penerapan derivatif

Penerapan Derivatif

BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK

GRAFIKI. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2

Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2

II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X1 + 18X2 - 2X1

2 - X1.X2 – 2X22

2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1

X1.a2X2

Y = 5. 0,8X1. 0,4X2

Lanjutan:

2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2

a2 Contoh: Y = 50.X1

0,7.X20,4

2.4. Fungsi Transedental :

Y = ao.X1a1.X2

a2 .eb1X1.eb2X2

Y = 50.X10,7.X2

0,4. e 0,6X1.e.0,5X2

I. Untuk dua variabel y = f(x)A. Konsep elastisitas1. Elastisitas y = f (x)

Elastisitas y terhadap x (perubahan y se-bagai akibat perubahan x), sangat kecil. Biasanya digunakan untuk mengukur ke-tanggapan/reaksi/responsinveness dari penawaran/permintaan terhadap peruba-han harga atau pendapatan.

Penerapan Derivatif 4


Y

* (X,Y)

X


YX

XY

XY

XX

YY

.%%

YX

dxdy

YX

XYLim

x..

0

l ε l > 1 : elastis l ε l = 1 : unitary elastis l ε l < 1 : in elastis


2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran Q = f ( P )

a.

PP

QQ

dd

dd

PQ

%

%

d

d

d

d

P QP

dPdQ

QP

PQLim ..

0


2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran Q = f ( P )

b.

s

s

s

s

P QP

dPdQ

QP

PQLim ..

0

PP

QQ

ss

ss

PQ

%%

Contoh :1. Qd = 100 – 2P


P

PQP

dPdQ

d

dd 2100

.2.

unitaryP d

1252100

25.225

elastisP d

5,1302100

30.230

2. Qd = 20 – 2P2 atau Qd = 30 – 2P2


2220.4.

PPP

QP

dPdQ

d

dd

elastisPQ d

3,12220

2.2.4212 2

3. Qs = – 200 + 7P2


27200.14.

PPP

QP

dPdQ

s

ss

elastisP s

8,2107200

10.101410 2

elastisP s

3,2157200

15.151415 2

B. Konsep marjinal1. Fungsi biaya C = f (Q)

→

2. Fungsi penerimaan R = f (Q)

→


dQdCCMC '

dQdRRMR '

3. Fungsi konsumsi dan tabungan c = f (Y) →

s = f (Y) →

dan MPC + MPS = 1


dYdCcMPC '

dYdSsMPS '

Contoh :1. C = Q3 – 3 Q2 + 4Q + 4

MC = 3 Q2 – 6 Q + 4


QQQ

QCAC 4432

2. R = 18 Q – 3 Q 2 MR = 18 – 6 Q

3. C = 50 + 0,75 YMPC = 0,75 dan MPS = 0,25


QQRAR 318

C. Konsep optimum 1. C = Q2 – 4 Q + 8 → tentukan Q yang menghasilkan C optimal jawab : FOC : C’ = 0 2 Q – 4 = 0 2 Q = 4 Q = 2


SOC : C’’ > 0 2 > 0 , minimum

jadi Q = 2 dan Cmin = 4


2. R = f(Q) = – 2 Q2 + 1000 Q C = f(Q) = Q3 – 59 Q2 + 1315 Q + 2000

Maka π = R – C = ( – 2 Q2 + 1000 Q ) – ( Q3 – 59 Q2 + 1315 Q + 2000 )

= – Q3 + 57 Q2 – 315 Q – 2000


FOC : π ’ = 0 – 3 Q2 + 114 Q – 315 = 0 Q2 – 38 Q + 105 = 0 ( Q – 35 ).( Q – 3 ) = 0 Q = 35

Q = 3


SOC : π ’’ < 0 Q = 35 → – 6 Q2 + 114 = – 96 < max

Q = 3 → – 6 Q2 + 114 = + 96 > min

Maka Q optimal adalah 35 unit dan laba maksimumnya 13.95 smu


BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA

Fungsi Tak Berkendala

Fungsi Berkendala

PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA

Contoh : Fungsi Keuntungan :

π = KeuntunganQ1 = Output Q1Q2 = Output Q2

),( 21 QQf

2221

2121 2.21812 QQQQQQ

Dari fungsi ini :Variabel Q1 dan Q2 independen (tidak saling tergantung)

Besaran Q1 dan Q2 tidak ada pembatas

Titik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”

Substitusi (1) & (2), didapat :

4*2*

2

1

QQ

asOptimumBebQQ **,2*,1

*)*,(* 21 QQf

Contoh:

Fungsi f(x1, x2, x3)= ½(x12+ x2

2+ x32)

Kendala g1= x1- x2 = 0g2= x1+x2+x3-1

Apakah Fungsi Minimum atau Maksimum?

Contoh:Minimumkan f(x1, x2, x3)= ½(x1

2+ x22+ x3

2)Kendala g1= x1- x2 = 0

g2= x1+x2+x3-1Jawab:

1xf

= ½(4x1+2(1-2x1)(-2)) = 2x1-2(1-2x1)

1xf

= 0 x1-(1-2x1)= 0 x1-1+2x1= 0 3x1= 1

x1= 1/3, x2= 1/3 x3= 1-2/3 = 1/3

21

2

xf

= 2+4=6>0, f(1/3,1/3,1/3)= 1/6 Optimum Minimum

PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA

Fungsi Berkendala:

Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam

produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan;

),( 21 QQf ……… Fungsi Tujuan

Lanjutan:

Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan.

Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

Lanjutan:

OKeuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala”

OSalah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

O Persamaan dengan kendalaO U = f (x, y)………Fungsi Tujuan ax + by = c…...Pers.Kendala.

O Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange

O Persamaan Lagrange: Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)

Persamaan lagrange

Langkah2 metode lagrangeO Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan

lagrangeO Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx

= 0, Zy = 0, dan Zλ = 0O Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas

sehingga mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0O Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0,

λ0 ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange

O Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle pointa. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumb. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimumc. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)

Contoh Soal :

Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):C = 6x2 + 3y2

Dengan Kendala:x + y = 18Tentukan :a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya,

dan Besarnya Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum

Minimum.

Jawaban:Fungsi Lagrange:

C = 6x2 + 3y2 + λ ( 18 – x – y)

Turunan Pertama = 0dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1)dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2)dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)

MENENTUKAN TITIK KRITIS

Eliminasi pers (1) dan (2); substitusi persamaan (3) dan (4):

(x = 6 ; y = 12, λ = 72f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 =

216+432 = 648Titik kritis (6,12,648)

Menentukan maks/min/saddle

OKarena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum

ONilai minimum = 648OTitik kritis/titik minimum =

(6,12,648)

Lanjutan: Fungsi UtilitasContoh Soal : Optimasi Fungsi

Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas

:U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas)

Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2.

Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.

Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas):

6024.. 212211 QQMQPQP QQ

I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)

BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)

Q1

Q2

Q1*

Q2*

0

Metode Pengali Lagrange

Menentukan Fungsi Lagrange:

U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2).

Turunan Petama Fungsi = 0.dU/dQ1 = f1 = ……(1)dU/dQ2 = f2 =..….(2)dU/d λ = f λ = .….(3)

Subtitusikan (1) ke (2):

Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara

menyamakan λ :Substitusikan (a) ke persamaan

(3):

(3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 0 28 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.

penerapan derivatif

Documents