pengendalian proses variabilitas...
TRANSCRIPT
PENGENDALIAN PROSES VARIABILITAS MULTIVARIATE MELALUI VEKTOR VARIANSI
CONTROL ON MULTIVARIATE VARIABILITY PROCESS THROUGH VARIANCE VECTOR
Sahabuddin, Erna Herdiani, Armin Lawi
Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.
Alamat Korespondensi: Sahabuddin Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, HP: 085242033556 Email: [email protected]
ABSTRAK Pengendalian proses variabilitas dimana melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang saling berhubungan yang disebut Pengendalian Proses Multivariate. Penelitian ini bertujuan melakukan pengkajian tentang vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate. Jenis penelitian yang dilakukan dalah studi kepustakaan. Sumber data yang digunakan merupakan data sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang dengan melibatkan 4 variabel yakni Curah hujan (X1), Suhu Udara (X2), kelembaban udara (X3) dan kecepatan angin (X4). Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam bentuk Tr(S) = (vec(S)) (vec(S)).Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Dari analisis data diperoleh vektor variansi BKA=7,22x108, BKB=-2,47x108 , dan GT= 2,37 108. Kata kunci : Multivariate, Vektor Variansi, Penaksiran Parameter, Bagan Kendali
ABSTRACT
The variablity process control involved more than two process quality characteristics which were to each other called the variability control. The research aimed at conducting the variance vector in the variability control in the multivariate process. This was a library study research by collecting the literature in the forms of the relevant books and journals. The data resources used as the samples in the research were the secondary data from the board of Metorology and Geophsics of Semarang City by involving 4 variables i.e: rainfall (X1), temperature (X2 ), humidity (X3), wind velocity (X4 ). The research result indicates that the process variability control through the variance vector can be stated in the ofTr(S) = (vec(S)) (vec(S)). Then the controling chart formation is determine by using the variance vector statistics. The weather data analysis in Semarang through the variance vector statistics is found that BKA is: 7,22x108, BKB=-2,47x108 , and GT= 2,37 108.
Keywords: Multivariate, Variance Vector,Parameter Interpretation, Controling Chart.
PENDAHULUAN
Pengendalian proses variabilitas merupakan salah satu dasar yang digunakan dalam
industri untuk meningkatkan kualitas proses produksi. Dalam prakteknya pengendalian
proses menggunakan peta kendali, merupakan salah satu alat atau cara untuk peningkatan
kualitas produces, (Anderson, 2003).
Peta kendali berdasarkan variabel yang terlibat terbagi atas peta kendali satu variabel
(univariat) dan peta kendali lebih dari satu variabel (multivariate) (Djauhari, dkk. 2010).
Pengendalian proses multivariat merupakan salah satu bagian yang cepat berkembang karena
ada banyak situasi real yang melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses yang
saling berhubungan. Pengendalian proses multivariate ini selanjutnya dikenal sebagai
Multivariate Statistic Proses Control (MSPC), (Djauhari, 2011).
Peta kendali Shewhort pada umumnya disamakan untuk pengendalian mean proses
dan variabilitas proses. Pada tesis ini penulis akan membahas tentang peta kendali untuk
variabilitas proses. Pada pengendalian variabilitas proses berdasarkan satu variabel, praktisi
banyak menggunakan peta kendali Standar Deviasi (SD) dan Range (R), sedangkan untuk
kasus multivariate pengendalian variabilitas proses menggunakan peta kendali |푆|, dimana S
adalah matriks variasi kovariansi sampel atau disebut sebagai matriks dispersi,(Rencer, 2002).
Pada penelitian univariate dimana sebuah teknik statistik yang digunakan untuk memastika
bahwa proses memenuhi standar, membuat pengukuran dan mengambil tindakan selagi
sebuah produk sedang diproduksi, (Render 2005). Untuk data yang cukup besar akan
memiliki kendala dalam perhitungannya oleh karena itu, Herwindiati dkk (2009) mengatakan
Tr (S2) sebagai ukuran dispersi multivariate. Pada proses ini penulis tertarik untuk mengkaji
lebih dalam tentang Tr (S2) yang digunakan untuk masalah statistik pengendalian proses
multivariate, dimana Tr (S2) pertama kali dikembangkan oleh, ( Djauhari 2007).
Dengan demikian maka pada tesis ini akan dikaji tentang pembentukan peta kendali
dari Variabilitas Proses melalui Statistik Vektor Variansi dan akan diaplikasikan pada data
curah hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin yang merupakan data
sekunder BMG Semarang. Tujuan dalam penelitian ini adalah melakukan pengkajian tentang
vektor variansi dalam pengendalian variabilitas dalam proses multivariate yang selanjutnya
akan diaplikasikan pada data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota
Semarang.
BAHAN DAN METODE
Jenis penelitian ini merupakan studi kepustakaan dengan mengumpulkan literatur
berupa buku dan jurnal yang berhubungan dengan pengendalian proses variabilitas
multivariate. Sumber data yang akan digunakan sebagai contoh pada penelitian merupakan
data Sekunder dari Badan Meteorologi dan Geofisika Kota Semarang. Dalam penelitian ini
merupakan penelitian multivariat dengan melibatkan beberapa peubah yakni pada curah
hujan, suhu udara, kelembaban udara dan kecepatan angin. Adapun metode atau langkah-
langkah dalam menentukan bagan kendali dari data tersebut adalah menentukan variabel-
variabel penelitian dan jumlah sampel, menentukan matriks varians-kovariansi sampel,
menentukan variansi vektor (VV), menaksir parameter dari variansi vektor, menentukan
batas-batas kendali (BKA dan BKB) yang dibangun berdasarkan variansi vektor, diperoleh
batas kendali atas dan bawah untuk semua data berada dalam pengontrolan dan memonitoring
data selanjutnya.
HASIL
Berdasarkan analisis data tersebut dan dari tabel 1 dan 2 serta gambar 1 dan 2
terindikasi bahwa seluruh data pendahuluan berada di dalam pengendalian, sehingga batas
kendali yang diperoleh dapat digunakan untuk memonitoring data selanjutnya yaitu data tahun
2004 dan 2005 sebagai fase ke II (Fase monitoring) dimana memiliki nilai yang masih berada
dalam batas pengendalian. Jadi dapat disimpulkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam
pengendalian. Adapun analisis statistik dari aplikasi tersebut adalah sebagai berikut:
Misalkan X⃗ , X⃗ ,⋯ , X⃗ adalah vektor-vektor acak yang saling bebas dan memiliki
distribusi identik, sehingga vektor acak 푋⃗ berdistribusi normal p variat dengan vektor mean 흁⃗
dan matriks kovariansi 횺 atau dituliskan dalam lambang:
푋⃗~N (흁⃗,횺) (1)
dimana 푁 = jumlah(ukuran)sampel
푝 = banyaknyapeubah dan
푋⃗ =
XX⋮
X
Pada kasus univariat , jika 푋 ,푋 ,⋯ ,푋 adalah sampel acak dengan 푋~푁(휇,휎 ) .
Misalkan 횺 adalah matriks varian kovarians dari 푋⃗ , maka matriks variansi kovariansi
sampel dari 푋⃗ adalah S, dimana
횺×
=
휎 휎 ⋯ 휎휎 휎 ⋯ 휎⋮휎
⋯휎
⋱⋯
⋮휎
; 퐒×
=
푠 푠 ⋯ 푠푠 푠 ⋯ 푠⋮푠
⋯푠
⋱⋯
⋮푠
dengan
푠 = ∑ 푋 − 푋 푋 − 푋 , 푖 = 1,2,⋯ , 푝, 푘 = 1,2,⋯ , 푝
maka 푣푒푐(푆) dapat ditulis sebagai
푣푒푐(푆) =
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡푠푠⋮푠푠푠⋮푠⋮푠푠⋮푠 ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(2)
Selanjutnya, dapat dituliskan bahwa
(vec(퐒)) (vec(퐒)) = s s ⋯ s s s ⋯ s ⋯ s s ⋯ s
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ss⋮
sss⋮
s⋮
ss⋮
s ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
= s + s + ⋯+ s +s + s + ⋯+ s + ⋯+ s +s + ⋯+ s
Adapun SSTrSTr 2
pppp
p
p
pppp
p
p
sss
ssssss
sss
ssssss
Tr
21
22221
11211
21
22221
11211
2221122221211212111
22221212222212211221221121
12121112122121211112112211
.........
.........
.........
pppppppppppppppp
ppppppppp
ppppppppp
sssssssssssssssss
ssssssssssssssssssssssssssssssssss
Tr
= 112112211 ... ppsssss + 22
2221221 ... ppsssss +…+ 2
2211 ... pppppp sssss ,
Karena S merupakan matriks simetri maka sij = sji untuk setiap i,j = 1, 2, …, p, maka berlaku
2STr = 21
221
211 ... psss + 2
2222
212 ... psss +…+ 22
221 ... pppp sss , (3)
Dengan demikian Vektor Variansi sampel 2STr = (vec(퐒)) (vec(퐒)) merupakan
jumlah elemen-elemen diagonal dari matriks 푺 , yaitu
T푟(푺 ) = ∑ ∑ 푠 (4)
Vektor Variansi dapat digunakan untuk pengendalian variabilitas proses. Salah satu
caranya adalah dengan membentuk bagan kendali dengan menggunakan statistik variansi
vektor tersebut.
Kasus 1
Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang berbeda,
selanjutnya jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1 ≠ 푛 ≠ 푛 … . .≠ 푛 .
Statistik yang akan digunakan adalah :
푇푟(푺 )~N(푻풓(횺ퟐ), 푇푟(횺ퟒ)) (5)
adapun mean dari Tr(퐒 ) adalah Tr (횺ퟐ) dan variansi dariTr(퐒 ) adalah 푇푟(횺ퟒ) .
Adapun nilai taksiran adalah :
1
2 221gab gabE Tr S Tr Sn m
(5a)
12 4
2
8 12 12var 11
gab gabTr S Tr Sn n m n m
(5b)
Jadi bagan kendali dari 푇푟(푺 ) adalah sebagai berikut :
Batas kendali atas (BKA):
BKA = 1 + Tr S + 3 1 + +( )
Tr S (5c)
Garis tengah :
퐺푇 = 1 + Tr S (5d)
Batas kendali bawah (BKB) :
퐵퐾퐵 = 1 + Tr S − 3 1 + +( )
Tr S (5e)
1
1
1
11 1
1
m
i i mi
gab i imi
ii
n SS n S
n mn
(5d)
dimana 1
m
ii
n n
Kasus 2
Misalkan suatu sub grup ke 1, 2 ,...m memiliki jumlah sampel yang sama, selanjutnya
jumlah sampel dari setiap sub grup itu disebut dengan n1=푛 = 푛 … . . = 푛 = 푛 . Statistik
yang akan digunakan adalah :
푇푟(푺 )~N(푻풓(횺ퟐ), 푇푟(횺ퟒ)) (6)
adapun mean dari Tr(퐒 ) adalah Tr (횺ퟐ) dan variansi dari Tr(퐒 ) adalah 푇푟(횺ퟒ) .
Adapun nilai taksirannya adalah
1
2 2
0
211
E Tr S Tr Sm n
, (6a)
1
2 4
20 0 0
8 12 12var 11 1 1
Tr S Tr Sn m n m n
(6b)
dimana :
1 2, ,..., mn n n menyatakan jumlah sampel pada sub grup ke-1, 2, ….,m
Jadi bagan kendali dari 푇푟(푺 ) adalah sebagai berikut:
Batas kendali atas (BKA):
퐵퐾퐴 = 1 +( )
푇푟 푆̅ + 3 1 +( )
+( ( ))
푇푟 푆̅ (6c)
Garis tengah:
퐺푇 = 1 +( )
푇푟 푆̅ (6d)
Batas kendali bawah (BKB):
퐵퐾퐵 = 1 +( )
푇푟 푆̅ − 33 1 +( )
+( ( ))
푇푟 푆̅ (6e)
Berdasarkan batas batas inilah akan dilakukan pengendalian proses multivariate dari
data cuaca di Kota Semarang.
PEMBAHASAN
Penelitian ini menunjukkan bahwa keragaman data cuaca masih dalam pengendalian
dengan menggunakan statistik vektor variansi 푇푟(푺 ). Pada Peneliti sebelumnya salah
satunya adalah Sinderal (2007) mendalami pada statistik determinan matriks S, R, G, dan W,
demikian pula Cleroux (1987) mengukur pada hubungan linear antara dua vektor 푋 dan 푋
sedangkan pada penelitian Nasrah (2010) mengatakan bahwa ada kesamaan signifikan
matriks kovariansi melalui variansi vektor untuk beberapa sampel. berdasarkan batas kendali
yang diperoleh maka statistik pengendalian multivariate melalui vektor variansi akan
diaplikasikan dari data sekunder yang diambil berdasarkan curah hujan, suhu bulanan,
kelembaban udara, dan kecepatan angin. Pada analisis tersebut penulis membagi dalam 2 fase
yakni fase 1 sebagai data pendahuluan dan fase 2 sebagai monitoring. Analisis data tersebut
adalah sebagai berikut :
Untuk 푚 = 3 dan ukuran sampel 푛 = 12, maka diperoleh
Batas kendali atas (BKA):
퐵퐾퐴 = 1 +( )
푇푟 푆̅ + 3 1 +( )
+ ( ( )) 푇푟 푆̅
퐵퐾퐴 = 1 +( )
(223907980,2) + 3 1 +( )
+ ( ( ))(5,01310 )
퐵퐾퐴 = 1 +2
3(11)(223907980,2) + 3
811
1 +12
3(11)+
12(3(11))
(5,01310 )
퐵퐾퐴 = 1 +2
33(223907980,2) + 3
811
1 +1233
+12
363(5,01310 )
퐵퐾퐴 = (1 + 0,061)(223907980,2) + 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033} (5,01310 )
퐵퐾퐴 = (1,061)(223907980,2) + 3 0,727{1,397} (5,01310 )
퐵퐾퐴 = (1,061)(223907980,2) + 3 0,52(5,01310 )
퐵퐾퐴 =237,566,366,992 + 3 26087,69510
퐵퐾퐴 =237,566,366,992 + 3(161,52.10 )
퐵퐾퐴 =237,57 10 + 484,56 10
퐵퐾퐴 =722,13 10
퐵퐾퐴 =7,22 10
Garis tengah (GT):
퐺푇 = 1 + ( ) 푇푟 푆̅
퐺푇 = 1 +2
3(12 − 1)(223907980,2)
퐺푇 = 1 +2
3(11)(223907980,2)
퐺푇 = 1 +2
33(223907980,2)
퐺푇 = (1,061)(223907980,2)
퐺푇 =237,566,366
퐺푇 =2,37 10
Batas kendali bawah (BKB):
퐵퐾퐵 = 1 +( )
푇푟 푆̅ − 3 1 +( )
+ ( ( )) 푇푟 푆̅
퐵퐾퐵 = 1 +( )
(223907980,2) − 3 1 +( )
+ ( ( ))(5,01310 )
퐵퐾퐵 = 1 +2
3(11)(223907980,2) − 3
811
1 +12
3(11)+
12(3(11))
(5,01310 )
퐵퐾퐵 = 1 +2
33(223907980,2) − 3
811
1 +1233
+12
363(5,01310 )
퐵퐾퐵 = (1 + 0,061)(223907980,2) − 3 0,727{1 + 0,364 + 0,033} (5,01310 )
퐵퐾퐵 = (1,061)(223907980,2) − 3 0,727{1,397} (5,01310 )
퐵퐾퐵 = (1,061)(223907980,2) − 3 0,52(5,01310 )
퐵퐾퐵 =237,566,366,992 - 3 26087,69510
퐵퐾퐵 =237,566,366,992 – 3(161,52.10 )
퐵퐾퐵 =237,57 10 - 484,56 10
퐵퐾퐵 =-246,99 10
퐵퐾퐵 =-2,47 10
KESIMPULAN DAN SARAN
Pengendalian variabilitas proses melalui Vektor Variansi dapat dinyatakan dalam
bentuk 2STr = (푣푒푐(푺)) (푣푒푐(푺)) , Selanjutnya pembentukan bagan kendali dapat
ditentukan dengan menggunakan statistik vektor variansi tersebut. Batas kendali dari variansi
vektor berdasarkan jenis dari data dibagi menjadi 2 yakni: jumlah sampel yang berbeda, n1
≠ 푛 ≠ 푛 … . .≠ 푛 dan jumlah sampel yang sama n1=푛 = 푛 … . . = 푛 = 푛 . Dari hasil
Analisis data cuaca di Semarang melalui statistik vektor variansi diperoleh bahwa kondisi
cuaca di kota tersebut masih dalam pengendalian.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan agar para peneliti selanjutnya
menstandarkan data cuaca ini, karena keragaman pengukuran membuat nilai dari setiap
peubah bernilai besar. Selain itu, perlu adanya perbandingan dengan statistic lain agar dapat
diperoleh manakah yang lebih efektif dan efisien, statistik variansi vektor atau determinan
dari matriks kovariansi untuk data cuaca ini.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, T.W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York.
Cleroux (1987), Multivariate Quality Control. In: Kotz, S, Johnson, N. eds.Encyclopedia of Statistical Sciences. 6. New York, N. Y.: John Wiley & Sons, hal. 110-122.
Djauhari, Maman A. (2011). Geometric Interpretation of Vector Variance. Universiti Teknologi Malaysia. Jurnal Matematika, Volume 27, Number 1, 51–57.
_________________. (2008). A Robust Estimation of Location and Scatter. Malaysian Journal of Mathematical Sciences 2(1), 1-24.
_________________. (2007). A measure of Data Concentration. Journal of Applied Probalility & Statistics. 2(2). Hal 139-155.
Djauhari, Maman A., dkk. (2010). How to Control Process Variability more Effectively: the
case of a b-complex Vitamin production process, (Online), (http:sajie,journals,ac.za, diakses 10 Maret 2013 jam 11.00)
_____________________. (2008). Multivariate Process Variability Monitoring,
Communications in Statistics. Herwindiati, dkk. (2009). The Robust Distance for Similarity Measure Of Content Based
Image Retrieval. Journal. Vol II:1-5 Montgomery, D. C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control 4th edition. John
Wiley & Sons Inc. New York. Sirajang, Nasrah. (2010). Pengujian Hipotesis kesamaan Matriks Kovariansi Melalui
Variansi Vektor Untuk Beberapa Sampel. Tesis. Universitas Hasanuddin Makassar. Rencher. (2002). Methods of Multivariate Analysis. John Wiley & Sons Inc. New York. Render. ( 2005). Optimal monitoring of multivariate data for fault patterns. Journal of Quality
Technology, 39(2), 159-172. Sinderal (2007). Matrix Analysis for Statistics. John Wiley & Sons Inc. New York.
Tabel 1. Matriks Kovariansi sampel tahun 2001-2003
Tahun Matriks 푇푟(푺 )
2001 12680,984−25,809
−25,8090,367
428,752 −3,932−1,503 −0,114
428,752 −1,503 25.639 1,422−3932 −0,114 1,422 1,037
161177038,1
2002 13899,416−44,175
−44,175046,222
518,105 −32.169−2,514 0,253
518,105 −2,514 27,409 −3,017−32,169 0,253 −3,017 1,386
193737388,4
2003 18238,105−43,330
−43,3300,437
846,652 6,743−3,817 −0,039
846,652 −3,817 60,656 −1,456,743 −0,039 −1,45 0,956
1477675,5
Rata-rata 12258,495−48,025
−48,0250,462
504,49 −61,233−2,727 0,345
504,49 −2,727 28,373 −3911−61,233 0,345 −3911 1,063
223907980,2
Tabel 2. Matriks Kovariansi sampel tahun 2004-2005
Tahun Matriks 푇푟(푺 )
2003
12258,495−48,025
−48,0250,462
504,49 −61,233−2,727 0,345
504,49 −2,727 28,373 −3911−61,233 0,345 −3911 1,063
15079268,2
2004
7702,719−18,663
−18,6630,289
315,790 607,472−1,513 −3,148
315,790 −1,513 20,354 24181607,472 −3,148 24181 257,059
60337756,6
Rata-rata
9980,607 −33,344 410,14 273,119−33,344 0,376 −2,12 −1,401410,14
273,119−2,12−1,401
24,36410,135
10,135129,061
100117826,2
Gambar 1. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data pendahuluan cuaca di Kota Semarang
Gambar 2. Grafik bagan kendali vektor variansi pada data memonitoring cuaca di
Kota Semarang
-2.5E+08
-50000000
150000000
350000000
550000000
750000000
2000.5 2001 2001.5 2002 2002.5 2003 2003.5
BKA = 7,22 10^8
GT =2,37 10^8
BKB =-2,47 10^8
-2.5E+08
-50000000
150000000
350000000
550000000
750000000
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
BKA = 7,22 10^8
GT =2,37 10^8
BKB = -2,47 10^8