PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

Perbandingan Inversi Least-Square dengan Levenberg-

Marquardt pada Metode Geomagnet untuk Model

Crustal Block

Umar Saida), Mohammad Heriyantob), dan Wahyu Srigutomoc)

Laboratorium Fisika Bumi,

Kelompok Keilmuan Fisika Bumi dan Sistem Kompleks,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung,

Jl. Ganesha no. 10 Bandung, Indonesia, 40132

a)saidu3694@gmail.com (corresponding author)

b)mheriyanto37@gmail.com c)wahyu@fi.itb.ac.id

Abstrak

Metode geomagnet merupakan metode geofisika yang memanfaatkan informasi perbedaan magnetisasi

batuan bawah permukaan bumi. Metode geomagnet umum digunakan pada eksplorasi awal pencarian

sumber panasbumi atau juga pemetaan sesar/patahan di bawah permukaan. Salah satu metode inversi yang

sering digunakan dalam pengolahan data geomagnet adalah inversi Least-Square (LS) dan Levenberg-

Marquardt (LM). Tujuan penelitian ini adalah membandingkan inversi LS dengan LM dalam hal keakuratan

penentuan parameter model berdasarkan error root-mean-square (rms) dan banyaknya iterasi. Data yang

digunakan berupa data sintetik dan bernoise dari model crustal block. Hasil dari penelitian ini menunjukan

bahwa kedua inversi ini sangat bergantung terhadap tebakan model awal dan LM juga bergantung terhadap

faktor redaman (). Inversi LS lebih baik digunakan untuk data tanpa noise dengan error rms-nya sebesar

2.110-10. Data dengan tambahan noise sebesar 5% dan 10 %, inversi LM lebih efektif dan baik daripada

LS, dengan error rms-nya sebesar 4.2910-8 dan 5.7310-5.

Keywords: Geomagnet, least-square, levenberg-marquardt, crustal block, noise

PENDAHULUAN

Geofisika merupakan satu cabang ilmu yang mempelajari bumi menggunakan prinsip-prinsip fisika.

Penelitian geofisika ditujukan untuk mengetahui kondisi bawah permukaan bumi melalui pengukuran-

pengukuran yang dilakukan di atas permukaan bumi. Pengukuran ini kemudian ditafsirkan sebagaimana sifat-

sifat dan kondisi di bawah permukaan. Metode geofisika terbagi menjadi dua kategori, geofisika aktif dan

geofisika pasif. Metode pasif dilakukan dengan mengukur respon alami yang dihasilkan oleh bumi seperti

medan elektromagnetik, magnet bumi, potensial bumi, gravitasi bumi, gempa bumi dan lain sebagainya.

Sedangkan metode aktif dilakukan dengan membuat gangguan buatan kemudian diukur respons terhadap

gangguan tersebut [1]. Salah satu bagian terpenting dalam geofisika adalah proses menafsirkan respon/data

yang bergantung dengan kondisi dan sifat fisis batuan bawah permukaan, atau yang dikenal dengan proses

interpretasi. Interpretasi data dapat dilakukan secara kualitatif ataupun kuantitatif. Interpretasi kualitatif

dilakukan dengan cara mengamati pola data atau anomali yang diperoleh. Anomali dengan pola tertentu

berasosiasi dengan sumber anomali bawah permukaan dengan geometri tertentu. Hubungan antara pola

anomali dengan parameter model diperoleh dari perumusan sederhana. Hasil dari interpretasi kualitatif

mencakup perkiraan posisi, ukuran, dan kedalaman benda yang menimbulkan anomali tersebut. Sedangkan

interpretasi kuantitatif dilakukan melalui pemodelan kedepan dan inversi. Dalam hal ini, model

ISBN: 978-602-61045-1-9 433

mailto:saidu3694@gmail.commailto:mheriyanto37@gmail.commailto:wahyu@fi.itb.ac.id

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

merepresentasi keadaan geologi bawah permukaan dengan besaran fisis dan geometri tertentu (variasi spasial). Model sederhana dipilih agar permasalahan dapat disederhanakan dan respon/data dapat dihitung

secara matematis dengan memanfaatkan teori fisika.

Metode geomagnet merupakan metode geofisika pasif yang didasarkan pada sifat kemagnetan batuan

sehingga sensitivitas metode ini bergantung pada kontras magnetisasi bawah permukaan. Magnetasi bumi

ditentukan oleh medan magnet bumi yang terdiri dari 3 bagian, yaitu medan utama, medan luar dan anomali

medan magnetik. Medan utama ditimbulkan dari medan magnet utama yang dihasilkan oleh bumi, medan

luar berasal dari pengaruh luar bumi yang merupakan hasil dari ionisasi di atmosfer yang ditimbulkan oleh

sinar ultraviolet dan matahari. Sedangkan anomali medan magnetik merupakan terget dari pengukuran

geomagnet, karena medan anomali ini berasosiasi dengan besarnya intensitas magnetisasi dari suatu batuan.

Besar anomali ini berkisar nilai ratusan sampai ribuan nT (nano Tesla). Secara garis besar anomali ini

disebabkan oleh medan magnetik remanen dan medan magnet induksi [3].

Tujuan penelitian ini adalah membandingkan inversi least-square (LS) dan Levenberg-Marquardt (LM)

pada metode geomagnet.

METODE PENELITIAN

Penelitian ini menggunakan data sintetik yang diperoleh dari model uji crustal block dengan posisi dan

ukuran geometri benda anomali magnetiknya ditetapkan pada suatu nilai tertentu. Data sintetik ini kemudian

divariasikan dengan memberikan tambahan noise sebesar 5% dan 10%. Kemudian dilakukan inversi LS dan

LM terhadap ketiga data tersebut. Pembuatan program pemodelan kedepan, inversi LS, dan LM dilakukan

pada software MATLAB MathWorks.

Pemodelan Kedepan Model Crustal Block

Pemodelan kedepan merupakan suatu proses perhitungan data yang secara teoritis akan teramati di

permukaan bumi jika diketahui harga parameter model tertentu bawah permukaan. Ilustrasinya ditunjukan

pada Gambar. 1 di bawah ini:

Gambar 1. Ilustrasi pemodelan kedepan

Pada penelitian ini digunakan model uji crustal block yang geometrinya sudah ditetapkan [3].

Gambar 2. Model crustal block

Berdasarkan Gambar. 2 diatas, perumusan anomali magnetik di setiap titik pengukuran adalah sebagai

berikut:

ISBN: 978-602-61045-1-9 434

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

)

43()

21(

2

0),(

zMzxzB

(1)

Dimana nilai 1

,2

,3

,4

adalah sebagai berikut:

1

01

1

)(tan

z

cxx ;

1

01

2

)(tan

z

cxx

2

01

3

)(tan

z

cxx ;

2

01

4

)(tan

z

cxx

dimana x adalah panjang pengukuran (meter), x0 berupa posisi tengah benda anomali (meter), c adalah

panjang setengah block (meter), diubah menjadi L, dimana L = 2c. Kemudian z1 sebagai kedalaman anomali

bagian sisi atas (meter), z2 adalah kedalaman anomali bagian sisi bawah (meter), dan Mz = kontras

magnetisasi (nano Tesla).

Inversi

Inversi merupakan suatu metode matematis dan statistik untuk memperoleh informasi yang berguna

mengenai suatu sistem fisika berdasarkan observasi terhadap sistem tersebut [2]. Sistem fisika bersesuaian

dengan fenomena yang akan ditinjau, sedangkan hasil observasinya bersesuaian dengan data, hasil informasi

yang ingin diperoleh merupakan suatu parameter model yang sesaui dengan sistem fisis yang ada [4]. Ilustrasi

pemodelan inversi ditunnukan pada Gambar. 3 di bawah ini:

Gambar 3. Ilustrasi inversi

Hubungan antara data/respon dengan parameter model adalah linier, akan tetapi permasalahan dalam

geofisika kebanyakan berupa non-linier [2,4].

)(mHd (2)

dimana d adalah data/respon, m menunjukkan parameter model/model, dan H adalah fungsi pemodelan

kedepan yang menghubungkan data/respon dan parameter model secara non-linier.

Inversi Least-Square (LS)

Persamaan iteratif inversi LS [2,4] sebagai berikut:

n

T

nn

T

nnnmHdJJJmm

obs

1

1 (3)

Dengan dobs adalah data lapangan atau sintetik dan nJ merupakan matriks Jacobi pada iterasi ke-n.

M

M

m

NH

m

NH

m

iH

m

iH

mm

mm

mJ

1

1

(4)

ISBN: 978-602-61045-1-9 435

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

dimana i berasosiasi pada pengukuran ke-i, N adalah banyak titik pengukuran dan M berupa banyak parameter

model.

Inversi Levenberg-Marquardt (LM)

n

T

nn

T

nnnmHdJIJJmm

obs

1

1 (5)

dimana n

m adalah parameter model iterasi ke-n, I disebut matriks identitas, dan adalah faktor redaman

yang nilainya dipilih dengan coba-coba sampai mendapatkan nilai yang sesuai.

Error root-mean-square (error rms) dipilih sebagai parameter yang digunakan untuk mengukur seberapa

besar kesalahan yang dimiliki data perhitungan dengan data pengamatan. Perumusan error rms sebagai

berikut:

Nrmserror

N

i

i

cal

i

obsdd

2

1_

(6)

Hasil dari error rms ini digunakan untuk menganalisis kesesuaian antara data observasi (dobs) dan data

perhitungan (dcal), semakin error rms-nya kecil maka semakin akurat pula kesesuaian datanya.

Gambar 4. Algoritma inversi non-linier

Gambar. 4 menjelaskan alur proses inversi non-linier. Model awal (m0) dipilih tidak jauh dari parameter

model sebenarnya (model uji), untuk menghasilkan solusi yang konvergen. Pada bagian modifikasi model,

untuk inversi LS = 0 sedangkan untuk LM = I. Parameter yang membedakan inversi keduanya. Sementara tol adalah toleransi, dalam penelitian ini ditentukan sebesar 110-10.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pemodelan Kedepan Model Crustal Block

Pengukuran dilakukan pada lintasan (arah x) sepanjang 200 meter dan spasi pengukuran sebesar 1 meter.

Tabel 1. Tabel parameter model untuk pemodelan kedepan

No Parameter Model

ISBN: 978-602-61045-1-9 436

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

1 Mz (nT) 600 2 z1 (m) 3

3 z2 (m) 4

4 x0 (m) 0

5 L (m) 20

Sehingga diperoleh data sintetik hasil pemodelan kedepan sebagai berikut:

Gambar 6. Hasil pemodelan kedepan dengan model uji crustal block. a) model bawah permukaan b) Data sintetik tanpa

noise c) Noise 5% dan d) Noise 10 %.

Penambahan noise dilakukan dengan cara menambahkan masing-masing data tanpa noise dengan 5% atau

10 % dari masing-masing data tersebut, sehingga pada Gambar. 6(c) dan 6(d) terlihat ada data yang berubah

nilainya dari data sintetik (data tanpa noise). Penambahan noise ini bertujuan untuk membuat data sintetik

berperilaku seperti data lapangan (tidak ideal/banyak noise), kemudian juga untuk menguji ketahanan metode

inversi yang dipilih terhadap data yang mempunyai noise.

Inversi

Hasil inversi LS dan LM pada data sintetik tanpa noise sebagai berikut:

a)

b)

c)

d)

ISBN: 978-602-61045-1-9 437

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

Gambar 7. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan = 110-11pada data sintetik tanpa noise.

Tabel 2. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data sintetik tanpa noise.

Model Uji

Hasil Inversi

LS LM

1 = 1x10-11 2 = 1x10-21 3 = 1x10-27

Mz (nT) 600 599 449.14 599.97 599.97

z1 (m) 3 2.99 2.85 2.99 2.99

z2 (m) 4 4 4.189 4 4

x0 (m) 0 2.30x10-6 2.18x10-5 2.3x10-6 2.37x10-6

L (m) 20 20 19.99 20 20

Iterasi 100 100 100 100

Error rms 2.1x10-10 1.01x10-6 2.01x10-8 2.01x10-8

Inversi dilakukan untuk data tanpa noise dan data dengan tambahan noise. Inversi yang diterapkan berupa

inversi LS dan LM, dengan parameter model awal (m0) adalah Mz = 450 nT, z1 = 1 m, z2 = 3 m , x0 = 1 m,

dan L = 15 m. Untuk inversi LS dapat dilihat pada tabel 2, nilai error rms-nya sebesar 2.110-10, sedangkan

inversi LM menghasilkan error rms = 2.0110-8 dengan nilai = 110-21 dan 110-27 kemudian untuk = 110-11 nilai error rms = 1.0110-6. Sehingga untuk data tanpa noise, inversi LS lebih baik dibanding LM

dengan berdasarkan error rms yang diperoleh. LM terkadang memberi hasil inversi yang baik asalkan

pemilihan -nya tepat, dalam kasus ini > 110-27. Namun dalam pemilihan seringkali memakan waktu lama sehingga waktu komputasi kurang efisien. Hasil pemodelan inversinya ditunjukan pada Gambar 7 di

atas.

Gambar 8. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan = 110-11 pada data noise 5%.

Tabel 3. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data noise 5%.

Model Uji Hasil Inversi

LS LM

b) a)

b) a)

ISBN: 978-602-61045-1-9 438

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

1 = 110-11 2 = 110-21 3 = 110-9 Mz (nT) 600 325.96 449.13 325.9 449.9

z1 (m) 3 2.6 2.89 2.67 2.89

z2 (m) 4 4.5 4.24 4.53 4.2

x0 (m) 0 -1.210-2 -1.210-2 -1.210-2 -1.210-2

L (m) 20 20.01 20 20.01 20

Iterasi 100 100 100 100

Error rms 2.5810-5 2.5910-5 4.2910-8 2.5910-5

Data dengan tambahan noise sebesar 5%, hasilnya dapat dilihat pada Gambar. 8 dan tabel 3. Nilai error

rms pada masing-masing inversi hampir sama yaitu pada orde 10-5. Akan tetapi jika diperhatikan masing-

masing parameter model, inversi LM lebih baik dibanding LS. Misal parameter model kedalaman, untuk LM

menghasilkan z1 = 2.89 m dan z2 = 4.2 m, hasil ini lebih mendekati nilai parameter model sebenarnya yaitu z1 = 3 m dan z2 = 4 m, daripada LS yang menghasilkan z1 = 2.6 m dan z2 = 4.5 m. Hal ini menunjukkan inversi

LM lebih baik dengan lebih besar dari 110-11.

Gambar 9. Hasil inversi a) LS dan b) LM dengan =110-11 pada data noise 10%.

Tabel 4. Perbandingan hasil inversi LS dan LM pada data noise 10%.

Model Uji

Hasil Inversi

LS LM

1 = 110-11 2 = 110-21 3 = 110-9 4 = 110-15

Mz (nT) 600 252.08 449.91 564.1 449.9 508.08

z1 (m) 3 2.42 2.86 2.99 2.86 2.93

z2 (m) 4 4.8 4.2 4.11 4.2 4.11

x0 (m) 0 -7.610-2 3.0910-3 -6.310-4 3.0810-3 3.1110-3

L (m) 20 20 19.97 19.9 19.97 19.9

Iterasi 100 100 100 100 100

Error rms 5.9410-5 5.7410-5 7.9310-4 5.7310-5 5.7310-5

Data dengan tambahan noise 10% menghasilkan model inversi seperti ditunjukan pada Gambar. 9, terlihat

bahwa inversi LS menghasilkan error rms sebesar 5.9410-5, sedangkan LM menghasilkan error rms sebesar

5.7310-5 untuk = 110-9. Berdasarkan hasil error rms-nya, kedua inversi tersebut sama baiknya dalam

menentukan parameter model. Akan tetapi, jika diperhatikan masing-masing parameter model, maka LM

lebih baik digunakan untuk data dengan noise 10% daripada inversi LS. Parameter model Mz, pada LS

menghasilkan nilai 252.08 nT, sedangkan LM menghasilkan nilai 564.1 nT untuk = 110-21. Hasil inversi

LM ini lebih mendekati Mz yang sebenarnya yaitu 600 nT, begitupun untuk parameter model lainnya yang

menunjukkan inversi LM lebih mendekati nilai sebenarnya dibanding inversi LS.

Hasil inversi LM dan LS sangat bergantung terhadap tebakan awal. Apabila tebakan awal tidak terlalu

dekat dengan parameter model sebenarnya maka inversi LS akan menghasilkan solusi inversi yang divergen

atau menuju tak hingga atau tak definisi. Namun untuk LM akan tergantung juga terhadap faktor redaman,

jadi tidak langsung menghasilkan solusi divergen seperti LS. Pada kedua data bernoise tersebut, inversi LM

a) b)

ISBN: 978-602-61045-1-9 439

PROSIDINGSKF2016

1415 Desember2016

lebih baik dibanding LS. Hal ini terjadi ketika pemilihan -nya tepat. Ketika pemilihan tepat maka persamaan iteratif (5) akan menghasilkan solusi inversi yang konvergen dan dekat dengan nilai parameter

model sebenarnya.

Pada penelitian ini, parameter banyaknya iterasi tidak bisa dianalisis lebih lanjut untuk membandingkan

inversi LS dan LM. Hal ini terjadi karena dalam proses perhitungan inversi, banyaknya iterasi selalu bernilai

100, nilai ini sebenarnya batas maksimum iterasi yang mampu dijalankan oleh program.

KESIMPULAN

1. Data tanpa noise inversi LS lebih baik dan cepat dibanding inversi LM dalam menentukan parameter model. LM tergantung nilai yang diberikan. Pada data tanpa noise, LM baik untuk > 110-27. Solusi inversi LS dan LM sangat bergantung dengan tebakan parameter model awal.

2. Data dengan noise 5% inversi LM dengan error rms 4.2910-8 lebih baik dalam menentukan parameter model dibanding inversi LS. Hasil LM sangat baik ketika menggunakan > 110-11.

Sedangkan pada inversi LS error rmsnya bernilai 2.58x10-5.

3. Inversi LM lebih efektif untuk digunakan pada data bernoise dengan memperhitungkan nilai yang digunakan. Tetapi untuk data yang teratur (data tanpa noise) maka inversi LS lebih efektif dibanding

inversi LM yang harus diatur terlebih dahulu -nya supaya menghasilkan nilai yang sesuai. Sehingga hasil inversi LM sangat bergantung dengan nilai yang dipilih.

REFERENSI

1. W. M. Telford, et all, Applied Geophysics 2 Ed. Cambridge University Press, Melbourne (1990) 2. W. Menke, Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory. Academic Press, New York (1984) 3. W. Lowrie, Fundamental of Geophysics 2 Ed. Cambridge University Press, New York (2007) 4. H. Grandis, Pengantar Pemodelan Inversi Geofisika. HAGI, CV. Bumi Printing, Bandung (2009)

ISBN: 978-602-61045-1-9 440