pequeno teorema de fermat

Teoremas Fundamentais da Aritmetica Modular

Pequeno Teorema de Fermat

Pequeno Teorema de FermatSeja p um primo e a ∈ Z. Entao

ap ≡ a (mod p).

Em particular, se p - a, entao

ap−1 ≡ 1 (mod p).

M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC



Demonstracao (efectuada por Euler em 1730) :p = 2 a2 ≡ a (mod 2)⇔ 2 | a(a− 1) e a(a− 1) e par.p > 2 Para a = 0 e a = 1 a afirmacao e verdadeira.

Por hipotese de inducao, suponhamos que, paracerto a ∈ N0, ap ≡ a (mod p).Entao,

(a + 1)p ≡ap + (p1)ap−1 + · · ·+ ( p

p−1)a + 1 (mod p)

≡ap + 1 (mod p)

≡a + 1 (mod p)

Logo ap ≡ a (mod p), para todo a ∈ N0.Como p − 1 e par, entao ap−1 = (−a)p−1 pelo que a afirmacaoe valida para todo o a ∈ Z.




Exemplo

250 + 350 e divisıvel por 13.

250 =24·12+2 = (212)4 · 22 logo

250 ≡22 (mod 13)

350 =34·12+2 = (312)4 · 32 logo

350 ≡32 (mod 13)

250 + 350 ≡22 + 32 (mod 13)

≡0 (mod 13)




Exercıcios1 Calcule o resto da divisao de 3372 por 37.2 Mostre que 7 - n2 + 1 qualquer que seja n ∈ Z.3 Calcule

31100 mod 19,210000 mod 29.

4 Mostre que 1184 − 584 e divisıvel por 7.5 Mostre que, para qualquer n ∈ N,

1 se n ≡ 2 (mod 4), entao 5 | 9n + 8n;2 n13 − n ≡ 0 (mod 2730).

6 Mostre que para qualquer primo p > 3, abp − bap edivisıvel por 6p, para quaisquer inteiros a e b.




Sera o recıproco do Teorema de Fermat valido?

i.e., se an−1 ≡ 1 (mod n) para todo o inteiro a tal quem.d.c.(a,n) = 1, entao n e primo?

Nao, por exemplo, 561 e tal que:

561 = 3 · 11 · 17a560 ≡ 1 (mod 561), para qualquer a ∈ Z tal quem.d.c.(a,561) = 1.




Definicao

Seja a ∈ Z. Um inteiro composto n tal que

an−1 ≡ 1 (mod n)

diz-se um pseudoprimo de base a.

Se n e pseudoprimo de base a para todo o inteiro a tal quem.d.c.(a,n) = 1, entao n diz-se um pseudoprimo, ou umnumero de Carmichael.

ExemplosSao pseudoprimos os numeros: 561, 1105, 1729, 2465, 2821,6601, . . .

Sao pseudoprimos de base 2 os numeros: 341, 561, 645,1105, 1387, 1729, 1905, . . .




Se n e um primo que nao divide a(a2 − 1), entao a2n−1a2−1 e um

pseudoprimo de base a.

Logo existe uma infinidade de pseudoprimos de base a paraqualquer a.

Teorema (Alford, Granville, Pomerance-1994)

Ha uma infinidade de numeros pseudoprimos.

Demonstracao:Se n e um pseudoprimo entao 2n − 1 tambem e.




Proposicao

Suponhamos que ar ≡ 1 (mod p) com p primo. Sem.d.c.(r ,p − 1) = d , entao

ad ≡ 1 (mod p).

Exemplo

Ha uma infinidade de primos do tipo 8k + 1.Se os primos do tipo 8k + 1 fossem em numero finito, entaopoder-se -ia admitir que existe ` tal que {p1, . . . ,p`} e oconjunto de todos os primos da forma 8k + 1.Seja N = (2p1 · · · p`)4 + 1. Entao,

1 N > pi para 1 ≤ i ≤ `;2 N e do tipo 8k + 1;3 N e primo.




Exercıcios1 Mostre que:

91 e um pseudoprimo de base 3;45 e um pseudoprimo de base 17;45 e um pseudoprimo de base 19.

2 Mostre que se n e um pseudoprimo de base a e de baseb, entao n e um pseudoprimo de base ab.

3 Seja p > 2 um primo. On numeros da forma 2p − 1 saodesignados numeros de Mersenne. Mostre que se q e umprimo que divide 2p − 1, entao q = 2kp + 1 para algumk ∈ Z.

4 Os numeros da forma Fn = 22n+ 1, com n ≥ 0, designam-

-se numeros de Fermat. Mostre que os inteiros n que saonumeros de Mersenne ou numeros de Fermat verificam2n−1 ≡ 1 (mod n).



Teorema de Euler

Definicao

O numero de elementos invertıveis modulo n num sistemacompleto de resıduos denota-se por φ(n). A funcao

φ : N → Nn 7→ φ(n)

chama-se funcao φ de Euler.

Exemplos

φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2.φ(p) = p − 1 se p e primo.

Exercıcio

Mostre que se p e primo, entao φ(pr ) = pr−1(p−1), para r ≥ 1.



Teorema de Euler

TeoremaSe m e n sao inteiros tais que m.d.c.(m,n) = 1, entao

φ(mn) = φ(m)φ(n),

i.e., φ e multiplicativa.

Exemplo

φ(6600) = φ(11 · 52 · 3 · 23) = 10 · (5 · 4) · 2 · (22 · 1) = 1600



Teorema de Euler

Exercıcios1 Prove que existe uma infinidade de numeros primos

usando a funcao φ.2 Escreva uma funcao no Mathematica que calcule φ(n),

para n ∈ N.3 Teste a funcao definida no exercıcio anterior calculandoφ(120) e φ(225).

4 Determine os valores de n para os quais φ(n) = 6.5 Determine os valores de n para os quais φ(n) = n − 2.



Teorema de Euler

Teorema de EulerSe a e m sao inteiros tais que m.d.c.(a,m) = 1, entao

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Demonstracao:Se r1, . . . , rφ(m) sao os elementos invertıveis modulo m numsistema completo de resıduos, entao

ar1, . . . ,arφ(m)

sao invertıveis e incongruentes dois a dois modulo m.

ar1 · · · arφ(m) = aφ(m)(r1 · · · rφ(m)) ≡ r1 · · · rφ(m) (mod m).

Como m.d.c.(ri ,m) = 1, entao

aφ(m) ≡ 1 (mod m).



Teorema de Euler

Exemplo

Calcular os ultimos dois dıgitos de 19931993.

φ(100) = 40m.d.c.(1993,100) = 1

}→ 199340 ≡ 1 (mod 100)

Dado que 1993 mod 40 = 33,

19931993 ≡ 199333 (mod 100)

≡ 9333 (mod 100)

≡ −733 (mod 100)

≡ −(74)87 (mod 100)

≡ −7 (mod 100) ( porque 74 ≡ 1 (mod 100))

≡ 93 (mod 100)



Teorema de Euler

Exemplo

Calcular inverso de a modulo m.

Se m.d.c.(a,m) 6= 1, entao a nao e invertıvel modulo m.

Senao,aφ(m) ≡ 1 (mod m),

ou seja,a · aφ(m)−1 ≡ 1 (mod m).



Teorema de Euler

Exercıcios1 Calcule o inverso de 2 e de 3 modulo 35.2 Calcule o resto da divisao de 2720 por 225.3 Calcule:

3340mod 341;789

mod 100;210000mod 121.

4 Mostre que n12 ≡ 1 (mod 72) para qualquer inteiro n talque m.d.c.(n,72) = 1.

5 Verifique que se p e primo, entao

1p−1 + 2p−1 + · · ·+ (p − 1)p−1 ≡ −1 mod p).

6 Escreva um a funcao que permita verificar para queinteiros a congruencia da questao anterior e valida.



Teorema de Lagrange

Teorema de Lagrange

Se K e um corpo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n emK[x ], entao a equacao f (x) = 0 tem no maximo n solucoes.

CorolarioSe p e um primo e f (x) e uma funcao polinomial de grau n decoeficientes inteiros em que nem todos sao divisıveis por p,entao a congruencia f (x) ≡ 0 (mod p) tem no maximo n solu-coes modulo p.

CorolarioSe p e um primo e d | p − 1, entao a congruencia

xd − 1 ≡ 0 (mod p)

tem exactamente d solucoes modulo p.



Teorema de Wilson

Teorema de WilsonSe p e primo, entao

(p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Demonstracao:S = {0,1,2, . . . ,p − 1}

e um sistema completo de resıduos.1 e p − 1 sao inversos modulo p de si proprios;os restantes elementos nao nulos podem agrupar-se empares de elementos distintos do tipo (a,a′) em que a einverso modulo p de a′.

Logo,

1 · 2 · · · · · (p − 1) ≡ 1 · (p − 1) (mod p)

≡ (p − 1) (mod p)



Teorema de Wilson

O recıproco do Teorema de Wilson tambem e valido:

Se (p − 1)! ≡ −1 (mod p), entao p e primo.

Proposicao

Se n e um composto e n > 1, entao

(n − 1)! ≡{

2 mod n se n = 40 mod n se n 6= 4

.



Teorema de Wilson

Exercıcios1 Calcule o resto da divisao de

87! por 89;18! por 437;13!7! por 7.

2 Mostre que se p e um primo ımpar, entao

2(p − 3)! ≡ −1 (mod p).


pequeno teorema de fermat

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