edunrestrict ,0
432
122
52
21
21
21
21
yy
yy
yy
yy
21 810 yyW
Bentuk baku
Minimasi
s/t
Minimasi
s/t
0,,
4 332
12 2
5 22
221
33221
22221
11221
yyy
Auyyy
Auyyy
Auyyy
32132121 000810 MAMAMAuuuyyW
[x1]
[ x2]
[ x3]
Tabel Simpleks awal dan akhir (optimum) untuk BentukPrimal
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --5 5 –– 2M2M 12 + M12 + M --4 4 –– 3M3M 00 00 --8M8M
ss 11 22 11 11 00 1010
AA 22 --11 33 00 11 88AA 22 --11 33 00 11 88
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ 00 00 3/53/5 29/529/5 --2/5 + M2/5 + M 54 4/5 54 4/5
xx22 00 11 --1/51/5 2/52/5 --1/51/5 12/512/5
xx11 11 00 7/57/5 1/51/5 2/52/5 26/526/5
Tabel Simpleks Awal dan Akhir (Optimum) Bentuk Dual)
BasisBasis yy11 yy22’’ yy22”” uu11 uu22 uu33 AA11 AA22 AA33 SisiSisi
KananKanan
WW 10+4M10+4M --8+4M8+4M 8 8 –– 4M4M --MM --MM --MM 00 00 00 21M21M
AA11 11 22 --22 --11 00 00 11 00 00 55
AA22 22 --11 11 00 --11 00 00 11 00 1212
AA33 11 33 --33 00 00 --11 00 00 11 44AA33 11 33 --33 00 00 --11 00 00 11 44
BasisBasis yy11 yy22’’ yy22”” uu11 uu22 uu33 AA11 AA22 AA33 SisiSisi
KananKanan
WW 00 00 00 --26/526/5 --12/512/5 00 26/526/5--MM 12/512/5--MM --MM 54 4/554 4/5
uu33 00 00 00 --7/57/5 1/51/5 11 7/57/5 --1/51/5 --11 3/53/5
yy22”” 00 --11 11 2/52/5 --1/51/5 00 --2/52/5 1/51/5 00 2/52/5
yy11 11 00 00 --1/51/5 --2/52/5 00 1/51/5 2/52/5 00 29/529/5
Variabel Awal (Basis pada tabel simplekss A
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ 00 00 3/53/5 29/529/5 --2/5 + M2/5 + M 54 4/5 54 4/5
xx22 00 11 --1/51/5 2/52/5 --1/51/5 12/512/5
xx11 11 00 7/57/5 1/51/5 2/52/5 26/526/5
Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk BentukPrimal
• Oleh karena y1 - 0 = 29/5 dan y2 + M = -2/5 + M maka y1 = 29/5 dan y2 = -2/5 . Hal ini sama dengan hasil yang diperoleh pada tabel simpleks akhir bentuk dual
Variabel Awal (Basis pada tabel simpleksawal) Bentuk Primal
s A
Koefisien persamaan Z tabel optimum 29/5 -2/5 + M
Selisih koefisien sisi kiri dan sisi kananvariabel dual yang berhubungan denganvariabel basis awal bentuk primal
y1 - 0 y2 + M
Koefisien Fungsi Tujuan
Fungsi Tujuan Primal MAsxxxZ 04125 321
52 21 yy Konstrain Dual [x1]
edunrestrict
,0
432
122
2
2
1
21
21
y
My
y
yy
yy
[ x2]
[ x3]
[ s]
[ A]
BasisBasis yy11 yy22’’ yy22”” yy33 yy44 yy55 AA11 AA22 AA33 SisiSisi
KananKanan
WW 00 00 00 --26/526/5 --12/512/5 00 26/526/5--MM 12/512/5--MM --MM 54 4/554 4/5
yy55 00 00 00 --7/57/5 1/51/5 11 7/57/5 --1/51/5 --11 3/53/5
yy22”” 00 --11 11 2/52/5 --1/51/5 00 --2/52/5 1/51/5 00 2/52/5
yy11 11 00 00 --1/51/5 --2/52/5 00 1/51/5 2/52/5 00 29/529/5
Tinjau kembali tabel simpleks akhir untuk BentukDual
• Dengan mengabaikan M maka diperoleh x1 = 26/5 dan x2
=12/5, dan x3 = 0.
yy11 11 00 00 --1/51/5 --2/52/5 00 1/51/5 2/52/5 00 29/529/5
Variabel Awal (Basis) pada tabel simpleks awal Bentuk Dual
AA11 AA22 AA33
Koefisien persamaan W tabel optimum 26/5 - M 12/5 - M - M
Variabel dual yang berhubungan denganvariabel basis awal bentuk primal
x1 x2 x3
Iterasi 0 (awal) Bentuk Primal
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --5 5 –– 2M2M 12 + M12 + M --4 4 –– 3M3M 00 00 --8M8M
ss 11 22 11 11 00 1010
AA 22 --11 33 00 11 88
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --7/37/3 --40/340/3 00 00 4/3 +M4/3 +M 32/332/3
ss 1/31/3 7/37/3 00 11 --1/31/3 22/322/3
xx33 2/32/3 --1/31/3 11 00 1/31/3 8/38/3
Iterasi 1
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --3/73/7 00 00 40/740/7 --4/7 + M4/7 + M 368/7368/7
xx22 1/71/7 11 00 3/73/7 --1/71/7 22/722/7
xx33 5/75/7 00 11 1/71/7 2/72/7 26/726/7
Iterasi 2
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ 00 00 3/53/5 29/529/5 --2/5 + M2/5 + M 54 4/5 54 4/5
xx22 00 11 --1/51/5 2/52/5 --1/51/5 12/512/5
xx11 11 00 7/57/5 1/51/5 2/52/5 26/526/5
Iterasi 3 (Optimum)
Representasi Skematis Tabel Simpleks
Variabel basis awal
Obyektif
MatriksInvers
Kolom konstrain
Konstrain
Perhitungan Kolom Konstrain
• Untuk setiap iterasi simpleks (primal atau dual), elemen di kolom sisi kiri atau kanan dari konstraintabel dapat dihitung sebagai:
original
model dalam
Kolom
iterasi
dalam Invers
iterasi
dalam
Kolom
ii
xi
• Ambil contoh bentuk primal. Variabel basis awaladalah s dan A. Untuk mencari koefisien x1 pada iterasi1, lihat matriks invers pada tabel simpleks iterasi 1
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --7/37/3 --40/340/3 00 00 4/3 +M4/3 +M 32/332/3
ss 1/31/3 7/37/3 00 11 --1/31/3 22/322/3ss 1/31/3 7/37/3 00 11 --1/31/3 22/322/3
xx33 2/32/3 --1/31/3 11 00 1/31/3 8/38/3
32
31
2
1
310
311
original
model dalam
Kolom
1 iterasi
dalam Invers
1 iterasi
dalam
Kolom 1x
• Selanjutnya tinjau iterasi 2 dan kolom kanan yang bersesuaian
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --3/73/7 00 00 40/740/7 --4/7 + M4/7 + M 368/7368/7
xx22 1/71/7 11 00 3/73/7 --1/71/7 22/722/7
xx33 5/75/7 00 11 1/71/7 2/72/7 26/726/7
726
722
8
10
7271
7173
original
model dalam
Kolom
iterasi
dalam Invers
iterasi
dalam
kanan Kolom
ii
Perhitungan Baris Obyektif
nbersesuaia yang dual
konstrain dari
kanan Ruas
nbersesuaia yang dual
konstrain dari
kiri Ruas
obyektif fungsi
dalam
Elemen j x
• Untuk setiap iterasi simpleks primal, elemen variabel xj
dalam persamaan fungsi obyektif dapat dihitung:
• Koefisien z dari x1 = y1 + 2y2 – 5
• Koefisien z dari x2 = 2y1 - y2 - 2
• Koefisien z dari x3 = y1 + 3y2 - 4
• Koefisien z dari s = y1 - 0
• Koefisien z dari A = y2 – (-M) = y2 + M
• Dengan menerapkan rumus ini pada pasangan masalahprimal dual diatas, diperoleh persamaan berikut
Konstrain Dual
iii
iterasi
dalam invers
iterasi dalam
primal basis variabel
original obyektifKoefisien
iterasi
dalam
dual variabelNilai
• Untuk menghitung koefisien diatas secara numerik, kitamemerlukan nilai numerik untuk variabel dual y1 dan y2 . Karena koefisien fungsi obyektif berubah-ubah pada tiapiterasi, kita mengharapkan nilai y1 dan y2 juga berubahpada tiap iterasi
iii
iterasi iterasi dalam iterasi
• Koefisien Obyektif Original (Awal) untuk variabel basis bentuk primal diatur dalam bentuk vektor baris dimanaelemen-elemennya diambil dalam urutan yang samadengan variabel basis di kolom basis pada tabel simpleks. Sebagai contoh, tinjau kembali tabel simpleks primal, maka vektor baris yang berhubungan dengan formula diatas (perhatikan urutan dalam setiap kasus)
Iterasi 1
BasisBasis xx11 xx22 xx33 ss AA SisiSisi KananKanan
ZZ --7/37/3 --40/340/3 00 00 4/3 +M4/3 +M 32/332/3
ss 1/31/3 7/37/3 00 11 --1/31/3 22/322/3
xx33 2/32/3 --1/31/3 11 00 1/31/3 8/38/3
• Iterasi 0 : (koefisien s, R) = (0, -M)
• Iterasi 1 (koefisien s, x3) = (0, 4)
• Iterasi 2 (koefisien x2, x3)= (12, 4)
• Iterasi 3 (koefisien x2, x1 )= (12, 5)
MASxxxZ 04125 321Fungsi Tujuan
• Sebagai contoh untuk mencari nilai variabel dual padaiterasi ke-i, tinjau koefisien persamaan fungsi obyekfit zpada iterasi ke-3 (optimum) dari tabel simpleks primal
3 iterasi
dalam invers
3 iterasi dalam ,,
original obyektifKoefisien
3 iterasi
dalam
dual variabelNilai
12 xx
,5/2,5/291/5-2/5
12,5dual Nilai yy
21 ,5/2,5/295/25/1
1/5-2/512,5dual Nilai yy
Dalam iterasi ke-3
• Koefisien x1 dalam z = y1 + 2y2 - 5 = 29/5+2(-2.5) – 5 = 0
• Koefisien x2 dalam z = 2y1 - y2 – 12 = 2(29/5) – (- 2/5) – 12 = 0
• Koefisien x3 dalam z = y1 + 3y2 – 4 = 29/5+3(-2/5) – 4 = 3/5
• Koefisien s dalam z = y1 – 0 = 29/5 – 0 = 29/5
• Koefisien A dalam z = y2 - (-M) = -2/5 + M
Simpleks Dual
• Dalam metode simpleks dual, pemecahandimulai tidak layak (feasible) dan optimal (bandingkan dengan pemecahan awal(bandingkan dengan pemecahan awalmetode primal, yaitu layak tetapi tidakoptimal)
• Tinjau pemecahan secara grafis terlebihdahulu dari kasus di atas
Bentuk baku
• Kalikan persamaan konstrain pertama dankedua dengan -1 untuk mengubah variabelsurplus menjadi variabel slack
• Minimasi 21 23 xxZ • Minimasi
• S/t
0,,,,
3 3
6 34
3 23
32121
321
221
121
sssxx
sxx
sxx
sxx
21
• Pemecahan dasar awal menghasilkan s1 = -1, s2 =- 6, dan s3=3. Pemecahan ini tidak layakTAPI optimal (bahkan lebih baik darioptimal!) karena nilai Z = 0
• Gagasan dari metode simpleks dual adalahberangkat dari interasi awal yang tidak layakberangkat dari interasi awal yang tidak layakdan (lebih baik daripada) optimal ke iterasiberikutnya ke arah ruang layak (feasible region) tanpa kehilangan sifat optimalitas
Tabel awal simpleks
BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 RuasRuasKananKanan
ZZ --33 --22 00 00 00 00
s1 --33 --11 11 00 00 --33
s2 --44 --33 00 11 00 --66
• Baris tujuan telah memenuhi kondisi optimalitas namun tidaklayak (s1 dan s2 negatif)
s2 --44 --33 00 11 00 --66
s3 11 11 00 00 11 33
Pemilihan Variabel Masuk danVariabel Keluar
• Untuk menyingkirkan ketidaklayakan ini, variabel basis yang negatif kita keluarkan, yaitu s1 atau s2 . Pilih variabelyang paling negatif agar pemecahan yang layak tercapai
Variabel Keluar
lebih cepat s2 = -6
• Pemilihan variabel masuk dipilih dengan mengambil rasiokoefisien sisi kiri dari persamaan z dengan koefisien yang bersesuaian dalam persamaan variabel keluar. Rasiodengan penyebut positif atau nol disingkirkan agar kondisioptimalitas terjaga. Variabel masuk dipilih dari yang memiliki rasio terkecil
Variabel Masuk
BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 RuasRuas
VariabelVariabel xx11 xx22 s1 s2 s3
persamaan z --33 --22 00 00 00
persamaan s2 --44 --33 00 11 00
Rasio 3/43/4 2/32/3
BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 RuasRuasKananKanan
ZZ --1/31/3 00 00 --2/32/3 00 44
s1 --5/35/3 11 11 --1/31/3 00 --11
x2 4/34/3 00 00 --1/31/3 00 22
s3 --1/31/3 00 00 1/31/3 11 11
RasioRasio 1/51/5 -- -- 22 --
Tabel simpleks final
BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 RuasRuasKananKanan
ZZ 00 00 --1/51/5 --3/53/5 00 21/521/5
x1 11 00 --3/53/5 1/51/5 00 3/53/5
x 00 11 4/54/5 --3/53/5 00 6/56/5
• Tabel simpleks final menghasilkan pemecahanyang layak dan optimal yaitu x1 = 3/5, x2 =6/5, danZ = 21/5
x2 00 11 4/54/5 --3/53/5 00 6/56/5
s3 00 00 --1/51/5 2/52/5 11 6/56/5
• Kondisi Kelayakan
Leaving variable adalah variabel basis yang memiliki nilaipaling negatif (jika sama, tentukan secara sembarang). Jikasemua variabel basis adalah non negatif, proses berakhir
• Kondisi Optimalitas
Entering variable adalah variabel non basis yang berkaitandengan rasio terkecil jika meminimumkan atau nilaiabsolut terkecil dari rasio jika memaksimumkan (jikaabsolut terkecil dari rasio jika memaksimumkan (jikasama, tentukan secara sembarang). Rasio ditentukandengan membagi sisi kiri dari persamaan z dengankoefisien negatif yang bersesuaian dalam persamaandengan koefisien negatif yang bersangkutan denganvariabel keluar. Jika semua penyebut adalah nol ataupositif, tidak terdapat pemecahan yang layak