perbandingan metode iterasi jacobi dan …digilib.unila.ac.id/24177/3/skripsi tanpa bab...
TRANSCRIPT
PERBANDINGAN METODE ITERASI JACOBI DAN ITERASIGAUSS-SEIDEL DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER DENGAN MENGGUNAKAN SIMULASI KOMPUTASI
(Skripsi)
OlehShella Niyyaka
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNGLAMPUNG
2016
ABSTRACT
ITERATION METHOD COMPARISON JACOBI AND GAUSS-SEIDELITERATION IN SETTLEMENT SYSTEM USING LINEAR EQUATION
SIMULATION COMPUTATION
System of linear equations is a set of linear equations has a solution (or do nothave a solution) are the same for all equations. Settlement of linear equationsystem is divided into two methods, methods of direct and indirect methods(iterative). Iterative method consists of iterations of Jacobi and Gauss-Seideliteration. Jacobi iteration method is iterative method that calculates the valueapproximations current or latest by reference to the previous approximation.Jacobi iteration common forms are:
( ) = 1 − ( ) , = 1,2, … , ; = 1,2,3, …,Gauss-Seidel iteration method is iterative method that calculates the valueapproximations present by reference to the latest approximations.The general form of Gauss-Seidel iteration is:
( ) = 1 − ( ) − ( ) , = 1,2, … , ; = 1,2,3, …,Keywords: Systems of linear equations, iteration method, Jacobi iteration, Gauss-
Seidel iterations, computational simulation.
ABSTRAK
PERBANDINGAN METODE ITERASI JACOBI DAN ITERASI GAUSS-SEIDEL DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
DENGAN MENGGUNAKAN SIMULASI KOMPUTASI
Oleh
SHELLA NIYYAKA
Sistem persamaan linier merupakan kumpulan persamaan linier yang mempunyaisolusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan.Penyelesaian sistem persamaan linier terbagi menjadi dua metode, metodelangsung dan metode tak langsung (iteratif). Metode iteratif terdiri dari iterasiJacobi dan iterasi Gauss-Seidel. Metode iterasi jacobi adalah metode iterasi yangmenghitung nilai hampiran sekarang atau terbaru dengan mengacu pada nilaihampiran sebelumnya.Bentuk umum iterasi Jacobi adalah :
( ) = 1 − ( ) , = 1,2, … , ; = 1,2,3, …,Metode iterasi Gauss-Seidel adalah metode iterasi yang menghitung nilaihampiran sekarang dengan mengacu pada nilai hampiran terbaru.Bentuk umum iterasi Gauss-Seidel adalah :
( ) = 1 − ( ) − ( ) , = 1,2, … , ; = 1,2,3, …,Kata kunci : Sistem persamaan linier, metode iterasi, iterasi Jacobi, Iterasi
Gauss-Seidel, simulasi komputasi.
PERBANDINGAN METODE ITERASI JACOBI DAN ITERASIGAUSS-SEIDEL DALAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
LINIER DENGAN MENGGUNAKAN SIMULASI KOMPUTASI
Oleh
Shella Niyyaka
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarSARJANA SAINS
Pada
Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukosari, Kecamatan Adiluwih, Kabupaten Pringsewu pada
tanggal 23 Mei 1995, dan merupakan anak pertama dari 2 bersaudara, anugerah
cinta dari pasangan Ayah Widodo dan Mama Janatun.
Penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 6 Poncokresno pada
tahun 2006/2007, Madrasah Tsanawiyah Negeri 1 Pringsewu pada tahun
2009/2010, Sekolah Menengah Atas Negeri 2 Pringsewu pada tahun 2012/2013.
Selanjutnya pada tahun 2012 penulis mengikuti Seleksi Ujian Mandiri (UM) dan
berhasil diterima sebagai mahasiswi di Universitas Lampung Jurusan Maematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswi penulis aktif di organisasi kampus yaitu pernah
menjadi anggota muda HIMATIKA tahun 2012-2013 dan Anggota Bidang Dana
dan Usaha HIMATIKA tahun 2013-2014.
Pada tanggal 1 Juli sampai dengan 30 Juli 2015, penulis melaksanakan kegiatan
Kerja Praktek (KP) di Dinas Peternakan dan Kesehatan Hewan Provinsi Lampung
guna mengaplikasikan ilmu yang telah di dapatkan sewaktu kuliah. Pada tanggal
19 Januari 2016 sampai dengan tanggal 18 Maret 2016 penulis telah mengikuti
Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Trikarya Kecamatan Penawartama,
Kabupaten Tulang Bawang.
KATA INSPIRASI
Sebuah tantangan akan selalu menjadi beban, jika itu hanya
difikirkan. Sebuah cita-cita juga adalah beban, jika itu hanya angan-
angan
Kesuksesan hanya dapat diraih dengan segala upaya dan usaha yang
disertai dengan doa, karena sesungguhnya nasib seorang manusia
tidak akan berubah dengan sendirinya tanpa berusaha
Tidak ada masalah yang tidak bisa diselesaikan selama ada komitmen
bersama untuk menyelesaikannya. Berangkat dengan penuh
keyakinan, berjalan dengan penuh keikhlasan, istiqomah dalam
menghadapi cobaan.
SEMANGATKU...
Ketika aku mulai merasa lelah, aku selalu ingat pesan dan raut wajah
beliau ketika memberiku semangat dan tersenyum menenangkanku.
PERSEMBAHAN
Alhamdulillahirabbil’alamin, syukur yang indah kuucapkan kepada ALLAH
Rabbul Ta’ala, atas ridhoNya skripsi ini dapat terselesaikan, atas ridhoNya
diberikan segala kemudahan, dan atas ridhoNya pula akan didatangkan suatu
kemanfaatan.
Dengan segala kerendahan hati, kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk
orang-orang yang kusayangi, orang-orang yang menyemangati tanpa henti,
menemani serta mendoakan dengan ikhlas tanpa pamrih.
Untukmu AYAH (Widodo) dan MAMA (Janatun) tersayang yang menjadi
kebahagiaan serta motivasi terbesar dalam menyelesaikan studiku. Kepada
Mamasku Dafid Sela Anggara dan Adikku Sahrul Arsyaddana, bentuk
perhatian, pengertian, doa, semangat dan bantuannya, terimakasih untuk
segalanya. Kepada teman-teman Matematika 2012, serta Almamater tercinta
Universitas Lampung, semangat serta keceriaan kalian semuanya menjadi
penambah kekuatan semangat dalam hidup dan tujuan hidupku untuk tetap
bangkit.
“kupersembahkan untuk kalian, inspirasiku...”
SANWACANA
Alhamdulillahirabbil’alamin dengan rasa syukur kehadirat Allah SWT serta
rahmat dan karunia Nya skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul
“Perbandingan Metode Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel dalam Penyelesaian
Sistem Persamaan Linier” disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh
gelar Sarjana Sains (S.Si) di Universitas Lampung. Selesainya skripsi ini, adalah
juga berkat motivasi dan pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Oleh
karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan banyak
terima kasih kepada:
1. Ibu Dra. Dorrah Aziz, M.Si, selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah
meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi.
2. Bapak Subian Saidi, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah
memberi banyak masukan dan arahan kepada penulis selama menyusun
skripsi.
3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan
dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi.
4. Bapak Warsono, Ph. D, selaku Pembimbing Akademik yang telah
mengarahkan penulis dari awal sampai lulus kuliah.
5. Bapak Drs. Tiryono Rubby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas lampung.
7. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung
yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis.
8. Ayah dan Mama ku tersayang yang telah memberikan motivasi, do’a, dan
kasih sayang yang begitu besar serta dukungan moril maupun materil kepada
penulis.
9. Kakak dan adikku tersayang yang selalu memberi motivasi kepada penulis.
10. Sahabat yang kini menjadi Saudaraku Ira, Sri, Tika, Azizah, Astuti, Siti, Desi,
Fahmi, Putri dan Resti yang menjadi pendengar keluh kesah penulis saat
menempuh pendidikan di Universitas Lampung.
11. Teman-teman angkatan 2012 yang selalu memberikan motivasi dan dukungan
dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu
persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga
kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga
skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.
Bandarlampung, 3 Oktober 2016
Penulis
Shella Niyyaka
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI.................................................................................................. i
DAFTAR TABEL ....................................................................................... iii
DAFTAR GAMBAR................................................................................... iv
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah.................................................... 11.2 Tujuan Penelitian ..................................................................... 21.3 Manfaat Penelitian ................................................................... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Linier ......................................................................... 42.2 Persamaan Aljabar (Polinomial Berderajat n) ............................. 42.3 Persamaan Transendental ............................................................ 42.4 Sistem Persamaan Linear............................................................. 52.5 Sistem Persamaan Linier Homogen ............................................ 62.6 Sistem Persamaan Linier Tak Homogen ..................................... 62.7 Matriks......................................................................................... 62.8 Macam-Macam Matriks............................................................... 7
2.8.1 Matriks Kuadrat Berorde n ............................................. 72.8.2 Matriks Identitas ............................................................. 72.8.3 Matriks Bujursangkar...................................................... 72.8.4 Matriks Diagonal ............................................................ 82.8.5 Matriks Upper Triangular .............................................. 82.8.6 Matriks Lower Triangular .............................................. 82.8.7 Matriks Tridiagonal ........................................................ 9
2.9 Vektor Baris dan Vektor Kolom................................................. 92.10 Metode Iterasi Jacobi................................................................ 102.11 Metode Iterasi Gauss-Seidel ..................................................... 152.12 Stasioner ................................................................................... 182.13 Kekonvergenan Iterasi Matriks................................................. 192.14 M-File Sebagai Skrip Program ................................................. 202.15 Variabel-Variabel yang Digunakan .......................................... 21
ii
Halaman
2.16 Galat dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linier ................ 222.17 Definisi Galat............................................................................ 232.18 Konsep Norm dan Bilangan Kondisi Suatu Matriks ................ 232.19 Ukuran Besar Vektor dan Matriks............................................ 242.20 Kekonvergenan Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel ...................... 26
III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu Penelitian........................................................................ 283.2 Metode Penelitian
3.2.1 Iterasi Jacobi .................................................................. 283.2.2 Iterasi Gauss-Seidel ....................................................... 30
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Kondisi Matriks err < tol, dengan tol = 0.001 ........................... 324.2 Kondisi Matriks 2 x 2 pada err < tol, dengan tol = 0.001.......... 334.3 Kondisi Matriks 3 x 3 pada err < tol, dengan tol = 0.001.......... 364.4 Kondisi Matriks 4 x 4 pada err < tol, dengan tol = 0.001.......... 394.5 Kondisi Matriks 5 x 5 pada err < tol, dengan tol = 0.001.......... 434.6 Kondisi Matriks 10 x 10 pada err < tol, dengan tol = 0.001...... 46
V SIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Tampilan Awal MATLAB R2014a................................................ 202. Flow Chart Metode Iterasi Jacobi .................................................. 293. Flow Chart Metode Iterasi Gauss-Seidel ....................................... 314. Cara Save and Load pada Command Window Matriks 2 x 2
di dalam MATLAB R2014a........................................................... 345. Rumus Iterasi Jacobi Matriks 2 x 2 ................................................ 346. Rumus Iterasi Gauss-Seidel Matriks 2 x 2 ..................................... 357. Cara Save and Load pada Command Window Matriks 3 x 3
di dalam MATLAB R2014a........................................................... 378. Rumus Iterasi Jacobi Matriks 3 x 3 ................................................ 389. Rumus Iterasi Gauss-Seidel Matriks 3 x 3 ..................................... 3910. Cara Save and Load pada Command Window Matriks 4 x 4
di dalam MATLAB R2014a........................................................... 4111. Rumus Iterasi Jacobi Matriks 4 x 4 ................................................ 4212. Rumus Iterasi Gauss-Seidel Matriks 4 x 4 ...................................... 4213. Rumus Iterasi Jacobi Matriks 5 x 5 ................................................ 4514. Rumus Iterasi Gauss-Seidel Matriks 5 x 5 ..................................... 4515. Rumus Iterasi Jacobi Matriks 10 x 10 ............................................ 4816. Rumus Iterasi Gauss-Seidel Matriks 10 x 10 .................................. 49
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
1. Hasil Iterasi Jacobi .......................................................................... 152. Hasil Iterasi Gauss-Seidel ............................................................... 183. Kondisi Matriks err < tol, dengan tol = 0.001 ................................. 324. Kondisi Matriks 2 x 2 pada err < tol, dengan tol = 0.001 ............... 335. Matriks 2 x 2 dari Masing-Masing Percobaan ................................ 336. Kondisi Matriks 3 x 3 pada err < tol, dengan tol = 0.001 ............... 367. Matriks 3 x 3 dari Masing-Masing Percobaan ................................ 368. Kondisi Matriks 4 x 4 pada err < tol, dengan tol = 0.001 ................ 399. Matriks 4 x 4 dari Masing-Masing Percobaan ................................ 4010. Kondisi Matriks 5 x 5 pada err < tol, dengan tol = 0.001 ............... 4311. Matriks 5 x 5 dari Masing-Masing Percobaan ................................ 4412. Kondisi Matriks 10 x 10 pada err < tol, dengan tol = 0.001 ........... 4613. Matriks 10 x 10 dari Masing-Masing Percobaan ............................ 47
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Sistem persamaan linear merupakan salah satu model dan masalah matematika
yang banyak diterapkan dalam berbagai ilmu. Suatu sistem persamaan linear
terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga
variabel.
Sistem Persamaan Linear dalam bentuk persamaan perkalian matriks dapat di-
tulis
Ax = b.
Di dalam penyelesaian sistem persamaan akan dicari nilai x1, x2, ..., xn yang
memenuhi sistem persamaan berikut :+ + ⋯ + =+ + ⋯ + =⋮ + ⋮ + ⋮⋯ + =Dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan,
dan x1, x2, ..., xn adalah bilangan tak diketahui.
Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel-
variabel tersebut yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.
Terdapat dua kelompok yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier. Metode pertama yaitu metode langsung, yakni metode yang
2
mencari sistem persamaan linier dalam langkah berhingga. Contohnya seperti
metode eliminasi gauss dan metode eliminasi gauss jordan. Kelompok kedua
dikenal sebagai metode tak langsung atau metode iterasi, yang bermula dari suatu
hampiran awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran penyelesaian awal
dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun
menggunakan langkah konvergen. Metode iterasi digunakan untuk menyelesaikan
sistem persamaan linier berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.
Metode iterasi yang akan dibahas yaitu metode iterasi Jacobi dan metode iterasi
Gauss-Seidel.
Pada metode iterasi Jacobi, nilai hampiran dikoreksi secara serentak. Artinya nilai
hampiran mengacu pada nilai hampiran sebelumnya. Sedangkan pada metode
Gauss-Seidel, nilai hampiran dihitung berdasarkan nilai hampiran terbaru atau
terakhir. Menyelesaikan metode iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel
menggunakan simulasi komputasi dengan software MATLAB R2014a.
1.2 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang di atas, penelitian ini bertujuan untuk mengetahui
kecepatan dan keakuratan antara metode iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel
dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan simulasi komputasi.
1.3 Manfaat Penelitian
1. Dapat memberikan sumbangan pemikiran untuk menyelesaikan
persamaan linier dengan menggunakan metode iterasi.
3
2. Meningkatkan kemampuan penggunaan konsep sistem persamaaan linier
dengan metode iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel dalam simulasi
komputasi.
3. Mengetahui tingkat kecepatan dan keakuratan metode iterasi Jacobi dan
iterasi Gauss-Seidel pada masing-masing matriks.
4. Mengetahui kelebihan dan kelemahan dari masing-masing metode iterasi
Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel yang dilihat dari kecepatan dan
keakuratan solusi SPL menggunakan simulasi komputasi.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Linear
Suatu Persamaan Linear dengan n peubah x1, x2, . . . , xn adalah persamaan yang
dapat ditulis dalam bentuk : + +⋯+ =Dengan a1, a2, . . . , an dan b adalah konstanta-konstanta riil, n adalah jumlah
persamaan, dan x1, x2, . . . , xn adalah bilangan tak diketahui (Anton, 1987).
2.2 Persamaan Aljabar (Polinomial Berderajat n)
Suatu persamaan aljabar dalam variabel x adalah suku banyak (polinomial)
berderajat n ≥ 1 dalam x, yang dapat dituliskan secara umum dalam bentuk :
anxn+an-1x
n-1+ ... +a1x+a0 = 0
dengan an, an-1, ..., a1, dan a0 adalah konstanta-konstanta yang diketahui. Apabila
a0 = 0, maka persamaan tersebut dikatakan homogen (Sahid, 2005).
2.3 Persamaan Transendental
Suatu persamaan transendental dalam x memuat suku dalam x yang tidak dapat
dinyatakan sebagai berhingga operasi aljabar (penjumlahan atau pengurangan dan
perkalian atau pembagian). Sebagai contoh : sin (x), ln (x), ex adalah bentuk
berhingga penjumlahan (Sahid, 2005).
(2.1)
(2.2)
5
2.4 Sistem Persamaan Linear
Penyelesaian dari persamaan linier a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b adalah urutan dari
bilangan s1, s2, ... , sn sedemikian sehingga persamaan tersebut bernilai benar bila
bilangan s1, s2, ... , sn masing-masing disubstitusikan ke x1, x2, . . . , xn. Suatu
sistem sebarang yang terdiri dari n persamaan linear dengan peubah n ditulis
sebagai : + +⋯+ =+ +⋯+ =⋮ ⋮ ⋮ ⋮+ +⋯+ =Kuantitas-kuantitas aij (untuk i, j = 1, 2, ..., n) disebut koefisien. Nilai koefisien-
koefisien aij dan ruas kanan bi pada setiap persamaan diketahui. Kuantitas-
kuantitas xij disebut variabel, yang nilainya belum diketahui dan hendak dicari.
Sistem persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai :
AX = B
Dengan A adalah sebuah matriks n x n :
= ⎝⎜⎛ ⋯⋯⋮ ⋮ ⋯⋮… ⋮ ⎠⎟
⎞dan X dan B adalah vektor-vektor n-komponen := ( , , , … , ) = ( , , , … , )Dengan pangkat T menyatakan operasi transpose matriks, yakni mengubah baris
menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Matriks A disebut matriks koefisien,
vektor kolom B sering disebut vektor konstanta.
(2.3)
(2.4)
6
Sistem persamaan linier dapat diklasifikasikan, menurut penyelesaiannya, menjadi
tiga kelompok :
1. SPL yang mempunyai penyelesaian tunggal.
2. SPL yang tidak mempunyai penyelesaian.
3. SPL mempunyai tak berhingga penyelesaian (Sahid, 2005).
2.5 Sistem Persamaan Linier Homogen
Apabila semua nilai bi = 0 untuk i = 1, 2, ..., n, maka SPL (2.4) disebut sistem
persamaan linier homogen (Sahid, 2005).
2.6 Sistem Persamaan Linier Tak Homogen
Apabila terdapat bk ≠ 0 untuk suatu 1 ≤ k ≤ n, maka SPL (2.4) disebut sistem
persamaan linier tak homogen (Sahid, 2005).
2.7 Matriks
Suatu matriks adalah susunan bilangan real berbentuk empat persegi panjang yang
diatur dalam baris dan kolom.
Secara umum matriks A =
⋯⋮ ⋮ ⋯⋱⋯ ⋮Di dalam bentuk di atas, A adalah notasi matriks sedang aij adalah elemen
matriks. Deretan horisontal elemen-elemen disebut baris dan deretan vertikal
disebut kolom. Subskrip i menunjukkan nomor baris dimana elemen berada.
Subskrip kedua j menunjukkan kolom. Matriks di atas mempunyai m baris dan n
kolom, dan disebut mempunyai dimensi m kali n (m x n) (Anton, 1987).
7
Contoh :1 2 −2 123 3 4 51 −1 0 dan
5 7−10 232.8 Macam-Macam Matriks
2.8.1 Matriks kuadrat berorde n
Sebuah matriks dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berorde n
(square matrix of order n), dan elemen-elemen a11, a22, ... , ann diletakkan pada
diagonal utama (Anton, 1987).
Misalkan A =
⋯⋮ ⋮ ⋯⋱⋯ ⋮Contoh :
6 2 7 123 3 4 51 2 9 dan 1 23 42.8.2 Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal
utama adalah 1 (Anton, 1987).
= 10 0 0 01 0 000 0 1 00 0 12.8.3 Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya
sama (Anton, 1987).
Contoh :
8
Matriks bujursangkar berukuran 3 x 3 atau sering juga disebut matriks
bujursangkar orde 3.
= 1 3 85 9 72 4 62.8.4 Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemennya bernilai 0
(nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya (Anton, 1987).
Contoh : Matrik diagonal orde 3.
= 11 0 00 29 00 0 612.8.5 Matriks Upper Triangular
Matriks upper triangular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen di
bawah elemen diagonal bernilai 0 (nol) (Anton, 1987).
Contoh :
= 3 6 2 10 4 1 500 00 8 70 92.8.6 Matriks Lower Triangular
Matriks lower triangular adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen di atas
elemen diagonal bernilai 0 (nol) (Anton, 1987).
Contoh :
9
= 12 0 0 032 −2 0 08−5 710 11 06 92.8.7 Matriks Tridiagonal
Matriks tridiagonal adalah matriks bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0
(nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol)
(Anton, 1987).
Contoh :
= 3 6 0 02 −4 1 000 70 8 76 92.9 Vektor Baris dan Vektor Kolom
Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu
matriks dinamakan vektor baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan
m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut := [ ⋯ ] = [ ⋯ ]Sedangkan suatu matriks dinamakan vektor kolom berukuran n, bila hanya
memiliki satu kolom dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut :
= ⋮ = ⋮
10
2.10 Metode Iterasi Jacobi
Metode iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier dan sering
Dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode iterasi Jacobi merupakan salah
satu metode tak langsung, yang bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal
dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga namun
langkah konvergen. Metode iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan
persamaan linier yang proporsi koefisien nol nya besar.
Metode ini ditemukan olek matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav
Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.
Iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara
berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan
matematika.
Jika diubah dari persamaan linier, maka akan menjadi :=Kemudian diketahui bahwa A = D + (L + U), dimana D merupakan matriks
diagonal, L merupakan matriks segitiga bawah, dan U merupakan matriks segitiga
atas. Lalu persamaan tersebut diubah menjadi+ ( + ) == [ − ( + ) ]Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode iterasi Jacobi dapat ditulis sebagai
berikut :
( ) = ( − ( + ) ( )) (2.5)
11
Dimana k merupakan banyaknya iterasi. Jika x(k) menyatakan hampiran ke –k
penyelesaian SPL, maka x(0) adalah hampiran awal.
( ) = − ∑ ( ) , = 1,2, … , ; = 1,2,3, …,Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan dominan secara diagonal apabila :
|aii| > |ai,1| + ...+|ai,i-1| + |ai,i+1| + ...+ |ai,n| untuk i = 1, 2, ... , n.
Berikut adalah gambaran bagaimana menggunakan metode iterasi Jacobi dengan
sebuah contoh. Misalkan ingin menyelesaikan SPL :
10x1 − x2 + 2x3 = 6 (P1)
-x1 + 11x2 – x3 + 3x4 = 25 (P2)
2x1 – x2 + 10 x3 – x4 = -11 (P3)
3x2 – x3 + 8x4 = 15 (P4)
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu setiap variabel dalam ketiga variabel yang lain :
1. Nyatakan x1 dari persamaan (P1) dalam x2, x3, dan x4.
2. Nyatakan x2 dari persamaan (P2) dalam x1, x3, dan x4.
3. Nyatakan x3 dari persamaan (P3) dalam x1, x2, dan x4.
4. Nyatakan x4 dari persamaan (P4) dalam x1, x2, dan x3.
Hasilnya adalah SPL := − + (P5)
= + − + (P6)
= − + + − (P7)
= − + + (P8)
(2.6)
12
Nyatakan bahwa nilai x1, x2, x3, dan x4 yang berada di ruas kiri = (baca : sama
dengan) sebagai x(baru). Sementara nilai x1, x2, x3, dan x4 yang berada di ruas kanan
tanda = (baca : sama dengan) sebagai x(lama). Sehingga sistem persamaan tersebut
dapat ditulis seperti :
( ) = ( ) − ( ) +( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −( ) = − ( ) + ( ) +
yang secara umum dapat diformulasikan sebagai persamaan matrik berikut ini :
( ) = ( ) +dimana
⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( )( )( )( )⎦⎥⎥⎥
⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0
110 − 210 0111 0 111 − 311− 2100110−38
0 11018 0 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( )( )( )( )⎦⎥⎥⎥
⎥⎤ +⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 6102511−1110158 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎤
atau dapat pula di tulis : = +dimana k = 1, 2, 3, ..., n. Sehingga persamaan matriks dapat dinyatakan sebagai :
⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( )( )( )( )⎦⎥⎥⎥
⎥⎤ =⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0 − 00 −−0 − 0 0 ⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ( )( )( )( )⎦⎥⎥⎥
⎥⎤ +⎣⎢⎢⎢⎢⎡− ⎦⎥⎥
⎥⎥⎤
(2.7)
(2.8)
(2.9)
13
Pada persamaan (2.9), indeks k menunjukan jumlah perhitungan iterasi. Pada k =
1, dapat ditulis persamaan linier sebagai berikut :
( ) = ( ) − ( ) +( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −( ) = − ( ) + ( ) +
Jika diberikan nilai-nilai awal x(0) adalah x1(0) = 0, x2
(0) = 0, x3(0) = 0, dan x4
(0) = 0,
atau dinyatakan sebagai hampiran awal x(0) = (0;0;0;0)T, maka hampiran pertama
pada penyelesaian tersebut adalah :
( ) = 610 = 0.6( ) = 2511 = 2.2727( ) = −1110 = −1.1( ) = 158 = 1.8750
Atau x(1)= [0.6000;2.2727;-1.1000;1.8750]T. Setelah nilai x(1) diperoleh,
perhitungan tersebut diulang kembali untuk mendapatkan hasil iterasi kedua, yaitu
ketika k = 2. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai
x(1)= (0.6000;2.2727;-1.1000;1.8750)T ke suku-suku pada ruas kanan tanda sama
dengan,
( ) = ( ) − ( ) +( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −
14
( ) = − ( ) + ( ) +Maka nilai-nilai x(2) yang didapat adalah
x(2) = (1.0473; 1.7159; -0.8052; 0.8852)T. Setelah diperoleh nilai-nilai x(2),
perhitungan tersebut diulang kembali agar mendapatkan iterasi ketiga, dimana
nilai k = 3. Caranya adalah dengan memasukan nilai-nilai
x(2) = (1.0473; 1.7159; -0.8052; 0.8852)T ke ruas kanan kembali,
( ) = ( ) − ( ) +( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −( ) = − ( ) + ( ) +
Maka diperoleh nilai-nilai x(3) = (0.9326; 2.0530; -1.0493; 1.1309)T. Lalu proses
perhitungan diulangi lagi dengan k = 4. Begitulah seterusnya. Proses ini diulangi
berkali-kali untuk nilai-nilai k berikutnya. Proses yang berulang ini disebut proses
iterasi.
Sampai dengan x(3) di atas, telah dilakukan tiga kali proses iterasi. Proses iterasi
akan terus berlanjut sampai x(baru) mendekati solusi yang tepat, yaitu :
x = (1; 2; -1; 1)T
dengan kata lain, proses iterasi harus dihentikan bila x(baru) sudah mendekati
solusi. Berikut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan MATLAB
R2014a.
n x1 x2 x3 x4 Waktu (s) err
1 0.6000 2.2727 -1.1000 1.8750 0.0011 3.2017
2 1.0473 1.7159 -0.8052 0.8852 1.6287e-04 1.2556
3 0.9326 2.0533 -1.0493 1.1309 8.9244e-05 0.4969
15
4 1.0152 1.9537 -0.9681 0.9738 1.0308e-04 0.2191
5 0.9890 2.0114 -1.0103 1.0214 8.3443e-05 0.0897
6 1.0032 1.9922 -0.9945 0.9944 1.2762e-04 0.0393
7 0.9981 2.0023 -1.0020 1.0036 1.3476e-04 0.0163
8 1.0006 1.9987 -0.9990 0.9989 8.4782e-05 0.0071
9 0.9997 2.0004 -1.0004 1.0006 8.3443e-05 0.0030
10 1.0001 1.9998 -0.9998 0.9998 1.1780e-04 0.0013
Tabel 1. Hasil Iterasi Jacobi.
Setelah iterasi ke-10 diperoleh hampiran penyelesaian
x = (1.0001; 1.9998; -0.9998; 0.9998)T
bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = (1; 2; -1; 1)T (Sahid, 2007).
2.11 Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
(SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem
yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Teknik iterasi jarang
digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode
langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif.
Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada
matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung
dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan
metode iterasi Gauss-Seidel hampiran pembulatan dapat diperkecil karena dapat
meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas
hampiran yang diperbolehkan.
Pada metode iterasi Gauss-Seidel, nilai-nilai yang paling akhir dihitung digunakan
di dalam semua perhitungan. Jelasnya, di dalam iterasi Jacobi, menghitung
16
( ) = ( ), ( ), … , ( ) , ( ) , … , ( )sedangkan pada iterasi Gauss-Seidel menghitung
( ) = ( ), ( ), … , ( ), ( ) , … , ( ) .
rumus untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai
berikut :
( ) = − ∑ ( ) − ∑ ( )dengan syarat aii ≠ 0 dan k = 1, 2, ...
Metode iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan dalam bentuk matriks. Nyatakan
matriks koefisien A sebagai
A = D + (L + U),
dengan L dan U berturut-turut adalah matriks segitiga bawah dan atas dengan
diagonal nol dan D matriks diagonal. Rumus iterasi Gauss-Seidel dapat ditulis
dalam bentuk :
X(k) = D-1(b-LX(k)-UX(k-1))
(D + L)X(k) = b – UX(k-1)
X(k) = (D + L)-1(b-UX(k-1)),
yang menghasilkan
X(k) = - (D + L)-1UX(k-1) + (D + L)-1b.
Metode iterasi Gauss-Seidel hampir sama dengan metode iterasi Jacobi.
Perbedaannya hanya terletak pada penggunaan nilai elemen vektor xbaru yang
langsung digunakan pada persamaan di bawahnya. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan sistem persamaan linier berikut, yang diturunkan dari contoh terdahulu
( ) = ( ) − ( ) +
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
17
( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −( ) = − ( ) + ( ) +
Pada baris pertama, x1baru dihitung berdasarkan x2
lama dan x3lama. Kemudian x1baru
tersebut langsung dipakai pada baris kedua untuk menghitung x2baru. Selanjutnya
x1baru dan x2
baru digunakan pada baris ketiga untuk mendapatkan x3baru. Begitu
seterusnya hingga x4baru pun diperoleh pada baris keempat. Sistem persamaan
tersebut dapat dinyatakan dalam indeks k seperti di bawah ini dimana k adalah
jumlah iterasi.
( ) = ( ) − ( ) +( ) = ( ) + ( ) − ( ) +( ) = − ( ) + ( ) + ( ) −( ) = − ( ) + ( ) +
Jika diberikan nilai-nilai awal x(0) adalah x1(0) = 0, x2
(0) = 0, x3(0) = 0, dan x4
(0) = 0,
atau dinyatakan sebagai hampiran awal x(0) = (0;0;0;0)T, maka pada k = 1 akan
memperoleh hampiran pertama sebagai berikut :
( ) = 0.6000( ) = 2.3272( ) = −0.9873( ) = 0.8789
18
Lalu proses perhitungan diulangi lagi dengan k = 2. Begitu seterusnya proses ini
diulang-ulang lagi untuk nilai-nilai k berikutnya sampai x(k) mendekati solusi yang
sesungguhnya, yaitu
x = (1; 2; -1; 1)T
Berikut adalah hasil proses iterasi dengan menggunakan MATLAB R2014a :
n x1 x2 x3 x4 Waktu (s) err
1 0.6000 2.3273 -0.9873 0.8789 0.0011 2.7429
2 1.0302 2.0369 -1.0145 0.9843 0.0023 0.5303
3 1.0066 2.0036 -1.0025 0.9984 0.0033 0.0448
4 1.0009 2.0003 -1.0003 0.9998 0.0042 0.0071
5 1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 0.0052 8.7436e-04
Tabel 2 Hasil Iterasi Gauss-Seidel
Setelah iterasi ke-5 diperoleh hampiran penyelesaian
x = (1.0001; 2.0000; -1.0000; 1.0000)T
bandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x = (1; 2; -1; 1)T (Sahid, 2007).
2.12 Stasioner
Suatu iterasi matriks
X(k) = MkX(k-1) + Ckb
dikatakan stasioner jika Mk dan Ck tidak tergantung pada k, sehingga iterasinya
dapat ditulis dalam bentuk :
X(k) = MX(k-1) + Cb
Jelas bahwa metode iterasi Gauss-Seidel bersifat stasioner dengan
M = - (D +L)-1U dan C = (D + L)-1 (Sahid, 2007).
(2.17)
(2.18)
19
2.13 Kekonvergenan Iterasi Matriks
Penyelesaian SPL AX = b merupakan titik tetap iterasi matriks 2.17 ini artinya,
X = A-1b dapat digunakan untuk mengganti masukan maupun keluaran pada
persamaan 2.17, yakni :
X = A-1b = MkA-1b + Ckb = MkX + Ckb.
Dari kesamaan ini didapatkan
MkX = X – Ckb.
Dimisalkan e(k) adalah galat hampiran ke-k.
e(k) = X – X(k)
dengan menggunakan 2.17 dan 2.20 diperoleh :
e(k) = X – (MkX(k-1) + Ckb)
= MkX – MkX(k-1)
= Mk(X – X(k-1))
= Mke(k-1).⋮
= MkMk-1 ... M1e(0),
dengan e(0) adalah galat hampiran awal. Untuk iterasi matriks stasioner (termasuk
iterasi Gauss-Seidel) matriks galat hampiran ke-k adalah
e(k) = M ke(0).
Dengan menggunakan sifat norm, didapat :
|e(k)| ≤ || M k|.|e(0)||.
Iterasi matriks (2.17) dikatakan konvergen jika lim → ( ) = . Dari
pertidaksamaan terakhir jelas bahwa hal ini akan dipenuhi jika ||M|| < 1 (Sahid,
2005).
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
(2.23)
20
2.14 M-File Sebagai Skrip Program
Penulisan skrip rumus iterasi menggunakan M-File, deretan command dapat
disimpan dalam bentuk skrip teks. Kapan pun dibutuhkan, skrips tersebut dapat
dijalankan secara otomatis dengan cara mengetikan rumus output M-File dalam
command window.
Untuk menuliskan skrip rumus iterasi, dapat dimulai dengan membuka file baru.
Caranya ialah melalui menu di main window dengan mengklik ikon new script
yang terdapat pada jendela utama.
Gambar 1. Tampilan Awal MATLAB R2014a.
Dengan editor ini, dapat membuka sejumlah M-File, melakukan editing, ataupun
mencoba menjalankannya dan melakukan debuging (mencari kesalahan dalam
skrip). Sementara itu untuk menyimpan M-File, dapat dilakukan dengan mengklik
ikon save workspace pada menu.
Teks yang diawali dengan “%” menunjukan komentar dan tidak akan dijalankan
oleh MATLAB R2014a. Perhatikan bahwa :
21
Di dalam M-File, setiap command diakhiri dengan titik koma agar hasil
perhitungan di tiap baris tidak ditampilkan di command window. Kecuali
pada hasil perhitungan yang ingin ditampilkan, tidak diakhiri titik koma.
Variabel yang didefinisikan di dalam M-File akan disimpan oleh MATLAB
R2014a ketika M-File telah dieksekusi atau dijalankan.
Di dalam editor, skrip yang dituliskan akan memiliki warna tertentu, yaitu :
Hijau untuk komentar.
Hitam untuk variabel dan comand.
Biru untuk statement pemrograman.
Sebagai skrip program, jika ingin mengubah atau mengatur parameter masukan
program, maka harus dilakukan di dalam editor.
2.15 Variabel-Variabel yang Digunakan
Abs = menghitung nilai absolut.
Break = keluar dari suatu loop.
Clc = membersihkan tampilan command window.
Clear = membersihkan variabel.
Eps = bilangan yang sangat kecil mendekati nol yang merupakan batas
akurasi perhitungan.
Length = untuk mengetahui ukuran atau dimensi dari matriks.
Load = mengeluarkan kembali pekerjaan dari dalam file.
N = berisi bilangan asli yaitu {0, 1, 2, ...}.
Norm = fungsi distribusi normal gaussian.
Operasi ( : ) = sampai dengan.
22
Operasi ( ; ) = perhitungan tetap dilakukan tanpa menuliskan hasilnya.
Operasi ( ‘ ) = operasi transposisi untuk matriks berisi bilangan riil atau
transposisi dan konjugasi untuk matriks kompleks.
Operasi ( * ) = perkalian.
Save = menyimpan pekerjaan ke dalam file.
Tic toc = menghitung waktu dari suatu operasi dalam second.
Zeros = membuat matrik atau vektor nol (semua elemennya berisi angka
nol) yang berukuran n x n.
2.16 Galat dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Perhitungan yang dilakukan dengan MATLAB khususnya MATLAB R2014a ini
memiliki perhitungan yang mungkin hampir sama dengan penyelesaian eksak. Hal
ini dikarenakan MATLAB menggunakan tingkat keakuratan dengan presisi ganda
(sampai 15 atau 16 angka signifikan) dalam operasi-operasi aritmatika. MATLAB
menggunakan besaran eps untuk menyatakan galat setiap bilangan yang dapat
disajikan olehnya. Artinya, eps adalah harga mutlak penyelesaian terkecil dari
relasi 1 + ≠ 1. Jadi untuk setiap perhitungan , galat relatifnya, | ⁄ |, tidak
akan pernah kurang daripada eps. Jelas bahwa proses penyelesaian suatu SPL
akan menghasilkan akumulasi dari galat-galat minimum tersebut. Pembagian
dengan suatu bilangan yang sangat kecil, atau pengurangan dua buah bilangan
yang hampir sama dapat menghasilkan efek penurunan tingkat keakuratan hasil
secara dramatis. Konsep norm dan bilangan kondisi suatu matriks, merupakan
alat yang berguna untuk mengestimasi akumulasi galat yang terjadi dalam
penyelesaian SPL AX = b (Sahid, 2007).
23
2.17 Definisi Galat
Misalkan adalah suatu nilai hampiran numerik untuk nilai numerik eksak x,
yang tidak diketahui. Nilai
= − disebut galat, | | disebut galat mutlak, dan nilai
= | |asalkan x ≠ 0 disebut galat relatif. Oleh karena nilai x biasanya tidak diketahui,
dalam perhitungan, penyebut pada galat relatif sering menggunakan nilai
hampiran, yakni :
≈ | | .dengan kata lain,
Nilai eksak = nilai hampiran + galat,
dan
= .Nilai-nilai ∗ dan ∗ yang sudah diketahui, dan memenuhi| | ≤ ∗ dan | | ≤ ∗,Disebut berturut-turut batas galat mutlak dan batas galat relatif, dan jika x ≠ 0,
hubungan keduanya didefinisikan sebagai : (Sahid, 2007).
∗ = | |.2.18 Konsep Norm dan Bilangan Kondisi Suatu Matriks
Dimulai dengan memisalkan adalah hampiran penyelesaian atau hasil
perhitungan SPL AX = b dan x adalah penyelesaian eksaknya.
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
24
Galat hampiran adalah = − Selanjutnya definisikan = −Besaran ini disebut residu di dalam penghampiran b oleh . Jelaslah apabila= , maka r = 0. Oleh karena = ( − ) = − = − = ,
maka diperoleh hubungan = .
Jadi galat memenuhi suatu SPL dengan matriks koefisien A, dan vektor residu,
r sebagai vektor konstanta (Sahid, 2007).
2.19 Ukuran Besar Vektor dan Matriks
Ukuran besar (panjang) suatu vektor xn x 1 ditulis dengan notasi |x|, dan matriks
An x n ditulis dengan ||A|| didefinisikan sebagai| | = | |,‖ ‖ = ∑ .
Teorema.
Jika A matriks nonsingular, maka penyelesaian-penyelesaian Ax = b dan =memenuhi
‖ ‖| | ≤ ‖ ‖. ‖ ‖ | | .Bukti :
Dengan mengurangkan kedua SPL Ax = b dan = diperoleh :( − ) = −
(2.28)
(2.29)
25
− = − .Dengan menggunakan sifat norm, dipenuhi hubungan :| − | ≤ ( − ≤ ‖ ‖. − .Pembagian dengan |x| menghasilkan‖ − ‖| | ≤ ‖ ‖ −| | = ‖ ‖‖ ‖ −‖ ‖| | .Mengingat ||A|| ≠ 0. Dari persamaan Ax = b diperoleh ||A||.|x| ≥ |b|, sehingga
dengan memasukan pertidaksamaan ini ke dalam pertidaksamaan sebelumnya
akan diperoleh hasil pada teorema di atas.
Hasil dari (2.28) memberikan hubungan antara galat relatif hampiran .
Dari rumus tersebut terlihat bahwa, apabila nilai ||A||.||A-1|| sangat besar, maka
galat relatif hampiran menjadi sangat besar dari galat relatif .
Bilangan = ‖ ‖ × ‖ ‖Disebut bilangan kondisi matriks A. Jika nilai kondisi matriks A sangat besar,
penyelesaian SPL Ax = b sangat sensitif terhadap perubahan kecil pada vektor b.
Dengan kata lain, residu yang relatif kecil menghasilkan galat hampiran yang
relatif besar. Sistem demikian dikatakan dalam kondisi sakit (ill-conditioned).
Sistem yang memiliki matriks koefisien dengan bilangan kondisi kecil dikatakan
dalam kondisi baik (well-conditioned) (Sahid, 2007).
(2.30)
26
2.20 Kekonvergenan Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel
Teorema.
Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel konvergen untuk setiap SPL yang memenuhi
matriks koefisien bersifat dominan secara diagonal.
Bukti :
Pada persamaan (2.5) dan (2.18) terlihat bahwa iterasi matriks untuk mencari
hampiran penyelesaian SPL Ax = b, dengan An x n dan bn x 1, dapat ditulis dalam
bentuk
X(k) = MX(k-1) + Cb
1. Untuk iterasi Jacobi, = − ( + ) = .2. Untuk iterasi Gauss-Seidel, = −( + ) = ( + ) .
Dengan A = L + D + U, L matriks segitiga bawah dari A, D matriks diagonal dari
A, dan U matriks segitiga atas dari A. Dengan mendefinisikan e(k) sebagai galat
hampiran ke-k, seperti persamaan (2.21) . selanjutnya hubungkan dengan
persamaan (2.23). dan akhirnya diketahui bahwa syarat iterasi tersebut konvergen
adalah ‖ ‖ < 1Sekarang kekonvergenan kedua iterasi dapat ditinjau secara terpisah.
Untuk iterasi Jacobi,= − ( + )
27
=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−1 0 0 ⋯ 0
0 −1 0 ⋯ 000
00
−1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ −1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎛ 0 …0 …⋮ 0 …⋱… ⋮0 ⎠⎟
⎞
Dari persamaan 2.27 diperoleh
‖ ‖ = ,,Sehingga syarat ||M|| < 1 mengharuskan
< | |, 1 ≤ ≤ ,,yang tidak lain adalah sifat dominan secara diagonal matriks A (Sahid, 2007).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu Penelitian
Penelitian ini mulai dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2016/2017
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Pada penelitian ini metode yang digunakan adalah studi literatur dan penerapan
simulasi komputasi MATLAB R2014a. Adapun algoritma dari masing-masing
iterasi sebagai berikut :
3.2.1 Iterasi Jacobi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks
koefisien n x n, b vektor konstanta n x 1, dan X vektor n x 1 yang perlu dicari.
Input : X = (x1 x2 x3 ... xn)T atau pesan “gagal”.
Langkah-langkah :
1) Set penghitung iterasi k = 1
2) WHILE k ≤ N DO
a) FOR i = 1, 2, 3, ... , n, Hitung = ∑.
b) Set X = (x1 x2 x3 ... xn)T.
29
c) IF ||X-Y|| < T THEN STOP.
d) Tambah penghitung iterasi, k = k + 1.
e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set yi = xi.
f) Set Y = (y1 y2 y3 ... yn)T.
3) Tulis pesan “Metode gagal setelah N iterasi”.
4) STOP.
Berikut ini adalah diagram alir yang menjelaskan tentang iterasi Jacobi :
Gambar 2. Flow Chart Metode Iterasi Jacobi.
Start
Input AInput b
For p = 1:n U(p,1)=b(p,1)/A(p,p)
For k = 1:n J(p,k)= -A(p,k)/A(p,p)
For k = 1:itermaksXbaru=J*xlama+u
Xselisih=xbaru-xlamaErr=norm(xselisih)
tic
Iterasi = iterasi + 1Iterasi = o
If(err < epsilon)
end
Waktu = toc
STOP
30
3.2.2 Iterasi Gauss-Seidel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks
koefisien n x n, b vektor konstanta n x 1, dan X vektor n x 1 yang perlu dicari.
Input : n, A, b, dan hampiran awal Y = (y1 y2 y3 ...yn)T, batas toleransi T, dan
maksimum iterasi N.
Output : X = (x1 x2 x3 ... xn)T atau pesan “gagal”.
Langkah-langkah :
1) Set penghitung iterasi k = 1.
2) WHILE k ≤ N DO :
a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Hitung = ∑ ∑.
b) Set X = (x1 x2 x3 ... xn)T.
c) IF ||X – Y|| < T THEN STOP.
d) Tambah penghitung iterasi, k = k + 1.
e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set yi = xi.
f) Set Y = (y1 y2 y3 ... yn)T.
3) Tulis Pesan “Metode gagal setelah N iterasi”.
4) STOP.
Berikut ini adalah diagram alir yang menjelaskan tentang iterasi Gauss-Seidel :
31
Gambar 3. Flow Chart Metode Iterasi Gauss-Seidel.
Start
Input AInput b
Input xlama
For i = 1 : itermaks
1 − ( ) − ( )
tic
For i = 1 : n
S = s + (xbaru(i,1) – xlama(i,1))^2Epsilon = sqrt(s)
IfEpsilon < sc
break
Waktu = toc
STOP
V. SIMPULAN
Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa :
1. Pemrosesan hasil output iterasi Gauss-Seidel lebih sedikit dibandingkan
iterasi Jacobi, karena terlihat jelas pada tabel 3 bahwa masing-masing matriks
menunjukkan iterasi Gauss-Seidel lebih sedikit di bandingkan iterasi Jacobi.
2. Waktu pemrosesan hasil output iterasi Jacobi lebih cepat dibandingkan iterasi
Gauss-Seidel, karena terlihat jelas pada tabel 3 bahwa masing-masing matriks
menunjukkan waktu pemrosesan hasil output iterasi Jacobi lebih cepat di
bandingkan waktu pemrosesan iterasi Gauss-Seidel.
3. Hasil output iterasi Jacobi lebih akurat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel,
karena jumlah iterasi Jacobi yang lebih banyak menyebabkan proses
pengulangan dan hasil dari setiap iterasinya lebih jelas.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1987. Aljabar Linier Elementer. Diterjemahkan oleh Pantur Silaban.Erlangga, Jakarta.
Gilbert, J. Dan Gilbert, L. 1995. Linier Algebra and Matrix Theory. Universityof South Carolina at Spartanburg, South Carolina.
Leon, S.J. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Diterjemahkan oleh AlitBondan. Erlangga, Jakarta.
Munir, R. 2008. Metode Numerik Revisi Kedua. Informatika Bandung,Bandung.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. Andi,Yogyakarta.
Suparno, S. 2011. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab.Depok, Universitas Indonesia.